黑龙江省哈尔滨2019届高三第一次月考理科数学试卷(含精品解析)
2018-2019年度高三学年上学期第一次月考数学试题(理科)考试时间：120分钟 试卷满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合，，则{}1A x x =<{}31x B x =< .A {|0}A B x x =< .B A B =R .C {|1}A B x x => .D A B =∅ 2.设为等比数列的前项和，，则n S {}n a n 2580a a +=52S S = .11A .5B .11C -.8D -3.下列函数中，其定义域和值域分别与函数的定义域和值域相同的是lg 10x y = .A y x =.2x B y =.lg C y x =.D y =4.已知，则1sin 23α=2cos (4πα-= 1.3A 4.9B 2.3C 8.9D 5.函数的单调递增区间是2()ln(43)f x x x =-+ .(,1)A -∞.(,2)B -∞.(2,)C +∞.(3,)D +∞6.设为等差数列的前项和，若，，则n S {}n a n 3243S S S =+12a ==5a.12A -.10B -.10C .12D 7.已知是函数的一个极大值点，则的一个单调递减区间是03x π=()sin(2)f x x =+ϕ()f x2.(,)63A ππ5.(,)36B ππ.(,)2C ππ2.(,)3D ππ8.已知为等比数列，， ，则{}n a 472a a +=568a a =-110a a += .7A .5B .5C -.7D -9.将函数的图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是sin(26y x π=-4π .12A x π=.6B x π=.3C x π=.12D x π=-10.已知函数，若对，都有成立，则(),2x x e e f x x R --=∈(0,]2π∀θ∈(sin )(1)0f f m θ+->实数的取值范围是m .(0,1)A .(0,2)B .(,1)C -∞.(,1]D -∞11.已知（为自然对数的底数）有两个极值点，则实数的取值范围是()ln xf x x x ae =-e a 1.(0,)A e .(0,)B e 1.(,)C e e.(,)D e -∞12.已知函数，若，则()()32ln 3,a f x x x g x x x x =++=-()()12121,,2,03x x f x g x ⎡⎤∀∈-≥⎢⎥⎣⎦实数的取值范围为a [).0,A +∞[).1,B +∞[).2,C +∞[).3,D +∞二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知数列满足，，则_________{}n a 111n na a +=-112a =2019a =14.记为数列的前项和，若，则_________n S {}n a 21n n S a =+n a =15.的内角的对边分别为，若，，，则ABC ,,A B C ,,a b c 4cos 5A =5cos 13C =1a =_________b =16.已知函数，则的最小值是_________()2cos sin 2f x x x =+()f x三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本题满分12分)在中，角所对的边分别为，已知.ABC ,,A B C ,,a b c sin sin sin sin c A B b a A C +=-+(1)求角的大小；B (2)若，，求的面积.b =3ac +=ABC 18.（本题满分12分）已知函数（）的最小正周期为．2π()sin sin 2f x x x x ωωω⎛⎫=+⎪⎝⎭0ω>π(1)求的值；ω(2)求函数在区间上的取值范围．()f x 2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，19.(本题满分12分)设数列的前项和为，点均在函数的图像上.{}n a n n S (,)()n S n n N n *∈2y x =+(1)求数列的通项公式；{}n a (2)设，是数列的前项和，求使得对所有都成立的最小正整11n n n b a a +=n T {}n b n 20n m T <n N *∈数.m 20. (本题满分12分)已知椭圆经过点，其离心率为，设直线)0(1:2222>>=+b a by a x C )221(，M 22与椭圆相交于两点．m kx y l +=：C B A 、(1)求椭圆的方程；C (2)以线段为邻边作平行四边形，若点在椭圆上，且满足OA OB ，OAPB Q C （为坐标原点），求实数的取值范围．OP OQ λ= O λ21.（本题满分12分）已知函数.()()ln R f x ax x a =-∈(1)求函数的单调区间；()f x (2)若函数有两个零点，证明：.()f x 12,x x 12112ln ln x x +>请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.22. (本题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为，以坐标原点为极点，xOy l 1()12x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数O 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.x C 4cos ρθ=-(1)求圆的圆心到直线的距离；C l (2)已知，若直线与圆交于两点，求的值．(1,0)P l C ,A B 11PA PB+23.(本题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知函数，．()22f x x =-+()()g x m x m R =∈（1）解关于的不等式；x ()5f x >（2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围．()()f x g x ≥x R ∈m 2018-2019年度高三上学期第二次月考数学试卷(理科)答案一．选择题1-6 7-12ACDCDB BDADAB二．填空题13. 14. 15. 16. 1-12n --2113三．解答题17.（1）c a b b a a c+=-+ 2222cos a c b ac ac B ∴+-=-=1cos 2B ∴=-120B ∴=︒（2）22222cos ()22cos b a c ac B a c ac ac B =+-=+-- 1ac ∴=1sin 2S ac B ∴==18.（Ⅰ）．1cos 2()22x f x x ωω-=112cos 222x x ωω=-+π1sin 262x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭因为函数的最小正周期为，且，所以，解得．()f x π0ω>2ππ2ω=1ω=（Ⅱ）由（Ⅰ）得．π1()sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭因为，所以，所以，2π03x ≤≤ππ7π2666x --≤≤1πsin 2126x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤≤因此，即的取值范围为．π130sin 2622x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤≤()f x 302⎡⎤⎢⎥⎣⎦，19. 2n S n n=+ 22n S n n∴=+，适合上式1(1)2,21n n n n a S S n -≥=-=+1(2)1,3n a ==21n a n ∴=+1111(2)((21)(23)22123n b n n n n ==-++++11111111111((23557212323236n T n n n ∴=-+-++-=-<+++ 1102063m m ∴≥∴≥m Z ∈ min 4m ∴=20.（1）因为，c e a == 222a b c =+222a b ∴=椭圆方程为∴222212x y b b∴+=在椭圆上 221,2b a ∴==椭圆方程为∴2212x y +=（2）由，得．22,22y kx m x y =+⎧⎨+=⎩222(12)4220k x kmx m +++-=设点、的坐标分别为、，A B 11(,)A x y 22(,)B x y 则，，122412km x x k +=-+21222212m x x k -=+121222()212my y k x x m k +=++=+关于原点对称，，不能形成平行四边形(1)0,,m A B =0λ=0∴λ≠，(2)0m ≠224(12)2(12)Q Q km x k m y k -⎧=⎪λ+⎪⎨⎪=⎪λ+⎩在椭圆上，Q 222242[]2[]2(12)(12)km m k k -∴+=λ+λ+2224(12)m k ∴=λ+222222164(12)(22)8(12)0k m k m k m =-+-=+-> 2212k m ∴+>2224m m ∴>λ且22∴-<λ<0λ≠21（1）()()110ax f x a x x x-=-=>'当时， ，所以在上单调递减；0a ≤()0f x '<()f x ()0,+∞当时， ，得0a >()0f x '=1x a=都有， 在上单调递减；10,x a ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭()0f x '<()f x 10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭都有， 在上单调递增.1,x a ⎛⎫∀∈+∞ ⎪⎝⎭()0f x '>()f x 1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭综上：当时， 在上单调递减，无单调递增区间；0a ≤()f x ()0,+∞当时， 在单调递减， 在上单调递增.0a >()f x 10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x 1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）函数有两个零点分别为，不妨设则()f x 12,x x 12x x <， 11ln 0x ax -=22ln 0x ax -=()2121ln ln x x a x x -=-要证： 12112ln ln x x +>只需证： 只需证： 12112a x x +>12122x xax x +>只需证： 12211221ln ln 2x x x xx x x x +->-只需证： 22212121ln 2x x x x x x ->只需证： 2211121ln 2x x x x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭令，即证211x t x =>11ln 2t t t ⎛⎫<- ⎪⎝⎭设，则，()11ln 2t t t t φ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()222102t t t t φ'--=<即函数在单调递减()t φ()1,+∞则()()10t φφ<=即得12112ln ln x x +>22.解：(1)由直线l 的参数方程为消去参数t，可得：1()12x t y t⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数10x -=圆C 的极坐标方程为，即.4cos ρθ=-24cos ρρθ=-所以圆C 的普通坐标方程为2240x y x ++=则．(2,0)C -所以圆心到直线l 的距离(2,0)C -21322d --==(2)已知，点在直线上，直线与圆交于两点，将(1,0)P P l l C ,A B 代入圆C 的普通坐标方程得：1()12x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数2240x y x ++=250t ++=设对应参数为，则，,A B 12,tt 12t t +=-125t t =因为，是同号．120t t >12,t t 所以．1212121111t t PA PB t t t t ++=+==23.（1）由，得,()5f x >23x ->即或, 23x -<-23x ->或.故原不等式的解集为1x ∴<-5x >{}15x x x <->或（2）由，得对任意x R ∈恒成立,()()f x g x ≥2+2≥-x m x 当0x =时，不等式成立,2+2≥-x m x 当0x ≠时，问题等价于对任意非零实数恒成立,22x m x -+≤，2222 1 , 1x x m x x -+-+=∴ ≥≤即m 的取值范围是.( , 1]-∞。
黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2019届高三数学上学期第一次月考试题(理科)
2018-2019学年秋季学期高三第一次月考数学试题(理科)考试时间：120分钟 试卷满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合{}1A x x =<，{}31xB x =<，则( ).A {|0}A B x x =< .B A B =R .C {|1}A B x x =>.D A B =∅2.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a +=，则52S S =( ) .11A .5B .11C - .8D -3.下列函数中，其定义域和值域分别与函数lg 10x y =的定义域和值域相同的是( ).A y x = .2x B y = .lg C y x =.D y =4.已知1sin 23α=，则2cos ()4πα-=( ) 1.3A 4.9B 2.3C 8.9D 5.函数2()ln(43)f x x x =-+的单调递增区间是( ).(,1)A -∞ .(,2)B -∞ .(2,)C +∞ .(3,)D +∞6.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则=5a ( ).12A - .10B - .10C.12D7.已知03x π=是函数()sin(2)f x x =+ϕ的一个极大值点，则()f x 的一个单调递减区间是( ) 2.(,)63A ππ 5.(,)36B ππ .(,)2C ππ 2.(,)3D ππ 8.已知{}n a 为等比数列，472a a +=， 568a a =-，则110a a +=( ).7A .5B .5C - .7D -9.将函数sin(2)6y x π=-的图象向左平移4π个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是( ).12A x π= .6B x π= .3C x π= .12D x π=-10.已知函数(),2x x e e f x x R --=∈，若对(0,]2π∀θ∈，都有(sin )(1)0f f m θ+->成立，则实数m 的取值范围是( ).(0,1)A .(0,2)B .(,1)C -∞ .(,1]D -∞11.已知()ln x f x x x ae =-（e 为自然对数的底数）有两个极值点，则实数a 的取值范围是( )1.(0,)A e .(0,)B e 1.(,)C e e.(,)D e -∞12.已知函数()()32ln 3,a f x x x g x x x x =++=-，若()()12121,,2,03x x f x g x ⎡⎤∀∈-≥⎢⎥⎣⎦，则实数a 的取值范围为( )[).0,A +∞ [).1,B +∞ [).2,C +∞ [).3,D +∞二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13.已知数列{}n a 满足111n na a +=-，112a =，则2019a =_________14.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则n a =_________ 15.ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若4cos 5A =，5cos 13C =，1a =，则b =_________ 16.已知函数()2cos sin 2f x x x =+，则()f x 的最小值是_________三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(本题满分12分)在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin sin sin sin c A Bb a A C+=-+. (1)求角B 的大小；(2)若b =3a c +=，求ABC 的面积。
黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2019届高三上学期开学考试数学(理)试题(精编含解析)
哈师大附中高三上学期第一次月考数学试卷（理）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若全集，集合，，则等于（）A. B. 或C. D.【答案】B【解析】试题分析：由题意得，或，，∴或，故选B．考点：集合的运算．2.若复数z满足,i为虚数单位,则z的虚部为（）A. -2iB. -2C. 2D. 2i【答案】B【解析】【分析】设复数z=a+bi，代入等式，利用复数相等，求得a，b，得到答案．【详解】设复数z=a+bi，则（1+2i）（a+bi）=5，即a﹣2b+（2a+b）i=5，所以解得，所以z=1﹣2i，所以复数z 的虚部为﹣2；故答案为：B．【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.3.与函数相同的函数是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】试题分析：A中对应关系不同；B中定义域不同；C中定义域不同；D中对应关系，定义域均相同，是同一函数考点：函数是同一函数的标准4.幂函数在上单调递增，则的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 2或4【答案】C【解析】【分析】根据幂函数的定义与性质，列出不等式与方程，即可求出m的值．【详解】由题意得：解得,∴m=4．故选：C．【点睛】这个题目考查的是幂函数的单调性问题，幂函数在第一象限的单调性和p有关系，当时函数单调递增，当时函数单调递减，至于其它象限的单调性，需要结合函数的奇偶性和图像来分析. 5.函数的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出函数的定义域，根据函数在1两侧的极限可排除选项，也可以再取特殊值判断．【详解】f（x）=的定义域为（﹣∞，1）∪（1，+∞），当自变量从左侧趋向于1时，函数值趋向于﹣∞，排除CD，当自变量从右侧趋向于1时，函数值仍然趋向于﹣∞，排除A，或者取特殊值，当x=时，f（x）=-2ln2＜0，也可以排除A项，故选：B.【点睛】这个题目考查了已知函数的解析式求函数的图像，常见的方法是，通过解析式得到函数的值域和定义域，进行排除，由解析式得到函数的奇偶性和轴对称性，或者中心对称性，进行排除，还可以代入特殊点，或者取极限.6.下列关于命题的说法错误的是（）A. 命题“若，则”的逆否命题为“若，则”；B. “”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件；C. 若命题，则；D. 命题“”是假命题.【答案】C【解析】对于，命题“若，则”的逆否命题为“若，则”正确；对于，只要时，函数在区间上为增函数，故正确；对于，若命题，则故错误；对于，根据幂函数图象得“时，”，故正确，故选C.7.设，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由指数函数的性质可得，结合对数函数的性质有，综上可得，.本题选择A 选项.8.已知定义在上的奇函数满足，当时，则（ ）A. B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】函数满足可知周期，，，，故可比较大小.【详解】因为满足，所以，所以周期，所以，，,故选B.【点睛】本题主要考查了函数的周期性及函数的奇偶性，属于中档题.9.若函数在其定义域上为增函数，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】函数为定义域上的增函数，则都为增函数，且满足即可求出.【详解】因为分段函数为增函数，所以需满足，解得，故选B.【点睛】本题主要考查了分段函数的增减性，属于中档题.解决此问题需要每段都是增函数且在分界点左侧的函数值要小于等于右侧的函数值.10.已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】函数h（x）=f（x）﹣mx+2有三个不同的零点，即为f（x）﹣mx+2=0有三个不同的实根，可令y=f（x），y=g（x）=mx﹣2，分别画出y=f（x）和y=g（x）的图象，通过图象观察，结合斜率公式，即可得到m的范围．【详解】函数h（x）=f（x）﹣mx+2有三个不同的零点，即为f（x）﹣mx+2=0有三个不同的实根，可令y=f（x），y=g（x）=mx﹣2，分别画出y=f（x）和y=g（x）的图象，A（0，﹣2），B（3，1），C（4，0），则g（x）的图象介于直线AB和AC之间，介于k AB＜m＜k AC，可得＜m＜1．故选：A．【点睛】本题中涉及根据函数零点求参数取值，是高考经常涉及的重点问题，（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.11.已知函数，给出以下四个命题：①，有；②且，有；③，有；④，.其中所有真命题的序号是（）A. ①②B. ③④C. ①②③D. ①②③④【答案】D【解析】对于①，，正确；对于②，因为和都是上的增函数，所以是上的增函数，故正确；对于③在上是增函数，所以函数是上凸的，故正确；对于④设，则当时，，在上是增函数，所以时，，即，由奇函数性质知，，都有.故正确的命题①②③④，选D.12.已知函数，若有且只有两个整数使得，且，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】.当时，，则在上单调递增，且，所以有无数整数解，不符合题意；当时，即,由，得.则在上单调递增，在上单调递减，,根据题意有：即可，解得综上：.故选B.点睛：研究大于0的整数解，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）13.设函数，则=_________．【答案】0【解析】【分析】根据解析式得到2>1,故f(2)代第二段解析式得到数值0，f(0)=0，代第一段解析式得到0.【详解】根据分段函数的解析式得到：2>1,故f(2)代第二段解析式,.【点睛】这个题目考查了已知分段函数的解析式，求函数值，通常是通过解析式和定义域，判断出自变量属于的区间，再将自变量代入即可.14.若函数的定义域是，则函数的定义域为________．【答案】【解析】试题分析：由题意，得，解得，即函数函数的定义域为．考点：1、函数的定义域；2、对数函数的图象与性质．【方法点睛】已知抽象函数的定义域，求的定义域，其中的关键是，后者的相当于前者的，即转化为求不等式的解集，即为的定义域；而求内函数在区间的值域（的取值范围），即为的定义域．15.已知函数，若存在，当时，，则的最小值为_____________．【答案】【解析】【分析】作出函数图象，根据图象及确定的取值范围，再根据转化为关于的式子，求其范围即可.【详解】作出函数图象如下图：令得，因为存在，当时，，所以由图象知，又，令故当时，，故填.【点睛】本题主要考查分段函数的应用，以及函数零点与方程之间的关系，属于难题.通过图象求出变量的取值范围后，利用二次函数求最值是解决本题的关键.16.设，已知函数是定义域为的偶函数，当时，若关于的方程有且只有个不同实数根，则的取值范围是．【答案】【解析】试题分析：函数的图象如下图所示，由图可知，若关于的方程有且只有个不同实数根，则关于的的一元二次方程的两根，其中一根为1，另一根在开区间内，所以，有所以，所以答案应填：．考点：1、分段函数；2、指数函数与对数函数；3、函数与方程的思想．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.设函数.（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）若存在使不等式成立，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）．【解析】试题分析：（1）结合不等式分类讨论即可求得不等式的解集；（2）利用零点分段求得的最小值，结合题意即可求得实数的取值范围．试题解析：（1）当时，显然不成立当时，平方得：综上：（2）若存在使不等式成立，即的最小值小于等于.∴，则18.已知曲线的参数方程是（为参数），曲线的参数方程是（为参数）．（Ⅰ）将曲线，的参数方程化为普通方程；（Ⅱ）求曲线上的点到曲线的距离的最大值和最小值．【答案】（Ⅰ）曲线C1的普通方程是，曲线C2的普通方程是2x+3y﹣10=0．（Ⅱ）最大值为，最小值为．【解析】试题分析：（1）利用平方法将的参数方程消去参数可得到曲线普通方程，利用代入法将的参数方程消去参数可得到的普通方程；（2）根据曲线的参数方程设点为曲线上任意一点，利用点到直线距离公式求出点到直线的距离，利用三角函数的有界性可得曲线上的点到曲线的距离的最大值和最小值.试题解析：（1）曲线的参数方程是 (为参数)，则，∵，可得，∴曲线的普通方程是；曲线的参数方程是（为参数)，消去参数，，代入，即∴曲线的普通方程是.（2）设点为曲线上任意一点，则点到直线的距离为，则∵∴∴19.为选拔选手参加“中国谜语大会”，某中学举行了一次“谜语大赛”活动．为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）．（Ⅰ）求样本容量n和频率分布直方图中的的值；（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取3名学生参加“中国谜语大会”，设随机变量表示所抽取的3名学生中得分在内的学生人数，求随机变量的分布列及数学期望.【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）分布列见解析，期望为．【解析】【分析】（Ⅰ）由样本容量与频率频数的关系即可得出答案（Ⅱ）由题意可知分数在内的学生有5人，记这5人分别为，分数在内的学生有2人，记这2人分别为，列举即可得出.【详解】（Ⅰ）由题意得，.（Ⅱ）由题意可得X的可能取值为1,2,3,,X的分布列X123P所以．【点睛】本题主要考查了列举法求古典概型的概率，涉及频率分布直方图、分布列、期望，属于中档题. 20.已知点，椭圆的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点的动直线与椭圆相交于两点．当△的面积最大时，求直线的方程．【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）或．【解析】【分析】（1）通过离心率得到关系，代入A求出，即可写出椭圆方程（2）设出直线方程,代入椭圆方程后得一元二次方程，根据求k的取值范围，利用弦长公式及点到直线的距离公式表示出三角形的面积，换元后求其最值即可.【详解】(1)设F(c,0)，由条件知，＝，得c＝.又＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1.故E的方程为＋y2＝1.(2)当l⊥x轴时不合题意，故设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．将y＝kx－2代入＋y2＝1消去y整理得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.当Δ＝16(4k2－3)>0，即k2>时，|PQ|＝|x1－x2|＝.又点O到直线PQ的距离d＝.所以△OPQ的面积S△OPQ＝d·|PQ|＝.设＝t，则t>0，S△OPQ＝＝.因为t＋≥4，当且仅当t＝2，即k＝±时等号成立，且满足Δ>0.所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为或.【点睛】本题主要考查了椭圆及直线与椭圆的位置关系，属于难题.求椭圆方程的方法一般就是根据条件建立的方程，求出即可，注意的应用；涉及直线与圆锥曲线相交时，未给出直线时需要自己根据题目条件设直线方程，要特别注意直线斜率是否存在的问题，避免不分类讨论造成遗漏，然后要联立方程组，得一元二次方程，利用根与系数关系写出，再根据具体问题应用上式，其中要注意判别式条件的约束作用．21.设函数（）．（Ⅰ）若在处取得极值，求实数的值，并求此时曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）若在上为减函数，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ），切线方程为3x－e y＝0．（Ⅱ）a的取值范围为．【解析】【分析】(Ⅰ)根据可求，根据导数的几何意义可求切线的斜率（Ⅱ）由函数在区间上单调递减，知导函数在区间上小于等于零恒成立，可分类讨论二次函数求a的范围.【详解】(Ⅰ)对f(x)求导得f′(x)＝＝.因为f(x)在x＝0处取得极值，所以f′(0)＝0，即a＝0.当a＝0时，f(x)＝，f′(x)＝，由f′(x)>0得0<x<2；由f′(x)<0得x<0或x>2,故a=0时在处取得极值．此时可得f(1)＝，f′(1)＝，所以曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－＝ (x－1)，即3x－e y＝0.(Ⅱ)由(Ⅰ)知f′(x)＝，令g(x)＝－3x2＋(6－a)x＋a，由g(x)＝0，解得x1＝，x2＝.当x<x1时，g(x)<0，即f′(x)<0，故f(x)为减函数；当x1<x<x2时，g(x)>0，即f′(x)>0，故f(x)为增函数；当x>x2时，g(x)<0，即f′(x)<0，故f(x)为减函数．由f(x)在[3，＋∞)上为减函数，知x2＝≤3，解得a≥－.故a的取值范围为.【点睛】本题主要考查了导数的运算法则，导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性极值，考查了分类讨论思想，分离参数的方法，推理能力与计算能力，属于难题.22.已知函数，，,令.（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值.【答案】（Ⅰ）增区间为，减区间为．（Ⅱ）整数的最小值为2.【解析】【分析】（1）先求出函数定义域，然后求导，通过导数大于零得到增区间，导数小于零得到减区间（2）关于的不等式恒成立，即为恒成立，令，求导数，求得单调区间，讨论m的符号，由最大值小于等于0，通过分析即可得到m的最小值.【详解】（1）由题意得函数的定义域为，∵，∴．①当时恒成立，在上是增函数.②当时，由，解得；由，解得．∴函数的增区间为，减区间为．（2）法一：令.所以.当时，因为，所以所以在上是递增函数，又因为.所以关于的不等式不能恒成立.当时，.令得，所以当时，；当时，，因此函数在是增函数，在是减函数.故函数的最大值为.令，因为，，又因为在上是减函数，所以当时，.所以整数的最小值为2.法二：由恒成立知恒成立，令，则，令，因为，，则为增函数.故存在，使，即，当时，，为增函数，当时，，为减函数.所以，而，所以，所以整数的最小值为2.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性的基本思路，不等式恒成立问题转化为函数最值问题来求解的方法，属于难题.。
