高中数学 选修2-1 第三章 圆锥曲线导教学案
西安市第一中学高效课堂“导·教·学”三合一案高二年级科目数学选修2-1 第二章圆锥曲线备案设计人付功审批人（备课组长）曾卫鹏授课时间
的直线为x轴，线段
是椭圆上任意一点，且椭圆的焦点坐标为
到两焦点间距离的和的一半，可借助图形帮助记忆，恰构成一个直角三角形的三条边，a是斜边，c
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上一动点，点A坐标为(2,0)
于点Q，∴|AQ|＝|PQ
，∴|PB|＝r. 又∵
＝10(大于|AB|)．∴
，过点P作x轴的垂线段的坐标为(x0，y0)，则x＝
上的动点，点D是P在x轴上的投影，
的方程，并判断此曲线的类型．
点的坐标为(x P，y P)，
．注意题目要求中求轨迹和求轨迹方程的区别．
第5、6、7、8题
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如图)，你能从图中看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭
圆上哪些点比较特殊？如何用椭圆的标准方程(代数方法)研究你观察到的几何性质？
如图，观察不同的椭圆，椭圆的扁平程度不一样，怎样刻画椭圆的扁平程度呢？
在椭圆x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)中，若保持两个量来刻画椭圆的扁平程度．
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y2
9＝1内的两个点，M
上的一点，F1、F2是其左、右焦点．已知∠
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是点D到直线EF的距离吗？为什么？点
是直角三角形的一条直角边．|DA|＝|DC
(l不过F)距离相等的点的集合叫作抛物线．点
KF|＝p (p>0)，那么焦点设点：设抛物线上的任一点M(x，y)．
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过定点P(－2,1)，斜率为
⎪⎧y－x＋2)．由方程组⎨
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px
轴，它的顶点为原点，建立直角坐标系．A 的坐标为⎝⎛⎭
⎫y 2
2p ，y 0，② 抛物线的准线方程是
、AC 交抛物线于B 、C 的倾斜角互补，∴k AC
y ＝k (x －4)＋2，
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”，此时动点轨迹不存在．
如图，取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点
处，拉开闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，思考曲线满足什么
，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里相区别，且椭圆中a>b>0，而双曲线中
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轴和原点都是对称的；
0)，A2(a,0)．
椭圆中，椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度，在双曲线中，双曲线的“张口”大小是图
首先确定所求双曲线的标准类型，可在图中判断一下点
交点为Q(2，－6)，P(2，－
，b>0)．依题意，得
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如图，火力发电厂的冷却塔的外形是由双曲线绕其虚轴所在直线旋转所得到的曲面．已知塔的
，塔的最小直径(喉部直径
是冷却塔的轴截面，为了要得到双曲线的标准方程，以最小直径处所在直线为
的离心率为
5
2，F1(－c,0)
1
1．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线的方程为A.
x2
－
y2
＝1 B.
x2
－
y2
＝1 C.
x2
－
y2
＝
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AC|≥|AB|＋|AC|＝2a，所以
所以(|AM|＋|AC|)最小。
选修2-1圆锥曲线导学案
课题21.1 椭圆及其标准方程(第~1课时)【学习目标】1、能从具体情境中抽象出椭圆的模型；2、理解椭圆的定义，会求椭圆的标准方程.【学习重点】1、理解椭圆的定义和标准方程；2、认识椭圆标准方程的特征.【学法指导】1、带着预习案中问题导学中的问题自主设计预习提纲，通读教材内容，对概念、关键词进行梳理，作好必要的标注和笔记。
2、认真完成基础知识梳理，在“我的疑惑”处填上自己不懂的知识点，在“我的收获”处填写自己对本课自主学习的知识及方法收获。
3、熟记基础知识梳理中的重点知识。
【自主学习】一、问题导学在椭圆的标准方程中，a2和b2能相等吗？二、知识梳理1.___________________________________ 椭圆的定义：我们把_____________________ 与两个定点F1 , F2的___ 等于常数( ________________________________________ )的点的轨迹叫做椭圆•这两个定点叫做椭圆的_________________ ，两__________ 间的距离叫做椭圆的_______________ •用数学符号可以把定义表示为_______________________________________ .2.椭圆的标准方程：(1 )当 ____________ 在x轴上时，标准方程为________________________ ( ____________ ).当___________ 在y轴上时，标准方程为________________________ ( ____________ ).(2)参数a,b,c之间的关系是：①等量关系_________________________________ ；②不等关系________________________、预习自测1.已知A -3,0 ,B 3,0 ,动点M分别满足下列关系,问：M的轨迹是否存在, 若存在，是什么曲线?2.已知椭圆的方程如下，写出a, b, c 的值及焦点坐标:(1)2 2x y 1259(2)2 2x y116 25(3) x 2 2y 2 = 2 .(1) MA + MB =10;(2) MA + MB =6 ;(3) MA + MB =4 .3. 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：（1） a=4,b=1，焦点在 x 轴上；（2） a=4,c = .. 15，焦点在 y 轴上；（3） a=10,c = 6【合作探究】【拓展延伸】已知F 1 -1,0 ,F 2 1,0是椭圆的两个焦点，并且经过点【当堂检测】1•若F 1,F 2分别是椭圆3x 2+5y 2=30的左、右焦点，M 是椭圆上的任一点，且MF* = 2 ,则 MF 2 = ________ . 2 .已知椭圆kx2y 2 =1的焦点在x 轴上，则k 的取值范围是 __________________________________ .3. 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）焦点在x 轴上，焦距等于4，并且经过点P 0, i.3 ；(2) a c = 9, a -c =1 .判断下列方程是否表示椭圆，若是，写出a, b,c 及焦点坐标2(1)—2y1 ； (2)2x 2—1 2x ；(3)2y1 ；4 44 3342--1 ； (5) 2x 2 3y 2 =1.3A-1,3 ，求它的标准方程 I 2丿课题：2.1.1椭圆及其标准方程(第2课时)【学习目标】1、理解椭圆定义，掌握椭圆的标准方程；2、会求与椭圆有关的轨迹问题。
高中数学选修2-1人教A教案导学案直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线的位置关系课前预习学案一、预习目标1．掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法，能够把研究直线与圆锥曲线的位置关系的问题转化为研究方程组的解的问题；2. 会利用直线与圆锥曲线的方程所组成的方程组消去一个变量，将交点问题问题转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数关系及判别式解决问题．二、预习内容1．直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法：；2、弦的中点或中点弦的问题，除利用韦达定理外，也可以运用“差分法”（也叫“点差法”）．3、弦长公式 ；4、焦点弦长： ；1．直线y x b =+与抛物线22y x =，当b ∈ 时，有且只有一个公共点；当b ∈ 时，有两个不同的公共点；当b ∈ 时，无公共点．2．若直线1y kx =+和椭圆22125x y m+=恒有公共点，则实数m 的取值范围为 ． 3．抛物线2y ax =与直线y kx b =+(0)k ≠交于,A B 两点，且此两点的横坐标分别为1x ，2x ，直线与x 轴的交点的横坐标是3x ，则恒有（ ）()A 312x x x =+()B 121323x x x x x x =+()C 3120x x x ++=()D 1213230x x x x x x ++=4．椭圆122=+ny mx 与直线1=+y x 交于,M N 两点，MN 的中点为P ，且OP 的斜率为22，则n m 的值为（ ） ()A 22 ()B 322 ()C 229 ()D 2732 5．已知双曲线22:14y C x -= ，过点(1,1)P 作直线l ，使l 与C 有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l 共有（ ）()A 1 条 ()B 2条 ()C 3条 ()D 4条6．设直线21y x =-交曲线C 于1122(,),(,)A x y B x y 两点，（1）若12||2x x -=，则||AB = ．（2）12||2y y -=，则||AB = ．7．斜率为1的直线经过抛物线24y x =的焦点，与抛物线相交于,A B 两点，则||AB = ．8．过双曲线2212y x -=的右焦点作直线l ，交双曲线于,A B 两点，若||4AB =，则这样的直线l 有（ ）()A 1条 ()B 2条 ()C 3条 ()D 4条9．已知椭圆2224x y +=，则以(1,1)为中点的弦的长度是（ ）()A 32 ()B 23 ()C 303 ()D 36210．