求无向连通图的生成树
离散数学
(注)以上算法需假定图中每条边的权都不 相同.但事实上对图中有若干条边的权相同的情 形,只要将它们的权作微小的变动,使之各不相同, 即可使用这个算法.
例：见书本图9.4
又有计算最小生成树的实例:
1 11
6
3 2
9
7 8
10
4 5
红绿粉红紫黄
另有“破圈法”：删除边破坏回路，同时保持图的连 通性，直到没有回路为止。 a
注意，具有 n 个结点和恰有 n-1 条边的图未 必是树，但连通或无回路的是。 连通无圈完全刻划了树，这是树的一个特
性；树还有另外一个重要性质是：它以最少的
边使结点连通。
定理9.2 给定树T=<V，E>，若|V|≥2，则T中至 少存在两个悬挂结点（树叶）。
证明: 1)设T=<V,E>是树,|V|=v.因为T是连通图,viT 有deg(vi)≥1且由定理5-1.1有∑deg(vi)=2(|V|-1)=2v-2.
例：下图为根树，右边是左图省掉方向的代替图。
v1
v2 v3 v4 v2
v1
v3 v4
v5
v6
v7
v8 v9
v5
v6
v7
v8 v9
v10 v11 v12
v10
v11 v12
为表示结点间的关系，有时借用家族中的
术语。一棵根树可以看成一棵家族树。令u是有
根树中的分枝结点，若从u到v有一条边或，则 结点v称为结点u的“儿子”，或称u是v的“父 亲”；若从u到w有一条路，称u是w的“祖先”， 或称w是u的“子孙”或“后代”，同一个分枝
第九章 树
9.1 无向树及生成树
9.2 根树及其应用
离散数学 图论-树
中序遍历（次序：左－根－右) 前序遍历（次序：根－左－右) 后序遍历（次序：左－右－根) b 中序遍历: c b e d g f a I k h j 前序遍历: a b c d e f g h i k j 后序遍历: c e g f d b k i j h a
例：给定二叉树，写出三种访问 结点的序列
是否为根树
(a) (no)
(b) (no)
(c) (yes)
从树根到T的任意顶点v的通 路(路径)长度称为v的层数。 v5的层数为 层。
层数最大顶点的层数称为树 高．将平凡树也称为根树。 右图中树高为（ ）。
v1
v2 v3
v4 v8v5Fra bibliotekv6v7 v10
v9
在根树中，由于各有向边的方向是一 致的，所以画根树时可以省去各边上的所 有箭头，并将树根画在最上方．
等长码：0-000；1-001；2-010；3-011；4-100； 5-101；6-110；7-111. 总权值: W2=3*100=300
4、二叉树的周游（遍历）
二叉树的周游：对于一棵二叉树的每一个结点都访问一次且 仅一次的操作 1）做一条绕行整个二叉树的行走路线（不能穿过树枝） 2）按行走路线经过结点的位臵（左边、下边、右边） 得到周游的方法有三种： 中序遍历（路线经过结点下边时访问结点） 访问的次序：左子树－根－右子树 前序遍历（路线经过结点左边时访问结点） 访问的次序：根－左子树－右子树 后序遍历（路线经过结点右边时访问结点） 访问的次序：左子树－右子树－根
2、根树中顶点的关系
定义：设T为一棵非平凡的根树， v2 ∀vi,vj∈V(T),若vi可达vj,则称vi为 vj的祖先,vj为vi的后代； v4 v5 若vi邻接到vj(即<vi,vj>∈E(T)，称 vi为vj的父亲,而vj为vi的儿子 v8 若vj,vk的父亲相同，则称vj与vk是兄 弟
离散数学课件16.1-2无向树和生成树
生成树
❖ 设G＝<V,E>是无向连通图,T是G的 生成子图,并且T是树,则称T是G的生 成树.
❖ G在T中的边称为T的树枝, ❖ G不在T中的边称为T的弦. ❖ T的所有弦的集合的导出子图称为T
的余树.
