第4章静定结构的位移计算
结构力学4静定结构的位移计算
4.3 平面杆件结构位移计算的一般公式
4.3.1 单位荷载法与结构位移计算的一般公式
P R1 1
F D 1 D F
c F R 2 c2 D F R c
c2 c1
d d du i1
D F R c M d FQ dh FN du
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结构力学
第四章 静定结构的位移计算
F1 1 FB B F2 2 F3 3 0
(a)
虚位移之间的关系为 1 1 1 B 2 2
1 1 4 2 2 2 C B B 2 2 3 3 3
1 1 1 1 3 E 2 B 2 2 3 3 1 2 1 将以上各关系式代入式(a)，得 FB F1 F2 F3 2 3 3 河南理工大学万方科技学院
4.1.3 计算位移的方法
虚功法——依据虚功原理的单位荷载法。
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结构力学
第四章 静定结构的位移计算
4.2 变形体系的虚功原理 4.2.1 实功与虚功 1．功
｛
W FD cos
W 2 Fr
α
力，Δ表示广义位移） Δ
功是力与位移的矢量点积
a c l
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结构力学
第四章 静定结构的位移计算
沿所求位移方向虚设单位荷载 F=1的方法称为 单位荷载法，或称为单位力法。 当支座有给定位移时，静定结构的位移可用单 位荷载法来求解，其计算步骤如下： 1. 沿欲求位移的方向虚设相应的单位荷载，并求出
在单位荷载作用下给定位移的支座处的反力
虚功原理
W =U
可写为
位移状态 位移状态
建筑材料力学第四章静定结构的位移计算
2020/8/1
建筑力学
§4-1 概述
一、静定结构的位移
静定结构在荷载、温度变化、支座移动以及制 造误差等因素作用下，结构的某个截面通常会产 生水平线位移、竖向线位移以及角位移。
1. 截面位移
B
C
B
A
刚架受荷载作用
A
C
桁架受荷载作用
建筑力学
AC
B
C'
温度变化
2)上述虚功原理适用于各类结构（静定、超静 定、杆系及非杆系结构），适用于弹性或非 弹性结构。
3)考虑了杆件的弯曲、剪切及轴向变形。
建筑力学
二、各类结构的位移计算公式
1. 梁和刚架 在梁和刚架中，由于轴向变形及剪切变形产
生的位移可以忽略，故位移计算公式为：
(M 单位荷载1作用下的结构内弯矩)
(MP 外荷载作用下的结构内弯矩)
FP1 FP2 12
1、2之位移分别为
、 。然后加 ，则1、2截面产生新的
位移
。
建筑力学
FP1 FP2 12
实功： 虚功：
虚功强调作功的力与位移无关。
建筑力学
§4-2 变形体虚功原理及位移计 算一般公式
一、 变形体虚功原理
定义：设变形体在力系作用下处于平衡状 态，又设该变形体由于其它原因产生符合约束 条件的微小连续变形，则外力在位移上做的外 虚功W恒等于各微段应力的合力在变形上作的 内虚功Wi ，即W=Wi 。
一、图乘法基本公式
为方便讨论起见，把积分 。
改写成
建筑力学
y
Mk(x) dω=Mkdx
Mk图
A
Bx
x
dx
x0
静定结构的位移计算—结构位移公式及应用(工程力学课件)
【例4】求图示桁架k点水平位移. (各杆EA相同)
P
P
0
NP 0
P a
2P k
a
1
1 2 2 Ni
Δ= FN FNP l
EA
1
1
解：
kx
1 [(1)(P)a EA
(1)( P )a
2 2P 2a] 2(1 2) Pa () EA
ds
FN FNP EA
ds
1. 梁和刚架
在梁和刚架中，由于轴向变形及剪切变形产 生的位移可以忽略，故位移计算公式为：
2. 桁架
Δ=
MMP EI
ds
Δ=
FN FNP ds FN FNP ds FN FNPl
EA
EA
EA
1
MMP EI
ds
kFQ FQP GA
ds
FN FNP EA
ds
若结构只有荷载作用，则位移计算一般公式为：
1 (M ds FQ 0 FN )ds
MP
EI
0
kFQ P GA
FNP
EA
1
MMP EI
ds
kFQ FQP GA
ds
FN FNP EA
ds
适用条件：小变形、线弹性
➢ 正负号规则
1
MMP EI
ds
kFQ FQP GA
ds
FN FNP EA
M、FQ、FN、FRK ：单位载荷 FP1 1在结构中产生
的内力和支座反力
➢ 单位荷载法
一次计算一种位移
求绝对位移!
