上海交通大学附属中学2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题PDF版含答案
2017.11
一. 填空题
1. 集合 M {x | 0 x 3} ， N {x | 0 x 2}，则“ a M ”是“ a N ”
条件
2. 已知集合U {1, 2,3, 4}，集合 A {1, 2} ， B {2,3} ，则 ( A I CU B) U (CU A I B)
x
1
2
3
4
f (x)
3
4
3
0
g(x)
0
1
0
3
则不等式 f (g(x)) 0 的解集为 6. 关于 x 的不等式 2kx2 kx 3 0 的解集不为空集，则 k 的取值范围为
8 7. 已知本张试卷的出卷人在公元 x2 年时年龄为 x 8 岁，则出卷人的出生年份是
（假设出生当年的年龄为 1 岁）
3. 函数 f (x) x 1 1 的定义域为 2x
4. 已知集合 A {x || x a | 1, x R} ，பைடு நூலகம்B {x | 2x a 1, x R} ，且 A I B ，则实数 a x 1
的取值范围是
5. 已知 y f (x) ， y g(x) 是两个定义在 R 上的二次函数，其 x 、 y 的取值如下表所示：
a1b1 a2b2 a12 a22 b12 b22
a1b1 a2b2 AB AB
a1 b1 a2 b2 AB A B
1 2
(
a12 A2
b12 B2
)
1( 2
a22 A2
b22 B2
)
1 ( a12 a22 2 A2
b12 b22 B2
)
1 2
A. (a b)( 1 1) 4 ab
B. a3 b3 2ab2
C. a2 b2 2 2a 2b
D. | a b | a b
三. 解答题
17. 已知 ABC 为直角三角形，记其两条直角边长分别为 a,b R ，记面积为 S ，周长为 C ，若三角形 面积为定值，其周长是否有最值，最大值还是最小值，何时取到，为多少？（结果用 S 表示）.
(x1 x2 )( y1 y2 )(z1 z2 ) ( 3 x1 y1z1 3 x2 y2 z2 )3 . （提示：若 a,b,c R ，有 a3 b3 c3 abc ）
3
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20. 公元 2222 年，有一种高危传染病在全球范围内蔓延，被感染者的潜伏期可以长达 10 年，期间会有约 0.05%的概率传染给他人，一旦发病三天内即死亡，某城市总人口约 200 万人，专家分析其中约有 1000 名传染者，为了防止疾病继续扩散，疾病预防控制中心现决定对全市人口进行血液检测以筛选出被感染 者，由于检测试剂十分昂贵且数量有限，需要将血样混 合后一起检测以节约试剂，已知感染者的检测结 果为阳性，末被感染者为阴性，另外检测结 果为阳性的血样与检测结果为阴性的血样混合后检测结果为 阳性，同一检测结果的血样混合 后结果不发生改变. （1）若对全市人口进行平均分组，同一分组的血样将被混合到一起检测，若发现结果为阳性， 则再在 该分组内逐个检测排査，设每个组 x 个人，那么最坏情况下，需要进行多少次检测可以找到所有的被感 染者？在当前方案下，若要使检测的次数尽可能少，每个分组的最优人数？ （2）在（1）的检测方案中，对于检测结果为阳性的组来取逐一检测排査的方法并不是很好， 或可将这 些组的血样在进行一次分组混合血样检测，然后再进行逐一排査，仍然考虑最坏的 情况，请问两次要如 何分组，使检测总次数尽可能少？ （3）在（2）的检测方案中，进行了两次分组混合血样检测，仍然考虑最坏情况，若再进行 若干次分组 混合血样检测，是否会使检测次数更少？请给出最优的检测方案.
8. 若对任意 x R ，不等式 | x | ax 恒成立，则实数 a 的取值范围是
9. 设常数 a 0 ，若 9x a2 a 1对一切正实数 x 成立，则 a 的取值范围为 x
10.
设函数
f
(x)
x2
2x x2
2
x
0
，若
f
(
f
(a))
2
，则 a
x0
11. 若二次函数 y f (x) 对一切 x R 恒有 x2 2x 4 f (x) 2x2 4x 5 成立，且 f (5) 27 ，则
，则 P Q 中元素的个数是（ ）
A. 9
B. 8
C. 7
D. 6
14. 不等式 (1 x)(1 | x |) 0 的解集是（ ）
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A. {x | 0 x 1}
B. {x | x 0 且 x 1}
C. {x | 1 x 1}
D. {x | x 1且 x 1}
，故 (a1b1
a2b2 )2
(a12
a22 )(b12
b22 ) .
（1）若 x1, x2 , y1, y2 R ，利用上述结论，证明： (x1 x2 )( y1 y2 ) ( x1 y1 x2 y2 )2 ；
（2）若 x1, x2 , y1, y2 , z1, z2 R ，模仿上述证法并结合（1）的证法，证明：
18. 已知 a R ，若关于 x 的方程 x2 x | a 1 | | a | 0 有实根，求 a 的取值范围. 4
19. 阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题. 证明： (a1b1 a2b2 )2 (a12 a22 )(b12 b22 )
证：令 A a12 a22 ， B b12 b22
15. 已知三个不等式 ab 0 ， bc ad 0 ， c d 0 （其中 a 、 b 、 c 、 d 均为实数）， ab
用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命
题的个数是（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
16. 设 a 0 ， b 0 ，则以下不等式中不恒成立的是（ ）
f (11)
12. 已知 f (x) (a2 5)x2 2x 2 ，若不等式 f (x) x 的解集为 A ，已知 (0,1) A ，则 a 的取值范围
为
二. 选择题
13. 设 P 、 Q 为两个非空实数集，定义集合 P Q {a b | a P,b Q} ，若 P {0, 2,5} ， Q {1, 2,6}
上海市交大附中2017-2018学年高一上学期第一次月考数
上海交通大学附属中学2017-2018学年度第一学期高一数学月考一 试卷一、填空题（1-6题每题4分，7-12题每题5分）1. 用列举法表示方程22320,x x x R --=∈的解集是____________.2. 已知集合2{1,},{1,}A m B m =-=，且A B =，则m 的值为____________.3. 设集合{1,2,6},{2,4},{|15,}A B C x x x R ===-≤≤∈，则()A B C =____________.4. 已知关于x 的一元二次不等式20ax x b ++>的解集为(,2)(1,)-∞-+∞，则a b -=____________.5. 设集合{}3(,)|1,(,)12y U x y y x A x y x ⎧-⎫==+==⎨⎬-⎩⎭，则U A =ð____________.6. 不等式21x≥+____________. 7. 已知x R ∈，命题“若25x <<，则27100x x -+<”的否命题是____________.8. 设[]:13,:1,25x x m m αβ-≤≤∈-+，α是β的充分条件，则m ∈____________.9. 若对任意x R ∈，不等式22(1)(1)10a x a x ----<恒成立，则实数a 值范围是____________.10. 向50名学生调查对A 、B 两事件的态度，有如下结果：赞成A 的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B 的比赞成A 的多3人，其余的不赞成；另外，对A 、B 都不赞成的学生数比对A 、B 都赞成的学生数的三分之一多1人. 问对A 、B 都赞成的学生有____________人11. 设[]x 表示不超过x 的最大整数（例如：[5.5]5,[ 5.5]6=-=-），则2[]5[]60x x -+≤的解集为____________.12. 已知有限集123{,,,,}(2)n A a a a a n =≥. 如果A 中元素(1,2,3,,)i a i n =满足1212n n a a a a a a =+++，就称A 为“复活集”，给出下列结论：①集合⎪⎪⎩⎭是“复活集”； ②若12,a a R ∈，且12{,}a a 是“复活集”，则124a a >； ③若*12,a a N ∈，则12{,}a a 不可能是“复活集”； ④若*i a N ∈，则“复活集”A 有且只有一个，且3n =.其中正确的结论是____________.（填上你认为所有正确的结论序号） 二、选择题（每题5分）13. 若集合P 不是集合Q 的子集，则下列结论中正确的是（ ）A. Q P ⊆B. PQ =∅ C. P Q ≠∅ D. P Q P ≠14. 集合{}*|4|21|A x x N =--∈，则A 的非空真子集的个数是（ ）A. 62B. 126C. 254D. 51015. 已知,,a b c R ∈，则下列三个命题正确的个数是（ ） ①若22ac bc >，则a b >；②若|2||2|a b ->-，则22(2)(2)a b ->-③若0a b c >>>，则a a cb b c+>+； ④若0,0,4,4a b a b ab >>+>>，则2,2a b >>A. 1B. 2C. 3D. 416. 若实数,a b 满足0,0a b ≥≥且0ab =，则称a 与b 互补，记(,)a b a b ϕ=-，那么(,)0a b ϕ=是a 与b 互补的（ ） A. 必要而不充分的条件 B. 充分而不必要的条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件三、解答题17. （本题满分14分）已知关于x 的不等式250ax x a-<-的解集为M （1）4a =时，求集合M ；（2）若3M ∈且5M ∉，求实数a 的取值范围18. （本题满分14分）解关于x 的不等式2(2)(21)60a x a x -+-+>19. （本题满分16分）已知函数()|1||2|f x x x =+-- （1）求不等式()1f x ≥的解集；（2）若不等式2()f x x x m ≥-+的解集非空，求m 的取值范围20. （本题满分14分）某商场在促销期间规定：商场内所有商品标价的80%出售，同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如，购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为：4000.230110⨯+=（元），设购买商品得到的优惠率=购买商品获得的优惠额商品的标价。
2017-2018学年上海市交大附中高一(上)期末数学试卷-教师用卷
2017-2018学年上海市交大附中高一（上）期末数学试卷副标题一、选择题（本大题共4小题，共20.0分） 1. “x <2”是“x 2<4”的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件【答案】B【解析】解：由x 2<4，解得：−2<x <2， 故x <2是x 2<4的必要不充分条件， 故选：B ．先求出x 2<4的充要条件，结合集合的包含关系判断即可．本题考察了充分必要条件，考察集合的包含关系，是一道基础题．2. 设函数f (x )= 1 x <0−1 x >0，则(a +b )+(a−b )⋅f (a−b )2(a ≠b )的值为( )A. aB. bC. a ，b 中较小的数D. a ，b 中较大的数【答案】C【解析】解：∵函数f (x )= 1 ,x <0−1 ,x >0， ∴当a >b 时，(a +b )+(a−b )⋅f (a−b )2=(a +b )−(a−b )2=b ；当a <b 时，(a +b )+(a−b )2=a ．∴(a +b )+(a−b )⋅f (a−b )2(a ≠b )的值为a ，b 中较小的数．故选：C ．由函数f (x )= 1 ,x <0−1 ,x >0，知当a >b 时，(a +b )+(a−b )⋅f (a−b )2=(a +b )−(a−b )2=b ；当a <b 时，(a +b )+(a−b )2=a ．本题考查代数式的值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数值的合理运用．3. 如图中，哪个最有可能是函数y =x2x 的图象( )A. B.C. D. 【答案】A【解析】解：y′=2x−x2x ln222x =1−x ln22x，令y′>0，解得：x<1ln2，令y′<0，解得：x>1ln2，故函数在(−∞,1ln2)递增，在(1ln2,+∞)递减，而x=0时，函数值y=0，x→−∞时，y→−∞，x→+∞时，y→0，故选：A．求出函数的导数，得到函数的单调性，从而判断出函数的大致图象即可．本题考查了函数的图象，考查函数的单调性问题，是一道基础题．4.若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1，x2∈R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1，则下列说法一定正确的是()A. f(x)为奇函数B. f(x)为偶函数C. f(x)+1为奇函数D. f(x)+1为偶函数【答案】C【解析】解：∵对任意x1，x2∈R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1，∴令x1=x2=0，得f(0)=−1∴令x1=x，x2=−x，得f(0)=f(x)+f(−x)+1，∴f(x)+1=−f(−x)−1=−[f(−x)+1]，∴f(x)+1为奇函数．故选C对任意x1，x2∈R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1，考察四个选项，本题要研究函数的奇偶性，故对所给的x1，x2∈R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1进行赋值研究即可本题考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.若关于x的不等式x−ax+1≥0的解集为(−∞,−1)∪[4，+∞)，则实数a=______．【答案】4【解析】解：由x−ax+1≥0，得(x−a)(x+1≥0,故−1，4是方程(x−a)(x+1)=0的根，故a=4，故答案为：4解不等式的解集转化为方程的根，求出a的值即可．本题考查了不等式的解法以及转化思想，是一道基础题．6.设集合A={x||x−2|<1}，B={x|x>a}，若A∩B=A，则实数a的取值范围是______．【答案】(−∞,1]【解析】解：由|x−2|<1得1<x<3，则A=|{x|1<x<3}，∵B={x|x>a}，且A∩B=A，∴A⊆B，即a≤1，故答案为：(−∞,1]．先求出不等式|x−2|<1的解集即集合A，根据A∩B=A得到A⊆B，即可确定出a的范围．本题考查了交集及其运算，集合之间的关系，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．7.一条长度等于半径的弦所对的圆心角等于______弧度．【答案】π3弧度．【解析】解：因为一条长度等于半径的弦，所对的圆心角为π3．