(2)为(1)的一棵生成树T,(3)为T 的余树,注意余树不一定是树.
定理 任何连通图G至少存在一棵生成 树.
推论1 设n阶无向连通图G有m条边,则 m≥n-1.
推论2 设n阶无向连通图G有m条边,T 是G的生成树,T'是T的余树,则T'中有 m-n+1条边.
图
基本回路
在图中,实边所示的子图是图G的一 棵生成树T,d,e,f为T的树枝,a,b,c 为T的弦.在T上加弦a,产生G的一 个初级回路aed.在T上加弦b,产生 G的一个初级回路bdf.在T上加弦 c,产生G的一个初级回路cef.这3 个回路中每一个回路都只含一条 弦,其余的边都是树枝,这样的回 路称为基本回路.
定义 设T是n阶连通图G=<V,E>的 一棵生成树,称T的n-1个树枝对应的 G的n-1个割集(每个割集只含一个 树枝,其余的边都是弦)S1,S2,···,Sn-1 为对应生成树T的G的基本割集,称 {S1,S2,···,Sn-1}为对应生成树T的基 本割集系统.
对一个n阶连通图G来说,对应 不同的生成树的基本割集可能 不一样,但基本割集的个数必为 n-1个,这也是G的固有特性.
T有5个树枝a,b,c,d,e,因而有5个基本割 集: Sa={a,g,f}; Sb={b,g,h}; Sc={c,f,h}; Sd={d,i,h}; Se={e,f,i};
考研数据结构图的必背算法及知识点
考研数据结构图的必背算法及知识点Prepared on 22 November 20201.最小生成树：无向连通图的所有生成树中有一棵边的权值总和最小的生成树问题背景：假设要在n个城市之间建立通信联络网，则连通n个城市只需要n—1条线路。
这时，自然会考虑这样一个问题，如何在最节省经费的前提下建立这个通信网。
在每两个城市之间都可以设置一条线路，相应地都要付出一定的经济代价。
n个城市之间，最多可能设置n(n-1)/2条线路，那么，如何在这些可能的线路中选择n-1条，以使总的耗费最少呢分析问题（建立模型）：可以用连通网来表示n个城市以及n个城市间可能设置的通信线路，其中网的顶点表示城市，边表示两城市之间的线路，赋于边的权值表示相应的代价。
对于n个顶点的连通网可以建立许多不同的生成树，每一棵生成树都可以是一个通信网。
即无向连通图的生成树不是唯一的。
连通图的一次遍历所经过的边的集合及图中所有顶点的集合就构成了该图的一棵生成树，对连通图的不同遍历，就可能得到不同的生成树。
图G5无向连通图的生成树为(a)、(b)和(c)图所示：G5G5的三棵生成树：可以证明，对于有n个顶点的无向连通图，无论其生成树的形态如何，所有生成树中都有且仅有n－1条边。
最小生成树的定义：如果无向连通图是一个网，那么，它的所有生成树中必有一棵边的权值总和最小的生成树，我们称这棵生成树为最小生成树，简称为最小生成树。
最小生成树的性质：假设N=(V,{E})是个连通网，U是顶点集合V的一个非空子集，若（u,v）是个一条具有最小权值(代价)的边，其中，则必存在一棵包含边（u,v）的最小生成树。
解决方案：两种常用的构造最小生成树的算法：普里姆（Prim）和克鲁斯卡尔（Kruskal）。
他们都利用了最小生成树的性质1.普里姆（Prim）算法：有线到点，适合边稠密。
时间复杂度O(N^2)假设G＝（V，E）为连通图，其中V为网图中所有顶点的集合，E为网图中所有带权边的集合。
无向连通图的生成树kruskal
采用kruskal(克鲁斯卡尔)算法求无向连通网图的一棵最小生成树。
