一堂公开课空间向量的坐标运算的改进和反思
《空间向量的坐标运算》教学设计与反思
《空间向量的坐标运算》教学设计与反思一、教学设计1.教材分析1. 1教材的地位与作用空间向量的坐标运算是在学生学习了空间向量几何形式及其运算、空间向量基本定理的基础上进一步学习的知识内容．是平面向量坐标运算及其研究方法在空间的推广和拓展,沟通了代数与几何的关系，丰富了学生的认知结构．为学生学习立体几何提供了新的视角、新的观点和新的方法，给学生的思维开发提供了更加广阔的空间．为运用向量坐标运算解决立体几何问题奠定了知识和方法基础．1．2 教学的重点与难点教学重点：空间坐标系、空间向量的坐标运算规律、距离和夹角公式．教学难点：空间向量坐标的确定．2．教学目标分析2．1知识与技能掌握空间右手直角坐标系、空间向量的坐标运算规律，平行向量与垂直向量坐标之间的关系、距离与夹角公式．2．2过程与方法体验方程的逐步推导过程，理解各形式之间的内在的实质的联系。
体验数学研究与发展的规律。
知其所以然。
2．3情感态度与价值观通过空间坐标系的建立和空间向量坐标运算规律的探索，发展学生的空间想象能力、探究能力，进一步熟悉类比、由一般到特殊、由直觉猜想到推理论证等思维方法，提高学生的科学思维素养；通过教师的引导、学生探究，激发学生求知欲望和学习兴趣，使学生经历数学思维全过程，品尝到成功的喜悦3 学情分析3．1学生学习本课内容的基础本课的学习对象高二学生,他们已掌握了平面向量坐标运算及规律，并学会了空间向量的几何形式及其运算；数学基础较为扎实，学习上具备了一定观察、分析、解决问题的能力，但在探究问题的内部联系和内在发展上还有所欠缺.所以通过教师的引导,学生的自主探索,不断地完善自我的认知结构.3．2学生学习本课内容的能力具有一定的画图能力，图形思维与代数思维可以结合起来。
具有一定的推导能力，具备一定的数学的严谨性。
3．3学生学习本课内容的心理本节内容学生容易接受。
学生在学习的过程中，会有很强的求知欲和成就感，对培养数学思想有推动作用。
向量的坐标运算的教学反思
向量的坐标运算的教学反思向量的坐标表示及其运算的公式坐标表示：在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底。
任作一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得：我们把(x,y)叫做向量a的（直角）坐标。
其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，上式叫做向量的坐标表示。
在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示。
根据定义，任取平面上两点即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标。
运算：AB+BC=(x2-x1,y2-y1)+(x3-x2,y3-y2)=(x2-x1+x3-x2,y2-y1+y3-y2)=(x3-x1,y3-y1)=AC。
λAB=λ(x2-x1,y2-y1)=(λx2-λx1,λy2-λy1)扩展资料：给定空间三向量a、b、c，向量a、b的向量积a×b，再和向量c 作数量积(a×b)·c，所得的数叫做三向量a、b、c的混合积，记作(a,b,c)或(abc)，即(abc)=(a,b,c)=(a×b)·c混合积具有下列性质：1、三个不共面向量a、b、c的混合积的绝对值等于以a、b、c为棱的平行六面体的体积V，并且当a、b、c构成右手系时混合积是正数；当a、b、c构成左手系时，混合积是负数，即(abc)=εV（当a、b、c构成右手系时ε=1；当a、b、c构成左手系时ε=-1）2、上条性质的推论：三向量a、b、c共面的充要条件是(abc)=03、(abc)=(bca)=(cab)=-(bac)=-(cba)=-(acb)参考资料来源：百度百科-平面向量平面向量的坐标运算容易。
终点坐标减去始点坐标就得了。
如A（1，2）。
B（3，4）则以A为始点B为终点的向量的坐标是（2，2）。
即横坐标为3－1＝2，纵坐标为4－2＝2平面向量的坐标运算公式容易。
终点坐标减去始点坐标就得了。
空间向量巧妙运用教案反思
空间向量巧妙运用教案反思在数学教学中，空间向量是一个非常重要的概念。
它不仅在几何学中有着广泛的应用，而且在物理学、工程学等领域也有着重要的作用。
因此，如何巧妙地运用空间向量进行教学，对于学生的学习至关重要。
在本文中，我们将探讨如何巧妙地运用空间向量教学，并通过教案反思来总结教学经验。
首先，我们需要明确空间向量的概念和性质。
空间向量是指具有大小和方向的量，它可以用有序三元组来表示。
在教学中，我们可以通过具体的例子来引入空间向量的概念，让学生通过观察和实践来感受空间向量的性质。
例如，可以通过实际的物体或者图形来引入空间向量的概念，让学生通过观察和讨论来理解空间向量的性质。
其次，我们需要设计一些巧妙的教学方法来帮助学生理解空间向量的运用。
例如，可以通过实际的案例来引入空间向量的运用，让学生通过实际问题的解决来理解空间向量的应用。
