周期信号频域分析

n 1
周期三角脉冲信号的三角形式傅里叶级数展开式为
1 4 f (t ) cos n 0 t 2 2 m =1 [(2 m 1) π]

2π 0 π T
1 4 4 4 2 cos 0 t 2 cos 3 0 t cos 5 0 t 2 2 π 9π 25π
e
st
、 z n 是一切LTI系统的特征
函数。

H ( s ) 、 H ( z ) 分别是LTI系统与复指数信号相
对应的特征值。
H ( s) h(t )e dt
st
H ( z)
k
n h ( n ) z

只有复指数函数才能成为一切LTI系统的特征 函数。

对时域的任何一个信号 x(t )
因此， f (t)的指数形式傅里叶级数展开式为
f (t ) Cn e
n = jn0t
n 0 jn0 t A )e Sa( T n = 2
2π 0 T
例1 试计算图示周期矩形脉冲信号f(t)的 傅里叶级数展开式。
f (t )
A
-T
0

1 (cos nπ 1) 2 (nπ)
2π 0 π T
例2 试计算图示周期三角脉冲信号的傅里 叶级数展开式。
f (t )

- 2 1
0

2
t
解:
2 /(nπ) 2 , n为奇数 1 Cn (cos nπ 1) 2 n0 (nπ) 1 / 2,
周期三角脉冲信号的指数形式傅里叶级数展开式为
例3
f (t ) 3 cos(0 t 4) 求 Cn 。
解: f (t ) 3 cos(0 t 4)
1 j(0t 4) j(0t 4) 3 e e 2 3 j4 j0t 3 j4 j0t e e e e 2 2


根据指数形式傅里叶级数的定义可得
x(t ) y(t ) a1H ( s1 )e a2 H (s2 )e a3 H (s3 )e
y (t ) ak H ( sk )e sk t
k
同理： x(n) ak Z kn
k
y(n) ak H ( Z k )Z kn
k
*问题：究竟有多大范围的信号可以用复指数信号的 线性组合来表示？
例1 试计算图示周期矩形脉冲信号f(t)的 傅里叶级数展开式。
f (t )
A
-T
0

T
t
解: 该周期信号f (t)显然满足狄里赫勒的三个条件， 必然存在傅里叶级数展开式。
n0 1 T 1 A jn0t jn0t C n 2T f (t )e dt 2 Ae dt Sa( ) T 2 T 2 T 2
信号与系统
Signals and Systems
主讲：王小川 xcwang@ 信息科学与技术学院
信号的频域分析
连续周期信号的频域分析 连续非周期信号的频谱 常见连续时间信号的频谱 连续时间Fourier变换的性质 离散周期信号的频域分析 离散非周期信号的频域分析
连续周期信号的频域分析
x(at ) bk ak
F
5. 相乘:
若x(t ) 和y(t ) 都是以 T 为周期的信号，且
F F y(t ) bk
F
x(t ) ak
1 则 x(t )gy (t ) Ck x(t ) y (t )e jk0t dt T T 1 也即 Ck al e jl0t gy(t )e jk0t dt T T l 1 Ck al y (t )e j ( k l )0t dt al bk l T T l l
f (t ) Cn e
n=

jn0t
1 2 j( 2 m 1)0t 2π e 0 π 2 m= [(2 m 1) π]2 T
例2 试计算图示周期三角脉冲信号的傅里 叶级数展开式。
f (t )

- 2 1
0

2

t
解:
由
f (t ) C0 2 Re( Cn e jn0t )
2π 0 T
例2
试计算图示周期三角脉冲信号的傅 里叶级数展开式。
f (t )

