天津市七校2020届高三上学期期中联考试题数学Word版含答案
第一学期期中七校联考
高三数学
一、选择题：共9小题，每小题5分，共45分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ＝{x|x 2－5x ＋6≤0}，B ＝{x ∈Z|1<x<5}，A ∩B ＝
A.[2，3]
B.(1，5)
C.{2，3}
D.{2，3，4}
2.若x>0>y ，则下列各式中一定正确的是
A.sinx>siny
B.lnx<ln(－y)
C.e x <e y
D.
11x y > 3.已知a ＝1.10.2，b ＝log 0.21.1，c ＝0.21.1，则
A.a>b>c
B.b>c>a
C.a>c>b
D.c>a>b
4.要得到函数sin(4)3y x π=-
的图象，只需要将函数y ＝sin4x 的图象 A.向右平移12π个单位 B.向左平移12
π个单位 C.向右平移3π个单位 D.向左平移3
π个单位 5.有下面四个命题，其中正确命题的序号是
①“直线a 、b 不相交”是“直线a 、b 为异面直线”的充分而不必要条件；
②“直线l ⊥平面α内所有直线”的充要条件是“l ⊥平面α”；
③“直线a//直线b ”的充要条件是“a 平行于b 所在的平面”；
④“直线a//平面α”的必要而不充分条件是“直线a 平行于α内的一条直线。
”
A.①③
B.②③
C.②④
D.③④
6.在△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，如果a 、b 、c 成等差数列，∠B ＝30°，△ABC 的面积为32
，那么b ＝ A.132 B.23 C.232
+ D.13+7.已知定义域为R 的奇函数y ＝f(x)的导函数为y ＝f ’(x)，当x ≠0，()'()0f x f x x +<，若22()33a f =，2(2)b f =--，11ln (ln )33
c f =，则a 、b 、c 的大小关系正确的是 A.a<b<c B.b<c<a C.a<c<b D.c<a<b
8.如图，0OA OB ⋅=u u u r u u u r
，2,2OA OB ==u u u r u u u r ，点C 是线段，AB 上的一个动点，D 为OB
的中点，则DC OC ⋅u u u r u u u r 的最小位为
A.13
B.12
C.2
D.2 9.已知函数211,[2,0]()12(2),(0,)x x f x x f x x ⎧-⎪+∈-=⎨-⎪-∈+∞⎩，若函数g(x)＝f(x)－x －2m ＋1在区间]－2，4]内
有3个零点，则实数m 的取值范围是
A.11{}22m m -
<< B.1{1}2
m m -<≤ C.1{11}2m m m -<<=或 D.11{1}22m m m -<<=或 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
10.函数f(x)＝2x 的图象在点(1，2)处的切线方程为 。
11.己知数列{a n }首项为a 1＝1，且a n ＝2a n －1＋1，则a 5为 。
12.若3
21log 3()5y x ax =+-在[－1，＋∞)上单调递减，则a 的取值范围是 。
13.如图所示，直三棱柱的高为4，底面边长分别是5，12，13，当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8，则球的体积为 。
14.已知a>0，b>0，且1111a b
+=+，求a ＋b 的最小值 。
15.设函数()sin()3f x x π
ω=+，其中ω>0，若函数f(x)在[0，2π]上恰有2个零点，则ω的取
值范围是 。
三、解答题：本大题共5个小题，共75分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16.(本小题满分14分)
设函数233()sin()sin()3cos ,234
f x x x x x R ππ=--⋅+-+∈。
(I)求f(x)的最小正周期和对称中心；
(II)若函数()()4g x f x π=+
，求函数g(x)在区间[,]63ππ-上的最值。
17.(本小题满分14分)
如图，在四边形ABCD 中，∠ADB ＝45°，∠BAD ＝105°，AD ＝62
，BC ＝2，AC ＝3。
(I)求边AB 的长及cos ∠ABC 的值；
(II)若记∠ABC ＝α，求sin(2α－
3π)的值。
18.(本小题满分15分)
如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ＝
12AB ＝1，点E 、M 分别在线段AB 、PC 上，且AE PM AB PC
λ==，其中0<λ<1，连接CE ，延长CE 与DA 的延长线交于点F ，连接PE ，PF ，ME 。
(I)求证：ME//平面PFD ；
(II)若12
λ=时，求二面角A －PE －F 的正弦值； (III)若直线PE 与平面PBC 所成角的正弦值为
55时，求λ值。
19.(本小题满分16分)
已知{a n }是各项均为正数的等比数列，{b n }是等差数列，且a 1＝b 1＝1，b 2＋b 3＝2a 3，a 5－3b 2＝7。
(I)求{a n }和{b n }的通项公式；
(II)设数列{c n }满足2
1 n n n n c b ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求a 1c 1＋a 2c 2＋···＋a 2n c 2n (n ∈N *)。
(III)对任意正整数n ，