BF
C
D
q
实际状态
（位移状态）
CH求、CV、C
《结构力学》第四章 静定结构的位移计算 (3)
B EI
2
R 1
cos
( FP R
sin
)
Rd
0
EI
d
FPR3
2EI
FPk 1
A
B Bx 2 By 2
B kP
B
A M k M P ds B EI
2
(1)
(FPR sin
)
Rd
0
EI
R
O
FP R2 （
）
EI
（1）梁与刚架
三、结构的外力虚功
作用在结构上的外力可能是单个的集中力、力 偶、均布力，也可能是一个复杂的力系，为了 书写方便，通常将外力系的总虚功记为：
W = Fk × km
其中，Fk为作功的力或力系，称为广义力; km为广义力作功的位移，称为广义位移。 下面讨论几种常见广义力的虚功。
1) 集中力的虚功
Pk
k
M
4EIk
GAl 2
kP
若截面为矩形，则：A bh, I bh3 /12,k 6 l 1, 2
h / l 1 , 10
h/l 1 , 15
则：
Q kP
( h)2
Q
M kP
l
kP 25% kMP
对于粗短杆来说，剪 切变形产生的位移不可忽
Q
kP 1%
1
m
ds
第i根杆件静力状态上的力在位移状态的位移上所 作的虚功：
Vi
s FNk
mds
s FQk mds
s Mk
1
m
ds
整个杆件结构各个截面上的内力在位移状态的位 移上的所作的总虚功：
N
N
N
静定结构的位移计算
第4章
二、单位荷载法
1、定义：应用虚力原理，通过加单位力求实际位移的方法。 2、计算结构位移的一般公式
PK=1 RK
1
RK RK3
2
( a , a , a , Ca )
位移状态
RK
4
(M K ,Q K , N K , RK )
虚力状态
对上述两种状态应用虚功原理：
1 Ka R K 1 C a1 R K 2 C a 2 M K a ds Q K a ds N K a ds
P/2
P/2
c
c
CV
4、结构的动力计算和稳定分析中，都常需计算结 构的位移。
第4章
三、计算位移的有关假定
2、小变形假设。变形前后荷载作用位臵不变。 3、结构各部分之间为理想联结，不计摩擦阻力。 4、当杆件同时承受轴力与横向力作用时， 不考虑由于杆 弯曲所引起的杆端轴力对弯矩及弯曲变形的影响。
ω1
ω2
MP图
1 Δ (ω1 y1 ω2 y2 ) EI
第4章
3、当杆件为变截面时亦应分段计算； y1
EI1
y2
EI 2
MK图
ω1
EI1
ω2
EI 2
MP图
1 1 Δ ω1 y1 ω2 y2 EI1 EI 2
第4章
4、图乘有正负之分：弯矩图在杆轴线同侧时，取正号； 异侧时，取负号。
13860 0.0924m( ) EI
第4章
例题 试求左图所示刚架C点的竖向位移AV和转角C。 EI 1.5 105 KN m 2 各杆材料相同，截面抗弯模量为:
MB A
力状态(状态1)
静定结构的位移计算
静定结构的位移计算第4章 静定结构的位移计算4.1 结构位移的概念4.1.1 结构位移结构都是由变形材料制成的，当结构受到外部因素的作用时，它将产生变形和伴随而来的位移。
变形是指形状的改变，位移是指某点位置或某截面位置和方位的移动。
如图 4.1(a)所示刚架,在荷载作用下发生如虚线所示的变形，使截面A 的形心从A 点移动到了A ′点，线段AA ′称为A 点的线位移，记为A ∆，它也可以用水平线位移Ax ∆和竖向线位移Ay ∆两个分量来表示如图4.1(b)。
同时截面A 还转动了一个角度，称为截面A 的角位移，用A ϕ表示。
又如图4.2所示刚架，在荷载作用下发生虚线所示变形，截面A 发生了A ϕ角位移。
同时截面B 发生了B ϕ的角位移，这两个截面的方向相反的角位移之和称为截面A 、B 的相对角位移，即B A AB ϕϕϕ+=。
同理，C 、D 两点的水平线位移分别为C ∆如D ∆，这两个指向相反的水平位移之和称为C 、D 两点的水平相对线位移，既D C CD ∆+∆=∆。