黑龙江省哈尔滨市2019届高三上学期第一次月考数学(理)试题
黑龙江省哈尔滨市2019届高三上学期第一次月考数学试题（理科）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并上交。
一、选择题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.1.设集合A ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，B ＝{x |x 2－1<0}，则A ∪B 等于( ) A ．(－1,1) B ．(－1，＋∞) C ．(0,1) D ．(0，＋∞)2.已知α，β均为第一象限角，那么“α＞β”是“sin α＞sin β”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．既不充分也不必要条件 D ．充要条件3.下列四个命题：p 1：∃x 0∈(0，＋∞)，0011()()23x x <； p 2：∃x 0∈(0,1)，101023log log x x >；p 3：∀x ∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＞12log x ； p 4：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＜13log x .其中真命题是( ) A ．p 1，p 3 B ．p 2，p 4 C ．p 2，p 3 D ．p 1，p 44.若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2 018]，则函数g (x )＝f x ＋x －1的定义域是( )A ．[－1,2 017]B ．[0,2 018]C ．[－1,1)∪(1,2 018]D ．[－1,1)∪(1,2 017]5.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2x ＋，x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )等于( )A ．－14B ．－34C ．－54D ．－746.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －x ＋4a ，x ＜1，log a x ，x ≥1是(－∞，＋∞)上的减函数，则a 的取值范围是( )A ．(0,1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 C. ⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，1 D. ⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，137.已知函数g (x )是R 上的奇函数，且当x ＜0时，g (x )＝－ln(1－x )，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，g x ，x ＞0，若f (2－x 2)＞f (x )，则实数x 的取值范围是( )A ．(－∞，1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(1,2)D ．(－2,1)8.对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)与二次函数y ＝(a －1)x 2－x 在同一坐标系内的图象可能是( )9.函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (x ＋1)＝f (1－x )，且f (0)＝3，则f (b x )与f (c x )的大小关系是( )A ．f (b x )＞f (c x )B ．f (b x )≥f (c x )C ．f (b x )＜f (c x )D ．f (b x )≤f (c x )10.若函数f (x )＝log 2(x 2－ax －3a )在区间(－∞，－2]上是减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，4)B ．(－4,4]C ．(－∞，－4)∪[－2，＋∞)D ．[－4,4)11.若实数a ，b ，c 满足log a 2<log b 2<log c 2，则下列关系中不可能成立的是( ) A ．a <c <b B ．b <a <c C ．c <b <a D ． a <b <c12.已知当x ∈[0,1]时，函数y ＝(mx －1)2的图象与y ＝x ＋m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是( ) A ．(0，2]∪[23，＋∞) B ．(0，2]∪[3，＋∞) C ．(0,1]∪[23，＋∞)D ．(0,1]∪[3，＋∞)13. 已知cos31°＝a ，则sin239°·tan149°的值是( ) A.1－a 2a B.1－a 2 C.a 2－1a D ．－1－a 214.定义在R 上的函数f (x )的导函数为f ′(x )，f (0)＝0.若对任意x ∈R ，都有f (x )>f ′(x )＋1，则使得f (x )＋e x <1成立的x 的取值范围为( )A ．(－1，＋∞)B ．(－∞，0)C ． (0，＋∞)D ．(－∞，1)二、填空题（每小题5分，共20分）15. 已知命题p ：∀x ∈R ，x 2－a ≥0；命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0.若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围为__________．16.已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－m ，若对∀x 1∈[0,3]，∃x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________________． 17. ʃ1－1(1－x 2＋e x－1)d x ＝______. 18.设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x ，则有①2是函数f (x )的周期； ②函数f (x )在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数； ③函数f (x )的最大值是1，最小值是0.其中所有正确命题的序号是________． 三、解答题（共60分） 19. 已知函数y ＝22x xb a++(a ，b 为常数，且a >0，a ≠1)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，0上有最大值3，最小值52，试求a ，b 的值．20.已知函数f (x )＝ln x ＋1x －1.(1)求函数f (x )的定义域，并判断函数f (x )的奇偶性；(2)对于x ∈[2,6]，f (x )＝ln x ＋1x －1>ln mx －－x 恒成立，求实数m 的取值范围．21.已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x (a ≠0)．(1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，求a 的取值范围； (2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上单调递减，求a 的取值范围．22. 已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)当a >0时，求函数f (x )在[1,2]上的最小值．23.已知函数f (x )＝x ln x －a2x 2(a ∈R )．(1)若a ＝2，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若g (x )＝f (x )＋(a －1)x 在x ＝1处取得极小值，求实数a 的取值范围．高三数学（理科）参考答案1.B2.C3.B4.D5.D6.D7.D8.A9.D10.D11.D12.D13. B 14.C 15.(－∞，－2] 16.，＋∞1 17. 2π＋e －e 1－2 18.①② 19.解 令t ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1， ∵x ∈，03，∴t ∈[－1,0]． ①若a >1，函数f (t )＝a t在[－1,0]上为增函数， ∴a t∈，11，b ＋∈，b ＋11，依题意得b ＋1＝3，，解得b ＝2.a ＝2，②若0<a <1，函数f (t )＝a t 在[－1,0]上为减函数， ∴a t∈a 1，b ＋∈a 1， 依题意得，5解得.3综上知，a ＝2，b ＝2或a ＝32，b ＝23. 20.解 (1)由x －1x ＋1>0，解得x <－1或x >1，∴函数f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)， 当x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时， f (－x )＝ln －x －1－x ＋1＝lnx ＋1x －1 ＝lnx －1x ＋1－1＝－lnx －1x ＋1＝－f (x )， ∴f (x )＝lnx －1x ＋1是奇函数．(2)∵x ∈[2,6]时，f (x )＝lnx －1x ＋1>ln()()x －17－x m 恒成立，∴x －1x ＋1>()()x －17－x m>0， ∵x ∈[2,6]，∴0<m <(x ＋1)(7－x )在[2,6]上恒成立． 令g (x )＝(x ＋1)(7－x )＝－(x －3)2＋16，x ∈[2,6]，由二次函数的性质可知，x ∈[2,3]时函数g (x )单调递增，x ∈[3,6]时函数g (x )单调递减， ∴当x ∈[2,6]时，g (x )min ＝g (6)＝7， ∴0<m <7.21.解 (1)h (x )＝ln x －21ax 2－2x ，x ∈(0，＋∞)，所以h ′(x )＝x 1－ax －2，由于h (x )在(0，＋∞)上存在单调递减区间， 所以当x ∈(0，＋∞)时，x 1－ax －2<0有解， 即a >x21－x 2有解．设G (x )＝x21－x 2，所以只要a >G (x )min 即可． 而G (x )＝－112－1，所以G (x )min ＝－1. 所以a >－1. 又因为a ≠0，所以a 的取值范围为(－1,0)∪(0，＋∞)．(2)因为h (x )在[1,4]上单调递减， 所以当x ∈[1,4]时，h ′(x )＝x 1－ax －2≤0恒成立，即a ≥x21－x 2恒成立． 由(1)知G (x )＝x21－x 2， 所以a ≥G (x )max ，而G (x )＝－112－1， 因为x ∈[1,4]，所以x 1∈，11， 所以G (x )max ＝－167(此时x ＝4)， 所以a ≥－167，又因为a ≠0， 所以a 的取值范围是，07∪(0，＋∞)． 22.解 (1)f ′(x )＝x 1－a (x >0)，①当a ≤0时，f ′(x )＝x 1－a >0，即函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．[2分] ②当a >0时，令f ′(x )＝x 1－a ＝0，可得x ＝a 1， 当0<x <a 1时，f ′(x )＝x 1－ax>0； 当x >a 1时，f ′(x )＝x 1－ax<0， 故函数f (x )的单调递增区间为a 1， 单调递减区间为，＋∞1.[4分]综上可知，当a ≤0时，函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)； 当a >0时，函数f (x )的单调递增区间为a 1，单调递减区间为，＋∞1.[5分](2)①当a 1≤1，即a ≥1时，函数f (x )在区间[1,2]上是减函数，所以f (x )的最小值是f (2)＝ln2－2a .[6分]②当a 1≥2，即0<a ≤21时，函数f (x )在区间[1,2]上是增函数，所以f (x )的最小值是f (1)＝－a .[7分]③当1<a 1<2，即21<a <1时，函数f (x )在a 1上是增函数，在，21上是减函数．又f (2)－f (1)＝ln2－a ，所以当21<a <ln2时，最小值是f (1)＝－a ； 当ln2≤a <1时，最小值为f (2)＝ln2－2a .[11分]综上可知，当0<a <ln2时，函数f (x )的最小值是f (1)＝－a ； 当a ≥ln2时，函数f (x )的最小值是f (2)＝ln2－2a .[12分] 23. 解 (1)当a ＝2时，f (x )＝x ln x －x 2，f ′(x )＝ln x ＋1－2x ，f (1)＝－1，f ′(1)＝－1，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为x ＋y ＝0. (2)由已知得g (x )＝x ln x －2a x 2＋(a －1)x ， 则g ′(x )＝ln x －ax ＋a ， 记h (x )＝g ′(x )＝ln x －ax ＋a ，则h (1)＝0，h ′(x )＝x 1－a ＝x 1－ax(x >0)．①当a ≤0，x ∈(0，＋∞)时，h ′(x )>0，函数g ′(x )单调递增，所以当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，所以g (x )在x ＝1处取得极小值，满足题意； ②当0<a <1时，a 1>1，当x ∈a 1时，h ′(x )>0，故函数g ′(x )单调递增，可得当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，当x ∈a 1时，g ′(x )>0，所以g (x )在x ＝1处取得极小值，满足题意；③当a ＝1，x ∈(0,1)时，h ′(x )>0，g ′(x )在(0,1)内单调递增； 当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )<0，g ′(x )在(1，＋∞)内单调递减， 所以当x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )≤0，g (x )单调递减，不合题意；④当a >1，即0<a 1<1时，当x ∈，11时，h ′(x )<0，g ′(x )单调递减，g ′(x )>0， 当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )<0，g ′(x )单调递减，g ′(x )<0， 所以g (x )在x ＝1处取得极大值，不合题意． 综上可知，实数a 的取值范围为{a |a <1}．。