故答案为：π3直接利用弧长公式求出圆心角即可．本题考查弧长公式的应用，基本知识的考查．8.若函数f(x)=log2(x+1)+a的反函数的图象经过点(4,1)，则实数a=______．【答案】3【解析】解：函数f(x)=log2(x+1)+a的反函数的图象经过点(4,1)，即函数f(x)=log2(x+1)+a的图象经过点(1,4)，∴4=log2(1+1)+a∴4=1+a，a=3．故答案为：3．由题意可得函数f(x)=log2(x+1)+a过(1,4)，代入求得a的值．本题考查了互为反函数的两个函数之间的关系与应用问题，属于基础题．9.若f(x)=x1−x−2，则满足f(x)>0的x的取值范围是______．【答案】(1,+∞)【解析】解：若f(x)=x13−x−2，则满足f(x)>0，即x13−x−2>0，变形可得：x7>1，函数g(x)=x7为增函数，且g(1)=1，解可得：x>1，即x的取值范围为(1,+∞)；故答案为：(1,+∞)．根据题意，将f (x )>0变形为x 7>1，解可得x 的取值范围，即可得答案． 本题考查其他不等式的解法，关键是将原不等式转化为整式不等式．10. 已知f (x )= a x ,x ≥1(7−a )x−4a ,x <1是(−∞,+∞)上的增函数，那么a 的取值范围是______．【答案】[76,7)【解析】解：根据题意，f (x )= a x ,x ≥1(7−a )x−4a ,x <1是(−∞,+∞)上的增函数，必有 7−a >0a >1(7−a )−4a ≤a ，解可得76≤a <7， 即a 的取值范围为：[76,7) 故答案为：[76,7)根据题意，由分段函数的单调性分析可得 7−a >0a >1(7−a )−4a ≤a ，解可得a 的取值范围，即可得答案．本题考查分段函数的单调性，注意分段函数分段分析．11. 定义在R 上的偶函数y =f (x )，当x ≥0时，f (x )=lg(x 2+3x +2)，则f (x )在R上的零点个数为______． 【答案】0【解析】解：当x ≥0时，f (x )=lg(x 2+3x +2)，函数的零点由：lg(x 2+3x +2)=0，即x 2+3x +1=0，解得x−3± 52(舍去)．因为函数是定义在R 上的偶函数y =f (x )，所以函数的零点个数为：0个． 故答案为：0．利用函数是偶函数求出x ≥0时，函数的零点个数，即可得到结果． 本题考查函数的零点的个数的求法，函数的奇偶性的应用，考查计算能力．12. 设f (x )=x 4+ax 3+bx 2+cx +d ，f (1)=1，f (2)=2，f (3)=3，则14[f (0)+f (4)]的值为______．【答案】7【解析】解：f (x )=x 4+ax 3+bx 2+cx +d ，f (1)=1，f (2)=2，f (3)=3， 可得： 1+a +b +c +d =116+8a +4b +2c +d =281+27a +9b +3c +d =3，∴b =−6a −25；c =11a +61；d =−6a −36，∴14[f (4)+f (0)] =14(256+64a +16b +4c +2d )=1(128+32a+8b+2c+d)=1(128+32a−48a−200+22a+122−6a−36)=1×14=7．利用已知条件求出a、b、c、d的关系式，化简所求的表达式，求解即可．本题考查方程的根与函数的零点的求法，待定系数法的应用，考查计算能力．13.设f−1(x)为f(x)=4x−2+x−1，x∈[0,2]的反函数，则y=f(x)+f−1(x)的最大值为______．【答案】4【解析】解：由f(x)=4x−2+x−1在x∈[0,2]上为增函数，得其值域为[−1516,2]，可得y=f−1(x)在[−1516,2]上为增函数，因此y=f(x)+f−1(x)在[−1516,2]上为增函数，∴y=f(x)+f−1(x)的最大值为f(2)+f−1(2)=2+2=4．故答案为：4．由f(x)=4x−2+x−1在x∈[0,2]上为增函数可得其值域，得到y=f−1(x)在[−1516,2]上为增函数，由函数的单调性求得y=f(x)+f−1(x)的最大值本题考查了互为反函数的两个函数图象间的关系，考查了函数的单调性，属中档题．14.已知函数f(x)=(x−a)2,x≤0x+4x+3a,x>0，且f(0)为f(x)的最小值，则实数a的取值范围是______．【答案】[0,4]【解析】解：若f(0)为f(x)的最小值，则当x≤0时，函数f(x)=(x−a)2为减函数，则a≥0，当x>0时，函数f(x)=x+4x+3a的最小值4+3a≥f(0)，即4+3a≥a2，解得：−1≤a≤4，综上所述实数a的取值范围是[0,4]，故答案为：[0,4]若f(0)为f(x)的最小值，则当x≤0时，函数f(x)=(x−a)2为减函数，当x>0时，函数f(x)=x+4x+3a的最小值4+3a≥f(0)，进而得到实数a的取值范围．本题考查的知识点是分段函数的应用，熟练掌握并理解二次函数和对勾函数的图象和性质，是解答的关键，属于中档题．15.设a、b∈R，若函数f(x)=x+ax+b在区间(1,2)上有两个不同的零点，则f(1)的取值范围为______．【答案】(0,1)【解析】解：函数f(x)=x+ax+b在区间(1,2)上有两个不同的零点，即方程x2+bx+a=0在区间(1,2)上两个不相等的实根，⇒1<−b2<2b2−4a>01+a+b>04+2b+a>0⇒−4<b<−2b2>4a1+a+b>04+2b+a>0，如图画出数对(a,b)所表示的区域，目标函数z=f(1)═a+b+1∴z的最小值为z=a+b+1过点(1,−2)时，z的最大值为z=a+b+1过点(4,−4)时∴f(1)的取值范围为(0,1)故答案为：(0,1)函数f(x)=x+ax+b在区间(1,2)上有两个不同的零点，即方程x2+bx+a=0在区间(1,2)上两个不相等的实根，⇒1<−b2<2b2−4a>01+a+b>04+2b+a>0⇒−4<b<−2b2>4a1+a+b>04+2b+a>0画出数对(a,b)所表示的区域，求出目标函数z=f(1)═a+b+1的范围即可．本题是函数零点的考查，涉及到规划问题的结合，属于难题．16.已知下列四个命题：①函数f(x)=2x满足：对任意x1，x2∈R，x1≠x2，有f(x1+x22)≤12[f(x1)+f(x2)]；②函数f(x)=log2(x+ x2+1),g(x)=1+22x−1均为奇函数；③若函数f(x)的图象关于点(1,0)成中心对称图形，且满足f(4−x)=f(x)，那么f(2)=f(2018)；④设x1，x2是关于x的方程|log a x|=k(a>0,a≠1)的两根，则x1x2=1其中正确命题的序号是______．【答案】②③④【解析】解：函数f(x)=2x满足：对任意x1，x2∈R，x1≠x2，f(x1)+f(x2)=2 x1+2 x2>22x1+x2=2⋅2 x1+x22=2f(x1+x22)，故①错误；由x>0，x=0时，x+1+x2>0成立；由x<0，x2+1>x2，可得1+x2>−x，即x+2>0，由f(−x)+f(x)=log2(x2+1−x2)=0，即有f(x)为奇函数；又g(−x)+g(x)=2+22−x−1+22x−1=2+2⋅2x1−2x+22x−1=0，可得g(x)为奇函数．函数f(x)=log2(x+ x2+1),g(x)=1+22x−1均为奇函数，故②正确；若函数f(x)的图象关于点(1,0)成中心对称图形，可得f(x)+f(2−x)=0，且满足f(4−x)=f(x)，则f(4−x)=−f(2−x)，即f(2+x)=−f(x)，可得f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，即f(x)为最小正周期为4的函数，可得f(2018)=f(4×504+2)=f(2)，那么f(2)=f(2018)，故③正确；设x1，x2是关于x的方程|log a x|=k(a>0,a≠1)的两根，可得log a x1+log a x2=0，即log a x1x2=0，则x1x2=1，故④正确．故答案为：②③④．由指数的运算性质和基本不等式，可判断①；运用奇偶性的定义和性质，可判断②；由题意可得f(x)+f(2−x)=0，结合条件可得f(x)为最小正周期为4的函数，可得结论，可判断③；由对数的运算性质，可判断④．本题考查函数的性质和运用，主要是函数的奇偶性和对称性、周期性的判断和运用，考查定义法和运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.解关于x的不等式：(log2x)2+(a+1a )log12x+1<0【答案】解：关于x的不等式：(log2x)2+(a+1a)log1x+1<0，即(log2x)2−(a+1 a )log2x+1<0，即(log2x−a)⋅(log2x−1a)<0．当a>1a 时，即a>1或−1<a<0时，1a<log2x<a，21<x<2a，原不等式的解集为{x|21a<x<2a}．当a=1a时，即a=±1时，不等式即(log2x−a)2<0，显然它无解，即解集为⌀．当a<1a 时，即0<a<1或a<−1时，1a>log2x>a，21a>x>2a，原不等式的解集为{x|21>x>2a}．【解析】原不等式即(log2x−a)⋅(log2x−1a )<0，分类讨论a与1a的大小关系，求得log2x的范围，可得x的范围．本题主要考查一元二次不等式的解法，对数不等式的解法，属于中档题．18.设a∈R，函数f(x)=3x+a3+1；(1)求a的值，使得f(x)为奇函数；(2)若f(x)<a+33对任意的x∈R成立，求a的取值范围【答案】解：(1)根据题意，函数f(x)=3x+a3x+1，其定义域为R，若f(x)为奇函数，则f(0)=30+a30+1=0，解可得a=−1；故a=−1；(2)根据题意，f(x)<a+33，即3x+a3x+1<a+33，变形可得：a−13+1<a3，即3(a−1)<a(3x+1)，(①)分3种情况讨论：当a=0时，(①)变形为−3<0，恒成立，当a>0时，(①)变形为3a−3a<3x+1，若3a−3a <3x+1恒成立，必有3a−3a≤1，解可得a≤32，此时a的取值范围为(0,32]，当a<0时，(①)变形为3a−3a>3x+1，不可能恒成立，综合可得：a的取值范围为[0,32]．【解析】(1)根据题意，由奇函数的性质可得f(0)=30+a3+1=0，解可得a的值，即可得答案；(2)根据题意，f(x)<a+33变形可得3(a−1)<a(3x+1)，分3种情况讨论，求出a的取值范围，综合可得答案．本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数恒成立问题，属于综合题．19.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)=k3x+5(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(Ⅰ)求k的值及f(x)的表达式．(Ⅱ)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．【答案】解：(Ⅰ)设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为C(x)=k3x+5．再由C(0)=8，得k=40，因此C(x)=403x+5．而建造费用为C1(x)=6x，最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)=20C(x)+C1(x)=20×403x+5+6x=8003x+5+6x(0≤x≤10)(Ⅱ)f′(x)=6−2400(3x+5)，令，即2400(3x+5)=6．解得x=5，x=−253(舍去)．当0<x<5时，f′(x)<0，当5<x<10时，f′(x)>0，故x=5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)=6×5+80015+5=70．当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值为70万元．【解析】(I)由建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)=k3x+5(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.我们可得C(0)=8，得k=40，进而得到C(x)=403x+5.建造费用为C1(x)=6x，则根据隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)，我们不难得到f(x)的表达式．(II)由(1)中所求的f(x)的表达式，我们利用导数法，求出函数f(x)的单调性，然后根据函数单调性易求出总费用f(x)的最小值．函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑.将实际的最大(小)化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大(小)是最优化问题中，最常见的思路之一．20.已知函数f1(x)=e|x−2a+1|，f2(x)=e|x−a|+1，x∈R．(1)若a=2，求f(x)=f1(x)+f2(x)在x∈[2,3]上的最小值；(2)若|f1(x)−f2(x)|=f2(x)−f1(x)对于任意的实数x∈R恒成立，求a的取值范围；(3)当4≤a≤6时，求函数g(x)=f1(x)+f2(x)2−|f1(x)−f2(x)|2在x∈[1,6]上的最小值．【答案】解：(1)对于a=2，x∈[2,3]，f(x)=e|x−3|+e|x−2|+1=e3−x+e x−1(3分)≥2 e3−x⋅e x−1=2e，当且仅当e3−x=e x−1，即x=2时等号成立，∴f(x)min=2e.(6分)(2)|f1(x)−f2(x)|=f2(x)−f1(x)对于任意的实数x恒成立，即f1(x)≤f2(x)对于任意的实数x恒成立，亦即e|x−2a+1|≤e|x−a|+1对于任意的实数x 恒成立，∴|x−2a+1|≤|x−a|+1，即|x−2a+1|−|x−a|≤1对于任意的实数x恒成立.(9分)又|x−2a+1|−|x−a|≤|(x−2a+1)−(x−a)|=|−a+1|对于任意的实数x恒成立，故只需|−a+1|≤1，解得0≤a≤2，∴a的取值范围为0≤a≤2.(12分)(3)g(x)=f1(x)+f2(x)2−|f1(x)−f2(x)|2=f2(x),f1(x)>f2(x)f1(x),f1(x)≤f2(x)(13分)∵f1(x)与f2(x)的底数都同为e，外函数都单调递增∴比较f1(x)与f2(x)的大小关系，只须比较|x−2a+1|与|x−a|+1的大小关系令F1(x)=|x−2a+1|，F2(x)=|x−a|+1，G(x)=F2(x),F1(x)>F2(x)F1(x),F1(x)≤F2(x)其中4≤a≤6，x∈[1,6](14分)∵4≤a≤6∴2a−1≥a≥1，令2a−1−x=1，得x=2a−2，由题意可以如下图象：(15分)当4≤a≤6时，a≤6≤2a−2，G(x)min=F2(a)=1，g(x)min=e1=e；(18分) 【解析】(1)对于a=2，x∈[2,3]，去掉绝对值得f(x)=e3−x+e x−1(3分)，利用基本不等式积为定值，和有最小值即可求出函数的最小值，注意等号成立的条件；(2)根据条件可知f1(x)≤f2(x)对于任意的实数x恒成立，转化成|x−2a+1|−|x−a|≤1对于任意的实数x恒成立，然后利用绝对值不等式进行求解即可求出参数a的范围；(3)f1(x)与f2(x)的底数都同为e，外函数都单调递增，比较f1(x)与f2(x)的大小关系，只须比较|x−2a+1|与|x−a|+1的大小关系，则令F1(x)=|x−2a+1|，F2(x)=|x−a|+1，则G(x)=F2(x),F1(x)>F2(x)F1(x),F1(x)≤F2(x)其中4≤a≤6，x∈[1,6]，结合图形可知当4≤a≤6时G(x)min=F2(a)=1，g(x)min=e1=e．