结构力学二4-静定结构的位移计算
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结构力学4静定结构的位移计算
4.3 平面杆件结构位移计算的一般公式
4.3.1 单位荷载法与结构位移计算的一般公式
P R1 1
F D 1 D F
c F R 2 c2 D F R c
c2 c1
d d du i1
D F R c M d FQ dh FN du
河南理工大学万方科技学院
结构力学
第四章 静定结构的位移计算
F1 1 FB B F2 2 F3 3 0
(a)
虚位移之间的关系为 1 1 1 B 2 2
1 1 4 2 2 2 C B B 2 2 3 3 3
1 1 1 1 3 E 2 B 2 2 3 3 1 2 1 将以上各关系式代入式(a)，得 FB F1 F2 F3 2 3 3 河南理工大学万方科技学院
4.1.3 计算位移的方法
虚功法——依据虚功原理的单位荷载法。
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结构力学
第四章 静定结构的位移计算
4.2 变形体系的虚功原理 4.2.1 实功与虚功 1．功
｛
W FD cos
W 2 Fr
α
力，Δ表示广义位移） Δ
功是力与位移的矢量点积
a c l
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结构力学
第四章 静定结构的位移计算
沿所求位移方向虚设单位荷载 F=1的方法称为 单位荷载法，或称为单位力法。 当支座有给定位移时，静定结构的位移可用单 位荷载法来求解，其计算步骤如下： 1. 沿欲求位移的方向虚设相应的单位荷载，并求出
在单位荷载作用下给定位移的支座处的反力
虚功原理
W =U
可写为
位移状态 位移状态
结构力学 结构的位移计算
k
F Ndu
Md
F Q 0ds
F RC
只有荷载作用
无支座移动
k F Ndu Md FQ 0ds
由材料力学知
du
FNP d s EA
d
M Pds EI
d s
k FQP d s GA
10
1.2
9
k--为截面形状系数
A A1 [Al为腹板截面积]
FP
X
待分析平衡的力状态
(c)
直线
几点说明：
X C (1) 对静定结构，这里实际用的是刚体
虚设协调的位移状态
虚位移原理，实质上是实际受力状态 的平衡方程，即
由外力虚功总和为零，即：
X F 0
X
P
C
M 0 B
(2) 虚位移与实际力状态无关，故可设
1 x
X P b 0 (3) 求解时关键一步是找出虚位移状态的
计算结构的位移，就必须明确广义力与广义位移的对应关系。常见的对应有
以下几种情况：
基本原则
求哪个方向的位移就在要求位移的方向上施加相应的单位力。
A
B
位移方向未知
时无法直接虚
拟单位荷载！
求A点的 水平位移
P=1
m=1 求A截面 的转角
m=1
m=1
求AB两截面 的相对转角
P=1
P=1
求AB两点 的相对位移
位移与约束协调:位移函数在约束处的数值等于约束位移。
§4-2 虚功原理
一、虚功原理的三种形式
1、质点系的虚位移原理
具有理想约束的质点系，其平衡的必要和充分条件是：作用于质点系的主
《结构力学》第四章 静定结构的位移计算 (3)
A M k M P ds
B EI
2
R 1
cos
( FP R
sin
)
Rd
0
EI
d
FPR3
2EI
FPk 1
A
B Bx 2 By 2
B kP
B
A M k M P ds B EI
2
(1)
(FPR sin
)
Rd
0
EI
R
O
FP R2 （
）
EI
（1）梁与刚架
三、结构的外力虚功
作用在结构上的外力可能是单个的集中力、力 偶、均布力，也可能是一个复杂的力系，为了 书写方便，通常将外力系的总虚功记为：
W = Fk × km
其中，Fk为作功的力或力系，称为广义力; km为广义力作功的位移，称为广义位移。 下面讨论几种常见广义力的虚功。
1) 集中力的虚功
Pk
k
M
4EIk
GAl 2
