(无向)树没有回路的连通图
5_3树的概念和算法
定理.1(证明(3)(4))
Ⅱ、增加任何新边，得到一个且仅有一个回路
若在连通图T中加入新的边(ui,uj)，则该边与T中ui到 uj的一条路构成一个回路，则该回路必是唯一的。 否则（即回路不唯一），若删去此新边，T中必有回 路，得出矛盾。
综述，T连通且e=v-1则T无回路但增加任何新边，得 到一个且仅有一个回路。
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定理.1(证明(2)(3))
(2) T无回路 且e=v-1 (3) T连通且e=v-1 证明(2)(3)： 证明T连通： (反证法） 假设T有s个连通分支, 则每个连通分支都是连通无 回路即树, 所以 e=e1+e2+…+ es=(v1-1)+(v2-1)+…+(vs-1) =v1+v2+…+vs-s=v-s=v-1, 所以s=1，与s>1矛盾， 所以T连通。
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定理.1(证明(1)(2))
(1) 无回路的连通图 (2) T无回路且e=v-1 证明(1)(2)： e=v-1(归纳法)：
v=1时,e=0（平凡树）。 设vk-1时成立,即ek-1=vk-1-1。 当v=k时, 要证ek=vk-1。 因为无回路且连通，故至少有一边其一个端点u的度数为 1,设该边为(u,u*）。删除结点u,得到一个k-1个结点的 连通图T’，T’的边数e’=v’-1=(k-1)-1=k-2,于是将结点u 与边(u,v)加入图T’得到原图T，此时T的边数为e=e’+1=k2+1=k-1， 结点数v=v’+1=(k-1)+1=k，故e=v-1。 综上所述， T无回路且e=v-1。
离散数学Data_G_11-2
《离散数学》
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11.5 树 11.5.4 哈夫曼编码与哈夫曼树 最优二叉树(哈夫曼树)的构造方法（N-S图）：
各个结点独立成树(森林) 当森林中树的数目大于1 找两棵权值最小的树 合并这两棵权值最小的树（权为二者之和）
2013年11月16日星期六
《离散数学》
2013年11月16日星期六
《离散数学》
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11.5 树 11.5.4 哈夫曼编码与哈夫曼树 前缀—字符串中前边的一部分。 如，字符串s1s2s3…sn是长度为n的字符串，则其长度 为1,2,3..n-1的前缀分别是：？ s1 s 1s 2 s 1s 2s 3 s1s2s3…sn-1
前缀码—彼此不互为前缀的一组编码。 如：{0,10,110,1111},{1,01,001,000} 和 {1,,11,101,001,0011},{xi,xia,xiang} 前缀码 非前缀码
证明模式： 1）⇒ 2）⇒ 3）⇒ 4） ⇒ 5）⇒ 6）⇒ 1）
2013年11月16日星期六
《离散数学》
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11.5 树 11.5.1 无向树 叶结点（叶子）--无向树中度为1的结点（顶点）。 (n,m)树—具有个n结点，m条边的树。 结论1：非平凡无向树中至少有两个叶结点。 证明：设非平凡无向树为(n,m)树，其中m=n-1
《离散数学》
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11.5 树 11.5.3 二叉树 二叉树的主要性质： 性质1：二叉树的第i层上最多可有2i-1个结点。
层：层结点数 1: 21-1=1 2: 22-1=2 B C D F A E H
3: 23-1=4
4: 24-1=8 …… i: 2i-1
离散数学 树
离散数学树
离散数学中的树(Tree)是一种常见的图论结构，它是一种无向、连通且没有简单回路的无向图，或者是一个有向连通图，其中每个节点都只有唯一一个父节点（除了根节点）。
树形结构中的每一个节点都可以视为一个子树的根节点，因为它下面连接了若干个子节点，这样就形成了一棵向下生长的树状结构。
树形结构还有一个重要的特点就是它具有很好的递归性质，因为每个节点下面都可以再建立一棵子树，这样就可以逐层递归地构建出整棵树。
在离散数学中，树被广泛应用于算法设计、数据结构以及对计算机网络和信息系统进行建模等领域。
树的深度和广度优先遍历、树的一些基本性质(如高度、度、叶子节点等)以及树的遍历应用在图的搜索算法、排序、哈夫曼编码、抽象语法树等算法中都有广泛的应用。
离散数学——树ppt课件
