网格分割算法的比较
平面分割算法
平面分割算法
平面分割算法是计算机图形学中常用的算法，用于将三维空间中的物
体分割成多个平面进行处理。
以下是一些常见的平面分割算法：
1.基于网格的平面分割算法：将三维物体通过三角面片等网格结构进
行表示，然后对网格进行切割，生成多个平面。
2.基于距离场的平面分割算法：通过计算三维物体中每个点到最近平
面的距离，获得距离场，然后以距离场中的局部最小值作为平面的分割线。
3.基于约束优化的平面分割算法：将三维物体分割为多个部分，并对
不同的部分设置不同的约束条件，然后通过优化算法获得最优的平面分割
方案。
4.基于图论的平面分割算法：将三维物体转化为无向图，对图进行遍历，找到合适的平面分割方案。
5.基于点云的平面分割算法：通过激光扫描或者摄像头得到三维物体
的点云数据，并对点云进行聚类，找到平面点的集合，然后使用RANSAC
算法求解平面参数，从而实现平面分割。
网格化算法在三维模型构建中的应用
网格化算法在三维模型构建中的应用随着科技的不断发展，三维模型构建已经成为了极为普及的技术。
在这一领域中，网格化算法是一种非常重要的算法，它被广泛应用于三维模型的构建、分析和处理。
本文章将为您详细介绍网格化算法在三维模型构建中的应用。
一、网格化算法介绍网格化算法是一种将连续的物理空间离散化成有限数量的网格的算法。
这种算法可以将一个复杂的物理结构转换成一系列简单的网格单元。
网格化算法的实现涉及到以下几个过程：1. 空间分割：将三维图形分割成多个小三角形或小四面体。
可以有不同的分割方法，如球形分割、射线法分割等。
2. 网格单元定义：根据所采用的空间分割方法，定义出网格单元（三角形或四面体）。
3. 网格生成：按照不同的算法，以空间分割和网格单元定义为基础，生成网格。
二、网格化算法在三维模型构建中的应用1. 三维扫描的网格化处理当我们需要将一个物体转换成三维模型时，常常需要先进行三维扫描。
扫描完成后，我们需要进行网格化处理，得到三维网格模型。
这个过程需要使用到网格化算法。
2. CAD设计的网格化处理CAD设计软件中通常进行建模操作时，是将实体模型转化成集合模型（如B-Rep模型），而网格模型又是集合模型与体数据之间的重要接口。
在实现CAD建模过程中，经常需利用网格化算法将B-Rep模型转化为网络模型，这都需要采用网格化算法。
3. 游戏开发的网格化处理在游戏的开发过程中，需要使用三维模型作为游戏场景的背景，如角色模型、场景模型等。
这些模型通常需要进行网格化处理，用于在游戏引擎中呈现。
4. 建筑学的网格化处理建筑学中也常常使用三维模型构建出建筑物的形状。
在这个过程中，也需要使用到网格化算法，将实体模型转化为网格模型。
三、网格化算法的优势与挑战1. 优势a. 精度高：网格化算法可以将复杂的图形分割成相对简单的网格单元，精度较高。
b. 方便优化：网格化算法将三维图形转换成了网格单元，在优化数据时，可以针对单个网格单元进行操作，具有方便优化的特点。
有限元网格剖分与网格质量判定指标
有限元网格剖分与网格质量判定指标有限元网格剖分与网格质量判定指标一、引言有限元法是一种常用的数值分析方法，广泛应用于工程、力学等领域。
在有限元方法中，对于复杂的几何体，需要将其分割成多个简单的几何单元，称为有限元。
而有限元的形状和尺寸对计算结果的精度和稳定性有重要影响。
因此，有限元网格剖分和网格质量判定指标的选择和优化是提高有限元方法计算精度和效率的关键。
二、有限元网格剖分的基本原则和方法有限元网格剖分的基本原则是要确保网格足够细密，以捕捉几何体的细节和特征。
一般来说，有限元网格剖分可以分为以下几个步骤：1. 几何体建模：根据实际问题建立几何体模型，可以使用CAD软件进行建模。
2. 离散化：将几何体分割成简单的几何单元，如三角形、四边形或六面体等。
3. 网格生成：根据几何单元的尺寸和形状要求生成网格。
一般可采用三角形剖分算法或四边形剖分算法进行网格生成。
4. 网格平滑：对生成的网格进行平滑处理，以提高网格的质量。
三、网格质量判定指标网格质量判定指标是用来评价和衡量网格质量好坏的指标。
一个好的网格是指网格单元形状较正、网格单元之间大小相近、网格单元的边界规则等。
