树与生成树
5_3树的概念和算法
定理.1(证明(3)(4))
Ⅱ、增加任何新边，得到一个且仅有一个回路
若在连通图T中加入新的边(ui,uj)，则该边与T中ui到 uj的一条路构成一个回路，则该回路必是唯一的。 否则（即回路不唯一），若删去此新边，T中必有回 路，得出矛盾。
综述，T连通且e=v-1则T无回路但增加任何新边，得 到一个且仅有一个回路。
第 7页
定理.1(证明(2)(3))
(2) T无回路 且e=v-1 (3) T连通且e=v-1 证明(2)(3)： 证明T连通： (反证法） 假设T有s个连通分支, 则每个连通分支都是连通无 回路即树, 所以 e=e1+e2+…+ es=(v1-1)+(v2-1)+…+(vs-1) =v1+v2+…+vs-s=v-s=v-1, 所以s=1，与s>1矛盾， 所以T连通。
第 6页
定理.1(证明(1)(2))
(1) 无回路的连通图 (2) T无回路且e=v-1 证明(1)(2)： e=v-1(归纳法)：
v=1时,e=0（平凡树）。 设vk-1时成立,即ek-1=vk-1-1。 当v=k时, 要证ek=vk-1。 因为无回路且连通，故至少有一边其一个端点u的度数为 1,设该边为(u,u*）。删除结点u,得到一个k-1个结点的 连通图T’，T’的边数e’=v’-1=(k-1)-1=k-2,于是将结点u 与边(u,v)加入图T’得到原图T，此时T的边数为e=e’+1=k2+1=k-1， 结点数v=v’+1=(k-1)+1=k，故e=v-1。 综上所述， T无回路且e=v-1。
离散数学中的图的树与生成树的计数
在离散数学中，图是一个由点和边组成的抽象数学模型。
其中，树是一种特殊的图，它是一个无环连通图。
在图论中，树扮演了重要的角色，它具有许多有趣的性质和应用。
而生成树则是树的一个特殊子集，它由给定图中的所有顶点和部分边构成。
本文将介绍图的树的基本概念，并探讨生成树的计数方法。
首先，让我们来看看图的树。
树是一种无环连通图，其中任意两个顶点之间存在唯一一条路径。
它具有以下性质：1.n个顶点的树有n-1条边。
这可以通过归纳法证明：当n=1时，结论成立；假设n=k时成立，那么n=k+1时，只需要添加一个顶点和一条边，即可构成n=k+1个顶点的树。
因此，结论成立。
2.连接树上任意两个顶点的边都是桥。
即如果一条边被删除，那么树就会变成两个或更多个不相连的子树。
3.树是一个高度平衡的结构。
对于一个n个顶点的树，任意两个叶子结点之间的路径长度至多相差1。
4.树的任意两个顶点之间有唯一一条路径，路径长度为顶点之间的边数。
接下来，让我们来讨论生成树的计数方法。
生成树是树的一个特殊子集，它是由给定图中的所有顶点和部分边构成。
生成树的计数在图论中具有重要的意义和应用。
对于一个具有n个顶点的连通图来说，其生成树的个数可以通过Cayley公式计算得到。
Cayley公式是由亚瑟·凯利于1889年提出的，它给出了完全图的生成树数目。
据此，我们可以得到生成树的计数公式为：T = n^(n-2)，其中T表示生成树的个数。
此外，还有一种常见的计数方法是基于度数矩阵和邻接矩阵的矩阵树定理。
矩阵树定理由高斯于1847年提出，它提供了一种计算图的生成树个数的方法。
根据矩阵树定理，一个无向图G的生成树数目等于该图度数矩阵的任意一个(n-1)阶主子式的行列式的值。
其中，度数矩阵是一个对角矩阵，它的对角线上的元素为各个顶点的度数。
邻接矩阵则是一个关于顶点间连接关系的矩阵，其中1表示相邻顶点之间存在边，0表示不存在边。
除了数学方法，还存在一种基于图的遍历的计数方法，称为Kirchhoff矩阵树定理。
吴裕雄--天生自然数据结构学习笔记：什么是生成树，生成树（生成森林）详解
吴裕雄--天⽣⾃然数据结构学习笔记：什么是⽣成树，⽣成树
（⽣成森林）详解
对连通图进⾏遍历，过程中所经过的边和顶点的组合可看做是⼀棵普通树，通常称为⽣成树。
如图1所⽰，图 1a) 是⼀张连通图，图 1b) 是其对应的2种⽣成树。