不等式231111(1)(1)(1)n b b b +≤+
+⋅⋅⋅+成立，求正数a 的取值范围。
20.(本小题满分16分)
己知f(x)＝asinx(a ∈R)，g(x)＝e x 。
(I)若0<a ≤1，判断函数G(x)＝f(1－x)＋lnx 在(0，1)的单调性；
(II)设F(x)＝g(x)－mx 2－2(x ＋1)＋k(k ∈R)，对∀x>0，m<0，有F(x)>0恒成立，求k 的最小值。
(III)证明：22321111sin
sin sin sin ln 2234(1)
n +++⋅⋅⋅+<+，(n ∈N *)。
天津市部分区2024-2025学年高三上学期期中考试 数学含答案
天津市部分区2024~2025学年度第一学期期中练习高三数学（答案在最后）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，练习用时120分钟。
使用答题卡的地区，将答案写在答题卡上：不使用答题卡的地区，将答案写在练习卷上。
第Ⅰ卷（共45分）注意事项：本卷共9小题，每小题5分，共45分。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集{}0,1,2,3,4,5U =，集合{}0,3M =，{}3,4N =，则()U M N = ð（）A ．{}0,2,3,5B ．{}0,1,3,4C ．{}0,1,2,3,5D ．{}0,2,3,4,52．已知()1,2a =- ，()1,1b = ，则a b -=（）A B ．1C ．D ．53．若x ，y ∈R ，则“22x y =是“33xy=”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若918S =，则28a a +=（）A ．4B ．3C ．2D ．15．函数()f x 的部分图象如下图所示，则()f x 的解析式可能为（）A ．()()e e sin x xf x x -=-B ．()()e e cos x xf x x -=-C ．()()e e sin xx f x x--=D ．()()e e cos xx f x x--=6．已知cos cos sin ααα=+，则tan 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．1-B ．12-C ．1D ．1-7．已知0.13a =，b =，3log 1.3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c<<B ．c b a<<C ．c a b<<D ．a c b<<8．已知函数()()2ln 1f x x a x =+-有极值点，则实数a 的取值范围为（）A ．(],0-∞B ．(),0-∞C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦9．已知函数()()sin 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在区间,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，且在区间()0,π上有且仅有2个零点，则ω的取值范围为（）A ．47,33⎛⎫⎪⎝⎭B ．47,33⎛⎤⎥⎝⎦C ．4,23⎛⎫⎪⎝⎭D ．4,23⎛⎤⎥⎝⎦第Ⅱ卷注意事项：本卷共11小题，共105分。
天津市十二区县重点中学2020届高三毕业班联考(一)数学试卷Word版含答案
2021年天津市十二区县重点中学高三毕业联考〔一〕数学试卷本试卷分为第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两局部，共150分，考试用时120分钟．第一卷 选择题(共45分)参考公式： ·如果事件A ，B 互斥，那么P(A ∪B)＝P(A)＋P(B)． ·如果事件A ，B 相互独立，那么P(AB)＝P(A)P(B)． ·柱体的体积公式V ＝Sh ，其中S 表示柱体的底面面积，h 表示柱体的高． ·锥体的体积公式V ＝13Sh ，其中S 表示锥体的底面面积，h 表示锥体的高．一、选择题(本大题共9小题，每题5分，共45分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．)1．a ，b ∈R ，假设a －2i ＝b ＋ii (i 是虚数单位)，那么复数a ＋bi 是( )A ．1－2iB ．1＋2iC ．2－iD ．2＋i2．设θ∈R ，那么“⎪⎪⎪⎪θ－π2<π2〞是“sinθ>0〞的( ) A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件3．函数f(x)＝lnx ＋x2－ax.假设曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线y ＝2x 平行，那么实数a ＝( )A.72 B ．2 C.32D ．1 4．在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，以边BC 所在的直线为轴，将△ABC 旋转一周，所成的曲面围成的几何体的体积为( )A ．36πB ．12πC ．36D ．125．为普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取局部学生参加环保知识测试，这些学生的成绩(分)的频率分布直方图如下图，数据(分数)的分组依次为[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]．