常用的网格质量判定指标包括：1. 网格单元形状度：用于评价网格单元的形状正交性和变形。
常用的形状度指标有内角度、调和平均内角度和狄利克雷三角形剖分等。
2. 网格单元尺寸误差：用于评价网格单元尺寸与理想尺寸之间的差异。
常用的尺寸误差指标有网格单元长度标准差、最大和最小网格单元尺寸比等。
3. 网格单元的四边形度：用于评价四边形网格的形状规则性。
常用的四边形度指标有圆度、直角度和Skewness等。
四、网格质量优化方法为了改善有限元网格质量，可以采用以下方法：1. 网格加密：通过将大尺寸网格单元划分为小尺寸网格单元，提高网格的细密度。
2. 网格平滑：通过对矩阵约束或拉普拉斯平滑等方法对网格进行平滑处理，改善网格单元的形状。
3. 网格优化：通过对网格单元的拓扑结构和形状进行优化，提高网格的质量。
网格算法应用解决复杂问题的有效方法
网格算法应用解决复杂问题的有效方法随着科技的不断进步和人们对数据处理需求的增长，解决复杂问题的有效方法变得越来越重要。
网格算法作为一种高效且灵活的计算技术，被广泛应用于各个领域，为解决复杂问题提供了有效的途径。
本文将探讨网格算法在解决复杂问题中的应用，并分析其优势和局限性。
一、概述网格算法基于将问题空间划分为离散的网格点，通过对每个网格点进行计算和处理来解决问题。
其基本原理是将问题转化为网格点上的数值计算，通过组合和迭代计算得到问题的解决方案。
网格算法的主要优点在于其简单直观的计算模型和高效的计算能力，使其成为解决复杂问题的有效方法。
二、网格算法在计算流体力学中的应用计算流体力学是一个涉及复杂流动问题计算和模拟的领域，网格算法在其中具有广泛的应用。
通过将流体力学问题离散化为网格点上的计算，可以模拟流体流动的速度、压力和温度等物理量，从而得到流体流动的行为和特性。
例如，在航空航天领域，网格算法可用于模拟飞机的气动性能、环境流场的传热过程等复杂问题的计算和预测。
三、网格算法在图像处理中的应用图像处理是一个涉及图像获取、处理和分析的领域，网格算法在其中也有广泛的应用。
通过将图像像素离散化为网格点，可以对图像进行各种处理和分析。
例如，在图像压缩中，网格算法可用于将图像分割成不同的网格块，通过对每个网格块的像素进行处理，实现图像的压缩。
此外，网格算法还可用于图像分割、图像配准等问题的解决。
四、网格算法在数值计算中的应用数值计算是一个广泛应用于科学和工程计算的领域，网格算法在其中被广泛采用。
通过将求解的数值问题离散化为网格点上的数值计算，可以通过迭代和逼近的方法得到问题的近似解。
例如，在有限元分析中，网格算法可用于将复杂结构划分为离散的网格单元，并通过对每个网格单元上的数值计算得到问题的解决方案。
此外，网格算法还可应用于数值积分、微分方程求解等问题的计算。
五、网格算法的优势和局限性1. 优势：a) 简单直观：网格算法的计算模型直观简单，易于理解和实现。
网格算法优化技巧提升数据处理效率的实用方法
网格算法优化技巧提升数据处理效率的实用方法在大数据时代的到来，数据处理效率成为了一个亟待解决的问题。
为了提高数据处理的效率，人们发展了各种各样的算法和技巧。
其中，网格算法被广泛应用于数据处理领域，具有出色的优化能力。
本文将介绍一些实用的网格算法优化技巧，帮助读者提升数据处理效率。
1. 引言数据处理是指对大量数据进行分析、提取、管理的过程。
在数据处理中，为了快速准确地处理数据，算法的效率是至关重要的。
网格算法是一种基于网格结构的数据处理方法，通过将数据分割成网格单元，实现高效的数据处理。
下面将介绍几种常用的网格算法优化技巧。
2. 网格剖分网格剖分是将数据区域划分成多个网格单元的过程。
常见的网格剖分方法包括正交网格剖分和非结构网格剖分。
正交网格剖分适用于规则的数据集，可以快速计算数据在网格单元中的位置。
非结构网格剖分适用于复杂的数据集，可以灵活地剖分数据区域。
3. 网格索引网格索引是对网格单元进行编码，方便数据的查找和访问。
常用的网格索引方法有哈希编码和四叉树编码。
哈希编码使用哈希函数将网格单元映射到一个唯一的索引值，实现快速的数据查找。
四叉树编码将网格单元划分成四个子网格，通过递归地划分，实现数据的高效存储和访问。