连通图中，由于任意两顶点之间可能含有多条通路，遍历连通图的⽅式有多种，往往⼀张连通图可能有多种不同的⽣成树与之对应。
连通图中的⽣成树必须满⾜以下2个条件：
包含连通图中所有的顶点；
任意两顶点之间有且仅有⼀条通路；
因此，连通图的⽣成树具有这样的特征，即⽣成树中边的数量 = 顶点数 - 1。
⽣成森林
⽣成树是对应连通图来说，⽽⽣成森林是对应⾮连通图来说的。
我们知道，⾮连通图可分解为多个连通分量，⽽每个连通分量⼜各⾃对应多个⽣成树（⾄少是1棵），因此与整个⾮连通图相对应的，是由多棵⽣成树组成的⽣成森林。
《离散数学》课件-第16章树
18
16.3 根树及其应用
19
定义（有向树）设D是有向图，如果D的基图是无向 树，则称D为有向树。
在有向树中最重要的是根树。 定义16.6（根树）一棵非平凡的有向树，如果恰有 一个顶点的入度为O，其余所有顶点的入度均为1,则称该 树为根树。 入度为0的顶点称为树根，入度为1出度为0的顶点称 为树叶，入度为1出度不为0的点称为内点，内点和树根统 称为分支点。 树根到一个顶点的有向通路的长度称为该顶点的层数。 层数最大顶点的层数称为树高。 平凡树也称为根树。
2
16.1 树及其性质
3
定义16.1（树和森林） 连通且无回路的无向图称为无向树，简称为树，常用
T表示树。 平凡图为树，称为平凡树。 非连通且每个连通分支是树的无向图称为森林。 T中度数为1的顶点（悬挂顶点）称为树叶，度数大于
1的顶点称为分支点。 称只有一个分支点，且分支点的度数为n-1的n（n≥3）
定义16.8（子树）设T为一棵根树，则其任一顶点v 及其后代导若将层数相同的顶点都 标定次序，则称T为有序树。
根据每个分支点的儿子数以及是否有序，可将根树 分成如下若干类：
定义（跟树分类）设T为一棵根树 （1）若T的每个分支点至多有r个儿子，则称T为r叉 树。又若r叉树是有序的，则称它为r叉有序树。 （2）若T的每个分支点恰好有r个儿子，则称T为r叉 正则树。又若r叉正则树是有序的，则称它为r叉正则有 序树。 （3）若T为r叉正则树，且每个树叶的层数均为树高， 则称T为r叉完全正则树。又若r叉完全正则树是有序的， 则称它为r叉完全正则有序树。
8
平均编码长度为：L = ∑ P( i )× l( i ) = 2.53bit i=1
生成树的名词解释
生成树的名词解释生成树（Spanning Tree）是图论中的一个重要概念，用来描述在一个无向连通图中连接所有顶点的极小连通子图。
在一个无向连通图中，如果能够找到一颗包含所有顶点且边数最少的子图，那么这个子图就是该图的生成树。
生成树的概念最早由Otto Schönflies于1885年提出，并且在图论研究和实际应用中得到了广泛的运用。
生成树在电网规划、通信网络设计、计算机网络以及城市交通规划等领域都有着重要的应用价值。
生成树的定义可以用简洁的方式表述：在一个无向连通图中，生成树是保留了原图的所有顶点，但只保留了足够的边来使得这个子图连通，并且不包含任何环的一种连通子图。
换句话说，生成树是一个无向连通图中的极小连通子图，它连接了所有的顶点，并且不存在回路。
生成树具有很多重要的性质和应用。
首先，生成树的边数比原图的顶点数少一个。
这是因为生成树是一个连通子图，而且不包含任何环。
因此，生成树中的边数等于原图的顶点数减去1。
这个性质经常用于生成树的构造和推导。
其次，生成树可以用于表示图中的最小连接网络。
在一个无向连通图中，如果存在多个连通子图，那么通过连接这些子图的最少的边，就可以得到一个生成树。
这个生成树可以看作是一个最小的连通网络，其中所有顶点都能够通过最短路径相互到达。
此外，生成树还可以用于网络设计和优化问题。
在电网规划、通信网络设计和计算机网络中，生成树常常被用于实现信息的传输和路由的优化。
通过构造合适的生成树，可以使得信息的传输路径更加简洁和高效。
生成树有多种构造算法，其中最常用的是Prim算法和Kruskal算法。
Prim算法是一种贪心算法，它从一个任意选定的顶点开始，逐步构建生成树。
