湖北省2015届高三第第二次八校联考文数试卷(含答案)
湖北省八校2015届高三第二次联考数学试题（文科）考试时间：2015年4月1日下午15:00—17:00试卷满分：150分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合（其中为虚数单位），，，则复数的共轭复数为A ．B ．C ．D．2．若变量，满足约束条件，则的最大值为A ．B ．C．D．3．从某校高三年级中随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中的视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示，若某高校专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报专业的人数为A ．10B ．20C ．8D ．164．已知中，内角,,所对的边长分别为,,，若，且，，则的面积等于A ．B．C．D ．5.《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题：把100个面包分给5个人，使每个人的所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小一份的量为A．B ．C．D．6．已知某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的表面积等于A．B ．C．D ．7．将一枚骰子先后抛掷两次得到的点数依次记为，，则直线与圆第6题图侧视图鄂南高中黄冈中学黄石二中华师一附中襄阳四中襄阳五中孝感高中荆州中学无公共点的概率为A.B.C.D.8．下列命题为真命题的是A ．已知，则“”是“”的充分不必要条件B ．已知数列为等比数列，则“”是“”的既不充分也不必要条件C ．已知两个平面，，若两条异面直线满足且∥，∥，则∥D.，使成立9．对于函数，若存在区间，使得，则称函数为“可等域函数”，区间为函数的一个“可等域区间”．下列函数中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为A ．B ．C．D．10．已知二次函数图象的顶点坐标为，与轴的交点,位于轴的两侧，以线段为直径的圆与轴交于和，则点所在曲线为A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置、书写不清、模棱两可均不得分．11．设向量，，则向量在向量方向上的投影为．12．已知为钝角，且，则=．13．设函数，则方程的解集为．14．已知抛物线的焦点为，准线为直线，过抛物线上一点作于，若直线的倾斜角为，则．15．已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，执行如图所示的程序框图，输出的值是．输出结束否16．在上的函数满足：①为正常数）；②当时，，若函数的图象上所有极大值对应的点均落在同一条直线上，则等于__________．17．若集合具有以下性质：①，；②若，则；且时，，则称集合是“完美集”．给出以下结论：①集合是“完美集”；②有理数集是“完美集”；③设集合是“完美集”，若,，则；④设集合是“完美集”，若,，则必有；⑤对任意的一个“完美集”，若，且，则必有．其中正确结论的序号是．三、解答题：本大题5小题，共65分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18.（本小题满分12分）函数（其中）的图象如图所示，把函数的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数的图象．（Ⅰ）求函数的表达式；（Ⅱ）已知内角的对边分别为，且．若向量与共线，求的值．19.（本小题满分12分）数列中，，，数列满足，．（Ⅰ）若数列是等差数列，求数列的前项和；（Ⅱ）若数列是公差为的等差数列，求数列的通项公式．20.（本小题满分13分）如图，梯形中，于,于,且，现将，分别沿与翻折，使点与点重合，点为的中点，设面与面相交于直线，（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：面．21.（本小题满分14分）已知函数，（Ⅰ）求函数的单调区间，并判断是否有极值；（Ⅱ）若对任意的，恒有成立，求的取值范围；（Ⅲ）证明：（）．22．（本小题满分14分）已知椭圆：，若椭圆上的一动点到右焦点的最短距离为，且右焦点到直线的距离等于短半轴的长．已知点，过点的直线与椭圆交于,两点，点与点关于轴对称．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求的取值范围；（Ⅲ）证明：直线恒过某定点．A FE DB CAlBCEOF湖北省八校2015届高三第二次联考数学试题（文科）参考答案一、选择题1-56-10二．填空题11.12.13.14．15.16.17②③④⑤1.【解析】选．由，可得，即得，，的共轭复数为 2.【解析】选．线性约束区域如下图，看作是，当经过与的交点时，取最大值．3.【解析】选．满足条件的有3组：视力在0.9到1.1；视力在1.1到1.3；视力在1.3到1.5，纵轴表示的是频率/组距，所以可以报考A 专业的有(1+0.75+0.25)0.250=20(人).4.【解析】选.由正弦定理可得，即，所以，因此这是一个正三角形．5.【解析】选．易得中间的那份为20个面包，设最小的一份为，公差为，根据题意，于是有[20+()+()]()，解得=．6.【解析】选．这是一个正三棱柱，外接球的球心就是两底面三角形的中心连线的中点，外接球的半径等于球心到正三棱柱的任意一个顶点的距离，可求半径为，那么外接球的表面积为鄂南高中黄冈中学黄石二中荆州中学襄阳四中襄阳五中孝感高中华师一附中．7．【解析】B．直线与圆无公共点,则有，满足该条件的基本事件有15种，基本事件总数是36种，故所求概率为．8.【解析】选．选项中，是的必要不充分条件，所以错；选项中，由得或，可以推出；但若，则该数列有可能是摆动的等比数列，如：1，－1，1，－1，1，－1……，此时推不出，所以错；选项中，当时，，所以错．9.【解析】选．选项A中，区间都可以是“等可域区间”；选项C，D中，函数均为增函数且与不可能有两个交点；选项B中，“等可域区间”为．10【解析】选．结合二次函数的顶点坐标为()，根据题意可得，①，二次函数图像和x轴的两个交点分别为()和()，利用射影定理即得：，结合①先求出和之间的关系，代入①可得到，()所在的曲线为，表示椭圆．11.【解析】．向量在向量方向上的投影为．12.【解析】．，即，又为钝角，，．13．【解析】．令=或=或．14.【解析】．点只能在抛物线上半部分，设点为，，，解得，．15．【解析】6．因为，即过A点的切线斜率为，与直线垂直，可得=－1从而，，程序的算法中，，跳出循环时．16．【解析】．先令，那么，=；再令，那么，=；分别算出它们的极值点为()，,，三点共线解得．17.【解析】②③④⑤①－1，1，但是，不是“完美集”；②有理数集肯定满足“完美集”的定义；③0，，0－=－，那么；④对任意一个“完美集”A，任取，若中有0或1时，显然；下设均不为0，1，而，那么，所以，进而，结合前面的算式，；⑤，若，那么，那么由(4)得到：．三．解答题18（Ⅰ）由函数的图象，，得，又，所以．……………………3分由图像变换，得．……………………6分（Ⅱ）∵，即∵，，∴，∴．………………………………………………7分∵共线，∴．由正弦定理，得①………………………………9分∵，由余弦定理，得②……………………11分解方程组①②，得．……………………………………12分19.（Ⅰ），且是等差数列，，当为奇数时，，即；当为偶数时，，则，，………………6分（Ⅱ）是公差为的等差数列,，．当为奇数时，；当为偶数时，．即且，因为，，………………………………………12分20．解析：（Ⅰ）．……………分（Ⅱ）①，在中，连接,得,且②结合①②得，即面．………………………………………………13分21．（Ⅰ），（），，即，当，，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在处取得极大值，极大值为，无极小值．……………………………４分（Ⅱ）方法1：因为，对任意的恒成立,由（1）知，则有，所以．……………………………………………9分方法2：记，，,，，由得即上为增函数；上为增函数；在上为减函数．因为对即要求恒成立,所以符合且得．………………………………………………………………分（Ⅲ），由（Ⅰ）知，则（当且仅当取等号）．令（），即，则有则得证………………………………………………………………14分22．解：（Ⅰ）由题意知，解得，故椭圆的方程．……………………………………………………分（Ⅱ）由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为．由得．①设点，，，即．……………………………………………………分(Ⅲ)由（Ⅱ）知，，直线的方程为．令，得．将，代入，整理，得．②由①得，代入②整理，得．所以直线恒过定点．…………………………………………14分。
[精品]2015年普通高等学校招生全国统一考试高中数学文试题湖北卷和答案
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2015年高考湖北卷文数试题解析（精编版）（解析版）一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.i为虚数单位，607i=（）A．i-B．i C．1-D．1【答案】A.【考点定位】本题考查复数的概念及其运算，涉及分数指数幂的运算性质.【名师点睛】将复数的幂次运算和分数指数幂运算结合在一起，不仅考查了复数的概念，也考查了分数指数幂的运算性质，充分体现了学科内知识之间的联系性，能够较好的反应学生基础知识的识记能力和计算能力.2.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石【答案】B.【考点定位】本题考查简单的随机抽样，涉及近似计算.【名师点睛】本题以数学史为背景，重点考查简单的随机抽样及其特点，通过样本频率估算总体频率，虽然简单，但仍能体现方程的数学思想在解题中的应用，能较好考查学生基础知识的识记能力和估算能力、实际应用能力. 3.命题“0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是（ ） A ．0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x ≠-B ．0(0,)x ∃∉+∞，00ln 1x x =-C ．(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-D ．(0,)x ∀∉+∞，ln 1x x =- 【答案】C .【考点定位】本题考查特称命题和全称命题的否定形式，，属识记基础题. 【名师点睛】本题主要考查特称命题的否定，其解题的关键是正确理解并识记其否定的形式特征.扎根基础知识，强调教材的重要性，充分体现了教材在高考中的地位和重要性，考查了基本概念、基本规律和基本操作的识记能力. 4.已知变量x 和y 满足关系0.11y x =-+，变量y 与z 正相关. 下列结论中正确的是（ ）A ．x 与y 负相关，x 与z 负相关B ．x 与y 正相关，x 与z 正相关C ．x 与y 正相关，x 与z 负相关D ．x 与y 负相关，x 与z 正相关 【答案】A .【考点定位】本题考查正相关、负相关，涉及线性回归方程的内容.【名师点睛】将正相关、负相关、线性回归方程等联系起来，充分体现了方程思想在线性回归方程中的应用，能较好的考查学生运用基础知识的能力.其易错点有二：其一，未能准确理解正相关与负相关的定义；其二，不能准确的将正相关与负相关问题进行转化为直线斜率大于和小于0的问题.5.12,l l 表示空间中的两条直线，若p ：12,l l 是异面直线；q ：12,l l 不相交，则（ ） A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 【答案】A .【考点定位】本题考查充分条件与必要条件、异面直线，属基础题.【名师点睛】以命题与命题间的充分条件与必要条件为契机，重点考查空间中直线的位置关系，其解题的关键是弄清谁是谁的充分条件谁是谁的必要条件，正确理解异面直线的定义，注意考虑问题的全面性、准确性. 6.函数256()4||lg3x x f x x x -+=-+-的定义域为（ ） A ．(2,3) B ．(2,4]C ．(2,3)(3,4]D ．(1,3)(3,6]-【答案】C .【考点定位】本题考查函数的定义域，涉及根式、绝对值、对数和分式、交集等内容.【名师点睛】本题看似是求函数的定义域，实质上是将根式、绝对值、对数和分式、交集等知识联系在一起，重点考查学生思维能力的全面性和缜密性，凸显了知识之间的联系性、综合性，能较好的考查学生的计算能力和思维的全面性.7.设x ∈R ，定义符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩则（ ） A ．|||sgn |x x x =B ．||sgn ||x x x =C ．||||sgn x x x =D ．||sgn x x x =【答案】D.【考点定位】本题考查分段函数及其表示法，涉及新定义，属能力题. 【名师点睛】以新定义为背景，重点考查分段函数及其表示，其解题的关键是准确理解题意所给的新定义，并结合分段函数的表示准确表达所给的函数.不仅新颖别致，而且能综合考察学生信息获取能力以及知识运用能力.8.在区间[0,1]上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12x y +≤”的概率，2p 为事件“12xy ≤”的概率，则（ ）A ．1212p p <<B ．1212p p <<C ．2112p p <<D ．2112p p <<【答案】B .【考点定位】本题考查几何概型和微积分基本定理，涉及二元一次不等式所表示的区域和反比例函数所表示的区域.【名师点睛】以几何概型为依托，融合定积分的几何意义、二元一次不等式所表示的区域和反比例函数所表示的区域等内容，充分体现了转化的数学思想在实际问题中的应用，能较好的考查学生灵活运用基础知识解决实际问题的能力. 9.将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（ ） A ．对任意的,a b ，12e e > B ．当a b >时，12e e >；当a b<时，12e e <C ．对任意的,a b ，12e e <D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e > 【答案】D .【考点定位】本题考查双曲线的定义及其简单的几何性质，考察双曲线的离心率的基本计算，涉及不等式及不等关系.【名师点睛】将双曲线的离心率的计算与初中学习的溶液浓度问题联系在一起，突显了数学在实际问题中实用性和重要性，充分体现了分类讨论的数学思想方法在解题中的应用，能较好的考查学生思维的严密性和缜密性. 10.已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ，定义集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为（ ）A ．77B ．49C ．45D ．30【答案】C .【考点定位】本题考查用不等式表示平面区域和新定义问题，属高档题.【名师点睛】用集合、不等式的形式表示平面区域，以新定义为背景，涉及分类计数原理，体现了分类讨论的思想方法的重要性以及准确计数的科学性，能较好的考查学生知识间的综合能力、知识迁移能力和科学计算能力.第Ⅱ卷（共110分）（非选择题共110分）二、填空题（每题7分，满分36分，将答案填在答题纸上）11.已知向量OA AB⊥，||3OA =，则OA OB⋅=_________．【答案】9.【考点定位】本题考查向量的数量积的基本运算，属基础题.【名师点睛】将向量的加法运算法则（平行四边形法则和三角形法则）和向量的数量积的定义运算联系在一起，体现数学学科知识间的内在联系，渗透方程思想在解题中的应用，能较好的考查学生基础知识的识记能力和灵活运用能力.12.若变量,x y满足约束条件4,2,30,x yx yx y+≤⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩则3x y+的最大值是_________．【答案】10.【考点定位】本题考查线性规划的最值问题，属基础题.【名师点睛】这是一道典型的线性规划问题，重点考查线性规划问题的基本解决方法，体现了数形结合的思想在数学解题中重要性和实用性，能较好的考查学生准确作图能力和灵活运用基础知识解决实际问题的能力. 13.函数2π()2sin sin()2f x x x x =+-的零点个数为_________.【答案】2.【考点定位】本题考查函数与方程，涉及常见函数图像绘画问题，属中档题. 【名师点睛】将函数的零点问题和方程根的问题、函数的交点问题联系在一起，凸显了数学学科内知识间的内在联系，充分体现了转化化归的数学思想在实际问题中的应用，能较好的考查学生准确绘制函数图像的能力和灵活运用基础知识解决实际问题的能力.14.某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示. （Ⅰ）直方图中的a =_________；（Ⅱ）在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为_________.【答案】（Ⅰ）3；（Ⅱ）6000.【考点定位】本题考查频率分布直方图，属基础题.【名师点睛】以实际问题为背景，重点考查频率分布直方图，灵活运用频率直方图的规律解决实际问题，能较好的考查学生基本知识的识记能力和灵活运用能力.15.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD _________m.【答案】1006.【考点定位】本题考查解三角形的实际应用举例，属中档题.