假设分数在区间[20，40)的频数为5，那么大于等于60分的人数为( )A ．15B ．20C ．35D ．456．函数f(x)＝2x ＋5x.假设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 1312，b ＝f(log35)，c ＝f(60.2)，那么a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a>b>cB ．a>c>bC ．c>a>bD ．c>b>a7．函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的最小正周期为π，其图象关于直线x ＝π6对称．给出下面四个结论：①将f(x)的图象向右平移π6个单位长度后得到的函数图象关于原点对称；②点⎝⎛⎭⎫5π12，0为f(x)图象的一个对称中心；③f ⎝⎛⎭⎫π4＝12；④f(x)在区间⎣⎡⎦⎤0，π6上单调递增．其中正确的结论为( )A ．①②B ．②③C ．②④D ．①④8．设双曲线x2a2－y2b2＝1(a>b>0)的两条渐近线与圆x2＋y2＝10相交于A ，B ，C ，D 四点，假设四边形ABCD 的面积为12，那么双曲线的离心率是( )A.103B.10C.10或103D ．210 9．在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BAD ＝60°，AB ＝8，CD ＝4.假设M 为线段BC 的中点，E 为线段CD 上一点，且AM →·AE →＝27，那么DM →·DE →＝( )A ．15B ．10 C.203D ．5第二卷 非选择题(共105分)二、填空题(本大题共6小题，每题5分，共30分．把答案填在相应的横线上．)10．集合A ＝{2，2m}，B ＝{m ，n}，(m ，n ∈R)，且A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫14，那么A ∪B ＝________．11．在⎝⎛⎭⎫1x －2x25的展开式中，x5项的系数为________(用数字作答)． 12．设a>0，b>0，假设a 与b2的等差中项是2，那么log2a ＋2log2b 的最大值是________． 13．圆C ：(x ＋1)2＋(y －1)2＝16，过点P(－2，3)的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且|AB|＝211，那么l 的方程为________．14．天津市某学校组织教师进行“学习强国〞知识竞赛，规那么为：每位参赛教师都要答复3个问题，且对这三个问题答复正确与否互不影响，假设每答对1个问题，得1分；答错，得0分，最后按照得分多少排知名次，并分一、二、三等奖分别给予奖励．对给出的3个问题，教师甲答对的概率分别为34，12，p.假设教师甲恰好答对3个问题的概率是14，那么p＝________；在前述条件下，设随机变量X 表示教师甲答对题目的个数，那么X 的数学期望为________．15．函数f(x)＝⎩⎨⎧x2－x ，x ≤0，2x ，x>0.假设存在x ∈R 使得关于x 的不等式f(x)≤ax －1成立，那么实数a 的取值范围是________．三、解答题(本大题共5小题，共75分．解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤．)16．(本小题总分值14分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.asinA ＋B2＝csinA ，c ＝7，2a ＝3b.(1)求角C 的大小； (2)求sin(C －B)的值． 17．(本小题总分值15分)如图，在三棱柱ABC －A1B1C1中，四边形ABB1A1，BB1C1C 均为正方形，且A1B1⊥B1C1，M 为CC1的中点，N 为A1B 的中点．(1)求证：MN ∥平面ABC ；(2)求二面角B －MN －B1的正弦值；(3)设P 是棱B1C1上一点，假设直线PM 与平面MNB1所成角的正弦值为215，求B1PB1C1的值．18．(本小题总分值15分)抛物线C ：y2＝42x 的焦点为椭圆E ：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的右焦点，C 的准线与E 交于P ，Q 两点，且|PQ|＝2.(1)求E 的方程；(2)过E 的左顶点A 作直线l 交E 于另一点B ，且BO(O 为坐标原点)的延长线交E 于点M ，假设直线AM 的斜率为1，求l 的方程．19．(本小题总分值15分)设{an}是等比数列，{bn}是等差数列．a4＝8，a3＝a2＋2，b1＝a2，b2＋b6＝a5.(1)求{an}和{bn}的通项公式；(2)设cn ＝其中m ∈N*，求数列{cn}的前2n 项和．20．(本小题总分值16分)函数f(x)＝x －mlnx －1(m ∈R)在x ＝1处取得极值A ，函数g(x)＝f(x)＋ex －1－x ，其中e ＝2.718 28…是自然对数的底数．(1)求m 的值，并判断A 是f(x)的最大值还是最小值； (2)求g(x)的单调区间；(3)证明：对于任意正整数n ，不等式⎝⎛⎭⎫1＋12⎝⎛⎭⎫1＋122…⎝⎛⎭⎫1＋12n <e 成立． 数学答案1．B [命题立意]此题考查复数的乘法运算、复数相等．[解析]∵a －2i ＝b ＋ii ，∴(a －2i)i ＝b ＋i ，∴2＋ai ＝b ＋i ，∴b ＝2，a ＝1，∴a ＋bi ＝1＋2i ，应选B.2．A [命题立意]此题考查充分、必要条件的判定．