4. 网格聚合网格聚合是将相邻的网格单元合并成一个大的网格单元，减少数据处理过程中的计算量。
网格聚合可以基于网格索引进行，根据网格单元的相似度将其合并。
网格聚合在数据处理中起到了关键的作用，大大提升了运算效率。
5. 网格筛选网格筛选是根据特定的条件在网格单元中选择数据的过程。
通过对网格单元的属性进行筛选，可以快速准确地选择需要的数据。
网格筛选可以基于网格索引进行，根据网格单元的特征进行筛选，节省了大量的计算资源。
6. 网格优化网格优化是通过优化网格结构来提高数据处理效率。
常见的网格优化方法有网格重构和网格平滑。
网格重构可以根据数据的特征重新划分网格单元，使得数据在网格中更加均匀地分布。
网格平滑可以通过插值等技术，消除网格中的噪声和不规则性，提高数据的质量和准确性。
三维网格分割--基础知识
三维网格分割经典聚类算法
模糊聚类分割算法：2003 年，Katz 等人提出了模糊聚类的层次分解算法，将 复杂模型进行由粗到精，得到分割片层次树，一层一层的处理，最终分割成边 界线平滑、有意义的若干个较为简单的部分。层次树的根表示整个网络模型 S。 在每个节点，首先确定需要进一步分割为更精细分割片的数目，然后执行个Kway 分割。优点：该算法可以得到有意义的部分子模型，且没有出现锯齿现象， 算法也不会产生过分分割效果。
W
F 2,1
N2 j 1
W , j 表示表示的第j个列向量W，
,h , j W WW h X h2
Xh
2 F
WhTWh
1,1
三维网格分割组合分割-亲和力聚合谱聚类
亲和力聚合谱聚类（AASC）：寻求描述网格过分割面片多特征融合的亲和矩 阵，利用谱聚类算法对所有补丁块进行一致分割。
分割准 则
三维网格分割及其相关基本概念
表面测地线距离：是指三维模型的两个顶点在模型表面的最短距离，它不仅可以有 效的克服三维模型噪声的干扰，而且与三维模型的坐标系方向无关。但不易计算， 常用特征描述之间的欧氏距离代替。
欧几里德距离：两个n维向量a(x11,x12,…,x1n)与 b(x21,x22,…,x2n)间的欧氏距离：
亲和力聚合谱聚类实现过程：
谱聚类划分数据到m个互不相交的类，寻找索引向量F f1, f2 , , fn ,满足
min W
f1 , , fn i, j
kij
fi , f j
2
F D W F
s.t. F DF 1 利用Lu Du = 1,2 , 令亲和矩阵相关权值为
三角网格模型的最小值边界分割
三角网格模型的最小值边界分割1. 引言- 介绍三角网格模型最小值边界分割的概念和意义- 简述现有方法的局限性和本文的贡献2. 相关工作- 综述现有三角网格分割的方法- 分析现有方法的优缺点- 指出本文方法的不同之处3. 方法- 描述本文的最小值边界分割算法- 分析算法的优点和适用环境- 分析算法的时间复杂度和空间复杂度4. 实验验证- 介绍实验的设计和数据集- 比较本文的算法与现有方法的效果- 分析实验结果和算法适用性5. 结论- 总结本文工作的主要贡献和不足- 展望未来的研究方向和应用场景- 提出进一步改进算法的想法和建议注：本提纲仅供参考，具体内容和章节的组织可以根据文章的具体情况进行调整。
第一章是论文中的引言部分，主要对三角网格模型最小值边界分割的概念和意义进行介绍，并简要阐述现有方法的局限性和本文的贡献。
三角网格模型已经广泛应用于计算机图形学、虚拟现实等领域。
在三角网格模型中，网格边界是一个非常重要的特征，因为它直接决定了模型的形状和属性。
因此，对于三角网格模型边界的分割和优化一直是研究的热点之一。
最小值边界分割是三角网格分割的一种方法，它通过在网格上寻找最小值来划分网格，从而得到更好的边界特征。
最小值边界分割算法已经被广泛使用，并取得了一定的成果，但是目前的算法还存在一些局限性。
例如，现有算法无法处理具有复杂边界拓扑结构的三角网格模型，因此需要更加高效的算法来解决这个问题。
本文的主要贡献是提出了一种高效的最小值边界分割算法，该算法可以处理具有复杂边界拓扑结构的三角网格模型。
我们的算法通过将网格表面分为多个块，并在每个块上进行最小值边界分割，从而实现了高效而精确的三角网格边界划分。