本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，以及函数的最值及其几何意义和恒成立问题等有关知识，解决本题的关键是等价转化，以及数形结合，分类讨论的思想，难点是绝对值如何去．21.对于定义在[0,+∞)上的函数f(x)，若函数y=f(x)−(ax+b)满足：①在区间[0,+∞)上单调递减，②存在常数p，使其值域为(0,p]，则称函数g(x)=ax+b是函数f(x)的“逼进函数”．(1)判断函数g(x)=2x+5是不是函数f(x)=2x2+9x+11x+2，x∈[0,+∞)的“逼进函数”；(2)求证：函数g(x)=12x不是函数f(x)=(12)x，x∈[0,+∞)的“逼进函数”(3)若g(x)=ax是函数f(x)=x+ x2+1，x∈[0,+∞)的“逼进函数”，求a的值．【答案】解：(1)f(x)−g(x)=2x2+9x+11x+2−(2x+5)=1x+2，可得y=f(x)−g(x)在[0,+∞)递减，且x+2≥2，0<1x+2≤12，可得存在p=12，函数y的值域为(0,12]，则函数g(x)=2x+5是函数f(x)=2x2+9x+11x+2，x∈[0,+∞)的“逼进函数”；(2)证明：f(x)−g(x)=(12)x−12x，由y=(12)x，y=−12x在[0,+∞)递减，则函数y=f(x)−g(x)在[0,+∞)递减，则函数y=f(x)−g(x)在[0,+∞)的最大值为1；由x=1时，y=12−12=0，x=2时，y=14−1=−34<0，则函数y=f(x)−g(x)在[0,+∞)的值域为(−∞,1]，即有函数g(x)=12x不是函数f(x)=(12)x，x∈[0,+∞)的“逼进函数”；(3)g(x)=ax是函数f(x)=x+ x2+1，x∈[0,+∞)的“逼进函数”，可得y=x+2+1−ax为[0,+∞)的减函数，可得导数y′=1−a+ x2+1≤0在[0,+∞)恒成立，可得a−1≥x2+1，由x>0时， x2+1=1+12≤1，则a−1≥1，即a≥2；又y=x+ x2+1−ax在[0,+∞)的值域为(0,1]，则 x2+1>(a−1)x，x=0时，显然成立；x>0时，a−1<1+1，x可得a−1≤1，即a≤2．则a=2．【解析】(1)由f(x)−g(x)，化简整理，结合反比例函数的单调性和值域，即可判断；(2)由指数函数和一次函数的单调性，可得满足①，说明不满足②，即可得证；(3)由新定义，可得y=x+ x2+1−ax为[0,+∞)的减函数，求得导数，由不等式恒成立思想，可得a的范围；再由值域为(0,1]，结合不等式恒成立思想可得a的范围，即可得到a的值．本题考查新定义的理解和运用，考查函数的单调性和值域的求法和运用，考查导数的运用，以及不等式恒成立问题的解法，属于中档题．第11页，共11页。
上海交通大学附属中学2017-2018学年度第一学期 高一数学月考二试卷
上海交通大学附属中学2019-2019学年度第一学期高一数学月考二试卷一、填空题1.已知集合, , 则____________2.函数的定义域为____________3.已知, , 则____________4.函数的值域为____________5.若抛物线恒在直线上方, 则实数的取值范围为____________6.不等式的解集为, 则实数的取值范围是____________7.若, 则满足的的取值范围____________8.已知函数, , 若的图象关于轴对称, 则____________9.若函数在上的值域为，则____________10.密码学是一种密写技术，即把信息写成代码的技术。
将信息转换成保密语言的过程叫编码；有保密形式语言道出原始信息的过程称作译码。
凯撒（Julius Caesar公元前100~前44年）曾使用过一种密码系统, 现称为凯撒暗码。
按照这种系统的规划, 原始信息的字母都用另一字母代替, 后者在标准字母表中的位置比前者靠后三位（即暗码~原码后移3个位置）。
如: 标准字母表: ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ凯撒暗码表: DEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZABC这样就将信息“Julius Caesar”编码为“Mxolxv Fdhvdu”当你知道所得到的信息使用凯撒暗码写成的密码时, 译码工作很容易, 只需要把上述过程倒过来进行。
当然现在的密写技术要复杂许多, 这里我构造一种编码技术, 请同学根据编码过程自己破译一下：信息字母与编码后暗语字母的对应法则是：暗码=原码后移后得到的字母（为原码字母在语句中的位置即第几个字母, 若移出字母表则在后面续一张字母表, 其中□为取整符号, 空格不计数。
）那么若一句话的暗码为“Jnrzj PKNl”其原码是____________11.已知为无理数, 其代数式的值为整数, 则____________12.已知，其中，若对任意的非零实数总存在唯一的非零实数，使得成立，则实数的取值范围是____________二、选择题13.小明在期中考后, 对混合验血问题非常感兴趣, 于是他来到数学组办公室, 寻找出卷的鲍老师。
2017~2018学年3月上海宝山区上海交通大学附属中学数学试卷
2017~2018学年3月上海宝山区上海交通大学附属中学高一下学期月考数学试卷一、填空题1.已知，，则的取值范围是 ．2.已知角的终边在直线上，则的范围是 ．3.已知，，则 ．4.已知锐角终边上有一点，则 ．5.已知，，则 .6.已知，则 ．7.用表示不超过实数的最大整数，则．8.计算 ．9.已知，若 ．10.已知与是方程的解，若，则实数，的值为 ．11.已知，，且，均为锐角，则．12.下面这道填空题的原因造成横线上的内容无法认清，现知结论，请在横线上填写原题的个条件．题目：已知，均为锐角，且， ，则．二、选择题13.A. B. C. D.如果是第一象限角，那么恒有（ ）．14.A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限若，则是（ ）．15.A. B. C. D.设，均为锐角，则下列不等式一定成立的是（ ）．16.A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形，，是的三个内角，且，是方程的两个实数根，则是（ ）．三、解答题（本大题共5题，共计76分。
）17.已知，，，，求的值．18.已知，，求证：．19.计算三角比值时，我们常会用到对称思想来解题．例如：求证：（*），证明：设，，所以，而，于是（*）式．（1）（2）根据（*）的证明，计算下面两式的值．．．20.（1）（2）（3）对定义域是，的函数， ，规定：函数．若函数，，写出函数的解析式．求问题（）中函数的值域．若，其中是常数，且，请设计一个定义域为的函数，及一个的值，使得，并予以证明．且且21.（1）（2）（3）已知函数，如果存在给定的实数对，使得恒成立，则称为“函数”．判断函数，是否是“函数”．是一个“函数”，且存在满足条件的有序实数对．若定义域为的函数“函数”，且存在满足条件的有序实数对和，当是，的值域为，求当时函数的值域．。
2017-2018学年上海市交通大学附属中学高一上学期期末考数学试卷含详解
上海市交大附中2017-2018学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.“2x ＜”是“24x ＜”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C .充要条件D.既非充分也非必要条件2.设函数1,0(){1,0x f x x ->=<，则()()()()2a b a b f a b a b ++--≠的值为（）A.aB.bC.,a b 中较小的数D.,a b 中较大的数3.如图中，哪个最有可能是函数2xxy =的图象（）A. B.C. D.4.若定义在R 上的函数()f x 满足：对任意1,x 2x R ∈有1212()()()1f x x f x f x +=++则下列说法一定正确的是A.()f x 为奇函数B.()f x 为偶函数C.()1f x +为奇函数D.()1f x +为偶函数二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.若关于x 的不等式01x ax ->+的解集为()(),14,-∞-+∞ ，则实数=a ________6.设集合{}{}2|,|2A x x a B x x =<=<，若A B A = ，则实数a 的取值范围是_______．7.一条长度等于半径的弦所对的圆心角等于______弧度．8.若函数()2log 1f x x a =++（）的反函数的图象经过点41（，），则实数=a ______．9.若()123f x x x -=-，则满足0f x （）＞的x 的取值范围是______．10.已知()()74,1,1xa x a x f x a x ⎧--<=⎨≥⎩是-∞+∞（，）上的增函数，那么a 的取值范围是______．11.定义在R 上的偶函数y f x =（），当0x ≥时，2lg 32f x x x =++（）（），则()f x 在R 上的零点个数为______．12.设432f x x ax bx cx d （）=++++，11,22,33f f f ===（）（）（），则()()1044f f ⎡⎤+⎣⎦的值为______．13.设1f x -（）为241,[02]x f x x x -=+-∈（），的反函数，则1y f x f x -=+（）（）的最大值为______．14.已知函数()2()0430x a x f x x a x x ⎧-≤⎪=⎨++⎪⎩，，＞，且0f （）为()f x 的最小值，则实数a 的取值范围是______．15.设a b R ∈、，若函数()af x x b x=++在区间12（，）上有两个不同的零点，则1f （）的取值范围为______．16.已知下列四个命题：①函数2x f x =（）满足：对任意1212,x x R x x ∈≠，，有()()1212122x xf f x f x +⎛⎫≤+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭；②函数()(()22log 121xf x xg x =+=+-，均为奇函数；③若函数()f x 的图象关于点（1，0）成中心对称图形，且满足4f x f x -=（）（），那么22018f f =（）（）；④设12x x ，是关于x 的方程log 01a x k a a =≠（＞，）的两根，则121=x x 其中正确命题的序号是______．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.解关于x 的不等式：22121(log )log 10x a x a ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭＜18.设a R ∈，函数()331x x af x +=+；（1）求a 的值，使得()f x 为奇函数；（2）若()33a f x +＜对任意的x R ∈成立，求a 的取值范围19.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：C （x ）=(010),35kx x ≤≤+若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f （x ）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求k 的值及f(x)的表达式．（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．20.已知函数|211x a f x e -+=（）|，12,x a f xe x R -+=∈（）．（1）若2a =，求12f x f x f x =+（）（）（）在[23]x ∈，上的最小值；（2）若1221f x f x f xf x -=-（）（）（）（）对于任意的实数x R ∈恒成立，求a 的取值范围；（3）当46a ≤≤时，求函数()()()()()121222f x f x f x f xg x -+=-在[16]x ∈，上的最小值．21.对于定义在[0+∞，）上的函数()f x ，若函数y f x ax b =-+（）（）满足：①在区间[0+∞，）上单调递减，②存在常数p，使其值域为0]p （，，则称函数g x ax b =+（）是函数()f x 的“逼进函数”．（1）判断函数25g x x =+（）是不是函数()22911,[02x x f x x x ++=∈+∞+，）的“逼进函数”；（2）求证：函数()12g x x =不是函数()1,[02xf x x ⎛⎫=∈+∞ ⎪⎝⎭，），的“逼进函数”（3）若g x ax （）=是函数()[0f x x x =+∈+∞，）的“逼进函数”，求a 的值．上海市交大附中2017-2018学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.“2x ＜”是“24x ＜”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C .充要条件D.既非充分也非必要条件【答案】B【分析】先求出x 2＜4的充要条件，结合集合的包含关系判断即可．【详解】由x 2＜4，解得：﹣2＜x ＜2，故x ＜2是x 2＜4的必要不充分条件，故选B ．【点睛】本题考察了充分必要条件，考察集合的包含关系，是一道基础题．2.设函数1,0(){1,0x f x x ->=<，则()()()()2a b a b f a b a b ++--≠的值为（）A.aB.bC.,a b 中较小的数D.,a b 中较大的数【答案】C【详解】∵函数()1,(0),1,(0)x f x x ->⎧=⎨<⎩∴当a b >时，()()()()()b 22a b a b f a b a b a b ++-⋅-+--==;当a b <时，()()()()()a 22a b a b f a b a b a b ++-⋅-++-==;∴()()()()2a b a b f a b a b ++-⋅-≠的值为a ,b 中较小的数故选C3.如图中，哪个最有可能是函数2x xy =的图象（）A. B.C. D.【答案】A【分析】求出函数的导数，得到函数的单调性，从而判断出函数的大致图象即可．【详解】y ′22221222x x x xx ln xln --==，令y ′＞0，解得：x 12ln ＜，令y ′＜0，解得：x 12ln ＞，故函数在（﹣∞，12ln ）递增，在（12ln ，+∞）递减，而x ＝0时，函数值y ＝0，x →﹣∞时，y →﹣∞，x →+∞时，y →0，故选A ．【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.4.若定义在R 上的函数()f x 满足：对任意1,x 2x R ∈有1212()()()1f x x f x f x +=++则下列说法一定正确的是A.()f x 为奇函数 B.()f x 为偶函数C.()1f x +为奇函数D.