kP
若截面为矩形，则：A bh, I bh3 /12,k 6 l 1, 2
h / l 1 , 10
h/l 1 , 15
则：
Q kP
( h)2
Q
M kP
l
kP 25% kMP
对于粗短杆来说，剪 切变形产生的位移不可忽
Q
kP 1%
1
m
ds
第i根杆件静力状态上的力在位移状态的位移上所 作的虚功：
Vi
s FNk
mds
s FQk mds
s Mk
1
m
ds
整个杆件结构各个截面上的内力在位移状态的位 移上的所作的总虚功：
N
N
N
B EI
2
R 1
cos
( FP R
sin
)
Rd
0
EI
d
FPR3
2EI
FPk 1
A
B Bx 2 By 2
B kP
B
A M k M P ds B EI
2
(1)
(FPR sin
)
Rd
0
EI
R
O
FP R2 （
）
EI
（1）梁与刚架
三、结构的外力虚功
作用在结构上的外力可能是单个的集中力、力 偶、均布力，也可能是一个复杂的力系，为了 书写方便，通常将外力系的总虚功记为：
W = Fk × km
其中，Fk为作功的力或力系，称为广义力; km为广义力作功的位移，称为广义位移。 下面讨论几种常见广义力的虚功。
1) 集中力的虚功
Pk
k
M
4EIk
GAl 2
kP
若截面为矩形，则：A bh, I bh3 /12,k 6 l 1, 2
h / l 1 , 10
h/l 1 , 15
则：
Q kP
( h)2
Q
M kP
l
kP 25% kMP
对于粗短杆来说，剪 切变形产生的位移不可忽
Q
kP 1%
1
m
ds
第i根杆件静力状态上的力在位移状态的位移上所 作的虚功：
Vi
s FNk
mds
s FQk mds
s Mk
1
m
ds
整个杆件结构各个截面上的内力在位移状态的位 移上的所作的总虚功：
N
N
N
静定结构的位移计算
第4章
二、单位荷载法
1、定义：应用虚力原理，通过加单位力求实际位移的方法。 2、计算结构位移的一般公式
PK=1 RK
1
RK RK3
2
( a , a , a , Ca )
位移状态
RK
4
(M K ,Q K , N K , RK )
虚力状态
对上述两种状态应用虚功原理：
1 Ka R K 1 C a1 R K 2 C a 2 M K a ds Q K a ds N K a ds
P/2
P/2
c
c
CV
4、结构的动力计算和稳定分析中，都常需计算结 构的位移。
第4章
三、计算位移的有关假定
2、小变形假设。变形前后荷载作用位臵不变。 3、结构各部分之间为理想联结，不计摩擦阻力。 4、当杆件同时承受轴力与横向力作用时， 不考虑由于杆 弯曲所引起的杆端轴力对弯矩及弯曲变形的影响。
ω1
ω2
MP图
1 Δ (ω1 y1 ω2 y2 ) EI
第4章
3、当杆件为变截面时亦应分段计算； y1
EI1
y2
EI 2
MK图
ω1
EI1
ω2
EI 2
MP图
1 1 Δ ω1 y1 ω2 y2 EI1 EI 2
第4章
4、图乘有正负之分：弯矩图在杆轴线同侧时，取正号； 异侧时，取负号。
13860 0.0924m( ) EI
第4章
例题 试求左图所示刚架C点的竖向位移AV和转角C。 EI 1.5 105 KN m 2 各杆材料相同，截面抗弯模量为:
MB A
力状态(状态1)
结构力学 静定结构的位移计算
情景一 引起结构位移的原因及位移计算的目的
能力拓展 如图 2 – 61a 所示屋架，通过对比左右两图，运用结构位移的相关知识 ，可以解释制作时为何通常将各下弦杆的实际下料长度做得比设计长度
要短些，这样可以使屋架拼装后，结点 C 位于 C′的位置（图 2 – 61b）
， 工程上将这种做法称为建筑起拱。那么预先应知道哪些位移量？
情景二 虚功原理及单位荷载法
项目表述
静定结构位移计算是演算结构刚度和计算超静定结构所必需的。变形 体虚功原理是结构力学中的重要理论。通过本项目学习，同学们重点理 解变形体的虚功原理、单位荷载法及位移计算一般公式。对变形体的虚 功原理的推导过程的理解是本项目的难点内容。