- 2 1
0

2
t
解: 该周期信号f (t)显然满足狄里赫勒的三个条件，Cn存在
1 T /2 1 0 1 jn0t Cn T / 2 f (t )e dt (1 te jn0t dt 0 te jn0t dt ) T 2 1 0 jn0t 1 jn0t jn0t 0 jn0t 1 (te 1 e dt te 0 e dt ) 1 0 2 jn 0
证明见教 材(4-7)
n n
表明 Cn 的模关于 n 偶对称，幅角关于 n 奇对称。
Cn C n （实偶函数） 若 f (t ) 为实奇信号，则 Cn C n （虚奇函数）
若 f (t ) 为实偶信号，则
二、傅里叶级数的基本性质
(2) 纵轴对称信号
A
f(t)
f ( t ) = f ( t )
连续周期信号的频域分析
将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合 意义：
从信号分析的角度，将信号表示为不同频率正 弦分量的线性组合，为不同信号之间进行比较 提供了途径。 从系统分析角度，已知单频正弦信号激励下的 响应，利用迭加特性可求得多个不同频率正弦 信号同时激励下的总响应,而且每个正弦分量 通过系统后的变化。
T / 2
0
T/ 2
t
1 Cn T

T /2
T / 2
f (t ) cos( n0t )dt
实偶对称
纵轴对称周期信号其傅里叶级数展开式中只含 有直流项与余弦项。
二、傅里叶级数的基本性质
(3) 原点对称信号
A
T / 2
可见LTI系统对复指数信号的响应是很容易求得 的。这说明 求。 特征函数 (Eigenfunction)

e
st
和 z n 符合对单元信号的第一项要
如果系统对某一信号的响应是该信号乘以一个
常数，则称该信号是这个系统的特征函数。
系统对该信号加权的常数称为系统与特征函数相
对应的特征值。
结论：

复指数函数
n 1
jn t C0 Cn e jn0t Cn e jn0t C0 2 Re( Cn e 0 ) n1



an jbn Cn 令 2 由于C0是实的，所以 b0= 0，故
a0 C0 2
一、周期信号的傅里叶级数展开
3. 三角形式傅里叶级数
a0 f (t ) (a n cos n 0 t bn sin n 0 t ) 2 n 1
物理含义：
周期信号f (t)可以分解为不同频率虚指数信号之和
一、周期信号的傅里叶级数展开
3. 三角形式傅里叶级数
若 f (t)为实函数，则有
1
Cn C n
利用这个性质可以将指数Fourier级数表示写为
f (t ) C0 Cn e
n
n1
jn0t
Cn e jn0t
一、周期信号的傅里叶级数展开
1. 周期信号展开为傅里叶级数条件
T /2 T / 2
周期信号f (t)应满足Dirichlet条件，即：
(1) 在一个周期内绝对可积，即满足
f (t ) dt
(2) 在一个周期内只有有限个有限的不连续点；
(3) 在一个周期内只有有限个极大值和极小值。
注意：条件（1） 为充分条件但不是必要条件； 条件（2）（3）是必要条件但不是充分条件。
一、周期信号的傅里叶级数展开
2. 指数形式傅里叶级数
连续时间周期信号可以用指数形式傅里叶级数表示为
f (t ) Cn e
n =

jn0t
其中
1 T C n 2T f (t )e jn 0t dt T 2
n 1 两项的基波频率为f0，两项合起来称为信号的基波分量 n 2 的基波频率为2f0，两项合起来称为信号的2次谐波分量 n N 的基波频率为Nf0，两项合起来称为信号的N次谐波分量
7.时域微分 8.时域积分:
则有
f ' (t ) jn0 Cn
F x(t ) Cn (其中C0 0)
Cn x(t )dt jnw0
t F
二、傅里叶级数的基本性质
9. 对称特性
(1) 若 f(t) 为实信号，则 Cn C
则 | C n || C n |
n
周期信号的傅里叶级数展开 傅里叶级数的基本性质 周期信号的频谱及其特点 周期信号的功率谱
引言
LTI系统对复指数信号的响应
The Response of LTI Systems to Complex Exponentials

考查LTI系统对复指数信号 e 和
st
z
n
的响应
y ( n)
e
st
h(t )
F x(t ) y (t ) al bk l ak bk l
二、傅里叶级数的基本性质
6. 周期卷积性质
若 f1(t) 和 f2(t) 均是周期为T0的周期信号，且 f1 (t ) C1n , f 2 (t ) C 2n 则f1 (t ) * f 2 (t ) T0C1n C2n
若 f (t ) C n
则有
f (t t 0 ) e