《完全平方公式》 (第1课时)示范公开课教学设计【北师大版七年级数学下册】

第一章整式的乘除1.6完全平方公式（1） 教学设计一、教学目标1.掌握完全平方公式，能利用完全平方公式进行运算；2.理解公式的推导过程，了解公式的几何背景．二、教学重点及难点重点：弄清完全平方公式的结构特点，能用自己的语言说明公式及其特点并会应用；难点：熟练用完全平方公式进行运算．三、教学准备多媒体课件四、相关资源相关图片五、教学过程【问题情境】列出下列代数式吗？（1）两数和的平方； 2a b +（）（2）两数差的平方； 2a b -（）你能计算出他们的结果吗？ 提示：2222a b a b a b a ab b +=++=++（）（）（）； 2222a b a b a b a ab b -=--=-+（）（）（）． （3）根据乘方的定义，我们知道：2a a a =⋅，那么2a b +（）应该写成什么样的形式呢？2a b +（）的运算结果有什么规律？今天我们来探究这一问题．设计意图：通过对比复习旧知识，引出新知识点．【探究新知】探究一、完全平方公式活动1.计算下列各式，你能发现什么规律？（1）()()()2+111_________p p p =++=； （2）22______________m +=（）； （3）()()()2111_________p p p -=--=； （4）22_______________m -=（）． 学生讨论，师生共同归纳，得出结果：（1）()()2211121p p p p p +=++=++（）； （2）()()()2222244m m m m m +=++=++；（3）()()()2211121p p p p p -=--=-+；（4）()()()2222244m m m m m -=--=-+．分析计算结果，寻找规律：结果中有两个数的平方和，而2p ＝2·p ·1，4m ＝2·m ·2，恰好是两个数乘积的2倍；（1）与（3），（2）与（4）之间只差一个符号． 活动2.计算推广：计算2_____________a b +=（）；2_____________a b -=（）． 学生独立完成得到结果：2222a b a b a b a ab b +=++=++（）（）（）；2222a b a b a b a ab b -=--=-+（）（）（）． 总结具有上述形式的多项式相乘，可以直接写出运算结果，得到完全平方公式：2222a b a ab b +=++（）；2222a b a ab b -=-+（）．即：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．活动3.引导学生观察公式的左右边，进一步挖掘公式的结构特征①公式左边是一个二项式的完全平方．②公式的右边是一个二次三项式，分别是二项式中每一项的平方及两项乘积的2倍（首平方，尾平方，乘积的两倍放中央，中间符号同前方）．（1）222(6)( )26( )x x +=+⨯+；（2）222(2)( 2 )( )m n m n +=++．答案：①x ，6；22m n ⨯．设计意图：通过计算得出完全平方公式，多层面多方位考察完全平方公式，加深理解探究二、几何解析你能根据图（1）和图（2）的面积说明完全平方公式吗？图1大正方形的边长为(a ＋b )，面积就是2a b +（），同时，大正方形可以分成图中①②③④四个部分，它们的面积分别为2a ，ab ，ab ，2b ，因此，整个面积为222a ab ab b a +++=+22ab b +，即说明2222a b a ab b +=++（）．类似地可由图2说明2222a b a ab b -=-+（）．设计意图：通过学生动手计算、讨论、交流，推导出完全平方公式，培养学生的代数推理能力，并从几何角度对公式进行解释，培养学生多方位思考问题的习惯，提高学生的合作交流意识和创新精神．【典型例题】例1．用完全平方公式计算：(1) (2x −3)2 ； (2) (4x +5y )2 ； (3) (mn −a )2分析：找准与公式中与a ，b 对应因式，代入公式计算．解：（1）(2x −3)2= (2x )2-2(2x )(3)+ (-3)2=4x 2-12x +9（2）(4x +5y )2 =(4x )2-2(4x )(5y )+ (5y )2=16x 2-40xy +25y 2（3）(mn −a )2 =(mn )2-2mna +a 2=m 2n 2-2mna +a 2 例2．运用完全平方公式计算：（1）24m n +（）；（2）212y -（）． 解：（1）222224424168m n m m n n m mn n +=+⋅⋅+=++（）（）（）；（2）2222111122224y y y y y -=-⋅⋅+=-+（）（）． 