()1f x +为偶函数【答案】C【详解】x 1=x 2=0，则()()()0001f f f =++，()01f ∴=-，令x 1=x ，x 2=-x ，则()()()01f f x f x =+-+，所以()()110f x f x ++-+=，即()()11f x f x ⎡⎤+=--+⎣⎦，()1f x +为奇函数，故选C.二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.若关于x 的不等式01x ax ->+的解集为()(),14,-∞-+∞ ，则实数=a ________【答案】4【分析】根据题意得()()10x a x -+=的两根为1-和4，从而可求出结果.【详解】因为关于x 的不等式01x ax ->+的解集为()(),14,-∞-+∞ ，所以不等式()()10x a x -+>的解集为()(),14,-∞-+∞ 即方程()()10x a x -+=的两根为1-和4，所以4a =，故答案为：4.6.设集合{}{}2|,|2A x x a B x x =<=<，若A B A = ，则实数a 的取值范围是_______．【答案】4a ≤【详解】试卷分析：由A B A ⋂=⇔A B ⊂，所以当A φ=时，满足A B ⊂，此时不等式2x a <无解，所以0a ≤，当A φ≠即0a >时，{}|0A x a =<，由A B ⊂可知204a ≤⇒<≤，综上可知实数a 的取值范围是4a ≤.考点：1.集合的运算；2.分类讨论的思想.7.一条长度等于半径的弦所对的圆心角等于______弧度．【答案】3π【分析】直接利用平面性质求出圆心角即可．【详解】由题意可知：△ABC 为等边三角形，所以圆心角等于3π.故答案为3π．【点睛】本题考查圆心角的求法，基本知识的考查．8.若函数()2log 1f x x a =++（）的反函数的图象经过点41（，），则实数=a ______．【答案】3【分析】由题意可得函数f （x ）＝log 2（x +1）+a 过（1，4），代入求得a 的值．【详解】函数f （x ）＝log 2（x +1）+a 的反函数的图象经过点（4，1），即函数f （x ）＝log 2（x +1）+a 的图象经过点（1，4），∴4＝log 2（1+1）+a ∴4＝1+a ，a ＝3．故答案为3．【点睛】本题考查了互为反函数的两个函数之间的关系与应用问题，属于基础题．9.若()123f x x x -=-，则满足0f x （）＞的x 的取值范围是______．【答案】（1，+∞）【分析】根据题意，将f （x ）＞0变形为73x ＞1，解可得x 的取值范围，即可得答案．【详解】若()123f x x x -=-，则满足f （x ）＞0，即1321x x＞，变形可得：73x ＞1，函数g （x ）73x =为增函数，且g （1）＝1，解可得：x ＞1，即x 的取值范围为（1，+∞）；故答案为（1，+∞）．【点睛】本题考查幂函数的图象与性质，属于基础题.10.已知()()74,1,1xa x a x f x a x ⎧--<=⎨≥⎩是-∞+∞（，）上的增函数，那么a 的取值范围是______．【答案】776⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】根据题意，由分段函数的单调性分析可得()70174a a a a a ⎧-⎪⎨⎪--≤⎩＞＞，解可得a 的取值范围，即可得答案．【详解】根据题意，f （x ）()7411x a x a x a x ⎧--=⎨≥⎩，＜，是（﹣∞，+∞）上的增函数，必有()70174a a a a a⎧-⎪⎨⎪--≤⎩＞＞，解可得76≤a ＜7，即a 的取值范围为：776⎡⎫⎪⎢⎣⎭故答案为776⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查了分段函数的图象与性质，注意三点：第一段单调性，第二段单调性，断点处的函数值的比较，属于中档题.11.定义在R 上的偶函数y f x =（），当0x ≥时，2lg 32f x x x =++（）（），则()f x 在R 上的零点个数为______．【答案】0【分析】求出x ≥0时函数的零点个数，结合奇偶性即可得到结果．【详解】当x ≥0时，f （x ）＝lg （x 2+3x +2），令lg （x 2+3x +2）＝0，即x 2+3x +1＝0，解得x32-±（舍去）．因为函数是定义在R 上的偶函数y ＝f （x ），所以函数的零点个数为：0个．故答案为0．【点睛】本题考查函数的零点的个数的求法，函数的奇偶性的应用，考查计算能力．12.设432f x x ax bx cx d （）=++++，11,22,33f f f ===（）（）（），则()()1044f f ⎡⎤+⎣⎦的值为______．【答案】7【分析】利用已知条件求出a 、b 、c 、d 的关系式，化简所求的表达式，求解即可．【详解】f （x ）＝x 4+ax 3+bx 2+cx +d ，f （1）＝1，f （2）＝2，f （3）＝3，可得：111684228127933a b c d a b c d a b c d ++++=⎧⎪++++=⎨⎪++++=⎩，∴b ＝﹣6a ﹣25；c ＝11a +61；d ＝﹣6a ﹣36，∴14[f （4）+f （0）]14=（256+64a +16b +4c +2d ）12=（128+32a +8b +2c +d ）12=（128+32a ﹣48a ﹣200+22a +122﹣6a ﹣36）12=⨯14＝7．【点睛】本题考查求函数的值，待定系数法的应用，考查计算能力．13.设1f x -（）为241,[02]x f x x x -=+-∈（），的反函数，则1y f x f x -=+（）（）的最大值为______．【答案】4【分析】由f （x ）＝4x ﹣2+x ﹣1在x ∈[0，2]上为增函数可得其值域，得到y ＝f ﹣1（x ）在[1516-，2]上为增函数，由函数的单调性求得y ＝f （x ）+f ﹣1（x ）的最大值【详解】由f （x ）＝4x ﹣2+x ﹣1在x ∈[0，2]上为增函数，得其值域为[1516-，2]，可得y ＝1f x -（）在[1516-，2]上为增函数，因此y ＝f （x ）+1f x -（）在[0，2]上为增函数，∴y ＝f （x ）+1f x -（）的最大值为f （2）+1f -（2）＝2+2＝4．故答案为4．【点睛】本题考查了互为反函数的两个函数图象间的关系，考查了函数的单调性，属中档题．14.已知函数()2()0430x a x f x x a x x ⎧-≤⎪=⎨++⎪⎩，，＞，且0f （）为()f x 的最小值，则实数a 的取值范围是______．【答案】[0，4]【分析】若f （0）为f （x ）的最小值，则当x ≤0时，函数f （x ）＝（x ﹣a ）2为减函数，当x ＞0时，函数f （x ）43x a x=++的最小值4+3a ≥f （0），进而得到实数a 的取值范围．【详解】若f （0）为f （x ）的最小值，则当x ≤0时，函数f （x ）＝（x ﹣a ）2为减函数，则a ≥0，当x ＞0时，函数f （x ）43x a x=++的最小值4+3a ≥f （0），即4+3a ≥a 2，解得：﹣1≤a ≤4，综上所述实数a 的取值范围是[0，4]，故答案为[0，4]【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，熟练掌握并理解二次函数和对勾函数的图象和性质，是解答的关键，属于中档题．15.设a b R ∈、，若函数()af x x b x=++在区间12（，）上有两个不同的零点，则1f （）的取值范围为______．【答案】（0，1）【分析】函数()af x x b x=++在区间（1，2）上有两个不同的零点，即方程x 2+bx +a ＝0在区间（1，2）上两个不相等的实根，利用线性规划知识即可得到结果.【详解】函数()af x x b x=++在区间（1，2）上有两个不同的零点，即方程x 2+bx +a ＝0在区间（1，2）上两个不相等的实根，⇒21224010420b b a a b b a ⎧-⎪⎪⎪-⎨⎪++⎪++⎪⎩＜＜＞＞＞⇒242410420b b a a b b a --⎧⎪⎪⎨++⎪⎪++⎩＜＜＞＞＞，如图画出数对（a ，b ）所表示的区域，目标函数z ＝f （1）=a +b +1∴z 的最小值为z ＝a +b +1过点（1，﹣2）时，z 的最大值为z ＝a +b +1过点（4，﹣4）时∴f （1）的取值范围为（0，1）故答案为（0，1）【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．16.已知下列四个命题：①函数2x f x =（）满足：对任意1212,x x R x x ∈≠，，有()()1212122x xf f x f x +⎛⎫≤+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭；②函数()(()22log 121x f x x g x =+=+-，均为奇函数；③若函数()f x 的图象关于点（1，0）成中心对称图形，且满足4f x f x -=（）（），那么22018f f =（）（）；④设12x x ，是关于x 的方程log 01a x k a a =≠（＞，）的两根，则121=x x 其中正确命题的序号是______．【答案】①②③④【分析】由指数的运算性质和基本不等式，可判断①；运用奇偶性的定义和性质，可判断②；由题意可得f （x ）+f （2﹣x ）＝0，结合条件可得f （x ）为最小正周期为4的函数，可得结论，可判断③；由对数的运算性质，可判断④．【详解】函数f （x ）＝2x 满足：对任意x 1，x 2∈R ，x 1≠x 2，f （x 1）+f （x 2）1222x x =+＞=2•1222x x +=2f （122x x +），故①正确；由x ＞0，x ＝0时，x 0成立；由x ＜0，x 2+1＞x 2-x ，即x 0，由f （﹣x ）+f （x ）＝log 2（x 2+1﹣x 2）＝0，即有f （x ）为奇函数；又g （﹣x ）+g （x ）＝2222121x x -++=--22221221x x x ⋅++=--0，可得g （x ）为奇函数．函数()(()22121x f x log x g x =+=+-，均为奇函数，故②正确；若函数f （x ）的图象关于点（1，0）成中心对称图形，可得f （x ）+f （2﹣x ）＝0，且满足f （4﹣x ）＝f （x ），则f （4﹣x ）＝﹣f （2﹣x ），即f （2+x ）＝﹣f （x ），可得f （x +4）＝﹣f （x +2）＝f （x ），即f （x ）为最小正周期为4的函数，可得f （2018）＝f （4×504+2）＝f （2），那么f （2）＝f （2018），故③正确；设x 1，x 2是关于x 的方程|log a x |＝k （a ＞0，a ≠1）的两根，可得log a x 1+log a x 2＝0，即log a x 1x 2＝0，则x 1x 2＝1，故④正确．故答案为①②③④．【点睛】本题考查函数的性质和运用，主要是函数的奇偶性和对称性、周期性的判断和运用，考查定义法和运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.解关于x 的不等式：22121(log )log 10x a x a ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭＜【答案】当a ＞1或-1＜a ＜0时，不等式的解集为122a a x x ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭．当1a =±时，解集为∅．当0＜a ＜1或a ＜-1时，不等式的解集为122a a x x x ⎧⎫⎧⎫⎪⎪<<⎨⎨⎬⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭．【分析】原不等式即（log 2x ﹣a ）•（log 2x 1a -）＜0，分类讨论a 与1a 的大小关系，求得log 2x 的范围，可得x 的范围．【详解】关于x 的不等式：()2212110log x a log x a ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭＜，即()222110log x a log x a-++（）＜，即221•0log x a log x a--（）（）＜．当1a a ＞时，即a ＞1或-1＜a ＜0时，21log x a a ＜＜，122a a x ＜＜，原不等式的解集为122a a x x ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭．当1a a=时，即1a =±时，不等式即()22log 0x a -<，显然它无解，即解集为∅．当1a a <时，即0＜a ＜1或a ＜-1时，21log x a a ＞＞，122a a x ＞＞，原不等式的解集为122a a x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭．【点睛】（1）解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函数的图象写出不等式的解集．（2）解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据根是否存在，即判别式的符号进行分类，最后当根存在时，再根据根的大小进行分类．18.设a R ∈，函数()331x x a f x +=+；（1）求a 的值，使得()f x 为奇函数；（2）若()33a f x +＜对任意的x R ∈成立，求a 的取值范围【答案】（1）1a =-；（2）302⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.【分析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得f （0）00331a +==+0，解可得a 的值，即可得答案；（2）根据题意，()33a f x ＜+变形可得3（a ﹣1）＜a （3x +1），分3种情况讨论，求出a 的取值范围，综合可得答案．【详解】（1）根据题意，函数()331x x a f x +=+，其定义域为R ，若f x （）为奇函数，则()0030031a f +==+，解可得1a （经检验适合）=-；故1a =-；（2）根据题意，()33a f x +＜，即33313x x a a ++<+，变形可得：1313x a a ＜-+，即3131x a a -+（）＜（），（①）分3种情况讨论：当a =0时，（①）变形为-3＜0，恒成立，当a ＞0时，（①）变形为3331x a a -+＜，若3331x a a -+＜恒成立，必有331a a -≤，解可得32a ≤，此时a 的取值范围为（0，32]，当a ＜0时，（①）变形为3331x a a ->+，不可能恒成立，综合可得：a 的取值范围为302⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．【点睛】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数恒成立问题，属于综合题．19.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：C （x ）=(010),35k x x ≤≤+若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f （x ）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求k 的值及f(x)的表达式．