同时，可以设计一些趣味性的练习题目，让学生通过实际操作来感受空间向量的运用，从而加深对空间向量的理解。
此外，我们还需要注重培养学生的空间想象能力。
空间向量是一个涉及到空间的概念，因此学生需要具备一定的空间想象能力才能更好地理解和运用空间向量。
在教学中，我们可以通过设计一些空间想象能力训练的活动来帮助学生提高空间想象能力，从而更好地理解和运用空间向量。
最后，我们需要通过教案反思来总结教学经验。
教案反思是一个非常重要的环节，它可以帮助我们及时发现教学中存在的问题，并及时调整教学方法和策略。
在教案反思中，我们可以总结学生在学习空间向量过程中的表现，分析学生的学习情况，找出存在的问题，并提出改进的建议。
通过教案反思，我们可以不断改进教学方法，提高教学质量，从而更好地帮助学生理解和运用空间向量。
综上所述，巧妙地运用空间向量进行教学是非常重要的。
通过设计巧妙的教学方法，注重培养学生的空间想象能力，并通过教案反思来总结教学经验，我们可以更好地帮助学生理解和运用空间向量，提高教学效果。
希望本文的内容能够对教师们在空间向量教学中有所帮助。
空间向量的运算反思
教学反思
本节课我讲了选修2-1第二章《空间向量的运算》这一节，这是本章第二节的内容，主要学习的是空间向量的加法、减法、数乘以及数量积的运算及应用。
根据大纲，要求学生能熟练应用空间向量的运算解决简单的立体几何问题，这也是本节课的难点。
突破难点的方法是让学生会用已知向量表示相关向量，就是利用三角形法则或多边形法则把未知向量表示出来，进而再求两个向量的数量积、夹角等。
本节课在教学设计上，注重与学生已有知识的联系，因为本节知识是向量由二维向三维的推广，所以预习平面向量的运算起了一定的作用，使学生体会知识的形成过程和数学中的类比学习方法。
另外，多媒体演示和传统板书教学有效结合，较好地辅助了教学。
本节课的核心理念是体现学生在学习中的主体性。
但是我觉得自己在这方面做的不太理想，意图是好的，可是没有完全调动起学生的兴趣和学习积极性，所在老师在课堂上又变成了主角，背离了新课程理念，这是我以后应该注意的问题。
在教学过程中，学生的思维活跃，积极讨论问题，自主解决例题。
不足之处：在创设情境时，我用的是知识性引课，不够引人入胜，要是能想出更好的引课方式，在一开始就抓住学生的眼球，调动起学生学习的积极性，应该效果会更好。
其次，在课堂中没有充分发挥学生的主体性，老师由引导者又渐渐变成了主导者。
另外，难点突破应该在两个例题上，可是前边耽误了时间，导致重点地方没有足够的时间解决，没达到最初的意图。
还有，在课堂上，如果时间充分，让学生自己发现、分析，总结问题的求解方法，更有助于他们掌握解决此类问题方法。
以上是我对《空间向量的运算》的教学反思，还有很多不足之处，恳请各位老师批评、指正。
2013年11月20日。
高中数学_空间向量的正交分解及其坐标表示教学设计学情分析教材分析课后反思
【探究2】在空间中，如果用任意三个不共面向量a，b，c代替两两垂直的向量i，j，k，你能得出类似的结论吗？【探究成果】通过刚才的探究，类比平面向量基本定理，你能得到什么结论呢？【练习1】已知{a，b，c}是空间的一个基底，则可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向量是().A．a B．bC．a＋2b D．a＋2c 基于探究1的探究成果，可先尝试由学生自主探究，再小组交流.投影展示，学生简述.由学生总结，教师指导.改编自课后练习1，强化基底概念.学生回答.4、空间向量正交分解及其坐标表示【自主学习】阅读课本内容,并通过类比平面向量的正交分解和坐标表示，完成下表.【练习2】1.计算单位正交基底之间的数量积：2.设{,,}i j k是空间的单位正交基底，32a i j k=+-，242b i j k=-++，则向量a b+的坐标为．考虑内容难度和类比平面知识出发，由学生自学完成.学生回答.用于检测自学效果，强化概念.学生回答.5、空间向量基本定理的应用【例题】如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点.用向量OA，OB,OC表示OP和OQ.【练习3】平行六面体''''OABC O A B C-，点G是侧面''BB C C的中心，且aOA=，bOC=，cOO='，试用向量a，b，c表示向量AB'和OG.学生先独立思考说明解题思路，师生共同完成，注意步骤的规范性.通过本题掌握空间向量基本定理在立体几何中的简单应用.学生独立思考.学生板书.6、总结归纳1、学生总结本节课的收获.2、教师进一步分析、推广，激发学生学习兴趣.学生回答.利用总结归纳过程，适当开展德育教育.7.布置作业【基础巩固】学案巩固练习.【能力提升】思考空间向量基本定理与课本88页“思考”栏目中的第2个问题有什么联系?你有何体会?【能力提升】作业的设置主要考虑为了保证本节课学生充分的探究时间，考虑到学生的认知能力.8.德育教育课堂最后借助名人名言，适当开展德育教育引用老子与拉普拉斯的话语.9.