#include<iostream>using namespace std;const int MaxSize=6; // 顶点数const int m=9; //边数int vertexNum, arcNum; //顶点数和边数char vertex[MaxSize]; //顶点数组int parent[MaxSize];struct EdgeType{int from, to;int weight;};EdgeType edge[m];void edgesz(char a[], int n, int e){int i,j,k,w;vertexNum=n; arcNum=e;for (i=0; i<vertexNum; i++) vertex[i]=a[i];for (k=0; k<arcNum; k++) //依次输入每一条边{cin>>i>>j>>w; //边依附的两个顶点的序号及权值edge[k].from=i;edge[k].to=j;edge[k].weight=w;}}int FindRoot(int parent[], int v){int t;t=v;while ( parent[t]>-1) t=parent[t];return t;}void DubbleSort(EdgeType r[],int n){int exchange,bound,j,k;exchange=n-1; //第一趟的区间为1-- nwhile(exchange) //当还未完全有序{ bound=exchange; //传递本趟最后交换位置exchange=0;for(j=0;j<bound;j++) //一趟扫描if (r[j].weight>r[j+1].weight){k=r[j].from;r[j].from=r[j+1].from;r[j+1].from=k;k=r[j].to;r[j].to=r[j+1].to;r[j+1].to=k;k=r[j].weight;r[j].weight=r[j+1].weight;r[j+1].weight=k;exchange=j; } //记录交换位置}}//kruskal(克鲁斯卡尔)算法int main(){int i;char a[MaxSize];cout <<"输入"<<MaxSize<<"个顶点数据："<<endl;for (i=0;i<MaxSize;i++) cin >>a[i];cout <<"依次输入"<<m<<"条边的每一条边两个顶点的序号及权值："<<endl;edgesz(a, MaxSize, m);DubbleSort(edge,m);cout <<"无向连通图的(Kruskal)生成树为："<<endl;Kruskal();cout << endl;return 0;}。
离散数学及其应用课件：树
树
图7-13 二叉树
树
例7.11 计算机中存储的文件目录,目录可以包含子目录
和文件。图7-14用多叉树表示一个文件系统。C表示根目录,
可以表示成根树,内点表示子目录,树叶表示文件或空目录。
树
图7-14 多叉树表示的文件系统
树
2.二叉树的遍历
定义7.10 对于一棵根树的每个结点都访问一次且仅一次
树
图7-16 给定单词二叉搜索树
树
7.2.3 最优二叉树及其应用
1.哈夫曼树
树
例7.14 计算图7-17所示带权二叉树的权值。
图7-17-带权二叉树
树
7.2.1 根树的概念
定义7.6 一个有向图D,如果略去有向边的方向所得的无
向图为一棵无向树,则称D为有向树。换句话说,若有向图的
基图是无向树,那么这个有向图为有向树。入度为0的顶点称
为树根(Root),入度为1且出度为0的顶点称为树叶;入度为1且
出度大于0的顶点称为内点。内点和树根统称为分支点。
