1.4 辗转相除法与最大公约数和1.5最小公倍数
两数求最大公约数公式 辗转相除法
两数求最大公约数公式辗转相除法嘿，咱们今天来聊聊两数求最大公约数的辗转相除法！你说这数学里的方法，有时候就像一个个神奇的小窍门，能帮咱们解决好多难题。
就拿这个辗转相除法来说吧，它可真是个妙不可言的宝贝。
我记得有一次，我在课堂上给学生们讲这个知识点。
当时有个小同学，眼睛瞪得大大的，满脸写着疑惑，那模样别提多可爱了。
我就问他：“咋啦，是不是没搞明白？”他怯生生地说：“老师，这感觉好复杂呀。
”我笑了笑，跟他们说：“同学们，别觉得难，咱们一步步来。
”辗转相除法呢，其实原理挺简单。
比如说要求两个数，比如 18 和24 的最大公约数。
咱们先用大数除以小数，也就是 24 除以 18 ，得到商 1 余 6 。
然后呢，就把除数 18 当成新的被除数，余数 6 当成新的除数，继续做除法，也就是 18 除以 6 ，刚好整除，商是 3 。
这时候，这个 6 就是 18 和 24 的最大公约数啦！再举个例子，比如说 45 和 30 。
先用 45 除以 30 ，商 1 余 15 。
然后 30 除以 15 ，商 2 余 0 ，这时候余数为 0 ，除数 15 就是最大公约数。
在实际解题的时候，咱们就这么一轮一轮地算，直到余数为 0 ，除数就是最大公约数。
有些同学可能会问啦，为啥这样就能求出最大公约数呢？其实啊，这背后有数学的道理。
每次做除法的时候，其实就是在不断缩小两个数的差距，同时又保证最大公约数不变。
我之前教过的一个学生，一开始对这个方法总是出错。
后来我让他多做几道练习题，慢慢地，他就掌握了。
有一次考试，正好考到了这个知识点，他做得又快又准，考完后他特别兴奋地跑来找我：“老师，多亏您让我多练习，这次我可做对啦！”总之啊，辗转相除法虽然看起来有点绕，但只要多练习，多琢磨，就会发现它其实并不难。
大家在学习数学的时候，可别被一开始的困难吓住，只要肯下功夫，就一定能掌握这些有趣又有用的方法！希望大家都能把这个辗转相除法运用得炉火纯青，在数学的世界里畅游无阻！。
求最大公约数的两种算法
求最大公约数的两种算法求最大公约数是我们在学习数学过程中必须掌握的一个基本知识点，而求最大公约数有很多种方法，我们今天主要介绍其中的两种算法，分别是“辗转相除法”和“欧几里得算法”。
首先，我们来介绍辗转相除法。
辗转相除法又称为“欧几里德算法”，它是一种求最大公约数的快速算法。
具体的操作过程如下：1. 初始化，将两个数（假设为a和b）中较大的数赋值给变量x，较小的数赋值给变量y。
2. 用较大数x除以较小数y，记为q（商）和r（余数），即x = q * y + r。
3. 如果余数r不为0，则将y赋值给x，将r赋值给y，重新执行第2步，直到余数为0。
4. 当余数为0时，y即为a和b的最大公约数。
下面我们来通过一个具体的例子来理解这个算法。
例如，要求48和60的最大公约数，我们可以按照上述步骤执行：1. x = 60，y = 48。
2. q = 60 / 48 = 1，r = 60 - 1 * 48 = 12。
3. x = 48，y = 12。
4. q = 48 / 12 = 4，r = 48 - 4 * 12 = 0，此时余数为0，所以最大公约数为y = 12。
接下来，我们介绍欧几里得算法，它也是求最大公约数的一种常见方法。
和辗转相除法不同的是，欧几里得算法是递归实现的。
具体的操作过程如下：1. 初始化，将两个数（假设为a和b）中较大的数赋值给变量x，较小的数赋值给变量y。
2. 如果y为0，则说明x是最大公约数，返回x。
3. 否则，将y赋值给x，将x % y（x除以y的余数）赋值给y，再次执行第2步。
4. 当最终y为0时，x即为a和b的最大公约数。
下面我们也可以通过一个例子来理解这个算法。
例如，要求48和60的最大公约数，我们可以按照上述步骤执行：1. x = 60，y = 48。
2. y不为0，继续执行第3步。
3. x = 48，y = 60 % 48 = 12。