【名师点睛】以实际问题为背景，将抽象的数学知识回归生活实际，凸显了数学的实用性和重要性，体现了“数学源自生活，生活中处处有数学”的数学学科特点，能较好的考查学生识记和理解数学基本概念的能力和基础知识在实际问题中的运用能力.16.如图，已知圆C与x轴相切于点(1,0)T，与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且2AB=.（Ⅰ）圆C的标准．．方程为_________；（Ⅱ）圆C在点B处的切线在x轴上的截距为_________.【答案】（Ⅰ）22--.-+-=；（Ⅱ）12x y(1)(2)2【考点定位】本题考查圆的标准方程和圆的切线问题, 属中高档题.【名师点睛】将圆的标准方程、圆的切线方程与弦长问题联系起来，注重实际问题的特殊性，合理的挖掘问题的实质，充分体现了数学学科特点和知识间的内在联系，渗透着方程的数学思想，能较好的考查学生的综合知识运用能力.其解题突破口是观察出点C的横坐标.17.a为实数，函数2g a. 当a=_________=-在区间[0,1]上的最大值记为()()||f x x ax时，()g a的值最小.【答案】222-.【考点定位】本题考查分段函数的最值问题和函数在区间上的最值问题，属高档题.【名师点睛】将含绝对值的二次函数在区间上的最值问题和分段函数的最值问题融合在一起，运用分类讨论的思想将含绝对值问题转化为分段函数的问题，充分体现了分类讨论和化归转化的数学思想，能较好的考查知识综合能力.其解题的关键是运用分类讨论求出()g a 的表达式和分段函数在区间上的最值求法. 三、解答题 （本大题共5小题，共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18.（本小题满分12分）某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x ωϕ+ 0 π2 π3π2 2πxπ35π6 sin()A x ωϕ+55-（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置．．．．．．．．．．．，并直接写出函数()f x 的解析式； （Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到()y g x =图象，求()y g x =的图象离原点O 最近的对称中心.【答案】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得π5,2,6A ωϕ===-.数据补全如下表：x ωϕ+π2 π3π2 2πxπ12 π3 7π125π6 13π12 sin()A x ωϕ+55-且函数表达式为π()5sin(2)6f x x =-；（Ⅱ）离原点O 最近的对称中心为π(,0)12-.【考点定位】本题考查五点作图法和三角函数图像的平移与三角函数的图像及其性质，属基础题.【名师点睛】将五点作图法、三角函数图像的平移与三角函数的图像及其性质联系在一起，正确运用方程组的思想，合理的解三角函数值，准确使用三角函数图像的平移和三角函数的图像及其性质是解题的关键，能较好的考查学生基础知识的实际应用能力、准确计算能力和规范解答能力. 19.（本小题满分12分）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ．已知11b a =，22b =，q d =，10100S =．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）当1d >时，记n n na cb =，求数列{}nc 的前n 项和n T ．【答案】（Ⅰ）121,2.n n na nb -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或11(279),929().9n n n a n b -⎧=+⎪⎪⎨⎪=⋅⎪⎩；（Ⅱ）12362n n n T -+=-.【考点定位】本题综合考查等差数列、等比数列和错位相减法求和，属中档题. 【名师点睛】这是一道简单综合试题，其解题思路：第一问直接借助等差、等比数列的通项公式列出方程进行求解，第二问运用错位相减法直接对其进行求和.体现高考坚持以基础为主，以教材为蓝本，注重计算能力培养的基本方向. 20.（本小题满分13分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD CD =，点E 是PC 的中点，连接,,DE BD BE.（Ⅰ）证明：DE ⊥平面PBC . 试判断四面体EBCD 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需 写出结论）；若不是，请说明理由； （Ⅱ）记阳马P ABCD -的体积为1V ，四面体EBCD 的体积为2V ，求12V V 的值．【答案】（Ⅰ）因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD BC ⊥. 由底面ABCD 为长方形，有BC CD ⊥，而PDCD D =，所以BC ⊥平面PCD . DE ⊂平面PCD ，所以BC DE ⊥. 又因为PD CD =，点E 是PC 的中点，所以DE PC ⊥. 而PC BC C =，所以DE ⊥平面PBC.四面体EBCD 是一个鳖臑；（Ⅱ）124.V V =【考点定位】本题考查直线与平面垂直的判定定理、直线与平面垂直的性质定理和简单几何体的体积，属中高档题.【名师点睛】以《九章算术》为背景，给予新定义，增添了试题的新颖性，但其实质仍然是考查线面垂直与简单几何体的体积计算，其解题思路：第一问通过线线、线面垂直相互之间的转化进行证明，第二问关键注意底面积和高之比，运用锥体的体积计算公式进行求解. 结合数学史料的给予新定义，不仅考查学生解题能力，也增强对数学的兴趣培养，为空间立体几何注入了新的活力. 21.（本小题满分14分）设函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，()()e x f x g x +=，其中e 为自然对数的底数.（Ⅰ）求()f x ，()g x 的解析式，并证明：当0x >时，()0f x >，()1g x >； （Ⅱ）设0a ≤，1b ≥，证明：当0x >时，()()(1)()(1)f x ag x a bg x b x+-<<+-. 【答案】（Ⅰ）1()(e e )2x x f x -=-，1()(e e )2x x g x -=+.证明：当0x >时，e 1x >，0e 1x -<<，故()0.f x >又由基本不等式，有1()(e e )e e 12x x x x g x --=+>=，即() 1.g x > （Ⅱ）由（Ⅰ）得2111e 1()(e )(e )(e e )()2e 2e 2x x x x x x x f x g x -''=-=+=+=⑤2111e 1()(e )(e )(e e )()2e 2e 2x x x x x x x g x f x -''=+=-=-=⑥当0x >时，()()(1)f x ag x a x >+-等价于()()(1)f x axg x a x >+- ⑦ ()()(1)f x bg x b x<+-等价于()()(1).f x bxg x b x <+- ⑧于是设函数 ()()()(1)h x f x cxg x c x =---，由⑤⑥，有()()()()(1)h x g x cg x cxf x c '=----(1)[()1]().c g x cxf x =--- 当0x >时，（1）若0c ≤，由③④，得()0h x '>，故()h x 在[0,)+∞上为增函数，从而()(0)0h x h >=，即()()(1)f x cxg x c x >+-，故⑦成立.（2）若1c ≥，由③④，得()0h x'<，故()h x 在[0,)+∞上为减函数，从而()(0)0h x h <=，即()()(1)f x cxg x c x <+-，故⑧成立.综合⑦⑧，得 ()()(1)()(1)f x ag x a bg x b x+-<<+-【考点定位】本题考查函数的奇偶性和导数在研究函数的单调性与极值中的应用，属高档题.【名师点睛】将函数的奇偶性和导数在研究函数的单调性与极值中的应用联系在一起，重点考查函数的综合性，体现了函数在高中数学的重要地位，其解题的关键是第一问需运用奇函数与偶函数的定义及性质建立方程组进行求解；第二问属于函数的恒成立问题，需借助导数求解函数最值来解决.22.（本小题满分14分）一种画椭圆的工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且1MN=．当栓子D在DN ON==，3滑槽AB内作往复运动时，带动．．N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C．以O为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l总与椭圆C 有且只有一个公共点，试探究：OPQ ∆的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）221.164x y +=（Ⅱ）当直线l 与椭圆C在四个顶点处相切时，OPQ ∆的面积取得最小值8.【考点定位】本题考查椭圆的标准方程与直线与椭圆相交综合问题，属高档题. 【名师点睛】作为压轴大题，其第一问将椭圆的方程与课堂实际教学联系在一起，重点考查学生信息获取与运用能力和实际操作能力，同时为椭圆的实际教学提供教学素材；第二问考查直线与椭圆相交的综合问题，借助函数思想进行求解.其解题的关键是注重基本概念的深层次理解，灵活运用所学知识.。
湖北省黄冈中学等八校2015届高三第二次模拟考试数学(文)试题 Word版含解析
湖北省 八校2015届高三第二次联考 数学试题（文科）【试卷综述】突出考查数学主干知识 ,侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查；侧重于知识交汇点的考查。
全面考查了考试说明中要求的内容，明确了中学数学的教学方向和考生的学习方向,适度综合考查，提高试题的区分度.通过考查知识的交汇点，对考生的数学能力提出了较高的要求.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}1 3 , A zi =，（其中i 为虚数单位），{4}B =，A B A =，则复数z 的共轭复数为A ．i 2－B ．i 2C ．i 4－D ．i 4 【知识点】复数的基本概念；并集及其运算．L4【答案】【解析】D 解析：由A =A B ，可得A ⊆B ，即得4zi =，4z i =-，z 的共轭复数为4i ,故选D ．【思路点拨】根据集合关系求出z 的值即可得到结论．【题文】2．若变量x ，y 满足约束条件211y x x y y ⎧⎪+⎨⎪-⎩≤≤≥，则2z x y =+的最大值为A ．52-B ．0C ．53 D ．52【知识点】简单线性规划．E5【答案】【解析】C 解析：线性约束区域如下图，2z x y =+看作是122zy x =-+，当经过x 2=y 与1x y +=的交点12(,)33时，z 取最大值53．故选C.【思路点拨】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC 及其内部，再将目标函数z=x+2y 对应的直线进行平移，可得当x=，y=时，z 取得最大值．【题文】3．从某校高三年级中随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检鄂南高中 黄冈中学 黄石二中 华师一附中襄阳四中 襄阳五中 孝感高中 荆州中学表中的视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示，若某高校A 专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A 专业的人数为 A ．10 B ．20 C ．8 D ．16【知识点】频率分布直方图．I2【答案】【解析】B 解析：满足条件的有3组：视力在0.9到1.1；视力在1.1到1.3；视力在1.3到1.5，纵轴表示的是频率/组距，所以可以报考A 专业的有(1+0.75+0.25)×0.2×50=20(人). 故选B.【思路点拨】在频率分布表中，频数的和等于样本容量，频率的和等于1，每一小组的频率等于这一组的频数除以样本容量．频率分布直方图中，小矩形的面积等于这一组的频率．视力的要求在0.9以上的矩形的面积求和乘以样本容量即可．【题文】4．已知ABC ∆中，内角A ,B ,C 所对的边长分别为a ,b ,c ，若3A π=，且2c o s b a B =，1c =，则ABC ∆的面积等于A ．4B ．2 C ． 6D ．8【知识点】正弦定理．C8【答案】【解析】A 解析：由正弦定理可得B A B cos sin 2=sin ，即3=sin 2=tan A B ，所以3=πB ，因此这是一个正三角形．故选A.【思路点拨】由已知结合正弦定理求得角B ，则可断定△ABC 是一个正三角形，然后由三角形的面积公式得答案．【题文】5.《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题：把100个面包分给5个人，使每个人的所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小一份的量为 A ．5 2B ．54 C ． 5 3 D ．56【知识点】等差数列的通项公式．D2【答案】【解析】C 解析：易得中间的那份为20个面包，设最小的一份为1a ，公差为d ，根据题意，于是有[20+(d a 3+1)+(d a 4+1)]×+=711a (d a +1)，解得1a =35．故选C. 【思路点拨】易得中间的那份为20个面包，设最小的一份为a 1，公差为d ，由题意可得a 1和d 的方程，解方程可得．【题文】6．已知某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的表面积等于 A ．73πB ．16πC ． 8πD ．283π【知识点】由三视图求面积、体积．G2【答案】【解析】D 解析：这是一个正三棱柱，外接球的球心就是两底面三角形的中心连线的中点，外接球的半径等于球心到正三棱柱的任意一个顶点的距离，可求半径为321，那么外接球的表面积为ππ328=37×4．故选D. 【思路点拨】由三视图知，几何体是一个正三棱柱，三棱柱的底面是一边长为2的正三角形，侧棱长是2，先求出其外接球的半径，再根据球的表面公式即可做出结果．【题文】7．将一枚骰子先后抛掷两次得到的点数依次记为a ，b ，则直线0ax by +=与圆22(2)2x y -+=无公共点的概率为A. 16B. 512C. 712D. 23【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．K2【答案】【解析】B 解析：直线0a x b y +=与圆22(2)2x y -+=无公共点,则有a b >⇒>，满足该条件的基本事件有15种，基本事件总数是36种，故所求概率为512P =．故选B. 【思路点拨】由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是36，求出满足条件的事件是直线ax+by=0与圆（x ﹣2）2+y 2=2无公共点的基本事件个数，代入古典概型概率公式得到结果．【题文】8．下列命题为真命题的是A ．已知R b a ∈，，则“222a b ab+-≤”是“00a b ><且”的充分不必要条件 B ．已知数列{}n a 为等比数列，则“123a a a <<”是“45a a <”的既不充分也不必要条件C ．已知两个平面α，β，若两条异面直线n m ，满足βα⊂⊂n m ，且m ∥β，n ∥α，则α∥βD. )0(0，－∞∈∃x ，使0034x x<成立 【知识点】充分必要条件;特称命题A2【答案】【解析】C 解析：选项A 中，22222()2200a b a b a b ab ab ab ab+++≤-⇔+=≤⇔<是00a b ><且的必要不充分条件，所以A 错； 选项B 中，由321a a a ＜＜得101a q >⎧⎨>⎩或1001a q <⎧⎨<<⎩，可以推出54a a ＜；但若54a a ＜，则该数列有可能是摆动的等比数列，如：1，－1，1，－1，1，－1……，此时推不出321a a a ＜＜，所以B 错；选项D 中，当00x <时，0000333()()1444x x x =>=0034x x⇔>，所以D 错．故选C.【思路点拨】依次对选项进行分析即可.【题文】9．对于函数()f x ，若存在区间][n m A ，=，使得{}A A x x f y y =∈=，)(|，则称函数()f x 为“可等域函数”，区间A 为函数()f x 的一个“可等域区间”．下列函数中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为 A ．()sin()2f x x π= B ．12)(2－x x f = C ．()21xf x =+D ．2()log (22)f x x =-【知识点】函数的图象．B8【答案】【解析】B 解析：选项A 中，区间[1,0],[0,1],[1,1]--都可以是“等可域区间”；选项C ，D 中，函数均为增函数且与y x =不可能有两个交点；选项B 中，“等可域区间”为[1,1]-．故选B.【思路点拨】根据“可等域区间”的定义分别进行判断即可得到结论．【题文】10．已知二次函数()20y ax bx c ac =++≠图象的顶点坐标为)412(aa b ，－－，与x 轴的交点P ,Q 位于y 轴的两侧，以线段PQ 为直径的圆与y 轴交于)40(1，F 和)40(2，－F ，则点)(c b ，所在曲线为A ． 圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线【知识点】轨迹方程；二次函数的性质．B5【答案】【解析】B 解析：结合二次函数的顶点坐标为(24-24b ac ba a －，)，根据题意可得241b ac ∆=-=，①，二次函数图像和x 轴的两个交点分别为(+102b a －，)和(102b a－－，)，利用射影定理即得：11()1622b b a a-+---⨯=⇒22164b a -=，结合①先求出a 和c 之间的关系，代入①可得到，(c b ，)所在的曲线为2214c b +=，表示椭圆．故选B. 【思路点拨】确定以线段PQ 为直径的圆的圆心坐标，利用|CM|=|CQ|，及二次函数y=ax 2+bx+c （ac≠0）图象的顶点坐标，化简，即可求得点（b ，c ）所在曲线．【题文】二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置、书写不清、模棱两可均不得分．11．设向量(21)a =-，，(34)b =，，则向量a 在向量b 方向上的投影为 ． 【知识点】平面向量数量积的含义与物理意义．F2【答案】【解析】25解析：向量a 在向量b 方向上的投影为2||cos==5a b a a b b?>，． 故答案为25。