（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．【答案】40k =，因此40()35C x x =+.,当隔热层修建5cm 厚时，总费用达到最小值为70万元．【详解】解：（Ⅰ）设隔热层厚度为cm x ，由题设，每年能源消耗费用为()35k C x x =+.再由(0)8C =，得40k =，因此40()35C x x =+.而建造费用为1()6C x x=最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为140800()20()()2066(010)3535f x C x C x x x x x x =+=⨯+=+≤≤++（Ⅱ）22400'()6(35)f x x =-+，令'()0f x =，即224006(35)x =+.解得5x =，253x =-（舍去）.当05x 时，'()0f x ，当510x 时，'()0f x ，故5x =是()f x 的最小值点，对应的最小值为800(5)6570155f =⨯+=+．当隔热层修建5cm 厚时，总费用达到最小值为70万元．20.已知函数|211x a f x e -+=（）|，12,x a f x e x R -+=∈（）．（1）若2a =，求12f x f x f x =+（）（）（）在[23]x ∈，上的最小值；（2）若1221f x f x f xf x -=-（）（）（）（）对于任意的实数x R ∈恒成立，求a 的取值范围；（3）当46a ≤≤时，求函数()()()()()121222f x f x f x f xg x -+=-在[16]x ∈，上的最小值．【答案】(1)32(2)12a ≤≤(3)27min 71,(1),27(){,(4),2,(46).a a g x e a e a -≤<=≤<≤≤【详解】（1）32；（2）即12()()f x f x ≤恒成立，得211x a x a -+≤-+，即211x a x a -+--≤对x R ∈恒成立，因211x a x a a -+--≤-，故只需11a -≤，解得02a ≤≤，又16a ≤≤，故a 的取值范围为12a ≤≤．（3）112212(),()(),(){(),()().f x f x f xg x f x f x f x ≤=>①当12a ≤≤时，由（2）知211()()x a g x f x e -+==，当21[1,3]x a =-∈时，min ()1g x =．②当2<6a ≤时，(21)10a a a --=->，故21a a ->．x a ≤时，(21)112()()x a x a f x e e f x -+--++=>=，12()()x a g x f x e -+==；21x a ≥-时，(21)112()()x a x a f x e e f x ---+=<=，211()()x a g x f x e-+==；21a x a <<-时，由(21)112()()x a x a f x e e f x -+--+=≤=，得322a x -≥，其中32212a a a -<<-，故当32212a x a -≤<-时，|21|1()()x a g x f x e -+==；当322a a x -<<时，12()()x a g x f x e -+==.因此，当2<6a ≤时，1232(),,2(){32(),.2a f x x g x a f x x -≥=-<令211()x a f x e e -+==，得1222,2x a x a =-=，且32222a a -<-，如图，(ⅰ)当622a a ≤≤-，即46a ≤≤时，min 2()()g x f a e ==；(ⅱ)当22621a a -<≤-，即742a ≤<时，27min 1()(6)a g x f e -==；(ⅲ)当216a -<，即722a <<时，min 1()(21)1g x f a =-=．综上所述，27min 71,(1),27(){,(4),2,(46).a a g x e a e a -≤<=≤<≤≤21.对于定义在[0+∞，）上的函数()f x ，若函数y f x axb =-+（）（）满足：①在区间[0+∞，）上单调递减，②存在常数p，使其值域为0]p （，，则称函数g x ax b =+（）是函数()f x 的“逼进函数”．（1）判断函数25g x x =+（）是不是函数()22911,[02x x f x x x ++=∈+∞+，）的“逼进函数”；（2）求证：函数()12g x x =不是函数()1,[02xf x x ⎛⎫=∈+∞ ⎪⎝⎭，），的“逼进函数”（3）若g x ax （）=是函数()[0f x x x =+∈+∞，）的“逼进函数”，求a 的值．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）2.【分析】（1）由f （x ）﹣g （x ），化简整理，结合反比例函数的单调性和值域，即可判断；（2）由指数函数和一次函数的单调性，可得满足①，说明不满足②，即可得证；（3）由新定义，可得y ＝x -ax 为[0，+∞）的减函数，求得导数，由不等式恒成立思想，可得a 的范围；再由值域为（0，1]，结合不等式恒成立思想可得a 的范围，即可得到a 的值．【详解】（1）229112x x f x g x x ++-=+（）（）1252x x （）-+=+，可得y f x g x =-（）（）在[0，+∞）递减，且22x +≥，11022x ≤+＜，可得存在12p =，函数y 的值域为10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦，则函数25g x x （）=+是函数()229112x x f x x ++=+，[0x ，）∈+∞的“逼进函数”；（2）证明：1122x f x g x x -=-（）（）（，由12x y =（，12y x =-在[0，+∞）递减，则函数y f x g x =-（）（）在[0，+∞）递减，则函数y f x g x =-（）（）在[0，+∞）的最大值为1；由1x =时，11022y =-=，2x =时，131044y ＜=-=-，则函数y f x g x =-（）（）在[0，+∞）的值域为（-∞，1]，即有函数12g x x =（）不是函数12x f x =（）（），x ∈[0，+∞）的“逼进函数”；（3）g x ax =（）是函数()f x x =+，[0x ，）∈+∞的“逼进函数”，可得y x ax =+为[0，+∞）的减函数，可得导数'10y a =-≤在[0，+∞）恒成立，可得1a -≥，由x ＞01=≤，则11a -≥，即2a ≥；又y x ax =+在[0，+∞）的值域为（0，1]，()1a x >-，x =0时，显然成立；x ＞0时，1a -，可得11a -≤，即2a ≤．则a =2．【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查函数的单调性和值域的求法和运用，考查导数的运用，以及不等式恒成立问题的解法，属于中档题．。
2017-2018学年上海市重点中学高一上学期期中考试数学试题Word版含答案
2017-2018学年上海市重点中学高一上学期期中考试数学试题（考试时间：120分钟 满分：150分）一.填空题（1--6每小题4分，7--12每小题5分，共54分）1、方程组⎩⎨⎧=-=+0402x y x 的解组成的集合为 .2、写出命题“若0≥a 且0≥b ，则≥ab 0”的逆否命题： ．3、 不等式21≥-x 的解集为 ．4、设,0>x 当=x 时，xx 21+取到最小值． 5、已知集合},1|{2R x x y y M ∈-==,}3|{2xx y x N -==，则=⋂N M ___________． 6、()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0<x 时，1)(2++=x x x f ，则0>x 时，=)(x f ．7、已知命题42:<≤x α，命题β:m x m -≤≤+6，且β是α的必要非充分条件，则实数m 的取值范围是 ．8、设函数⎪⎩⎪⎨⎧>-≤++=0,0,22)(22x x x x x x f ，若2))((=a f f ，则=a .9、关于x 的不等式01222>-++-k k kx x 的解集为{},x x a x R ≠∈，则实数a =______. 10、若不等式()0≤x f 的解集是[3,2]-，不等式()0≤x g 的解集是φ，且()x f ，()x g 中，R x ∈，则不等式()()0>x g x f 的解集为 . 11、设关于x 的不等式210ax x a-<-的解集为S ，且S S ∉∈3,2，则实数a 的取值范围为 ．12、设函数()⎩⎨⎧∈-∈=M x x P x xx f ，其中P 、M 是实数集R 的两个非空子集，又规定()(){}P x x f y y P A ∈==,，()(){}M x x f y y M A ∈==,，下列所有错误的说法的序号是 .（1）若φ=⋂M P ，则()()φ=⋂M A P A ；（2）若R M P ≠⋃，则()()R M A P A ≠⋃； （3）若φ≠⋂M P ，则()()φ≠⋂M A P A ；（4）若R M P =⋃，则()()R M A P A =⋃。
交大附中2017-2018高一上期末数学卷(含答案)
往年模考题目，一模还是二模忘了 很多学校考过
20.（1）证明略；（2）是“逼近数列”；；（3） a = 2 .
可参考 2018 届（今年）青浦区高三一模最后一题
年的隔热层， 厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元。该建筑物 年的能源消耗费用 C （单位：万元）与隔热层厚度
x （单位：cm ）满足关系: C(x) =
k 3x +
5
(0
≤
x
≤ 10), 若不建隔热层，
年能源消耗费用为 8 万元.设 f (x) 为隔热
层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和.
（1）求 k 的值及 f (x) 的表达式.
（1）求证：函数 g(x) = 1 x 不是函数 f (x) = (1 )x ， x ∈[0,+∞) 的“逼近函数”；
2
2
（2）判断函数
g(x)
=
2x
+
5 是不是函数
f
(x)
=
2x2
+ 9x +11 x+2
，
x ∈[0,+∞)
的“线性替代函数”；
（3）若 g(x) = ax 是函数 f (x) = x + x2 +1 ， x ∈[0,+∞) 的“线性替代函数”，求 a 的值.
(x) =
2x
满足：对任意
x1, x2
∈ R, x1
≠
x2
，有
f
x1
+ x2 2
<
1[f
2
(x1 ) +
f
(x2 )]；
( ) ②函数 f (x) = log2 x +
x2
(精品)2016-2017学年上海市交通大学附中高一(下)期中数学试卷(解析版)
2016-2017学年上海市交通大学附中高一（下）期中数学试卷一、填空题1．（3分）已知角α的顶点在坐标原点，始边在x轴的正半轴上，其终边上有一点P（5，﹣12），则secα=．2．（3分）arccos（﹣）=．3．（3分）已知扇形的圆心角为2弧度，面积为9cm2，则该扇形的弧长为cm．4．（3分）设sinα=，α∈（，π），则tanα的值为．5．（3分）函数的最小正周期为．6．（3分）若cosxcosy+sinxsiny=，则cos（2x﹣2y）=．7．（3分）函数y=sinx+arcsinx的值域是．8．（3分）关于x的方程cos2x+sinx+a=0在上有解，则a的取值范围是．9．（3分）设函数的最大值为M，最小值为m，则M+m=．10．（3分）已知sinα=3sin（α+），则tan（α+）=．11．（3分）已知△ABC，若存在△A1B1C1，满足，则称△A1B1C1是△ABC的一个“对偶”三角形，若等腰△ABC存在“对偶”三角形，则其底角的弧度数为．12．（3分）已知函数y=kcos（kx）在区间单调递减，则实数k的取值范围为．二、选择题13．（3分）方程tanx=2的解集为（）A．{x|x=2kπ+arctan2，k∈Z}B．{x|x=2kπ±arctan2，k∈Z}C．{x|x=kπ+arctan2，k∈Z}D．{x|x=kπ+（﹣1）k arctan2，k∈Z}14．（3分）已知函数y=Asin（ωx+φ）+m（A＞0，ω＞0）的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线是其图象的一条对称轴，则符合条件的函数解析式是（）A． B．C．D．15．（3分）函数y=2sin（﹣2x），（x∈[0，π]）为增函数的区间是（）A．[0，]B．[，] C．[，]D．[，π]16．（3分）已知α，β，γ是某三角形的三个内角，给出下列四组数据：①sinα，sinβ，sinγ；②sin2α，sin2β，sin2γ；③；④分别以每组数据作为三条线段的长，其中一定能构成三角形的有（）A．1组 B．2组 C．3组 D．4组三、解答题17．设，且α，β满足（1）求的值．（2）求cos（α+β）的值．18．如图，等腰三角形ABC中，∠B=∠C，D在BC上，∠BAD大小为α，∠CAD大小为β．（1）若，求；（2）若，求∠B．19．某景区欲建两条圆形观景步道M1，M2（宽度忽略不计），如图所示，已知AB⊥AC，AB=AC=AD=60（单位：米），要求圆M与AB，AD分别相切于点B，D，圆M2与AC，AD分别相切于点C，D．（1）若，求圆M1，M2的半径（结果精确到0.1米）（2）若观景步道M1，M2的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元，则当∠BAD多大时，总造价最低？最低总造价是多少？（结果分别精确到0.1°和0.1千元）20．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知=4cosBcosC．（1）求角A的大小；（2）若a=2，求△ABC面积的取值范围；（3）若sinB=psinC，试确定实数p的取值范围，使△ABC是锐角三角形．21．已知集合P是满足下述性质的函数f（x）的全体：存在非零常数M，对于任意的x∈R，都有f（x+M）=﹣Mf（x）成立．（1）设函数g（x）=sinπx，试证明：g（x）∈P；（2）当M=1时，试说明函数f（x）的一个性质，并加以证明；（3）若函数h（x）=sinωx∈P，求实数ω的取值范围．2016-2017学年上海市交通大学附中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．（3分）（2017春•杨浦区校级期中）已知角α的顶点在坐标原点，始边在x轴的正半轴上，其终边上有一点P（5，﹣12），则secα=．【解答】解：由题意可得x=5，y=﹣12，r=|OP|=13，∴cosα==，∴secα=．故答案为：．2．（3分）（2017春•杨浦区校级期中）arccos（﹣）=．【解答】解：===．故答案为：．3．（3分）（2017春•杨浦区校级期中）已知扇形的圆心角为2弧度，面积为9cm2，则该扇形的弧长为6 cm．【解答】解：设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，扇形的面积为S，则：r2===9．解得r=3∴扇形的弧长为l=rα=3×2=6l=rα=3×2=6cm．故答案为：6．4．