【名师推荐】黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三第一次模拟考试(内考)数学(理)试题(精品解析)
2019届高三第一次模拟考试（内用）理科数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。
2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在题目给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求.1.已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由图象可知阴影部分对应的集合为，然后根据集合的基本运算求解即可【详解】由Venn图可知阴影部分对应的集合为，或，0，1，，，即，故选：D．【点睛】本题主要考查集合的基本运算，利用图象先确定集合关系是解决本题的关键，比较基础．2.设复数，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】,故选C.3.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）正视图侧视图俯视图A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先由三视图可判断该几何体为三棱锥，结合三棱锥的体积公式即可求出结果.【详解】由三视图可知该几何体为三棱锥，且底面为直角三角形，直角边分别为1和2，三棱锥的高为2，所以该三棱锥的体积为.故选A【点睛】本题主要考查根据几何体的三视图求几何体体积问题，首先由三视图还原几何体，再由体积公式求解即可，属于常考题型.4.已知，，，则（ ）A.B. C. D.【答案】A【解析】因为，，所以，故选A ．【技巧点拨】比较指数的大小常常根据三个数的结构联系相关的指数函数与对数函数、幂函数的单调性来判断，如果两个数指数相同，底数不同，则考虑幂函数的单调性；如果指数不同，底数相同，则考虑指数函数的单调性；如果涉及对数，则联系对数的单调性来解决．5.已知数列的前项和，且，则（ ） A. B. C. D.【答案】C【解析】∵，且，∴，即∴，当时，，∴，即，∴∴∴故选：C 6.设随机变量，，若，则的值为（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】，选B.7.已知双曲线的右焦点到渐近线的距离为，且在双曲线上到的距离为的点有且仅有个，则这个点到双曲线的左焦点的距离为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】双曲线焦点到渐近线的距离为,所以.双曲线上到的距离为2的点有且仅有1个,即双曲线右顶点到右焦点的距离为,故,由于,解得,右顶点到左焦点的距离为,故选D.8.甲、乙等人排一排照相，要求甲、乙人相邻但不排在两端，那么不同的排法共有（）A. 种B. 种C. 种D. 种【答案】B【解析】根据题意，甲、乙看做一个元素安排中间位置，共有种排法，其余人排其它个位置，共有种排法，利用乘法原理，可得不同的排法有种．故选．点睛：本题考查的是排列组合问题.（1）解排列组合问题要遵循两个原则：①按元素(或位置)的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．（2）不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组．注意各种分组类型中，不同分组方法的求解．9.阅读如图所示的程序框图，若运行相应的程序输出的结果为，则判断框中的条件不可能是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】前6步的执行结果如下：；；；；；；观察可知，的值以3为周期循环出现，所以判断条件为？时，，输出的结果不为0．故选A.10.若的展开式中含有常数项，且的最小值为，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】展开式的通项为，因为展开式中含有常数项，所以，即为整数，故n的最小值为5．所以.故选C点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.11.已知，在这两个实数，之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据这五个数构成等差数列，可用，表示出后三项，再由，令，代入后三项的和，即可求出结果.【详解】因为在实数，之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，所以设中间三项为，由等差数列的性质可得，所以，同理可得，所以后三项的和为，又因为，所以可令，所以.故选D【点睛】本题主要考查等差数列的性质，熟记等差数列的性质和三角函数的性质，即可求解，属于常考题型.12.函数，方程有个不相等实根，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根据题意画出函数图像：设有两个根，每个t值对应两个x值，故情况为当属于情况一时，将0代入方程得到m=1,此时二次方程的根是确定的一个为0，一个为2，不符合题意；当属于情况二时，故答案为：C.点睛：函数的零点或方程的根的问题，一般以含参数的三次式、分式、以e为底的指数式或对数式及三角函数式结构的函数零点或方程根的形式出现，一般有下列两种考查形式：(1)确定函数零点、图象交点及方程根的个数问题；(2)应用函数零点、图象交点及方程解的存在情况，求参数的值或取值范围问题．研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最值、函数的变化趋势等，根据题目要求，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现。
黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2019届高三数学上学期第一次月考试题(理科)含答案
2018-2019年度高三学年上学期第一次月考数学试题(理科)考试时间：120分钟 试卷满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合{}1A x x =<，{}31xB x =<，则（ ）.A {|0}A B x x =< .B A B =R .C {|1}A B x x =>.D A B =∅2.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a +=，则52S S =（ ） .11A .5B .11C - .8D -3.下列函数中，其定义域和值域分别与函数lg 10x y =的定义域和值域相同的是（ ）.A y x = .2x B y = .lg C y x =.D y =4.已知1sin 23α=，则2cos ()4πα-=（ ） 1.3A 4.9B 2.3C 8.9D 5.函数2()ln(43)f x x x =-+的单调递增区间是（ ）.(,1)A -∞ .(,2)B -∞ .(2,)C +∞ .(3,)D +∞6.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则=5a （ ）.12A - .10B - .10C.12D7.已知03x π=是函数()sin(2)f x x =+ϕ的一个极大值点，则()f x 的一个单调递减区间是（ ） 2.(,)63A ππ 5.(,)36B ππ .(,)2C ππ 2.(,)3D ππ 8.已知{}n a 为等比数列，472a a +=， 568a a =-，则110a a += （ ）.7A .5B .5C - .7D -9.将函数sin(2)6y x π=-的图象向左平移4π个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（ ） .12A x π= .6B x π= .3C x π= .12D x π=-10.已知函数(),2x x e e f x x R --=∈，若对(0,]2π∀θ∈，都有(sin )(1)0f f m θ+->成立，则实数m 的取值范围是（ ）.(0,1)A .(0,2)B .(,1)C -∞ .(,1]D -∞11.已知()ln x f x x x ae =-（e 为自然对数的底数）有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ）1.(0,)A e .(0,)B e 1.(,)C e e.(,)D e -∞12.已知函数()()32ln 3,a f x x x g x x x x =++=-，若()()12121,,2,03x x f x g x ⎡⎤∀∈-≥⎢⎥⎣⎦，则实数a 的取值范围为（ ）[).0,A +∞ [).1,B +∞ [).2,C +∞ [).3,D +∞二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13.已知数列{}n a 满足111n na a +=-，112a =，则2019a =_________14.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则n a =_________ 15.ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若4cos 5A =，5cos 13C =，1a =，则b =_________ 16.已知函数()2cos sin 2f x x x =+，则()f x 的最小值是_________三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(本题满分12分)在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin sin sin sin c A Bb a A C+=-+. (1)求角B 的大小；(2)若b =3a c +=，求ABC 的面积.已知函数2π()sin sin 2f x x x x ωωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π． (1)求ω的值；(2)求函数()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围．19.(本题满分12分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()nS n n N n*∈均在函数2y x =+的图像上. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设11n n n b a a +=，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有n N *∈都成立的最小正整数m .20. (本题满分12分)已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 经过点)221(，M ，其离心率为22，设直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于B A 、两点． (1)求椭圆C 的方程；(2)以线段OA OB ，为邻边作平行四边形OAPB ，若点Q 在椭圆C 上，且满足OP OQ λ=（O 为坐标原点），求实数λ的取值范围．已知函数()()ln R f x ax x a =-∈. (1)求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()f x 有两个零点12,x x ，证明：12112ln ln x x +>.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号. 22. (本题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为12()12x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=-. (1)求圆C 的圆心到直线l 的距离；(2)已知(1,0)P ，若直线l 与圆C 交于,A B 两点，求11PA PB+的值．23.(本题满分10分)选修4-5:不等式选讲 已知函数()22f x x =-+，()()g x m x m R =∈． （1）解关于x 的不等式()5f x >；（2）若不等式()()f x g x ≥对任意x R ∈恒成立，求m 的取值范围．哈师大附中2018-2019年度高三上学期第二次月考数学试卷(理科)答案一． 选择题1-6 ACDCDB 7-12BDADAB 二．填空题13. 1- 14.12n -- 15.211316. 三．解答题 17.（1）c a bb a a c+=-+ 2222cos a c b ac ac B ∴+-=-=1cos 2B ∴=- 120B ∴=︒（2）22222cos ()22cos b a c ac B a c ac ac B =+-=+--1ac ∴=1sin 24S ac B ∴==18.（Ⅰ）1cos2()22x f x x ωω-=112cos222x x ωω=-+π1sin 262x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． 因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>，所以2ππ2ω=，解得1ω=． （Ⅱ）由（Ⅰ）得π1()sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． 因为2π03x ≤≤，所以ππ7π2666x --≤≤，所以1πsin 2126x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤≤， 因此π130sin 2622x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤≤，即()f x 的取值范围为302⎡⎤⎢⎥⎣⎦，． 