情景二 虚功原理及单位荷载法 学习进程
情景一 引起结构位移的原因及位移计算的目的 知识链接
情景一 引起结构位移的原因及位移计算的目的
知识链接
2．引起位移的原因 众所周知，引起位移的原因主要是荷载作用。除此之外，温度改变使材料膨胀 或收缩、结构构件的尺寸在制造过程中产生误差、基础的沉陷或结构支座产生 移动等因素，均会引起结构的位移。如图 2 – 56a、图 2 – 57a 所示，由荷载作 用产生的位移。如图 2 – 57b 所示，因温度改变或材料胀缩产生的位移。如图 2 – 57c 所示，因制造误差或支座移动产生的位移。
情景一 引起结构位移的原因及位移计算的目的
知识链接
1．结构位移的概念 建筑结构在施工和使用过程中常会发生变形，由于结构变形，其上各点或截面 位置会发生改变，这称为结构的位移。如图 2 – 56a 所示的刚架，在荷载作用 下，结构产生变形如图中虚线所示，使截面的形心 A 点沿某一方向移到 A′点， 线段 AA′称为 A 点的线位移，一般用符号 ΔA 表示。 它也可用竖向线位移 ΔAy 和水平线位移 ΔAx 两个位移分量来表示，如图 2 – 56b 所示。
结构力学——静定结构位移计算 ppt课件
刚体位移变形力状态满足平衡条件位移状态满足约束条件第二节变形体虚功原理按外力虚功和内力虚功计算微段虚功总和微段内力虚功所以由于变形连续及相邻截面内力是作用力和反作用力的关系第二节变形体虚功原理可编辑课件ppt按刚体虚功和变形虚功计算微段虚功总和微段变形虚功所以基于平衡状态的刚体虚功原理第二节变形体虚功原理可编辑课件ppt对于直杆体系由于变形互不耦连有
要求： 领会变形体虚功原理和互等定理。 掌握实功、虚功、广义力、广义位移的概念。 熟练荷载产生的结构位移计算。 熟练掌握图乘法求位移。
第一节 位移计算概述
1、结构的位移
杆系结构在外界因素作用下会产生变形和位移。
• 变形 是指结构原有形状和尺寸的改变； • 位移 是指结构上各点位置产生的变化
线位移（位置移动） 角位移（截面转动）。
5
G0.4E
则：
ΔAV85qE4lI171501150
第三节 位移计算公式
各类结构的位移计算公式
荷载引起的位
1、梁和刚架：
ΔiP
MMPds EI
移与杆件的绝 对刚度值有关
2、桁
架： ΔiP
FNFNdPs FNFNlP
EA
EA
3、组合结构：
Δ kP
M M Pds EI
F N F Nd Ps EA
任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移 时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功 We恒等于 变形体各微段外力在微段变形上作的虚功之和 Wi。
也即恒有如下虚功方程成立：
We = Wi
第二节 变形体虚功原理 变形体虚功原理的必要性证明:
力状态
位移状态
（满足平衡条件）
（满足约束条件）
刚体位移
4、拱结构：
要求： 领会变形体虚功原理和互等定理。 掌握实功、虚功、广义力、广义位移的概念。 熟练荷载产生的结构位移计算。 熟练掌握图乘法求位移。
第一节 位移计算概述
1、结构的位移
杆系结构在外界因素作用下会产生变形和位移。
• 变形 是指结构原有形状和尺寸的改变； • 位移 是指结构上各点位置产生的变化
线位移（位置移动） 角位移（截面转动）。
5
G0.4E
则：
ΔAV85qE4lI171501150
第三节 位移计算公式
各类结构的位移计算公式
荷载引起的位
1、梁和刚架：
ΔiP
MMPds EI
移与杆件的绝 对刚度值有关
2、桁
架： ΔiP
FNFNdPs FNFNlP
EA
EA
3、组合结构：
Δ kP
M M Pds EI
F N F Nd Ps EA
任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移 时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功 We恒等于 变形体各微段外力在微段变形上作的虚功之和 Wi。