2015年湖北省八校高考数学二模试卷(文科)(解析版)
2015年湖北省八校高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{1，3，zi}（其中i为虚数单位），B＝{4}，A∪B＝A，则复数z的共轭复数为（）A．﹣2i B．2i C．﹣4i D．4i2．（5分）若变量x，y满足约束条件，则x+2y的最大值是（）A．B．0C．D．3．（5分）从某校高三年级中随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中的视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示，若某高校A专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A专业的人数为（）A．10B．20C．8D．164．（5分）已知△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若，且b＝2a cos B，c＝1，则△ABC的面积等于（）A．B．C．D．5．（5分）《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题：把100个面包分给5个人，使每个人的所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小一份的量为（）A．B．C．D．6．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的表面积等于（）A．B．16πC．8πD．7．（5分）将一枚骰子先后抛掷两次得到的点数依次记为a，b，则直线ax+by＝0与圆（x ﹣2）2+y2＝2无公共点的概率为（）A．B．C．D．8．（5分）下列命题为真命题的是（）A．已知a，b∈R，则“”是“a＞0且b＜0”的充分不必要条件B．已知数列{a n}为等比数列，则“a1＜a2＜a3”是“a4＜a5”的既不充分也不必要条件C．已知两个平面α，β，若两条异面直线m，n满足m⊂α，n⊂β且m∥β，n∥α，则α∥βD．∃x0∈（﹣∞，0），使成立9．（5分）对于函数f（x），若存在区间A＝[m，n]，使得{y|y＝f（x），x∈A}＝A，则称函数f（x）为“可等域函数”，区间A为函数f（x）的一个“可等域区间”．下列函数中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为（）A．f（x）＝sin（x）B．f（x）＝2x2﹣1C．f（x）＝2x+1D．f（x）＝log2（2x﹣2）10．（5分）（平）若二次函数y＝ax2+bx+c（ac≠0）图象的顶点坐标为，与x轴的交点P、Q位于y轴的两侧，以线段PQ为直径的圆与y轴交于M（0，4）和N（0，﹣4）．则点（b，c）所在曲线为（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置、书写不清、模棱两可均不得分．11．（5分）设向量，，则向量在向量上的投影为．12．（5分）已知α为钝角，且，则sin2α＝．13．（5分）设函数f（x）＝，则方程f（x）＝的解集为．14．（5分）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为直线l，过抛物线上一点P作PE⊥l于E，若直线EF的倾斜角为150°，则|PF|＝．15．（5分）已知函数f（x）＝x2﹣ax的图象在点A（1，f（1））处的切线与直线x+3y+2＝0垂直，执行如图所示的程序框图，输出的k值是．16．（5分）在（1，+∞）上的函数f（x）满足：①f（2x）＝cf（x）（c为正常数）；②当2≤x≤4时，f（x）＝1﹣（x﹣3）2，若f（x）的图象上所有极大值对应的点均落在同一直线上，则c＝．17．（5分）若集合A具有以下性质：①0∈A，1∈A；②若x，y∈A，则x﹣y∈A；且x≠0时，，则称集合A是“完美集”．给出以下结论：①集合B＝{﹣1，0，1}是“完美集”；②有理数集Q是“完美集”；③设集合A是“完美集”，若x，y∈A，则x+y∈A；④设集合A是“完美集”，若x，y∈A，则必有xy∈A；⑤对任意的一个“完美集”A，若x，y∈A，且x≠0，则必有．其中正确结论的序号是．三、解答题：本大题5小题，共65分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（12分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（其中）的图象如图所示，把函数f（x）的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数y＝g（x）的图象．（Ⅰ）求函数y＝g（x）的表达式；（Ⅱ）已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c＝3，g（C）＝0．若向量与共线，求a，b的值．19．（12分）数列{a n}中，a1＝1，a2＝2，数列{b n}满足，n∈N+．（Ⅰ）若数列{a n}是等差数列，求数列{b n}的前100项和S100；（Ⅱ）若数列{b n}是公差为2的等差数列，求数列{a n}的通项公式．20．（13分）如图，梯形ABCD中，CE⊥AD于E，BF⊥AD于F，且AF＝BF＝BC＝1，，现将△ABF，△CDE分别沿BF与CE翻折，使点A与点D重合，点O为AC的中点，设面ABF与面CDE相交于直线l，（Ⅰ）求证：l∥CE；（Ⅱ）求证：OF⊥面ABE．21．（14分）已知函数，（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间，并判断是否有极值；（Ⅱ）若对任意的x＞1，恒有ln（x﹣1）+k+1≤kx成立，求k的取值范围；（Ⅲ）证明：（n∈N+，n≥2）．22．（14分）已知椭圆C：，若椭圆C上的一动点到右焦点的最短距离为，且右焦点到直线的距离等于短半轴的长．已知点P（4，0），过P点的直线l与椭圆C交于M，N两点，点T与点M关于x轴对称．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求的取值范围；（Ⅲ）证明：直线TN恒过某定点．2015年湖北省八校高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{1，3，zi}（其中i为虚数单位），B＝{4}，A∪B＝A，则复数z的共轭复数为（）A．﹣2i B．2i C．﹣4i D．4i【解答】解：由A∪B＝A，可得B⊆A，即得zi＝4，z＝﹣4i，z的共轭复数为4i，故选：D．2．（5分）若变量x，y满足约束条件，则x+2y的最大值是（）A．B．0C．D．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（﹣，﹣1），B（，），C（2，﹣1）设z＝F（x，y）＝x+2y，将直线l：z＝x+2y进行平移，当l经过点B时，目标函数z达到最大值∴z最大值＝F（，）＝故选：C．3．（5分）从某校高三年级中随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中的视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示，若某高校A专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A专业的人数为（）A．10B．20C．8D．16【解答】解：根据题意，视力的要求在0.9以上为50×（0.2+0.75×0.2+0.25×0.2）＝20，故选：B．4．（5分）已知△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若，且b＝2a cos B，c＝1，则△ABC的面积等于（）A．B．C．D．【解答】解：由b＝2a cos B，结合正弦定理可得sin B＝2sin A cos B，即tan B＝2sin A＝2sin＝，∴B＝，因此△ABC是一个正三角形．又c＝1，∴．故选：A．5．（5分）《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题：把100个面包分给5个人，使每个人的所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小一份的量为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可得中间的那份为20个面包，设最小的一份为a1，公差为d，由题意可得[20+（a1+3d）+（a1+4d）]×＝a1+（a1+d），解得a1＝，故选：C．6．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的表面积等于（）A．B．16πC．8πD．【解答】解：由三视图知，几何体是一个正三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2，如图，设O是外接球的球心，O在底面上的射影是D，且D是底面三角形的重心，AD的长是底面三角形高的三分之二∴AD＝×＝，在直角三角形OAD中，AD＝，OD＝＝1∴OA＝＝则这个几何体的外接球的表面积4π×OA2＝4π×＝故选：D．7．（5分）将一枚骰子先后抛掷两次得到的点数依次记为a，b，则直线ax+by＝0与圆（x ﹣2）2+y2＝2无公共点的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：将一枚骰子先后抛掷两次得到的点数依次记为a，b，基本事件总数是36种，∵直线ax+by＝0与圆（x﹣2）2+y2＝2无公共点，则有，∴满足该条件的基本事件有15种，故所求概率为P＝＝．故选：B．8．（5分）下列命题为真命题的是（）A．已知a，b∈R，则“”是“a＞0且b＜0”的充分不必要条件B．已知数列{a n}为等比数列，则“a1＜a2＜a3”是“a4＜a5”的既不充分也不必要条件C．已知两个平面α，β，若两条异面直线m，n满足m⊂α，n⊂β且m∥β，n∥α，则α∥βD．∃x0∈（﹣∞，0），使成立【解答】解：对于A，由于，而ab＜0是a＞0且b＜0的必要不充分条件，所以A错；对于B，由a1＜a2＜a3，得或，可以推出a4＜a5，若a4＜a5，该数列有可能是摆动的等比数列，如：1，﹣1，1，﹣1，1，﹣1…，此时推不出a1＜a2＜a3，所以B错；对于C，已知两个平面α，β，若两条异面直线m，n满足m⊂α，n⊂β且m∥β，n∥α，可过n作一个平面与平面α相交于n'，由线面平行的性质定理可得n'∥n，再由线面平行的判断定理可得，n'∥β，由面面平行的判断定理可得α∥β，所以C正确；对于D，由x0＜0，，所以D错．故选：C．9．（5分）对于函数f（x），若存在区间A＝[m，n]，使得{y|y＝f（x），x∈A}＝A，则称函数f（x）为“可等域函数”，区间A为函数f（x）的一个“可等域区间”．下列函数中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为（）A．f（x）＝sin（x）B．f（x）＝2x2﹣1C．f（x）＝2x+1D．f（x）＝log2（2x﹣2）【解答】解：对于A，函数f（x）＝sin（x）的周期是4，正弦函数的性质我们易得，A ＝[0，1]为函数的一个“可等域区间”，同时当A＝[﹣1，0]时也是函数的一个“可等域区间”，∴不满足唯一性．对于B，当A＝[﹣1，1]时，f（x）∈[﹣1，1]，满足条件，且由二次函数的图象可知，满足条件的集合只有A＝[﹣1，1]一个．∴f（x）＝2x2﹣1满足题意．对于C，A＝[m，n]为函数f（x）＝2x+1的“可等域区间”，若f（x）＝2x+1满足条件，则由，即m，n是方程2x+1＝x的两个根，设f（x）＝2x+1﹣x，则f′（x）＝2x ln2﹣1，x＞0时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增，方程无解，故不满足条件．对于D，∵f（x）＝log2（2x﹣2）单调递增，且函数的定义域为（1，+∞），若存在“可等域区间”，则满足，即，∴m，n是方程2x﹣2x+2＝0的两个根，设f（x）＝2x﹣2x+2，f′（x）＝2x ln2﹣2，当x＞1时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增，∴f（x）＝2x﹣2x+2＝0不可能存在两个解，故f（x）＝log2（2x﹣2）不存在“可等域区间”．故选：B．10．（5分）（平）若二次函数y＝ax2+bx+c（ac≠0）图象的顶点坐标为，与x轴的交点P、Q位于y轴的两侧，以线段PQ为直径的圆与y轴交于M（0，4）和N（0，﹣4）．则点（b，c）所在曲线为（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线【解答】解：由题意，以线段PQ为直径的圆的圆心坐标为C，则由|CM|＝|CQ|，可得∵二次函数y＝ax2+bx+c（ac≠0）图象的顶点坐标为，∴∴b2﹣4ac＝1∴b2+64a2＝1，a＝∴∴c2+4b2＝4∴b2+＝1∴点（b，c）所在曲线为椭圆故选：B．二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置、书写不清、模棱两可均不得分．11．（5分）设向量，，则向量在向量上的投影为．【解答】解：∵向量，，∴||＝＝，设、的夹角是θ，则cosθ＝＝＝，∴向量在向量上的投影为：||cosθ＝×＝；故答案为：．12．（5分）已知α为钝角，且，则sin2α＝﹣．【解答】解：∵cos（+α）＝﹣sinα＝﹣，∴sinα＝，又α为钝角，∴cosα＝﹣＝﹣，则sin2α＝2sinαcosα＝﹣．故答案为：﹣13．（5分）设函数f（x）＝，则方程f（x）＝的解集为{﹣1，}．【解答】解：若x≤0，由f（x）＝得f（x）＝2x＝＝2﹣1，解得x＝﹣1．若x＞0，由f（x）＝得f（x）＝|log2x|＝，即log2x＝±，由log2x＝，解得x＝．由log2x＝﹣，解得x＝＝．故方程的解集为{﹣1，}．故答案为：{﹣1，}．14．（5分）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为直线l，过抛物线上一点P作PE⊥l于E，若直线EF的倾斜角为150°，则|PF|＝．【解答】解：由抛物线y2＝4x方程，可得焦点F（1，0），准线l的方程为：x＝﹣1．∵直线EF的倾斜角为150°，∴k l＝tan150°＝．∴直线EF的方程为：y＝﹣（x﹣1），联立，解得y＝．∴E．∵PE⊥l于E，∴y P＝，代入抛物线的方程可得，解得x P＝．∴|PF|＝|PE|＝x P+1＝．故答案为：．15．（5分）已知函数f（x）＝x2﹣ax的图象在点A（1，f（1））处的切线与直线x+3y+2＝0垂直，执行如图所示的程序框图，输出的k值是6．【解答】解：∵f（x）＝x2﹣ax，∴f′（x）＝2x﹣a，∴根据导数的几何意义，y＝f（x）的图象在点A（1，f（1））处的切线斜率k＝f′（1）＝2﹣a，∵函数f（x）＝x2﹣ax的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线x+3y＝0垂直，∴（2﹣a）×（﹣）＝﹣1，∴a＝﹣1，∴f（x）＝x2+x，从而模拟程序运行，可得S＝0，k＝0不满足条件S＞，k＝1，S＝不满足条件S＞，k＝2，S＝+不满足条件S＞，k＝3，S＝++不满足条件S＞，k＝4，S＝+++不满足条件S＞，k＝5，S＝++++不满足条件S＞，k＝6，S＝+++++＝满足条件S＞，退出循环，输出k的值为6．故答案为：6．16．（5分）在（1，+∞）上的函数f（x）满足：①f（2x）＝cf（x）（c为正常数）；②当2≤x≤4时，f（x）＝1﹣（x﹣3）2，若f（x）的图象上所有极大值对应的点均落在同一直线上，则c＝1或2．【解答】【解答】解：∵当2≤x≤4时，f（x）＝1﹣（x﹣3）2当1≤x＜2时，则2≤2x＜4，则f（x）＝f（2x）＝[1﹣（2x﹣3）2]，此时当x＝时，函数取极大值；当2≤x≤4时，f（x）＝1﹣（x﹣3）2，此时当x＝3时，函数取极大值1；当4＜x≤8时，2＜x≤4，则f（x）＝cf（x）＝c（1﹣（x﹣3）2，此时当x＝6时，函数取极大值c；∵函数的所有极大值点均落在同一条直线上，即点（，），（3，1），（6，c）共线，∴＝，解得c＝1或2．故答案为：1或2．17．（5分）若集合A具有以下性质：①0∈A，1∈A；②若x，y∈A，则x﹣y∈A；且x≠0时，，则称集合A是“完美集”．给出以下结论：①集合B＝{﹣1，0，1}是“完美集”；②有理数集Q是“完美集”；③设集合A是“完美集”，若x，y∈A，则x+y∈A；④设集合A是“完美集”，若x，y∈A，则必有xy∈A；⑤对任意的一个“完美集”A，若x，y∈A，且x≠0，则必有．其中正确结论的序号是②③④⑤．