无向图的连通性
判断图的连通性
判断图的连通性连通性判断【试题描述】⽆向图，包含n个节点编号1⾄n，初始没有边。
现在逐次向图中添加m条边，你需要在添加边之前判断该两点是否连通。
【输⼊要求】第⼀⾏两个正整数n、m。
接下来m⾏，每⾏两个正整数x、y。
【输出要求】m⾏，每⾏包含⼀个整数0或1，0表⽰添加这条边之前两个点不连通，1表⽰连通。
【输⼊实例】4 51 21 32 34 43 4【输出实例】11【其他说明】n,m<=300000。
【试题分析】⽤并查集做，这是⼀道全世界最⽔的图论题，直接不⽤说，上代码……【代码】#include<iostream>using namespace std;int x,y,f[301001],n,m;int find(int x){if (f[x]==x) return f[x];return f[x]=find(f[x]);}void merge(int v,int u){int t1,t2;t1=find(v);t2=find(u);if(t1!=t2) f[t2]=t1;return ;}inline int read(){int x,f=1;char ch=getchar();for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=-1;for(x=ch-'0';isdigit(ch=getchar());x=x*10+ch-'0');return x*f;}inline void write(int x){if(x==0){putchar('0');return;}if(x<0)putchar('-'),x=-x;int len=0,buf[15];while(x)buf[len++]=x%10,x/=10;for(int i=len-1;i>=0;i--)putchar(buf[i]+'0');return;}int main(){n=read(),m=read();for(int i=1;i<=n;i++) f[i]=i;for(int i=1;i<=m;i++){bool w=false;x=read(),y=read();if(find(x)!=find(y)) w=true;//如果x和y的根⼀样那么就可以知道这两条边加进去以后图是连通的 if(w==false)write(1),printf("\n");else write(0),printf("\n");merge(x,y);//把x和y连起来}}。
图的连通性问题
G
H
图1 有向图G
A C
B D
F
G H
E
图2 逆置图G’
Step3：根据步骤1得到的遍历序列，按照结点结束访问时间递减 排序后的结果 EFGHACBD 下面，按照该结点序列顺序对逆置图G’所深度优先遍历，得到 的深度优先遍历森林如图3所示。森林中共有4棵树，其中(a)和(d) 只有一个结点，这里认为单结点也是一个强联通分量（在实际应 用中可以根据实际需要将这种情况过滤掉）。 A C E B D 图2 逆置图G’ F G A B D F G H
二、Kosaraju算法求解过程实 例
下面结合实例说明Kosaraju算法的基 本策略。图1给出了一个有向图G。
A
C
B
D
图1 有向图G
F
E
G H
Step1：假设从DFS在遍历时按照字母顺序进行，根据 Kosaraju算法，在步骤1中我们得到的遍历顺序可以表达为 [A,[C,[B,[D,D],B],C],A][E,[F,[G,[H,H],G],F],E] 越后出栈的点先访问 第一步所得到的顺序即为：EFGHACBD Step2：根据算法第2步，将图G逆置，得到对应的反向图G’ 如图2所示。 A C B D F E
有向图和它的转置的 强连通分量相同
所有SCC构成一个 DAG
求强连通分量使用 Kosaraju算法
一、Kosaraju算法步骤： Step1、对有向图G做dfs（深度优先遍历），记录每个结点结束访 问的时间(即节点出栈顺序，后出栈的点第二次先扫描) Step2、将图G逆置，即将G中所有弧反向。 Step3、按Step1中记录的结点结束访问时间从大到小对逆置后的 图做dfs Step4、得到的遍历森林中每棵树对应一个强连通分量。
离散数学 7-1图概念7-2路与回路