板书设计3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示一、知识回顾三、例题.二、1.空间向量基本定理2.正交分解及其坐标表示练习.注重规范.GC'O'B'CA BOA'《空间向量的正交分解及其坐标表示》学情分析在现行教材编写与教学过程安排中，学生已经在必修4中学习了平面向量的相关知识. 而在本节内容之前，学生又学习了空间向量的运算，因此具有了一定的基础知识储备.因此，借助平面向量基本定理，类比得到空间向量基本定理分解的存在性是容易的，但是证明唯一性具有一定的难度. 同时有了平面向量坐标的定义，得到空间坐标的定义是容易的，但是学生对于单位正交基底的选择的合理性的理解却是模糊的.鉴于学生已经具有一定的平面向量知识的基础，制定如下教学策略：1、通过回顾平面向量基本定理，引导学生通过类比得到空间向量基本定理的表示，并证明分解的唯一性；2、通过具体实例，让学生真实体会单位正交基底与正交分解对于数量积问题的重要性，得出向量的正交分解与坐标表示；3、完成从二维到三维的类比之后，再引导学生完成一维向量空间的类比，从而让学生体会到不同维度向量空间的结构特点上的统一性，并通过简单探究将向量空间进一步推广到高维时的情形，同时将空间向量基本定理作进一步的推广；《空间向量的正交分解及其坐标表示》效果分析在上完这节课后，根据学生在课堂上对教师提出来的关于“空间向量基本定理”的知识应用题解决能力以及从课后作业情况来看，教学效果很好。
(2021年整理)关于空间向量教学的反思
关于空间向量教学的反思编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（关于空间向量教学的反思）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为关于空间向量教学的反思的全部内容。
空间向量中共面定理教学的反思2019.9。
29今天上课复习空间向量这一节。
之前在一课一研时，我们已经就相关问题进行了研讨，我在上课前也进行了充分的准备，感觉信心满满。
感觉这一节的时间比较充裕，所以开始上课后，我首先对前几节复习的直线和平面之间平行于垂直的判定和性质定理等进行了提问和总结。
当然有些学生记得不熟，提问这些定理时学生在下面飞速的翻书。
我还调侃说，虽然我们没有记住，但是我们小手翻得快啊，最终花了大概6分钟的时间.然后,进入了本节课内容的学习环节。
首先是学生自学,对比平面向量和空间向量相关概念的异同。
比如定义、模、单位向量、零向量、共线向量、相等向量等内容，他们差别不大,只是把平面内改为了空间中。
但也有变化的，我重点让学生去思考：平面向量中的平面向量基本定理与空间向量中的共面向量定理之间的异同。
学生都去比较两个定理的文字描述,指出了一些文字上的不同,没有同学发现我预设的答案。
终于有个弱弱的声音说出了充要条件四个字，我如释重负的赶快说对，并进行了讲解。
然后开始继续讲解共面向量定理的推论.空间中如果有AP xAB y AC=+（①式）,则说明APBC四点共面，灾难从此时开始了。
学生静悄悄，好像这是一节新授课一样崭新。
然后我有提问说:如果AB xCD yEF=+(②式),能否说明ABCDEF六点共面呢?看学生不能回答,我解释道不可以，因为①式中表示向量的有向线段有共同的点，向量共面可以得到对应有向线段的起点和终点也是共面的，但是②式中的表示向量的有向线段没有公共的点，虽然向量共面,但不能说点共面。
基于类比的延伸——“空间向量的坐标表示”教学实录与反思
基于类比的延伸———“空间向量的坐标表示”教学实录与反思徐德均 （江苏省南通中学 ２２６００１） 作者简介：徐德均，江苏南通人，１９８６年７月毕业于扬州师范学院（今扬州大学），现执教于江苏省南通中学．２０１８年被评为江苏省高中数学特级教师，２０１７年被评为中小学正高级教师．多篇论文发表在《数学教育学报》《数学通报》等中学数学教与学的专业刊物上．在长期的教育教学实践中，逐渐形成了“以思维训练为核心，以思考教学为主线”的教学观．１ 基本情况１．１ 授课对象学生来自江苏省四星级普通高中理科班，数学素养的基础较好，有一定的自学能力、推理能力及运算能力．１．２ 教材分析所用教材为《普通高中课程标准实验教科书·数学（选修２ １）》（苏教版）．“空间向量的坐标表示”为第３章“空间向量与立体几何”第１节第４课的内容，它是将平面向量的有关概念与运算类比延伸到空间，定义空间向量及其线性运算、共面向量定理与空间向量基本定理后的一节知识内容，是后续学习空间向量的数量积与空间线面关系的判定、空间的角的计算等空间向量的知识基础与基本方法，是本章教与学的重点和难点，也是本章的主干知识点．教学过程中回顾由平面向量基本定理生成空间向量基本定理的过程与方法，体会类比的思想方法在空间向量中的应用；引导学生适时延伸得到空间向量的坐标表示与运算法则；通过空间向量的线性表示与运算，理解空间坐标运算法则及其运用；通过一题多变，融合共线、共面向量等有关知识的综合训练，为运用向量作为工具求解有关几何问题打好基础，发展推理能力和运算能力．