中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆的左焦点为F ，离心率为13e =，过F 作直线l 交椭圆于,A B 两点，已知线段AB 的中点到椭圆左准线的距离是6，则||AB = ． 三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中 疑惑点疑惑内容课内预习学案一、学习目标1、使学生掌握点、直线与圆锥曲线的位置及其判定，重点掌握直线与圆锥曲线相交的有关问题．2、通过对点、直线与圆锥曲线的位置关系的研究，培养学生综合运用直线、圆锥曲线的各方面知识的能力．3、通过点与圆锥曲线的位置及其判定，渗透归纳、推理、判断等方面的能力．二、学习过程1．点P(x0，y0)和圆锥曲线C ：f(x ，y)=0有哪几种位置关系？它们的条件是什么？2．直线l ：Ax+By+C=0和圆锥曲线C ：f(x ，y)=0有哪几种位置关系？3．点M(x0，y0)与圆锥曲线C ：f(x ，y)=0的位置关系的焦点为F1、F2，y2=2px(p ＞0)的焦点为F ，一定点为P(x0，y0)，M 点到抛物线的准线的距离为d ，则有：4．直线l ∶Ax ＋Bx ＋C=0与圆锥曲线C ∶f(x ，y)＝0的位置关系：直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种位置关系的判定条件可引导学生归纳为：注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件．5．例题例1．过点(1,6)--的直线l 与抛物线24y x =交于,A B 两点，若9(,0)2P ，||||AP BP =，求l 的斜率．例2．直线:1l y kx =+与双曲线22:21C x y -=的右支交于不同的两点,A B ， （I ）求实数k 的取值范围；（II ）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．例3．已知直线l 和圆M ：2220x y x ++=相切于点T ，且与双曲线22:1C x y -=相交于,A B 两点，若T 是AB 的中点，求直线l 的方程．例4．如图，过抛物线22(0)y px p =>上一定点000(,)(0)P x y y >，作两条直线分别交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y ，（1）求该抛物线上纵坐标为2p 的点到其焦点F 的距离；（2）当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求120y y y +的值，并证明直线AB 的斜率是非零常数． 例5．椭圆的中心是原点O ，它的短轴长为22，相应于焦点)0)(0,(>c c F 的准线l 与x 轴相交于点A ，||2||FA OF =，过点A 的直线与椭圆相交于,P Q 两点．（I ）求椭圆的方程及离心率；（II ）若,0.=OQ OP 求直线PQ 的方程；（III ）设)1(>=λλAQ AP ，过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ，证明FQ FM λ-=．课后练习与提高1．以点(1,1)-为中点的抛物线28y x =的弦所在的直线方程为（ ）()A 430x y --= ()B 430x y ++= ()C 430x y +-= ()D 430x y ++=2．斜率为3的直线交椭圆221259x y +=于,A B 两点，则线段AB 的中点M 的坐标满足方程（ ）()A 325y x = ()B 325y x =- ()C 253y x = ()D 253y x =- 3．过点(0,1)与抛物线22(0)y px p =>只有一个公共点的直线的条数是（ ）()A 0 ()B 1 ()C 2 ()D 34．过双曲线22221x y a b-=的右焦点2F 作垂直于实轴的弦PQ ，1F 是左焦点，若0190PFQ ∠=，则双曲线的离心率是（ ） ()A 2 ()B 12+ ()C 22+ ()D 32-5．过抛物线2(0)y ax a =>的焦点F 作一直线交抛物线于,P Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是,p q ，则11p q+等于（ ） ()A 2a ()B 12a ()C 4a ()D 4a6．直线y x m =+与椭圆2214x y +=交于A 、B 两点，则||AB 的最大值是（ ） ()A 2 ()B 455 ()C 4105()D 8105 7．已知双曲线2290x y kx y -+--=与直线1y kx =+的两个交点关于y 轴对称，则这两个交点的坐标为 ．8.与直线042=+-y x 的平行的抛物线2x y =的切线方程是 ．9.已知椭圆的中心在原点，离心率为12，一个焦点是(,0)F m -（m 是大于0的常数）． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设Q 是椭圆上的一点，且过点,F Q 的直线l 与y 轴交于点M ，若||2||MQ QF =，求直线l 的斜率．10．一个正三角形的三个顶点都在双曲线221x ay -=的右支上，其中一个顶点是双曲线的右顶点，求实数a 的取值范围．11．已知直线1y kx =+与双曲线2231x y -=相交于,A B 两点．是否存在实数k ，使,A B 两点关于直线20x y -=对称？若存在，求出k 值，若不存在，说明理由．点、直线与圆锥曲线的位置关系一、教学目标(一)知识教学点使学生掌握点、直线与圆锥曲线的位置及其判定，重点掌握直线与圆锥曲线相交的有关问题．(二)能力训练点通过对点、直线与圆锥曲线的位置关系的研究，培养学生综合运用直线、圆锥曲线的各方面知识的能力．(三)学科渗透点通过点与圆锥曲线的位置及其判定，渗透归纳、推理、判断等方面的能力．二、教材分析1．重点：直线与圆锥曲线的相交的有关问题．(解决办法：先引导学生归纳出直线与圆锥曲线的位置关系，再加以应用．) 2．难点：圆锥曲线上存在关于直线对称的两点，求参数的取值范围．(解决办法：利用判别式法和内点法进行讲解．)3．疑点：直线与圆锥曲线位置关系的判定方法中△=0不是相切的充要条件．(解决办法：用图形向学生讲清楚这一点．)三、活动设计四、教学过程(一)问题提出1．点P(x0，y0)和圆锥曲线C：f(x，y)=0有哪几种位置关系？它们的条件是什么？引导学生回答，点P与圆锥曲线C的位置关系有：点P在曲线C上、点P在曲线C内部(含焦点区域)、点P在曲线的外部(不含焦点的区域)．那么这三种位置关系的条件是什么呢？这是我们要分析的问题之一．2．直线l：Ax+By+C=0和圆锥曲线C：f(x，y)=0有哪几种位置关系？引导学生类比直线与圆的位置关系回答．直线l与圆锥曲线C的位置关系可分为：相交、相切、相离．那么这三种位置关系的条件是什么呢？这是我们要分析的问题之二．(二)讲授新课1．点M(x0，y0)与圆锥曲线C：f(x，y)=0的位置关系的焦点为F1、F2，y2=2px(p＞0)的焦点为F，一定点为P(x0，y0)，M点到抛物线的准线的距离为d，则有：(由教师引导学生完成，填好小黑板)上述结论可以利用定比分点公式，建立两点间的关系进行证明．2．直线l∶Ax＋Bx＋C=0与圆锥曲线C∶f(x，y)＝0的位置关系：直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种位置关系的判定条件可引导学生归纳为：注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件．3．应用求m的取值范围．解法一：考虑到直线与椭圆总有公共点，由直线与圆锥曲线的位置关系的充要条件可求．由一名同学演板．解答为：由椭圆方程及椭圆的焦点在x轴上，知：0＜m＜5．又∵直线与椭圆总有公共点，即(10k)2-4x(m+5k2)×5(1-m)≥0，亦即5k2≥1-m对一切实数k成立．∴1-m≤0，即m≥1．故m的取值范围为m∈(1，5)．解法二：由于直线过定点(0，1)，而直线与椭圆总有公共点，所以定点(0，1)必在椭圆内部或边界上，由点与椭圆的位置关系的充要条件易求．另解：由椭圆方程及椭圆的焦点在x轴上知：0＜m＜5．又∵直线与椭圆总有公共点．∴直线所经过的定点(0，1)必在椭圆内部或边界上．故m的取值范围为m∈(1，5)，小结：解法一由直线与圆锥曲线的位置关系的充要条件求，思路易得，但计算量大；解法二由点与圆锥曲线的位置关系的充要条件求，思路灵活，且简捷．称，求m的取值范围．解法一：利用判别式法．并整理得：∵直线l′与椭圆C相交于两点，解法二：利用内点法．设两对称点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P1P2的中点为M(x0，y0)，∴y1+y2=3(x1+x2)．(1)小结：本例中的判别式法和内点法，是解决圆锥曲线上存在两点关于直线的对称的一般方法，类似可解抛物线、双曲线中的对称问题．练习1：(1)直线过点A(0，1)且与抛物线y2=x只有一个公共点，这样的直线有几条？(2)过点P(2，0)的直线l与双曲线x2-y2=1只有一个公共点，这样的直线有几条？由学生练习后口答：(1)3条，两条切线和一条平行于x轴的直线；(2)2条，注意到平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，故这样的直线也只有2条．练习2：求曲线C∶x2+4y2=4关于直线y=x-3对称的曲线C′的方程．由教师引导方法，学生演板完成．解答为：设(x′，y′)是曲线C上任意一点，且设它关于直线y=x-3的对称点为(x，y)．又(x′，y′)为曲线C上的点，∴(y+3)2+4(x-3)2=4．∴曲线C的方程为：4(x-3)2+(y+3)2=4．(三)小结本课主要研究了点、直线与圆锥曲线的三种位置关系及重要条件．五、布置作业的值．2．k取何值时，直线y＝kx与双曲线4x2-y2=16相交、相切、相离？3．已知抛物线x=y2+2y上存在关于直线y=x+m对称的相异两点，求m的取值范围．作业答案：k=-41．由弦长公式易求得：当4-k2≠0时，△=4(4-k2)×(-6)(1)当△＞0，即-2＜k＜2时，直线与双曲线有两个交点(2)当△＜0，即k＜-2或k＞2时，直线与双曲线无交点(3)当△=0，即k=±2时，为渐近线，与双曲线不相切故当-2＜k＜2时，直线与双曲线相交当k≤-2或k≥2时，直线与双曲线相离六、板书设计11。
高中数学第三章圆锥曲线与方程3.1椭圆教学案北师大版选修2-1
由椭圆定义，得 | PF1| ＋ | PF2| ＝ 4，
即 | PF2| ＝4－ | PF1 ＝ 5，
1
16
3 33
∴ S△ PF1F2＝ | PF1| ·｜F1F2| ·sin 120 °＝ × ×2× ＝ .
2
25
25
5 / 22
3 因此所求△ PF1F2 的面积是 5 3.