[解析]当⎪⎪⎪⎪θ－π2<π2时，有0<θ<π，∴sinθ>0；反之不成立，∴“⎪⎪⎪⎪θ－π2<π2〞是“sinθ>0〞的充分不必要条件，应选A.3．D [命题立意]此题考查导数的几何意义．[解析]∵f(x)＝lnx ＋x2－ax ，∴f′(x)＝1x ＋2x －a ，∴f′(1)＝3－a ，∵切线与y ＝2x 平行，∴3－a ＝2，∴a ＝1，应选D.4．B [命题立意]此题考查圆锥的体积．[解析]由题意知几何体为圆锥，底面半径r ＝3，高h ＝4，∴体积V ＝13πr2h ＝12π，应选B.5．C [命题立意]此题考查频率分布直方图．[解析]由图可得(a ＋0.01＋0.02＋0.015)×20＝1，∴a ＝0.005，∵分数在[20，40)的频数为5，∴共抽取学生50.005×20＝50人，那么大于等于60分的人数为50×(0.02＋0.015)×20＝35，应选C.6．D [命题立意]此题考查函数单调性的应用．[解析]∵log 1312＝log32<log35<1<60.2，f(x)＝2x ＋5x 在R 上单调递增，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 1312<f(log35)<f(60.2)，即c>b>a ，应选D.7．C [命题立意]此题考查正弦型函数的图象性质．[解析]∵f(x)＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，∴ω＝2.又∵f(x)的图象关于x ＝π6对称，∴2·π6＋φ＝π2＋kπ，k ∈Z ，∴φ＝π6＋kπ，k ∈Z.又∵|φ|<π2，∴φ＝π6，∴f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，对于①，平移之后得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，图象不关于原点对称，①错误；对于②，f ⎝⎛⎭⎫5π12＝sin ⎝⎛⎭⎫2·5π12＋π6＝sinπ＝0，②正确；对于③，f ⎝⎛⎭⎫π4＝32≠12，③错误；对于④，f(x)在⎣⎡⎦⎤0，π6上单调递增，④正确，应选C.8．A [命题立意]此题考查双曲线的几何性质．[解析]不妨设A ⎝⎛⎭⎫x ，ba x ，那么⎩⎨⎧2x·2bax ＝12x2＋⎝⎛⎭⎫b a x 2＝10，整理得b a ＋a b ＝103，又a>b>0，∴b a ＝13，∴e ＝ca＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝103，应选A.9．D [命题立意]此题考查向量的数量积．[解析]过D 作DO ⊥AB 于O ，以O 为原点，AB 所在直线为x 轴建立如图直角坐标系， ∵等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BAD ＝60°，AB ＝8，CD ＝4，∴AO ＝2，DO ＝23，∴A(－2，0)，B(6，0)，D(0，23)，C(4，23)，∴M(5，3)．设E(x ，23)，∴AM →·AE →＝(7，3)·(x ＋2，23)＝7(x ＋2)＋6＝27，∴x ＝1，∴E(1，23)，∴DM →·DE →＝(5，－3)·(1，0)＝5，应选D.10.⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，－2，14 [命题立意]此题考查集合的交集、并集运算．[解析]∵A ＝{2，2m}，A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫14，∴2m ＝14，∴m ＝－2，又∵B ＝{m ，n}，∴n ＝14，∴A ∪B＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，－2，14.11．－80 [命题立意]此题考查二项展开式中的特定项的系数．[解析]⎝⎛⎭⎫1x －2x25展开式的通项为Tr ＋1＝Cr5⎝⎛⎭⎫1x 5－r (－2x2)r ＝(－2)rCr5x 5r －52，令5r －52＝5，∴r ＝3，∴x5的系数为(－2)3C35＝－80.12．2 [命题立意]此题考查根本不等式．[解析]由题意知a ＋b2＝4，又∵a>0，b>0，∴log2a ＋2log2b ＝log2ab2≤log2⎝⎛⎭⎫a ＋b222＝2，当且仅当a ＝b2＝2时等号成立，∴log2a ＋2log2b 的最大值为2.13．x －2y ＋8＝0 [命题立意]此题考查直线与圆的位置关系、直线的方程．[解析]当直线的斜率不存在时，x ＝－2代入圆的方程得y ＝1±15，|AB|＝215≠211，不合题意，故直线的斜率存在，设直线方程为y －3＝k(x ＋2)，那么⎝ ⎛⎭⎪⎫|k －1＋3|k2＋12＋11＝16，解得k ＝12，∴直线方程为y －3＝12(x ＋2)，即x －2y ＋8＝0.14.232312 [命题立意]此题考查独立事件同时发生的概率、离散型随机变量的分布列、期望． [解析]∵甲恰好答对3个问题的概率14＝34×12p ，∴p ＝23，X 的所有可能取值为0，1，2，3，P(X ＝0)＝14×12×13＝124，P(X ＝1)＝34×12×13＋14×12×13＋14×12×23＝624＝14，P(X ＝2)＝34×12×13＋34×12×23＋14×12×23＝1124，P(X ＝3)＝14，∴E(X)＝0×124＋1×624＋2×1124＋3×624＝2312. 15．(－∞，－3]∪(0，＋∞) [命题立意]此题考查分段函数、存在性问题求参数的取值范围．