教学目标 （１）经历用类比延伸出空间向量的坐标表示与运算法则的过程，体验数学在结构上的和谐性，感受数学发现和创造的快乐；（２）体会空间向量是在平面向量的基础上的螺旋升格，注意由“二维”类比延伸到“三维”的维数增加带来的影响；（３）能通过坐标运算发现向量的线性表示，判断向量共线、共面，从而确定交点位置等，理解向量的工具性作用；（４）能用空间向量的坐标表示进行简单向量式的化简、求值以及多边形的形状的判断，养成积极自主思考、主动探索的习惯．教学重点 引导学生类比延伸空间向量的坐标表示及其应用．教学难点 创设情境引导学生以向量为工具求解几何问题．２ 教学过程２．１ 创设情境，类比探究师：同学们好！还记得上节课我们学会了什么吗？又是如何研究的？生１：空间向量基本定理及其应用，是通过类比延伸平面向量基本定理得到的，并用向量加法法则验证，然后应用它证明向量共面等问题．师：回答得很好！（屏幕显示图１）图１师：我们知道，在平面直角坐标系中，可用坐 本文系江苏省中小学教学研究第１３期课题“基于深度学习的高中数学单元教学研究”（编号：２０１９ＪＫ１３ Ｌ１７１）的研究成果．标表示平面向量，同时可以通过坐标来进行平面向量的运算与运用．同学想一想，现在能否将平面直角坐标系中的坐标表示向量类比延伸到空间呢？（回答是肯定）这就是我们今天所要研究学习的内容：空间向量的坐标表示．（板书课题）２．２ 类比法则，升维验证师：请同学们小组讨论并汇报，如何将平面直角坐标系中向量的坐标表示类比延伸到空间？生２：仍然采用类比延伸的思想与方法．在空间坐标系犗 狓狔狕中，分别取与狓轴、狔轴、狕轴正方向相同的单位向量犻，犼，犽作为基向量．对于任意一个向量犪，根据空间向量基本定理，存在惟一的有序实数组（狓，狔，狕），使犪＝狓犻＋狔犼＋狕犽．有序实数组（狓，狔，狕）叫做向量犪在空间直角坐标系犗 狓狔狕中的坐标，记作犪＝（狓，狔，狕）．（在学生汇报的同时，教师在黑板上板书、作图，补充并标注，如图２所示）图２师：无论在平面直角坐标系上还是在空间直角坐标系内，当向量犪的起点移至坐标原点犗时，其终点的坐标就是向量犪的坐标．空间向量坐标就是在平面向量坐标上增加了“竖坐标”，从维度表示上来讲就是增加一个维度表示，即从二维表示延伸为三维表示．现在我们已经用坐标表示了空间向量，以下该如何研究？怎么研究？生３：研究空间向量坐标线性运算法则，还是用上节课的学习方法，类比、延伸、验证与应用．（教师在黑板上有目的地板书，得到空间向量坐标运算法则，整理如图３所示）师：回答得很好！上面类比延伸的运算法则一定正确吗？请举例验证说明．生４：犪＋犫＝（狓１犻＋狔１犼＋狕１犽）＋（狓２犻＋狔２犼＋狕２犽）＝（狓１＋狓２）犻＋（狔１＋狔２）犼＋（狕１＋狕２）犽＝（狓１＋狓２，狔１＋狔２，狕１＋狕２）．师：很好！其他类似可以验证．另外，运算法则中犃犅→ ＝犗犅→ －犗犃→ 表明的是在空间，一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标图３减去它的起点坐标．空间向量的运算法则就是在平面向量运算法则基础上增加了“竖坐标”，从维度计算上来看，就是增加一个维度计算，即从二维计算升格为三维的计算．２．３ 利用法则，线性运算师：刚刚我们学习了空间向量的坐标表示及其运算法则，下面请同学们完成以下例题：例１ 已知犪＝（１，－４，８），犫＝（３，１０，－４），求犪＋犫，犪－犫，３犪－２犫．（学生运算，引导作答）生５：根据运算法则直接求解（过程略）．师：很好！将此题变为“已知犪＋犫＝（１，－４，８），犪－犫＝（３，１０，－４），求３犪－２犫”．怎么求？生６：可以先将犪＋犫＝（１，－４，８），犪－犫＝（３，１０，－４）中的犪，犫看作未知量，类似解方程组求犪，犫的坐标，再代入求３犪－２犫的坐标．解答如下：法１：由犪＋犫＝（１，－４，８），犪－犫＝（３，１０，－４），得２犪＝（犪＋犫）＋（犪－犫）＝（４，６，４），２犫＝（犪＋犫）－（犪－犫）＝（－２，－１４，１２），所以犪＝（２，３，２），犫＝（－１，－７，６），故３犪－２犫＝３×（２，３，２）－２×（－１，－７，６）＝（８，２３，－６）．师：很好！法１的思路是发现３犪－２犫是犪，犫的线性表示，故而只要求得犪，犫的坐标就可以了．生７：可从整体角度来看，将３犪－２犫用已知犪＋犫，犪－犫线性表示，只需将犪＋犫，犪－犫的坐标整体代入，便可求解．（请生７自主求解，汇报解答）法２：设３犪－２犫＝λ（犪＋犫）＋μ（犪－犫）＝（λ＋μ）犪＋（λ－μ）犫，则λ＋μ＝３，λ－μ＝－２，｛解得λ＝１２，μ＝５２，故３犪－２犫＝１２（１，－４，８）＋５２（３，１０，－４）＝（８，２３，－６）．师：很好！法１是方程思想的运用，而法２则是整体思想的体现，两种解法都是通过已知向量的线性表示，再利用坐标法则运算达成．（两种解法在同一屏幕上展示）２．４ 一题多变，提高实效例２ 已知空间四点犃（－２，３，１），犅（２，－５，３），犆（１０，０，１０）和犇（８，４，９），试写出向量犗犃→ ，犇犆→ ，犃犅→ ，犃犇→ ，犃犆→ 的坐标．（学生口答，略） 图４师：同学们能从例２的图形与所求向量的坐标，找出图４中一些向量之间的等量关系吗？它又说明了什么？