除上述位移之外，静定结构由于支座沉降第4章静定结构的位移计算70等因素作用，亦可使结构或杆件产生位移，但结构的各杆件并不产生内力，也不产生变形，故把这种位移称为刚体位移。
一般情况下，结构的线位移、角位移或者相对位移，与结构原来的几何尺寸相比都是极其微小的。
4.1图71第4章静定结构的位移计算引起结构产生位移的主要因素有：荷载作用、温度改变、支座移动及杆件几何尺寸制造误差和材料收缩变形等。
4.1.2 结构位移计算的目的1. 验算结构的刚度结构在荷载作用下如果变形太大，即使不破坏也不能正常使用。
既结构设计时，要计算结构的位移，控制结构不能发生过大的变形。
让结构位移不超过允许的限值，这一计算过程称为刚度验算。
2. 解算超静定计算超静定结构的的反力和内力时，由于静力平衡方程数目不够，需建立位移条件的补充方程，所以必须计算结构的位移。
3. 保证施工在结构的施工过程中，也常常需要知道结构的位移，以确保施工安全和拼装就位。
结构力学4静定结构的位移计算习题解答
第4章 静定结构的位移计算习题解答习题 是非判定题(1) 变形体虚功原理仅适用于弹性体系，不适用于非弹性体系。
（ ） (2) 虚功原理中的力状态和位移状态都是虚设的。
（ ）(3) 功的互等定理仅适用于线弹性体系，不适用于非线弹性体系。
（ ） (4) 反力互等定理仅适用于超静定结构，不适用于静定结构。
（ ） (5) 关于静定结构，有变形就必然有内力。
（ ） (6) 关于静定结构，有位移就必然有变形。
（ ）(7) 习题(7)图所示体系中各杆EA 相同，那么两图中C 点的水平位移相等。
（ ） (8) M P 图，M 图如习题(8)图所示，EI =常数。
以下图乘结果是正确的：4)832(12ll ql EI ⨯⨯⨯ （ ）(9) M P 图、M 图如习题(9)图所示，以下图乘结果是正确的：033202201111)(1y A EI y A y A EI ++ （ ）(10) 习题(10)图所示结构的两个平稳状态中，有一个为温度转变，现在功的互等定理不成立。
（ ）(a)(b)习题 (7)图图(b)M图(a)M P 81qM 图(b)P M 图(a)习题 (8)图 习题 (9)图(a)P习题 (10)图【解】（1）错误。
变形体虚功原理适用于弹性和非弹性的所有体系。
（2）错误。
只有一个状态是虚设的。
（3）正确。
（4）错误。
反力互等定理适用于线弹性的静定和超静定结构。
（5）错误。
譬如静定结构在温度转变作用下，有变形但没有内力。
（6）错误。
譬如静定结构在支座移动作用下，有位移但没有变形。
（7）正确。
由桁架的位移计算公式可知。
（8）错误。
由于取0y 的M 图为折线图，应分段图乘。
（9）正确。
（10）正确。
习题 填空题(1) 习题(1)图所示刚架，由于支座B 下沉∆所引发D 点的水平位移∆D H =______。
(2) 虚功原理有两种不同的应用形式，即_______原理和_______原理。
其中，用于求位移的是_______原理。
第四章 静定结构的位移
二、 虚单位荷载的设置
1. 若欲求的位移是结构上某一点沿某一方向的线位 移，则虚单位荷载应该是作用于该点沿该方向的单 位集中力(a)。 2. 若欲求的位移是结构上某两点沿指定方向的相对 线位移，则虚单位荷载应该是作用于该两点沿指定
方向的一对反向共线的单位集中力(b)。 F 1
F 1
F 1
(b)
W e= 0
2. 虚功方程的两种应用
（1）虚拟位移状态，求未知力
F
A
F
FA
a
b
l
We＝FB B FδF =0
B
FB
F
F B
B
FB
根据几何关 系有:
F a B l
FB
a l
F
可令δB =1，这种沿未知力方向虚设单位位移的方法称 为单位位移法 上述计算是在虚拟位移状态与给定的实际力状态之间应 用虚功方程，这种形式的虚功原理又称为虚位移原理。 1. 用虚位移原理建立的虚功方程形式上是功的方程，
3.若欲求的位移是结构上某一截面的角位移，则虚单 位荷载应该是作用于此截面上的单位集中力偶(c)。 4.若欲求的位移是结构上某两个截面的相对角位移， 则虚单位荷载应该是作用于这两个截面上的一对反 向单位集中力偶(d)。