也即恒有如下虚功方程成立：
We = Wi
第二节 变形体虚功原理 变形体虚功原理的必要性证明:
力状态
位移状态
（满足平衡条件）
（满足约束条件）
刚体位移
4、拱结构：
《结构力学》静定结构的位移计算
A
x
C
x
C
∆AV
l 2 l 2
(a) 实际状态 1）列出两种状态的内力方程： ）列出两种状态的内力方程：
AC段 0 ≤ x ≤ 段 l 2
B
l 2
l 2
(b) 虚设状态
N =0 M = −x Q = −1
NP = 0 MP = 0 Q =0 P
2
2
∆Q ∆Q h 1 h 1 当 = 时, = 1.83%;当 = 时, = 7.32% l 10 ∆M l 5 ∆M
计算屋架顶点的竖向位移。 例2 计算屋架顶点的竖向位移。
q(N/m )
1 1 1
4.5
3.0
1.5
P 2
P
D
C
ql P= 4 P
F G 0.25l
NP
1
1.5
P 2
B 0 1.5 0.5 0
二、利用虚功原理，用单位荷载法求结构位移一般公式： 利用虚功原理，用单位荷载法求结构位移一般公式：
K
K′
实际状态 （位移状态） 外虚功： 外虚功：W
e
∆
t1 t2
c2 c1
1
R 1
虚拟状态 （力状态） 内虚功： 内虚功：W
i
R2
= 1 ⋅ ∆ + ∑ Rk ⋅ ck
1 ⋅ ∆ + ∑ R k ck = ∑ ∫ (Mκ + N ε + Q γ )d s
第4章 静定结构的位移计算
Calculation of Statically Displacement Structures
目
录
§4-1 结构位移和虚功的概念 §4-2 变形体系的虚功原理和单位荷载法 §4-3 静定结构由荷载所引起的位移 §4-4 图乘法 §4-5 互等定理
结构力学-静定结构位移计算
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
80
32
3m
求图示刚架C铰左右两截面的 相对转动。EI=5×104kN.m
1
m=1
5/8
5m
MP
16
16
M
4m
4m
H
=
M0 C
= 1682
=16kN
f 88
1/8
1/8
H
=
M0 C
=
1m
f8
D
C
=
2 5104
580 2
2 3
5 8
+
580 2
2 3
5 8
+
1 3
-
2532 3
（1）同一结构可用不同的方式撤除多余约束但其超静定次数相同。
X1
X1
X3
X1
X2
X3
X3
X2
X1
X2
X3
（2）撤除一个支座约束用一个多余未知力代替， 撤除一个内部约束用一对作用力和反作用力代替。
（3）内外多余约束都要撤除。 （4）不要把原结构撤成几何
可变或几何瞬变体系
4
3
5 1
外部一次，内部六次 共七次超静定
1
2
不撤能除作支为杆1多后余体系约成束为的瞬变是杆1、2、 5
§9.2 力法的基本概念
1、超静定结构计算的总原则: 欲求超静定结构先取一个基本体系,然后让基本体系在受力方
面和变形方面与原结构完全一样。 力法的特点： 基本未知量——多余未知力； 基本体系——静定结构； 基本方程——位移条件——变形协调条件。
ql 2 8
5 8
l 4
2
+
l－x
80
32
3m
求图示刚架C铰左右两截面的 相对转动。EI=5×104kN.m
1
m=1
5/8
5m
MP
16
16
M
4m
4m
H
=
M0 C
= 1682
=16kN
f 88
1/8
1/8
H
=
M0 C
=
1m
f8
D
C
=
2 5104
580 2
2 3
5 8
+
580 2
2 3
5 8
+
1 3
-
2532 3
（1）同一结构可用不同的方式撤除多余约束但其超静定次数相同。
X1
X1
X3
X1
X2
X3
X3
X2
X1
X2
X3
（2）撤除一个支座约束用一个多余未知力代替， 撤除一个内部约束用一对作用力和反作用力代替。
（3）内外多余约束都要撤除。 （4）不要把原结构撤成几何
可变或几何瞬变体系
4
3
5 1
外部一次，内部六次 共七次超静定