生８：犃犅→ ＝２犇犆→ ，犃犆→ ＝犃犇→ ＋犇犆→ ＝犃犇→ ＋１２犃犅→ 等．根据共面向量定理，等式犃犆→ ＝犃犇→ ＋１２犃犅→ 说明三个向量犃犆→ ，犃犇→ ，犃犅→ 在同一个平面内，即空间四点犃，犅，犆，犇在同一个平面内，从而空间四边形犃犅犆犇是平面四边形．生９（补充）：由犃犅→ ＝２犇犆→ 可知犃犅→ ∥犇犆→ ，狘犃犅→ 狘≠狘犇犆→ 狘，而且可发现犃犇→ 与犅犆→ 不共线，所以空间四边形犃犅犆犇不仅是平面四边形，而且是梯形．师：回答得很好！这样若将例２变为变题１ 已知空间四点犃（－２，３，１），犅（２，－５，３），犆（１０，０，１０）和犇（８，４，９），求证：四边形犃犅犆犇是梯形．师：回顾变题１的证明过程，是通过向量的坐标运算犃犅→ ＝２犇犆→ 及犃犇→ 与犅犆→ 不共线，从而推证空间几何图形的特征：梯形．这是由“数”到“形”的过程．如果将变题１的结论作为条件的一部分，且点犆和犇的部分坐标待定，变式１可变为变题２ 已知空间四点犃（－２，３，１），犅（２，－５，３），犆（１０，狀，１０）和犇（８，４，犿），又四边形犃犅犆犇是梯形，且犃犅∥犇犆，求实数犿，狀的值．生１０：由犃犅∥犇犆，可知犃犅→ ∥犇犆→ ，又因为犃犅→ ＝（４，－８，２），犇犆→ ＝（２，狀－４，１０－犿），所以４＝２λ，－８＝λ（狀－４），２＝λ（１０－犿），烅烄烆解得狀＝０，犿＝９．｛师：变题２的求解过程根据四边形犃犅犆犇是梯形这一几何图形特征，以及向量共线定理求得实数犿，狀的值，这是一个由“形”化“数”的过程．再看变题１中四边形犃犅犆犇是平面四边形，其对角线相交，那么又如何求对角线交点的坐标呢？变题３ 已知空间四点犃（－２，３，１），犅（２，－５，３），犆（１０，０，１０）和犇（８，４，９），求四边形犃犅犆犇对角线犃犆，犅犇交点犘的坐标．生１２：设点犘（狓０，狔０，狕０），由变式１可知四边形犃犅犆犇是以犃犅，犇犆为底的梯形，且犃犅→ ＝２犇犆→ ．根据△犆犇犘∽△犃犅犘，得犃犘→ ＝２犘犆→ ．又因为犃犘→ ＝犗犘→ －犗犃→ ＝（狓０，狔０，狕０）－（－２，３，１）＝（狓０＋２，狔０－３，狕０－１），犘犆→ ＝犗犆→ －犗犘→ ＝（１０，０，１０）－（狓０，狔０，狕０）＝（１０－狓０，－狔０，１０－狕０）．因此狓０＋２＝２（１０－狓０），狔０－３＝２（－狔０），狕０－１＝２（１０－狕０），解得狓０＝６，狔０＝１，狕０＝７．故点犘的坐标为（６，１，７）．师：变题３的求解过程是根据平面四边形犃犅犆犇是梯形且点犘在对角线犃犆上，由向量的共线定理求点犘的坐标．显然，这是结合图形的特殊性质来求解，属于特殊方法，因而不是求平面四边形对角线交点坐标的一般方法．那么如何求平面四边形对角线交点坐标呢？变题４ 已知空间四点犃（－２，３，１），犅（２，－５，３），犆（１０，０，１０）和犇（１０，７，１１），试判断四边形犃犅犆犇是否是平面四边形．若是，求四边形犃犅犆犇对角线犃犆，犅犇交点犘的坐标．生１３（合作讨论后回答）：先证明四边形犃犅犆犇是平面四边形，再根据犃，犘，犆三点共线与犅，犘，犇三点共线，求交点犘的坐标．求解如下：不妨设犃犆→ ＝狓犃犇→ ＋狔犃犅→ （狓，狔∈犚），则有（１２，－３，９）＝（１２狓＋４狔，４狓－８狔，１０狓＋２狔），故１２狓＋４狔＝１２，４狓－８狔＝－３，１０狓＋２狔＝９，烅烄烆解得狓＝狔＝３４．从而犃犆→ ＝３４犃犇→ ＋３４犃犅→ ，故四边形犃犅犆犇是平面四边形．又由于点犘在直线犃犆，犅犇上，由平面共线向量定理可设犃犘→ ＝λ犃犆→ ，犅犘→ ＝μ犅犇→ （λ，μ∈犚）．设点犘（狓０，狔０，狕０），所以犃犘→ ＝犗犘→ －犗犃→ ＝（狓０，狔０，狕０）－（－２，３，１）＝（狓０＋２，狔０－３，狕０－１），犅犘→ ＝犗犘→ －犗犅→ ＝（狓０，狔０，狕０）－（２，－５，３）＝（狓０－２，狔０＋５，狕０－３）．又犃犆→ ＝（１０，０，１０）－（－２，３，１）＝（１２，－３，９），犅犇→ ＝（１０，７，１１）－（２，－５，３）＝（８，１２，８），故（狓０＋２，狔０－３，狕０－１）＝λ（１２，－３，９），（狓０－２，狔０＋５，狕０－３）＝μ（８，１２，８）．解得λ＝２３，μ＝１２，狓０＝６，狔０＝１，狕０＝７．因此，点犘的坐标为（６，１，７）．２．５ 全课提炼，布置作业（略）３ 回顾与反思３．１ 教学设计的立意“明线”是将平面向量的坐标表示、运算法则及其运用直接类比到空间，从“二维平面”的内容延伸到“三维空间”；“暗线”是继续采用前一节学习“空间向量基本定理”的思想方法，先将平面的知识拓展到空间，再将空间向量的新知识当作工具应用．充分体现向量的工具性作用．一方面，要将所得到的向量的知识作为工具，应用到新问题情境中，作为发现新问题的途径、提出新问题的手段、解决新问题的方法；另一方面，坐标是向量的一种表示形式，它借助于坐标系表示向量的“代数”与“几何”两种属性，便于向量的运算与应用，其实，坐标本身就是研究向量的基本工具．３．２ 教学反思向量是高中数学教学过程中的主要概念之一，它在高中数学课程中的三角函数、平面向量、空间向量等不同的模块中多次呈现，是现行课程所倡导的“螺旋式提升”的整体教学思想的体现．