例如
路：v1e2v3e3v2e3v3e4v2e6v5e7v3 迹：v5e8v4e5v2e6v5e7v3e4v2 通路：v4e8v5e6v2e1v1e2v3
学习本节要熟悉如下术语(22个)： 路、 路的长度、 回路、 迹、 通路、 圈、 割点、
连通、连通分支、 连通图、 点连通度、
点割集、
边割集、 割边、 边连通度、 可达、 弱分图、
单侧连通、 强连通、 弱连通、 强分图、 单侧分图 掌握5个定理，一个推论。
7-2 路与回路
路
无向图的连通性
7-1 图的基本概念
图的定义
点的度数
特殊的图 图同构
三、特殊的图
1、多重图 定义7-1.4：含有平行边的图称为多重图。 2、简单图：不含平行边和环的图称为简单图。 3、完全图 定义7-1.5：简单图G=<V，E>中，若每一对结点 间均有边相连，则称该图为完全图。 有n个结点的无向完全图记为Kn。 无向完全图：每一条边都是无向边 不含有平行边和环 每一对结点间都有边相连
3、图的分类：
①无向图：每条边均为无向边的图称为无向图。 ②有向图：每条边均为有向边的图称为有向图。
③混合图：有些边是无向边，有些边是有向边的图称
为混合图。
v1 (孤立点) v5 V1’ v1 环
v2
v4 v3 (a)无向图
V2’
V3’ (b)有向图 V4’
v2
v4 v3 ( c ) 混合图
4、点和边的关联：如ei=(u，v)或ei=<u，v>称u， v与ei关联。 5、点与点的相邻：关联于同一条边的结点称为邻 接点。
图连通性算法及应用
图连通性算法及应用图是计算机科学领域中常见的数据结构，用于表示对象之间的关系。
在图论中，图的连通性是一个重要的概念，指的是在图中任意两个顶点之间是否存在路径。
图连通性算法是为了判断图中的连通性而设计的算法，并且在实际应用中有着广泛的应用。
一、连通性的定义与分类在图论中，连通性有两种常见的定义方式：强连通性和弱连通性。
强连通性是指在有向图中，任意两个顶点之间存在互相可达的路径；弱连通性是指在有向图中，将其所有有向边的方向忽略后，剩下的无向图是连通的。
本文将重点介绍无向图的连通性算法及其应用。
二、连通性算法的原理1. 深度优先搜索（DFS）深度优先搜索是最常用的连通性算法之一。
它从图中的一个顶点开始，沿着一条未访问过的边深入图中的下一个顶点，直到无法深入为止，然后回溯至上一个顶点，继续深入其他未访问过的顶点。
通过深度优先搜索算法，我们可以得到一个图的连通分量，从而判断图是否连通。
2. 广度优先搜索（BFS）广度优先搜索同样是常用的连通性算法之一。
它从图中的一个顶点开始，沿着一条未访问过的边遍历与该顶点直接相邻的所有顶点，然后再以这些相邻顶点为起点，继续遍历它们的相邻顶点，直到遍历完所有连通的顶点。
通过广度优先搜索算法，我们可以得到一个图的层次遍历树，从而判断图是否连通。
三、连通性算法的应用1. 社交网络分析在社交网络分析中，连通性算法可以用来判断一个社交网络中是否存在分割成多个互不相连的社群。
通过判断社交网络的连通性，我们可以发现隐藏在社交网络背后的关系网络，从而更好地理解和分析社会关系。
2. 网络路由优化在计算机网络中，连通性算法可以用来判断网络节点之间的连通性。
通过分析网络的拓扑结构，我们可以选择合适的路由算法，从而实现快速且可靠的数据传输。
3. 图像分割在计算机视觉和图像处理中，连通性算法可以用来判断图像中的连通区域。
通过判断图像的连通性，我们可以对图像进行分割和提取，从而实现目标检测和图像识别等应用。
3图的连通性
• 设G=<V,E>为无向图，对于任意的 v∈V， 为无向图， 为无向图 对于任意的u, ∈ ， 是连通的， 若u和v是连通的，则称 v之间长度最短的通 和 是连通的 则称u, 之间长度最短的通 路为u, 之间的短程线 短程线的长度为u, 之间的短程线， 路为 v之间的短程线，短程线的长度为 v 距离， 之间的距离 记为d(u, v)。规定当 和v不连 。规定当u和 不连 之间的距离，记为 通时， 通时，d(u, v) = ∞ 。 • 在无向图 中，任何两点之间的距离最大值 在无向图G中 称为G的直径，记为d(G)。 称为 的直径，记为 。 在下图中， 【例】在下图中，d(2, 6)=2，d(2, 7)=3，而d(G) ， ， = 4正是图中的最大距离 正是图中的最大距离d(1, 7)。 正是图中的最大距离 。