1．用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若
积，这时可把 | PF1| ·｜PF2| 看成一个整体，运用公式 | PF1| 2＋ | PF2| 2 ＝ 4a2－ 2| PF1|| PF2| 及余
弦定理求出 | PF1| ·｜PF2 | ，而无需单独求出 | PF1| 和 | PF2| ，这样可以减少运算量．
4．平面内有一个动点 M及两定点 A， B. 设 p： | MA| ＋ | MB| 为定值， q：点 M的轨迹是以
§１ 椭__圆
1． 1 椭圆及其标准方程
椭圆的定义
[ 对应学生用书 P43]
设计游戏时，要考虑游戏的公平性．某电视台少儿节目欲设计如下游戏．规则是：参 赛选手站在椭圆的一个焦点处，快速跑到随机出现在椭圆上的某一点处，然后再跑向另一 个焦点，用时少者获胜．考验选手的反应能力与速度．
问题 1：参赛选手要从椭圆的一焦点跑向椭圆上随机一点再跑向椭圆的另一焦点，每 个参赛选手所跑的路程相同吗？
y2 x2
a2＝ 1，
若焦点在 y 轴上，设椭圆方程为 a2＋b2＝ 1( a>b>0) ，同理 b2＝ 4，
这与 a>b 矛盾．
故所求椭圆方程为 x2＋ y2＝1. 4
法二：设椭圆的方程为 mx2＋ ny2＝ 1( m>0， n>0，m≠ n) ．
苏教版高中数学选修2-1《圆锥曲线的统一定义》导学案
圆锥曲线的统一定义一．学习目标：掌握圆锥曲线的统一定义，理解离必率、焦点、准线的意义。
二．学习重点：圆锥曲线统一定义的的推导学习难点：对圆锥曲线共同性质的理解与运用三、知识链接学习椭圆、双曲线、抛物线存在一些困惑1、椭圆、双曲线定义相似，抛物线的定义与椭圆、双曲线的定义区别较大2、离心率：椭圆0＜e ＜1 ，双曲线e ＞1, 抛物线有没有离心率？什么曲线的离心率等于1？四、学习过程（一）、探究圆锥曲线的统一定义问题1、在推导椭圆的标准方程时,我们曾经得到这样一个式子222)(y c x a cx a +-=-，将其变形为ac x c a y c x =-+-222)(，你能解释这个式子的几何意义吗?问题2、已知点P （x ，y ）到定点F （c ，0）的距离与到定直线l:x = a 2c 的距离之比是常数c a（a >c >0），求点P 的轨迹方程.变式 将条件a >c >0改为c >a >0呢？圆锥曲线的统一定义：平面内到一定点F 的距离和到一定直线l (F 不在l 上）的距离比为常数e （不等于）的动点P 的轨迹。
其中e 是圆锥曲线的 ，定点F 是圆锥曲线的 ，定直线l 是圆锥曲线的 。
例1:求下列曲线的焦点坐标和准线方程例2 ：已知双曲线1366422=-y x 上一点P 到左焦点的距离为14，求P 点到右准线的距离.22(1)24x y +=22(2)24y x -=2(3)0x y +=2=的焦点，点M 在抛物线上例3：若点A 的坐标为（3，2）,F 为抛物线xy2移动时求|MA|+|MF |的最小值，并求这时M 的坐标.五、基础达标1.填表2.中心在原点,准线方程为4±=x ,离心率为 2的椭圆方程是 3.设双曲线的两条准线把两焦点间的线段三等分,则此双曲线的离心率为 .4.已知A （-1,1),B （1,0),点P 在椭圆13422=+y x 上运动，求|PA|+2|PB|的最小值。
苏教版高中数学选修2-1《圆锥曲线》教案1
2.1 圆锥曲线学习目标：1、通过本节的学习，了解圆锥曲线的实际背景，经历从具体情境中抽象出圆锥曲线的过程.2、通过本节的学习，理解三种圆锥曲线的定义，能根据圆锥曲线的定义判断轨迹的形状.学习重点：三种圆锥曲线的定义.学习难点：三种圆锥曲线的定义理解.授课类型：新授课.学习过程：一、问题情境圆锥曲线与科研、生产和生活有着密切的关系，早在16与17世纪之交，开普勒就发现行星绕太阳运动的轨道是一个椭圆；探照灯反射镜就是由抛物线绕其对称轴旋转形成的抛物面；发电厂冷却塔的外形线是双曲线；……. 那么，什么是椭圆？什么是双曲线？什么是抛物线？这就是我们这一节所要研究的问题.（引入新课，板书课题）二、建构数学1.圆锥面的概念圆锥面可看成是一条直线绕着与它相交的一条定直线（两条直线不互相垂直）旋转一周所形成的曲面.2.圆锥面的截线的形状多媒体演示；学生用准备好的材料（细绳、图钉、铅笔等）画椭圆，并在此基础上得出椭圆的定义.3.圆锥曲线的定义（1）椭圆的定义：平面内到两定点1F ，2F 的距离和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆，两个定点1F ，2F 叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。
关于椭圆定义的理解.定义中有两个关键词：平面内，常数大于12F F .①若去掉“平面内”，其余条件不变，则动点的轨迹是空间图形，而不是平面图形.②常数后加上大于12F F 是为了避免出现两种特殊情况，即轨迹为一条线段或无轨迹.设常数为2a ，122F F c =，则椭圆上的点P 满足集合12{|2, 2>P P PF PF a a =+=12}F F ，其中>0a ，>0c ，且a 、c 均为常数.当2>2a c 时，集合P 为椭圆；当22a c =时，集合P 为线段1F F ；当2<2a c 时，集合P 为空集.（2）双曲线的定义：平面内到两定点1F ，2F 的距离的差的绝对值等于常数（小于12F F 的正数）的点的轨迹叫做双曲线，两个定点1F ，2F 叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。
高中数学 第三章《圆锥曲线与方程》全部教案 北师大版选修2
北师大版高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》全部教案第一课时 3.1.1椭圆及其标准方程〔一〕一、教学目标：1、知识目标：掌握椭圆的定义及其标准方程，能正确推导椭圆的标准方程．2、能力目标：培养学生的动手能力、合作学习能力和运用所学知识解决实际问题的能力；培养学生运用类比、分类讨论、数形结合思想解决问题的能力．3、情感目标：激发学生学习数学的兴趣、提高学生的审美情趣、培养学生勇于探索，敢于创新的精神．二、教学重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程．教学难点：椭圆标准方程的推导．三、教学方法：探究式教学法，即教师通过问题诱导→启发讨论→探索结果，引导学生直观观察→归纳抽象→总结规律，使学生在获得知识的同时，能够掌握方法、提升能力． 四、教学过程： 〔一〕、复习引入：1．1997年初，中国科学院紫金山天文台发布了一条消息，从1997年2月中旬起,海尔·波普彗星将逐渐接近地球，过4月以后,又将渐渐离去,并预测3000年后,它还将光临地球上空 1997年2月至3月间,许多人目睹了这一天文现象天文学家是如何计算出彗星出现的准确时间呢？原来，海尔·波普彗星运行的轨道是一个椭圆，通过观察它运行中的一些有关数据，可以推算出它的运行轨道的方程，从而算出它运行周期及轨道的的周长〔说明椭圆在天文学和实际生产生活实践中的广泛应用，指出研究椭圆的重要性和必要性，从而导入本节课的主题〕 2.复习求轨迹方程的基本步骤：3．手工操作演示椭圆的形成：取一条定长的细绳，把它的两端固定在 画图板上的21,F F 两点，当绳长大于两点间的距离时，用铅笔把绳子拉 近，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆 分析：〔1〕轨迹上的点是怎么来的？〔2〕在这个运动过程中，什么是不变的？答：两个定点，绳长即不论运动到何处，绳长不变〔即轨迹上与两个定点距离之和不变〕〔二〕、探究新课：1 椭圆定义：平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数〔大于||21F F 〕的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距注意:椭圆定义中容易遗漏的两处地方：〔1〕两个定点---两点间距离确定〔2〕绳长--轨迹上任意点到两定点距离和确定思考：在同样的绳长下，两定点间距离较长，那么所画出的椭圆较扁〔→线段〕在同样的绳长下，两定点间距离较短，那么所画出的椭圆较圆〔→圆〕定点间距离、绳长有关(为下面离心率概念作铺垫)2.根据定义推导椭圆标准方程：取过焦点21,F F 的直线为x 轴，线段21F F 的垂直平分线为y 轴设),(y x P 为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是c 2〔0>c 〕.那么)0,(),0,(21c F c F -，又设M 与21,F F 距离之和等于a 2(c a 22>)〔常数〕{}a PF PF P P 221=+=∴221)(y c x PF ++= 又，a y c x y c x 2)()(2222=+-+++∴，化简，得 )()(22222222c a a y a x c a -=+-，由定义c a 22>,022>-∴c a 令222b c a =-∴代入，得 222222b a y a x b =+，两边同除22b a 得 12222=+by a x ，此即为椭圆的标准方程x 轴上，焦点是)0,()0,(21c F c F -，中心在坐标原点的椭圆方程 其中22b c a +=注意假设坐标系的选取不同，可得到椭圆的不同的方程如果椭圆的焦点在y 轴上〔选取方式不同，调换y x ,轴〕焦点那么变成),0(),,0(21c F c F -,只要将方程12222=+b y a x 中的y x ,调换，即可得12222=+bx a y ，也是椭圆的标准方程理解：所谓椭圆标准方程，一定指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；在12222=+b y a x 与12222=+bx a y 这两个标准方程中，都有0>>b a 的要求，如方程),0,0(122n m n m n y m x ≠>>=+就不能肯定焦点在哪个轴上；分清两种形式的标准方程，可与直线截距式1=+b y a x 类比，如12222=+by a x 中，由于b a >，所以在x 轴上的“截距〞更大，因而焦点在x 轴上(即看22,y x 分母的大小)〔三〕、探析例题：例1、写出适合以下条件的椭圆的标准方程：⑴两个焦点坐标分别是(-4,0)、〔4，0〕，椭圆上一点P 到两焦点的距离之和等于10；⑵两个焦点坐标分别是〔0，－2〕和〔0,2〕且过〔23-,25〕解：〔1〕因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为12222=+by a x )0(>>b a9454,582,10222222=-=-=∴==∴==c a b c a c a 所以所求椭圆标准方程为192522=+y x 因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为12222=+bx a y )0(>>b a由椭圆的定义知，22)225()23(2++-=a ＋22)225()23(-+-10211023+=102= 10=∴a 又2=c 6410222=-=-=∴c a b 所以所求标准方程为161022=+x y 另法：∵ 42222-=-=a c a b ∴可设所求方程142222=-+a x a y ，后将点〔23-,25〕的坐标代入可求出a ，从而求出椭圆方程点评：题〔１〕根据定义求 假设将焦点改为(0,-4)、〔0，4〕其结果如何；题〔２〕由学生的思考与练习，总结有两种求法：其一由定义求出长轴与短轴长，根据条件写出方程；其二是由焦距，求出长轴与短轴的关系，设出椭圆方程，由点在椭圆上的条件，用待定系数的办法得出方程〔四〕、课堂练习：1 椭圆1925=+上一点P 到一个焦点的距离为5，那么P 到另一个焦点的距离为〔 〕 A.5 B.6 C.4 D.102.