（１）教学关注要具有“螺旋式”拔节的观点高中阶段的向量需要关注的是：从有向线段的向量的初步感知，到平面向量知识的内涵，再到空间向量的引导学生类比延伸、自主探索，得出相应的性质和法则，最后是通过向量法的应用，学生养成学会学习的思维方式与行为习惯等逐步“螺旋式”拔节提升．在已知空间两个犪＋犫，犪－犫的坐标求３犪－２犫的坐标表示时，学生往往关注的是用方程的方法，先求犪，犫的坐标，再求３犪－２犫．事实上，如果注意到在平面向量中的线性表示３犪－２犫＝１２（犪＋犫）＋５２（犪－犫），将其类比到空间，坐标代入求３犪－２犫，则可使学生体会到一种由已知走向未知的进程，体会到平面向量与空间向量的关系，在这过程中逐步地学会思考、学会运用、学会学习．（２）教学内容里要具备“螺旋式”生成的意识向量在不同模块中，其内容是从基本概念到规范定义，再从规范定义到知识推导，最后进行知识内容、方法运用等，不同模块中教学内容在逐渐增加，在“螺旋式”逐渐生成．空间向量的坐标表示是从二维的平面向量的坐标表示类比延伸而来，从内容形式表示看，增加了一个维度即增加了“竖坐标”，从而增加了新的坐标运算与法则；从新知识的应用看，如例２的变题１、３、４，这些变式都要先进行多向量共面的证明，将空间问题转化为平面问题，换言之，就是由平面问题“螺旋式”生成了空间问题．（３）教学目标里要明确“螺旋式”递增的方向学习向量的目的是运用向量，是借助向量法求解一些几何问题．教材的编排目标从简单了解到能用，再到学会、体会与灵活运用，具有明确的“螺旋式”递增的目标导向．空间向量的坐标表示的目的应该不是简单地借助空间坐标系，用坐标表示空间向量，再推到坐标运算法则及其应用，而是应该具有更高目的，是借助坐标表示，利用向量法解决一些数学问题，如例２的变式３等．（４）教学要求中要呈现“螺旋式”提高的过程课标中向量的教学要求是从了解到理解、能用，再到理解、掌握、能用，在不同阶段呈现的是逐步“螺旋式”提高的过程．向量法是数学知识应用的数学思想方法之一，它是从单纯的图形或代数特征求解，拓展延伸到数形结合求解的主要数学方法．向量法含直接利用有向线段、向量基本知识求解的简单过程，也含有用向量的知识求解复杂问题的综合过程．它既有平面中单纯的向量简单运算运用，也包含判断空间点、线、面的位置关系，求空间距离和空间角等综合应用．这些应用呈现的是由简单到综合的“螺旋式”提高的过程．虽然本节课从教学过程与效果看比较成功，但不足之处比较多．首先，由于各种原因，班级几十个学生在数学学习方面客观上总是存在差异，有少部分学生的思维处于“无为”状态，以后教学中要在因人而异、分层指导等方面多想些办法与措施；其次，课堂练习训练时，由于教学时间有限，课堂上学生的选择性、自主训练不够；再次，虽然教学中数学思想有所体现，但数学文化、数学史的教育等体现很少，今后教学中要有所改善．。
空间向量的坐标表示教学设计与反思
空间向量的坐标表示教学设计与反思
空间向量的坐标表示是数学中的一项重要的概念，它在高等数学及工程应用中
起着极为重要的作用，能够充分揭示出几何形体的特征。
本次教学设计的目的，是让学生理解空间向量的坐标表示、基本概念、运算规则，并运用其解决具体问题。
首先，我们搭建相关抽象知识点体系层次，梳理出空间向量的定义描述，包括
模量、向量、余弦解析法和角度解析法；接下来，我们构建课堂讨论机制，组建小组讨论把握、熟悉乘法法则；之后，以实际例题为切入点，再次梳理概念以及定义从而系统性的深化学习，让学生能够解答坐标表示的问题；最后，给出总结性的衔接，让学生更加全面、系统的把握空间向量的坐标表示及相关应用。
本次设计中，我除了给学生提供了丰富实际的例题，在讨论机制设置上也根据
学生具体能力，不断深化讨论，话题从实际例题衍生到理论概念，从流程性的理解转化到机制性的总结，互动式的教学设计充分调动学生学习积极性，从而更加自觉的把握解决问题的思维脉络及空间向量的坐标表示。
本节课的教学设计目的是让学生掌握空间向量的坐标表示，反思上如果能把实
际例题更加细化，再完善课堂讨论及小组协作，会更好的让学生从实践中活学活用，真正达到深化学习的效果。
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一堂公开课《空间向量的坐标运算》的改进和反思前一阶段听了一位老师的试教课，然后与数学教研组的老师一起讨论并提出了思考和建议，授课老师参考建议在后面的公开课中作了改进并取得了较好的教学效果。
下面将各环节的思考和改进的过程作一个简单的呈现，并简述对改进过程的反思。
一、引入1、原来的教学安排：复习：（1）→→→→++=c z b y a x p（2）平面向量：由→→+b y a x 可以得到其坐标表示2、思考：能否创设有前后呼应有类比思想有数形结合思想而又切入知识结构实质的问题情境，使学生想要有空间直角坐标系并能建立？两个引入的情境设置建议：一是蚂蚁的位置确定或者是影子蚊子的位置确定；二是类比的问题情境，给出平面、空间几何问题，解决平面几何问题可以借助于平面向量的坐标运算，那么解决空间几何问题呢？(问题2、） 3、改进后的教学设计：（1）问题1、正方形ABCD 中，E 、F 分别为BS 与DC 中点，求证：AE ⊥BF 。