4. y不为0，继续执行第3步。
5. x = 12，y = 48 % 12 = 0。
解析数学中的最大公约数和最小公倍数掌握最大公约数和最小公倍数的计算方法
解析数学中的最大公约数和最小公倍数掌握最大公约数和最小公倍数的计算方法在数学中，最大公约数和最小公倍数是两个基本概念。
它们在数论、代数、几何等领域中都有广泛的应用。
掌握最大公约数和最小公倍数的计算方法对于解决数学问题和解题非常重要。
一、最大公约数最大公约数又称为最大公因数，是指两个或多个整数共有的约数中最大的一个。
计算最大公约数的方法有多种，其中最常见的方法是辗转相除法。
辗转相除法，也称为欧几里得算法，是计算两个数的最大公约数的传统方法。
它的计算过程如下：（1）取两个数中较大的数，用较大的数除以较小的数，得到一个商和余数。
（2）将较小的数与上一步的余数作为新的两个数，重复上述步骤，直到余数为零。
（3）当余数为零时，较小的数即为最大公约数。
例如，我们计算48和64的最大公约数，按照辗转相除法进行计算：64 ÷ 48 = 1余1648 ÷ 16 = 3余0因此，48和64的最大公约数为16。
除了辗转相除法，还有更高效的算法，例如质因数分解法和辗转相减法。
这些方法都可以用来计算最大公约数，但辗转相除法是最常用的方法。
二、最小公倍数最小公倍数是指两个或多个整数公有的倍数中最小的一个数。
计算最小公倍数的方法也有多种，其中最常见的方法是利用最大公约数。
根据最大公约数和最小公倍数的关系，可以得到以下公式：最小公倍数 = 两个数的乘积 ÷最大公约数例如，计算12和18的最小公倍数，首先计算它们的最大公约数：12 = 2^2 × 318 = 2 × 3^2根据质因数分解的结果，可以得到它们的最大公约数为2 × 3 = 6。
然后，利用最大公约数求得最小公倍数：最小公倍数 = 12 × 18 ÷ 6 = 36因此，12和18的最小公倍数为36。
除了利用最大公约数计算最小公倍数的方法，还可以使用连续倍数法和质因数分解法等方法。
总结：解析数学中的最大公约数和最小公倍数，我们可以利用不同的计算方法来求解。
辗转相除法求最大公约数和最小公倍数
辗转相除法求最大公约数和最小公倍数1: /*辗转相除法基于如下原理：两个整数的最大公约数等于其中较小的数和两数的差的最大公约数。
2: 例如，252和105的最大公约数是21（252 = 21 ×12；105 = 21 ×5）；3: 因为252? 105 = 147，所以147和105的最大公约数也是21。
在这个过程中，较大的数缩4: 小了，所以继续进行同样的计算可以不断缩小这两个数直至其中一个变成零。
这时，所剩下的5: 还没有变成零的数就是两数的最大公约数。
6: */7: #includ e <stdio.h>8:9: int getGCD AndLC M(int a,int b){10: int max=a>b?a:b;//将较大的数赋给max11: int min=(max=a)?b:a;//将较小的数赋给min12: int temp;//暂时存储变量13: while(max!=0){14: temp=min%max;15: min=max;16: max=temp;17: }18: printf("最大公约数为%d\n",min);19: printf("最小公倍数为%d\n",a*b/min);20: }21:22: int main(){23: printf("输入两个数整数值\n");24: int a,b;25: scanf("%d",&a);26: scanf("%d",&b);27: getGCD AndLC M(a,b);28: return0;29: }C语言水仙花数算法打印出所有的“水仙花数”，所谓“水仙花数”是指一个三位数，其各位数字立方和等于该数本身。
求最大公约数辗转相除法
求最大公约数辗转相除法最大公约数是数学中一个重要的概念，又称最大公因数。
它是两个或多个整数中最大的能被这些整数整除的整数，它也是整除这些数的所有自然数中最大者。