椭圆11692522=+y x 的焦点坐标是〔 〕 A.(±5，0) B.(0，±5)C.(0，±12)D.(±12，0)3.椭圆的方程为18222=+m y x ，焦点在x 轴上，那么其焦距为〔 〕 A.228m - B.2m -22 C.282-m D.222-m4.1,6==c a ,焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是5.方程1)42sin(322=+-παy x 表示椭圆，那么α的取值范围是〔 〕 Ａ.838παπ≤≤-Ｂ.k k k (838ππαππ+<<-∈Ｚ〕 Ｃ.838παπ<<- Ｄ. k k k (83282ππαππ+<<-∈Ｚ〕 参考答案：1.A 2.C 3.A4.1353622=+x y 5. Ｂ〔五〕、小结 ：本节课学习了椭圆的定义及标准方程,应注意以下几点: ①椭圆的定义中,022>>c a ； ②椭圆的标准方程中,焦点的位置看x ,y 的分母大小来确定； ③a 、b 、c 的几何意义〔六〕、课后作业：1．判断以下方程是否表上椭圆，假设是，求出c b a ,,的值①12222=+y x ；②12422=+y x ；③12422=-y x ；④9422=+x y 答案：①表示园；②是椭圆2,2,2===c b a ；③不是椭圆〔是双曲线〕；④369422=+x y 可以表示为1322222=+y x ，是椭圆，5,2,3===c b a2 椭圆1916=+的焦距是 ，焦点坐标为 ；假设CD 为过左焦点1F 的弦，那么CD F 2∆的周长为 答案：4);0,7(),0,7(;72221=-=a F F c3． 方程1422=+ky x 的曲线是焦点在y 上的椭圆 ，求k 的取值范围 答案：40<<k4 化简方程：10)3()3(2222=-++++y x y x 答案：1251622=+y x 5 椭圆13610022=+y x 上一点P 到焦点F 1的距离等于6，那么点P 到另一个焦点F 2的距离是 答案：46 动点P 到两定点1F (-4,0)，2F (4,0)的距离的和是8，那么动点P 的轨迹为 _______答案：是线段21F F ，即)44(0≤≤-=x y五、教后反思：第二课时3.1.1椭圆及其标准方程〔二〕一、教学目标：熟练掌握椭圆的两个标准方程 二、教学重点：两种椭圆标准方程的应用 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 (一)、复习： 1、椭圆定义：平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数〔大于||21F F 〕的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距2、椭圆的标准方程 〔二〕、引入新课例1、B 、C 是两个定点，∣BC ∣=6，且△ABC 的周长等于16，求顶点A 的轨迹方程.分析：在解析几何里，求符合某种条件的点的轨迹方程，要建立适当的坐标系，而选择坐标系的原那么，通常欲使得到的曲线方程形式简单.在右图中，由△ABC 的周长等于16，∣BC ∣=6可知，点A 到B 、C 两点的距离之和是常数，即∣AB ∣+∣AC ∣=16－6=10，因此，点A 的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，据此可建立坐标系并画出草图〔如图〕解：如右图，建立坐标系，使x 轴经过点B 、C ，原点O 与BC 的中点重合.由∣AB ∣+∣AC ∣+∣BC ∣=16，∣BC ∣=6，有∣AB ∣+∣AC ∣=10，即点A 的轨迹是椭圆，且 2c =6, 2a =16－6=10 ∴c =3, a =5, b 2=52－32=16但当点A 在直线BC 上，即y =0时，A 、B 、C 三点不能构成三角形，所以点A 的轨迹方程是)0(1162522≠=+y y x 说明：①求出曲线后，要注意检查一下方程的曲线上的点是否都符合题意，如果有不符合题意的点，应在所得方程后注明限制条件；②例1要求学生对椭圆的定义比较熟悉，这样可以在求曲线轨迹方程时，简化求解步骤，快速准确得到所求的轨迹方程，并且在课堂练习中对这点予以强调. 例2、 求适合以下条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点坐标分别是(-3，0)，(3，0)，椭圆经过点(5，0).(2)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，-5)，椭圆上一点P 到两焦点的距离和为26. 解：(1)∵椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为：)0(12222>>=+b a by a x∵100)35(0)35(222=+-+++=a ，2c =6.∴3,5==c a∴163522222=-=-=c a b∴所求椭圆的方程为：1162522=+y x . (2)∵椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为)0(12222>>=+b a b x a y . ∴.144222=-=c a b∴所求椭圆方程为：114416922=+x y 例3、 椭圆经过两点〔)5,3()25,23与-，求椭圆的标准方程解：设椭圆的标准方程),0,0(122n m n m ny m x ≠>>=+ 那么有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+-1)5()3(1)25()23(2222n mnm ，解得 ,6==n m 所以，所求椭圆的标准方程为10622=+y x 例4、B ，C 是两个定点，｜BC ｜＝6，且ABC ∆的周长等于16，求顶点A 的轨迹方程解：以BC 所在直线为x 轴，BC 中垂线为y 轴建立直角坐标系，设顶点),(y x A ，根据条件得|AB|+|AC|=10再根据椭圆定义得,3,5===b c a所以顶点A 的轨迹方程为1162522=+y x 〔y ≠0〕〔特别强调检验〕 〔三〕、课堂练习：课本P65页1、2、3补充题：写出适合以下条件的椭圆的标准方程:(口答)(1)a=4,b=3,焦点在x 轴；(2)a=5,c=2,焦点在y 轴上.〔答案：19y 16x 22=+；121x 25y 22=+〕 (2)三角形ΔABC 的一边∠长为6,周长为16,求顶点A 的轨迹方程解：以BC 边为x 轴，BC 线段的中垂线为y 轴建立直角坐标系，那么A 点的轨迹是椭圆，其方程为：116y 25x 22=+ 假设以BC 边为y 轴，BC 线段的中垂线为x 轴建立直角坐标系，那么A 点的轨迹是椭圆，其方程为：125y 16x 22=+ 〔四〕、小结：本节课我们学习了椭圆的标准方程的简单应用；①求出曲线后，要注意检查一下方程的曲线上的点是否都符合题意，如果有不符合题意的点，应在所得方程后注明限制条件；②例1要求学生对椭圆的定义比较熟悉，这样可以在求曲线轨迹方程时，简化求解步骤，快速准确得到所求的轨迹方程，并且在课堂练习中对这点予以强调.注意待定系数法的运用。
(教师用书)高中数学 第三章 圆锥曲线与方程教案 北师大版选修2-1
第三章圆锥曲线与方程§1椭圆1．1 椭圆及其标准方程(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)掌握椭圆的定义．(2)会推导椭圆的标准方程．(3)初步掌握求椭圆标准方程的方法．2．过程与方法通过椭圆的定义及标准方程的推导，进一步掌握求曲线方程的方法．3．情感、态度与价值观帮助学生建立运动、变化的观点，培养其探索能力．二、教学重点难点重点：椭圆的定义和标准方程．难点：椭圆的标准方程的推导．在教学中，可采用从感性到理性，通过抽象概括，形成概念．通过椭圆的实例，使学生对椭圆有一个直观的了解；再让学生自己举例、动手操作“定性”地画出椭圆和探究归纳定义；最后通过坐标法“定量”地描述椭圆，从而化解重点．在讲解中精心设问，通过问题给学生提示，突破难点．(教师用书独具)●教学建议为了使学生更主动地参与到课堂教学中，体现以学生为主体的探究性学习和因材施教的原则，故采用自主探究法．按照“创设情境——自主探究——建立模型——拓展应用”的模式来组织教学．在教学过程中，要充分调动学生的积极性和主动性，为学生提供自主学习的时间和空间．让他们经历椭圆图形的形成过程、定义的归纳概括过程、方程的推导化简过程，主动地获取知识．●教学流程设置情境引入课题 分析椭圆定义． 椭圆的标准方程：(1)自主建系探求椭圆标准方程(2)交流讨论，明确椭圆标准方程的含义(3)讨论椭圆标准方程的两种形式 学以致用：椭圆定义及标准方程的应用.将绳子的两端分别固定在两个定点上，用笔尖勾直绳子，使笔尖移动．1．当两定点间的距离等于绳长时，笔尖的轨迹是什么？【提示】以两个定点为端点的线段．2．当两定点间的距离小于绳长时，笔尖的轨迹是什么？【提示】椭圆．椭圆的定义平面内到两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的集合叫作椭圆，这两个定点F 1，F 2叫作椭圆的焦点，两个焦点F 1，F 2间的距离叫作椭圆的焦距．1．求圆的标准方程的一般步骤是什么？【提示】 建系、设点、列式、化简、证明．2．类比圆的标准方程的推导方法，可推导椭圆的标准方程，在推导时如何列式？ 【提示】 先探求动点的几何性质，再将其转化为代数形式． 椭圆的标准方程已知椭圆a 2＋b2＝1(a >b >0)，F 1，F 2是它的焦点，过F 1的直线AB 与椭圆交于A 、B 两点，求△ABF 2的周长．【思路探究】 (1)画出图形．(2)借助图形，分析已知量与△ABF 2周长的联系． 【自主解答】∵|AF 1|＋|AF 2|＝2a ， |BF 1|＋|BF 2|＝2a ， △ABF 2的周长＝|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝2a ＋2a ＝4a ， ∴△ABF 2的周长为4a .由椭圆定义可知，椭圆上任一点到椭圆的两个焦点距离之和为定值，所以椭圆定义有以下应用：(1)实现两个焦点半径之间的相互转化；(2)将两个焦点半径之和看成一个整体，求解定值问题．椭圆x 225＋y 29＝1上一点M 到焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，O 是椭圆中心，则|ON |的值是( )A ．2B ．4C ．8D ．32【解析】 |ON |＝12|MF 2|＝12(2³5－2)＝4，故选B ．【答案】 B(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)． (2)焦点在y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)．【思路探究】 求椭圆的标准方程时，要先判断焦点位置，确定出符合题意的椭圆的标准方程的形式，最后由条件确定出a 和b 即可．【自主解答】 (1)由于椭圆的焦点在x 轴上，∴设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．∴2a ＝ 5＋4 2＋ 5－4 2＝10，∴a ＝5.又c ＝4，∴b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9. 故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.(2)由于椭圆的焦点在y 轴上，∴设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由于椭圆经过点(0,2)和(1,0)，∴⎩⎨⎧4a2＋0b 2＝1 0a 2＋1b2＝1⇒{ a 2＝4， b 2＝1.