（可借助平面向量的坐标运算来解决平面几何问题） 学生有几何和坐标运算两种方法，教师通过提问强调后一方法的实质：数形结合，其中通过向量的在坐标系下的坐标表示来连结；再让学生归纳后一解法的三个环节，一是建系，二是点、向量的坐标表示，三是由运算来解决问题。
（2）问题2、在棱长为a 的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AB 、BC 的中点，求证：E C F A 11⊥。
自然让学生类比问题1的解决想到需要通过空间向量的坐标运算来解决立几问题，从而引出课题，并让学生明确需要解决的三个环节：建系，点和向量的坐标确定，向量的坐标运算和运用。
〖反思〗这样的设计能让学生在数形结合思想引领下，类比平面几何问题中平面向量通过坐标系而转化为坐标运算来解决，因此学生探索中有了一条思维暗线，也能自然悟出需要建立空间直角坐标系，也能类比清晰得到本课的线索：需要建立空间坐标系---如何建立空间坐标系---点的坐标的得到---向量的坐标表示---向量的坐标运算---运用解决立几问题，而且平面向量的思路始终引导全过程。
然后在此主线引领下一步步自然展开。
二、概念教学（一）空间坐标系的建立1、原来的教学安排：规定：（1）三个两两垂直的单位向量（2）x 、y 、z 轴（3）如何画：1350，垂直，用手指（课本上的右手系） 2、思考：为何要有三条轴？为何要两两垂直？如何确定向量的坐标？为何要这么规定三轴间的次序？其他次序不允许吗？3、改进后的教学设计：类比平面向量问题解决中，选择特殊基底即互相垂直的两个向量作为基底建立平面直角坐标系，将平面向量转化为数；从而也选择空间的特殊基底即两两垂直的三个向量作为基底建立空间直角坐标系；同样类比得到空间直角坐标系的图形、符号语言。
〖反思〗通过这样的引导，学生能类比平面向量的坐标建立和表示，自然地得到空间直角坐标系的建立。
这也与引入能较好地相衔接。
（二）点的坐标确定、向量的坐标表示1、原来的教学安排：（1）M 点作其在xoy 平面上的射影（并直接用多媒体演示）（2）例1、棱长为a 的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1和DC 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出图中各点的坐标。
（3）例2、点B 是A （3，4，5）在平面xoy 内的射影，求→OB 、→OA 。
此问题是先有坐标再去找点，通过多媒体在画点过程中可以作出如图所示长方体。
同时可以将点的坐标与向量坐标表示相联系而引入向量坐标。
（4）向量的坐标表示：如图(3)给定空间直角坐标系和向量a ，设,,i j k 为坐 标，则存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使a xi y j zk =++，有序实数组(,,)x y z 叫作向量a 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)a x y z =．2、思考：点的坐标表示、如何建立空间直角坐标系，还有建系的多样性，如何找出各卦限中点的坐标向量的坐标表示等，都需要学生的体验和感悟，同时在此探索过程中，类比的思想可以让学生更多地运用并帮助其探索。
3、改进后的教学设计：（1）教师提出问题：如何确定一个点在空间直角坐标系中的坐标？然后引导性地提出另一问题：平面直角坐标系的二维坐标是如何确定的？在此基础上启发学生同样通过平行投影的方法确定空间点的坐标。
（2）例1中让学生自己去确定并建立空间坐标系，然后找出各点的坐标，并将不同的建系方式进行比较（学生动手操作并将不同方法用实物投影来演示）。
（3）在例题的分析中由点找坐标和由坐标找点时，将辅助长方体与平面直角坐标系中的矩形相类比。
另外，教师提出：如果将A （3，4，5）改为（-3，4，5）或加上其它的负号呢？（4）向量的坐标表示：教师首先提出：平面向量的坐标是如何确定的？学生回答后接着追问：它与点的坐标有何关系？起点不在原点的向量如何得到它对应的坐标？在学生理解并得出空间向量的坐标表示后，教师给出练习问题：写出下列各题中向量的坐标： (1)23i j k ++ (2)54i j k -+- (3)83i k +〖反思〗通过教师恰当的问题引导，学生能运用类比思想，利用平行投影确定点（平面向量）坐标的方法，即将平面向量分解为与坐标向量分别共线的两个点（向量），让学生体会降维思想（由二维到一维）。
也运用降维的思想，先将空间点（向量）投影到坐标平面（三维到二维），再进一步投影到坐标轴方向（由二维到一维），从而确定坐标。
坐标系的不同建立方式得到不同的点的坐标的对应并作比较，能让学生理解坐标系建立的多样性，明确点的坐标确定需要坐标系建立的前提，也是数形转化的前提。
将辅助长方体与平面直角坐标系中的矩形相类比，更有助于学生对三维坐标的理解。
针对上面遇到问题都是坐标为正的情形，教师对坐标的正负进行了变式，让学生更清楚各位置点的空间坐标确定，也有助于学生借助长方体法表示点的三维坐标的运用。