同时，我们还对算法的时间复杂度和空间复杂度进行了详细的分析，说明了算法的实用性和鲁棒性。
本文的结构安排如下：本章介绍了本文的背景和研究意义，结合现有算法的局限性说明了我们的研究工作的必要性。
第二章将介绍相关工作，包括现有的三角网格分割算法和最小值边界分割算法，并分析其优缺点以及本文的不同之处。
第十五章 网格划分方法
第十五章网格划分方法建立几何模型和选择单元类型以后，就应基于几何模型进行分网。
分网的工作量大，需要考虑的问题很多，网格形式直接影响结果精度和模型规模，因此分网是建模过程中最为关键的环节。
本节首先介绍网格划分的一般原则，然后介绍半自动和自动两种分网方法，并介绍自适应分网的基本概念和过程。
第一节网格划分原则划分网格时一般应考虑以下原则。
一、网格数量网格数量又称绝对网格密度，它通过网格的整体和局部尺寸控制。
网格数量的多少主要影响以下两个因素：1.结果精度网格数量增加，结果精度一般会随之提高。
这是因为：⑴网格边界能够更好地逼近几何模型的曲线或曲面边界；⑵单元插值函数能够更好地逼近实际函数；⑶在应力梯度较大的部位，能够更好地反映应力值的变化。
但应注意，当网格数量太大时，数值计算的累计误差反而会降低计算精度。
2.计算规模网格数量增加，将主要增加以下几个方面的计算时间。
⑴单元形成时间这部分时间与单元数量直接相关。
当单元为高阶单元时，由于计算单元刚度矩阵要进行高斯积分，所以单元形成要占相当大的比例。
⑵求解方程时间网格数量增加，节点数量会增加，有限元方程的数量增加，求解方程组的时间将大大增加。
⑶网格划分时间网格数量增加时，无论采用半自动还是自动方法，都会使网格划分更多的时间。
由于网格数量增加对结果精度和计算规模都将提高，所以应权衡两个因素综合考虑。
一般原则是：首先保证精度要求，当结构不太复杂时尽可能选用适当多的网格。
而当结构非常复杂时，为了不时计算精度而又不使网格太多，因采用其他措施降低模型规模，如子结构法、分布计算法等。
图15-1中的实线表示结构位移随网格数量收敛的一般曲线，虚线代表时间随网格数量的变化曲线。
可以看出，当网格数量较少时，增加网格数量可明显提高精度，而计算时间不会明显增加。
当网格数量增加到一定程度后（例如点P），继续增加网格对精度提高甚微，而计算时间却大幅度增加。
因此并不是网格分得越多越好，应该考虑网格增加的经济性。
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曲面造型方法一直以来都 是计算 机图形 学领域 的研究 重 点之一, 它主要研究 在 计算 机图 像 系统 的环 境 下对 曲面 的 表 示、设计、显示和 分 析等。 网格 细分 ( Subdivision) 是 曲面 的 一 种表示方法, 是曲面造型 的一个 分支, 也是曲 面造型 的研究 重 点之一。细分曲面造型方法实 际上是 从一个 被称为 控制网 格 ( 绝大多数网格数据可用数字化 仪通过人工模 型来输入) 的 多 面体开始的, 递归地计算 新网格 上的每 个顶点, 这些 顶点都 是 其上一细分级网格上某几 个顶点 的加权 平均。近年 来国内 外 对细分算法的研究有了很大的进展, 主要体现在从常规的三角 网格 、四 角 网 格向 六 角 网 格 以 及 任 意 形 状 网格 的 过 渡 。
定义 6 我们把控制网格中具有公共边的两个顶点称为邻接 点。对于曲线而言, 给定控制点 Pi , 很显然( Pi- 1 , Pi) 和( Pi, Pi +1 ) 就是控制多边形的边, 所以 Pi-1 和 Pi +1 就是 Pi 的邻接点。对于任 意控制点网格曲面而言, 建立各控制点之间的关系就是为网格中 每个顶点找到相应的邻接点, 为了方便算法的实现, 对这些邻接点 按照某种规则进行排列, 我们把按照这种规则排列的邻接点的集 合称为该顶点的有序邻接表( Ordered Adjacency List) 。