故所求椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1.1．椭圆的标准方程在形式上可统一为Ax 2＋By 2＝1，其中A 、B 是不等的正常数． 2．运用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤：(1)定位：确定椭圆的焦点在x 轴还是y 轴上，从而设出相应的标准方程的形式． (2)定量：根据已知条件，建立关于a 、b 、c 的方程组，求出a 2、b 2，从而写出椭圆的标准方程．求经过点P 1(6，1)，P 2(－3，－2)的椭圆的标准方程． 【解】 设椭圆的方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0)，由已知得{ 6A ＋B ＝1， 3A ＋2B ＝1，解得A ＝19，B ＝13.∴所求的椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1.已知方程|m |－1＋2－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是( ) A ．m <2 B ．1<m <2 C ．m <－1或1<m <2 D ．m <－1或1<m <32【思路探究】 由椭圆标准方程的特征写出不等式组，求解．【自主解答】 依题意应有{ |m |－1>0， 2－m >0， |m |－1<2－m ， 解得m <－1或1<m <32.故选D ．对于方程x 2m ＋y 2n ＝1(m ＞0，n ＞0)，当m >n >0时，方程表示焦点在x 轴上的椭圆；当n ＞m ＞0时，方程表示焦点在y 轴上的椭圆．特别地，当n ＝m ＞0时，方程表示圆心在原点的圆．已知椭圆方程为x 29－k ＋y 2k －1＝1，求椭圆分别满足下列条件时，k 的取值范围：(1)焦点在x 轴上； (2)焦点在y 轴上．【解】 (1)∵椭圆的焦点在x 轴上， ∴{ 9－k ＞0， k －1＞0， 9－k ＞k －1， 解得1＜k ＜5.故k 的取值范围是(1,5)． (2)∵椭圆的焦点在y 轴上∴{ 9－k ＞0， k －1＞0， 9－k ＜k －1， 解得5＜k ＜9. 故k 的取值范围是(5,9).在平面直角坐标系中，A (4,0)，B (－4,0)，且sin A ＋sin B sin C ＝54，则△ABC的顶点C 的轨迹方程为________．【错解】 由正弦定理，得 |BC |＋|AC ||AB |＝54，又|AB |＝8，∴|BC |＋|AC |＝10.由椭圆定义可知，点C 的轨迹是以点A 、B 为焦点的椭圆，又∵a ＝12³10＝5，c ＝12³8＝4，∴b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9. ∴点C 的轨迹方程为x 225＋y 29＝1.【答案】x 225＋y 29＝1 【错因分析】 本题解答忽略了隐含条件——点A 、B 、C 不共线．【防范措施】 求轨迹方程时，要检验方程的解是否都满足题意，否则，需对x 或y 加以限制．【正解】 由正弦定理，得 |BC |＋|AC ||AB |＝54，又|AB |＝8，∴|BC |＋|AC |＝10.由椭圆定义可知，点C 的轨迹是以点A 、B 为焦点的椭圆． 又∵a ＝12³10＝5，c ＝12³8＝4，∴b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9.又∵点A 、B 、C 不共线， ∴点C 的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)．【答案】x 225＋y 29＝1(y ≠0)1．平面内一动点与两个定点F 1、F 2的距离和等于常数2a ，当2a >|F 1F 2|时，动点的轨迹为椭圆；当2a ＝|F 1F 2|时，动点的轨迹为线段F 1F 2；当2a <|F 1F 2|时，动点无轨迹．2．求椭圆的标准方程，要先进行定“位”，即确定焦点的位置；其次是进行定“量”，即求a 、b 的大小．a 、b 、c 满足的关系有①a 2＝b 2＋c 2；②a >b >0；③a >c >0.1．已知椭圆x 216＋y 27＝1上一点P ，它到左焦点F 1的距离为2，则它到右焦点的距离为( )A ．4B ．6C ．30D ．23【解析】 由定义|PF 1|＋|PF 2|＝8，知|PF 2|＝6. 【答案】 B2．若椭圆的两焦点为(－2,0)，(2,0)，且该椭圆过点(52，－32)，则该椭圆的方程是( )A.y 28＋x 24＝1B ．y 210＋x 26＝1C.y 24＋x 28＝1 D ．y 26＋x 210＝1 【解析】 设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，则有⎩⎨⎧254a 2＋94b2＝1， a 2＝b 2＋4，∴{ a 2＝10， b 2＝6.故选D ．【答案】 D 3．若方程x 2k －4＋y 29－k＝1表示椭圆，则k 的取值范围是________．【解析】 由题意得{ k －4＞0， 9－k ＞0， k －4≠9－k ， 解得：4＜k ＜132或132<k <9.【答案】 (4，132)∪(132，9)4．已知动圆P 过定点A (－3,0)，且与定圆B ：(x －3)2＋y 2＝64相内切，求动圆P 圆心的轨迹方程．【解】 如图所示，设动圆P 和定圆B 内切于点M ，动圆P 的圆心P 到两定点A (－3,0)，B (3,0)的距离之和恰好等于圆B 的半径，即|PA |＋|PB |＝|PM |＋|PB |＝|BM |＝8，且|AB |＝6. ∴点P 的轨迹是以A ，B 为焦点，2a ＝8，焦距为6的椭圆．又b 2＝a 2－c 2＝42－32＝7，∴点P 的轨迹方程为x 216＋y 27＝1.一、选择题1．(2013²呼和浩特高二检测)椭圆x 225＋y 2169＝1的焦点坐标为( )A ．(5,0)，(－5,0)B ．(0,5)，(0，－5)C ．(0,12)，(0，－12)D ．(12,0)，(－12,0)【解析】 由c 2＝a 2－b 2求出c 的值．因为169＞25，所以焦点在y 轴上．因为c 2＝169－25＝144，所以c ＝12，所以焦点坐标为(0,12)，(0，－12)．故选C.【答案】 C2．已知椭圆的两个焦点的坐标分别是(0，－3)和(0,3)，且椭圆经过点(0,4)，则该椭圆的标准方程是( )A.x 216＋y 27＝1 B ．y 216＋x 27＝1 C.x 225＋y 216＝1 D ．y 225＋x 29＝1 【解析】 ∵椭圆的焦点在y 轴上，∴可设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．∵2a＝ 4＋3 2＋ 4－3 2＝8，∴a ＝4，又c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7，故所求的椭圆的标准方程为y 216＋x 27＝1.【答案】 B3．(2013²福州高二检测)已知A (0，－1)、B (0,1)两点，△ABC 的周长为6，则△ABC 的顶点C 的轨迹方程是( )A.x 24＋y 23＝1(x ≠±2) B．y 24＋x 23＝1(y ≠±2) C.x 24＋y 23＝1(x ≠0) D．y 24＋x 23＝1(y ≠0) 【解析】 ∵2c ＝|AB |＝2，∴c ＝1， ∴|CA |＋|CB |＝6－2＝4＝2a ，∴顶点C 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆(A 、B 、C 不共线)． 因此，顶点C 的轨迹方程y 24＋x 23＝1(y ≠±2)．【答案】 B4．如果方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B ．(0,2)C ．(1，＋∞) D．(0,1)【解析】 椭圆方程可化为x 22＋y 22k＝1，依题意2k>2，∴0<k <1. 【答案】 D5．已知F 1、F 2是椭圆x 216＋y 29＝1的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点．在△AF 1B 中，若其中两边之和是10，则第三边的长度为( )A ．6B ．5C ．4D ．3【解析】 根据椭圆定义，知△AF 1B 的周长为4a ＝16， 故所求的第三边的长度为16－10＝6. 【答案】 A 二、填空题6．以椭圆9x 2＋5y 2＝45的焦点为焦点，且经过点M (2，6)的椭圆的标准方程为______________．【解析】 9x 2＋5y 2＝45可化为y 29＋x 25＝1，故焦点为F 1(0,2)，F 2(0，－2)． 设所求椭圆的方程为y 2λ＋4＋x 2λ＝1(λ＞0)， 将x ＝2，y ＝6代入，得6λ＋4＋4λ＝1，解得λ＝8，λ＝－2(舍去)． 故所求椭圆方程为y 212＋x 28＝1.【答案】y 212＋x 28＝1 7．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，则∠F 1PF 2＝________.【解析】 由题意：a 2＝9，∴a ＝3，c 2＝a 2－b 2＝9－2＝7，∴c ＝7. ∵|PF 1|＝4，∴|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2. ∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22³|PF 1||PF 2|＝42＋22－4³ 7 22³4³2＝－12.∴∠F 1PF 2＝120°. 【答案】 120°8．椭圆5x 2－ky 2＝5的一个焦点是(0,2)，那么k ＝________.【解析】 椭圆方程可化为x 2＋y 2－5k＝1，依题意－5k －1＝4，解得k ＝－1.【答案】 －1 三、解答题9．求经过两点P 1(13，13)，P 2(0，12)的椭圆的标准方程．【解】 法一 ①当焦点在x 轴上时，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 132a 2＋ 13 2b 2＝1， －122b 2＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝15，b 2＝14.因为15<14，所以不符合题意，舍去．②当焦点在y 轴上时，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧132a2＋ 13 2b 2＝1， －122a 2＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝14，b 2＝15.因为15<14，故所求椭圆的标准方程为y 214＋x215＝1.法二 设所求椭圆的方程为Ax 2＋By 2＝1(其中A >0，B >0，A ≠B )．依题意得⎩⎨⎧A 13 2＋B 13 2＝1， B －12 2＝1，解得{ A ＝5， B ＝4，即5x 2＋4y 2＝1，所以，所求椭圆的标准方程为y 214＋x 215＝1.10.图3－1－1如图3－1－1所示，已知椭圆的两焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，P 为椭圆上一点，且2|F 1F 2|＝|PF 1|＋|PF 2|.(1)求此椭圆的方程；(2)若点P 在第二象限，∠F 2F 1P ＝120°，求△PF 1F 2的面积． 【解】 (1)由已知得c ＝1，|F 1F 2|＝2， 所以4＝|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以a ＝2. 所以b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3. 