1
2
不撤能除作支为杆1多后余体系约成束为的瞬变是杆1、2、 5
§9.2 力法的基本概念
1、超静定结构计算的总原则: 欲求超静定结构先取一个基本体系,然后让基本体系在受力方
面和变形方面与原结构完全一样。 力法的特点： 基本未知量——多余未知力； 基本体系——静定结构； 基本方程——位移条件——变形协调条件。
ql 2 8
5 8
l 4
2
+
l－x
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§4—1 概
述
1. 变形和位移
在荷载作用下，结构将产生变形 和位移。
P A
△Ay △Ax
□
△A
变形：是指结构形状的改变。 位移：是指结构各处位置的移动。
A′
2. 位移的分类
线位移： 角位移：
A
(△A) △Ay
△Ax C A △C C′ P △D D′ D B
A
绝对位移
相对位移
△CD= △C+ △D
AB段： MP=
， BC段：
M P=
3. 代入公式（6—6）得
△Ay=
2 qx2 dx qL dx (-x)() ) = + (-L) (2 EI 2 EI
()
1. 图乘法: 下面的积分
§4—4 图 乘 法 计算梁和刚架在荷载作用下的位移时，要计算
△KP=
当结构符合下述条件时：
y
d=MPdx
A MP
CD
ql / 4 ql / 4
EI ql 3 ( 24 EI
EI )
3
8
2
例 已知 EI 为常数，求A点竖向位移 A 。
q
l l
ql / 4
A
q
ql 2 / 4
MP
1
l/2
Mi
l
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
yc
1/ 2
1 1 ql 2 2 l 1 ql 2 2 l 2 ql 2 1 l CD ( l 2l 2l ) EI EI 2 4 3 2 2 4 3 2 3 8 2 2 2 2 ql 4 ( ) 48EI EI
△KP=
（ a）
为虚拟状态中微段上的内力；dP、duP、 式中： Pds为实际状态中微段上的变形。由材料力学知
dP=
duP=
Pds=
将以上诸式代入式（a）得
△KP=
这就是平面杆件结构在荷载作用下的位移计算公式。
讨
1. 梁和刚架 △KP= 2.桁架 △KP=
论
在实际计算时，根据结构的具体情况,可以简化：
1 yC=h
q
A B
L
h
h
MP图
M图
解：1. 作实际状态的MP图。
2. 设臵虚拟状态并作
。
3. 按式（6—9）计算 2 2 yC 1 2 qL qhL ∆CD=∑ = ( 3 8 L) h = （→←） EI EI 12EI
例 求图示刚架A点的竖向位移△Ay 。
C EI B
PL 2 PL 2
L
B
c
y c
ql 2 / 2
ql 2 / 8
例 图示梁 EI 为常数，求C点竖向位移 。
ql 2 / 2
MP
q ql 2 / 8
A
l/2 C
1
q
l/2
B
l/2
Mi
c
y c
C ql / 2 ql 2 / 8
ql 2 / 8 ql 2 / 4 ql 2 / 8
q
ql / 2
EI 1 1 l ql 2 3 l 1 l ql 2 2 l ( EI 3 2 8 4 2 2 2 4 3 2 l ql 2 1 l ) 2 8 2 2 17 ql 4 () 384 EI
ql 2 / 8
练习
图示结构 EI 为常数，求AB两点(1)相对竖向位 移,(2)相对水平位移,(3)相对转角 。 Pl P y c P ABY 对称结构的对称弯矩图与 EI AB 其反对称弯矩图图乘,结果 1 1 为零. 2 MP ( l Pl l 4 l Pl l 2) EI 2 3 反对称弯矩图 l l 10 Pl 3 1 ( ) 1 l 3 EI yc yc Mi 0 AB 0 ABX EI EI
W外=W内
或写成
W=Wi
上式称为虚功方程，式中
W ——外力虚功
Wi——内力虚功
内力虚功的计算
给定力状态 给定位移状态
微段dS上内力的变形虚功为
A RA
P
M
q B
q
dS
RB