最大公约数辗转相除法（Euclidean algorithm）是计算最大公约数最有效的方法之一。
本文将详细介绍最大公约数辗转相除法的原理和计算步骤。
一、原理最大公约数辗转相除法是古希腊数学家厄拉多塞（Euclid）发现的，是一种减法运算的数学方法，以此可以求出两个或多个整数的最大公约数。
该法的基本思想是：给定任意两个正整数a和b（a>b），求它们的最大公约数，先取倍数较大的数a和较小的数b做相减，即a-b，若差值d=a-b不等于零，则把a,b赋值为最初的a,d，再重复上述减法运算，直到减法运算的差值d=0，此时最大公约数即为a和b的最初除数。
二、步骤最大公约数辗转相除法的计算步骤如下：（1）确定a和b的值，其中a>b；（2）求a与b的差d=a-b；（3）将a,b赋值为a,d；（4）重复上述第二步和第三步的运算，直到d=0，此时最大公约数即为a和b的最初除数。
例：求最大公约数36和24，如下：（1）确定a和b的值，其中a>b：a=36，b=24（2）求a与b的差d=a-b：d=36-24=12（3）将a,b赋值为a,d：a=36，b=12（4）重复上述第二步和第三步的运算，直到d=0，此时最大公约数即为a和b的最初除数：d=36-12=24a=36，b=24d=36-24=12a=36，b=12d=36-12=24a=36，b=24d=36-24=12a=36，b=12d=36-12=24d=0最大公约数则为12.三、应用最大公约数辗转相除法在数学中有着广泛的应用，是有效求解问题的重要方法。
它不仅可以求解最大公约数，还可以求解最小公倍数、判断两数是否互素（即两数的最大公约数为1）、判断三数是否公倍数关系（即两数的最大公约数等于另一数）等。
高中数学中的最小公倍数与最大公约数求解方法
高中数学中的最小公倍数与最大公约数求解方法最小公倍数与最大公约数都是高中数学中必须要掌握的基础知识，这两个概念在数学的各个领域中都有着广泛的应用。
在中学阶段，最小公倍数和最大公约数经常被用于解决各种数学问题，例如求解分数的通分和约分，解一元二次方程、不等式等。
本文将在探讨最小公倍数与最大公约数的定义和性质之后，介绍几种常见的求解方法。
1. 最小公倍数与最大公约数的定义和性质在介绍最小公倍数和最大公约数的求解方法之前，我们首先需要了解它们的定义和性质。
最大公约数，也称为最大公因数、公因数、最大公因子等，是指几个数中最大的公因数。
例如，数字 12 和 18 的最大公约数是 6，因为 12 和 18 都可以被 6 整除，而 6 是 12 和 18 的公因数中最大的一个。
如果几个数没有公约数，则它们的最大公约数为1。
最小公倍数是指几个数中最小的公倍数。
例如，数字 12 和 18 的最小公倍数是 36，因为 12 和 18 的倍数 36 是它们中最小的公倍数。
如果几个数没有公倍数，则它们的最小公倍数为0。
最大公约数和最小公倍数的性质有以下几点：1）最大公约数和最小公倍数都是正整数；2）最大公约数和最小公倍数是唯一的，也就是说，只有一个最大公约数和最小公倍数；3）最小公倍数是两个数的乘积除以它们的最大公约数，即$lcm(a,b) = \frac{ab}{gcd(a,b)}$；4）如果 $a$ 和 $b$ 是整数，那么它们的最大公约数是能写成$ax+by$ 的最小正整数 $d$，其中 $x$ 和 $y$ 是整数。
2. 辗转相减法求最大公约数所谓辗转相减法，即用两个数的差去替代其中一个数，不断重复这个过程，直到两个数相等，此时的数就是它们的最大公约数。
具体的求解过程如下：1）取两个不为0的正整数 $a$ 和 $b$，其中 $a>b$；2）计算 $a-b$ 的值，并用这个值去替代 $a$；3）如果 $b$ 大于新的 $a$，就将 $b$ 和 $a$ 互换，这样可以保证 $a$ 始终大于等于 $b$；4）将新的 $a$ 和 $b$ 再次进行第二步计算，重复这个过程，直到 $a=b$ 为止，此时 $a$ 或 $b$ 的值就是最大公约数。
辗转相除法求最大公约数和最小公倍数