设计意图：通过将算式中的各项与公式里的a ，b 进行对照，进一步体会字母a ，b 的含义，加深对字母含义广泛性的理解．例3.如果36x 2＋(m ＋1)xy ＋25y 2是一个完全平方式，求m 的值．分析：先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式确定m 的值．解：∵36x 2＋(m ＋1)xy ＋25y 2＝(6x )2＋(m ＋1)xy ＋(5y )2，∴(m ＋1)xy ＝±2·6x ·5y ，∴m ＋1＝±60，∴m ＝59或－61．设计意图：认清完全平方式的特点：两数的平方和加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式；注意积的2倍的符号，避免漏解．例4.（1）下列等式能成立的是( )．CA ．(a -b )2＝a 2-ab +b 2B ．(a +3b )2＝a 2+9b 2C ．(a +b )2＝a 2+2ab +b 2D ．(x +9)(x -9)＝x 2-9（2）(a +3b )2-(3a +b )2计算的结果是( )．CA ．8(a -b )2B ．8(a +b )2C ．8b 2-8a 2D ．8a 2-8b 2（3）在括号内选入适当的代数式使等式152x y ⎛⎫-⎪⎝⎭·( )＝2212554x xy y -+成立．A A ．152x y - B ．152x y + C ．152x y -+ D ．152x y -- （4）(5x 2-4y 2)(-5x 2+4y 2)运算的结果是( )．B A ．-25x 4-16y 4B ．-25x 4+40x 2y 2-16y 2C ．25x 4-16y 4D ．25x 4-40x 2y 2+16y 2设计意图：完全平方公式的灵活运用.四、课堂练习1.（1）计算22)()(b a b a --+，其结果为（ ）AA ．ab 4B ．ab 2C ． 22aD ．22b（2）如果122++ax x 是完全平方公式，则a 的值为（ ）CA ．1B ．1-C ．1±D ．0（3）12242+-ab b a 等于（ ）AA ．22)1(-abB ．22)1(+abC ．222)1(-b aD ．22)1(-b a（4）222y x xy --等于（ ）DA ．2)(y x -B ．2)(y x --C ．2)(y x +-D ．2)(y x --2.（1）(3x +2y )2-(3x -2y )2＝ 24xy（2）(3a 2-2a +1)(3a 2+2a +1)＝ 9a 4+2a 2+1（3）( )-24a 2c 2+( )＝( -4c 2)2 9a 4，16c 4，3a 2设计意图：提高学生灵活运用完全平方公式的能力，体会公式在解决有些计算问题时的巧妙和简洁．3.利用完全平方公式计算：(1)(5－a )2；(2)(－3m －4n )2；(3)(－3a ＋b )2．解：(1)(5－a )2＝25－10a ＋a 2；(2)(－3m －4n )2＝9m 2＋24mn ＋16n 2；(3)(－3a ＋b )2＝9a 2－6ab ＋b 2．4．下表为杨辉三角系数表，它的作用是指导读者按规律写出形如(a ＋b )n (n 为正整数)展开式的系数，请你仔细观察下表中的规律，填出(a ＋b )6展开式中所缺的系数．(a ＋b )1＝a ＋b ，(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3，则(a ＋b )6＝a 6＋6a 5b ＋15a 4b 2＋________a 3b 3＋15a 2b 4＋6ab 5＋b 6．解析：由(a ＋b )1＝a ＋b ，(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3，可得(a ＋b )n 的各项展开式的系数除首尾两项都是1外，其余各项系数都等于(a ＋b )n－1的相邻两个系数的和，由此可得(a ＋b )4的各项系数依次为1、4、6、4、1；(a＋b)5的各项系数依次为1、5、10、10、5、1，因此(a＋b)6的各项系数分别为1、6、15、20、15、6、1．故填20．设计意图：结合教材上的读一读，让学生明确对于规律探究题，读懂题意并根据所给的式子寻找规律，是快速解题的关键．六、课堂小结1．完全平方公式和平方差公式不同：（1）形式不同．（2）结果不同：完全平方公式的结果是三项，即 (a±b)2＝a2±2ab+b2；平方差公式的结果是两项，即(a+b)(a−b)＝a2−b2．2．解题过程中要准确确定a和b，对照公式原形的两边，做到不丢项、不弄错符号、2ab时不少乘2．设计意图：通过归纳总结，使学生熟练掌握完全平方公式，并能灵活地运用公式进行计算．七、板书设计。