19.2nS n n=+ 22n S n n ∴=+1(1)2,21n n n n a S S n -≥=-=+1(2)1,3n a ==，适合上式 21n a n ∴=+1111(2)()(21)(23)22123n b n n n n ==-++++11111111111()()23557212323236n T n n n ∴=-+-++-=-<+++ 1102063m m ∴≥∴≥m Z ∈min 4m ∴=20.（1）因为c e a ==222a b c =+ 222a b ∴=∴椭圆方程为222212x y b b ∴+=2(1,)在椭圆上221,2b a ∴== ∴椭圆方程为2212x y +=（2）由22,22y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得222(12)4220k x kmx m +++-=．设点A 、B 的坐标分别为11(,)A x y 、22(,)B x y ， 则122412kmx x k +=-+，21222212m x x k -=+，121222()212my y k x x m k +=++=+(1)0,,m A B =关于原点对称，0λ=，不能形成平行四边形0∴λ≠(2)0m ≠，224(12)2(12)Q Q km x k m y k -⎧=⎪λ+⎪⎨⎪=⎪λ+⎩Q 在椭圆上，222242[]2[]2(12)(12)km m k k -∴+=λ+λ+ 2224(12)m k ∴=λ+222222164(12)(22)8(12)0k m k m k m =-+-=+->2212k m ∴+>2224m m ∴>λ22∴-<λ<且0λ≠21（1）()()110ax f x a x x x-=-=>' 当0a ≤时， ()0f x '<，所以()f x 在()0,+∞上单调递减； 当0a >时， ()0f x '=，得1x a=10,x a ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭都有()0f x '<， ()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；1,x a ⎛⎫∀∈+∞ ⎪⎝⎭都有()0f x '>， ()f x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.综上：当0a ≤时， ()f x 在()0,+∞上单调递减，无单调递增区间； 当0a >时， ()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减， ()f x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. （2）函数()f x 有两个零点分别为12,x x ，不妨设12x x <则11ln 0x ax -=， 22ln 0x ax -=()2121ln ln x x a x x -=-要证：12112ln ln x x +> 只需证：12112a x x +>只需证： 12122x x a x x +> 只需证：12211221ln ln 2x x x x x x x x +->-只需证： 22212121ln 2x x xx x x ->只需证： 2211121ln2x x x x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭令211x t x =>，即证11ln 2t t t ⎛⎫<- ⎪⎝⎭设()11ln 2t t t t φ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则()222102t t t t φ'--=<， 即函数()t φ在()1,+∞单调递减 则()()10t φφ<= 即得12112ln ln x x +> 22.解：(1)由直线l的参数方程为1()12x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数 消去参数t，可得：10x -= 圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=-，即24cos ρρθ=-. 所以圆C 的普通坐标方程为2240x y x ++= 则(2,0)C -．所以圆心(2,0)C -到直线l 的距离21322d --== (2)已知(1,0)P ，点P 在直线l 上，直线l 与圆C 交于,A B 两点，将1()12x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数代入圆C 的普通坐标方程2240x y x ++=得：250t ++=设,A B 对应参数为12,t t，则12t t +=-125t t = 因为120t t >，12,t t 是同号．所以12121211115t t PA PB t t t t ++=+==． 23.（1）由()5f x >，得23x ->, 即23x -<-或23x ->,1x ∴<-或5x >.故原不等式的解集为{}15x x x <->或（2）由()()f x g x ≥，得2+2≥-x m x 对任意恒成立,当时，不等式2+2≥-x m x 成立, 当时，问题等价于22x m x-+≤对任意非零实数恒成立,22221 , 1x x m xx-+-+=∴≥≤，即的取值范围是( , 1]-∞.。
2019届黑龙江省高三12月月考理科数学试卷【含答案及解析】(1)
2019届黑龙江省高三12月月考理科数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 已知集合为（）A ．___________________________________B ．C ．D ．2. 用反证法证明命题“若，，则三个实数中最多有一个小于零”的反设内容为（）A．三个实数中最多有一个不大于零________________________B ．三个实数中最多有两个小于零C．三个实数中至少有两个小于零______________________________D ．三个实数中至少有一个不大于零3. 用数学归纳法证明不等式“ （n＞2）”过程中，由到时，不等式的左边（）A．增加了一项_____________________________________________________________B ．增加了两项C．增加了两项，又减少了一项________D ．增加了一项，又减少了一项4. 若两个正数满足，则的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．5. 已知函数（）的图象与轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，把函数的图象沿轴向左平移个单位，得到函数的图象．关于函数，下列说法正确的是（）A ．在上是增函数 ______________B ．其图象关于直线对称C ．函数是奇函数 ______________D ．当时，函数的值域是6. 设则下列判断中正确的是（）A． B． ________________________C ． ____________________________D ．7. 已知等差数列的等差，且成等比数列，若，为数列的前项和，则的最小值为（）A ．B ．C ．D ．8. 如下图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有n（n> 1 ，n ∈ N * ）个点，相应的图案中总的点数记为，则= （）A ．_________________________B ． ______________________C ．________________D ．9. 某四面体的三视图如图所示．该四面体的六条棱的长度中，最大的是（）____________________A ．____________________B ．___________C ．___________ D ．10. 如图，等边三角形的中线与中位线相交于，已知是△ 绕旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是（）A．动点在平面上的射影在线段上B ．恒有平面⊥ 平面C．三棱锥的体积有最大值D ．异面直线与不可能垂直11. 已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，，，则的大小关系正确的是（）A ． ________B ． ________C ．________D ．12. 分析函数＝＋<ahref="E:\WCFUpload\Users\zhangmiao\Desktop\"> 的性质：① 的图象是中心对称图形；② 的图象是轴对称图形；③函数的值域为；④方程有两个解．其中描述正确个数是（）A ． 1B ． 2_____________________________________C ． 3D ． 4二、填空题13. 已知与的夹角为，且，则 _________ ．14. 在等式的分母上的三个括号中各填入一个正整数，使得该等式成立，则所填三个正整数的和的最小值是_________ ．15. 如图所示，正方体的棱长为1，分别是棱，的中点，过直线的平面分别与棱、分别交于两点，设，，给出以下四个结论：① 平面平面；② 直线∥ 平面始终成立；③ 四边形周长，是单调函数；④ 四棱锥的体积为常数；以上结论正确的是___________ ．16. 若关于的不等式在（0，+ ）上恒成立，则实数的取值范围是______________ ．三、解答题17. 已知锐角中内角、、所对边的边长分别为、、，满足，且．（Ⅰ ）求角的值；（Ⅱ ）设函数 , 图象上相邻两最高点间的距离为 , 求的取值范围．18. 已知命题：函数在[－ 2 , 2 ]内有且仅有一个零点．命题：在区间[ ]内有解．若命题“ 且”是假命题，求实数的取值范围．19. 数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足：，求数列的通项公式；（3）令，求数列的前项和．20. 如图，多面体中，四边形是边长为的正方形，，且，，．（Ⅰ ）求证：平面垂直于平面；（Ⅱ ）若分别为棱和的中点，求证：∥ 平面；（Ⅲ ）求多面体的体积．21. 设函数．（1）若函数是定义域上的单调函数，求实数的取值范围；（2）若，试比较当时，与的大小；（3）证明：对任意的正整数，不等式成立．22. 已知函数，在处的切线与直线垂直，函数．（1）求实数的值；（2）设是函数的两个极值点，若，求的最小值．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】。
2019届黑龙江省哈尔滨市高三上学期第一次月考数学试卷(理科)Word版含解析
2019届黑龙江省哈尔滨市高三上学期第一次月考数学试卷（理科）一.选择题1．已知集合M={x|+=1}，N={y|+=1}，M∩N=（）A．∅B．{（3，0），（2，0）} C．{t|﹣3≤t≤3} D．{3，2}2．若复数z满足（1+i）z=2﹣i，则在复平面内，z的共轭复数的实部与虚部的积为（）A．B．C．D．3．下列叙述中，正确的个数是（）①命题p：“∃x∈[2，+∞），x2﹣2≥0”的否定形式为￢p：“∀x∈（﹣∞，2），x2﹣2＜0”；②O是△ABC所在平面上一点，若•=•=•，则O是△ABC的垂心；③在△ABC中，A＜B是cos2A＞cos2B的充要条件；④函数y=sin（2x+）sin（2x）的最小正周期是π．A．1 B．2 C．3 D．44．已知函数f（x）=Asin（2x+φ）（A≠0）满足f（x+a）=f（a﹣x），则f（a+）=（）A．A B．﹣A C．0 D．不确定5．已知函数f（x）=cos（ωx+θ）（ω＞0，0＜θ＜π）的最小正周期为π，且f（﹣x）+f（x）=0，若tanα=2，则f（α）等于（）A．B．C．D．6．若向量，的夹角为，且|=2，||=1，则向量与向量+2的夹角为（）A． B．C．D．7．等差数列{an }的前n项和为Sn，已知a5=8，S3=6，则a9=（）A．8 B．12 C．16 D．248．已知f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数，设a=f（log47），b=f（log 3），c=f（21.6），则a，b，c的大小关系是（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜b＜c9．在△ABC中，•=7，|﹣|=6，则△ABC面积的最大值为（）A．24 B．16 C．12 D．810．定义在（0，）上的函数f（x），其导函数是f′（x），且恒有f（x）＜f′（x）•tanx成立，则（）A．f（）＞f（）B．f（）f（）C． f（）＞f（）D． f（）＜f（）11．函数f （x ）是定义在（0，+∞）上的单调函数，且对定义域内的任意x ，均有f （f （x ）﹣lnx ﹣x 3）=2，则f （e ）=（ ）A ．e 3+1B ．e 3+2C ．e 3+e+1D ．e 3+e+212．已知lna ﹣ln3=lnc ，bd=﹣3，则（a ﹣b ）2+（d ﹣c ）2的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案写在答题卡上相应的位置13．己知数列{a n }的前n 项和满足S n =2n+1﹣1，则a n = ．14．如图，平行四边形ABCD 的两条对角线相交于点M ，点P 是MD 的中点．若||=2，||=1，且∠BAD=60°，则•= ．15．在△ABC 中，E 为AC 上一点，且=4，P 为BE 上一点，且满足=m +n （m ＞0，n ＞0），则取最小值时，向量=（m ，n ）的模为 ．16．在△ABC 中，2sin 2=sinA ，sin （B ﹣C ）=2cosBsinC ，则= ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17．已知函数f （x ）=|2x ﹣a|+a ．（1）当a=2时，求不等式f （x ）≤6的解集；（2）设函数g （x ）=|2x ﹣1|，当x ∈R 时，f （x ）+g （x ）≥3，求a 的取值范围．18．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P的直角坐标为（1，0），圆C与直线l交于A、B两点，求|PA|+|PB|的值．19．在△ABC中，2cos2cosB﹣sin（A﹣B）sinB+cos（A+C）=﹣．（1）求cosA的值；（2）若a=4，b=5，求在方向上的投影．20．已知函数．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）将y=f（x）的图象向左平移个单位长度，再将得到的图象横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到y=g（x）的图象；若函数y=g（x）在区间上的图象与直线y=a有三个交点，求实数a 的取值范围．21．已知函数f（x）=alnx++1．（Ⅰ）当a=﹣时，求f（x）在区间[，e]上的最值；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）当﹣1＜a＜0时，有f（x）＞1+ln（﹣a）恒成立，求a的取值范围．22．已知函数f（x）=lnx﹣，曲线y=f（x）在点（，f（））处的切线平行于直线y=10x+1．