（3分）（2016春•金山区校级期末）设sinα=，α∈（，π），则tanα的值为﹣．【解答】解：∵sinα=，α∈（，π），∴cosα=﹣=﹣，∴tanα===﹣．故答案为：﹣．5．（3分）（2017春•杨浦区校级期中）函数的最小正周期为π．【解答】解：函数=2﹣1+1=﹣cos（2x+）+1 的最小正周期为=π，故答案为：π．6．（3分）（2013•上海）若cosxcosy+sinxsiny=，则cos（2x﹣2y）=﹣．【解答】解：∵cosxcosy+sinxsiny=cos（x﹣y）=，∴cos（2x﹣2y）=cos2（x﹣y）=2cos2（x﹣y）﹣1=﹣．故答案为：﹣．7．（3分）（2005•上海）函数y=sinx+arcsinx的值域是[﹣sin1﹣，sin1+] ．【解答】解：函数y=sinx+arcsinx的定义域为[﹣1，1]，且在此定义域内单调递增，故当x=﹣1时，函数y=sinx+arcsinx有最小值﹣sin1+（﹣）=﹣sin1﹣．故当x=1时，函数y=sinx+arcsinx有最大值sin1+，故函数y=sinx+arcsinx的值域是[﹣sin1﹣，sin1+]，故答案为[﹣sin1﹣，sin1+]．8．（3分）（2017春•杨浦区校级期中）关于x的方程cos2x+sinx+a=0在上有解，则a的取值范围是．【解答】解：由cos2x+sinx+a=0，转化为：1﹣sin2x+sinx+a=0，即（sinx﹣）2=∵上，sinx∈（0，1）∴sinx﹣∈（，]则（sinx﹣）2∈[0，]∴∴a的取值范围是．故答案为．9．（3分）（2017春•杨浦区校级期中）设函数的最大值为M，最小值为m，则M+m=2．【解答】解：由题可知t=sinx∈[﹣1，1]，则y=f（x）=1+，令z=，则当t=0时z=0，且函数z为奇函数，所以z max+z min=0，又因为M+m=（1+z max）+（1+z min），所以M+m=2+（z max+z min）=2，故答案为：2．10．（3分）（2017•江苏一模）已知sinα=3sin（α+），则tan（α+）=2﹣4．【解答】解：sinα=3sin（α+）=3sinαcos+3cosαsin=sinα+cosα，∴tanα=．又tan=tan（﹣）===2﹣，∴tan（α+）====﹣=2﹣4，故答案为：2﹣4．11．（3分）（2017春•杨浦区校级期中）已知△ABC，若存在△A1B1C1，满足，则称△A1B1C1是△ABC的一个“对偶”三角形，若等腰△ABC存在“对偶”三角形，则其底角的弧度数为．【解答】解：设A=B，由已知得sinA1=sinB1，cosA=sinA1，cosB=sinB1，cosC=sinC1，则A1=B1，所以A+A1=，B+B1=，C+C1=（舍）或A+A1=，B+B1=，C=C1﹣，解得C=，A=B==．故答案是：．12．（3分）（2017春•杨浦区校级期中）已知函数y=kcos（kx）在区间单调递减，则实数k 的取值范围为[﹣6，﹣4]∪（0，3]∪[8，9]∪{﹣12} ．【解答】解：当k＞0时，令2mπ≤kx≤π+2mπ，解得≤x≤+，m∈Z，∵函数y=kcos（kx）在区间单调递减，∴，解得，m∈Z，∴0＜k≤3或8≤k≤9．当k＜0时，令﹣π+2mπ≤﹣kx≤2mπ，解得﹣≤x≤﹣，m∈Z，∵函数y=kcos（kx）在区间单调递减，∴，解得，m∈Z，∴﹣6≤k≤﹣4，或k=﹣12，综上，k的取值范围是[﹣6，﹣4]∪（0，3]∪[8，9]∪{﹣12}．故答案为：[﹣6，﹣4]∪（0，3]∪[8，9]∪{﹣12}．二、选择题13．（3分）（2011•浦东新区二模）方程tanx=2的解集为（）A．{x|x=2kπ+arctan2，k∈Z}B．{x|x=2kπ±arctan2，k∈Z}C．{x|x=kπ+arctan2，k∈Z}D．{x|x=kπ+（﹣1）k arctan2，k∈Z}【解答】解：由tanx=2，根据正切函数图象及周期可知：x=kπ+arctan2．故选C14．（3分）（2017春•杨浦区校级期中）已知函数y=Asin（ωx+φ）+m（A＞0，ω＞0）的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线是其图象的一条对称轴，则符合条件的函数解析式是（）A． B．C．D．【解答】解：由题意可得A+m=4，A﹣m=0，解得A=2，m=2．再由最小正周期为，可得=，解得ω=4，∴函数y=Asin（ωx+φ）+m=2sin（4x+φ）+2．再由x=是其图象的一条对称轴，可得4×+φ=kπ+，k∈Z，又|φ|＜，∴φ=，故符合条件的函数解析式是y=2sin（4x+）+2，故选D．15．（3分）（2017春•杨浦区校级期中）函数y=2sin（﹣2x），（x∈[0，π]）为增函数的区间是（）A．[0，]B．[，] C．[，]D．[，π]【解答】解：∵y=2sin（﹣2x）=﹣2sin（2x﹣），∴只要求y=2sin（2x﹣）的减区间，∵y=sinx的减区间为[2kπ+，2kπ+]，∴令2x﹣∈[2kπ+，2kπ+]，解得x∈[kπ+，kπ+]，又x∈[0，π]，∴x∈[，]．故选：C．16．（3分）（2017春•杨浦区校级期中）已知α，β，γ是某三角形的三个内角，给出下列四组数据：①sinα，sinβ，sinγ；②sin2α，sin2β，sin2γ；③；④分别以每组数据作为三条线段的长，其中一定能构成三角形的有（）A．1组 B．2组 C．3组 D．4组【解答】解：∵α，β，γ是某三角形的三个内角，设α，β，γ的对边分别为a，b，c，不妨令α≤β≤γ，则a≤b≤c，则a+b＞c．则①中，sinα=，sinβ=，sinγ=；则+＞，故一定能构成三角形；②中，sin2α=，sin2β=，sin2γ=，由+＞仅在a2+b2﹣c2＞0，即cosγ＞0时成立，故不一定能构成三角形．③中，+﹣=+＞0恒成立．恒成立，故一定能构成三角形，故③正确．④中，当α=β=30°时γ=120°，tan+tan﹣tan＜0，故不一定能构成三角形，故①③正确，故选：B．三、解答题17．（2011•广东校级模拟）设，且α，β满足（1）求的值．（2）求cos（α+β）的值．【解答】解：（1）∵5sinα+5cosα=8，∴10（sinα+cosα）=8，即sin（α+）=，（3分）∵α∈（0，），∴α+∈（，），∴cos（α+）==；（4分）（2）又∵sinβ+cosβ=2，∴2（sinβ+cosβ）=2，即sin（β+）=，（6分）∵β∈（，），∴β+∈（，），∴cos（β+）=﹣，（7分）∴cos（α+β）=sin[+（α+β）]=sin[（α+）+（β+）]=sin（α+）cos（β+）+cos（α+）sin（β+）=×（﹣）+×=﹣．（12分）18．（2017春•杨浦区校级期中）如图，等腰三角形ABC中，∠B=∠C，D在BC上，∠BAD大小为α，∠CAD大小为β．（1）若，求；（2）若，求∠B．【解答】解：（1）在△ABD中，由正弦定理得，在△ACD中，由正弦定理得，∵∠B=∠C，∴，∴==．（2）由（1）知==，又β=α+，∴sinβ=sin（）=sinα+cosα，∴sinα+cosα=2sinα，即cosα=3sinα，∴tanα=，∴α=，β=，∴B=（π﹣α﹣β）=．19．（2017春•杨浦区校级期中）某景区欲建两条圆形观景步道M1，M2（宽度忽略不计），如图所示，已知AB⊥AC，AB=AC=AD=60（单位：米），要求圆M与AB，AD分别相切于点B，D，圆M2与AC，AD 分别相切于点C，D．（1）若，求圆M1，M2的半径（结果精确到0.1米）（2）若观景步道M1，M2的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元，则当∠BAD多大时，总造价最低？最低总造价是多少？（结果分别精确到0.1°和0.1千元）【解答】解：（1）连结M1M2，AM1，AM2，∵圆M1与AB，AD相切于B，D，圆M2与AC，AD分别相切于点C，D，∴M1，M2⊥AD，∠M1AD=∠BAD=，∠M2AD=，∴M1B=ABtan∠M1AB=60×=20≈34.6（米），∵tan==，∴tan=2﹣，同理可得：M2D=60×tan=60（2﹣）≈16.1（米）．（2）设∠BAD=2α（0＜α＜），由（1）可知圆M1的半径为60tanα，圆M2的半径为60tan（45°﹣α），设观景步道总造价为y千元，则y=0.8•2π•60tanα+0.9•2π•60tan（45°﹣α）=96πtanα+108π•，设1+tanα=x，则tanα=x﹣1，且1＜x＜2．∴y=96π（x﹣1）+108π（）=12π•（8x+﹣17）≥84π≈263.8，当且仅当8x=即x=时取等号，当x=时，tanα=，∴α≈26.6°，2α≈53.2°．∴当∠BAD为53.2°时，观景步道造价最低，最低造价为263.8千元．20．（2017春•杨浦区校级期中）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知=4cosBcosC．（1）求角A的大小；（2）若a=2，求△ABC面积的取值范围；（3）若sinB=psinC，试确定实数p的取值范围，使△ABC是锐角三角形．【解答】解：（1）∵=4cosBcosC，∴3sinBsinC+cosBcosC﹣sinBcosC﹣cosBsinC，∴﹣sin（B+C）=3cos（B+C），∴tan（B+C）=﹣，∴tanA=，∴A=，（2）由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA，∴4=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc=bc，当且仅当b=c时取等号，=bcsinA≤×4×=，∴S△ABC∴△ABC面积的取值范围为（0，]，（3）sinB=psinC，∴p===+，∵△ABC为锐角三角形，A=，∴＜C＜，∴tanC＞，∴＜p＜2，即p的范围为21．（2017春•杨浦区校级期中）已知集合P是满足下述性质的函数f（x）的全体：存在非零常数M，对于任意的x∈R，都有f（x+M）=﹣Mf（x）成立．（1）设函数g（x）=sinπx，试证明：g（x）∈P；（2）当M=1时，试说明函数f（x）的一个性质，并加以证明；（3）若函数h（x）=sinωx∈P，求实数ω的取值范围．【解答】解：（1）取M=1 对于任意x∈R，g（x+M）=sin（πx+π）=﹣sinπx=﹣g（x）=Mf（x）∴g（x）∈P（2）M=1时，f（x+1）=﹣f（x）f（x+2）=﹣f（x+1）=f（x）∴f（x）是一个周期函数，周期为2；（3）∵h（x）=sinωx∈P∴存在非零常数M，对于对于任意的x∈R，都有h（x+M）=﹣Mh（x）成立．既sin（ωx+ωM）=﹣Msinωx若|M|＞1，取sinωx=1，则sin（ωx+ωM）=﹣M对x∈R恒成立时不可能的．若|M|＜1，取sin（ωx+ωM）=1，则对x∈R也不成立．∴M=±1当M=1时sin（ωx+ω）=﹣sinωx，sin（ωx+ω）+sinωx=0，（x∈R），解得：ω=2kπ+π（k∈Z）；当M=﹣1时sin（ωx﹣ω）=sinωx，sin（ωx﹣ω）﹣sinωx=0，（x∈R），解得：ω=2kπk∈Z综上可得ω=kπ（k∈Z）:qiss；沂蒙松；w3239003；caoqz；sllwyn；左杰；cst；zhczcb；lcb001；742048；whgcn；wfy814（排名不分先后）菁优网2017年6月6日。
上海大学附属中学2017-2018学年高一上学期第一次诊断测试数学试题Word版含答案
2017-2018学年第一学期上大附中第一次诊断测试高一年级数学试卷题号1～12 13～16 17 18 19 20 21 总分得分说明：本卷共21道试题，满分100分，时间90分钟。
一．填空题（每小题3分，共36分）1.不等式01x x的解集为2.设全集1x x U ，5x x M ，则M C U =3.已知集合2,3,12,3,1m B m A ，若A B ，则实数m =4.已知Z b a,, “若b a,都是奇数，则b a 是偶数”的逆否是5.写出“0x ”的一个必要非充分条件是6. 集合06ax x A ，0232x x x B 且B A ，则实数a =7. 已知集合2|23,A y y x x x R ，2|213,B y y x x x R ，那么A B =8. 已知不等式220ax x c 的解集为{|13}x x ，则a c =9. 设集合43m x m x M ，n x n x N 31，且N M ,都是集合10x x 的子集，如果把a b 叫做集合b x a x 的长度，那么集合N M 的长度的最小值是10.设7,6,5,4,3,2,1A ;A a 时，必有A a 8,A 的个数为___ _11.记x 为小于或等于x 的最大整数，则集合1x x x M 的子集有__ _ 个12. 设集合{123456}M ，，，，，，12k S S S ，，，都是M 的含两个元素的子集，且满足：对任意的{}i i i S a b ，，{}j j j S a b ，（i j ，{123}i j k 、，，，，），都有min min j j i i i i j ja b a b b a b a ，，（min{}x y ，表示两个数x y ，中的较小者），则k 的最大值是二．选择题（每小题4分，共16分）13.如果22b a ，那么下列不等式中正确的是,,,,,,,,,（）A.b a 0B.0b aC. b aD. ba 14.设集合01m m P ，Q 0442mx mx R m 对于x R 恒成立，则下列关系中成立的是,,,,,,,,（）A. Q PB. P QC. Q PD. QP 15. 已知R a ,不等式13a x x 的解集为P ,且P 2,则a 的取值范围是（）A ．3a B. 23a C.2a 或3a D. 2a 或3a 16．设222,111,,,,cb ac b a 均为非零常数，不等式01121c x b x a 和02222c x b x a 的解集分别为N M ,，则“212121c c b b a a ”是“N M ”的（）A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件三．解答题（共48分）17.（8分）比较22y x 与524y x 的大小。
上海市交通大学附属中学2017-2018学年高三上学期摸底考试数学试题 Word版含解析
上海交通大学附属中学2017-2018学年度高三第一学期数学摸底试卷本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟。