【解答】解：①﹣1，1∈A，而﹣1﹣1＝﹣2∉A，所以集合B不是“完美集”，∴①错误；②0∈Q，1∈Q，有理数的差还是有理数，有理数分整数和分数，所以x∈Q，x≠0时，，∴②正确；③A是完美集，∴x，y∈A时，x﹣y∈A，∴x﹣y﹣x＝﹣y∈A，∴x﹣（﹣y）＝x+y∈A，所以③正确；④A是完美集，∴x，y∈A时，（1）若x＝0，或1，则x2∈A；（2）若x≠0，且x≠1，则x﹣1，∈A，∴；∴x2﹣x∈A，x2﹣x+x＝x2∈A；∴x∈A得到x2∈A；∴y2∈A，x2+y2∈A，（x+y）2∈A；∴2xy＝（x+y）2﹣（x2+y2）∈A；若x，y有一个为0，则xy∈A，若x，y都不为0，则：，∴xy∈A；∴x∈A，y∈A，得到xy∈A，所以④正确；⑤A是完美集，x，y∈A，x≠0，所以由前面知，所以⑤正确．∴正确结论的序号为②③④⑤．故答案为：②③④⑤．三、解答题：本大题5小题，共65分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（12分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（其中）的图象如图所示，把函数f（x）的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数y＝g（x）的图象．（Ⅰ）求函数y＝g（x）的表达式；（Ⅱ）已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c＝3，g（C）＝0．若向量与共线，求a，b的值．【解答】解：（Ⅰ）由函数的图象可得A＝1，＝＝，求得ω＝2．再根据五点法作图，可得2×+φ＝π，求得φ＝，∴f（x）＝sin（2x+）．把函数f（x）的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数y＝g（x）＝sin[2（x﹣）+]﹣1＝sin（2x﹣）﹣1的图象，即g（x）＝sin（2x﹣）﹣1．（Ⅱ）已知△ABC中，c＝3，g（C）＝sin（2C﹣）﹣1＝0，∴sin（2C﹣）＝1．由0＜C＜π，可得﹣＜2C﹣＜，∴2C﹣＝，C＝．∵向量与共线，∴＝＝，∴b＝2a．再由余弦定理可得c2＝9＝a2+4a2﹣2•a•2a•cos，求得a＝，∴b＝2．19．（12分）数列{a n}中，a1＝1，a2＝2，数列{b n}满足，n∈N+．（Ⅰ）若数列{a n}是等差数列，求数列{b n}的前100项和S100；（Ⅱ）若数列{b n}是公差为2的等差数列，求数列{a n}的通项公式．【解答】解：（Ⅰ）等差数列{a n}中，a1＝1，a2＝2，∴a n＝n；当n为奇数时，b n＝a n+1﹣a n＝1，即b1＝b3＝b5＝…＝b2n﹣1＝1；当n为偶数时，b n＝a n+1+a n＝2n+1，则b2＝5，b4＝9，b6＝13，∴{b n}的前100项和为S100＝b1+b2+…+b100＝（b1+b3+…+b99）+（b2+b4+…+b100）＝1×50+（50×5+）＝5200；…（6分）（Ⅱ）∵{b n}是公差为2的等差数列，且b1＝a2﹣a1＝1，∴b n＝2n﹣1；当n为奇数时，b n＝a n+1﹣a n＝2n﹣1，当n为偶数时，b n＝a n+1+a n＝2n﹣1；即，∴a2n+1+a2n﹣1＝2∴a2n+1＝2﹣a2n﹣1；又∵a1＝1，∴a1＝a3＝a5＝ (1)∴a2n﹣1＝1，a2n＝4n﹣2；∴．…（12分）20．（13分）如图，梯形ABCD中，CE⊥AD于E，BF⊥AD于F，且AF＝BF＝BC＝1，，现将△ABF，△CDE分别沿BF与CE翻折，使点A与点D重合，点O为AC的中点，设面ABF与面CDE相交于直线l，（Ⅰ）求证：l∥CE；（Ⅱ）求证：OF⊥面ABE．【解答】证明：（Ⅰ）⇒⇒l∥CE．…（6分）（Ⅱ）∵AF＝BF＝1，并且AF⊥BF，∴△ABF为等腰直角三角形，∴AB＝AE＝；设正方形BCEF对角线交点为G，∴⇒⇒面ACF⊥面ABE，交线为AG①⇒⇒AF⊥面BCEF，在Rt△AFC中，连接OG，得OG∥AF且OG＝，且⇒∠FGA+∠OFG＝⇒OF⊥AG②结合①②得，即OF⊥面ABE．…（13分）21．（14分）已知函数，（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间，并判断是否有极值；（Ⅱ）若对任意的x＞1，恒有ln（x﹣1）+k+1≤kx成立，求k的取值范围；（Ⅲ）证明：（n∈N+，n≥2）．【解答】（Ⅰ）解：，（x＞0），，即x∈（0，1），f'（x）＞0，当x∈（1，+∞），f'（x）＜0，∴f（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减，在x＝1处取得极大值，极大值为f（1）＝1，无极小值．（Ⅱ）解：方法1：∵ln（x﹣1）+k+1≤kx，，k≥f（x﹣1）max对任意的x＞1恒成立，由（1）知f（x）max＝f（1）＝1，则有f（x﹣1）max＝1，∴k≥1．方法2：记g（x）＝ln（x﹣1）﹣k（x﹣1）+1，，当k≤0时，g'（x）≥0；当k＞0时，由g'（x）＞0得，即当k≤0时，g（x）在（1，+∞）上为增函数；当k＞0时，上为增函数；在上为减函数．∵对任意的x＞1，恒有ln（x﹣1）+k+1≤kx成立，即要求g（x）≤0恒成立，∴k＞0符合，且，得k≥1．（Ⅲ）证明：，由（Ⅰ）知，则（当且仅当x＝1取等号）．令x＝n2（n∈N*，n≥2），即，则有∴，∴．22．（14分）已知椭圆C：，若椭圆C上的一动点到右焦点的最短距离为，且右焦点到直线的距离等于短半轴的长．已知点P（4，0），过P点的直线l与椭圆C交于M，N两点，点T与点M关于x轴对称．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求的取值范围；（Ⅲ）证明：直线TN恒过某定点．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，解得，故椭圆C的方程．（Ⅱ）由题意知直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为y＝k（x﹣4）．由得（2k2+1）x2﹣16k2x+32k2﹣4＝0．①设点M（x1，y1），N（x2，y2），△＝（﹣16k2）2﹣4（2k2+1）（32k2﹣4）＞0，∴，∴，，＝，，∵，即．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，T（x1，﹣y1），直线TN的方程为．令y＝0，得．将y1＝k（x1﹣4），y2＝k（x2﹣4）代入，整理，得．②由①得，代入②整理，得x＝1．∴直线TN恒过定点Q（1，0）．。
湖北省八校2015届高三第二次联考试卷数学【文】试卷及答案
湖北省 八校2015届高三第二次联考 数学试题（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}1 3 , A zi =，（其中i 为虚数单位），{4}B =，A B A = ，则复数z 的共轭复数为 A ．i 2－ B ．i 2 C ．i 4－ D ．i 42．若变量x ，y 满足约束条件211y x x y y ⎧⎪+⎨⎪-⎩≤≤≥，则2z x y =+的最大值为A ．52-B ．0C ．53 D ．523．从某校高三年级中随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中的视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示，若某高校A 专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A 专业的人数为 A ．10 B ．20 C ．8 D ．16 4．已知ABC ∆中，内角A ,B ,C 所对的边长分别为a ,b ,c ，若3A π=，且2cos b a B =，1c =，则 ABC ∆的面积等于A ．4B ．2C ．6D ．85.《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题：把100个面包分给5个人，使每个人的所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小一份的量为A ． 5 2B ．54C ． 5 3D ．566．已知某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的表面积等于A ． 7 3πB ．16πC ． 8πD ．283π7．将一枚骰子先后抛掷两次得到的点数依次记为a ，b ，则直线0ax by +=与圆22(2)2x y -+= 无公共点的概率为第6题图侧视图 鄂南高中 黄冈中学 黄石二中 华师一附中襄阳四中 襄阳五中 孝感高中 荆州中学A.16B.512C.712D.238．下列命题为真命题的是A ．已知R b a ∈，，则“222a b ab+-≤”是“00a b ><且”的充分不必要条件 B ．已知数列{}n a 为等比数列，则“123a a a <<”是“45a a <”的既不充分也不必要条件 C ．已知两个平面α，β，若两条异面直线n m ，满足βα⊂⊂n m ，且m ∥β，n ∥α，则α∥β D. )0(0，－∞∈∃x ，使0034x x <成立9．对于函数()f x ，若存在区间][n m A ，=，使得{}A A x x f y y =∈=，)(|，则称函数()f x 为“可等域函数”，区间A 为函数()f x 的一个“可等域区间”．下列函数中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为 A ．()sin()2f x x π= B ．12)(2－x x f = C ．()21xf x =+D ．2()log (22)f x x =-10．已知二次函数()20y ax bx c ac =++≠图象的顶点坐标为)412(aa b ，－－，与x 轴的交点P ,Q 位于y 轴的两侧，以线段PQ 为直径的圆与y 轴交于)40(1，F 和)40(2，－F ，则点)(c b ，所在曲线为 A ． 圆 B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置、书写不清、模棱两可均不得分．11．设向量(21)a =- ，，(34)b = ，，则向量a 在向量b方向上的投影为 ．12．已知α为钝角，且3cos()25πα+=-，则sin 2α= ． 13．设函数22,(0)()log ,(0)xx f x x x ⎧⎪=⎨>⎪⎩≤，则方程1()2f x =的解集为 ．14．已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为直线l ，过抛物线上一点P 作PE l ⊥于E ，若直线EF 的倾斜角为o 150，则||PF = ．15．已知函数2()f x x ax =-的图象在点(1(1))A f ，处的切线与直线 320x y ++=垂直，执行如图所示的程序框图，输出的k 值是 ． 16．在(1)+∞，上的函数()f x 满足：①(2)=()(f x cf x c 为正常数）；②当24x ≤≤时，2()=1(3)f x x --，若函数()f x 的图象上所有极大值对应的点均落在同一条直线上，则c 等于__________．17．若集合A 具有以下性质：①0A ∈，1A ∈；②若,x y A ∈，则x y A -∈；且0x ≠时，1A x∈，则称集合A 是“完美集”．给出以下结论：①集合{}1,0,1B =-是“完美集”； ②有理数集Q 是“完美集”； ③设集合A 是“完美集”，若x ,y A ∈，则x y A +∈； ④设集合A 是“完美集”，若x ,y A ∈，则必有xy A ∈； ⑤对任意的一个“完美集”A ，若,x y A ∈，且0x ≠，则必有yA x∈． 其中正确结论的序号是 ．三、解答题：本大题5小题，共65分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18. （本小题满分12分）函数()sin()f x A x =ω+ϕ（其中0,0,2A π>ω>ϕ<）的图象如图所示， 把函数()f x 的图象向右平移4π个单位，再向下平移1个单位，得 到函数()y g x =的图象． （Ⅰ）求函数()y g x =的表达式；（Ⅱ）已知ABC ∆内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且0)(,3==C g c ．若向量(1,sin )m A =与(2,sin )n B =共线，求a b ，的值．19.（本小题满分12分）数列{}n a 中，11=a ，22=a ，数列{}n b 满足1(1)n n n n b a a +=+-，n N +∈． （Ⅰ）若数列{}n a 是等差数列，求数列{}n b 的前100项和100S ； （Ⅱ）若数列{}n b 是公差为2的等差数列，求数列{}n a 的通项公式．20.（本小题满分13分）如图，梯形ABCD 中，CE AD ⊥于E ,BF AD ⊥于F ,且1AF BF BC ===，DE =，现Al将ABF ∆，CDE ∆分别沿BF 与CE 翻折，使点A 与点D 重合，点O 为AC 的中点，设面ABF 与面CDE 相交于直线l ， （Ⅰ）求证：//l CE ；（Ⅱ）求证：OF ⊥面ABE ．21. （本小题满分14分）已知函数ln 1()x f x x+=， （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间，并判断是否有极值；（Ⅱ）若对任意的1x >，恒有ln(1)1x k kx -++≤成立，求k 的取值范围；（Ⅲ）证明：2222ln 2ln3ln 21.......234(1)n n n n n --+++<+（ 2n N n +∈，≥）．22．（本小题满分14分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，若椭圆C 上的一动点到右焦点的最短距离为2且右焦点到直线2a x c=的距离等于短半轴的长．已知点()4,0P ，过P 点的直线l 与椭圆C 交于M ,N 两点，点T 与点M 关于x 轴对称． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求OM ON的取值范围； （Ⅲ）证明：直线TN 恒过某定点．鄂南高中 黄冈中学 黄石二中 荆州中学 襄阳四中 襄阳五中 孝感高中 华师一附中湖北省 八校2015届高三第二次联考 数学试题（文科）参考答案一、选择题 1-5 DCBAC 6-10 DBCBB二．填空题11. 2512. 2425-13. { 1－ 14．43 15. 6 16. 12或 17 ②③④⑤1.【解析】选D ．由A =A B ，可得A ⊆B ，即得4zi =，4z i =-，z 的共轭复数为4i2.【解析】选C ．线性约束区域如下图，2z x y =+看作是122zy x =-+，当经过x 2=y 与1x y +=的交点12(,)33时，z 取最大值53．3.【解析】选B ．满足条件的有3组：视力在0.9到1.1；视力在1.1到1.3；视力在1.3到1.5，纵轴表示的是频率/组距，所以可以报考A 专业的有(1+0.75+0.25)×0.2×50=20(人).4.【解析】选A .由正弦定理可得B A B cos sin 2=sin ，即3=sin 2=tan A B ，所以3=πB ，因此这是一个正三角形．5.【解析】选C ．易得中间的那份为20个面包，设最小的一份为1a ，公差为d ，根据题意，于是有[20+(d a 3+1)+(d a 4+1)]×+=711a (d a +1)，解得1a =35． 6.【解析】选D ．这是一个正三棱柱，外接球的球心就是两底面三角形的中心连线的中点，外接球的半径等于球心到正三棱柱的任意一个顶点的距离，可求半径为321，那么外接球的表面积为ππ328=37×4．7．【解析】B ．直线0a x b y +=与圆22(2)2x y -+=无公共点,则有a b >>，满足该条件的基本事件有15种，基本事件总数是36种，故所求概率为512P =． 8.【解析】选C ．选项A 中，22222()2200a b a b a b ab ab ab ab+++≤-⇔+=≤⇔<是00a b ><且的必要不充分条件，所以A 错； 选项B 中，由321a a a ＜＜得101a q >⎧⎨>⎩或1001a q <⎧⎨<<⎩，可以推出54a a ＜；但若54a a ＜，则该数列有可能是摆动的等比数列，如：1，－1，1，－1，1，－1……，此时推不出321a a a ＜＜，所以B 错；选项D 中，当00x <时，0000333()()1444x x x =>=0034x x⇔>，所以D 错．9.【解析】选B ．选项A 中，区间[1,0],[0,1],[1,1]--都可以是“等可域区间”；选项C ，D 中，函数均为增函数且与y x =不可能有两个交点；选项B 中，“等可域区间”为[1,1]-．10【解析】选B ．结合二次函数的顶点坐标为(24-24b ac b a a－，)，根据题意可得241b ac ∆=-=，①，二次函数图像和x 轴的两个交点分别为(+102b a －，)和(102b a－－，)，利用射影定理即得：11()1622b b a a-+---⨯=⇒22164b a -=，结合①先求出a 和c 之间的关系，代入①可得到，(c b ，)所在的曲线为2214c b +=，表示椭圆． 11.【解析】52．向量a 在向量b 方向上的投影为2||cos==5a b a a b b ?>，．12.【解析】2425-．3cos()25πα+=-，即3s i n5α=，又α为钝角，4c o s 5α=-，24sin 22sin cos 25ααα==-．13．【解析】{12－，．令x2=21或x 2log =21或21=log 2－x ．14.【解析】43．P 点只能在抛物线上半部分，设P 点为()x ，EG PH ==，2FG =，解得31=x ，14133PF =+=．15．【解析】6．因为a x x f －2=)('，即过A 点的切线斜率为a －2，与直线320x y ++=垂直，可得a =－1从而x x x f +=)(2，1111()(1)1f k k k k k ==-++，程序的算法中，1111115(1)()()1223116S k k k =-+-+-=->++，跳出循环时6k =．16．【解析】12或．