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设直线l为函数y=lnx图象上任意一点A（x0，y）处的切线，在区间（1，+∞）上是否存在x，使得直线l与曲线y=e x也相切？若存在，满足条件的x有几个？2019届黑龙江省哈尔滨市高三上学期第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题1．已知集合M={x|+=1}，N={y|+=1}，M∩N=（）A．∅B．{（3，0），（2，0）} C．{t|﹣3≤t≤3} D．{3，2}【考点】交集及其运算．【分析】根据描述法表示集合，判断集合M与集合N的元素，再进行交集运算即可．【解答】解：对集合M，∵x2=9﹣≤9，∴M=[﹣3，3]，对集合N，y=2﹣∈R，∴N=R．∴M∩N=[﹣3，3]．故选C2．若复数z满足（1+i）z=2﹣i，则在复平面内，z的共轭复数的实部与虚部的积为（）A．B．C．D．【考点】复数的基本概念．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数与实部与虚部的定义即可得出．【解答】解：（1+i）z=2﹣i，∴（1﹣i）（1+i）z=（2﹣i）（1﹣i），∴2z=1﹣3i，∴z=﹣i，=+i，则在复平面内，z的共轭复数的实部与虚部的积==．故选：A．3．下列叙述中，正确的个数是（）①命题p：“∃x∈[2，+∞），x2﹣2≥0”的否定形式为￢p：“∀x∈（﹣∞，2），x2﹣2＜0”；②O是△ABC所在平面上一点，若•=•=•，则O是△ABC的垂心；③在△ABC中，A＜B是cos2A＞cos2B的充要条件；④函数y=sin（2x+）sin（2x）的最小正周期是π．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题的真假判断与应用．【分析】求出命题p的否定形式可判断①，由已知条件得到OB⊥AC，同理可得O是△ABC三条高线的交点可判断②，由二倍角公式和正弦定理可判断③，直接求出函数y=sin（2x+）sin（2x）的最小正周期可判断④．【解答】解：对于①，命题p：“∃x∈[2，+∞），x2﹣2≥0”的否定形式为￢p：“∀x∈[2，+∞），x2﹣2＜0”，故①错误；对于②，由•=•，得到，又，得，可得OB⊥AC，因此，点O在AC边上的高BE上，同理可得：O点在BC边上的高AF和AB边上的高CD上，即点O是△ABC三条高线的交点，因此，点O是△ABC的垂心，故②正确；对于③，在△ABC中，cos2A＞cos2B⇔1﹣2sin2A＞1﹣2sin2B⇔sin2A＜sin2B⇔sinA＜sinB⇔a＜b⇔A＜B，∴“A＜B”是“cos2A＞cos2B”的充要条件，故③正确；对于④，y=sin（2x+）sin（2x）=，∴T==，故④错误．∴正确的个数是：2．故选：B．4．已知函数f（x）=Asin（2x+φ）（A≠0）满足f（x+a）=f（a﹣x），则f（a+）=（）A．A B．﹣A C．0 D．不确定【考点】正弦函数的图象．【分析】由题意求出函数的对称轴，函数的周期，利用正弦函数的基本性质即可求出f（a+）的值．【解答】解：函数f（x）=Asin（2x+φ）（A≠0）满足f（x+a）=f（a﹣x），∴函数关于x=a对称，x=a时函数取得最值，∴2a+φ=kπ+，k∈Z，∴f（a+）=Asin（2a++φ）=Acos（2a+φ）=Acos（kπ+）=0．故选：C．5．已知函数f（x）=cos（ωx+θ）（ω＞0，0＜θ＜π）的最小正周期为π，且f（﹣x）+f（x）=0，若tanα=2，则f（α）等于（）A．B．C．D．【考点】三角函数的周期性及其求法；余弦函数的奇偶性．【分析】依题意，可求得θ=，f（x）=cos（2x+）=﹣sin2x．tanα=2⇒f（α）=﹣sin2α=，从而可得答案．【解答】解：由=π得：ω=2，又f（﹣x）+f（x）=0，∴f（x）=cos（2x+θ）为奇函数，∴θ=k π+，而0＜θ＜π，∴θ=，∴f （x ）=cos （2x+）=﹣sin2x ， ∵tan α=2，∴f （α）=﹣sin2α===，故选：B ．6．若向量，的夹角为，且|=2，||=1，则向量与向量+2的夹角为（ ）A ．B ．C ．D ． 【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】先计算，||，再利用夹角公式cos α=，可得结论．【解答】解：设向量与向量的夹角等于α∵向量，的夹角为，且，，∴==4+2×2×1×cos =6，||===∴cos α===∵α∈[0，π]∴α= 故选D ．7．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5=8，S 3=6，则a 9=（ ）A ．8B ．12C ．16D ．24【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前n 项和．【分析】由给出的等差数列的第5项和前3项和代入通项公式及前n 项和公式求等差数列的首项和公差，然后直接运用通项公式求a 9．【解答】解：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则，解得：a 1=0，d=2，所以a 9=a 1+8d=0+8×2=16．故选C ．8．已知f （x ）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数，设a=f （log 47），b=f （log3），c=f （21.6），则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．c ＜a ＜bB ．c ＜b ＜aC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】利用对数和指数幂的运算性质，结合函数单调性和奇偶性的性质是解决本题的关键．【解答】解：∵f （x ）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，∴b=f （log 3）=b=f （﹣log 23）=f （log 23），∵log 23=log 49＞log 47，21.6＞2，∴log 47＜log 49＜21.6，∵在（﹣∞，0]上是增函数，∴在[0，+∞）上为减函数，则f （log 47）＞f （log 49）＞f （21.6），即c ＜b ＜a ，故选：B9．在△ABC 中， •=7，|﹣|=6，则△ABC 面积的最大值为（ ）A ．24B ．16C ．12D ．8【考点】平面向量的综合题．【分析】设A 、B 、C 所对边分别为a ，b ，c ，由•=7，|﹣|=6，得bccosA=7，a=6①，由余弦定理可得b 2+c 2﹣2bccosA=36②，联立①②可得b 2+c 2=50，由不等式可得bc ≤25，即可求出△ABC 面积的最大值．【解答】解：设A 、B 、C 所对边分别为a ，b ，c ，由•=7，|﹣|=6，得bccosA=7，a=6①，S △ABC =bcsinA=bc =bc =，由余弦定理可得b 2+c 2﹣2bccosA=36②，由①②消掉cosA 得b 2+c 2=50，所以b 2+c 2≥2bc ，所以bc ≤25，当且仅当b=c=5时取等号，所以S △ABC =≤12，故△ABC 的面积的最大值为12，故选：C ．10．定义在（0，）上的函数f （x ），其导函数是f ′（x ），且恒有f （x ）＜f ′（x ）•tanx 成立，则（ ）A ．f （）＞f （） B ．f （）f （） C ． f （）＞f （） D ． f （）＜f （）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】把给出的等式变形得到f′（x）sinx﹣f（x）cosx＞0，由此联想构造辅助函数g（x）=，由其导函数的符号得到其在（0，）上为增函数，则g（）＜g（），整理后即可得到答案．【解答】解：因为x∈（0，），所以sinx＞0，cosx＞0．由f（x）＜f′（x）tanx，得f（x）cosx＜f′（x）sinx．即f′（x）sinx﹣f（x）cosx＞0．令g（x）=，x∈（0，），则g′（x）=＞0．所以函数g（x）=在x∈（0，）上为增函数，则g（）＜g（），即＜，所以＜，即f（）＜f（）．故选D．11．函数f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，且对定义域内的任意x，均有f（f（x）﹣lnx﹣x3）=2，则f（e）=（）A．e3+1 B．e3+2 C．e3+e+1 D．e3+e+2【考点】函数单调性的性质．【分析】由题意得f（x）﹣lnx﹣x3是定值，令f（x）﹣lnx﹣x3=t，得到lnt+t3+t=2，求出t的值，从而求出f（x）的表达式，求出f（e）即可．【解答】解：∵函数f（x）对定义域内的任意x，均有f（f（x）﹣lnx﹣x3）=2，则f（x）﹣lnx﹣x3是定值，不妨令f（x）﹣lnx﹣x3=t，则f（t）=lnt+t3+t=2，解得：t=1，∴f（x）=lnx+x3+1，∴f（e）=lne+e3+1=e3+2，故选：B12．已知lna﹣ln3=lnc，bd=﹣3，则（a﹣b）2+（d﹣c）2的最小值为（）A．B．C．D．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】lna ﹣ln3=lnc ，化为ln =lnc ，即a=3c ．bd=﹣3，令y=3x ，y=，则（a ﹣b ）2+（d ﹣c ）2表示直线y=f （x ）=3x 上的点与曲线y=g （x ）=上的点的最小距离的平方．利用导数的几何意义求出切点，再利用点到直线的距离公式即可得出．【解答】解：lna ﹣ln3=lnc ，化为ln =lnc ，即a=3c ．bd=﹣3，令y=3x ，y=，则（a ﹣b ）2+（d ﹣c ）2表示直线y=f （x ）=3x 上的点与曲线y=g （x ）=上的点的最小距离的平方．设直线y=f （x ）=3x+m 与曲线y=g （x ）=相切于点P （x 0，y 0）．不妨取（x 0＞0）g ′（x ）=，∴=3，解得x 0=1．可得切点P （1，﹣3），∴﹣3=3+m ，解得m=﹣6．∴切点到直线y=3x 的距离d==． ∴（a ﹣b ）2+（d ﹣c ）2的最小值==．故选：B ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案写在答题卡上相应的位置13．己知数列{a n }的前n 项和满足S n =2n+1﹣1，则a n = ． 【考点】等比数列的前n 项和；等比数列的通项公式． 【分析】当n=1时，可求a 1=S 1=3，当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1，验证n=1时是否符合，符合则合并，否则分开写．【解答】解：∵S n =2n+1﹣1，当n=1时，a 1=S 1=3，当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=（2n+1﹣1）﹣（2n ﹣1）=2n ，显然，n=1时a 1=3≠2，不符合n ≥2的关系式．∴a n =．故答案为：．14．如图，平行四边形ABCD 的两条对角线相交于点M ，点P 是MD 的中点．若||=2，||=1，且∠BAD=60°，则•= ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】通过图形，分别表示，然后进行向量数量积的运算即可．【解答】解：由题意不难求得，则===故答案为：．15．在△ABC中，E为AC上一点，且=4，P为BE上一点，且满足=m+n（m＞0，n＞0），则取最小值时，向量=（m，n）的模为．【考点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据平面向量基本定理求出m，n关系，进而确定+取最小值时m，n的值，代入求的模【解答】解：∵=4，∴=m+n=m+4n又∵P为BE上一点，∴不妨设=λ（0＜λ＜1）∴=+=+λ=+λ（﹣）=（1﹣λ）+λ∴m+4n=（1﹣λ）+λ∵，不共线∴m+4n=1﹣λ+λ=1∴+=（+）×1=（+）×（m+4n）=5+4+≥5+2=9（m＞0，n＞0）当且仅当=即m=2n时等号成立又∵m+4n=1∴m=，n=∴||==故答案为16．在△ABC中，2sin2=sinA，sin（B﹣C）=2cosBsinC，则= ．【考点】余弦定理的应用；正弦定理的应用．【分析】利用2sin2=sinA，求出A，由余弦定理，得a2=b2+c2+bc ①，将sin（B﹣C）=2cosBsinC展开得sinBcosC=3cosBsinC，所以将其角化边，即可得出结论．【解答】解：∵2sin2=sinA，∴1﹣cosA=sinA，∴sin（A+）=，又0＜A＜π，所以A=．由余弦定理，得a2=b2+c2+bc ①，将sin（B﹣C）=2cosBsinC展开得sinBcosC=3cosBsinC，所以将其角化边，得b•=3••c，即2b2﹣2c2=a2②，将①代入②，得b2﹣3c2﹣bc=0，左右两边同除以c2，得﹣﹣3=0，③解③得=，所以=．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；（2）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）当a=2时，由已知得|2x﹣2|+2≤6，由此能求出不等式f（x）≤6的解集．（2）由f（x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，得|x﹣|+|x﹣|≥，由此能求出a的取值范围．【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=|2x﹣2|+2，∵f（x）≤6，∴|2x﹣2|+2≤6，|2x﹣2|≤4，|x﹣1|≤2，∴﹣2≤x﹣1≤2，解得﹣1≤x≤3，∴不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣1≤x≤3}．（2）∵g（x）=|2x﹣1|，∴f（x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，2|x﹣|+2|x﹣|+a≥3，|x﹣|+|x﹣|≥，当a≥3时，成立，当a＜3时， |a﹣1|≥＞0，∴（a﹣1）2≥（3﹣a）2，解得2≤a＜3，∴a的取值范围是[2，+∞）．18．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P的直角坐标为（1，0），圆C与直线l交于A、B两点，求|PA|+|PB|的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）把直线l的参数方程消去参数t可得，它的直角坐标方程；把圆C的极坐标方程依据互化公式转化为直角坐标方程．（Ⅱ）把直线l方程与圆C的方程联立方程组，求得A、B两点的坐标，可得|PA|+|PB|的值．【解答】解：（Ⅰ）∵直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t可得3x+y﹣3=0．圆C的方程为ρ=2sinθ，即ρ2=2ρsinθ，即 x2+y2=2y，即 x2+=3．（Ⅱ）由求得，或，故可得A（，﹣）、B（﹣， +）．∵点P（1，0），∴|PA|+|PB|=+=（2﹣）+（2+）=4．19．在△ABC中，2cos2cosB﹣sin（A﹣B）sinB+cos（A+C）=﹣．