所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)在△PF 1F 2中，|PF 2|＝2a －|PF 1|＝4－|PF 1|. 由余弦定理得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1|²|F 1F 2|²cos 120°， 即(4－|PF 1|)2＝|PF 1|2＋4＋2|PF 1|， 所以|PF 1|＝65.所以S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|²|PF 1|²sin 120°＝12³2³65³32＝35 3.图3－1－211．(2013²福州高二检测)如图3－1－2，已知定点A (－2,0)，动点B 是圆F ：(x －2)2＋y 2＝64(F 为圆心)上的一点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，求动点P 的轨迹方程．【解】 连接PA ，圆F ：(x －2)2＋y 2＝64的圆心F (2,0)，半径R ＝8. ∵线段AB 的垂直平分线交BF 于点P ， ∴PA ＝PB ．∴|PA |＋|PF |＝|PB |＋|PF |＝|BF |＝R ＝8＞|AF |＝4. 由定义知点P 的轨迹是一椭圆． 则依题意有2a ＝8，c ＝2， ∴a ＝4，b 2＝12.∴动点P 的轨迹方程为x 216＋y 212＝1.(教师用书独具)如图所示，点P 是椭圆y 25＋x 24＝1上的一点，F 1和F 2是焦点，且∠F 1PF 2＝30°，求△F 1PF 2的面积．【思路探究】 运用整体思想直接求出|PF 1|²|PF 2|，无需单独求，以减少运算量，另外若条件中出现了椭圆上的点，则应考虑椭圆的定义．【自主解答】 在椭圆y 25＋x 24＝1中，a ＝5，b ＝2.∴c ＝a 2－b 2＝1. 又∵点P 在椭圆上， ∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝2 5.①由余弦定理知：|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|²|PF 2|cos 30°＝|F 1F 2|2＝(2c )2＝4.② ①式两边平方得：|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|²|PF 2|＝20，③ ③式－②式得(2＋3)|PF 1|²|PF 2|＝16， ∴|PF 1|²|PF 2|＝16(2－3)．∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|²|PF 2|sin 30°＝8－4 3.1．一般地，将椭圆上一点与椭圆的两个焦点所构成的三角形称为焦点三角形，在求解涉及焦点三角形问题时，经常利用①椭圆的定义；②正(余)弦定理；③三角形的面积公式来处理．2．对于椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点P 在椭圆上，则S △PF 1F 2＝b 2tan ∠F 1PF 22.椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，则|PF 2|与∠F 1PF 2的大小分别为______和________．【解析】 由题意知，|PF 1|＋|PF 2|＝6，又|PF 1|＝4， ∴|PF 2|＝2.在△PF 1F 2中，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝－12.∴∠F 1PF 2＝120° 【答案】 2 120°1.2 椭圆的简单性质(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能：掌握椭圆的简单几何性质，并能利用它们解决简单的问题．2．过程与方法：进一步体会数形结合的思想，掌握利用方程研究曲线性质的基本方法．3．情感、态度与价值观：感受解析法研究问题的思想，感知椭圆曲线的对称美，培养学生的学习兴趣．二、教学重点与难点重点：椭圆的简单性质．难点：性质的应用．教学时要抓知识选择的切入点，从学生原有的认识水平和所需知识特点入手，引导学生从椭圆标准方程、定义，不断地观察分析总结椭圆的简单性质．通过例题与练习进一步深化其性质的应用．(教师用书独具)●教学建议本节内容安排在椭圆及其标准方程之后，是对椭圆的进一步认识和完善，教学时先引导学生分析得出如下结论：变量x，y的取值范围↔曲线的范围；方程的对称性↔曲线的对称性；x＝0或y＝0时方程的解↔曲线的顶点；待证数a，b，c↔曲线的几何形状．引导学生观察、分析、归纳认识椭圆的简单性质． ●教学流程创设问题情境，提出问题⇒通过回答问题，认识、理解椭圆的简单性质⇒通过例1及变式训练，使学生掌握由椭圆标准方程求其简单性质⇒通过例2及变式训练，使学生掌握椭圆性质的简单应用⇒完成例3及变式训练，使学生掌握椭圆离心率的求法⇒归纳整理，进行课堂小结，从整体认识所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识已知曲线C 的方程为f (x ，y )＝0.1．若f (－x ，y )＝0与f (x ，y )＝0是同解方程，则曲线C 关于什么对称？ 【提示】 x 轴．2．若f (x ，－y )＝0与f (x ，y )＝0是同解方程，则曲线C 关于什么对称？ 【提示】 y 轴．3．若f (－x ，－y )＝0与f (x ，y )＝0是同解方程，则曲线C 关于什么对称？ 【提示】 坐标原点．4．在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)中，x ，y 的取值范围是什么？【提示】 由x 2a 2＋y 2b 2＝1，得x 2a2≤1，∴－a ≤x≤a .同理－b ≤y ≤B ．椭圆的几何性质用描点法画出它的图像．【思路探究】【自主解答】 把已知方程化成椭圆的标准方程x 252＋y 242＝1，于是a ＝5，b ＝4，c ＝25－16＝3.因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a ＝10,2b ＝8，离心率e ＝c a ＝35，两个焦点坐标分别是F 1(－3,0)，F 2(3,0)，四个顶点的坐标分别是A 1(－5,0)，A 2(5,0)，B 1(0，－4)，B 2(0,4)．为画此椭圆，将椭圆方程变形为y ＝±4525－x 2(－5≤x ≤5)． 由y ＝4525－x 2，在0≤x ≤5的范围内计算出一些点的坐标(x ，y )，列表如下：(如图所示)．求椭圆的性质时，应把椭圆化为标准方程，注意分清焦点的位置，这样便于直观地写出a ，b 的值 ，进而求出c ，求出椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标等几何性质．已知函数f (x )＝1336－4x 2.(1)画出函数f (x )的图像；(2)是否存在两个定点，使函数f (x )图像任意一点到这两个定点距离之和为定值？若存在，求出这两个定点的坐标，若不存在说明理由．【解】 (1)由y ＝1336－4x 2，得x 29＋y 24＝1(y ≥0)．∴函数f (x )的图像是椭圆的一部分，如图．(2)由椭圆的定义可知，存在点F 1(－5，0)，F 2(5，0)，使函数f (x )图像上任一点到这两个定点距离之和为定值，定值为6.(1)以坐标轴为对称轴，且过点(5,0)，离心率e ＝255的椭圆的方程是________．(2)若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 是椭圆上任一点，则O P →²F P →的最大值为________．【思路探究】 (1)先定位：焦点的位置，再定量：a 、b 的取值． (2)建立函数关系，将其转化为求函数的最大值． 【自主解答】 (1)当焦点在x 轴上时， ∵a ＝5，e ＝c a ＝255，∴c ＝25，∴b 2＝a 2－c 2＝25－20＝5. ∴椭圆方程为x 225＋y 25＝1. 当焦点在y 轴上时，∵b ＝5，e ＝c a ＝255，∴a 2－b 2a ＝255，∴a 2＝125.∴椭圆的方程为x 225＋y 2125＝1.(2)设P (x ，y )，则x 24＋y 23＝1.∴y 2＝3－34x 2，∴O P →²F P →＝(x ，y )²(x －1，y )＝x (x －1)＋y 2＝x 2－x ＋3－34x 2＝14x 2－x ＋3＝14(x －2)2＋2.又∵－2≤x ≤2，∴当x ＝－2时，O P →²F P →取最大值，其最大值为6.【答案】 (1)x 225＋y 25＝1或x 225＋y 2125＝1 (2)61．注意到点(5,0)是顶点，简化求解过程，在分析题目时，要注意挖掘题目的隐含条件． 2．处理解析几何中的最值问题，要树立函数思想，将其转化为函数的最值问题求解，但要注意函数定义域的确定．(1)离心率e ＝35，焦距为12的椭圆的标准方程为________．(2)已知椭圆方程为x 22＋y 2＝1，点P (x 0，y 0)在椭圆上，则x 20＋y 20的最小值为________．【解析】 (1)由e ＝35，c ＝6，得a ＝10，∴b 2＝a 2－c 2＝102－62＝64.当焦点在x 轴上时，椭圆方程为x 2100＋y 264＝1；当焦点在y 轴上时，椭圆方程为x 264＋y 2100＝1.(2)∵点P 在椭圆上，∴x 202＋y 20＝1.∴x 2＋y 20＝x 0＋1－x 202＝x 20'2＋1，又x 0∈[－2，2]∴当x 0＝0时，x 20＋y 20取最小值，其最小值为1. 【答案】 (1)x 2100＋y 264＝1或x 264＋y 2100＝1(2)1图3－1－3椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，A ，B 是椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且PF 1⊥x 轴，PF 2∥AB ，求此椭圆的离心率．【思路探究】 求椭圆的离心率就是设法建立a 、c 的关系式，此题可借助△PF 1F 2∽△AOB 以及a 2＝c 2＋b 2来建立a 、c 的关系．【自主解答】 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，则有F 1(－c,0)，F 2(c,0)，A (0，b )，B (a,0)． 直线PF 1的方程为x ＝－c ，代入方程x 2a ＋y 2b ＝1，得y ＝±b 2a，∴P (－c ，b 2a)．又PF 2∥AB ，∴△PF 1F 2∽△AOB ．∴|PF 1||F 1F 2|＝|AO ||OB |，∴b 22ac ＝b a ，∴b ＝2c . ∴b 2＝4c 2， ∴a 2－c 2＝4c 2，∴c 2a 2＝15. ∴e 2＝15，即e ＝55，所以椭圆的离心率为55.1．解答本题的关键是利用三角形相似建立关于a 、b 、c 的方程． 2．求椭圆的离心率通常有两种方法：(1)若给定椭圆的方程，则根据焦点位置先求a 2、b 2，再求出a 、c 的值，利用公式e ＝c a直接求解；(2)若椭圆的方程未知，则根据条件建立a 、b 、c 之间的关系式，化为关于a 、c 的齐次方程，再将方程两边同除以a 的最高次幂，得到e 的方程，解方程求得e .已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点P ，且B F →＝2F D →.求椭圆C 的离心率．