无向树的性质
定理16.2 设T是n阶非平凡的无向树，则T中至少有两片树叶。
证明
设T有x片树叶，由握手定理及定理16.1可知，
2(n 1) d(vi ) x 2(n x)
由上式解出x≥2。
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例16.1
例16.1 画出6阶所有非同构的无向树。
解答 设Ti是6阶无向树。 由定理16.1可知，Ti的边数mi＝5， 由握手定理可知，∑dTi(vj)＝10，且δ(Ti)≥1，△(Ti)≤5。 于是Ti的度数列必为以下情况之一。
(1) 1，1，1，1，1，5 (2) 1，1，1，1，2，4 (3) 1，1，1，1，3，3 (4) 1，1，1，2，2，3 (5) 1，1，2，2，2，2
(4)对应两棵非同构的树， 在一棵树中两个2度顶点相邻， 在另一棵树中不相邻， 其他情况均能画出一棵非同构 的树。
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例16.1
人们常称只有一个分支点，且分支点的度数为n-1的 n(n≥3)阶无向树为星形图，称唯一的分支点为星心。
知，G-e已不是连通图， 所以，e为桥。
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(5)(6)
如果G是连通的且G中任何边均为桥，则G中没有回路，但在任 何两个不同的顶点之间加一条新边，在所得图中得到唯一的 一个含新边的圈。
因为G中每条边均为桥，删掉任何边，将使G变成不连通图， 所以，G中没有回路，也即G中无圈。
又由于G连通，所以G为树，由(1) (2)可知，
u,v∈V，且u≠v，则u与v之间存在唯一的路径Г，
则Г∪(u,v)（(u,v)为加的新边）为G中的圈， 显然圈是唯一的。
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(6)(1)
如果G中没有回路，但在任何两个不同的顶点之间加一条新边， 在所得图中得到唯一的一个含新边的圈，则G是树。
第七章图 习题答案
第七章图习题答案基础知识：7.1 在图7.23所示的各无向图中：(1)找出所有的简单环。
(2)哪些图是连通图?对非连通图给出其连通分量。
(3)哪些图是自由树(或森林)?答:(1)所有的简单环：(同一个环可以任一顶点作为起点)(a)1231(b)无(c)1231、2342、12341(d)无(2)连通图：(a)、(c)、(d)是连通图，(b)不是连通图，因为从1到2没有路径。
具体连通分量为：(3)自由树(森林)：自由树是指没有确定根的树，无回路的连通图称为自由树：(a)不是自由树，因为有回路。
(b)是自由森林，其两个连通分量为两棵自由树。
(c)不是自由树。
(d)是自由树。
7.2 在图7.24(下图)所示的有向图中：(1) 该图是强连通的吗? 若不是，则给出其强连通分量。
(2) 请给出所有的简单路径及有向环。
(3) 请给出每个顶点的度，入度和出度。
(4) 请给出其邻接表、邻接矩阵及逆邻接表。
答：(1)该图是强连通的，所谓强连通是指有向图中任意顶点都存在到其他各顶点的路径。
(2)简单路径是指在一条路径上只有起点和终点可以相同的路径：有v1v2、v2v3、v3v1、v1v4、v4v3、v1v2v3、v2v3v1、v3v1v2、v1v4v3、v4v3v1、v3v1v4、另包括所有有向环,有向环如下：v1v2v3v1、v1v4v3v1(这两个有向环可以任一顶点作为起点和终点)(3)每个顶点的度、入度和出度：D(v1)=3ID(v1)=1OD(v1)=2D(v2)=2 ID(v2)=1OD(v2)=1D(v3)=3 ID(v3)=2OD(v3)=1D(v4)=2 ID(v4)=1OD(v4)=1(4)邻接表：(注意边表中邻接点域的值是顶点的序号，这里顶点的序号是顶点的下标值-1) vertex firstedge next┌─┬─┐┌─┬─┐┌─┬─┐0│v1│─→│ 1│─→│ 3│∧│├─┼─┤├─┼─┤└─┴─┘1│v2│─→│ 2│∧│├─┼─┤├─┼─┤2│v3│─→│ 0│∧│├─┼─┤├─┼─┤3│v4│─→│ 2│∧│└─┴─┘└─┴─┘逆邻接表：┌─┬─┐┌─┬─┐0│v1│─→│ 2│∧│├─┼─┤├─┼─┤1│v2│─→│ 0│∧│├─┼─┤├─┼─┤┌─┬─┐2│v3│─→│ 1│─→│ 3│∧│├─┼─┤├─┼─┤└─┴─┘3│v4│─→│ 0│∧│└─┴─┘└─┴─┘邻接矩阵：0 1 0 10 0 1 01 0 0 00 0 1 07.3 假设图的顶点是A,B...，请根据下述的邻接矩阵画出相应的无向图或有向图。
(无向)树没有回路的连通图.