存在一条通路， 到vj (vi≠vj)存在一条通路，则从 i到vj存在一条长 存在一条通路 则从v 度不大于n 的通路 的通路。 度不大于 −1的通路。 设在一个具有n个顶点的图中存在一条长度 证明 设在一个具有 个顶点的图中存在一条长度 的通路v 其中v 为m的通路 0v1…vm，其中 0=vi，vm=vj。 的通路 若m ≤n − 1，则存在所求的通路； ，则存在所求的通路； 若m >n − 1，则通路上的顶点数 +1 >n，因 ，则通路上的顶点数m ， 为图中只有n 个顶点，所以必然有m 为图中只有 个顶点，所以必然有 +1 − n个顶点 个顶点 在通路中重复出现，即存在回路。 在通路中重复出现，即存在回路。在通路中去掉 的通路， 回路所得到的仍然是从v 回路所得到的仍然是从 i到v j的通路，且长度至少 比原通路少1。重复以上过程， 比原通路少 。重复以上过程，将通路中的所有回 路去掉，必然可得到一条长度不多于n 的通路。 路去掉，必然可得到一条长度不多于 − 1的通路。 的通路
8.2 路径和回路
有两个强连通分支 G1=<{V1,V2,V3,V4},{<1,2>,<2,3><3,4>,<4,1><2,3>}> G2=<{V5}, Φ> 有一个单向连通分支
G3=G =<{V1,V2,V3,V4,V5},
{<1,2>,<2,3><3,4>,<4,1><2,3>,<3,5>,<4,5>}> 有一个弱连通分支 G4=G =<{V1,V2,V3,V4,V5}, {<1,2>,<2,3><3,4>,<4,1><2,3>,<3,5>,<4,5>}>
2014年3月12日星期三 南京信息工程大学数理学院 14
• 定理2：设G是具有n个结点的简单无向图， 如果图中每对结点度数之和大于或等于n-1， 则G是连通图。 • 证明：假设G不连通，则至少有两个连通分支G1和G2。 设G1有n1个结点，G2有n2个结点。 任取v1G1, v2G2， 因图G是简单图， 则deg(v1)n1-1, deg(v2)n2-1 ， 从而有deg(v1)+deg(v2)n1+n2 -2< n-1，与题设矛盾。
2014年3月12日星期三
南京信息工程大学数理学院
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• 显然：强连通要求高于单向连通 单向连通要求高于弱连通 三者统称为连通有向图 • 若有向图G不是弱连通图,则称为非连通图。 • 定理1 (有向图的连通性的判定) • 一个有向图是强连通的，当且仅当G中有一条 经过所有结点的回路。 • 一个有向图是单向连通的，当且仅当G中有一 条经过所有结点的路径。
(无向)树没有回路的连通图
该树有9片树叶。
定理 树中任意加一条边就形成回路 证明： 证明：若在连通图G中两个不相邻的结点vi和vj之间添 加一条边{vi, vj}，因为G中原来存在vi到vj的通路，故此时 形成一条经过vi和vj的回路。
第六章 树
（无向）树：没有回路的连通图 无向） 根树是计算机科学最常用的概念之一 根树 根树以（无向）树为基础 6.1树 树 定义1 无向） 定义 （无向）树：无简单回路的连通图 树叶：树中度为1的顶点 树叶 森林：无简单回路的图（多棵树） 森林 树必定不是多重图、伪图 森林的每个连通分支都是树
例
定理1 定理 无向图是树⇔每对顶点之间存在唯一的基本通路 证明： 证明：首先假定T是树。则T是没有简单回路的连通图。 设x和y是T的两个顶点。因为T是连通的，根据连通性定理 1，在x和y之间存在一条简单通路。另外，这两条通路必 然是唯一的，因为假如存在第二条这样的通路，则组合从 x到y的第一条这样的通路以及经过倒转从x到y的第二条通 路的顺序所得到的从y到x的通路，就形成了回路。利用 5.4节习题5，这蕴含着在T中存在简单回路。因此，在树 的任何两个顶点之间存在唯一简单通路。 现在假定在图T的任何两个点顶点之间存在唯一简单 通路。则T是连通的，因为在它的任何两个顶点之间存在 通路。另外，T没有简单回路。为了看出这句话是真的， 假定T有包含顶点x和y的简单回路。则在x和y之间就有两 条简单通路，因为这条简单回路包含一条从x到y的简单通 路和一条从y到x的简单通路。因此，在任何两个顶点之间 存在唯一简单通路的图是树。