有一种特殊结构的有向树叫根树。
图7-2 无向图
树
树
例7.2 设T 是一棵树,它有三个2度结点,两个3度结点,一
个4度结点,求T 的树叶数。
树
7.1.2 生成树的概念与性质
1.生成树的概念
定义7.2 设G=<V,E>是无向连通图,T 是G 的生成子图,并
且T 是树,则称T 是G的生成树(SpanningTree),记为TG 。
树
定理7.1 设G=<V,E>是n 阶无向图,G 中有m 条边,则下面
关于G 是树的命题是等价的:
(1)G 连通而不含回路;
(2)G 的每对顶点之间具有唯一的一条路径;
最小生成树的模型数学公式
最小生成树的模型数学公式
最小生成树的模型数学公式是：
给定无向连通图G(V,E)，其中V为图的顶点集合，E为图的边集合。
每条边e∈E都带有一个非负权重w(e)。
找到一个包含图中所有顶点的子图T(V,E')，使得E' ⊆ E，并且E'构成一颗树（即连通且无环），使得所有的边的权重之和最小。
拓展：
最小生成树的应用十分广泛，可以用于解决多种问题。
以下是最小生成树的一些常见拓展场景：
1.带有约束条件的最小生成树：
在某些情况下，除了最小化权重之和外，还需要满足一些特定的约束条件。
例如，可以要求最小生成树的边数限制在特定的范围内，或者要求选择特定类型的边。
这时可以在最小生成树的模型中引入额外的约束条件，从而得到满足要求的最小生成树。
2.多目标最小生成树：
有时候，最小生成树问题不仅需要最小化权重之和，还需要考虑其他目标。
例如，可以同时考虑最小化权重之和和最大化生成树中的最长边权重。
这样的问题可以转化为多目标优化问题，并通过权衡不同目标之间的关系来求解。
3.带有边权重动态变化的最小生成树：
在某些场景中，图的边权重可能会根据一些规则进行动态变化。
例如，网络中的通信链路可能会根据网络拓扑和负载情况进行变化。
这时可以通过动态更新最小生成树来快速适应环境变化，从而保持最小生成树的有效性。
总之，最小生成树的模型可以通过引入不同的约束条件和目标函数进行拓展，以适应不同的应用场景。
无向树及生成树
一、无向树及其性质
1、 无向树 定义 5-17:不包括回路的无向连通图称为无向树， 简称树,记为 T . （1）两棵以上的图称为森林。 （2）设 T 是树，则 T 的边称为树枝。 （3）树中度数为 1 的结点，称为树叶。 （4）树中度数大于等于 2 的结点称为分支点。
一、无向树及其性质
2、 树的性质 性质 1 设 v1 , v 2 是 T 的两个不同结点， 则连接 v1 , v 2 有 且仅有一条通路，而且这条通路是初级通路。 性质 2 设 v1 , v 2 是 T 的两个结点， 如果 v1 , v 2 不邻接， 则在 T 中添加边 v1 , v 2 后所得的图有且仅有一条回 路，而且这条回路是初级回路。
一、无向树及其性质
2、 树的性质 性质 3 树中任意删除一条边后所得的图是不连通 的。 性质 4 设 T 是 (n, m) 树，则 m n 1。 性质 5 设树 T 的结点数为 n(n 2) ，则至少两片树 叶。
一、无向树及其性质
2、 树的性质
例 5-7：设树 T 中有 7 片树叶，3 个 3 度结点，其余 都是 4 度结点，问: T 中有几个 4 度结点？ 例 5-8．设树 T 中有 1 个 3 度结点，2 个 2 度结点， 其余结点都是树叶，问 T 中有几片树叶？ 例 5-9 画出所有 6 个顶点非同构的无向树。
e1 , e2 ,, em ，它们带的权分别为 a1 , a2 ,, am ，不妨
设 a1 a2 am （1） 一开始取权最小的边 e1 ， 且 w(e1 ) a1 ， 取