（1）求cosA的值；（2）若a=4，b=5，求在方向上的投影．【考点】两角和与差的余弦函数；向量数乘的运算及其几何意义；二倍角的正弦；二倍角的余弦；余弦定理．【分析】（Ⅰ）由已知条件利用三角形的内角和以及两角差的余弦函数，求出A的余弦值，然后求sinA的值；（Ⅱ）利用，b=5，结合正弦定理，求出B的正弦函数，求出B的值，利用余弦定理求出c的大小．【解答】解：（Ⅰ）由可得，可得，即，即，（Ⅱ）由正弦定理，，所以=，由题意可知a＞b，即A＞B，所以B=，由余弦定理可知．解得c=1，c=﹣7（舍去）．向量在方向上的投影： =ccosB=．20．已知函数．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）将y=f（x）的图象向左平移个单位长度，再将得到的图象横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到y=g（x）的图象；若函数y=g（x）在区间上的图象与直线y=a有三个交点，求实数a的取值范围．【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】（1）利用三角函数的诱导公式以及倍角公式，辅助角公式进行化简，结合三角函数的单调性进行求解即可．（2）根据三角函数的图象变换关系求出函数g（x）的表达式，结合三角函数的性质进行求解即可．【解答】解：（1），=cos2x+sin2x+（sinx﹣cosx）（sinx+cosx），=cos2x+sin2x+sin2x﹣cos2x，=cos2x+sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣）所以时函数单调递增；（2）g（x）=sin[2（x+）﹣]=sin（x﹣）=cosx．根据图象知：．21．已知函数f（x）=alnx++1．（Ⅰ）当a=﹣时，求f（x）在区间[，e]上的最值；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）当﹣1＜a＜0时，有f（x）＞1+ln（﹣a）恒成立，求a的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）求导f（x）的定义域，求导函数，利用函数的最值在极值处与端点处取得，即可求得f（x）在区间[，e]上的最值；（Ⅱ）求导函数，分类讨论，利用导数的正负，可确定函数的单调性；=f（），即原不等式等价于f（）＞1+ln（﹣a），（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当﹣1＜a＜0时，f（x）min由此可求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣时，，∴．∵f（x）的定义域为（0，+∞），∴由f′（x）=0得x=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴f（x）在区间[，e]上的最值只可能在f（1），f（），f（e）取到，而f（1）=，f（）=，f（e）=，∴f （x ）max =f （e ）=，f （x ）min =f （1）=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ），x ∈（0，+∞）．①当a+1≤0，即a ≤﹣1时，f ′（x ）＜0，∴f （x ）在（0，+∞）上单调递减；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②当a ≥0时，f ′（x ）＞0，∴f （x ）在（0，+∞）上单调递增；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ③当﹣1＜a ＜0时，由f ′（x ）＞0得，∴或（舍去）∴f （x ）在（，+∞）单调递增，在（0，）上单调递减；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣综上，当a ≥0时，f （x ）在（0，+∞）上单调递增；当﹣1＜a ＜0时，f （x ）在（，+∞）单调递增，在（0，）上单调递减；当a ≤﹣1时，f （x ）在（0，+∞）上单调递减；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当﹣1＜a ＜0时，f （x ）min =f （）即原不等式等价于f （）＞1+ln （﹣a ）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣即aln+﹣+1＞1+ln （﹣a ）整理得ln （a+1）＞﹣1∴a ＞﹣1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又∵﹣1＜a ＜0，∴a 的取值范围为（﹣1，0）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣22．已知函数f （x ）=lnx ﹣，曲线y=f （x ）在点（，f （））处的切线平行于直线y=10x+1．（1）求函数f （x ）的单调区间；（2）设直线l 为函数y=lnx 图象上任意一点A （x 0，y 0）处的切线，在区间（1，+∞）上是否存在x 0，使得直线l 与曲线y=e x 也相切？若存在，满足条件的x 0有几个？ 【考点】变化的快慢与变化率．【分析】（1）求导函数，利用曲线y=f （x ）在点（，f （））处的切线平行于直线y=10x+1，求出a ，再确定导数恒大于0，从而可得求函数f （x ）的单调区间；（2）先求直线l 为函数的图象上一点A （x 0，y 0）处的切线方程，再设直线l 与曲线y=g （x ）=e x 相切于点（x 1，），进而可得lnx 0=，再证明在区间（1，+∞）上x 0存在且唯一即可．【解答】解：（1）∵函数f （x ）=lnx ﹣，∴f ′（x ）=+，∵曲线y=f （x ）在点（，f （））处的切线平行于直线y=10x+1， ∴f ′（）=2+8a=10， ∴a=1∴f ′（x ）=∵x ＞0且x ≠1，∴f'（x ）＞0∴函数φ（x ）的单调递增区间为（0，1）和（1，+∞）．（2）证明：∵y=lnx ，∴切线l 的方程为y ﹣lnx 0=（x ﹣x 0）即y=x+lnx 0﹣1，①设直线l 与曲线y=g （x ）相切于点（x 1，），∵g'（x ）=e x ，∴=，∴x 1=﹣lnx 0． ∴直线l 也为y ﹣=（x+lnx 0）， 即y=x++，②由①②得lnx 0﹣1=+，∴lnx 0=．下证：在区间（1，+∞）上x 0存在且唯一．由（1）可知，f （x ）=lnx ﹣在区间（1，+∞）上递增．又f （e ）=﹣＜0，f （e 2）=＞0，结合零点存在性定理，说明方程f （x ）=0必在区间（e ，e 2）上有唯一的根，这个根就是所求的唯一x 0．。
【全国百强校】黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2019届高三上学期第一次月考数学(理)试题
2018-2019年度高三学年上学期第一次月考数学试题(理科)考试时间：120分钟 试卷满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合{}1A x x =<，{}31xB x =<，则.A {|0}A B x x =< .B A B =R .C {|1}A B x x =>.D A B =∅2.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a +=，则52S S = .11A .5B .11C - .8D -3.下列函数中，其定义域和值域分别与函数lg 10xy =的定义域和值域相同的是.A y x = .2x B y = .lg C y x = 1.D y x=4.已知1sin 23α=，则2cos ()4πα-= 1.3A 4.9B 2.3C 8.9D 5.函数2()ln(43)f x x x =-+的单调递增区间是.(,1)A -∞ .(,2)B -∞ .(2,)C +∞ .(3,)D +∞6.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则=5a.12A - .10B - .10C.12D7.已知03x π=是函数()sin(2)f x x =+ϕ的一个极大值点，则()f x 的一个单调递减区间是 2.(,)63A ππ 5.(,)36B ππ .(,)2C ππ 2.(,)3D ππ 8.已知{}n a 为等比数列，472a a +=， 568a a =-，则110a a +=.7A .5B .5C - .7D -9.将函数sin(2)6y x π=-的图象向左平移4π个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是 .12A x π=.6B x π= .3C x π= .12D x π=-10.已知函数(),2x xe ef x x R --=∈，若对(0,]2π∀θ∈，都有(sin )(1)0f f m θ+->成立，则实数m 的取值范围是.(0,1)A .(0,2)B .(,1)C -∞ .(,1]D -∞11.已知()ln xf x x x ae =-（e 为自然对数的底数）有两个极值点，则实数a 的取值范围是1.(0,)A e .(0,)B e 1.(,)C e e.(,)D e -∞12.已知函数()()32ln 3,a f x x x g x x x x =++=-，若()()12121,,2,03x x f x g x ⎡⎤∀∈-≥⎢⎥⎣⎦，则实数a 的取值范围为[).0,A +∞ [).1,B +∞ [).2,C +∞ [).3,D +∞二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13.已知数列{}n a 满足111n n a a +=-，112a =，则2019a =_________ 14.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则n a =_________ 15.ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,abc ，若4cos 5A =，5cos 13C =，1a =，则b =_________ 16.已知函数()2cos sin 2f x x x =+，则()f x 的最小值是_________三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(本题满分12分)在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin sin sin sin c A Bb a A C+=-+. (1)求角B 的大小；(2)若22b =，3a c +=，求ABC 的面积. 18.（本题满分12分）已知函数2π()sin 3sin sin 2f x x x x ωωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π．(1)求ω的值；(2)求函数()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围．19.(本题满分12分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()nS n n N n*∈均在函数2y x =+的图像上. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设11n n n b a a +=，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n mT <对所有n N *∈都成立的最小正整数m .20. (本题满分12分)已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 经过点)221(，M ，其离心率为22，设直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于B A 、两点． (1)求椭圆C 的方程；(2)以线段OAOB ，为邻边作平行四边形OAPB ，若点Q 在椭圆C 上，且满足OP OQ λ=（O 为坐标原点），求实数λ的取值范围． 21.（本题满分12分）已知函数()()ln R f x ax x a =-∈.(1)求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()f x 有两个零点12,x x ，证明：12112ln ln x x +>.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号. 22. (本题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为312()12x t t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=-. (1)求圆C 的圆心到直线l 的距离；(2)已知(1,0)P ，若直线l 与圆C 交于,A B 两点，求11PA PB+的值． 23.(本题满分10分)选修4-5:不等式选讲 已知函数()22f x x =-+，()()g x m x m R =∈． （1）解关于x 的不等式()5f x >；（2）若不等式()()f x g x ≥对任意x R ∈恒成立，求m 的取值范围．哈师大附中2018-2019年度高三上学期第二次月考数学试卷(理科)答案一． 选择题1-6 ACDCDB 7-12BDADAB 二．填空题13. 1- 14.12n -- 15. 2113 16. 332- 三．解答题 17.（1）c a b b a a c+=-+ 2222cos a c b ac ac B ∴+-=-=1cos 2B ∴=- 120B ∴=︒（2）22222cos ()22cos b a c ac B a c ac ac B =+-=+--1ac ∴=13sin 24S ac B ∴== 18.（Ⅰ）1cos 23()222x f x x ωω-=+3112cos 2222x x ωω=-+π1sin 262x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>，所以2ππ2ω=，解得1ω=． （Ⅱ）由（Ⅰ）得π1()sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． 因为2π03x ≤≤，所以ππ7π2666x --≤≤，所以1πsin 2126x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤≤，因此π130sin 2622x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤≤，即()f x 的取值范围为302⎡⎤⎢⎥⎣⎦，． 19.2nS n n=+22n S n n ∴=+1(1)2,21n n n n a S S n -≥=-=+1(2)1,3n a ==，适合上式 21n a n ∴=+1111(2)()(21)(23)22123n b n n n n ==-++++11111111111()()23557212323236n T n n n ∴=-+-++-=-<+++1102063m m ∴≥∴≥m Z ∈min 4m ∴=20.