习题
证明：简单图是树，当且仅当它是连通的，但是删除它的 任何一条边就产生不连通的图。
图的连通性
有向图中，极大强连通子图=强连通分量
G1的两个强连通分量 G1
V’是连通图G的一个顶点子集。在G中删去V’及与V’ 相关联的边后图不连通，则称V’是G的割顶集。 最小割顶集中顶点的个数，记成K(G)，叫做G的连通度。
规定： K(完全图)＝顶点数-1 K(不连通图)＝K(平凡图)＝0
K(G)＝l时，割顶集中的那个顶点叫做割顶。 没有割顶的图叫做块，G中成块的极大子图叫做G的块。
LOW(U)值的计算步骤如下：
在算法执行中，对任何顶点U计算LOW(U)值是不断修改 的，只有当以U为根的dfs子树和后代的LOW值、dfn值产 生后才停止。
图中（7，1）应为（7，7）
如r被选为根，则r 成为割顶当且仅当 它有不止一个儿子 点。
顶点U的标号函数LOW(U): LOW(U)=min{dfn(),LOW(s),dfn(W)} 其中：S是U的一个儿子，（U，W）是后向边
LOW(U)是U或U的后代所能追溯到的最早 （序号小）的祖先结点序号。
顶点U<>r作为图的割顶当且仅当U有一个儿子， 使得LOW(S)>=dfn(U),即S和S的后代不会追溯 到比U更早的祖先点。
G1 K(G1)=0
G2 K(G2)=1
G3 K(G3)=3
G4 K(G4)=5-1=
威廉王迷宫
前向边（实线部分） 后向边（虚线部分） Dfn(x):顶点x被首次访问的次序。 Dfn(x)=I表示x是第I个首次被访问的节点 称为深度优先搜索序数。
Dfs树
如U不是根，U成 为割顶当且仅当 存在U的某一个儿 子顶点S，从S或S 的后代点到U的祖 先点之间不存在 后向边
图的连通性
G1
G2
在无向图中，如果从顶点V到V’有路径，则称V和V’是连通的。 在有向图中，如果从顶点V到V’有路径，并且从V’到V有路径， 则称V和V’是强连通的。 如果对于图中任意两个顶点Vi,Vj,Vi和Vj都是连通的，则称连通图。
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小结
1 理解无向图的连通性、连通分支等概念；理解距离的概念和性质。 2深刻理解无向图的点连通度、边连通度等概念及其之间的关系，并能熟练地求出给 定 的较为简单的图的点连通度与边连通度。关于无向图的连通性的思维形式注记图如下：
u、v是关节点 充要条件
u 存在路
无向图
连通
所有结点
v
结点 连通图
边
删 删真子集
删 删真子集
子图不连通 子图连通
子图不连通 子图连通
点割集 点连通度 边割集 边连通度
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
定理11.2 对于任何无向图G=<V, E>，有(G)≤λ(G)≤(G)
证:（1）若G 不连通，则(G)=λ(G)=0，故上式成立。
（2）若G 连通， ① 证明λ(G)≤δ(G) 若G 是平凡图，则λ(G)=0≤δ(G)，若G 是非平凡图，则因每一结点的所有关联边构成的集合必 包含一个边割集，故λ(G)≤δ(G)
根据上述定义可知，图（a）的割点分别为b， c， e，点割集 分别为{b}， {c}， {e}。图（b） 为边割集。
定义11.4
• 若G 无向连通图且不是完全图，定义(G)=min{|V’| |V’是G 的点割集}为G 的点连通度（或 连通度）。
• (G)是使G 不连通需要删去的最少的结点数。 • 规定：
• 短程线与距离 • u与v之间的短程线：uv，u与v之间长度最短的通路 • u与v之间的距离：d(u,v)——短程线的长度 • d(u,v)的性质： • d(u,v)0, u≁v时d(u,v)= • d(u,v)=d(v,u) • d(u,v)+d(v,w)d(u,w)
连通分支：
根据图G 中的一个结点v定义图G 的子图 如下：
第十一章 图的连通性
11. 2 无向图的连通性
定义11.2
在无向图G=<V, E>中， u,vV，若 u与 v之间存在通路，则称u,v是连通的。
结点u和v之间连通，用[u, v]表示（或uv 表示）。
规定： vV， [v, v].