具体地，Prim算法每次选择与已有的生成树连接边权值最小的顶点，并将其加入生成树。
重复这个过程，直到生成树包含了所有的顶点。
Kruskal算法是一种基于边的方法，它首先将图中的边按照权值从小到大排序，然后依次将边加入生成树，直到生成树包含了所有的顶点为止。
离散数学7-树
(b)
(a)
V5
2
1
V7
8
9
V2
V4
2
3
V8
5
V1
V1
V4
V5
1
3
V7
V6
8
V4
2
V8
5
6
V1
1
V5
6
V7
V6
8
3
V8
5
6
V7
9
V3
(e)
V3
(f)
(g)
22
V2
V3
(h)
五.应用举例——求最小生成树
例3 用管梅谷算法求下图的最小生成树。
23
五.应用举例——求最小生成树
例3 用管梅谷算法求下图的最小生成树。
成圈。
首先证明T无简单回路。对n作归纳证明。
(i) n=1时,m=n-1=0,显然无简单回路；
(ii)假设顶点数为n-1时无简单回路，现考察顶点数是n的情况：此时至少有一
个顶点v其次数d(v)=1。因为若n个顶点的次数都大于等于2，则不少于n条边，但这与
m=n-1矛盾。
删去v及其关联边得到新图T’，根据归纳假设T’无简单回路，再加回v及其关联
边又得到图T，则T也无简单回路。
再由图的连通性可知，加入任何一边后就会形成圈，且只有一个圈，否则原图
中会含圈。
9
二. 基本定理——证明
证明(4):(3)(4)，即证一个无圈图若加入任一边就形成圈，
则该图连通，且其任何一边都是桥。
若图不连通,则存在两个顶点vi和vj，在vi和vj之间没有路，若
加边(vi,vj)不会产生简单回路，但这与假设矛盾。由于T无简单回
代数结构-树
384
(1，2，5，6) (8，3，4，3)
6
7
离散数学 中国地质大学 计算机学院
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生成树 (Spanning TCaryeleey定) 理：n个顶点的标号完全图Kn有nn-2棵生成树
384 7
(1，2，5，6，3) (8，3，4，3，8)
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生成树 (Spanning TCaryeleey定) 理：n个顶点的标号完全图Kn有nn-2棵生成树
w(e1)<=w(e1’)，从而w(T1)<=w(T*)。 依此进行，可以将ek加入到Tk-1中，将形成环，此环中必然然存在边ek’在T*中而不在T中，于是，删除ek’， 则得到生成树Tk。而显然，两边序列e1e2e3…ek 与 e1e2e3…ek’均不构成环，而按kruskal算法，必然有 w(ek)<=w(ek’)， 从而 w(Tk)<= w(Tk-1)<=w(T*) ……， 最后可以将em加入到Tm-1中，得到生成树Tm，且w(Tm)<=…<=w(Tk)<= w(Tk-1)<=… <=w(T1)<=w(T*)。 而此时， T所有边都加入到Tm中，即Tm=T。故w(T)<=w(T*) 因此，T为最小生成树。
(3，2，2，3，4，1)
S:(5，6，7，2，3，4)
5
1
32 6
4
8
7
因此，序列集合{t1,t2,…,tn}与Kn的生成树集合存在双射关系。
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2 生成树(Spanning Tree) 最小生成树(minimum spanning tree)
算法？ Kruskal算法
离散数学及其应用课件：树
树
图7-13 二叉树
树
例7.11 计算机中存储的文件目录,目录可以包含子目录
和文件。图7-14用多叉树表示一个文件系统。C表示根目录,
可以表示成根树,内点表示子目录,树叶表示文件或空目录。
树
图7-14 多叉树表示的文件系统
树
2.二叉树的遍历
定义7.10 对于一棵根树的每个结点都访问一次且仅一次
树
图7-16 给定单词二叉搜索树
树