【解】 不妨设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，其中F 是左焦点，B 是上顶点，则F (－c,0)，B (0，b )，设D (x ，y )则∴(－c ，－b )＝2(x ＋c ，y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧2 x ＋c ＝－c 2y ＝－b解得x ＝－32c ，y ＝－b 2.又∵点P 在椭圆C 上． ∴ －32c 2a ＋ －b 22b＝1.整理得c 2a 2＝13，∴e ＝c a＝33.忽略对椭圆焦点位置的讨论致误已知椭圆x 25＋y 2k ＝1的离心率e ＝105，则实数k 的值为( )A ．3B ．3或253C. 5 D ．15或153【错解】 由椭圆方程x 25＋y 2k ＝1可知a 2＝5，b 2＝k >0，则c 2＝a 2－b 2＝5－k ，而e 2＝c 2a 2＝5－k 5＝(105)2，解之得k ＝3，因此选A. 【答案】 A【错因分析】 思考不严密，忽略了焦点在y 轴上的可能，导致漏解．【防范措施】 由椭圆的标准方程确定焦点位置时，要看方程中分母的大小．当分母的大小不确定时，要对分母的大小进行讨论．【正解】 (1)当焦点在x 轴上时，由椭圆方程x 25＋y 2k ＝1，可知a 2＝5，b 2＝k >0，则c2＝a 2－b 2＝5－k ，而e 2＝c 2a 2＝5－k 5＝(105)2.解之得k ＝3.(2)当焦点在y 轴上时，由椭圆方程x 25＋y 2k ＝1，可知a 2＝k >0，b 2＝5，则c 2＝a 2－b 2＝k－5，而e 2＝c 2a ＝55－k ＝(105)2.解之得k ＝253综上，符合条件的实数k 值为3或253，因此选B ．【答案】 B1．在椭圆中有三组概念容易混淆，长轴长(2a )和长半轴长(a )，短轴长(2b )和短半轴长(b )，焦距(2c )和半焦距(c )．如果对这些概念不加区别，在解题时就容易出错．2．求椭圆的离心率或范围时，要注意0<e <1，不适合这个范围的要舍去．3．当椭圆的焦点在两个轴上都可能时，并不一定是交换x ，y 而得到另一方程.1．已知点(5,3)在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1上，则( )A ．(－5,3)不在椭圆上B ．(－5，－3)不在椭圆上C ．(5，－3)在椭圆上D ．(3,5)在椭圆上【解析】 由椭圆的对称性可知，点(5，－3)在椭圆上． 【答案】 C2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1有两个顶点在直线x ＋2y ＝2上，则此椭圆的焦点坐标是( )A ．(±3，0)B ．(0，±3)C ．(±5，0)D ．(0，±5)【解析】 直线x ＋2y ＝2与坐标轴的交点为椭圆的顶点， 又∵椭圆的焦点在x 轴上， ∴a ＝2，b ＝1， ∴c ＝a 2－b 2＝ 3.∴椭圆的焦点坐标是(±3，0)． 【答案】 A3．(2013²陕西高考)双曲线x 216－y 2m ＝1的离心率为54，则m 等于________．【解析】 x 216－y 2m＝1中，a ＝4，b ＝m ，∴c ＝16＋m .而e ＝54，∴ 16＋m 4＝54，∴m ＝9.【答案】 94．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，短轴一个端点到右焦点的距离为2.(1)求该椭圆的方程；(2)若P 是该椭圆上的一个动点，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，求PF 1→²PF 2→的最大值与最小值．【解】 (1)设椭圆的半焦距为c ， 由题意c a ＝32，且a ＝2，得c ＝3，b ＝1， ∴所求椭圆方程为x 24＋y 2＝1.(2)设P (x ，y )，由(1)知F 1(－3，0)，F 2(3，0)，则PF 1→²PF 2→＝(－3－x ，－y )²(3－x ，－y )＝x 2＋y 2－3＝x 2＋(1－x 24)－3＝34x 2－2，∵x ∈[－2,2]，∴当x ＝0，即点P 为椭圆短轴端点时，PF 1→²PF 2→有最小值－2；当x ＝±2，即点P 为椭圆长轴端点时，PF 1→²PF 2→有最大值1.一、选择题1．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( ) A.45 B ．35C.25 D ．15【解析】 由题意知，2a ＋2c ＝2³2b ，即a ＋c ＝2B ． ∴a 2＋2ac ＋c 2＝4b 2，又∵b 2＝a 2－c 2， ∴3a 2－2ac －5c 2＝0， ∴5e 2＋2e －3＝0 解得e ＝35或－1(舍去)．【答案】 B2．若椭圆的两个焦点F 1，F 2与短轴的一个端点B 构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( )A.12 B ．32 C.34 D ．64【解析】 由△BF 1F 2是正三角形得，b c＝tan 60°＝ 3. ∴b ＝3c . ∴e ＝c a＝cb 2＋c2＝c3c 2＋c 2＝12. 【答案】 A3．若点A (m,1)在椭圆x 24＋y 22＝1的内部，则m 的取值范围是( )A ．－2<m < 2B ．m <－2或m > 2C ．－2<m <2D ．－1<m <1【解析】 由点A 在椭圆x 24＋y 22＝1的内部．m 24＋122<1，整理得m 2<2. 解得－2<m < 2. 【答案】 A4．中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为32，且过点(2,0)的椭圆方程是( ) A.x 24＋y 2＝1 B ．x 24＋y 2＝1或x 2＋y 24＝1 C.x 24＋y 216＝1 D ．x 24＋y 2＝1或x 24＋y 216＝1 【解析】 若焦点在x 轴上，则a ＝2. 又e ＝32，∴c ＝ 3. ∴b 2＝a 2－c 2＝1.∴椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.若焦点在y 轴上，则b ＝2. 又e ＝32，∴b 2a 2＝1－34＝14.∴a 2＝4b 2＝16.∴椭圆的方程为x 24＋y 216＝1.【答案】 D5．设F 1，F 2是椭圆C ：x 28＋y 24＝1的焦点，在曲线C 上满足PF 1→²PF 2→＝0的点P 的个数为( )A ．0B ．2C ．3D ．4【解析】 ∵PF 1→²PF 2→＝0，∴PF 1⊥PF 2.∴点P 即为以线段F 1F 2为直径的圆与椭圆的交点，且半径为c ＝8－4＝2. 又b ＝2，∴点P 为短轴的端点，有2个． 【答案】 B 二、填空题6．若椭圆x 29＋y 2m ＋9＝1的离心率为12，则m 的值等于________．【解析】 当m >0时，由mm ＋9＝14，得m ＝3；当m <0时，由－m 9＝14，得m ＝－94. 【答案】 3或－947．椭圆(1－m )x 2－my 2＝1的长轴长为________． 【解析】 椭圆标准方程为x 211－m ＋y 2－1m＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＞0，－m ＞0.∴m ＜0.此时1－m ＞－m ＞0，∴11－m ＜－1m .∴a 2＝－1m ，b 2＝11－m ，2a ＝2－1m ＝－2－mm.【答案】 －2－mm8．(2013²福建高考)椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．【解析】 已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)， 直线y ＝3(x ＋c )过点F 1，且斜率为3， ∴倾斜角∠MF 1F 2＝60°. ∵∠MF 2F 1＝12∠MF 1F 2＝30°，∴∠F 1MF 2＝90°，∴|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c . 由椭圆定义知|MF 1|＋|MF 2|＝c ＋3c ＝2a ， ∴离心率e ＝c a ＝21＋3＝3－1.【答案】 3－1三、解答题9．求经过点(2，－3)且与椭圆9x 2＋4y 2＝36有共同焦点的椭圆方程． 【解】 椭圆9x 2＋4y 2＝36的焦点为(0，－5)与(0，5)． 则设所求椭圆的方程为x 2λ＋y 2λ＋5＝1(λ>0)．又椭圆过点(2，－3)，∴4λ＋9λ＋5＝1，解得λ＝10或λ＝－2(舍去)． ∴所求椭圆的方程为x 210＋y 215＝1.图3－1－410．如图3－1－4，A 、B 、C 是长轴长为4的椭圆上的三点，点A 是长轴的一个端点，BC 过椭圆的中心，AC →⊥BC →，|BC →|＝2|AC →|，求椭圆的方程．【解】 由题意知A (2,0)，椭圆方程为x 24＋y 2b2＝1.设点C 的坐标为(m ，n )，则点B 的坐标为(－m ，－n )．∵AC →⊥BC →，∴AC →²BC →＝0，即(m －2，n )²(2m,2n )＝0， ∴m 2－2m ＋n 2＝0.( )∵|BC →|＝2|AC →|，∴|CO →|＝|AC →|， 即m 2＋n 2＝ m －2 2＋n 2，∴m ＝1. 将m ＝1代入( )得n ＝1， ∴C (1,1)．将x ＝1，y ＝1代入椭圆方程，得14＋1b 2＝1，∴b 2＝43.故椭圆方程为x 24＋3y 24＝1.11.图3－1－5如图3－1－5，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两焦点为F 1，F 2，若椭圆上存在一点P ，使PF 1⊥PF 2，求椭圆离心率e 的取值范围．【解】 设P (x 0，y 0)，∵F 1(－c,0)，F 2(c,0)， ∴PF 1→＝(－c －x 0，－y 0)，PF 2→＝(c －x 0，－y 0)．∵PF 1⊥PF 2， ∴PF 1→²PF 2→＝0，∴(－c －x 0)(c －x 0)＋(－y 0)(－y 0)＝0， 即x 20＋y 20－c 2＝0.又∵x 20a 2＋y 20b 2＝1，∴y 20＝b 2(1－x 20a 2)，∴x 20＋b 2(1－x 20a2)－c 2＝0，整理得x 2＝a 2 c 2－b 2 c 2＝a 2 2c 2－a 2c 2.∵点P 在椭圆上，∴0≤x 20≤a 2.∴0≤a 2 2c 2－a 2 c 2≤a 2.用椭圆的范围建立a ，b ，c 的不等关系．∴⎩⎪⎨⎪⎧2c 2－a 2≥0，a 2≥c 2.∴12≤e 2≤1. 又∵0<e <1，∴22≤e <1. 即椭圆离心率的取值范围是[22，1)(教师用书独具)已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点为F (－2,0)，且离心率e ＝12.(1)求椭圆C 的方程；(2)设点M (m,0)在椭圆C 的长轴上，点P 是椭圆上任意一点，当|M P →|最小时 ，点P 恰好是椭圆的右顶点，求实数m 的取值范围．【思路探究】 (1)用待定系数法求解；(2)建立|M P →|关于点P (x ，y )横坐标x 的函数，通过讨论该函数取得最小值时m 满足的条件求m 的范围．【自主解答】 (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2，c a ＝12，c ＝2，解得a 2＝16，b 2＝12.所以椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)设P (x ，y )为椭圆上的动点，由于椭圆方程为x 216＋y 212＝1，故－4≤x ≤4.因为|M P →|＝(x －m ，y )，所以|M P →|2＝(x －m )2＋y 2＝(x －m )2＋12(1－x 216)＝14x 2－2mx ＋m 2＋12＝14(x －4m )2＋12－3m 2.