辗转相除法求最大公约数和最小公倍数最大公约数和最小公倍数是初中数学中的重要概念，它们在数学、物理、化学等领域中都有广泛的应用。
本文将介绍一种求最大公约数和最小公倍数的方法——辗转相除法。
一、最大公约数最大公约数指的是两个或多个整数共有的约数中最大的一个。
例如，12和18的最大公约数是6，因为12和18的公约数有1、2、3、6，其中6最大。
求最大公约数最常用的方法是质因数分解法，但这种方法在数比较大时会比较麻烦。
辗转相除法是一种简便的方法。
1. 辗转相除法的基本思想辗转相除法的基本思想是：用较大的数去除较小的数，再用余数去除除数，如此反复，直到余数为0为止。
最后的除数就是这两个数的最大公约数。
例如，求12和18的最大公约数，可以按下面的步骤进行：（1）用18除12，得商1余6；（2）用12除6，得商2余0。
因为余数为0，所以6就是12和18的最大公约数。
2. 辗转相除法的证明辗转相除法的正确性可以用数学归纳法来证明。
假设a、b都是正整数，且a>b。
（1）当b=0时，a就是a和b的最大公约数。
（2）当b≠0时，假设r是a÷b的余数，即a=bq+r（q是a÷b 的商，r<b）。
设d是b和r的最大公约数，根据带余除法，可以得到a和b的最大公约数等于b和r的最大公约数，即gcd(a,b)=gcd(b,r)。
根据归纳法的假设可知，gcd(b,r)也可以用辗转相除法求得。
因此，gcd(a,b)也可以用辗转相除法求得。
3. 辗转相除法的优点辗转相除法与质因数分解法相比，具有以下优点：（1）速度快：辗转相除法只需要进行简单的除法运算，而质因数分解法需要进行较多的乘法和除法运算，所以辗转相除法更快。
（2）适用范围广：辗转相除法可以用于任意大小的数，而质因数分解法只适用于比较小的数。
二、最小公倍数最小公倍数指的是两个或多个数公有的倍数中最小的一个。
例如，4和6的最小公倍数是12，因为4的倍数有4、8、12、16、20、24、28……，6的倍数有6、12、18、24、30、36、42……，它们公有的倍数有12、24、36……，其中12最小。
最大公约数和最小公倍数的计算方法
最大公约数和最小公倍数的计算方法在数学中，最大公约数和最小公倍数是两个常用的概念。
最大公约数是指两个或多个整数共有约数中的最大值，而最小公倍数则是指两个或多个整数公有倍数中的最小值。
计算最大公约数和最小公倍数是解决数学问题和简化计算的重要方法。
本文将介绍几种常见的计算方法。
一、辗转相除法辗转相除法，也被称为欧几里德算法，是一种求解两个数的最大公约数的有效方法。
该方法基于以下原理：若两个整数a和b (a > b)，将a除以b得到商q和余数r，若r等于0，则b即为最大公约数；若r不等于0，则将b当作新的a，将r当作新的b，继续进行相同的操作，直到余数为0。
示例如下：假设我们要求解26和15的最大公约数。
1. 26 ÷ 15 = 1 余 112. 15 ÷ 11 = 1 余 43. 11 ÷ 4 = 2 余 34. 4 ÷ 3 = 1 余 15. 3 ÷ 1 = 3 余 0因此，26和15的最大公约数为1。
同时，最小公倍数可以通过最大公约数求解。
根据最大公约数的性质，设两个整数a和b，其最大公约数为g，最小公倍数为l，则有以下公式：l = (a × b) / g因此，使用辗转相除法求得最大公约数后，即可计算出最小公倍数。
二、质因数分解法质因数分解法是通过将整数分解为质数的乘积形式，求解最大公约数和最小公倍数。
具体步骤如下：1. 将待求解的两个整数分别进行质因数分解。
2. 将两个整数的质因数列出，并按照次数较高的相同质因数写成乘积的形式。
3. 最大公约数为两个整数所有相同质因数的最小次数相乘的乘积。
4. 最小公倍数为两个整数所有质因数的最大次数相乘的乘积。
例如，我们求解36和48的最大公约数和最小公倍数。
1. 36的质因数分解为2^2 × 3^2。
2. 48的质因数分解为2^4 × 3^1。
3. 最大公约数为2^2 × 3^1 = 12。