Me 1
(c)
Me 1
Me 1
(e)
(d)
5.若欲求的位移是结构（如桁架）中某一杆件的角 位移，则应在该杆件的两端沿垂直于杆件方向施加 一个由一对大小相等、方向相反的集中力所构成的 虚单位力偶，每一集中力的大小等于杆件长度的倒 数。
FN、FS、M——原结构由实际荷载引起的内力。 式（4.6）即为静定结构在荷载作用下位移计算的一般公式。
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C
2Pl
3.81 Ac Ec
1.13 As Es
三.单位力状态的确定
所加单位广义力与所求广义位移相对应,该单位
广义力在所求广义位移上做功. 例: 1)求A点水平位移
B
P
A
2)求A截面转角
3)求AB两点相对水平位移
4)求AB两截面相对转角
P 1
P 1
P 1
P 1
试确定指定广义位移对应的单位广义力。
二、结构位移计算的一般公式
i
d (M FN FQ )ds
i
一根杆件各个微段变形引起的位移总和：
d (M FN FQ )ds
如果结构由多个杆件组成，则整个结构变形引起某点的位移为：
(M FN FQ )ds
若结构的支座还有位移，则总的位移为：
(M FN FQ )ds F c RK k
温度 t0 与上、下边缘的温差 t 为：
t 0
t0
h1t2
h
h2t1
d / ds [(t
t t2 t1
t )ds / h] / ds t
2
1
h
t
t0
F Nds
t
h
M ds
t
t0
F Nds
t
h
M
ds
上式中的正、负号：
温度t0以升高为正，轴力以拉为正；
若 M 和 t 使杆件向同一方向弯曲其
高层建筑的最大位移< 1/1000 高度。 最大层间位移< 1/800 层高。
（2）为分析超静定结构打下基础。
2.产生位移的原因
⑴荷载作用；
P
⑵温度变化和材料胀缩；
⑶支座沉降和制造误差。
A Ay
A A
Ax
t
3.位移与变形 由于上述三种因素均可使结构产生位移，
但其内部不一定有变形。
A
P
Ay 位移
则应分段图乘； ③当同一杆件的各杆段EI不相等时，也应
分段图乘； ④如果图形复杂，需分解为简单图形。
例：求图示梁中点的挠度。
？ 1 1 3a 3aP 3
a 2
2
a
2
3a 2
4
a 2
2
P
a
23Pa3 24EI
例：求图示梁C点的挠度。
？ D = 1 Pl 2 l = Pl 3 C EI 2 6 12 EI
1 tg
EI
B
A xM k dx
1 EI
tg ×w
x0
1 EI
wy0
MM EI
P
dx
w y0
EI
y
Mk
ω
x
dx
x0
α
Mi y0
Mi=xtgα
y0=x0tgα
x
MM EI
P
dx
w y0
EI
①∑表示对各杆和各杆段分别图乘再相加。 ②图乘法的应用条件：a）EI=常数；b）直杆；c） 两个弯矩图至少有一个是直线。 ③竖标y0取在直线图形中，对应另一图形的形心 处。 ④面积ω与竖标y0在杆的同侧， ω y0 取正号，否 则取负号。
第4章 静定结构的位移计算
4.1应用虚力原理求刚体体系的位移 4.2结构位移计算的一般公式 4.3荷载作用下的位移计算 4.4图乘法 4.5温度作用时的位移计算 4.6互等定理
§4-1 应用虚力原理求刚体体系的位移
一、结构位移计算概述
1.计算位移的目的： （1）结构的刚度验算；
在工程上，吊车梁允许的挠度< 1/600 跨度；
B
单位荷载
1
1
A
B
求ΔAV -ΔBV (A，B截面相对竖向位移）
求ΔAV+ΔBV (A，B截面竖向位移之和）
§4-3 荷载作用下的位移计算
研究对象：静定结构、线性弹性材料。
(M FN FQ )ds F c RK k
重点在于解决荷载作用下应变 、、 的表达式。
一、计算步骤
（1）在荷载作用下建立 M P , FNP , FQP 的方程，可经由荷载内力应力应 变过程推导应变表达式。