[解析]当x ≤0时，f(x)≤ax －1等价于x2－x ≤ax －1即ax ≥x2－x ＋1，当x ＝0时，不成立；当x<0时，等价于存在x ∈R ，a ≤x ＋1x －1成立，∵x ＋1x－1≤－2－1＝－3，∴a ≤－3.当x>0时f(x)≤ax －1等价于2x ≤ax －1，即x ∈R ，a ≥1x ＋2x 成立，∵1x ＋2x ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋12－1>0，∴a>0.综上a>0或a ≤－3.16．[命题立意]此题考查正、余弦定理、两角差的正弦公式． [解题思路](1)利用正弦定理将转化为角的关系式，结合三角形内角和定理得sinC ，从而求得角C ；(2)由余弦定理求得a ，b 边，再利用正弦定理求得sinB ，由b<c ，得B<C ，即B 是锐角，求得cosB 代入两角差的正弦公式即可．[解](1)由题设及正弦定理，得sinAsin A ＋B2＝sinCsinA.在△ABC 中，因为sinA ≠0， 所以sin A ＋B2＝sinC ，由于A ＋B ＝π－C ，从而sin A ＋B 2＝cos C2，所以cos C 2＝2sin C 2cos C2.在△ABC 中，因为0<C 2<π2，所以cos C 2≠0，所以sin C 2＝12，所以C 2＝π6，即C ＝π3.(2)在△ABC 中，由于c ＝7，C ＝π3，那么由余弦定理，得7＝a2＋b2－2abcos π3，即a2＋b2－ab ＝7.因为2a ＝3b ，所以⎝⎛⎭⎫3b 22＋b2－32b2＝7， 解得b ＝2，a ＝3.在△ABC 中，由正弦定理，得 sinB ＝bsinC c ＝2×sinπ37＝37＝217，因为△ABC 中，b ＝2<7＝c ，且C ＝π3，所以0<B<π3，所以cosB ＝1－sin2B ＝1－⎝⎛⎭⎫2172＝277.所以sin(C －B)＝sinCcosB －cosCsinB ＝32×277－12×217＝2114. 17．[命题立意]此题考查线面平行、二面角、线面角．[解题思路]建立空间直角坐标系，(1)证MN →与平面ABC 的法向量垂直；(2)分别求出平面MNB 和平面MNB1的法向量，利用向量法求得二面角的大小；(3)设P 点坐标，利用向量法和线面角的正弦值求得P 点坐标即可得B1PB1C1的值．[解]因为四边形ABB1A1，BB1C1C 均为正方形，所以A1B1⊥BB1，BB1⊥B1C1. 又A1B1⊥B1C1，从而以点B1为坐标原点，分别以向量B1B →，B1C1→，B1A1→的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如下图的空间直角坐标系B1－xyz.不妨设BB1＝2，那么有B1(0，0，0)，B(2，0，0)，A1(0，0，2)，M(1，2，0)，N(1，0，1)，所以MN →＝(0，－2，1)．(1)证明：方法1：易知，平面ABC 的法向量为B1B →＝(2，0，0)． 由于B1B →·MN →＝0，所以B1B →⊥MN →，即BB1⊥MN.又因为MN 平面ABC ，所以MN ∥平面ABC.方法2：取B1B 的中点Q ，连接MQ.证明平面MNQ ∥平面ABC ，进而证得MN ∥平面ABC.方法3：取AB 的中点R ，连接CR ，NR.先证明MN ∥CR ，进而证得MN ∥平面ABC.(2)由题意，知MN →＝(0，－2，1)，BM →＝(－1，2，0)，B1M →＝(1，2，0)． 设平面MNB 的法向量m ＝(x ，y ，z)， 那么有⎩⎪⎨⎪⎧m·MN →＝0，m·BM →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2y ＋z ＝0，－x ＋2y ＝0.令y ＝1，得m ＝(2，1，2)．设平面MNB1的法向量为n ＝(x1，y1，z1)， 那么有⎩⎪⎨⎪⎧n·MN →＝0，n·B1M →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2y1＋z1＝0，x1＋2y1＝0.令y1＝1，得n ＝(－2，1，2)．所以m ·n ＝1，|m|＝3，|n|＝3， 所以cos 〈m ，n 〉＝m·n |m||n|＝19，设二面角B －MN －B1的大小为θ， 所以sinθ＝1－cos2〈m ，n 〉＝459. 故所求二面角B －MN －B1的正弦值为459.(3)设点P(0，t ，0)(0≤t ≤2)，那么PM →＝(1，2－t ，0)， 且有PM →·n ＝－t ，|PM →|＝1＋〔2－t 〕2，|n|＝3.设直线PM 与平面MNB1所成角为θ，那么有sinθ＝|cos 〈PM →，n 〉|＝215，即|t|31＋〔2－t 〕2＝215，整理，得21t2＋16t －20＝0， 解得t ＝23或t ＝－107(舍去)．所以B1P B1C1＝t 2＝13.18．[命题立意]此题考查椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系．[解题思路](1)⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，|PQ|＝2b2a＝2，a2＝b2＋c2，求得a ，b ，c 得椭圆方程；(2)设直线AB 方程与椭圆方程联立，消y ，利用韦达定理求得B 点坐标，利用M 、B 关于原点对称得M 点坐标，由kAM ＝1，求得直线l 的方程．[解](1)易得，抛物线C 的焦点F 的坐标为(2，0)，准线方程x ＝－2，所以椭圆E 的右焦点F(2，0)，左焦点为F′(－2，0)．