先令12x ＃，那么224x ＃，c x f x f )2(=)(=])32(1[12－－x c；再令48x＃，那么242x＃，)21(=)(x cf x f =21[1(3]2c x －－）；分别算出它们的极值点为(c 123，)，(3,1),(6,)c ，三点共线解得12c c ==或．17.【解析】 ②③④⑤①－1B ∈，1B ∈，但是11=2B ---∉，B 不是“完美集”； ②有理数集肯定满足“完美集”的定义；③0A ∈，y x ，A ∈，0－y =－y ∈A ，那么A ∈+=)y (y x x －－；④对任意一个“完美集”A ，任取y x ，A ∈，若y x ，中有0或1时，显然xy A ∈；下设y x ，均不为0，1，而()()222222+1++1=21+21=1y x y x y x y x xy xy xy －－－－1－，x x A ∈，那么()11=111－－－x x x x A ∈，所以()A ∈1－x x ，进而()A ∈=+12x x x x －，结合前面的算式，A ∈xy ；⑤y x ，A ∈，若0≠x ，那么A ∈1x ，那么由(4)得到：xyA ∈．三．解答题18（Ⅰ）由函数)(x f 的图象，ωπππ2)3127(4=-=T ，得2=ω， 又3,32πϕπϕπ=∴=+⨯，所以)32sin()(π+=x x f ． ……………………3分由图像变换，得1)2sin(1)()(--=--=ππx x f x g ．……………………6分∴7分∵ m n与共线，∴ sin 2sin 0B A -=．由正弦定理9分 ∵ 3c =，由余弦定理，得 ②……………………11分……………………………………12分19. （Ⅰ）11=a ，22=a 且{}n a 是等差数列，n a n =，当n 为奇数时，11n n n b a a +=-=，即13521......1n b b b b -=====； 当n 为偶数时，121n n n b a a n +=+=+，则25b =，469,13b b ==，10012100139924100......+(....)(....)50494150(505)52002S b b b b b b b b b =++=+++++++⨯⨯=⨯+⨯+=………………6分（Ⅱ） {}n b 是公差为2的等差数列,1211b a a =-=，21n b n =-．当n 为奇数时，121n n n b a a n +=-=-；当n 为偶数时，121n n n b a a n +=+=-．即2122122124341n n n nn n b a a n b a a n --+=-=-⎧⎨=+=-⎩21212n n a a +-⇒+=且2321n n a a ++=，因为11,a =13521..... 1.1n a a a a -⇒====⇒=，242n a n =-，1 (n )2 2 (n )n a n ⎧=⎨-⎩，为奇数∴，为偶数 ………………………………………12分20． 解析：（Ⅰ）//////CE BFCE ABFCE ABF CE ACE l CE BF ABF ABF ACE l ⎫⎫⎪⎪⊄⇒⊂⇒⎬⎬⎪⎪⊂=⎭⎭面面面面面面．……………6分（Ⅱ）1,ABF AF BF AF BF AB AE BCEF BE CF G 为等腰直角三角形取正方形两对角线的交点为∆⎫==⎫⎪⇒⇒⎬⎬⊥∴==⎪⎭⎭,AG BE BE ACF ACF ABE AG CF BE BE ABE ⊥⊥⎫⎫⇒⇒⊥⎬⎬⊥⊂⎭⎭面面面交线为面 ①1AF EF AF FE AF BCEF AF BF AE ==⎫⊥⎫⎪⇒⇒⊥⎬⎬⊥=⎪⎭⎭面，在Rt AFC ∆中，连接OG ,得11//22OG AF OG AF ==且,且,tan 2tan 22OF OC OFC OCF Rt AFG FAG FGA ⎫=⇒∠=∠=θθ=⎪⎪⎬π⎪∆∠=⇒∠=-θ⎪⎭中，2FGA OFG OF AG π⇒∠+∠=⇒⊥② 结合①②得，即 OF ⊥面ABE ． ………………………………………………13分21．（Ⅰ）ln 1()x f x x +=，（0x >），2ln ()xf x x -'=， 即(0,1),()0x f x '∈>，当(1,)x ∈+∞，()0f x '<，所以()f x 在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减，在1x =处取得极大值，极大值为(1)1f =，无极小值．……………………………４分 （Ⅱ）方法1：因为ln(1)1x k kx -++≤，ln(1)1ln(1)1(1)1x x k x k x -+⇒-+-⇒-≤≤max (1)k f x -≥对任意的1x > 恒成立,由（1）知max ()(1)1f x f ==，则有max (1)1f x -=，所以1k ≥ ．……………………………………………9分 方法2：记()ln(1)(1)1g x x k x =---+，1(),(1)1g x k x x '=->-， 0k ≤当时,()0g x '≥， 0k >当时，由()0g x '>得11,x k <+即0k ≤当时()(1,)g x +∞在上为增函数；0k >当时1()(1,1+)g x k在上为增函数；在11,k ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭上为减函数． 因为对1,ln(1)(1)10,x x k x ∀>---+≤ 即要求()0g x ≤恒成立, 所以0k >符合且max 1()(1)ln g x g k k+=-=≤0得1k ≥． ………………………………………………………………9分（Ⅲ）1ln ()x f x x +=，由（Ⅰ）知max 1ln ()()(1)1xf x f x f x+=≤==， 则1ln ln 111x x x x x+≤⇒≤-（当且仅当1x =取等号）． 令2x n =（,2n N n *∈≥），即222ln 11n n n <-，则有 222222222222ln 2ln 3ln 111111......(1)(1)....(1)(1)(....)23232311111111131(1)(....)(1)(....)+2334(1)2334121n n n n n n n n n n n n n +++<-+-+-=--++<--++=---+-++-=-⨯⨯⨯+++222222222l n 2l n 3l n l n 2l n 3l n31......2(.......)+232321n n n nn n +++=+++<-+∴ ∴2222ln 2ln 3ln 13121.......(+)232214(1)n n n n n n n --+++<-=++则得证 ……………………………………………………………… 14分22．解：（Ⅰ）由题意知22a c a c b c⎧-=-⎪⎨-=⎪⎩，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ 故椭圆C 的方程22142x y +=．……………………………………………………4分 （Ⅱ）由题意知直线MN 的斜率存在，设直线MN 的方程为(4)y k x =-． 由22(4),1.42y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222(21)163240k x k x k +-+-=． ① 设点11(,)M x y ，22(,)N x y ，22222212221222212122(16)4(21)(324)1696016213242112(4)(4)21k k k k kx x k k x x k k y y k x x k ⎧=--+-=->⎪⎪+=⎪+⎪⎨-=⎪+⎪⎪=--=⎪+⎩ 212122244426==222121k OM ON x x y y k k -+=-++，2106k < ≤ 即5[4,)2OM ON ∈- ． …………………………………………………… 9分 (Ⅲ)由（Ⅱ）知，11(,)T x y -，直线TN 的方程为212221()y y y y x x x x +-=--． 令0y =，得221221()y x x x x y y -=-+． 将11(4)y k x =-，22(4)y k x =-代入， 整理，得12121224()8x x x x x x x -+=+-． ② 由①得 21221621k x x k +=+，212232421k x x k -=+代入②整理，得1x =．Q．…………………………………………14分所以直线TN恒过定点(1,0)。
湖北八市2015届高三下学期三月联考数学(文)试题 扫描版含答案
2015年湖北省八市高三年级三月联考数学（文史类）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
1．A 2．D 3．D 4．B 5．A 6．B 7．B 8．C 9．C 10．D二、填空题：本大题共7个小题，每小题5分，共35分。
11．2412．12+e e 13．4 14．1 15．220x y +-= 16．6π 17． 223253ππππ，，，；2n π （说明前一个空2分，后一个空3分） 三、解答题：本大题共5小题，共65分。
18．（Ⅰ）解：由已知可得1()sin )sin()23f x a x x a x πωωω=+=+…………………3分 BC =2T =4，28,84T ∴=∴==ππω…………………………………… 4分 由图象可知，正三角形∆ABC 的高即为函数()f x 的最大值a ，得a ==6分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知00())43f x x =+=ππ 即04sin()435x +=ππ ∵0102(,)33x ∈-，∴0(,)4322x +∈-ππππ ∴03cos()435x +==ππ…………………8分 ∴000(1)3sin()3sin[()]443434f x x x +=++=++ππππππ 003[sin()cos cos()sin ]434434x x =+++ππππππ4355==12分 19．解：（Ⅰ）由21(32),6n n n S a a n N *=++∈，得 当2n ≥时，221111(33)6n n n n n n n a S S a a a a ---=-=-+- 整理，得11()(3)0n n n n a a a a --+--=………………………………………2分110,0,3n n n n n a a a a a -->∴+>∴-= (4)分所以，数列{}n a 是首项为1，公差为3的等差数列。
故32,n a n n N *=-∈ ………………………………………………………6分（Ⅱ）{}12141,10,n k k k a a a a a ====∴是首项为1，公比为10的等比数列. 110,n n k a n N -*∴=∈， (8)分又{}12,,,,n k n a a a a ∈，13210,n n k n a k -∴=-=1102,3n n k n N -*+∴=∈……………………………………………………12分 20．（Ⅰ）证明：由正三棱柱的性质可知，上下两个底面平行，且截面APQB 上底面111A B C =PQ ，截面APQB下底面ABC =AB ， 由两个平面平行的性质定理可得//,PQ AB 11//PQ A B ∴ (6)分（Ⅱ）假设存在这样的λ满足题设，分别取AB 的中点D ，PQ 的中点E ，连接DE ，由（Ⅰ）及正三棱柱的性质可知CPQ ∆为等腰三角形，APQB 为等腰梯形，,CE PQ DE PQ ∴⊥⊥CED ∴∠为二面角A －PQ －C 的平面角，………………………………………8分 连接1C E 并延长交11A B 于F ，由（Ⅰ）得，11111111,2,C P C E C A C F C A C F ====λ1,)C E EF ∴=-λ………………………………………………………9分在1Rt CC E ∆中求得22334CE λ=+，在Rt DFE ∆中求得2233(1)4DE λ=+- 若平面CPQ ⊥截面APQB ，则CED ∴∠90=，222CE DE CD ∴+=，将以上数据代入整理， 得233304λλ-+=，解得12=λ…………………………………………………13分 21．（Ⅰ）1()21f x x x a '=--+………………………………………………………………2分∵0x =时，()f x 取得极值，∴(0)0f '=………………………………………3分故，解得1a =， 经检验当1a =时，()f x 在0x =处取得极大值符合题意，∴1a =……………4分 （Ⅱ）由1a =知2()ln(1)f x x x x =+--，由5()2f x x b =-+得23ln(1)02x x x b +-+-=，令23()ln(1)2x x x x b ϕ=+-+-， 则5()2f x x b =-+在[0，2]上恰有两个不同的实数根等价于()0x ϕ=在[0，2]上恰有两个不同的实数根．(45)(1)13()2122(1)x x x x x x -+-'ϕ=-+=++………………………………………6分当(0,1)x ∈时，()0x 'ϕ>，于是()x ϕ在(0,1)上单调递增；……………… 7分当(1,2)x ∈时，()0x 'ϕ<，于是()x ϕ在(1,2)上单调递减；……………… 8分 依题意有(0)0,3(1)ln(11)10,2(2)ln(12)430,b b b ϕ=-≤⎧⎪⎪ϕ=+-+->⎨⎪ϕ=+-+-≤⎪⎩ ………………………………………………11分 解得1ln31ln 22b -≤<+， 所以实数b 的取值范围是1ln31ln 22b -≤<+………………………………14分 22．（Ⅰ）(,0),(0,)F c A b ，由题设可知0FA FP ⋅=，得224033b c c -+= ①……………………1分又点P 在椭圆C 上， 2222161,299b a a b ∴+=⇒= ②2222b c a +==③……………………3分 ①③联立解得，21,1c b ==………5分 故所求椭圆的方程为2212x y +=…………………………………………6分 （Ⅱ）方法1：设动直线l 的方程为y kx m =+，代入椭圆方程，消去y ，整理，得222(21)4220k x kmx m +++-= （﹡）方程（﹡）有且只有一个实根，又2210k +>，所以0,∆=得2221m k =+…………………………………………………………8分 假设存在1122(,0),(,0)M M λλ满足题设，则由221212121222()21()()11k km k k m k m d d k k ++++++⋅==++λλλλλλ 212122(2)()111k km k ++++==+λλλλ对任意的实数k 恒成立. 所以， 1212210+=⎧⎨+=⎩λλλλ 解得，11221111==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩λλλλ或 所以，存在两个定点12(1,0),(1,0)M M -，它们恰好是椭圆的两个焦点．……13分 方法2：根据题设可知动直线l 为椭圆的切线，其方程为0000001,220,(,)2x x y y x x y y x y +=+-=即为切点，且220022x y += 假设存在1122(,0),(,0)M M λλ满足题设，则由212012*********20002()x 4(2)(2)144x x x d d x y x λλλλλλ-++--⋅===+-对任意的实数0[x ∈恒成立，所以， 121210λλλλ=-⎧⎨+=⎩ 解得，11221111==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩λλλλ或 所以，存在两个定点12(1,0),(1,0)M M -，它们恰好是椭圆的两个焦点．……14分天门市教科院 刘兵华仙桃市教科院 曹时武随州市曾都一中 刘德金。
湖北省部分重点中学2015届高三第二次联考语文参考答案
参考答案1、D（A项分别是(rùn/yùn zhîng shàn/zhān hùn；B项chuāng qiǎng/jiàng zhì/shì j ùn ；C项mǒ/mā gîng/gōng xiào dī/tí；D项xiè/jiě sè/sài xùn/xún îu/shū）2、C （ A“诀巧”应为“诀窍”“好高鹜远”应为“好高骛远”B蓬蒿敝帚自珍D“功亏一匮”应为“功亏一篑”）3、B（洞悉，很清楚地知道；洞察，观察得很清楚。
“恪守”有遵守之意，但比“遵守”意重，多指抽象的；“固守”多用于对具体的事物的守卫。
震荡：指外力引起的动荡，也指精神上受到的重大影响，不能平静。
也可指股市中股价在某个区间内进行反复整理、上下波动。
振荡：主要是物理学用语，指物体运动的一种形式或电流的周期性变化。
癖好：积久成习的爱好;特殊的爱好。
嗜好：特殊的爱好（常用于贬义））4、 C（A项“竞争”与“提高”不搭配，可把“提高”改为加剧。
B项缺主语。
D项语序不当，“虽然”提到“香港”前面）5、A温顺世故的袭人6、D（A项说法绝对，原文是“往往”，而不是“都”。
B项原文不是作两者之间的比较。
C 项“只要……就”的说法绝对化。
）7、B （注意原文两个“并不会”。
）8、C （“只有聪明的人能够做到”绝对化了，原文是“从理论上讲”。
）9.D（竟：整，终）10.C（①体现老虎的兽性②是李能说的话⑤老妪感激老虎，间接说明老虎通人性）11.B（李能是因为喝醉了酒才去捉老虎的）12. ①李能酒醒之后，就对自己揽下差事后悔了。
又想这大概是那县官做做样子，姑且用来摆脱老妇人搅扰罢了。
因此也不太把这事放在心上。
（“姑”，“意”，句意）②李能难堪极了，就请求县令发下公文准许他调集猎户，县令答应了他。
20150401湖北省八校2015届高三第二次联考文科数学试卷+答案-推荐下载
≤1
表中的视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示，若某高
校 A 专业对视力的要求在 0.9 以上，则该班学生中能报 A 专业的人数为
A．10
B．20
C． －4i
，则
5
C．
3
C．8
z
4．已知 ABC 中，内角 A , B , C 所对的边长分别为a , b , c ，若 A ，且b 2a cos B ，c 1，则 3
=
1 2
的解集为
．
D．抛物线
．
．
2
D.