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〔3，4，6〕＝12
2 3
3
3 1
4
2 2
6
3 1
12+1 ＝13
答 : 6月13日
2×3×2＝12
7.有一块长6公分，宽4公分的长布，将它剪成最
大的正方形布而不浪费，此正方形布边长是几公分？
解：
(6，4) ＝2 6÷ 2 ＝3（长可剪成3个） 4÷ 2 ＝2（宽可剪成2个）
2
6 3
4 2
答 : 2公分
B.62
C.378
D.126
5.两列客车，A车每45分钟发车一次，B车每60
分钟发车一次，两辆客车由上午6点发车，下一次同
时发车是什么时候？
解： 〔45，60〕＝180 180÷ 60＝3（时） 15
45 3
60 4
15× 3× 4＝180
6＋3＝9 答:上午9时
6.小明3天去一次图书馆，小刚4天去一次图书馆， 小花6天去一次图书馆，6月1日一起去图书馆，则下 次几月几日一起去图书馆？
课堂练习
1.如果a=b-1（a、b为自然数），a
和b的最大公因数是（ 1 ），最小公倍
数是（ ab ）. 2.甲、乙两数的最大公因数是12，最小公 倍数是180，甲数是60，乙数是（ 36 ）.
3.有四个正因数的最小整数（ A.5 B.12 C.4
C D.6
）.
4.若(a ,126 ) ＝ 18，[a , 126]＝378，a ＝ （ A A.54 ）.
15 . 18 .
通过观察我们发现可以同时整除3、4的 数是12，也就是说12是3和4共同的倍数即公 倍数. 想一想是否3和4是否还有其它的 公倍数，它们的最小公倍数是什么？
用长4厘米、宽3厘米的长方形，照下图 的样子拼成正方形.拼成正方形的边长最小是
多少厘米？
…… 思考 …… 分析：正方形的边长 …… 既是3的倍数，又是4 ……
与其各项二项式系数的和之比为64,则n等于（ C ）.
（07年江西理）. A. 4 B.5 C.6 D.7
认真想想吆.
2.设n是正整数，求 的最大公约数. 解析： 设
1 3 2n1 C 2n , C 2n , , C 2n
(C1 n , C3 n ,, C2n 1 ) d，由C1 n C3 n C2n 1 22n 1 2 2 2n 2 2 2n
教学重难点
重点
1.掌握最大公因数性质、求法.
2.理解互素、素数的简单性质.
难点
1.整除、最大公因数性质、互素有关 的证明. 2.最大公因数与最小公倍数的意义 及找法 .
找出 12 的因数
找出 18 的因数
12 = 1 × 12 = 2 × 6 18 = 1 × 18 = 2 × 9
12 的因数︰
知识回顾
12的因数
1 4 2
18的因数
2 6 3 18
1、 3 1 3、 9
6 12
12和18的公因数
6 12和18的最大公因数是：_____
125与150的最大公因数是什么?
5 5
125
25 5
150
30 6
得到最大公因数是25
导入新课
初中我们已经学习了求公因数的方 法列举法、短除法.
1.列举5个可以被3整除的数 3 6 9 12 2.列举5个可以被4整除的数 4 8 12 14
想一想（a，b）[a,b]和ab有什么关系 (a,b)[a,b]=︱ab︱
课堂小结
公因数性质
1.如果两个数是倍数关系时,较小数是这两个 数的最大公因数. 2.两个不相等的质数,最大的公因数是1. 3.相邻两个自然数(0除外)的最大公因数是1. 4.设整数a，b不同时为零，则存在一对整数m， n使得（a，b）=am+bm. 5.若a︱bc，且（a，b）=1，则a︱c.
实例分析
8的因数有: 1、8、 2、4 1、9、 3 9的因数有: 8和9的公因数只有： 1 8和9的最大公因数是： 1 .
. . .
由以上可知，8和9的最大公约数为1， 且8和9为相邻的自然数.
小结
相邻两个自然数(0除外)的最大公因数是1.
思考
想一想求很大的数如1027、 5864的最大公因数怎么求 对于大数列举法、短除法已经不适 应了，这时就用到辗转相除法.