7.2.3 最优二叉树及其应用
1.哈夫曼树
树
例7.14 计算图7-17所示带权二叉树的权值。
图7-17-带权二叉树
树
7.2.1 根树的概念
定义7.6 一个有向图D,如果略去有向边的方向所得的无
向图为一棵无向树,则称D为有向树。换句话说,若有向图的
基图是无向树,那么这个有向图为有向树。入度为0的顶点称
为树根(Root),入度为1且出度为0的顶点称为树叶;入度为1且
出度大于0的顶点称为内点。内点和树根统称为分支点。
有一种特殊结构的有向树叫根树。
图7-2 无向图
树
树
例7.2 设T 是一棵树,它有三个2度结点,两个3度结点,一
个4度结点,求T 的树叶数。
树
7.1.2 生成树的概念与性质
1.生成树的概念
定义7.2 设G=<V,E>是无向连通图,T 是G 的生成子图,并
且T 是树,则称T 是G的生成树(SpanningTree),记为TG 。
树
定理7.1 设G=<V,E>是n 阶无向图,G 中有m 条边,则下面
关于G 是树的命题是等价的:
(1)G 连通而不含回路;
(2)G 的每对顶点之间具有唯一的一条路径;
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树是一种特殊的图, 它是图论中重要的概念之一, 它有 着广泛的应用.在计算机科学中有如判定树、语法树、分 类树、搜索树、目录树等等. 一.树 (Tree) (a) 1.树的定义:一个连通无回路的 无向图T,称之为树. 如(a) 2.叶结点:度数为1的结点, 称为叶结点. (b) 3.分支结点(内结点):度数大于1的结点. 4.森林:一个无向图的每个连通分支都是树.如(b)
三.赋权图的最小生成树 1.定义:一棵生成树中的所有边的权之和称为该生成树的 权. 具有最小权的生成树,称为最小生成树. 最小生成树很有实际应用价值.例如结点是城市名,边的权 表示两个城市间的距离, 从一个城市出发走遍各个城市, 如何选择最优的旅行路线.又如城市间的通信网络问题,如 何布线,使得总的线路长度最短. 例如:右图所示 2 v3 v2 2.求最小生成树算法 3 5 1 1 2 7 ---Kruskal算法: 7 v1 8 v8 v5 3 v4 (贪婪算法) 4 3 4 6 2 4 v7 v6 6
Kruskal算法: 设G是有n个结点,m条边(m≥n-1)的连通 图. S=Φ i=0 j=1
将所有边按照权升序排序: e1, e2, e3,… ,em S=S∪{ai} j=j+1 ai=ej i=i+1
|S|=n-1
N
Y
输出S
停பைடு நூலகம்
N
取ej使得 S∪{ ej}有回路? Y
j=j+1
|S|=n-1, 说明是树 最后S={a1, a2, a3,… ,an-1}
5.与树定义等价的几个命题 定理1给定图T, 以下关于树的定义是等价的. ⑴ T无回路的连通图. ⑵T无环且每对结点之间有一条且仅有一条路. ⑶ T无回路但在任一对不相邻的顶点间添加一条 新边e，则T+e包含唯一的回路. ⑷ T连通的,且每条边都是割边. ⑸ T连通的且m=n-1. ⑹ T无回路且m=n-1. 证明:⑴⑵:已知T是连通无回路图,所以T中无环。 若T中存在两条不同的u-v路P1和P2，则存在 P1的一条边e=xy，它不是P2的边，因此(P1 P2)-e连通，所以， (P1 P2)-e存在一条x-y 路P，故P+e是T的圈，矛盾。
二. 生成树 在图论的应用中,找出一个连通图的所有不同的生成树,以 及找出最小生成树是很有意义的. 1.定义:如果图G的生成子图是树,则称此树为G的生成树. 2.弦:图G中,不在其生成树里的边,称作弦. 所有弦的集合, 称为该生成树的补. v1 定理2 连通图G中至少有一棵生成树. v2 v3 证明:如果G中无回路, 则G本身就是树. v5 如果G中有回路,可以通过反复删去回路 v4 中的边,使之既无回路,又连通.就得到生成树. 思考题:设G是有n个结点,m条边的连通图, 问要删去多少 条边,才得到一棵生成树?