3
．
开始
S 0 k 0
S 5? 6
否 k k 1
SS 1 f (k)
是
输出 k
结束
15．已知函数 f (x) x 2 ax 的图象在点 A(1，f (1)) 处的切线与直线
x 3y 2 0 垂直，执行如图所示的程序框图，输出的 k 值是
x
2
y
D． 4i
的最大值为
5
D．
2
D．16
3
D．
8
5
D．
6
D． 28 3
审题人：曾建民 试卷满分：150 分
2
正视图 11
俯视图
第 6 题图
3
侧视图
7．将一枚骰子先后抛掷两次得到的点数依次记为 a ， b ，则直线 ax by 0 与圆 (x 2) 2 y 2 2
无公共点的概率为
八校 2015 届高三第二次联考文数试题 第 2 页 共 12 页
f
(x)
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置2试时32卷，3各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并25工且52作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技写5卷术、重保交电要护底气设装。设备置管备高4动线调、中作敷试电资，设高气料并技中课试3且术资件、卷拒中料管试绝包试调路验动含卷试敷方作线技设案，槽术技以来、术及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
湖北省八校高三数学第二次联考试卷 理
2 侧视图俯视图第4题图2015届高三第二次联考 数学试题（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集为R ，集合{}{}221,320x A x B x x x =≥=-+≤，则R A C B = A. {}0x x ≤ B. {}1xx ≤≤2C. {}012x x x ≤<>或D. {}012x x x ≤<≥或2. 若复数z 满足(1)42(z i i i +=-为虚数单位），则||z =3. 执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为C. 0D. 4. 某几何体的三视图（单位：cm ）如右图所示，其中侧视图是一个边长为 2的正三角形，则这个几何体的体积是A. 32cm 3cm C. 333cm D. 33cm 5. 在等腰ABC ∆中，90,2,2,BAC AB AC BC BD ∠====3AC AE =，则AD BE ⋅的值为A ．43-B ．13-C ．13D ．436. 设不等式组0x y x y y ⎧+≤⎪⎪-≥⎨⎪≥⎪⎩M ，函数yx 轴所围成的区域为N ,向M 内随机投一个点,则该点落在N 内的概率为A. 2πB. 4πC.8πD. 16π7. 下列说法正确的是A. “0x <”是“ln(1)0x +<”的充要条件B. “2x ∀≥，2320x x -+≥”的否定．．是“2,x ∃<2320x x -+<” C. 采用系统抽样法从某班按学号抽取5名同学参加活动，学号为5,16,27,38,49的同学均被选出，则该班学生人数可能为60 D. 在某项测量中，测量结果X 服从正态分布2(1,)(0)N σσ>，若X 在(0,1)内取值的概率为0.4，则X 在(0,2)内取值的概率为0.88. 已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若3FP FQ =，则||QF =A.83 B. 52C. 3D. 2 9. 已知函数213,10()132,01x g x x x x x ⎧- -<≤⎪=+⎨⎪-+<≤⎩，若方程()0g x mx m --=有且仅有两个不等的第3题图实根，则实数m 的取值范围是A ．9(,2][0,2]4-- B ．11(,2][0,2]4-- C ．9(,2][0,2)4-- D ．11(,2][0,2)4--10.函数()y f x =图像上不同两点1122(,),(,)A x y B x y 处的切线的斜率分别是,A B k k ，规定||(,)||A B k k A B AB ϕ-=叫做曲线()y f x =在点A 与点B 之间的“弯曲度”，给出以下命题：①函数321y x x =-+图像上两点A 与B 的横坐标分别为1,2，则(,)A B ϕ> ②存在这样的函数，图像上任意两点之间的“弯曲度”为常数； ③设点A 、B 是抛物线21y x =+上不同的两点，则(,)2A B ϕ≤；④设曲线x y e =上不同两点1122(,),(,)A x y B x y ，且121x x -=，若(,)1t A B ϕ⋅<恒成立，则实数t 的取值范围是(,1)-∞.以上正确命题的序号为 A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②③④二、填空题：本大题共6个小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． （一） 必考题（11—14题） 11. 已知二项式21()nx x+的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含x 项的系数是_ _.12. 若实数,,a b c 满足232a b c ++=，则当22223a b c ++取最小值时，249a b c ++的值为________.13. 如图，在平面直角坐标系xoy 中，将直线2x y =与直线1x =及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积120()2xV dx =⎰π圆锥310.1212x ==ππ据此类比：将曲线2(0)y x x =≥与直线2y =及y 轴所围成的图形绕y 轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积______V =.14.设数列{}n a 共有n 项*(3,)n n N ≥∈,且11n a a ==，对于每个*(11,)i i n n N ≤≤-∈均有11{,1,3}3i i a a +∈. （1）当3n =时，满足条件的所有数列{}n a 的个数为__________；（2）当10n =时，满足条件的所有数列{}n a 的个数为_________.(二) 选考题（请考生在第15、16两题中任选一题做答，请先在答题卡指定位置将你所选的相切于A ，不过圆心30，AD 17.（本小题满分12分）已知函数()cos cos()3f x x x π=+.(Ⅰ)求()f x 的最小正周期；(Ⅱ)在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若1(),4f C =-2,a =且ABC ∆的面积为c 的值.18. （本小题满分12分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 是等比数列，满足113,1a b ==，2252310,2.b S a b a +=-=(Ⅰ)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(Ⅱ)令设数列{}n c 的前n 项和n T ，求2.n T19. （本小题满分12分）端午节即将到来，为了做好端午节商场促销活动，某商场打算将进行促销活动的礼品盒重新设计.方案如下：将一块边长为10的正方形纸片ABCD 剪去四个全等的等腰三角形,,,,SEE SFF SGG SHH ''''∆∆∆∆再将剩下的阴影部分折成一个四棱锥形状的包装盒S EFGH -,其中,,,A B C D 重合于点O ，E 与E '重合，F 与F '重合，G 与G '重合，H 与H '重合（如图所示）. （Ⅰ）求证：平面SEG ⊥平面SFH ；（Ⅱ）当52AE =时,求二面角E SH F --的余 弦值.20.（本小题满分12分）根据最新修订的《环境空气质量标准》指出空气质量指数在050，各类人群可正常活动．某市环保局在2014年对该市进行了为期一年的空气质量检测，n 为奇数，n 为偶数，2,,n n n S c b ⎧⎪=⎨⎪⎩S HOGF第19题图′H得到每天的空气质量指数，从中随机抽取50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为[)0,10，[)10,20，[)20,30，[)30,40，[]40,50，由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图，如图．（Ⅰ）求a 的值；并根据样本数据，试估计这一年度的空气质量指数的平均值；（Ⅱ）用这50个样本数据来估计全年的总体数据，将频率视为概率．如果空气质量指数不超过20，就认定空气质量为“最优等级”．从这一年的监测数据中随机抽取2天的数值，其中达到“最优等级”的天数为ξ，求ξ的分布列，并估计一个月（30天）中空气质量能达到“最优等级”的天数．21. （本小题满分13分）如图，已知椭圆22221(0),(2,0)x y a b A a b+=>>是长轴的一个端点，弦BC 过椭圆的中心O ，且0,2AC BC OC OB BC BA ⋅=-=-.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设P 、Q 为椭圆上异于,A B 且不重合的两点，且PCQ ∠垂直于x 轴，是否存在实数λ，使得PQ AB =λ，若存在，请求出λ最大值，若不存在，请说明理由.22. （本小题满分14分）已知函数221()ln ,(),,2f x x mxg x mx x m R =-=+∈令()()()F x f x g x =+.（Ⅰ）当12m =时，求函数()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）若关于x 的不等式()1F x mx ≤-恒成立，求整数．．m 的最小值； （Ⅲ）若2m =-，正实数12,x x 满足1212()()0F x F x x x ++=，证明：12x x +≥湖北省 八校 2015届高三第二次联考数学试题（理科）参考答案1-5 CDABA 6-10 BDACB11. 10 12. 5 13. 2π 14. （1）3 （2）3139 15. 7 16.1. 解析：{|0},{|12},{|12}R A x x B x x C B x x x =≥=≤≤=<>或，∴R A C B ={}012x x x ≤<>或2. 解析：42(42)(1)13,||1(1)(1)i i i z i z i i i ---===-=++-第21题图鄂南高中 黄冈中学 黄石二中 华师一附中 襄阳四中 襄阳五中 孝感高中 荆州中学3.解析：289sinsinsinsin 3333S ππππ=++++= 4. 解析：由图知几何体的体积为11(12)232V =⋅+⋅= 5. 解析：11(),23AD AB AC BE AE AB AC AB =+=-=-2211114()()().23233AD BE AB AC AC AB AC AB ∴⋅=+⋅-=-=- 6. 解析：区域M 的面积为2，区域N 的面积为2π，由几何概型知所求概率为4P π=.7. 解析：A 中应为必要不充分条件；B 中命题的否定为“2x ∃≥，2320x x -+≥”；C 错；D 对.8. 解析：设l 与x 轴的交点为M ，过Q 向准线l 作垂线，垂足为N ，则由23NQ MF =及4MF p ==可得8.3QF =9. 解析：令()0g x mx m --=得()(1)g x m x =+，原方程有两个相异的实根等价于两函数()y g x =与(1)y m x =+的图象有两个不同的交点.当0m >时，易知临界位置为(1)y m x =+过点(0,2)和(1,0)，分别求出这两个位置的斜率12k =和20k =，由图可知此时[0,2)m ∈当0m <时，设过点(1,0)-向函数1()3,(1,0]1g x x x =-∈-+的图象作切线的切点为00(,)x y ，则由函数的导数为21()(1)g x x '=-+得020001(1)1131y x x y x ⎧-=⎪++⎪⎨⎪=-⎪+⎩解得001332x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得切线的斜率为194k =-，而过点(1,0),(0,2)--的斜率为12k =-，由图知此时9(,2]4m ∈--，9(,2][0,2)4m ∴∈--10.解析：①错：(1,1),(2,5),|||7,(,)A B A B ABk k A B ϕ=-=∴=< ②对：如1y =；③对：(,)2A B ϕ==≤；④错：1212(,)x x x x A B ϕ==12111,(,)(,)t A B A B ϕϕ==><恒成立，故1t ≤. 11.解析：由232n=得5n =，251031551()rrrr rr T C x Cxx --+⎛⎫==⎪⎝⎭，令1031r -=得3r =，故含x 项的系数为3510C =．12.解析：由柯西不等式得22222224(23)[))](1)a b c a=++≤++++2224223.63a b c ∴++≥=此时,1a a b c ==∴==又232a b c ++=，1,24953a b c a b c ∴===∴++=13.解析：22222001|2.2V dy ydy y ππππ====⎰⎰14.解析：（1）当3=n 时，因为211,1,33a a ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭，321,1,33a a ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭， 所以21,1,33a ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭，211,1,33a ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭，所以213a =或12=a 或23a =所以满足条件的所有数列{}n a 的个数为3个； (2)令1(19)i i ia b i a +=≤≤，则对每个符合条件的数列{}n a 满足条件 31010212912911a a a a b b b a a a a ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅==，且1,1,33i b ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭反之符合上述条件的9项数列{}n b ，可唯一确定一个符合条件的10项数列{}n a 记符合条件的数列{}n b 的个数为N ， 显然(19)i b i ≤≤中有k 个3，k 个13，92k -个1 当k 给定时，{}n b 的取法有99kkk C C -种，易得k 的可能值为0,1,2,3,4, 故112233449897969513139.N C C C C C C C C =++++=所以满足条件的所有数列{}n a 的个数为3139个.15.解析：Rt PAD ∆中，2,4,AD PD PA =∴==由切割线定理得2,PA PC PB =⋅21,PB ∴=⋅12,8PB BD ∴=∴=又由相交弦定理得,AD ED CD BD ⋅=⋅12,ED ∴=所以直径为14，故半径为7.16.解析：把直线l 的参数方程化为普通方程得25x y +=，把曲线C 的极坐标方程化为普通方程得22(1)(1)2x y -+-===17.解析：21()cos (cos cossin sin )cos 23324f x x x x x x ππ==-11cos(2)234x π=++…………………4分（1）T π=； …………………6分 （2）111()cos(2),cos(2)1,.234433f C C C C πππ=++=-∴+=-∴= …………………8分 13sin 23,8,2,4,24ABCSab Cab ab a b ===∴==∴= …………………10分 由余弦定理得2222cos 12,c a b ab C c =+-=∴= …………………12分 18.解析：(Ⅰ)设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q ，则由2252310,2,b S a b a +=⎧⎨-=⎩得610,34232,q d d q d ++=⎧⎨+-=+⎩解得2,2,d q =⎧⎨=⎩所以32(1)21n a n n =+-=+，12n n b -=． …………………4分 (Ⅱ)由13a =，21n a n =+得(2)n S n n =+，则即 …………………6分21321242()()n n n T c c c c c c -=+++++++32111111[(1)()()](222)3352121n n n -=-+-++-++++-+ …………………9分12(14)12114nn -=-++-22(41)213n n n =+-+ …………………12分 19.解：（Ⅰ）折后,,,A B C D 重合于一点,O ∴拼接成底面EFGH 的四个直角三角形必为全等的等腰直角三角形，∴底面EFGH 是正方形，故EG FH ⊥. …………………2分在原平面图形中，等腰三角形SEE SGG ''∆∆,,SE SG ∴=.EG SO ∴⊥ ………………4分又,,,SO FH SFH SO FH O ⊂⋂=EG ∴⊥平面SFH .又EG ⊂平面SEG ，∴平面SEG ⊥平面SFH . …………………6分n 为奇数， n 为偶数， 12,(2)2,n n n n c -⎧⎪+=⎨⎪⎩111,22,n n c n n -⎧-⎪=+⎨⎪⎩n 为奇数， n 为偶数，（Ⅱ）法1：过O 作OM SH ⊥交SH 于M 点，连EM ,EO ⊥面SFH ,EO SH ∴⊥, SH ∴⊥面EMO ，EMO ∴∠为二面角E SH F --的平面角. …………………8分 当52AE =时，即5,2OE =Rt SHO中，5,SO OH SO SH OM SH⋅==∴==Rt EMO中，EM ==2cos .3OM EMO EM ∠=== 所以所求二面角的余弦值为2.3…………………12分 法2：由（Ⅰ）知,,EG FH EG SO ⊥⊥并可同理得到,HF SO ⊥故以O 为原点，分别以,,OF OG OS 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O xyz - 在原平面图形中，5,2AE =则底面正方形EFGH 的对角线5EG =，555555(,0,0),(0,,0),(0,,0),(,,0),(0,,0).222222H E G HE OG ∴--=-=在原平面图形中，可求得SE 在Rt SO E ∆中，可求得5,SO =5(0,0,5),(,0,5),2S SH ∴=-- …………………8分设平面SEH 的一个法向量为(,,)n x y z =，则550,2550,22n SH x z n HE x y ⎧⋅=--=⎪⎪⎨⎪⋅=-=⎪⎩得,12y x z x =⎧⎪⎨=-⎪⎩ 令2x =，则(2,2,1)n =- …………………10分EG ⊥平面SFH ，OG ∴是平面SFH 的一个法向量，设二面角E SH F --的大小为,θ则2cos .3n OGn OG θ-==⋅∴二面角E SH F --的余弦值为2,3 …………………12分20.解：(Ⅰ)由题意，得(0.030.0320.010.008)101,a ++++⨯=解得0.02.a =…………………3分 50个样本中空气质量指数的平均值为0.150.2150.32250.3350.084525.6X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=由样本估计总体，可估计2014年这一年度空气质量指数的平均值约为25.6 …………6分 （Ⅱ）利用样本估计总体，该年度空气质量指数在[]0,20内为“最优等级”，且指数达到“最优等级”的概率为0.3，则(2,0.3)B ξ.ξ的可能取值为0，1，2，0021224942(0)(0.3)(0.7),(1)(0.3)(0.7),100100P C P C ξξ==⨯===⨯=2229(2)(0.3)100P C ξ=== ξ∴的分布列为：…………………8分 494290120.6100100100E ξ=⨯+⨯+⨯=.(或者20.30.6E ξ=⨯=)， …………………10分 故一个月（30天）中空气质量能达到“最优等级”的天数大约为300.618⨯=天. … 12分 21.