最小公倍数定义
任意的非零整数a，b，一定存在一个整数，
它同时为a，b的倍数，这个倍数叫做a，b的公
倍数，最小的正公倍数叫做a，b的最小公倍数，
记作[a,b]
探究
(8，24) = 8 [8，24] = 8×24 = . (2，14) = 2 . 24 . 192 . [2，14] = 14 . 2×14 = 28 .
知 d22n1，设 2k|n 并且2k+1不整除n，由
2k +1|| C1 n 及2k 1 | Ci2 n 2n Ci2n11 ，i 3, 5,......, 2n 1 2
i
得d = 2k + 1.
3. 设a，b，cN，c无平方因子，a2b2c， 证明：ab. 证明: 设(a, b) = d，则a = da1，b = db1，(a1, b1) = 1， 由a2b2c得a12b12c，a12c，因为c无平方因子， 所以a1 = 1，a = d，b = ab1，即ab.
1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12
=3× 4 =3× 6
18 的因数︰
1 , 2 , 3 , 6 , 9 , 18
同时是 12 和 18 的因数︰1, 2, 3, 6
分析
1、2、3 、 6 是 12 和 18 的公有
的因数，也就是它们的公因数,其中
最大的一个数是 6，叫做12 和 18
的最大公因数.
由以上可知，4和12的最大公约数为4， 3和6的最大公因数为6.
小结
如果两个数是倍数关系时,较小数是这两个数
的最大公因数.
实例分析
5的因数： 7的因数： 1、5 . . 1 .
1、7
5和7的最大公因数是：
由以上可知，5和7的最大公约数为1， 且5和7为不相等的素数.
小结
两个不相等的素数,最大的公因数是1.
最大公因数定 最小公倍数定义
给定两个整数a，b，必要公共的因数， 叫做它们的公因数.当a，b不全为零时，在
有限个公因数中最大的一个叫做a，b的最大
公因数，记作（a，b）.如果a，b的最大公
因数为1，那么称a，b是互素的.
实例分析
4的公因数 1、2、4 . . . . 12的公因数 1、2、3、4、6、12 3的公因数 6的公因数 1、3 1、2、3、6
的倍数，边长要最小.
第一章整数的整除
教学目标
知识与能力
1.掌握最大公因数的概念及性质，特别是两个
整数互素的有关性质.
2.掌握最小公倍数和最大公因数的关系，并 能利用这些关系求最小公倍数. 3.能够准确熟练求最大公因数，并将其表示为 原整数的倍数和，掌握辗转相除法.
过程与方法
1.通过复习以前的知识，引导学生自己思考求
最大公因数的必要性. 2.列举生活实例引出最大公因数与最小公倍 数在生活中的应用，引发学生学习的兴趣并让学生
自由讨论它们之间的关系及求它们的方法. 3.实例解析，总结概念使学生对最大公约数及 最小公倍数有深刻的理解和认识.
情感态度与价值观
1.了解最大公因数与最小公倍数的不同与使 用时机. 2.能运用最大公因数与最小公倍数来解题. 3.能应用最大公因数解决现实生活中的相 关问题，学以致用.
如果 a=bq+r（r≠0）， 那么（a，b）=（b，r）
探究
关于最大公因数的性质 1.设整数a，b不同时为零，则存在一对
整数m，n使得（a，b）=am+bm.
2.若a︱bc，且（a，b）=1，则a︱c.
3.设p为素数，若p︱ab，则p︱a，或p︱b.
竖着看，每列（ 3 ）个，有（ 5 ）列，共 有（ 15 ）个.每份数是（ 3 ）. 横着看，每行（ 5 ）个，共有（ 15 ）个.每 份数是（ 5 ）. 15是3的倍数，也是5的倍数，是3和4的公倍数.
6.设p为素数，若p︱ab，则p︱a，或p︱b.
最大公因数的求法
1.列举法、短除法、辗转相除法. 2.辗转相除法原理 如果 a=bq+r（r≠0）， 那么（a，b）=（b，r）
最小公倍数的求法
(a,b)[a,b]=︱ab︱
高考链接
1.已知
3 x 3 x
n
展开式中，各项系数的和