Q N 力状态 A
ds B dS
dWi=Ndu+QdS+Md
整个结构内力的变形虚功为
N+dN Q+dQ
Wi=
（6—2)
虚功方程为
例 图示梁EI 为常数，求C点竖向位移。
q ql 2 / 8
MP
A
l/2 C l/2
1
C
B
l/2
Mi
1 1 3ql 2 l 3 l l ql 2 l C ( ) EI EI 3 8 2 4 2 2 8 4 5ql 3 ( ) 128EI
yc
例 图示梁 EI 为常数，求C点竖向位移 。
例 试求图示结构B点竖向位移
Pl
EI
P B
l
Mi
1
l
EI
MP
l
解: By
MM P EI ds
yc
EI 1 1 2 ( Pl l l Pl l l ) EI 2 3 4 Pl 3 () 3 EI
例 求图示梁(EI=常数,跨长为l)B截面转角 B
∫
∫
∫
y
O
yC 形心 EI M P图 C MP 则积分运算化简为 A B dx 一个弯矩图的面积乘 以其形心处所对应的另 yC M B x 一个直线弯矩图上的竖 x A xC yC=xCtg 标 yC。
d=MPdx 面积
tg xd ∫ EI 而 有 tg xC EI
如果结构上所有各 杆段均可图乘则位移计 算公式可写成
QB
MB
qL2 8
MA
截面不相等时，均应分段相乘，然后叠加。
当y 所属图形是由若干段直线组成时，或各杆段的
C
1
2
3
y3
1
I1
2
I2
3
I3
y1
y2
y1
y2
y3
△=
(1y1+ 2y2+ 3y3)
△=
例 求下图所示刚架C、D两点间距离的改变。设EI=常数。
C D
1
qL2 8
形心
在应用单位荷载法计算时，应据所求位移不同，设 置相应的虚拟力状态。
2. 虚拟状态的设置
例如:
A
实际状态
求△
1 1
B
A A A
AH
求
A
A
1
虚拟状态
虚拟状态
求△
1
AB
求
AB
B
1
虚拟状态
虚拟状态
1
广义力与 广义位移
当结构只受到荷载作用时，求K点沿指定方向的位 移△KP，此时没有支座位移，故式为
3. 计算位移的目的
（1）校核结构的刚度。 （2）结构施工的需要。 （3）为分析超静定结构打 基础。
△
起拱高度
除荷载外，还有一些因素如温度变化、支座移动、 材料收缩、制造误差等，也会使结构产生位移。 结构力学中计算位移的一般方法是以虚功原理为 基础的。本章先介绍变形体系的虚功原理，然后讨论 静定结构的位移计算。
P
PL 4
PL 2
EI
A
P 1
D
L
PL
M P图
M图
解： 1. 作MP图、 2. 图乘计算。
；
△Ay=
2 1 ( L‧L ) PL 1 PL 3L PL ∑ (L‧ ) = = （↓） EI EI 2 2EI 4 2 2 16EI
yC
例 求图示外伸梁C点的竖向位移△Cy。 EI=常数。 q
解：
1. 作MP图 2. 作 图 3. 图乘计算
顶点
二次抛物线
1=2/3(hL)
2=1/3(hL)
顶点
3L/8
5L/8
1
4L/5 L
2
L/5
4 .图乘的技巧 当图形的面积和形心位臵不便确定时，将它分解成简单 图形，之后分别与另一图形相乘，然后把所得结果叠加。
例如： a
L
则
b
MP图
c a
ya
yb
d
M图
ya=2/3×c+1/3×d yb=1/3×c+2/3×d
1 1 对称弯矩图 1 1
l
Mi
1 1
Mi
l
l
作变形草图
绘制变形图时，应根据弯矩图判断杆件的凹凸方向，注意 反弯点的利用。如：
Pl
P
P
1
1
1 1
练习
求B点水平位移。
§4—2 变形体系的虚功原理 B
A
dW=P dS Cos
w=
dW = P Cos dS
（a ）
P
常力功
A
B
△
变力功
力偶功
A
W= P △ Cos (b) 力由0→P 由A→B, 1 W= P △ Cos （c ） 2 P d
常力 W= M·
B
变力 W= 1 M· 2
求任一指定截面K 沿任一指定方向 k—k 上的位移△K 。 利用虚功原理计算
外力虚功
c1
c2
Ｒ １ Ｒ ２
虚拟状态－力状态
实际状态－位移状态