解：（I ）∵0,AC BC ⋅= ∴,90AC BC ACB ⊥∠=︒又2,OC OB BC BA -=-即2BC AC =，∴△AOC 是等腰直角三角形 ……………2分 ∵(2,0),A ∴(1,1)C 而点C 在椭圆上，∴22111,2,a a b +== ∴243b =∴所求椭圆方程为223144x y += …………………4分（II ）对于椭圆上两点P 、Q ，∵∠PCQ 的平分线总是垂直于x 轴∴PC 与CQ 所在直线关于1x =对称，设(0PC k k k =≠且1)k ≠±，则CQ k k =-，………6分 则PC 的直线方程1(1)(1)1y k x y k x -=-⇒=-+ ① QC 的直线方1(1)(1)1y k x y k x -=--⇒--+ ②将①代入223144x y +=得222(13)6(1)3610k x k k x k k +--+--= ③∵(1,1)C 在椭圆上，∴1x =是方程③的一个根，∴22361113p p k k x x k --⋅==+ ……………8分以k -替换k ，得到2236131Q k k x k +-=+.26242()211313121231313p Q p Q PQp Q p Q k k k k y y k x x k k k k k k x x x x k k--⋅--+-++=====----++而1,3AB k =∴,PQ AB k k = ∴PQ ∥AB ，∴存在实数λ，使得PQ AB =λ ………………10分||(PQ x ====当2219k k =时即21,3k k ==时取等号，又||10AB =maxλ==…………………… 13分 22.解：⑴21(),0,2f x lnx x x =->211()(0)x f x x x x x-'=-=> ……………………2分由()0,f x '>得210,x ->又0,x >所以01x <<．所以()f x 的单增区间为(0,1). ………4分（2）方法一：令21()()(1)(1)1,2G x F x mx lnx mx m x =--=-+-+所以21(1)1()(1)mx m x G x mx m x x-+-+'=-+-=．当0m ≤时，因为0x >，所以()0G x '>．所以()G x 在(0,)+∞上是递增函数，又因为213(1)11(1)120,22G ln m m m =-⨯+-+=-+>所以关于x 的不等式()1G x mx ≤-不能恒成立． ………………………6分 当0m >时，21()(1)(1)1()m x x mx m x m G x xx-+-+-+'==-． 令()0,G x '=得1x m =，所以当1(0,)x m ∈时，()0;G x '>当1(,)x m∈+∞时，()0G x '<． 因此函数()G x 在1(0,)x m ∈是增函数，在1(,)x m∈+∞是减函数． 故函数()G x 的最大值为2111111()()(1)1ln .22G ln m m m m m m m m =-⨯+-⨯+=- …………8分令1()ln ,2h m m m =-因为11(1)0,(2)20,24h h ln =>=-< 又因为()h m 在(0,)m ∈+∞上是减函数，所以当2m ≥时，()0h m <． 所以整数m 的最小值为2． ……………10分方法二：⑵由()1F x mx ≤-恒成立，得2112lnx mx x mx -+≤-在(0,)+∞上恒成立．问题等价于212lnx x m x x ++≥+在(0,)+∞上恒成立．令21()12lnx x h x x x ++=+，只要max ()m h x ≥． ……………………6分因为221(1)()2(),1()2x x lnx h x x x +--'=+令()0,h x '=得102x lnx --=．设1()2x x lnx ϕ=--，因为11()02x x ϕ'=--<，所以()x ϕ在(0,)+∞上单调递减，不妨设102x lnx --=的根为0x ．当0(0,)x x ∈时，()0;h x '>当0(,)x x ∈+∞时，()0h x '<．所以()h x 在0(0,)x x ∈上是增函数；在0(,)x x ∈+∞上是减函数．所以000max020*********()()11(1)22x lnx x h x h x x x x x x +++====++． …………………8分- 11 - 因为111()20,(1)0242ln ϕϕ=->=-< 所以01 1.2x <<此时max 0112,()(1,2).g x x <<∈所以2,m ≥即整数m 的最小值为2 …… 10分 （3）当2m =-时，2(),0F x lnx x x x =++>由1212()()0,F x F x x x ++=即22111222120lnx x x lnx x x x x ++++++= 从而212121212()()()x x x x x x ln x x +++=⋅-⋅ ……………………13分令12,t x x =⋅则由()ln t t t ϕ=-得，1()t t tϕ-'= 可知()t ϕ'在区间（0，1）上单调递减，在区间(1,)+∞上单调递增。
2015届湖北八校高三第二次联考文科数学答案
湖北省 八校2015届高三第二次联考 数学试题（文科）参考答案一、选择题 1-5 DCBAC 6-10 DBCBB二．填空题11. 2512. 2425-13.{ 12－， 14．43 15. 6 16. 12或 17 ②③④⑤1.【解析】选D ．由A =A B ，可得A ⊆B ，即得4zi =，4z i =-，z 的共轭复数为4i2.【解析】选C ．线性约束区域如下图，2z x y =+看作是122zy x =-+，当经过x 2=y 与1x y +=的交点12(,)33时，z 取最大值53．3.【解析】选B ．满足条件的有3组：视力在0.9到1.1；视力在1.1到1.3；视力在1.3到1.5，纵轴表示的是频率/组距，所以可以报考A 专业的有(1+0.75+0.25)×0.2×50=20(人).4.【解析】选A .由正弦定理可得B A B cos sin 2=sin ，即3=sin 2=tan A B ，所以3=πB ，因此这是一个正三角形． 5.【解析】选C ．易得中间的那份为20个面包，设最小的一份为1a ，公差为d ，根据题意，于是有[20+(d a 3+1)+(d a 4+1)]×+=711a (d a +1)，解得1a =35．6.【解析】选D ．这是一个正三棱柱，外接球的球心就是两底面三角形的中心连线的中点，外接球的半径等于球心到正三棱柱的任意一个顶点的距离，可求半径为321，那么外接球的表面积为ππ328=37×4． 鄂南高中 黄冈中学 黄石二中 荆州中学 襄阳四中 襄阳五中 孝感高中 华师一附中7．【解析】B ．直线0a x b y +=与圆22(2)2x y -+=无公共点,则有a b >⇒>，满足该条件的基本事件有15种，基本事件总数是36种，故所求概率为512P =． 8.【解析】选C ．选项A 中，22222()2200a b a b a b ab ab ab ab +++≤-⇔+=≤⇔<是00a b ><且的必要不充分条件，所以A 错；选项B 中，由321a a a ＜＜得101a q >⎧⎨>⎩或1001a q <⎧⎨<<⎩，可以推出54a a ＜；但若54a a ＜，则该数列有可能是摆动的等比数列，如：1，－1，1，－1，1，－1……，此时推不出321a a a ＜＜，所以B 错；选项D 中，当00x <时，0000333()()1444x x x =>=0034x x⇔>，所以D 错．9.【解析】选B ．选项A 中，区间[1,0],[0,1],[1,1]--都可以是“等可域区间”；选项C ，D 中，函数均为增函数且与y x =不可能有两个交点；选项B 中，“等可域区间”为[1,1]-．10【解析】选B ．结合二次函数的顶点坐标为(24-24b ac ba a－，)，根据题意可得241b ac ∆=-=，①，二次函数图像和x 轴的两个交点分别为(+102b a －，)和(102b a－－，)，利用射影定理即得：11()1622b b a a-+---⨯=⇒22164b a -=，结合①先求出a 和c 之间的关系，代入①可得到，(c b ，)所在的曲线为2214c b +=，表示椭圆． 11.【解析】52．向量a在向量b 方向上的投影为2||cos==5a ba ab b ?>，． 12.【解析】2425-．3cos()25πα+=-，即3sin 5α=，又α为钝角，4cos 5α=-，24sin 22sin cos 25ααα==-．13．【解析】{12－，．令x2=21或x 2log =21或21=log 2－x ．14.【解析】43．P 点只能在抛物线上半部分，设P 点为(x ，EG PH ==2FG =，解得31=x ，14133PF =+=．15．【解析】6．因为a x x f －2=)('，即过A 点的切线斜率为a －2，与直线320x y ++=垂直，可得a =－1从而x x x f +=)(2，1111()(1)1f k k k k k ==-++，程序的算法中，1111115(1)()()1223116S k k k =-+-+-=->++，跳出循环时6k =．16．【解析】12或．先令12x ＃，那么224x ＃，c x f x f )2(=)(=])32(1[12－－x c；再令48x＃，那么242x＃，)21(=)(x cf x f =21[1(3]2c x －－）；分别算出它们的极值点为(c123，)，(3,1),(6,)c ，三点共线解得12c c ==或． 17.【解析】 ②③④⑤①－1B ∈，1B ∈，但是11=2B ---∉，B 不是“完美集”； ②有理数集肯定满足“完美集”的定义；③0A ∈，y x ，A ∈，0－y =－y ∈A ，那么A ∈+=)y (y x x －－；④对任意一个“完美集”A ，任取y x ，A ∈，若y x ，中有0或1时，显然xy A ∈；下设y x ，均不为0，1，而()()222222+1++1=21+21=1y x y x y x y x xy xy xy －－－－ 1－，x x A ∈，那么()11=111－－－x x x x A ∈，所以()A ∈1－x x ，进而()A ∈=+12x x x x －，结合前面的算式，A ∈xy ；⑤y x ，A ∈，若0≠x ，那么A ∈1x ，那么由(4)得到：xyA ∈．三．解答题18（Ⅰ）由函数)(x f 的图象，ωπππ2)3127(4=-=T ，得2=ω， 又3,32πϕπϕπ=∴=+⨯，所以)32sin()(π+=x x f ． ……………………3分由图像变换，得1)2sin(1)()(--=--=ππx x f x g ．……………………6分∴7分∵ m n 与共线，∴ sin 2sin 0B A -=． 由正弦定理9分 ∵ 3c =，由余弦定理，得 ②……………………11分……………………………………12分19. （Ⅰ）11=a ，22=a 且{}n a 是等差数列，n a n =，当n 为奇数时，11n n n b a a +=-=，即13521......1n b b b b -=====； 当n 为偶数时，121n n n b a a n +=+=+，则25b =，469,13b b ==，10012100139924100......+(....)(....)50494150(505)52002S b b b b b b b b b =++=+++++++⨯⨯=⨯+⨯+=………………6分（Ⅱ） {}n b 是公差为2的等差数列,1211b a a =-=，21n b n =-．当n 为奇数时，121n n n b a a n +=-=-；当n 为偶数时，121n n n b a a n +=+=-．即2122122124341n n n nn n b a a n b a a n --+=-=-⎧⎨=+=-⎩21212n n a a +-⇒+=且2321n n a a ++=，因为11,a =13521..... 1.1n a a a a -⇒====⇒=，242n a n =-，1 (n )2 2 (n )n a n ⎧=⎨-⎩，为奇数∴，为偶数 ………………………………………12分20． 解析：（Ⅰ）//////CE BFCE ABFCE ABF CE ACE l CE BF ABF ABF ACE l ⎫⎫⎪⎪⊄⇒⊂⇒⎬⎬⎪⎪⊂=⎭⎭面面面面面面．……………6分（Ⅱ）1,ABF AF BF AF BF AB AE BCEF BE CF G 为等腰直角三角形取正方形两对角线的交点为∆⎫==⎫⎪⇒⇒⎬⎬⊥∴==⎪⎭⎭,AG BE BE ACF ACF ABE AG CF BE BE ABE ⊥⊥⎫⎫⇒⇒⊥⎬⎬⊥⊂⎭⎭面面面交线为面 ①1AF EF AF FE AF BCEF AF BF AE ==⎫⊥⎫⎪⇒⇒⊥⎬⎬⊥=⎪⎭⎭面，在Rt AFC ∆中，连接OG ,得11//22OG AF OG AF ==且,且,tan 2tan 22OF OC OFC OCF Rt AFG FAG FGA ⎫=⇒∠=∠=θθ=⎪⎪⎬π⎪∆∠=⇒∠=-θ⎪⎭中，2FGA OFG OF AG π⇒∠+∠=⇒⊥② 结合①②得，即 OF ⊥面ABE ． ………………………………………………13分21．（Ⅰ）ln 1()x f x x +=，（0x >），2ln ()xf x x -'=， 即(0,1),()0x f x '∈>，当(1,)x ∈+∞，()0f x '<，所以()f x 在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减，在1x =处取得极大值，极大值为(1)1f =，无极小值．……………………………４分 （Ⅱ）方法1：因为ln(1)1x k kx -++≤，ln(1)1ln(1)1(1)1x x k x k x -+⇒-+-⇒-≤≤max (1)k f x -≥对任意的1x > 恒成立,由（1）知max ()(1)1f x f ==，则有max (1)1f x -=，所以1k ≥ ．……………………………………………9分 方法2：记()ln(1)(1)1g x x k x =---+，1(),(1)1g x k x x '=->-， 0k ≤当时,()0g x '≥， 0k >当时，由()0g x '>得11,x k<+即0k ≤当时()(1,)g x +∞在上为增函数；0k >当时1()(1,1+)g x k在上为增函数；在11,k ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭上为减函数． 因为对1,ln(1)(1)10,x x k x ∀>---+≤ 即要求()0g x ≤恒成立, 所以0k >符合且max 1()(1)ln g x g k k+=-=≤0得1k ≥． ………………………………………………………………9分（Ⅲ）1ln ()x f x x +=，由（Ⅰ）知max 1ln ()()(1)1xf x f x f x+=≤==， 则1ln ln 111x x x x x+≤⇒≤-（当且仅当1x =取等号）． 令2x n =（,2n N n *∈≥），即222ln 11n n n<-，则有 222222222222ln 2ln 3ln 111111......(1)(1)....(1)(1)(....)23232311111111131(1)(....)(1)(....)+2334(1)2334121n n n n nn n n n n n n n +++<-+-+-=--++<--++=---+-++-=-⨯⨯⨯+++ 222222222l n 2l n 3l n l n 2l n 3l n31......2(.......)+232321n n n nn n +++=+++<-+∴ ∴2222ln 2ln 3ln 13121.......(+)232214(1)n n n n n n n --+++<-=++ 则得证 ……………………………………………………………… 14分22．解：（Ⅰ）由题意知22a c a c b c⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩故椭圆C 的方程22142x y +=．……………………………………………………4分 （Ⅱ）由题意知直线MN 的斜率存在，设直线MN 的方程为(4)y k x =-．由22(4),1.42y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222(21)163240k x k x k +-+-=． ①设点11(,)M x y ，22(,)N x y ，22222212221222212122(16)4(21)(324)1696016213242112(4)(4)21k k k k k x x k k x x k k y y k x x k ⎧=--+-=->⎪⎪+=⎪+⎪⎨-=⎪+⎪⎪=--=⎪+⎩212122244426==222121k OM ON x x y y k k -+=-++，2106k <≤即5[4,)2OM ON ∈- ． …………………………………………………… 9分 (Ⅲ)由（Ⅱ）知，11(,)T x y -，直线TN 的方程为212221()y y y y x x x x +-=--．令0y =，得221221()y x x x x y y -=-+．将11(4)y k x =-，22(4)y k x =-代入， 整理，得12121224()8x x x x x x x -+=+-． ②由①得 21221621k x x k +=+，212232421k x x k -=+代入②整理，得1x =． 所以直线TN 恒过定点(1,0)Q ． …………………………………………14分。
2015年湖北省华师一附中等八校高三下学期第二次联考试卷数学理
2 侧视图俯视图第4题图湖北省 八校2015届高三第二次联考数学试题（理科）命题学校：黄冈中学考试时间：2015年4月1日下午15:00—17:00 试卷满分150分考试用时120分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集为R ，集合{}{}221,320x A x B x x x =≥=-+≤，则R A C B = A. {}0x x ≤B. {}1x x ≤≤2C. {}012x x x ≤<>或D. {}012x x x ≤<≥或2. 满足(1)(z i i i +=为虚数单位）|=A. B. C. D. 3. 执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为A .B .C . 0D . 4. 某几何体的三视图（单位：cm ）如右图所示，其中侧视图是一个边长为 2A. 32cmB. 3cmC. 333cm D. 33cm 5. 在等腰ABC ∆中，90,2,2,BAC AB AC BC BD ∠====3AC AE =， 则AD BE ⋅的值为A ．43-B ．13-C ．13D ．436. 设不等式组0x y x y y ⎧+≤⎪⎪-≥⎨⎪≥⎪⎩M ，函数y =x 轴所围成的区域为N ,向M 内随机投一个点,则该点落在N 内的概率为 A . 2π B . 4π C .8π D . 16π7. 下列说法正确的是 A. “0x <”是“ln(1)0x +<”的充要条件B. “2x ∀≥，2320x x -+≥”的否定．．是“2,x ∃<2320x x -+<” C. 采用系统抽样法从某班按学号抽取5名同学参加活动，学号为5,16,27,38,49的同学均被选出，则该班学生人数可能为60D. 在某项测量中，测量结果X 服从正态分布2(1,)(0)N σσ>，若X 在(0,1)内取值的概率为0.4，则X 在(0,2)内取值的概率为0.88. 已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若3FP FQ =，则||QF = 鄂南高中 黄冈中学 黄石二中 华师一附中 襄阳四中 襄阳五中 孝感高中 荆州中学第3题图A.83 B. 52C. 3D. 2 9. 已知函数213,10()132,01x g x x x x x ⎧- -<≤⎪=+⎨⎪-+<≤⎩，若方程()0g x mx m --=有且仅有两个不等的实根，则实数m 的取值范围是A ．9(,2][0,2]4-- B ．11(,2][0,2]4-- C ．9(,2][0,2)4-- D ．11(,2][0,2)4--10.函数()y f x =图像上不同两点1122(,),(,)A x y B x y 处的切线的斜率分别是,A B k k ，规定||(,)||A B k k A B AB ϕ-=叫做曲线()y f x =在点A 与点B 之间的“弯曲度”，给出以下命题：①函数321y x x =-+图像上两点A 与B 的横坐标分别为1,2，则(,)A B ϕ ②存在这样的函数，图像上任意两点之间的“弯曲度”为常数； ③设点A 、B 是抛物线21y x =+上不同的两点，则(,)2A B ϕ≤；④设曲线x y e =上不同两点1122(,),(,)A x y B x y ，且121x x -=，若(,)1t A B ϕ⋅<恒成立，则实数t 的取值范围是(,1)-∞.