Abstract: Surface modeling methods have found their way into wider application in computer graphics, Computer Assisted Geometric Design ( CAGD) , computer animation and Virtual Reality ( VR) etc. because of the good locality, small computation, simplicity, high speed. Subdivision is one of the discrete modeling methods that can achieve data from the devices such as digitizer. Some mesh subdivision algorithms are proposed and a classification and comparison between them is gived, and then their respective applicable range is illuminated. Key words: Subdivision; Approximation; Interpolation; OAL ( Ordered Adjacency List)
收稿日期: 2003- 07-21; 修返日期: 2003- 08- 06 基金项目: 教育部科学技术研究重点项目基金资助( 01041)
（a）初始网格
（b）一次细分后的结果 （c）两次细分后的结果
（13 个顶点，40 个面片） （45 个顶点，160 个面片）（169 个顶点，60 个面片）
图 1 利用 Loop 格式 细分 得到的 草帽 图
摘 要: 曲 面造 型方 法由 于其 局部 性好 、计 算量 小、算法 简 单、响 应 速 度 高 等 优 点, 已 经 广 泛 应 用于 计 算 机 图 形
学、CAGD、计 算机 动画以 及虚 拟现 实等 领域 。网 格细分 是一 种 离 散造 型 方 法, 可 以 从 数 字 化 仪 等设 备 直 接 获 得
2 网格细分算法的分类及比较
2. 1 概念与术语 定义 1 权图( Masks) 表示由旧控制点计算 新控制点规 则
的映射, 其中新控制点在映 射中用 黑点表 示, 在每个 旧控制 点 旁边的数字代表细分系数。
定义 2 奇点( Odd Vertices ) 是在每一级细分中, 按照某种 细分规则所有新生成的点。在三角网格中, 奇点也就是边点, 实际上是将每条边的中点作为 一个新 点重新 计算新 的位置 所
2. 2 细分算法的分类
一般情况下, 对于网格细分算法的分类包括以下四个标准: ( 1) 生成网格的类型( 三角网格和四角网格) ; ( 2) 细分规则的类型( 面分裂和点分裂) ; ( 3) 算法是逼近型还是插值型; ( 4) 规则曲面的极限曲面光滑性( C1 , C2 等) 。
表 1 细分算法分类
能达到 C1 连续。蝶型细分算法不同于其他的基于样条的逼近
策略, 它是一种插值型算法, 因 此不产 生分段 的多项 式极限 曲
面。由于该算法属插值类型, 上一细分级别的所有控制点都位
于曲面上, 因此 Even 点无需重 新计算, 只要 计算 Odd 点即可。
改进的蝶型细分策略的权图如图 4 所示。
图 4 中系数 Si 由下列公式确定:
表 1 对现有的典型细分算法进行了分类。面分裂的细分 方法, 实际上就是一 种 1 →4 的细 分策 略, 如图 2 ( a) 所 示。对 于三角网格, 在每一次细 分过程 中, 保 留每个 三角网 格中所 有 旧控制点的同时, 在网格 的每条 边上插 入新点 并两两 相连, 然 后与旧控制点一起得到四个 新的三 角网格; 对 于四角 网格, 除 了在网格的每条边上插入新点外, 还需要在网格中间另外插入 一个新点并与另外四条边上的新点相连, 从而得到四个新的四 角网格。点分裂细分方法则 是一种 1 →N 的 细分 策略, 如 图 2 ( b) 所示, N 为 该点 的 Valence, 每个 顶 点 将 分 裂 为 N 个 新 顶 点, 然后按照一定的规则将新顶点重新连接组成新的网格。
面分裂
点分裂
逼近型 插值型
三角网格 Lo op ( C 2) [ 1, 2] Mod. Butte rfly ( C1) [ 3]