设椭圆E 的半焦距为c ，依题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，|PQ|＝2b2a ＝2，a2＝b2＋c2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝ 2.故所求椭圆E 的方程为x24＋y22＝1.(2)方法1：由题意，得E 的左顶点A(－2，0)．又知直线l 的斜率存在，不妨设为k(k ≠0)，点B(xB ，yB)，那么直线AB 方程为y ＝k(x ＋2)， 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 〔x ＋2〕，x24＋y22＝1.消去y 并整理，得(2k2＋1)x2＋8k2x ＋8k2－4＝0，(*)易知Δ＝(8k2)2－4(2k2＋1)(8k2－4)＝16>0， 所以－2，xB 为方程(*)的实数根， 从而－2×xB ＝8k2－42k2＋1，所以xB ＝2－4k22k2＋1.所以yB ＝k(xB ＋2)＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－4k22k2＋1＋2＝4k 2k2＋1.由题意，点B ，M 均在E 上，且B ，M 关于原点O 对称，所以点M(－xB ，－yB)，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2－4k22k2＋1，－4k 2k2＋1.所以kAM ＝1，所以4k2k2＋1－2＋2－4k22k2＋1＝1，解得k ＝－12.故所求直线l 的方程为y ＝－12(x ＋2)，即x ＋2y ＋2＝0.方法2：由题意，得E 的左顶点A(－2，0)，直线AM 的斜率为1， 所以直线AM 的方程为y ＝x ＋2. 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x24＋y22＝1.消去y 并整理，得3x2＋8x ＋4＝0. 解得x ＝－2，或x ＝－23.所以点M 的横坐标xM ＝－23(因为－2为点A 的横坐标)，所以点M 的纵坐标yM ＝43，从而点M ⎝⎛⎭⎫－23，43. 由题意，点B ，M 均在E 上，且B ，M 关于原点O 对称， 所以点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫23，－43，所以kAB ＝－12. 所以直线AB 的方程为y ＝－12(x ＋2)，即所求直线l 的方程为x ＋2y ＋2＝0.19．[命题立意]此题考查等差、等比数列的通项公式、分组求和、错位相减求和．[解题思路](1)解方程组分别求得a1、q 和b1、d.得{an}、{bn}的通项公式；(2)将cn 分为奇数项和偶数项分别求和、奇数项利用错位相减法求和，偶数项利用等差数列前n 项和公式求和．[解](1)设等比数列{an}公比为q ，由a4＝8，a3＝a2＋2，得⎩⎪⎨⎪⎧a1q3＝8，a1q2＝a1q ＋2，消去a1并整理，得q2－4q ＋4＝0， 解得q ＝2，从而a1＝1.所以an ＝2n －1；设等差数列{bn}的公差为d ，由b1＝a2，b2＋b6＝a5，得⎩⎪⎨⎪⎧b1＝2，4＋6d ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧b1＝2，d ＝2. 所以bn ＝2＋(n －1)×2＝2n.(2)由(1)及题意，得cn ＝⎩⎪⎨⎪⎧n·2n ，n ＝2m －1，2n ＋1，n ＝2m ，其中m ∈N*. ①当n 为奇数时，不妨设数列{n·2n}的前n 项和为S 奇，所以S 奇＝c1＋c3＋c5＋…＋c2n －1，即S 奇＝1×2＋3×23＋5×25＋…＋(2n －1)×22n －1，所以4S 奇＝1×23＋3×25＋5×27＋…＋(2n －3)×22n －1＋(2n －1)×22n ＋1， 上述两式相减，得－3S 奇＝2＋2×23＋2×25＋…＋2×22n －1－(2n －1)×22n ＋1 ＝2＋24〔1－4n －1〕1－4－(2n －1)×22n ＋1＝5－6n 3×22n ＋1－103，所以S 奇＝6n －59×22n ＋1＋109.②当n 为偶数时，易得，数列{2n ＋1}前n 项和为S 偶＝5＋9＋13＋…＋(4n ＋1)＝n[5＋〔4n ＋1〕]2＝2n2＋3n.设{cn}的前2n 项和为T2n 那么T2n ＝S 奇＋S 偶 ＝6n －59×22n ＋1＋2n2＋3n ＋109. 20．[命题立意]此题考查利用导数求函数的极值、最值、单调区间、不等式证明．[解题思路](1)对f(x)求导，利用f′(1)＝0求得m ，代回解不等式得f(x)的单调区间，从而得极值；(2)对g(x)求导，判正负得单调区间；(3)利用(1)中结论x －1>lnx(x>1)，令x ＝1＋12n (n ∈N*)，累加即可得证．[解](1)因为f(x)＝x －mlnx －1(x ∈(0，＋∞))，所以f′(x)＝1－mx(x ∈(0，＋∞))．因为x ＝1是f(x)的极值点，所以f′(1)＝0， 即1－m1＝0，所以m ＝1.此时f(x)＝x －lnx －1，f′(x)＝1－1x ＝x －1x，(x ∈(0，＋∞))．易得，当0<x<1时，f′(x)<0；当x>1时，f′(x)>0，所以函数f(x)在区间(0，1)上单调递减；在区间(1，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)在x ＝1处的极值A 是最小值． (2)由(1)知，m ＝1，所以g(x)＝ex －1－lnx －1，且x ∈(0，＋∞)， 所以g′(x)＝ex －1－1x.设h(x)＝ex －1－1x (x ∈(0，＋∞))，那么h′(x)＝ex －1＋1x2.