以上正确命题的序号为A. ①②B. ②③C. ③④D. ②③④二、填空题：本大题共6个小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． （一） 必考题（11—14题） 11. 已知二项式21()nx x+的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含x 项的系数是_ _.12. 若实数,,a b c 满足232a b c ++=，则当22223a b c ++取最小值时，249a b c ++的值为________.13. 如图，在平面直角坐标系xoy 中，将直线2x y =与直线1x =及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积120()2xV dx =⎰π圆锥31.1212x ==ππ据此类比：将曲线2(0)y x x =≥与直线2y =及y 轴所围成的图形绕y 轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积______V =.14.设数列{}n a 共有n 项*(3,)n n N ≥∈,且11n a a ==，对于每个*(11,)i i n n N ≤≤-∈均有11{,1,3}3i i a a +∈. （1）当3n =时，满足条件的所有数列{}n a 的个数为__________； （2）当10n =时，满足条件的所有数列{}n a 的个数为_________.(二) 选考题（请考生在第15、16两题中任选一题做答，请先在答题卡指定位置将你所选的题相切于A ，不过圆心30，AD 17.（本小题满分12分）已知函数()cos cos()3f x x x π=+.(Ⅰ)求()f x 的最小正周期；(Ⅱ)在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若1(),4f C =-2,a =且ABC ∆的面积为c 的值.18. （本小题满分12分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 是等比数列，满足113,1a b ==，2252310,2.b S a b a +=-= (Ⅰ)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(Ⅱ)令设数列{}n c 的前n 项和n T ，求2.n T19. （本小题满分12分）端午节即将到来，为了做好端午节商场促销活动，某商场打算将进行促销活动的礼品盒重新设计.方案如下：将一块边长为10的正方形纸片ABCD 剪去四个全等的等腰三角形,,,,SEE SFF SGG SHH ''''∆∆∆∆再将剩下的阴影部分折成一个四棱锥形状的包装盒S EFGH -,其中,,,A B C D 重合于点O ，E 与E '重合，F 与F '重合，G 与G '重合，H 与H '重合（如图所示）. （Ⅰ）求证：平面SEG ⊥平面SFH ；（Ⅱ）当52AE =时,求二面角E SH F --的余弦值.n 为奇数，n 为偶数，2,,n n n S c b ⎧⎪=⎨⎪⎩S HOGF第19题图′H20.（本小题满分12分）根据最新修订的《环境空气质量标准》指出空气质量指数在050，各类人群可正常活动．某市环保局在2014年对该市进行了为期一年的空气质量检测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽取50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为[)0,10，[)10,20，[)20,30，[)30,40，[]40,50，由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图，如图．（Ⅰ）求a 的值；并根据样本数据，试估计这一年度的空气质量指数的平均值；（Ⅱ）用这50个样本数据来估计全年的总体数据，将频率视为概率．如果空气质量指数不超过20，就认定空气质量为“最优等级”．从这一年的监测数据中随机抽取2天的数值，其中达到“最优等级”的天数为ξ，求ξ的分布列，并估计一个月（30天）中空气质量能达到“最优等级”的天数．21. （本小题满分13分）如图，已知椭圆22221(0),(2,0)x y a b A a b+=>>是长轴的一个端点，弦BC过椭圆的中心O ，且0,2AC BC OC OB BC BA ⋅=-=-.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设P 、Q 为椭圆上异于,A B 且不重合的两点，且PCQ ∠垂直于x 轴，是否存在实数λ，使得PQ AB =λ，若存在，请求出λ最大值，若不存在，请说明理由.22. （本小题满分14分）已知函数221()ln ,(),,2f x x mxg x mx x m R =-=+∈令()()()F x f x g x =+.（Ⅰ）当12m =时，求函数()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）若关于x 的不等式()1F x mx ≤-恒成立，求整数．．m 的最小值； （Ⅲ）若2m =-，正实数12,x x 满足1212()()0F x F x x x ++=，证明：121.2x x +≥第20题图第21题图湖北省 八校2015届高三第二次联考 数学试题（理科）参考答案1-5 CDABA 6-10 BDACB11. 10 12. 5 13. 2π 14. （1）3 （2）3139 15. 7 16.51. 解析：{|0},{|12},{|12}R A x x B x x C B x x x =≥=≤≤=<>或，∴R A C B ={}012x x x ≤<>或2.解析：42(42)(1)13,||1(1)(1)i i i z i z i i i ---===-=++-3.解析：289sinsinsinsin 3333S ππππ=++++= 4. 解析：由图知几何体的体积为11(12)232V =⋅+⋅= 5. 解析：11(),23AD AB AC BE AE AB AC AB =+=-=-2211114()()().23233AD BE AB AC AC AB AC AB ∴⋅=+⋅-=-=- 6. 解析：区域M 的面积为2，区域N 的面积为2π，由几何概型知所求概率为4P π=.7. 解析：A 中应为必要不充分条件；B 中命题的否定为“2x ∃≥，2320x x -+≥”；C 错；D对.8. 解析：设l 与x 轴的交点为M ，过Q 向准线l 作垂线，垂足为N ，则由23NQ MF =及4MF p ==可得8.3QF =9. 解析：令()0g x mx m --=得()(1)g x m x =+，原方程有两个相异的实根等价于两函数()y g x =与(1)y m x =+的图象有两个不同的交点.当0m >时，易知临界位置为(1)y m x =+过点(0,2)和(1,0)，分别求出这两个位置的斜率12k =和20k =，由图可知此时[0,2)m ∈当0m <时，设过点(1,0)-向函数1()3,(1,0]1g x x x =-∈-+的图象作切线的切点为鄂南高中 黄冈中学 黄石二中 华师一附中 襄阳四中 襄阳五中 孝感高中 荆州中学00(,)x y ，则由函数的导数为21()(1)g x x '=-+得020001(1)1131y x x y x ⎧-=⎪++⎪⎨⎪=-⎪+⎩解得001332x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得切线的斜率为194k =-，而过点(1,0),(0,2)--的斜率为12k =-，由图知此时9(,2]4m ∈--，9(,2][0,2)4m ∴∈--10.解析：①错：(1,1),(2,5),|||7,(,)A B A B AB k k A B ϕ=-=∴=< ②对：如1y =；③对：(,)2A B ϕ==≤；④错：1212(,)x x x x A B ϕ==12111,(,)(,)t A B A B ϕϕ==<恒成立，故1t ≤. 11.解析：由232n=得5n =，251031551()rrrr rr T C xC xx --+⎛⎫==⎪⎝⎭，令1031r -=得3r =，故含x 项的系数为3510C =． 12.解析：由柯西不等式得22222224(23)[))](1)a b c a=++≤++++2224223.63a b c ∴++≥=此时,1a a b c ==∴==又232a b c ++=，1,24953a b c a b c ∴===∴++=13.解析：22222001|2.2V dy ydy y ππππ====⎰⎰14.解析：（1）当3=n 时，因为211,1,33a a ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭，321,1,33a a ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭， 所以21,1,33a ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭，211,1,33a ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭，所以213a =或12=a 或23a =所以满足条件的所有数列{}n a 的个数为3个； (2)令1(19)i i ia b i a +=≤≤，则对每个符合条件的数列{}n a 满足条件31010212912911a a a a b b b a a a a ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅==，且1,1,33i b ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭反之符合上述条件的9项数列{}n b ，可唯一确定一个符合条件的10项数列{}n a 记符合条件的数列{}n b 的个数为N ， 显然(19)i b i ≤≤中有k 个3，k 个13，92k -个1 当k 给定时，{}n b 的取法有99k kk C C -种，易得k 的可能值为0,1,2,3,4, 故112233449897969513139.N C C C C C C C C =++++=所以满足条件的所有数列{}n a 的个数为3139个.15.解析：Rt PAD ∆中，2,4,AD PD PA =∴==由切割线定理得2,PA PC PB =⋅21,PB ∴=⋅12,8PB BD ∴=∴=又由相交弦定理得,AD ED CD BD ⋅=⋅12,ED ∴=所以直径为14，故半径为7.16.解析：把直线l 的参数方程化为普通方程得25x y +=，把曲线C 的极坐标方程化为普通方程得22(1)(1)2x y -+-== 17.解析：21()cos (cos cossin sin )cos 2332f x x x x x x ππ==11cos(2)234x π=++…………………4分（1）T π=； …………………6分 （2）111()cos(2),cos(2)1,.234433f C C C C πππ=++=-∴+=-∴= …………………8分 13sin 23,8,2,4,2ABCSab C abab a b ===∴==∴= …………………10分 由余弦定理得2222cos 12,c a b ab C c =+-=∴= …………………12分 18.解析：(Ⅰ)设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q ，则由2252310,2,b S a b a +=⎧⎨-=⎩得610,34232,q d d q d ++=⎧⎨+-=+⎩解得2,2,d q =⎧⎨=⎩所以32(1)21n a n n =+-=+，12n n b -=． …………………4分 (Ⅱ)由13a =，21n a n =+得(2)n S n n =+， 则即 …………………6分 n 为奇数， n 为偶数， 12,(2)2,n n n n c -⎧⎪+=⎨⎪⎩111,22,n n c n n -⎧-⎪=+⎨⎪⎩n 为奇数， n 为偶数，21321242()()n n n T c c c c c c -=+++++++32111111[(1)()()](222)3352121n n n -=-+-++-++++-+ …………………9分12(14)12114n n -=-++-22(41)213n n n =+-+ …………………12分 19.解：（Ⅰ）折后,,,A B C D 重合于一点,O ∴拼接成底面EFGH 的四个直角三角形必为全等的等腰直角三角形，∴底面EFGH 是正方形，故EG FH ⊥. …………………2分在原平面图形中，等腰三角形SEE SGG ''∆∆,,SE SG ∴=.EG SO ∴⊥ ………………4分又,,,SO FH SFH SO FH O ⊂⋂=EG ∴⊥平面SFH .又EG ⊂平面SEG ，∴平面SEG ⊥平面SFH . …………………6分 （Ⅱ）法1：过O 作OM SH ⊥交SH 于M 点，连EM ,EO ⊥面SFH ,EO SH ∴⊥, SH ∴⊥面EMO ，EMO ∴∠为二面角E SH F --的平面角.…………………8分 当52AE =时，即5,2OE =Rt SHO中，5,SO OH SO SH OM SH⋅==∴==, Rt EMO中，EM =2cos .3OM EMO EM ∠=== 所以所求二面角的余弦值为2.3…………………12分 法2：由（Ⅰ）知,,EG FH EG SO ⊥⊥并可同理得到,HF SO ⊥故以O 为原点，分别以,,OF OG OS 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O xyz - 在原平面图形中，5,2AE =则底面正方形EFGH 的对角线5EG =，555555(,0,0),(0,,0),(0,,0),(,,0),(0,,0).222222HE G HE OG ∴--=-=在原平面图形中，可求得SE =在Rt SO E ∆中，可求得5,SO =5(0,0,5),(,0,5),2S SH ∴=-- …………………8分设平面SEH 的一个法向量为(,,)n x y z =，则550,2550,22n SH x z n HE x y ⎧⋅=--=⎪⎪⎨⎪⋅=-=⎪⎩得,12y x z x =⎧⎪⎨=-⎪⎩ 令2x =，则(2,2,1)n =- …………………10分EG ⊥平面SFH ，OG ∴是平面SFH 的一个法向量，设二面角E SH F --的大小为,θ则2cos .3n OGn OG θ-==⋅∴二面角E SH F --的余弦值为2,3 …………………12分20.解：(Ⅰ)由题意，得(0.030.0320.010.008)101,a ++++⨯=解得0.02.a =…………………3分 50个样本中空气质量指数的平均值为0.150.2150.32250.3350.084525.6X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=由样本估计总体，可估计2014年这一年度空气质量指数的平均值约为25.6 …………6分 （Ⅱ）利用样本估计总体，该年度空气质量指数在[]0,20内为“最优等级”，且指数达到“最优等级”的概率为0.3，则(2,0.3)B ξ.ξ的可能取值为0，1，2，0021224942(0)(0.3)(0.7),(1)(0.3)(0.7),100100P C P C ξξ==⨯===⨯=2229(2)(0.3)100P C ξ=== ξ∴的分布列为：ξ0 1 2 P49100421009100…………………8分 494290120.6100100100E ξ=⨯+⨯+⨯=.(或者20.30.6E ξ=⨯=)， …………………10分 故一个月（30天）中空气质量能达到“最优等级”的天数大约为300.618⨯=天. … 12分 21.解：（I ）∵0,AC BC ⋅= ∴,90AC BC ACB ⊥∠=︒又2,OC OB BC BA -=-即2BC AC =，∴△AOC 是等腰直角三角形 ……………2分 ∵(2,0),A ∴(1,1)C 而点C 在椭圆上，∴22111,2,a a b +== ∴243b = ∴所求椭圆方程为223144x y += …………………4分（II ）对于椭圆上两点P 、Q ，∵∠PCQ 的平分线总是垂直于x 轴∴PC 与CQ 所在直线关于1x =对称，设(0PC k k k =≠且1)k ≠±，则CQ k k =-，………6分 则PC 的直线方程1(1)(1)1y k x y k x -=-⇒=-+ ① QC 的直线方1(1)(1)1y k x y k x -=--⇒--+ ②将①代入223144x y +=得222(13)6(1)3610k x k k x k k +--+--= ③∵(1,1)C 在椭圆上，∴1x =是方程③的一个根，∴22361113p p k k x x k --⋅==+ ……………8分以k -替换k ，得到2236131Q k k x k +-=+.26242()211313121231313p Q p Q PQp Q p Q k k k k y y k x x k k k k k k x x x x k k --⋅--+-++=====----++而1,3AB k =∴,PQ AB k k = ∴PQ ∥AB ，∴存在实数λ，使得PQ AB =λ ………………10分||(PQ x ====当2219k k =时即21,3k k ==时取等号，又||10AB =，maxλ==…………………… 13分22.解：⑴21(),0,2f x lnx x x =->211()(0)x f x x x x x-'=-=> ……………………2分由()0,f x '>得210,x ->又0,x >所以01x <<．所以()f x 的单增区间为(0,1). ………4分（2）方法一：令21()()(1)(1)1,2G x F x mx lnx mx m x =--=-+-+所以21(1)1()(1)mx m x G x mx m x x-+-+'=-+-=．当0m ≤时，因为0x >，所以()0G x '>．所以()G x 在(0,)+∞上是递增函数，又因为213(1)11(1)120,22G ln m m m =-⨯+-+=-+>所以关于x 的不等式()1G x mx ≤-不能恒成立． ………………………6分 当0m >时，21()(1)(1)1()m x x mx m x m G x xx-+-+-+'==-． 令()0,G x '=得1x m =，所以当1(0,)x m ∈时，()0;G x '>当1(,)x m∈+∞时，()0G x '<． 因此函数()G x 在1(0,)x m ∈是增函数，在1(,)x m∈+∞是减函数． 故函数()G x 的最大值为2111111()()(1)1ln .22G ln m m m m m m m m =-⨯+-⨯+=- …………8分令1()ln ,2h m m m =-因为11(1)0,(2)20,24h h ln =>=-< 又因为()h m 在(0,)m ∈+∞上是减函数，所以当2m ≥时，()0h m <． 所以整数m 的最小值为2． ……………10分方法二：⑵由()1F x mx ≤-恒成立，得2112lnx mx x mx -+≤-在(0,)+∞上恒成立．问题等价于2112lnx x m x x ++≥+在(0,)+∞上恒成立．令21()12lnx x h x x x ++=+，只要max ()m h x ≥． ……………………6分因为221(1)()2(),1()2x x lnx h x x x +--'=+令()0,h x '=得102x lnx --=．设1()2x x lnx ϕ=--，因为11()02x x ϕ'=--<，所以()x ϕ在(0,)+∞上单调递减，不妨设102x lnx --=的根为0x ．当0(0,)x x ∈时，()0;h x '>当0(,)x x ∈+∞时，()0h x '<．所以()h x 在0(0,)x x ∈上是增函数；在0(,)x x ∈+∞上是减函数．所以000max 020000011112()()11(1)22x lnx x h x h x x x x x x +++====++． …………………8分 因为111()20,(1)0242ln ϕϕ=->=-< 所以01 1.2x <<此时max 0112,()(1,2).g x x <<∈所以2,m ≥即整数m 的最小值为2 …… 10分 （3）当2m =-时，2(),0F x lnx x x x =++>由1212()()0,F x F x x x ++=即22111222120lnx x x lnx x x x x ++++++=从而212121212()()()x x x x x x ln x x +++=⋅-⋅ ……………………13分令12,t x x =⋅则由()ln t t t ϕ=-得，1()t t tϕ-'= 可知()t ϕ'在区间（0，1）上单调递减，在区间(1,)+∞上单调递增。