若图G=<V, E>的任意两个结点皆是连通的，则G 称为连通图。否则称成G 为非 连通图或分离图。 无向图中顶点间的连通关系是V 上的等价关系，具有自反性、对称性 和传递性。
定义11.3
设无向图G=<V, E>为连通的，若有结点集V1 V，使得图G 删除了V1所有结点后，所得的子 图是不连通的，而删除了V1的任意真子集后，所得的子图仍然是连通图。则称集合V1为图G 的点割集。若某一结点就构成点割集，则称该结点为割点。
设无向图G=<V, E>为连通的，若有边集E1E，使得图G 删除了E1所有边后，所得的子图是不 连通的，而删除了E1的任意真子集后，所得的子图仍然是连通图。则称集合E1为图G 的边割 集。若某一边构成边割集，则称该边为割边（或桥）。G 的割边也就是G 中的一条边e使得 W(G−e)＞W(G)。
• (Kn) = n-1 ; • G 非连通:(G)=0;
• 若(G) k，则称G 是k-连通图，k为非负整数。 • 与点连通度相似，我们定义非平凡图G 的边连通度为：λ(G)=min{{ |E’||E’是G 的边割集}。 • λ(G)是使G 不连通需要删去的最少的边数。 • 规定： G 非连通,(G)=0 • 若λ(G) r,则称G 是r边-连通图。
② 再证(G)≤λ(G) 设E’是边割集,|E’|=,从V(E’)中找出点割集V’,使得|V’|λ(G),所以(G)|V’|λ(G) 。 设λ(G)=1，即G 有一割边，显然此时(G)=1，上式成立。
设λ(G)≥2，则必可删去某λ(G)条边，使G 不连通，而删除λ(G)−1条边，它仍然连通，而且有 一条桥e=(u, v)。对λ(G)−1条边中每一条边都选取一个不同于u，v的端点，将这些端点删去必
=<V(v), E(v)> 其中V(v)={x｜[v, x]为真}；E(v)包含所有连接V(v)中结点的边。V(v)是V 关于顶点
之间的连通关系的一个等价类，称
为G 的一个连通分支。图G 中包含的连
通分支数记为W(G)。
设无向图G=<V, E>为连通的，若对于图G 中的两个结点x, y的任何通路，皆通过 结点a，则称结点a为结点x, y的关节点。
证：先证明必要性，再证明充分性。 1必要性：若结点v是G 的割点，则删去它后，必然有两个以上的连通分支。u和w 分别 在 不同的连通分支上取，显然v是结点u, w 的关节点。 2 充分性：若v是结点u, w 的关节点，则u到w 的每一条路都通过v，删除v后u到w 已不连 通，故v是图G 的割点。 证毕。
至少删去λ(G)−1条边。若这样产生的图是不连通的，则 (G)≤λ(G) −1≤λ(G)，若这样产生的 图是连通的，则e=(u, v)仍然是桥，此时再删去u或v，就必产生一个不连通图，故 (G) ≤λ(G)。 根据①和②得： (G) ≤λ(G)≤δ(G) 。证毕。
定理11.3
（割点的充要条件） 一个连通无向图G=<V, E>的某一点v是图G 的割点，当且仅当它是某对结 点 u, w 的关节点。