⑸ T连通的且m=n-1. ⑹ T无回路且m=n-1. ⑸⑹:只需证明T无回路。对T关于顶点 数归纳。 当n=1或n=2时，显然成立。 假设nk时结论成立，往证n=k+1时成 立。 因为T连通，所以(T)1，由m=n-1及 d(v)=2m得，T中至少存在一点u，使 得d(u)=1。考虑T’=T-u，显然T’连通， 且|E(T’)|=|V(T’)|-1，由归纳假设，T’ 无回路，所以T无回路。
Prin算法(边割法)
⑵T无环且每对结点之间有一条且仅有一条路. ⑶ T无回路但在任一对不相邻的顶点间添加一条 新边e，则T+e包含唯一的回路. ⑷ T连通的,且每条边都是割边. ⑵⑶:显然T无回路，否则对回路上的任一对顶 点都至少存在两条路，与⑵矛盾。设u，v是T 中任意两个不相邻的点，令e=uv，由⑵，T中 有一条唯一的u-v路，所以T+e中包含唯一的回 路。 ⑶⑷:因为T无回路，所以T的每条边都是割边； 若T不连通，设T1，T2是T的两个分支，设 uV(T1), vV(T2), 则uvE(T)，显然T+uv 不存在回路，与⑶矛盾。
⑷ T连通的,且每条边都是割边. ⑸ T连通的且m=n-1. ⑷⑸:关于点数用归纳法证明。 当n=1或2时，T是平凡图或K2，显然有m=n-1。 假设nk时结论成立，往证n=k+1时成立。 当n=k+1时。取T的一条边e，由⑷，e是割边， 所以T-e有两个分支T1和T2， 因为|V(T1)|k, |V(T2)|k, 所以，由归纳假设，有 |E(T1)|=|V(T1)|-1， |E(T2)|=|V(T2)|-1 故m=|E(T1)|+|E(T2)|+1 =|V(T1)|-1+ |V(T2)|-1+1 =n-1。
边按升序排序:边(vi, vj)记成eij e34 e23 e38 e17 边 e28 权 1 1 2 2 2
e24 3
e45 3
e57 3
e16 4
e35 e46 e67 e58 e12 e18 边 e78 e56 4 5 6 6 7 7 8 权 4 2 v3 v2 3 5 1 1 7 2 7 v1 8 v8 v5 3 v4 4 3 4 2 v3 v2 6 2 4 1 1 v7 v 6 6 v1 v8 v5 3 v4 4 3 2 v7 v6
⑹ T无回路且m=n-1. ⑴ T无回路的连通图. ⑹⑴:假设T不连通，设T1, T2,…, Tk为T的连通分支，则 k2。对任意的Ti，Ti是无回路的连通图，所以Ti是树， 由⑹得， |E(Ti)|=|V(Ti)|-1 故m=i=1k|E(Ti)|=i=1k|V(Ti)|-k =n-k<n-1 矛盾。 定理2：每一非平凡树至少有两片树叶。 证明：设T是一非平凡树，则m=n-1。 因为T连通且非平凡，所以(T)1。 设T有k片树叶，则剩余的n-k个顶点的度至少为2。由 d(v)=2m得，k+2(n-k)m=2(n-1), 所以 k2。