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1、设全集U={1, 3, 5, 7}，集合M={1,| a-5 |} ，，{5, 7} ，则实数a的值是____________.2或8；2、若复数z满足其中i为虚数单位，则z=__________.12i3、若双曲线中心在坐标原点，一个焦点为F（10,0），两条渐近线的方程为，则该双曲线的标准方程为____________.4、行列式的第2行第3列元素的代数余子式的值为.45、若变量满足约束条件，则的最小值为_________.-76、五位同学排成一排，其中甲、乙必须在一起，而丙、丁不能在一起的排法有_______种.24a}为等差数列，为其前项和.若，则.64 7、已知{n8、设（x2+1）(2x+1)9=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+ a11(x+2)11，则a0+a1+a2+…+ a11=_________.-29、一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为________.10、函数为奇函数，则实数a的值为__________.1或-111、关于x的方程|x|=ax+1有且仅有一个负根，则实数a的取值范围是_________.=sgnxB、sgn=-sgnxC、sgn=sgnD、sgn=-sgn三、解答题（本大题满分74分）19、（本题满分12分）本题共有2个小题，第(1)小题满分5分，第(2)小题满分7分．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（I）求C；（II）若的面积为，求△ABC的周长．20、（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分10分．如图，在四棱锥P–ABCD中，AD∥BC，ADC=PAB=90°，BC=CD=AD，E为边AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°.（I ）在平面PAB 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PBE ，并说明理由；（II ）若二面角P –CD –A 的大小为45°，求直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值.21、（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分． 已知，函数F （x ）=min{2|x −1|，x 2−2ax +4a −2}，其中min{p ，q }=（I ）求使得等式F （x ）=x 2−2ax +4a −2成立的x 的取值范围； （II ）求F （x ）在区间上的最大值M （a ）. 【答案】（I ）；（II ）．22、（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分6分．各项均为正数的数列{}n b 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n ，都有2(1)n n n S b b =+． （1）求数列{}n b 的通项公式；（2）如果等比数列{}n a 共有2016项，其首项与公比均为2，在数列{}n a 的每相邻两项i a 与1i a +之间插入i 个*(1)()i i b i -∈N 后，得到一个新的数列{}n c ．求数列{}n c 中所有项的和；（3）是否存在实数，使得存在，使不等式成立，若存在，求实数的范围，若不存在，请说明理由．23、（本题满分18分）本题共有3个小题．第1小题3分，第2小题6分，第3小题9分．如图，已知曲线221:12x C y -=，曲线2:||||1C y x =+，P 是平面上一点，若存在过点P 的直线与12,C C 都有公共点，则称P 为“C 1—C 2型点”．(1)在正确证明1C 的左焦点是“C 1—C 2型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；(2)设直线y kx =与2C 有公共点，求证||1k >，进而证明原点不是“C 1—C 2型点”； (3)求证：圆2212x y +=内的点都不是“C 1—C 2型点”．2016-2017学年上海交大附中高三（上）摸底数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）设全集U={1，3，5，7}，集合M={1，|a ﹣5|}，C U M={5，7}，则a 的值为 2或8 ． 【考点】补集及其运算． 【专题】计算题．【分析】题目给出了全集U={1，3，5，7}，给出了全集的子集M 及M 的补集，由M∪（C U M ）=U 可求a 的值．【解答】解：由U={1，3，5，7}，且C U M={5，7}，所以，M={1，3}， 又集合M={1，|a ﹣5|}，所以|a ﹣5|=3． 所以，实数a 的值为2或8． 故答案为：2或8【点评】本题考查了补集及其运算，解答此题的关键是一个集合与其补集的并集等于全集，此题是基础题．2．（4分）（2016秋•杨浦区校级月考）若复数z满足2z+=3﹣2i，其中i为虚数单位，则z= 1﹣2i ．【考点】复数代数形式的加减运算．【专题】计算题；整体思想；定义法；数系的扩充和复数．【分析】设复数z=a+bi，（a、b是实数），则=a﹣bi，代入已知等式，再根据复数相等的含义可得a、b的值，从而得到复数z的值．【解答】解：设z=a+bi，（a、b是实数），则=a﹣bi，∵2z+=3﹣2i，∴2a+2bi+a﹣bi=3﹣2i，∴3a=3，b=﹣2，解得a=1，b=﹣2，则z=1﹣2i故答案为：1﹣2i．【点评】本题给出一个复数乘以虚数单位后得到的复数，求这个复数的值，着重考查了复数的四则运算和复数相等的含义，属于基础题．3．（4分）（2011•福建模拟）已知双曲线的中心在坐标原点，一个焦点为F（10，0），两条渐近线的方程为y=±，则该双曲线的标准方程为．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】由题意得，c=10，=，100=a2+b2，解出a和b的值，即得所求的双曲线的标准方程．【解答】解：由题意得，c=10，=，100=a2+b2，∴a=6，b=8，故该双曲线的标准方程为，故答案为．【点评】本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用．4．（4分）（2016秋•杨浦区校级月考）行列式的第2行第3列元素的代数余子式的值为 4 ．【考点】三阶矩阵．【专题】选作题；转化思想；综合法；矩阵和变换．【分析】根据余子式的定义可知，在行列式中划去第2行第3列后所余下的2阶行列式为第3行第3列元素的代数余子式，求出值即可．【解答】解：由题意得第2行第3列元素的代数余子式M23=﹣=8﹣4=4故答案为：4．【点评】此题考查学生掌握三阶行列式的余子式的定义，会进行矩阵的运算，是一道基础题．5．（4分）（2016春•黔西南州校级期末）若变量x，y满足约束条件，则z=3x﹣y的最小值为﹣7 ．【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．【解答】解：x，y满足约束条件对应的平面区域如图：当直线y=3x﹣z经过C时使得z最小，解得，所以C （﹣2，1），所以z=3x﹣y的最小值为﹣2×3﹣1=﹣7；故答案为：﹣7．【点评】本题考查了简单的线性规划，关键是正确画出平面区域，利用z的几何意义求最值；考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．6．（4分）（2016秋•杨浦区校级月考）五位同学排成一排，其中甲、乙必须在一起，而丙、丁不能在一起的排法有24 种．【考点】排列、组合及简单计数问题．【专题】应用题；方程思想；综合法；排列组合．【分析】根据题意，先使用捆绑法，将甲乙看成一个“元素”，再将丙、丁单独排列，进而将若甲、乙与第5个元素分类讨论，分析丙丁之间的不同情况，由乘法原理，计算可得答案．【解答】解：根据题意，先将甲乙看成一个“元素”，有2种不同的排法，将丙、丁单独排列，也有2种不同的排法，若甲、乙与第5个元素只有一个在丙丁之间，则有2×C21=4种情况，若甲、乙与第5个元素都在丙丁之间，有2种不同的排法，则不同的排法共有2×2×（2+4）=24种情况；故答案为：24．【点评】本题考查排列、组合的综合运用，涉及相邻与不能相邻的特殊要求，注意处理这几种情况的特殊方法．7．（4分已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和．若a1+a9=18，a4=7，则S8= 64 ．【考点】等差数列的前n项和．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】由等差数列的性质可得：a1+a9=18=2a5，解得a5．可得S8==4（a4+a5）．【解答】解：由等差数列的性质可得：a1+a9=18=2a5，解得a5=9．又a4=7，则S8==4（a4+a5）=4×（9+7）=64．故答案为：7=64．【点评】本题考查了等差数列的性质及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．（4分）（2014•余杭区校级模拟）若（x2+1）（2x+1）9=a0+a1（x+2）+a2（x+2）2+…+a11（x+2）11，则a0+a1+…+a11的值为﹣2 ．【考点】二项式定理．【专题】计算题．【分析】本题通过赋值法进行求解，在题干所给的式子中令x=﹣1，即可得到所求的结果．【解答】解：∵（x2+1）（2x+1）9=a0+a1（x+2）+a2（x+2）2+…+a11（x+2）11∴在上式中，令x=﹣1：（（﹣1）2+1）（2（﹣1）+1）2=a0+a1+…+a11即a0+a1+…+a11=﹣2故答案为：﹣2【点评】本题通过赋值法进行求解，另外此种方法在函数的求值问题也常用到，属于基础题．9．（4分）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；方程思想；综合法；立体几何．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥，进而可得答案．【解答】解：由三视图可知，上面是半径为的半球，体积为V==，下面是底面积为1，高为1的四棱锥，体积，所以该几何体的体积为．故答案为．【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．10．（4分）函数f（x）=为奇函数，则实数a的值为1或﹣1 ．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】综合题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】函数f（x）=为奇函数，可得=﹣，化简即可得出结论．【解答】解：∵函数f（x）=为奇函数，∴=﹣，∴=﹣，∴a=1或﹣1．故答案为1或﹣1．【点评】本题考查了奇函数的性质，考查学生的计算能力，属于基础题．11．（4分）（已知关于x的方程|x|=ax+1有一个负根，但没有正根，则实数a的取值范围是a≥1 ．【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】数形结合．【分析】构造函数y=|x|，y=ax+1，在坐标系内作出函数图象，通过数形结合求出a的范围．【解答】解：令y=|x|，y=ax+1，在坐标系内作出函数图象，方程|x|=ax+1有一个负根，但没有正根，由图象可知a≥1故答案为：a≥1【点评】本题考查根的存在性及根的个数判断，考查数形结合思想，计算能力，是基础题．12．（4分）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2=2px（p＞0）上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|=2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为．【考点】抛物线的简单性质．【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据体积，建立方程组，求出M的坐标，可得直线OM的斜率，利用基本不等式可得结论．【解答】解：设P（2pt，2pt），M（x，y），则，∴x=，y=，∴k OM==≤=，当且仅当t=时取等号，∴直线OM的斜率的最大值为．故答案为：．【点评】本题考查抛物线的方程及运用，考查直线的斜率的最大值，考查基本不等式，考查运算能力，属于中档题．13．（4分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）单调，则ω的最大值为9 ．【考点】正弦函数的图象．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】先跟据正弦函数的零点以及它的图象的对称性，判断ω为奇数，由f（x）在（，）单调，可得ω•+φ≥2kπ﹣，且ω•+φ≤2kπ+，k∈Z，由此求得ω的范围，检验可得它的最大值．【解答】解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，∴ω（﹣）+φ=nπ，n∈Z，且ω•+φ=n′π+，n′∈Z，∴相减可得ω•=（n′﹣n）π+=kπ+，k∈Z，即ω=2k+1，即ω为奇数．∵f（x）在（，）单调，∴ω•+φ≥2kπ﹣，且ω•+φ≤2kπ+，k∈Z，即﹣ω•﹣φ≤﹣2kπ+①，且ω•+φ≤2kπ+，k∈Z ②，把①②可得ωπ≤π，∴ω≤12，故有奇数ω的最大值为11．当ω=11时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=﹣．此时f（x）=sin（11x﹣）在（，）上不单调，不满足题意．当ω=9时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=，此时f（x）=sin（9x+）在（，）上单调递减，满足题意；故ω的最大值为9，故答案为：9．【点评】本题主要考查正弦函数的零点以及它的图象的对称性，正弦函数的单调性的应用，属于中档题．14．（4分）在平面直角坐标系中，当P（x，y）不是原点时，定义P的“伴随点”为P′（，）；当P是原点时，定义P的“伴随点“为它自身，平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线C′定义为曲线C的“伴随曲线”．现有下列：①若点A的“伴随点”是点A′，则点A′的“伴随点”是点A；②单位圆的“伴随曲线”是它自身；③若曲线C关于x轴对称，则其“伴随曲线”C′关于y轴对称；④一条直线的“伴随曲线”是一条直线．其中的真是②③（写出所有真的序列）．【考点】的真假判断与应用．【专题】综合题；转化思想；综合法；简易逻辑．【分析】利用新定义，对4个分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：①若点A（x，y）的“伴随点”是点A′（，），则点A′（，）的“伴随点”是点（﹣x，﹣y），故不正确；②由①可知，单位圆的“伴随曲线”是它自身，故正确；③若曲线C关于x轴对称，点A（x，y）关于x轴的对称点为（x，﹣y），“伴随点”是点A′（﹣，），则其“伴随曲线”C′关于y轴对称，故正确；④设直线方程为y=kx+b（b≠0），点A（x，y）的“伴随点”是点A′（m，n），则∵点A（x，y）的“伴随点”是点A′（，），∴，∴x=﹣，y=∵m=，∴代入整理可得n﹣1=0表示圆，故不正确．故答案为：②③．【点评】此题考查点的坐标规律，读懂题目信息，理解“伴随点”的定义是解题的关键．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（）A．充分条件 B．必要条件C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】压轴题；规律型．【分析】“好货不便宜”，其条件是：此货是好货，结论是此货不便宜，根据充要条件的定义进行判断即可，【解答】解：若p⇒q为真，则p是q的充分条件；“好货不便宜”，其条件是：此货是好货，结论是此货不便宜，由条件⇒结论．故“好货”是“不便宜”的充分条件．故选A【点评】本题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题．