现在假定在图T的任何两个点顶点之间存在唯一简单 通路。则T是连通的，因为在它的任何两个顶点之间存在 通路。另外，T没有简单回路。为了看出这句话是真的， 假定T有包含顶点x和y的简单回路。则在x和y之间就有两 条简单通路，因为这条简单回路包含一条从x到y的简单通 路和一条从y到x的简单通路。因此，在任何两个顶点之间 存在唯一简单通路的图是树。
加一条边{vi, vj}，因为G中原来存在vi到vj的通路，故此时 形成一条经过vi和vj的回路。
习题 证明：简单图是树，当且仅当它是连通的，但是删除它的 任何一条边就产生不连通的图。
6.2根树 定义 有向树：有向图，底图是有向树
根树：有一个顶点（称为根）的入度为0，其余顶点 的入度均为1
例
定理 根树中，从根到其余每个顶点有且仅有一条通路
证明：因为T是根树，则作为无向图而言，根结点到任何 结点均有通路，若无有向通路，则一定存在某个结点，其 入度为0，这与根树的定义矛盾。又若根节点到某结点有 两条有向通路，则作为无向图看待时，必存在回路，故T 不成树，矛盾。
解：设该树有n1片树叶，有m条边，n个顶点 根据树的性质 m n 1 (n1 2 3) 1 n1 4 由握手定理得
n1 2 4 3 3 2(n1 4)
离散数学及其应用课件：树
树
图7-13 二叉树
树
例7.11 计算机中存储的文件目录,目录可以包含子目录
和文件。图7-14用多叉树表示一个文件系统。C表示根目录,
可以表示成根树,内点表示子目录,树叶表示文件或空目录。
树
图7-14 多叉树表示的文件系统
树
2.二叉树的遍历
定义7.10 对于一棵根树的每个结点都访问一次且仅一次
树
图7-16 给定单词二叉搜索树
树
7.2.3 最优二叉树及其应用
1.哈夫曼树
树
例7.14 计算图7-17所示带权二叉树的权值。
图7-17-带权二叉树
树
7.2.1 根树的概念
定义7.6 一个有向图D,如果略去有向边的方向所得的无
向图为一棵无向树,则称D为有向树。换句话说,若有向图的
基图是无向树,那么这个有向图为有向树。入度为0的顶点称
为树根(Root),入度为1且出度为0的顶点称为树叶;入度为1且
出度大于0的顶点称为内点。内点和树根统称为分支点。
有一种特殊结构的有向树叫根树。
图7-2 无向图
树
树
例7.2 设T 是一棵树,它有三个2度结点,两个3度结点,一
个4度结点,求T 的树叶数。
树
7.1.2 生成树的概念与性质
1.生成树的概念
定义7.2 设G=<V,E>是无向连通图,T 是G 的生成子图,并
且T 是树,则称T 是G的生成树(SpanningTree),记为TG 。
树
定理7.1 设G=<V,E>是n 阶无向图,G 中有m 条边,则下面
关于G 是树的命题是等价的:
(1)G 连通而不含回路;
(2)G 的每对顶点之间具有唯一的一条路径;
离散数学-树
离散数学导论
. 树
1.2 生成树
➢定义9.10
图T称为无向图G的生成树（spanning tree）， 如果T为G的生成子图且T为树。
✓定理9.17
任一连通图G都至少有一棵生成。
.. 树树
1.2 生成树
✓ 定理9.18
设G为连通无 向图，那么G的 任一回路与任一生 成树T的关于G的补 G – T ，至少有一 条公共边。
1.3 根树
➢ 定义9.15
每个结点都至多有两个儿子的根树称为 二元树（quasibinary tree）。类似地，每个结点都
至多有n个儿子的根树称为n元树。 对各分支结点 的诸儿子规定了次序（例如左兄右弟）的n 元树称
为n元有序树；若对各分支结点的已排序的诸儿子
规定了在图示中的位置（例如左、中、右），那么