C
wy0
EI
1l l
××
222
×5 Pl 6
5 Pl 3 48 EI
P
P
MP
Pa
Pa
a
a
a
P=1
a/2
a/2 M 3a/4
P
l/2
Pl
5Pl/6
C
l/2
MP
P=1
l/2
C l/6
M
非标准图形乘直线形
a）直线形乘直线形
MiMkdxw1y1w2 y2
a
ω1
Mi
ω2
b
l/3
l/3
l/3
al 2c d bl c 2d
C
B 1 FR1 c1 0
FR1
a
b
b a
c1
单位荷载其虚功正好等于拟求位移。
§4-2 结构位移计算的一般公式
一、局部变形i时静定结构的位移计算
B
A
m
例1、悬臂梁在截面B处
a
a
i 由于某种原因产生相对转
B
A 角，试求A点在i－i方向 m 的位移Δｍ 。
a M
a
1
A
虚功方程：
1m M 0
⑤几种常见图形的面积和形心的位置：
a
b
(a+l)/3 (b+l)/3
l
ω=hl/2
h
h l/2 顶点 l/2
二次抛物线ω=2hl/3 顶点
h
顶点
3l/4
l/4
二次抛物线ω=hl/3
5l/8
3l/8
二次抛物线ω=2hl/3
h
h
h
顶点
4l/5
l/5
三次抛物线ω=hl/4
顶点
(n+1)l/(n+2) l/(n+2)
（2）由上面的内力计算应变，其表达式由材料力学知
MP EI
FNP EA
k
FQP GA
k--为截面形状系数
1.2
10
A
9
A1
(3) 荷载作用下的位移计算公式
MM P ds F FN NP ds k FQFQP ds
EI
EA
GA
二、各类结构的位移计算公式
（1）梁与刚架
MM P EI
1
C
1
D A
F B
00
4.5 E
1.5
3.0
G
FNP
1.5
1.5 0.5
1.5
FN
0.5
材料 钢 筋 砼
杆件 FNP F N
AD 4.74P 1.58
DC 4.42P 1.58 DE 0.95P 0
l
A
F FN NP l F FN NP l
EA
EA
1.97Pl
0.263l Ac Ec Ac
0.263l 0.088l
A
P=1
A ?
(a)
P=1 B
A P=1
(b)
AB
?
试确定指定广义位移对应的单位广义力。
P1 d
C
(c)
d
A
B
P1 d
BC
?
试确定指定广义位移对应的单位广义力。
P=1 A
(e)
B AB ?
P=1
P=1 C P=1
(f)
C 左右 =？
试确定指定广义位移对应的单位广义力。
P=1 A
(g)
A ?
l
6 (2ac 2bd
ad
bc )
2hl 3
cd 2
↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑
q ql2/2 B
FNP=0
ω1
ql/2
ω2
ω2 ql2/8
l
P=1
l
y2
FN 1y3
FN 0
y1
M
MP
ql
l
1
w
3
2 3
ql 2 8
l
ql 3 12
ql/2
w 1N12
ql 2
F2 NElFANPqll43
ql 2
1.功的互等定理
FN1 M1
FQ1
1
FN1 EA
F1
P1
1
M1 EI
F2
A A
线位移 角位移
Ax
A A点线位移
Ax A点水平位移
Ay A点竖向位移
A截面转角
c
t1
c t2 t1
以上都是绝对位移
AV
BV
以上都是相对位移
二.虚功原理求位移----单位荷载法
c1 A
C
B
? 设虚力状态
a
b
b FR1 a P b 0 FR1
a
P=1
虚功方程
A
B
a
a
m M
M 1 sin a
例2、悬臂梁在截面B处由于某种原因产生
相对剪位移，试求A点在i－i方向的位
移ΔQ。
FQ 1 sin
1 Q FQ 0
B
B
i
A
Q
i
A
Q
Q FQ
1
A
FQ
例3、悬臂梁在截面B处由于某种原因产
生轴向位移 试求A点在ｉ－ｉ方向的位移
ΔN 。
由平衡条件：
B
B
ds
（2）桁架
F FN NP ds F FN NP ds F FN NPl