c1、c2、c3、△K du、d、ds
N、 M、 Q、 R i、PK 1
W= = 内力虚功 Wi= 这便是平面杆系结构位移计算的一般公式，若计算结 果为正，所求位移△ K与假设的 PK=1同向，反之反向。 可得 (7－5) 这种方法又称为单位荷载法。
述
1. 变形和位移
在荷载作用下，结构将产生变形 和位移。
P A
△Ay △Ax
□
△A
变形：是指结构形状的改变。 位移：是指结构各处位置的移动。
A′
2. 位移的分类
线位移： 角位移：
A
(△A) △Ay
△Ax C A △C C′ P △D D′ D B
A
绝对位移
相对位移
△CD= △C+ △D
AB段： MP=
， BC段：
M P=
3. 代入公式（6—6）得
△Ay=
2 qx2 dx qL dx (-x)() ) = + (-L) (2 EI 2 EI
()
1. 图乘法: 下面的积分
§4—4 图 乘 法 计算梁和刚架在荷载作用下的位移时，要计算
△KP=
当结构符合下述条件时：
y
d=MPdx
A MP
CD
ql / 4 ql / 4
EI ql 3 ( 24 EI
EI )
3
8
2
例 已知 EI 为常数，求A点竖向位移 A 。
q
l l
ql / 4
A
q
ql 2 / 4
MP
1
l/2
Mi
l
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
yc
1/ 2
1 1 ql 2 2 l 1 ql 2 2 l 2 ql 2 1 l CD ( l 2l 2l ) EI EI 2 4 3 2 2 4 3 2 3 8 2 2 2 2 ql 4 ( ) 48EI EI
△KP=
（ a）
为虚拟状态中微段上的内力；dP、duP、 式中： Pds为实际状态中微段上的变形。由材料力学知
dP=
duP=
Pds=
将以上诸式代入式（a）得
△KP=
这就是平面杆件结构在荷载作用下的位移计算公式。
讨
1. 梁和刚架 △KP= 2.桁架 △KP=
论
在实际计算时，根据结构的具体情况,可以简化：
1 yC=h
q
A B
L
h
h
MP图
M图
解：1. 作实际状态的MP图。
2. 设臵虚拟状态并作
。
3. 按式（6—9）计算 2 2 yC 1 2 qL qhL ∆CD=∑ = ( 3 8 L) h = （→←） EI EI 12EI
例 求图示刚架A点的竖向位移△Ay 。
C EI B
PL 2 PL 2
L
B
c
y c
ql 2 / 2
ql 2 / 8
例 图示梁 EI 为常数，求C点竖向位移 。
ql 2 / 2
MP
q ql 2 / 8
A
l/2 C
1
q
l/2
B
l/2
Mi
c
y c
C ql / 2 ql 2 / 8
ql 2 / 8 ql 2 / 4 ql 2 / 8
q
ql / 2
EI 1 1 l ql 2 3 l 1 l ql 2 2 l ( EI 3 2 8 4 2 2 2 4 3 2 l ql 2 1 l ) 2 8 2 2 17 ql 4 () 384 EI
ql 2 / 8
练习
图示结构 EI 为常数，求AB两点(1)相对竖向位 移,(2)相对水平位移,(3)相对转角 。 Pl P y c P ABY 对称结构的对称弯矩图与 EI AB 其反对称弯矩图图乘,结果 1 1 为零. 2 MP ( l Pl l 4 l Pl l 2) EI 2 3 反对称弯矩图 l l 10 Pl 3 1 ( ) 1 l 3 EI yc yc Mi 0 AB 0 ABX EI EI
W外=W内
或写成
W=Wi
上式称为虚功方程，式中
W ——外力虚功
Wi——内力虚功
内力虚功的计算
给定力状态 给定位移状态
微段dS上内力的变形虚功为
A RA
P
M
q B
q
dS
RB
Q N 力状态 A
ds B dS
dWi=Ndu+QdS+Md
整个结构内力的变形虚功为
N+dN Q+dQ
Wi=
（6—2)
虚功方程为
例 图示梁EI 为常数，求C点竖向位移。
q ql 2 / 8
MP
A
l/2 C l/2
1
C