（1）因为2c e a ==，222a b c =+ 222a b ∴=∴椭圆方程为222212x y b b∴+= 2(1,)2在椭圆上221,2b a ∴== ∴椭圆方程为2212x y += （2）由22,22y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得222(12)4220k x kmx m +++-=．设点A 、B 的坐标分别为11(,)A x y 、22(,)B x y ， 则122412km x x k +=-+，21222212m x x k -=+，121222()212my y k x x m k +=++=+(1)0,,m A B =关于原点对称，0λ=，不能形成平行四边形0∴λ≠(2)0m ≠，224(12)2(12)Q Q km x k m y k -⎧=⎪λ+⎪⎨⎪=⎪λ+⎩Q 在椭圆上，222242[]2[]2(12)(12)km mk k -∴+=λ+λ+ 2224(12)m k ∴=λ+222222164(12)(22)8(12)0k m k m k m =-+-=+-> 2212k m ∴+>2224m m ∴>λ22∴-<λ<且0λ≠21（1）()()110ax f x a x x x-=-=>' 当0a ≤时， ()0f x '<，所以()f x 在()0,+∞上单调递减； 当0a >时， ()0f x '=，得1x a=10,x a ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭都有()0f x '<， ()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；1,x a ⎛⎫∀∈+∞ ⎪⎝⎭都有()0f x '>， ()f x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.综上：当0a ≤时， ()f x 在()0,+∞上单调递减，无单调递增区间； 当0a >时， ()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减， ()f x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.（2）函数()f x 有两个零点分别为12,x x ，不妨设12x x <则11ln 0x ax -=， 22ln 0x ax -=()2121ln ln x x a x x -=-要证：12112ln ln x x +> 只需证： 12112a x x +>只需证： 12122x x a x x +>只需证：12211221ln ln 2x x x x x x x x +->-只需证： 22212121ln 2x x xx x x ->只需证： 2211121ln2x x x x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭令211x t x =>，即证11ln 2t t t ⎛⎫<- ⎪⎝⎭设()11ln 2t t t t φ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则()222102t t t tφ'--=<， 即函数()t φ在()1,+∞单调递减 则()()10t φφ<= 即得12112ln ln x x +> 22.解：(1)由直线l 的参数方程为312()12x t t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数 消去参数t ，可得：310x y --= 圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=-，即24cos ρρθ=-. 所以圆C 的普通坐标方程为2240x y x ++= 则(2,0)C -．所以圆心(2,0)C -到直线l 的距离21322d --== (2)已知(1,0)P ，点P 在直线l 上，直线l 与圆C 交于,A B 两点，将312()12x t t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数代入圆C 的普通坐标方程2240x y x ++=得： 23350t t ++=设,A B 对应参数为12,t t ，则1233t t +=-125t t =因为120t t >，12,t t 是同号．所以1212121111335t t PA PB t t t t ++=+==． 23.（1）由()5f x >，得23x ->, 即23x -<-或23x ->,1x ∴<-或5x >.故原不等式的解集为{}15x x x <->或（2）由()()f x g x ≥，得2+2≥-x m x 对任意x R ∈恒成立, 当0x =时，不等式2+2≥-x m x 成立, 当0x ≠时，问题等价于22x m x-+≤对任意非零实数恒成立,22221 , 1x x m xx-+-+=∴≥≤，即m 的取值范围是( , 1]-∞.。
哈尔滨市XX中学2019届高三10月月考数学(理)试卷(有答案)AlPAAw
2019届高三上学期十月知识总结——理科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数z 满足()11z i i -=+，则复数z 在复平面内的对应点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2. 已知集合)}54lg(|{},021|{2++-==≤+-=x x y x B x x x A ，则)(B C A R ⋂=（ ） A ．]1,2(-- B ．]1,2[-- C ．]1,1(- D ．]1,1[-3. 给出下列四个命题：①若x A B ∈⋂，则x A ∈或x B ∈；②()2x ∀∈+∞,都有22x x >； ③“12a =”是函数“22cos 2sin 2y ax ax =-的最小正周期为π”的充要条件； ④“2000R,23x x x ∃∈+>”的否定是“2R,23x x x ∀∈+≤”；其中真命题的个数是（）.A 1.B 2.C 3.D 44.已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数,且1)0(-=f ，且对任意R x ∈，有)2()(x f x f --=成立，则(2018)f 的值为( )A ．1B ．－1C ．0D ．25. 如果实数,,x y 满足条件10,220,10,x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则2123z x y =-+的最大值为（ ） A ．1 B ．34 C ．0 D ．476. 在平行四边形ABCD 中，AD =1，60BAD ∠=︒，E 为CD 的中点．若1=⋅BE AC ，则AB 的长为（）A ．14B ．12C ．1D ．27.已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且n n a S 21=+，则使不等式2221286n a a a +++<L 成立的n的最大值为( )A 3B 4C 5D 68.两个正实数y x ,满足141=+y x ，且不等式m m y x 342-<+有解，则实数m 的取值范围是（ ） A.)4,1(- B.),4()1,(+∞--∞Y C.)1,4(- D.),3()0,(+∞-∞Y9．若将函数)0)(2cos(3)2sin()(πϕϕϕ<<+++=x x x f 的图象向左平移4π个单位长度，平移后的图象关于点)0,2(π对称，则函数)cos()(ϕ+=x x g 在]6,2[ππ-上的最小值（ ） A ．21- B ．23-C ．22 D ．2110.在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若cos cos B C b c +=，cos 2B B =，则a c +的取值范围是( ).A 32⎛ ⎝.B 2⎛ ⎝.C 2⎣.D 32⎡⎢⎣ 11.对于数列}{n a ,定义112+22n n n a a a H n-++=K 为的}{n a “优值”，现已知某数列的“优值”12n n H +=，记数列{20}n a -的前n 项和为n S ，则n S 最小值为（ ）A ．70-B ．72-C ．64-D ．68- 12. 对于函数()x f 和()x g ,设(){}0=∈x f x α,(){}0=∈x g x β,若存在βα,,使得1≤-βα,则称()x f 与()x g 互为“零点相邻函数”.若函数()21-+=-x ex f x 与()32+--=a ax x x g 互为“零点相邻函数”,则实数a 的取值范围是( )A. []4,2B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡37,2C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,37 D. []3,2 二.填空题（本大题共4小题,每题5分.共20分）13．已知数列{}n a ，111,3n n n a a a -==+(2,)n n N *≥∈，则数列{}n a 的通项公式n a =. 14.已知向量||||b b a =-，|||2|b b a =-，则向量b a ,的夹角为___________________15.已知关于x 的不等式()1122->-x m x ,若对于()+∞∈,1x 不等式恒成立,则实数m 的取值范围是.16．已知函数()f x 是可导函数，其导函数为()'f x ，且满足'ln ()()x xf x f x x +=，且1()f e e =，则不等式(1)(1)f x f e x e +-+>-的解集为_______________三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，ο60=C ，b c 32=.（1）求角B A ,的大小；（2）若D 为边AC 上一点，且4=a ，BCD ∆的面积为3，求BD 的长.18.（本小题满分12分）已知数列}{n a 是公差为正数的等差数列，2a 和5a 是方程212270x x -+=的两个实数根，数列{}n b 满足111(1)2n n n n b na n a -+⎛⎫=-- ⎪⎝⎭（1）求}{n a 和{}n b 的通项公式；（2）设n T 为数列{}n b 的前n 项和，求n T .19.（本小题满分12分）已知向量2,1),(sin ,cos 1)m x n x x ==-u r r ，函数1()2f x m n =⋅+u r r ， （1）若()0,,43x f x π⎡⎤∈=⎢⎥⎣⎦，求cos2x 的值； （2）在ABC ∆中，角,,A B C 对边分别是,,a b c，且满足2cos 2b A c ≤，当B 取最大值时，1,a ABC =∆面积为43，求sin sin a c A C++的值. 20.（本小题满分12分）已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前四项和413714,,,S a a a =且成等比.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11{}n n n T n a a +为数列的前项和，若*1n n T a n N λ+≤∈对一切恒成立，求实数λ的最大值.21. （本小题满分12分）已知()()21ln x f x a x x x-=-+.（1）若函数()f x 在2x =处取得极值，求a 的值，并求此时曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程；（2）讨论()f x 的单调性.22．(本小题满分12分)已知函数21()ln ,()3f x x xg x ax bx ==-，其中,a b R ∈ （1）当0a >，且a 为常数时，若函数[]()()1h x x g x =+对任意的124x x >≥，总有1212()()0h x h x x x ->-成立，试用a 表示出b 的取值范围； （2）当23b a =-时，若3(1)()2f xg x +≤对x ∈[0，＋∞)恒成立，求a 的最小值.理科数学月考题答案1~5 AAAAB 6~10 BBBDB 11~12BD 13. 1372n n a +-= 14. 6π 15. 0m ≤16. ()1,e -17. (1)75,45A B ︒︒== (2)BD =18. (1)21n a n =-, ()1413n n b n -=-⋅ (2)n T =()5452n n +-⋅19. (1)6(2) 2 20. (1)1n a n =+ (2)max 16λ= 21. (1) 12a =-12y x =- 22.(1)由题意，得321()()3h x xg x x ax bx x =+=-+在[4,)x ∈+∞上单调递增 ∴2'()210h x ax bx =-+≥在[4,)x ∈+∞上恒成立 ∴2112ax b ax x x+≤=+在[4,)x ∈+∞上恒成立 构造函数1()(0),(0,)F x ax a x x=+>∈+∞ 则22211'()axF x a x x-=-=∴F(x)在(0,上单调递减，在,)+∞上单调递增(i)4，即1016a <<时，F(x)在[4,上单调递减，在,)+∞上单调递增∴[]min ()F x F ==∴[]min 2()b F x ≤，从而(,b ∈-∞(ii)4，即116a ≥时，F(x)在(4，＋∞)上单调递增 12(4)44b F a ≤=+，从而1(,2]8b a ∈-∞+ 8分综上，当1016a <<时，(b ∈-∞，116a ≥时，1(,2]8b a ∈-∞+； (2)当23b a =-时，构造函数 231()(1)()(1)ln(1),[0,)22G x f x g x x x ax ax x =+-=++--∈+∞由题意，有()0G x ≤对[0,)x ∈+∞恒成立 ∵'()ln(1)1,[0,)G x x ax a x =++--∈+∞ (i)当0a ≤时，'()ln(1)1(1)0G x x a x =++-+> ∴()G x 在[0,)+∞上单调递增∴()(0)0G x G >=在(0,)+∞上成立，与题意矛盾. (ii)当0a >时，令()'(),[0,)x G x x ϕ=∈+∞ 则1'()1x a x ϕ=-+，由于1(0,1)1x ∈+ ①当1a ≥时，1'()01x a x ϕ=-<+，()x ϕ在[0,)x ∈+∞上单调递减 ∴()(0)10x a ϕϕ≤=-≤，即'()0G x ≤在[0,)x ∈+∞上成立 ∴()G x 在[0,)x ∈+∞上单调递减∴()(0)0G x G ≤=在[0,)+∞上成立，符合题意②当01a <<时，1[(1)]1'(),[0,)11a x a x a x x x ϕ---=-=∈+∞++ ∴()x ϕ在1[0,1)x a ∈-上单调递增，在1(1,)x a ∈-+∞上单调递减 ∵(0)10a ϕ=->∴()0x ϕ>在1[0,1)x a ∈-成立，即'()0G x >在1[0,1)x a ∈-成立 ∴()G x 在1[0,1)x a∈-上单调递增 ∴()(0)0G x G >=在1(0,1)x a∈-上成立，与题意矛盾 综上，a 的最小值为1。