弦组成G的一个割集，它被称为枝t-割集（t-cut set）；
而每一条弦e与T中的通路构成一回路，它被称为弦e-回
路（e-circuit）。
. 树
1.2 生成树
✓ 定理9.20
在连通无向图G中，任一回路与任 一割集均有偶数条公共边。
. 树
1.2 生成树
✓ 定理9.21
设G为一连通无向图，T是G的生成树， S = {e1, e2, e3,…,ek}
✓ 定理9.19
设G为连通无 向图，那么G的任 一割集
与任一生成树至少
有一条公共边。
.. 树树
1.2 生成树
➢ 定义9.11
设T为图G的生成树，称T中的边为树枝（branch） 称G – T 中的边为弦（chord）。对每一树枝t，T–t分为
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该树有9片树叶。
定理 树中任意加一条边就形成回路 证明： 证明：若在连通图G中两个不相邻的结点vi和vj之间添 加一条边{vi, vj}，因为G中原来存在vi到vj的通路，故此时 形成一条经过vi和vj的回路。
第六章 树
（无向）树：没有回路的连通图 无向） 根树是计算机科学最常用的概念之一 根树 根树以（无向）树为基础 6.1树 树 定义1 无向） 定义 （无向）树：无简单回路的连通图 树叶：树中度为1的顶点 树叶 森林：无简单回路的图（多棵树） 森林 树必定不是多重图、伪图 森林的每个连通分支都是树
例
定理1 定理 无向图是树⇔每对顶点之间存在唯一的基本通路 证明： 证明：首先假定T是树。则T是没有简单回路的连通图。 设x和y是T的两个顶点。因为T是连通的，根据连通性定理 1，在x和y之间存在一条简单通路。另外，这两条通路必 然是唯一的，因为假如存在第二条这样的通路，则组合从 x到y的第一条这样的通路以及经过倒转从x到y的第二条通 路的顺序所得到的从y到x的通路，就形成了回路。利用 5.4节习题5，这蕴含着在T中存在简单回路。因此，在树 的任何两个顶点之间存在唯一简单通路。 现在假定在图T的任何两个点顶点之间存在唯一简单 通路。则T是连通的，因为在它的任何两个顶点之间存在 通路。另外，T没有简单回路。为了看出这句话是真的， 假定T有包含顶点x和y的简单回路。则在x和y之间就有两 条简单通路，因为这条简单回路包含一条从x到y的简单通 路和一条从y到x的简单通路。因此，在任何两个顶点之间 存在唯一简单通路的图是树。
习题
证明：简单图是树，当且仅当它是连通的，但是删除它的 任何一条边就产生不连通的图。
6.2根树 根树 有向树： 定义 有向树：有向图，底图是有向树 根树：有一个顶点（称为根）的入度为0，其余顶点 根树 根 的入度均为1
例
定理 根树中，从根到其余每个顶点有且仅有一条通路
证明： 证明：因为T是根树，则作为无向图而言，根结点到任何 结点均有通路，若无有向通路，则一定存在某个结点，其 入度为0，这与根树的定义矛盾。又若根节点到某结点有 两条有向通路，则作为无向图看待时，必存在回路，故T 不成树，矛盾。
定理2 定理 n阶无向图是树⇔无向图连通，且n-1有条边 证明： ⇒用数学归纳法。在归纳步骤中，删除1边， 成为两棵树。 ⇐用反证法。若非树，则有回路，去掉回路中 的1条边仍然保持连通性。如此重复，直到成为树，有n1>X=n-1条边，与条件矛盾 例 1 一棵树有2个4度顶点，3个3度顶点，其余都是树叶， 问该树有几片树叶？ 解：设该树有n1片树叶，有m条边，n个顶点 根据树的性质 m = n − 1 = (n1 + 2 + 3) − 1 = n1 + 4 由握手定理得