16．（5分）若D′是平面α外一点，则下列正确的是（）A．过D′只能作一条直线与平面α相交B．过D′可作无数条直线与平面α垂直C．过D′只能作一条直线与平面α平行D．过D′可作无数条直线与平面α平行【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】存在型．【分析】将点和线放置在正方体中，视平面α为正方体中的平面ABCD，结合正方体中的线面关系对选支进行判定，取出反例说明不正确的，正确的证明一下即可．【解答】解：观察正方体，A、过D′可以能作不止一条直线与平面α相交，故A错；B、过D′只可作一数条直线与平面α垂直，故B错；C、过D′能作不止一条直线与平面α平行，故C错；D、过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行，且这个平面内的任一条直线都与已知平面平行，故D对．故选D．【点评】本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力，属于基础题．17．（5分）（2016秋•杨浦区校级月考）已知函数f（x）=sinϖx+cosωx（ω＞0）的图象与x轴交点的横坐标依次构成一个公差为的等差数列，把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，则（）A．g（x）是奇函数B．g（x）关于直线x=﹣对称C．g（x）在[，]上是增函数D．当x∈[，]时，g（x）的值域是【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题；转化思想；综合法．【分析】将函数化简，图象与x轴交点的横坐标依次构成一个公差为的等差数列，可知周期为π，由周期求出ω，向左平移个单位可得g（x）的解析式，再利用三角函数图象及性质，可得结论．【解答】解：f（x）=sinϖx+cosωx（ω＞0），化简得：f（x）=2sin（ϖx+），∵图象与x轴交点的横坐标依次构成一个公差为的等差数列，可知周期为π∴T=π=，解得ω=2．那么：f（x）=2sin（2x+），图象沿x轴向左平移个单位，得：2sin=2cos2x．∴g（x）=2cos2x，故g（x）是偶函数，在区间单调减函数．所以A，C不对．对称轴方程为x=（k=Z），检验B不对．当x∈[，]时，那么2x∈[，]，g（x）的最大值为1，最小值为﹣2，故值域为．D正确．故选：D．【点评】本题考查了三角函数的辅助角公式的化简和图象的平移，三角函数的性质的运用能力．属于中档题．18．（5分）（2015•湖北）已知符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）﹣f（ax）（a＞1），则（）A．sgn=sgnx B．sgn=﹣sgnx C．sgn=sgn D．sgn=﹣sgn【考点】函数与方程的综合运用．【专题】函数的性质及应用．【分析】直接利用特殊法，设出函数f（x），以及a的值，判断选项即可．【解答】解：由于本题是选择题，可以采用特殊法，符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）﹣f（ax）（a＞1），不妨令f（x）=x，a=2，则g（x）=f（x）﹣f（ax）=﹣x，sgn=﹣sgnx．所以A不正确，B正确，sgn=sgnx，C不正确；D正确；对于D，令f（x）=x+1，a=2，则g（x）=f（x）﹣f（ax）=﹣x，sgn=sgn（x+1）=；sgn=sgn（﹣x）=，﹣sgn=﹣sgn（x+1）=；所以D不正确；故选：B．【点评】本题考查函数表达式的比较，选取特殊值法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．三、解答题（本大题满分74分）19．（12分）（2016春•寿县校级期末）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC （acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【考点】解三角形．【专题】综合题；转化思想；综合法；解三角形．【分析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0求出cosC的值，即可确定出出C的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出a+b的值，即可求△ABC的周长．【解答】解：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，整理得：2cosCsin（A+B）=sinC，∵sinC≠0，sin（A+B）=sinC∴cosC=，又0＜C＜π，∴C=；（Ⅱ）由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab•，∴（a+b）2﹣3ab=7，∵S=absinC=ab=，∴ab=6，∴（a+b）2﹣18=7，∴a+b=5，∴△ABC的周长为5+．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及三角函数的恒等变形，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．20．（2016秋•杨浦区校级月考）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，（14分）BC=CD=AD．E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°．（Ⅰ）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；（Ⅱ）若二面角P﹣CD﹣A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【专题】数形结合；转化思想；空间位置关系与距离；空间角．（I）延长AB交直线CD于点M，由点E为AD的中点，可得AE=ED=AD，由BC=CD=AD，【分析】可得ED=BC，已知ED∥BC．可得四边形BCDE为平行四边形，即EB∥CD．利用线面平行的判定定理证明得直线CM∥平面PBE即可．（II）如图所示，由∠ADC=∠PAB=90°，异面直线PA与CD所成的角为90°AB∩CD=M，可得AP⊥平面ABCD．由CD⊥PD，PA⊥AD．因此∠PDA是二面角P﹣CD﹣A的平面角，大小为45°．PA=AD．不妨设AD=2，则BC=CD=AD=1．可得P（0，0，2），E（0，1，0），C（﹣1，2，0），利用法向量的性质、向量夹角公式、线面角计算公式即可得出．【解答】解：（I）延长AB交直线CD于点M，∵点E为AD的中点，∴AE=ED=AD，∵BC=CD=AD，∴ED=BC，∵AD∥BC，即ED∥BC．∴四边形BCDE为平行四边形，即EB∥CD．∵AB∩CD=M，∴M∈CD，∴CM∥BE，∵BE⊂平面PBE，∴CM∥平面PBE，∵M∈AB，AB⊂平面PAB，∴M∈平面PAB，故在平面PAB内可以找到一点M（M=AB∩CD），使得直线CM∥平面PBE．（II）如图所示，∵∠ADC=∠PAB=90°，异面直线PA与CD所成的角为90°，AB∩CD=M，∴AP⊥平面ABCD．∴CD⊥PD，PA⊥AD．因此∠PDA是二面角P﹣CD﹣A的平面角，大小为45°．∴PA=AD．不妨设AD=2，则BC=CD=AD=1．∴P（0，0，2），E（0，1，0），C（﹣1，2，0），∴=（﹣1，1，0），=（0，1，﹣2），=（0，0，2），设平面PCE的法向量为=（x，y，z），则，可得：．令y=2，则x=2，z=1，∴=（2，2，1）．设直线PA与平面PCE所成角为θ，则sinθ====．【点评】本题考查了空间位置关系、空间角计算公式、法向量的性质，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．21．（14分）（2016•浙江）已知a≥3，函数F（x）=min{2|x﹣1|，x2﹣2ax+4a﹣2}，其中min （p，q）=（Ⅰ）求使得等式F（x）=x2﹣2ax+4a﹣2成立的x的取值范围（Ⅱ）（i）求F（x）的最小值m（a）（ii）求F（x）在上的最大值M（a）【考点】函数最值的应用；函数的最值及其几何意义．【专题】新定义；函数思想；分析法；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）由a≥3，讨论x≤1时，x＞1，去掉绝对值，化简x2﹣2ax+4a﹣2﹣2|x﹣1|，判断符号，即可得到F（x）=x2﹣2ax+4a﹣2成立的x的取值范围；（Ⅱ）（i）设f（x）=2|x﹣1|，g（x）=x2﹣2ax+4a﹣2，求得f（x）和g（x）的最小值，再由新定义，可得F（x）的最小值；（ii）分别对当0≤x≤2时，当2＜x≤6时，讨论F（x）的最大值，即可得到F（x）在上的最大值M（a）．【解答】解：（Ⅰ）由a≥3，故x≤1时，x2﹣2ax+4a﹣2﹣2|x﹣1|=x2+2（a﹣1）（2﹣x）＞0；当x＞1时，x2﹣2ax+4a﹣2﹣2|x﹣1|=x2﹣（2+2a）x+4a=（x﹣2）（x﹣2a），则等式F（x）=x2﹣2ax+4a﹣2成立的x的取值范围是；（Ⅱ）（i）设f（x）=2|x﹣1|，g（x）=x2﹣2ax+4a﹣2，则f（x）min=f（1）=0，g（x）min=g（a）=﹣a2+4a﹣2．由﹣a2+4a﹣2=0，解得a=2+（负的舍去），由F（x）的定义可得m（a）=min{f（1），g（a）}，即m（a）=；（ii）当0≤x≤2时，F（x）≤f（x）≤max{f（0），f（2）}=2=F（2）；当2＜x≤6时，F（x）≤g（x）≤max{g（2），g（6）}=max{2，34﹣8a}=max{F（2），F（6）}．则M（a）=．【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查分类讨论的思想方法，以及二次函数的最值的求法，不等式的性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．22．（16分）（2015•闵行区二模）各项均为正数的数列{b n}的前n项和为S n，且对任意正整数n，都有2S n=b n（b n+1）．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）如果等比数列{a n}共有2015项，其首项与公比均为2，在数列{a n}的每相邻两项a k与a k+1之间插入k个（﹣1）k b k（k∈N*）后，得到一个新的数列{c n}．求数列{c n}中所有项的和；（3）如果存在n∈N*，使不等式成立，求实数λ的范围．【考点】数列与不等式的综合；数列的求和．【专题】等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】（1）运用数列的通项和前n项和的关系，结合等差数列的定义和通项公式，即可得到；（2）运用等比数列的求和公式和数列求和方法：分组求和，即可得到所求；（3）运用参数分离可得，运用基本不等式和单调性，分别求出不等式左右两边的最值，即可得到所求范围．【解答】解：（1）当n=1时，由2S1=b1（b1+1）得b1=1，当n≥2时，由2S n=b n（b n+1），2S n﹣1=b n﹣1（b n﹣1+1）得（b n+b n﹣1）（b n﹣b n﹣1）=b n+b n﹣1因数列{b n}的各项均为正数，所以b n﹣b n﹣1=1，所以数列{b n}是首项与公差均为1的等差数列，所以数列{b n}的通项公式为b n=n．（2）数列{a n}的通项公式为，数列{c n}共有2015+1+2+…+2014=1008×2015项，其所有项的和为S1008×2015=（2+22+…+22015）+（﹣1+22﹣32+42﹣…20132+20142）=2（22015﹣1）+=22016﹣2+×1007=22016+2015×1007﹣2=22016+2029103；（3）由，得，记因为，当取等号，所以取不到，当n=3时，的最小值为（n ∈N*）递减，的最大值为B1=6，所以如果存在n∈N*，使不等式成立实数λ应满足A3≤λ≤B1，即实数λ的范围应为．【点评】本题考查数列的通项和前n项和的关系，主要考查等差数列和等比数列的通项和求和公式的运用，同时考查不等式存在性问题转化为求最值问题，具有一定的难度和综合性．23．（18分）（2013•上海）如图，已知双曲线C1：，曲线C2：|y|=|x|+1，P是平面内一点，若存在过点P的直线与C1，C2都有公共点，则称P为“C1﹣C2型点”（1）在正确证明C1的左焦点是“C1﹣C2型点“时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；（2）设直线y=kx与C2有公共点，求证|k|＞1，进而证明原点不是“C1﹣C2型点”；（3）求证：圆x2+y2=内的点都不是“C1﹣C2型点”【考点】直线与圆锥曲线的关系；点到直线的距离公式；双曲线的简单性质．【专题】压轴题；新定义；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由双曲线方程可知，双曲线的左焦点为（），当过左焦点的直线的斜率不存在时满足左焦点是“C1﹣C2型点”，当斜率存在时，要保证斜率的绝对值大于等于该焦点与（0，1）连线的斜率；（2）由直线y=kx与C2有公共点联立方程组有实数解得到|k|＞1，分过原点的直线斜率不存在和斜率存在两种情况说明过远点的直线不可能同时与C1和C2有公共点；（3）由给出的圆的方程得到圆的图形夹在直线y=x±1与y=﹣x±1之间，进而说明当|k|≤1时过圆内的点且斜率为k的直线与C2无公共点，当|k|＞1时，过圆内的点且斜率为k的直线与C2有公共点，再由圆心到直线的距离小于半径列式得出k的范围，结果与|k|＞1矛盾．从而证明了结论．【解答】（1）解：C1的左焦点为（），写出的直线方程可以是以下形式：或，其中．（2）证明：因为直线y=kx与C2有公共点，所以方程组有实数解，因此|kx|=|x|+1，得．若原点是“C1﹣C2型点”，则存在过原点的直线与C1、C2都有公共点．考虑过原点与C2有公共点的直线x=0或y=kx（|k|＞1）．显然直线x=0与C1无公共点．如果直线为y=kx（|k|＞1），则由方程组，得，矛盾．所以直线y=kx（|k|＞1）与C1也无公共点．因此原点不是“C1﹣C2型点”．（3）证明：记圆O：，取圆O内的一点Q，设有经过Q的直线l与C1，C2都有公共点，显然l不与x轴垂直，故可设l：y=kx+b．若|k|≤1，由于圆O夹在两组平行线y=x±1与y=﹣x±1之间，因此圆O也夹在直线y=kx±1与y=﹣kx±1之间，从而过Q且以k为斜率的直线l与C2无公共点，矛盾，所以|k|＞1．因为l与C1由公共点，所以方程组有实数解，得（1﹣2k2）x2﹣4kbx﹣2b2﹣2=0．因为|k|＞1，所以1﹣2k2≠0，因此△=（4kb）2﹣4（1﹣2k2）（﹣2b2﹣2）=8（b2+1﹣2k2）≥0，即b2≥2k2﹣1．因为圆O的圆心（0，0）到直线l的距离，所以，从而，得k2＜1，与|k|＞1矛盾．因此，圆内的点不是“C1﹣C2型点”．【点评】本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了点到直线的距离公式，考查了直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．属难题．。