因为当|M P →|最小时，点P 恰好是椭圆的右顶点， 即当x ＝4时，|M P →|2取得最小值，而x ∈[－4,4]，故有4m ≥4，解得m ≥1.又点M 在椭圆的长轴上，所以－4≤m ≤4. 故实数m 的取值范围是[1,4]．解决几何量的取值范围问题常用的方法有两种：1．不等式法：根据题意结合图形列出所讨论的几何量适合的不等式(组)，通过解不等式(组)得出几何量的取值范围．2．函数法：把所讨论的几何量表示为有关某个变量的函数；通过讨论函数的值域求几何量的变化范围．提醒：①如果建立的函数是关于斜率k 的函数，要注意考虑斜率不存在的情况； ②如果建立的函数是关于圆锥曲线上点(x ，y )的坐标函数，要注意椭圆的范围．AB 为过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1中心的弦，F (c,0)为椭圆的右焦点，则△AFB 面积的最大值是( )A ．b 2B ．abC ．acD ．bc【解析】 设A (x 0，y 0)，B (－x 0，－y 0)，S △ABF ＝S △OFB ＋S △OFA ＝12c |y 0|＋12c ²|－y 0|＝c ²|y 0|.∵点A 、B 在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1上，∴|y 0|的最大值为B ．∴S △ABF 的最大值为bc .【答案】 D§2抛物线2．1 抛物线及其标准方程(教师用书独具)●三维目标 1．知识与技能 (1)掌握抛物线的定义． (2)会推导抛物线的标准方程．(3)初步掌握确定抛物线的标准方程的方法． 2．过程与方法通过抛物线的定义及标准方程的推导，进一步掌握求曲线方程的方法． 3．情感、态度与价值观感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． 二、教学重点与难点重点：抛物线的定义和标准方程． 难点：抛物线的标准方程的推导．对抛物线定义的教学，要引导学生找出定义中的关键词，并通过“去掉关键词，曲线将发生怎样的变化”的探究活动，深化学生对定义的理解．在探求抛物线标准方程的过程中，要适时，有效地加以引导，如提出这样几个指导性问题：①如何建系？②动点满足的几何条件是什么？③推导过程如何体现简化？并通过交流、讨论、合作学习加以解决．(教师用书独具)●教学建议1．选择恰当的方法引入抛物线的定义：抛物线定义的引入可考虑以下两种方法：一、通过实例引入，二、动手操作引入．2．在抛物线标准方程推导过程中，引导学生进一步领悟解析几何的研究方法．教师要引导学生思考如何建系，与学生共同分析“怎样才能找到较好的建系方式”，让学生体会寻找较好建系方式的意义．与此同时还要强调动点所满足的几何条件，这是求曲线方程的关键．●教学流程设置情境，引入抛物线的定义 分析抛物线定义中的关键，深化对定义的理解 类比椭圆标准方程的推导方法推导抛物线的标准方程 通过例题及其变式，领会抛物线定义及其标准方程的应用方法 反馈矫正归纳总结如图，我们在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF上，在拉锁D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线．(1)曲线上点D到直线EF的距离是什么？(2)曲线上点D到定点C的距离是什么？(3)曲线上的点到直线EF和定点C之间的距离有何关系？【提示】(1)线段DA的长；(2)线段DC的长；(3)相等．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离相等的点的集合叫作抛物线，定点F叫作抛物线的焦点，定直线l叫作抛物线的准线.1．椭圆的标准方程是用什么方法推导的？【提示】直接法．2．求曲线方程时，要建立适当的坐标系，你是怎样理解“适当”的？【提示】使所求的曲线方程简洁．3．求曲线方程时，需要考察动点的几何性质，抛物线上的点所满足的几何条件是什么？【提示】到焦点的距离与到准线的距离相等．抛物线的标准方程分别根据下列条件求抛物线的标准方程： (1)已知抛物线的焦点坐标是F (0，－2)； (2)准线方程为y ＝23；(3)焦点在x 轴负半轴上，焦点到准线的距离是5.【思路探究】 (1)(2)(3)焦点或准线位置确定，方程的形式就确定，求出参数p 即可． 【自主解答】 (1)因为抛物线的焦点在y 轴的负半轴上，且－p2＝－2，则p ＝4，所以，所求抛物线的标准方程为x 2＝－8y .(2)因为抛物线的准线在y 轴正半轴上，且p 2＝23，则p ＝43.所以，所求抛物线的标准方程为x 2＝－83y .(3)由焦点到准线的距离为5，知p ＝5，又焦点在x 轴负半轴上，所以，所求抛物线的标准方程为y 2＝－10x .1．确定抛物线的类型是解决本题的关键．2．抛物线的标准方程只有一个待定系数p ，故求抛物线的标准方程时，应设法建立参数p 的关系式．分别写出适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)准线方程为y ＝－1；(2)焦点在x 轴的正半轴上，焦点到准线的距离是2.【解】 (1)设抛物线的标准方程为x 2＝2py (p ＞0)，且准线方程为y ＝－p 2，则－p2＝－1，p ＝2，故抛物线的标准方程为x 2＝4y .。
选修2 1圆锥曲线导学案
课题:2.1.1椭圆及其标准方程（第 1课时）【学习目标】1能从具体情境中抽象出椭圆的模型; 2、理解椭圆的定义，会求椭圆的标准方程. 【学习重点】1理解椭圆的定义和标准方程; 2、认识椭圆标准方程的特征. 【学法指导】1、带着预习案中问题导学中的问题自主设计预习提纲，通读教材内容，对概念、关键词进行梳理，作好必要的标注和笔记。
2、认真完成基础知识梳理，在“我的疑惑”处填上自己不懂的知识点，在“我的收获”处填写自己对本课自主学习的知识及方法收获。
3、熟记基础知识梳理中的重点知识。
【自主学习】一、问题导学二、知识梳理可以把定义表示为 2.椭圆的标准方程:3.写出适合下列条件的椭圆的标准方程:在椭圆的标准方程中,2 2a 和b 能相等吗?1椭圆的定义：我们把.与两个定点F , , F 2的等于常数（）的点的 轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的，两间的距离叫做椭圆的.用数学符号(1 )当.在X 轴上时，标准方程为 )• .在y 轴上时，标准方程为).（2）参数a,b,c 之间的关系是：①等量关系;②不等关系三、预习自测1.已知 A-3,0 ),B(3,0 ), 动点M 分别满足下列关系，问：M 的轨迹是否存在，若存在，是什么曲线? (1) MA + MB =10 ；(2) MA + MB =6 ； (3) MA + MB =4 .2.已知椭圆的方程如下，写出a, b, c 的值及焦点坐标:2 2⑴斜辭1; (2)2 2X y2 2—+匚=1 ;(3) X +2y =2 .【合作探究】【拓展延伸】已知Fi （-1,0 ）丁2（1,0 ）是椭圆的两个焦点，并且经过点【当堂检测】1.若F 1, F 2分别是椭圆3x 2+5y 2=30的左、右焦点，M 是椭圆上的任一点，且MF j =2 , 则MF 22 .已知椭圆kx 2+y 2 =1的焦点在x 轴上，则k 的取值范围是3.写出适合下列条件的椭圆的标准方程:（1）焦点在x 轴上，焦距等于4，并且经过点P （0,-J 3 ）；(2) a + C =9,a -c =1 .课题：2.1.1椭圆及其标准方程（第 2课时）（1） a=4,b=1，焦点在 x 轴上；（2）a =4,c=G15，焦点在 y 轴上；(3) a =10,c = 6判断下列方程是否表示椭圆，若是，写出a, b, c 及焦点坐标2 2 (1) x+y=1 ；4 42x (2)2+y=1 ；32x (3)2+y4 =1 ； (4)x 22y2 2'=1 ； (5) 2x +3y =1.3\求它的标准方程.9【学习目标】1理解椭圆定义，掌握椭圆的标准方程; 2、会求与椭圆有关的轨迹问题。
第三章 圆锥曲线导教学案 高中数学人教版 选修2—1教案
XX市第一中学高效课堂“导·教·学”三合一案高二年级科目数学选修2-1 第二章圆锥曲线备案设计人XX 审批人（备课组长）XXX 授课时间的直线为x轴，线段是椭圆上任意一点，且椭圆的焦点坐标为到两焦点间距离的和的一半，可借助图形帮助记忆，恰构成一个直角三角形的三条边，a是斜边，cXX市第一中学高效课堂“导·教·学”三合一案高二年级科目数学选修2-1 第二章圆锥曲线备案设计人XX 审批人（备课组长）XXX 授课时间上一动点，点A坐标为(2,0)于点Q，∴|AQ|＝|PQ，∴|PB|＝r. 又∵＝10(大于|AB|)．∴∴b2＝a2－c2＝25－，过点P作x轴的垂线段的坐标为(x0，y0)，则x＝上的动点，点D是P在x轴上的投影，的方程，并判断此曲线的类型．点的坐标为(x P，y P)，．注意题目要求中求轨迹和求轨迹方程的区别．第5、6、7、8题XX市第一中学高效课堂“导·教·学”三合一案高二年级科目数学选修2-1 第二章圆锥曲线备案设计人XX 审批人（备课组长）XXX 授课时间如图)，你能从图中看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？如何用椭圆的标准方程(代数方法)研究你观察到的几何性质？如图，观察不同的椭圆，椭圆的扁平程度不一样，怎样刻画椭圆的扁平程度呢？在椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)中，若保持两个量来刻画椭圆的扁平程度．XX市第一中学高效课堂“导·教·学”三合一案高二年级科目数学选修2-1 第二章圆锥曲线备案设计人XX 审批人（备课组长）XXX 授课时间y29＝1内的两个点，M上的一点，F1、F2是其左、右焦点．已知∠|＋|PF|＝2a.①在XX市第一中学高效课堂“导·教·学”三合一案高二年级科目数学选修2-1 第二章圆锥曲线备案设计人XX 审批人（备课组长）XXX 授课时间是点D到直线EF的距离吗？为什么？点是直角三角形的一条直角边．|DA|＝|DC(l不过F)距离相等的点的集合叫作抛物线．点KF|＝p (p>0)，那么焦点设点：设抛物线上的任一点M(x，y)．XX市第一中学高效课堂“导·教·学”三合一案高二年级科目数学选修2-1 第二章圆锥曲线备案设计人XX 审批人（备课组长）XXX 授课时间11。
高中数学人教A版选修2-1导学案：2.1圆锥曲线的定义(学生版)
安阳县实验中学 “四步教学法”导学案
A nya ngxian erzhong fenxiao sibujiaoxuefa daoxuean
课题：圆锥曲线的定义
设计人： 审核人：
班级：________ 组名：________姓名：________ 时间：________
一、 自主学习：
1、 学习目标
（1）理解圆锥曲线标准方程的推导；
（2）理解圆锥曲线的第一定义和第二定义，并利用其解决相关问题；
（3）能够根据圆锥曲线的标准方程求焦点坐标，准线方程；
2、自学指导（请阅读课本第32页到63页并解决以下问题）
（1）归纳总结圆锥曲线的第一定义和第二定义；
（2）整理圆锥曲线的标准方程和焦点位置的关系。
3、自学检测
（1）当4a =，1b =时，椭圆方程为 ；
（2）当4a =，1b =时，双曲线方程为 ；
（3）抛物线2
250y x +=的焦点坐标为 ，准线方程为 。
二、 合作交流：
１、如果点(,)M x y 在运动过程中，总满足关系式2222(3)(3)10x y x y +++
+-=，点M 的 轨迹是什么曲线？为什么？写出它的方程。
2、如果点(,)M x y 在运动过程中，总满足关系式2222(3)(3)4x y x y ++-+-=，点M 的 轨迹是什么曲线？为什么？写出它的方程。
3、抛物线22(0)y px p =>上一点M 到焦点的距离是()2
p a a >
，则点M 到准线的距离是 ， 点M 的横坐标是 。