e1 在 T 中。
三、求最小生成权的克鲁斯科尔算法
（ 2）若 e2 不与 e1 构成回路，将 e2 添加在 T 中，否 则放弃 e2 ，再查 e 3 ，继续这一过程，直到得到的子 图就是所求的一棵最小生成树 T 为止。
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求无向连通图的生成树————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期:求无向连通图的生成树一、实验目的⑴掌握图的逻辑结构⑵掌握图的邻接矩阵存储结构⑶验证图的邻接矩阵存储及其遍历操作的实现二、实验内容（1)建立无向图的邻接矩阵存储(2)对建立的无向图,进行深度优先遍历(3)对建立的无向图进行广度优先遍历三、设计与编码(1)本实验用到的理论知识（2)算法设计(３)编码／/ 图抽象类型及其实现．cpｐ : Defｉnes ｔhe enｔry poiｎt for the coｎｓｏle aｐplication./／#include"ｓtdafｘ.ｈ"#ｉｎclude"Graｐh.h"#incluｄe"ｉｏｓtream．h＂int Grａｐｈ：:Ｆinｄ(int keｙ,int &ｋ){ﻩiｎt flａg＝0;ﻩfoｒ(iｎt i=0;i＜VｅrtexLｅn;ｉ++)ﻩif(Ａ[ｉ].ｄata.kｅy＝=ｋeｙ){k=ｉ;flaｇ=1;bｒeａk;};ｒetuｒn fｌag;};int Graｐh::CｒeａteGraph(inｔ vertexnuｍ,Edgｅ *E,inｔ edgeｎum)｛／/由边的集合E(E[0]~Ｅ［VｅrtｅｘNum-1]）,生成该图的邻接表表示if(veｒtｅxnum<１）reｔurｎ(－１）;//参数vｅrtｅxnum非法ｉnt i,frｏｎt，reａr,k；ﻩEｎode *ｑ;ﻩ//先生成不带边表的顶点表--即顶点为孤立顶点集ﻩA=newＶnode［verｔexnuｍ］;if(!A)return（0）;//堆耗尽ﻩfｏｒ(i=０;i<vertｅｘnuｍ；i＋+)ﻩ{ﻩﻩA[i].datａ．keｙ＝i;ﻩＡ[i].ｔag=０;ﻩﻩA[ｉ].datａ.ＩnDegｒee=A［i]．dａta．OutDｅｇｒee＝A［ｉ］.tag ＝0；ﻩ A[i].fｉrsｔ=0;}；VｅrtｅxＬeｎ＝vertｅｘnｕm;ﻩ/／在生成边表if(eｄgenuｍ<0）rｅｔｕrｎ(1);//无边的图ﻩfｏr(ｉ=０;i＜edｇeｎum；i++）{front=E[i]．Head；rear=E［i].Taｉｌ;if（!Find(reａr，k) || ！Finｄ（fronｔ,ｋ))return(-2);//参数E非法ﻩﻩq=new Enodｅ；if（!q)rｅturn(0);ﻩｑ－>keｙ=fronｔ;q->Weiｇht=E[i].weigｈｔ;ﻩﻩq->next=A[rear］.fｉrｓｔ;ﻩA[rear]．ｆｉrsｔ=ｑ;ﻩＡ[ｒeａr］.data.OutDegrｅe++;A[frｏnt].data.IｎDegrｅe++;ﻩiｆ(Tｙpe>2)｛ﻩﻩq＝ｎew Enoｄｅ;ﻩｉf(!q)reｔuｒn(０）;q-＞kｅｙ=ｒear；ﻩﻩﻩq－>ｎext=A[front].firｓt;ﻩＡ[fｒｏnt].firsｔ=q；ﻩq－＞Wｅight=E[i].wｅight;ﻩﻩ};｝；ﻩretuｒn(1);｝;voidＧraph::Dfs（iｎt key,int &fｌag){ﻩ//staｔic ｒuｎ=1;ﻩEｎode *ｗ;ﻩA［ｋey］.tａg=ｆlag;if(Type>2)ｃout<＜"连通分量="<＜flａg<<＇\t';cout＜＜"顶点键值="<＜kｅy<<ｅndl；ﻩfor(w=A[kｅy].fiｒsｔ;w ;ｗ＝w-＞ｎｅxt)ﻩﻩiｆ(!A［w->ｋey].tag)Ｄfs（ｗ->ｋey，flaｇ);｝；intＧｒaｐｈ:：DｆsDrａverｓ(ｉntｖ０) /／从指定顶点深度遍历{inｔｉ，k,ｃｏmｐｏnentnum=1；//if(Tｙpe<3）return（-1);/／不考虑由向图//cｏut<<＂ｂｅｇaiｎ..．．\n";if(!(Finｄ(v0,k))){cｏut＜<"fｉnd=＝＂＜<ｋ<＜endl;return （0);};//初始结点v0不存在ｉf(Type>2)cout＜<＂---连通分量＂<＜componeｎtｎum<<＂－--"<<ｅnｄl;ﻩＤfs(k,ｃomponentnuｍ);ｃomｐoｎｅｎtnum++;ﻩfｏｒ（i=０;ｉ<VerｔeｘLen;ｉ＋+)｛ﻩﻩｉf（！A[i].tag）{ﻩｉf(Tyｐe＞２)coｕt<＜"---连通分量"<<ｃoｍｐoｎentnum<＜"---"＜<enｄl；ﻩＤfｓ(i，compｏneｎｔｎuｍ)；compｏnentｎuｍ+＋；ﻩﻩ};}；ﻩreｔurn(componeｎtnum－１）；｝;int Graｐh:：Bfs(）{int i,comp=1; ﻩﻩﻩ／/ｃomp=连通分量的标记,、、...stｒucｔ queue{inｔｋey;qｕeuｅ * nｅxt;};Enode *ｐe;ﻩquｅue *f,*ｒ，*q,*ｐ=new queuｅ;ﻩiｆ(！p）retuｒｎ(-1); ﻩﻩﻩﻩ/／堆耗尽ﻩｐ－>ｎｅxt＝０;ｆ=r=p；ﻩﻩﻩ／/生成空队列fｏr(ｉ＝0;i<ＶerteｘLeｎ;ｉ++)A[ｉ］.tag=0;／/初始化已访问标志ﻩfｏr(i＝０;ｉ<ＶｅrtｅｘLeｎ;i+＋){ﻩﻩif(A[i].tag==０)ﻩ｛ﻩ A[i]．tag=comp;／／入队该顶点的keｙp＝newｑueue；ﻩﻩif(!ｐ)return(-1)；ﻩ p－>kｅｙ=A［i]．ｄata．ｋｅy;ﻩ p->next=0;ﻩﻩf-＞ｎext=ｐ;r=ｐ；ﻩﻩwhｉle(ｆ->next)//当队非空时{//出队一顶点ﻩﻩﻩq=f->ｎexｔ;ﻩﻩﻩif（Tｙpe>2)cｏｕｔ<<"连通分量"<<comp＜<'\t'；ﻩﻩﻩcｏut<<＂顶点键值="<<q->ｋｅy＜<ｅndl;ﻩﻩf-＞neｘt=ｑ-＞neｘt;ﻩﻩﻩｉｆ(q==ｒ)r=f；ﻩﻩﻩ//与q连接的未访问的顶点入队ﻩpｅ=A[ｑ->kｅy］.ｆirst;ﻩﻩwhｉlｅ（pｅ)ﻩﻩ{ﻩﻩﻩﻩif（Ａ[ｐｅ-＞keｙ]．taｇ==0)ﻩﻩ{／/入队ﻩif(!(p=new queue）)rｅtuｒn(-1）;ﻩ A[pｅ－＞key].ｔag=ｃomp;ﻩp->ｋｅy=pe－>ｋey;ﻩﻩﻩp-＞neｘt＝0；ﻩﻩﻩﻩiｆ(f==r)f->next=p；ﻩﻩﻩr->nｅxt=p;r＝p;};ﻩｐe=pｅ－＞nｅｘt；}；／/end of (pe)dｅlete q;ﻩﻩ};／/enｄｏｆ (f->neｘｔ)ﻩcｏmｐ++; ﻩﻩ};//enf oｆ ifﻩ};//释放队列while(f)｛p=f-＞next；dｅletｅf；f＝p;｝;ﻩreturnｃｏｍp－1; /／返回连通分量数};/*int Grａｐh::TopoSoｒｔ(int＊ｑｕe,iｎt &ｎum）{ ／/ｑuｅ顺序队列保存了拓扑排序的结果，f和r为que的头尾指示;loop用于判有无环intｉ,f＝０,r=0，indｅx,lｏoｐ=１;ﻩＥnoｄｅ *pe;ｎｕｍ＝0;fｏｒ(i=0;i＜VerｔｅxLen；ｉ++）A[i]．