B
l/2
Mi
1 1 3ql 2 l 3 l l ql 2 l C ( ) EI EI 3 8 2 4 2 2 8 4 5ql 3 ( ) 128EI
yc
例 图示梁 EI 为常数，求C点竖向位移 。
例 试求图示结构B点竖向位移
Pl
EI
P B
l
Mi
1
l
EI
MP
l
解: By
MM P EI ds
yc
EI 1 1 2 ( Pl l l Pl l l ) EI 2 3 4 Pl 3 () 3 EI
例 求图示梁(EI=常数,跨长为l)B截面转角 B
∫
∫
∫
y
O
yC 形心 EI M P图 C MP 则积分运算化简为 A B dx 一个弯矩图的面积乘 以其形心处所对应的另 yC M B x 一个直线弯矩图上的竖 x A xC yC=xCtg 标 yC。
d=MPdx 面积
tg xd ∫ EI 而 有 tg xC EI
如果结构上所有各 杆段均可图乘则位移计 算公式可写成
QB
MB
qL2 8
MA
截面不相等时，均应分段相乘，然后叠加。
当y 所属图形是由若干段直线组成时，或各杆段的
C
1
2
3
y3
1
I1
2
I2
3
I3
y1
y2
y1
y2
y3
△=
(1y1+ 2y2+ 3y3)
△=
例 求下图所示刚架C、D两点间距离的改变。设EI=常数。
C D
1
qL2 8
形心
在应用单位荷载法计算时，应据所求位移不同，设 置相应的虚拟力状态。
2. 虚拟状态的设置
例如:
A
实际状态
求△
1 1
B
A A A
AH
求
A
A
1
虚拟状态
虚拟状态
求△
1
AB
求
AB
B
1
虚拟状态
虚拟状态
1
广义力与 广义位移
当结构只受到荷载作用时，求K点沿指定方向的位 移△KP，此时没有支座位移，故式为
3. 计算位移的目的
（1）校核结构的刚度。 （2）结构施工的需要。 （3）为分析超静定结构打 基础。
△
起拱高度
除荷载外，还有一些因素如温度变化、支座移动、 材料收缩、制造误差等，也会使结构产生位移。 结构力学中计算位移的一般方法是以虚功原理为 基础的。本章先介绍变形体系的虚功原理，然后讨论 静定结构的位移计算。
P
PL 4
PL 2
EI
A
P 1
D
L
PL
M P图
M图
解： 1. 作MP图、 2. 图乘计算。
；
△Ay=
2 1 ( L‧L ) PL 1 PL 3L PL ∑ (L‧ ) = = （↓） EI EI 2 2EI 4 2 2 16EI
yC
例 求图示外伸梁C点的竖向位移△Cy。 EI=常数。 q
解：
1. 作MP图 2. 作 图 3. 图乘计算
顶点
二次抛物线
1=2/3(hL)
2=1/3(hL)
顶点
3L/8
5L/8
1
4L/5 L
2
L/5
4 .图乘的技巧 当图形的面积和形心位臵不便确定时，将它分解成简单 图形，之后分别与另一图形相乘，然后把所得结果叠加。
例如： a
L
则
b
MP图
c a
ya
yb
d
M图
ya=2/3×c+1/3×d yb=1/3×c+2/3×d
1 1 对称弯矩图 1 1
l
Mi
1 1
Mi
l
l
作变形草图
绘制变形图时，应根据弯矩图判断杆件的凹凸方向，注意 反弯点的利用。如：
Pl
P
P
1
1
1 1
练习
求B点水平位移。
§4—2 变形体系的虚功原理 B
A
dW=P dS Cos
w=
dW = P Cos dS
（a ）
P
常力功
A
B
△
变力功
力偶功
A
W= P △ Cos (b) 力由0→P 由A→B, 1 W= P △ Cos （c ） 2 P d
常力 W= M·
B
变力 W= 1 M· 2
求任一指定截面K 沿任一指定方向 k—k 上的位移△K 。 利用虚功原理计算
外力虚功
c1
c2
Ｒ １ Ｒ ２
虚拟状态－力状态
实际状态－位移状态
c1、c2、c3、△K du、d、ds
N、 M、 Q、 R i、PK 1
W= = 内力虚功 Wi= 这便是平面杆系结构位移计算的一般公式，若计算结 果为正，所求位移△ K与假设的 PK=1同向，反之反向。 可得 (7－5) 这种方法又称为单位荷载法。