通过问题的引导，学生能有效地从两个方面理解向量坐标的定义：一是将空间向量坐标定义与平面向量坐标定义、空间向量在一般基底下的分解相类比来理解。
二是将任意空间向量通过平移转化到平移到以原点为起点，再以其终点坐标作为该向量的坐标。
安排一定的有正有负的向量坐标变式练习，能让学生对向量的坐标表示逐步熟悉。
三、空间向量的坐标运算1、原来的教学安排：（1）运算法则：若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++，112233(,,)a b a b a b a b -=---，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈，112233a b a b a b a b ⋅=++，112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈（2）问题：①若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，那么312123//a a a a b b b b ⇔==,对吗？1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=．②若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---．（3）简单运用练习、已知),,3(),5,3,2(μλ=-=→→b a ，若→→b a 与平行，求μλ和。
2、思考：（1）在运算法则的教学中，为何需要运算法则、怎么得到运算法则都感觉不够自然。
（2）练习的主要作用应是让学生熟悉运算法则，而此问题还要学生考虑系数为零的情况，主要方向不够突出。
3、改进后的教学设计：（1）教师先提出如下问题：已知(2,3,5),(3,1,4),a b =-=--求,,8,a b a b a a b +-⋅.让学生感觉在定义了向量的坐标后需要有向量的坐标运算。
（2）教师再提出问题：如果问题中的向量是)3,2(-=→a ，)1,3(-=→b 呢？引导学生类比平面向量坐标运算法则得到空间向量的坐标运算法则，……（3）在由运算法则得到,,8,a b a b a a b +-⋅后，教师再提出问题：请判断a 、b 是否平行？这两向量是否垂直？最后由此解决问题：若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，那么312123//a a a a b b b b ⇔==, 1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=，对吗？〖反思〗让学生体会知识发展的需要并参与知识的形成过程，能有效地帮助学生在原有认知结构基础上通过自主探究发展和形成新的知识结构，也更能让学生深入理解知识并能掌握蕴含其中的方法和思想。
四、知识运用1、原来的教学安排例3：如图，在棱长为a 的正方体1111OABC O A B C -中，E 、F 分别是棱AB 、BC 的中点，求证：A 1F ⊥C 1E变式1：如果 E 、F 分别是棱AB 、BC 的动点，且AE ＝BF,求证：A 1F ⊥C 1E变式2：A 1F ⊥平面OC 1E2、思考：如何与引入更好地串联，还有如何突出运用向量的坐标运算解决问题。
3、改进后的教学设计： 引导学生合适地建系并运用向量的坐标运算解决问题。
然后引导学生对此方法和通过线面垂直或是三垂线定理法证明本问题的方法进行比较，在得出简繁后突出数形结合的运用。
在变式2教学后提出还有更多的如面面垂直、线线和线面及面面平行、一般的位置关系下的求角等问题呢？〖反思〗由于有前面的为何需要建系、如何合适地建系的铺垫，也有类比平面方法解决空间问题的主线，学生能自然地类比运用平面向量的坐标运算解决平几问题的方法。
通过引导学生对两种方法进行比较，帮助学生理解空间向量坐标运算的实质---将几何问题通过向量转化为坐标运算，从而用代数方法加以解决，更是很好地把握住了数形结合思想的渗透点。
最后的问题提出一方面明确了空间向量的坐标运算的更多学习目标，也为下面的内容学习作好了铺垫。
五、小结1、原来的教学安排（1）什么是空间直角坐标系？（2）空间向量、点在空间直角坐标系中的坐标（3）空间向量运算在立体几何问题解决中的应用步骤2、思考：应该增加这些内容中蕴含的数形结合思想和探究上述知识方法中的类比思想。
3、改进后的教学设计：（1）为何需要建立空间坐标系？如何合适地建立？（2）有了坐标系，点、向量如何与数对应？向量的运算呢？（3）在本课的学习中，你觉得是什么方法或思想在引导我们获得知识的？（4）你认为我们还需要解决哪些问题？〖反思〗在一节课的归纳小结中，应该包含知识的线索：从需要借助代数方法解决空间几何问题，到建立空间坐标系，再到将点和向量与点的坐标相对应，再到利用坐标运算解决立几问题。
也包含着蕴含其中的思想方法线索：类比平面向量的坐标运算解决平面几何问题的方法，借助代数方法解决几何问题的数形结合思想。