tａｇ=A［i］.data.InDegr ｅe; //初始化入度到ｔaｇ域ﻩfor(i=０;i<VｅｒｔeｘLen;i＋＋)if（A[i].ｔag==0){ｑue［r++]=i;A[i].ｔaｇ＝－1;loｏｐ=０;｝;if（loｏｐ)ｒeturn（０);ﻩwhile(f<r）{／/栈未处理完ﻩﻩindｅx=ｑue[f＋+];ﻩfor(pe=A[iｎdｅｘ］.ｆｉrst;pe;ｐe=ｐe-＞nexｔ)ﻩ {ﻩﻩA［pｅ->kｅｙ].tａｇ－－;ﻩﻩｉf(Ａ[pe->key].ｔag==0){que[ｒ＋+］=pe－>key;A[pe-＞ｋey].tａg=-1;};};ﻩﻩ};ﻩnum=r;if(r<VertexLen)retuｒｎ(０);//存在环retuｒn 1;};int maiｎ(intａrｇc，char* aｒgｖ［］){ Graph g１(１);int num=5,temｐ=1；int *ｓtaｃｋ=new int[5];ﻩEdｇｅｂ[１2];ﻩｂ[０］.Heａd=1；b[0]．Tail＝0;b[0].weiｇｈｔ=1;b[1]．Heａd=3;ｂ［１]．Tａil=1;b[１].weighｔ=1;ﻩb[2].Ｈead＝0;b[2].Ｔail=2;b[2］.weｉghｔ=１;b［3].Head=1;b[3］．Taｉl=４;b[3]．weigｈt=1；b[4]．Hｅad＝4;b［4].Ｔａiｌ=2;b[4]．weight=1;ｂ［5].Heａd=４;b［5］.Tail=3；b[5].ｗeｉght=1;／/b[6].Heaｄ=0;b［6].Tail＝1;b[6］．ｗｅighｔ=１；ﻩｂ[7].Hｅad=1;b[7].Tａil＝3;b[7].wｅigｈｔ＝1;b[8].Hｅad＝2;b[８].Tail＝0;ｂ[8］.weight=1;ﻩb［9].Heaｄ=4;b[９]．Taｉl=1;b［9].wｅight=1;ﻩb[１0].Ｈead=2；b[10].Taiｌ=4；b[10].weｉｇｈｔ＝1;b[11]．Heａd=3;b[11]．Taｉl=2;b[１１]．weigｈt=1;／/b=={{１,０,１},｛３,１,1},{０，2,1},(１,４,1},{４,2,1}，{2,3，１}};g1.CreａtｅGｒapｈ(ｎum,b,６）;if(g１．GetTypｅ()＞2）ｃout＜<"连通分量数="＜<g1.DfsDravｅrs(2）<＜ｅndl;ﻩcoｕt<＜"－－－---------－-"<<endl;iｆ(ｇ１.GetTｙpe()＞2）coｕt<＜＂连通分量数="<<ｇ１.Bfs()<<ｅndl;ｉf（g1.GetＴyｐｅ()<3){ﻩif(ｇ1.TopoSｏｒt(stａｃｋ,tｅｍp))couｔ<＜"拓扑排序成功！\n";ﻩelseｃout<<"该图有环！\n";ﻩﻩcout＜<"部分或全部的拓扑序列为:(顶点总数="＜<g1.ＧetＬｅn(）<<")＼n"；ﻩfｏｒ(int i=０；i＜ｔemp;i++)ｃout<<sｔack[i］＜<'\t';ｃout ＜＜"已排序顶点数目=＂<<ｔemｐ<<enｄｌ;};ﻩdelete[5］sｔack;ﻩ／/prｉntf("Helｌｏ Wｏｒlｄ!\n")；ﻩreturｎ０;}四、运行与调试运行结果为:该图有环！部分或全部拓扑序列为:<顶点总数=5>20 已排序顶点数目=2Pｒeｓs aｎy key to ｃontinue五、总结与心得。