显然，当x>0时，h′(x)>0恒成立，所以函数h(x)在x ∈(0，＋∞)上单调递增，且h(1)＝0. 所以，当0<x<1时，h(x)<0，即g′(x)<0； 当x>1时，h(x)>0，即g′(x)>0.所以，函数g(x)的单调递减区间为(0，1)；单调递增区间为(1，＋∞)． (3)证明：由(1)可知，当x>1时，f(x)>f(1)＝0，即x －1>lnx. 不妨令x ＝1＋12n (n ∈N*)，那么有ln ⎝⎛⎭⎫1＋12n <12n(n ∈N*)． 所以ln ⎝⎛⎭⎫1＋121＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋122＋…＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋12n <121＋122＋…＋12n ＝1－12n<1， 即ln ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1＋12⎝⎛⎭⎫1＋122…⎝⎛⎭⎫1＋12n <1＝lne. 因为函数y ＝lnx 在区间(1，＋∞)上单调递增， 所以⎝⎛⎭⎫1＋12⎝⎛⎭⎫1＋122…⎝⎛⎭⎫1＋12n <e(得证)．。
2020届天津市七校高三年级上学期期中联考数学试题及答案
绝密★启用前天津市七校2020届高三年级上学期期中联考数学试题一、选择题：共9小题，每小题5分，共45分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ＝{x|x 2－5x ＋6≤0},B ＝{x ∈Z|1<x<5},A ∩B ＝A.[2,3]B.(1,5)C.{2,3}D.{2,3,4}2.若x>0>y,则下列各式中一定正确的是A.sinx>sinyB.lnx<ln(－y)C.e x <e yD.11x y > 3.已知a ＝1.10.2,b ＝log 0.21.1,c ＝0.21.1,则A.a>b>cB.b>c>aC.a>c>bD.c>a>b4.要得到函数sin(4)3y x π=-的图象,只需要将函数y ＝sin4x 的图象 A.向右平移12π个单位 B.向左平移12π个单位 C.向右平移3π个单位 D.向左平移3π个单位 5.有下面四个命题,其中正确命题的序号是①“直线a 、b 不相交”是“直线a 、b 为异面直线”的充分而不必要条件；②“直线l ⊥平面α内所有直线”的充要条件是“l ⊥平面α”；③“直线a//直线b ”的充要条件是“a 平行于b 所在的平面”；④“直线a//平面α”的必要而不充分条件是“直线a 平行于α内的一条直线。
”A.①③B.②③C.②④D.③④6.在△ABC 中,a 、b 、c 分别为∠A,∠B,∠C 的对边,如果a 、b 、c 成等差数列,∠B ＝30°,△ABC 的面积为32,那么b ＝A.12B.2C.22+ D.1+7.已知定义域为R 的奇函数y ＝f(x)的导函数为y ＝f ’(x),当x ≠0,()'()0f x f x x +<,若22()33a f =,2(2)b f =--,11ln (ln )33c f =,则a 、b 、c 的大小关系正确的是A.a<b<cB.b<c<aC.a<c<bD.c<a<b8.如图,0OA OB ⋅=,2,2OA OB ==,点C 是线段,AB 上的一个动点,D 为OB的中点,则DC OC ⋅的最小位为A.13B.12D.2 9.已知函数211,[2,0]()12(2),(0,)x x f x x f x x ⎧-⎪+∈-=⎨-⎪-∈+∞⎩,若函数g(x)＝f(x)－x －2m ＋1在区间]－2,4]内有3个零点,则实数m 的取值范围是A.11{}22m m -<< B.1{1}2m m -<≤ C.1{11}2m m m -<<=或 D.11{1}22m m m -<<=或 二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分。
【精准解析】天津市七校(静海一中、宝坻一中、杨村一中等)2020届高三上学期期中考试联考数学试题+含解析
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5.有下面四个命题，其中正确命题的序号是（ ）
①“直线 a 、b 不相交”是“直线 a 、b 为异面直线”的充分而不必要条件；②“直线 l 平面 内 所有直线”的充要条件是“ l 平面 ”；③“直线 a / / 直线 b ”的充要条件是“ a 平行于 b 所在的
只要坚持 梦想终会实现
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平面”；④“直线 a / / 平面 ”的必要而不充分条件是“直线 a 平行于 内的一条直线．”
A. ①③
B. ②③
C. ②④
D. ③④
【答案】C
【解析】
【分析】
①“直线 a 、 b 为异面直线” “直线 a 、 b 不相交”，反之不成立，即可判断出关系；
②根据线面垂直的判定与性质定理即可判断出正误；
点，则 DC OC 的最小值为（ ）
1
A.
3
1
B.
2
C. 2
D. 2
【答案】B 【解析】
【分析】
由题意以 O 为坐标原点，建立面直角坐标系，用坐标表示出 DC ， OC 然后进行运算。 【详解】解：OAOB 0
OA OB
所以可建立以 O 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
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又 B {x Z |1 x 5} 2,3, 4 ，所以 A B 2,3 ，故本题选 C.