四角网格 Catmull- Clark ( C2) [ 4]
Kobbelt ( C1)
Doo - Sabin [ 5] , Midedge ( C1) , Biquartic ( C2)
· 140·
计算机应用研究
2004 年
得到 的 点 。
定义 3 偶点( Even Vertices) 是 在每 一级 细分 中, 所有 从 上一 级 控 制 点 继 承 得 到 的 点 。
定义 4 某顶点的价( Valence) 是 指与该 顶点通 过公共 边 相连 的 顶 点 个 数 。
定 义 5 正 规 点 与 非 正 规 点 ( Regular and Extraordinary Vertices) 。在三角网格细 分过 程中, 产 生的 新点的 Valence 在 网格内部为 6、边界 处 为 4。定 义 内 部 Valence 为 6、边 界 Valence 为 4 的点为三角 网格 的正 规点; 类 似地, 内部 Valence 为 4、边界 Valence 为 3 的点为四角网格的正规点。不符合上述条 件的 点 称 为 非 正 规 点 。
第6 期
王金生等: 几种经典网格细分算法的比较
· 1 39 ·
几种经典网格细分算法的比较*
王金生1 , 韩 臻1 , 施 寅1 , 尹 直诺2
( 1. 北 京交 通大学 计 算机 与信 息技 术学 院, 北 京 100044; 2. 青岛市 城阳 区国 家税 务局 , 山 东 青 岛 266109)
控制网格( 三角格式 ) 应用 Loop 细 分策 略分 别 细分 一次 和 两 次得到的草帽; 1990 年 Dyn, Gregory 和 Levin 提出 了蝶 型细 分 算法 [ 3] , 其后 Denis Zorin 对 其 提出 了 一种 改 进策 略———改 进 的蝶型细分算法[ 2] ; Leif Kobbelt 在 1996 年提 出了一 种基于 四
角网格的插值策略。另外, 3细分算法、4-k 细分算法以及 hexagon- by- three 算法等对网格细分 算法的 发展 也起 到了 一定 的 推进作用。随着六边形在其他 领域的 成功运 用以及 六边形 固 有的特性, 使得对六边形网格的研究成为细分算法研究领域的 另一个热点。
1 网格细分算法的产生与发展
1 8
3
3
8
8
茁 茁
1-k茁
茁 茁
1 8 (a)内部奇点
茁 茁 (b)内部偶点
1
1
2
2
(c)边界与褶皱上的奇点
1
3
1
8
4
8
(d)边界与褶皱上的偶点
图 3 Loop 细 分规 则
图 3 中 β的取值可由公式 1 [ 5 - ( 3 + 1 cos 2π) 2 ] 给 n8 8 4 n
出。对于 Valence > 3 的顶点, 可按 公式 β= 3 来计 算 β; 当 顶 8n
数据。介绍了近年来提出的一些细分算法, 对其中几种比较经典的算法进行了简单的分类和比较, 并论述了各
自的 适用 范围 。
关键词: 细分; 逼近; 插值; 有序邻接表
中图 法分 类号 : TP391
文献标识码: A
文章 编号 : 1001- 3695( 2004) 06- 0139 - 03
Comparison of Several Classical Mesh Subdivision Algorithms
细分思想最早可以 追 溯的 50 多年 前 G. de Rham 用 于 生 成二维光滑曲线的 “砍 角算法 ”。1974 年, Chaikin 在研 究曲 线 的快速绘 制 时 把 离 散 细 分 的 概 念 引 入 到 图 形 学 界; 1978 年 Catmull 和 Clark 以及 Doo 和 Sabin 分别发表了一篇在图形学领 域具有 里 程 碑意 义 的 论文, 也 就是 图 形 学界 推 崇 的 CatmullClark 算法[ 4] 和 Doo- Sabin 算法 [ 5] , 标志 着网 格 细分 方法 研 究 的真 正开 始; 1987 年, 美国 犹他 大学的 Loop 在他 的硕 士论 文 中提出了 Loop 细分策略[ 1] , 图 1( b) 、图 1( c) 是由图 1( a) 中的