【点睛】本题考查了列举法表示集合、集合交集的运算，正确求解出不等式的解集是解题的 关键. 2.若 x＞0＞y，则下列各式中一定正确的是（ ）
A. sinx siny
B. lnx ln y
C. ex ey
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2019～2020 学年度第一学期期中七校联考高三数学
天津市2020〖人教版〗高三数学复习试卷上学期期中考试数学试卷带解析
天津市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷上学期期中考试数学试卷带解析创作人：百里公地 创作日期：202X.04.01 审核人： 北堂址重 创作单位： 博恒中英学校一、填空题1．若集合2{|lg(2)}A x y x x ==-，|2,0x B y y x ，则集合A B =．【答案】(1,2) 【解析】试题分析：22{|lg(2)}{|20}(0,2)A x y x x x x x ==-=->=，|2,0(1,)x B y y x ，则A B =(1,2)考点：集合运算2．cos 2cos 0,sin 2sin ________.θθθθ+=+若则的值等于 【答案】【解析】略3．已知命题02,:2≤++∈∃a x x R x p 是真命题，则实数a 的取值范围是________． 【答案】 1.a ≤ 【解析】试题分析：由题意得：440 1.a a ∆=-≥⇒≤考点：命题真假4．直线kx -y +1-3k =0,当k 变化时,所有直线恒过定点_____________. 【答案】 (3,1)【解析】直线可以为y -1=k (x -3),∴过定点(3,1).5．已知椭圆2241x y +=及直线y x m =+,当直线被椭圆截得的弦最长时的直线方程为____________.【答案】y x = 【解析】略6．函数()sin 3(0)f x x x x π=--≤≤的单调增区间是________．【答案】[,0]6π-【解析】试题分析：因为()sin 2sin()3f x x x x π==-，所以由22()232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈得522()66k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，又0x π-≤≤，因此单调增区间是[,0]6π-．考点：三角函数单调区间 7．已知函数2()ay x a R x=+∈在1=x 处的切线与直线210x y -+=平行，则a 的值为________． 【答案】0.a = 【解析】试题分析：因为22ay x x '=-，所以22,0.a a -==考点：导数几何意义8．设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0,)+∞上单调递增，则满足不等式1(lg)10xf f <（）的x 取值范围是________． 【答案】10001x x ><<或 【解析】 试题分析：由题意得：1(|lg|)1|lg |lg 1lg 11000110101010x x x xf f x x <⇒<⇒><-⇒><<（））或或考点：函数奇偶性及单调性9．在ABC ∆中，若22()||5CA CB AB AB +⋅=，则tan tan AB= . 【答案】73【解析】试题分析：22()||5CA CB AB AB +⋅=⇒22||5CA AB CB AB AB ⋅+⋅=⇒22cos cos 5bc A ac B c -+=5cos 5cos 2a B b A c⇒-=5sin cos 5sin cos 2sin A B B A C⇒-=5sin cos 5sin cos 2sin()A B B A A B ⇒-=+5sin cos 5sin cos 2sin cos 2cos sin A B B A A B A B ⇒-=+⇒3sin cos 7sin cos A B B A =sin cos 7sin cos 3A B B A ⇒=tan 7tan 3A B ⇒=.考点：平面向量的数量积、正弦定理.10．在ABC ∆中，若5,12,||||AB AC AB AC BC ==+=，则||BA BCBC ⋅的值为________．【答案】25.13【解析】试题分析：由题意得：AB AC ⊥，因此225.13||||BA BC BA BC BC ⋅== 考点：向量数量积11．已知a 为正实数，函数2()2f x x x a =-+，且对任意的[0,]x a ∈，都有()[,]f x a a ∈-，则实数a 的取值范围为________． 【答案】0 2.a <≤ 【解析】试题分析：当01a <<时，(0),()f a f a a ≤≥-，即22,a a a a -+≥-因此01a <<；当1a ≥时，(0),(1),()f a f a f a a ≤≥-≤，即212,2,a a a a a a -+≥--+≤因此12a ≤≤；综上实数a 的取值范围为0 2.a <≤ 考点：二次函数最值 12．椭圆M ：的左，右焦点分别为，P 为椭圆M 上任一点，且的最大值的取值范围是，其中，则椭圆M 的离心率e 的取值范围是________． 【答案】【解析】∵的最大值为，∴由题意知，∴，∴，∴椭圆离心率e 的取值范围是．13．已知函数21,0,(),2,0x xe x f x e x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪->⎩若函数(())y f f x a =-有四个零点，则实数a 的所有可能取值构成的集合是________．【答案】1(1,1)e + 【解析】试题分析：10,(),()0, 1.x x x x f x xe f x e xe x e '≤=+=+==-因此：当1x ≤-时，1()0,()[0,)f x f x e'≤∈；当10x -<≤时，()[1,)f x ∈-+∞1()0,()(0,]f x f x e '>∈；当01x <<时，()(1,0)f x ∈-；当1x ≥时，；(())0()1()2f f x a f x a f x a -=⇒-=--=或，因为函数(())y f f x a =-有四个零点，因此11(0,)a e -∈，实数a 的所有可能取值构成的集合是1(1,1)e + 考点：函数零点14．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(2,0)A -，点B 是圆22:(2)4C x y -+=上的点，点M 为AB 中点，若直线:5l y kx k =-上存在点P ，使得30OPM ∠=，则实数k 的取值范围为________． 【答案】22k -≤≤ 【解析】试题分析：因为点M 为AB 中点，所以112OM CB ==,即点M 轨迹为以原点为圆心的单位圆，当PM 为单位圆切线时，OPM ∠取最大值，即30OPM ∠≥，从而12sin OP OPM =≤∠，因此原点到直线:l y kx =-距离不大于2，即222k ≤⇒-≤≤考点：直线与圆位置关系 【名师点睛】直线与圆位置关系解题策略1．与弦长有关的问题常用几何法，即利用弦心距、半径和弦长的一半构成直角三角形进行求解．2．利用圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系，也可利用直线的方程与圆的方程联立后得到的一元二次方程的判别式来判断直线与圆的位置关系． 3．与圆有关的范围问题，要注意充分利用圆的几何性质答题． 二、推断题 三、解答题15．（本小题满分为14分）已知函数()2cos()(05)63f x x x ππ=+≤≤，点B A ,分别是函数)(x f y =图象上的最高点和最低点．（1）求点B A ,的坐标以及⋅的值；（2）设点B A ,分别在角])2,0[,(,πβαβα∈的终边上，求)22sin(βα-的值．【答案】（1）)2,4(),1,0(-B A ，2-=⋅→→OB OA ；（2）1027. 【解析】试题分析：（1）首先由50≤≤x 可知21)36cos(1≤+≤-ππx ，即函数)(x f y =的最高点和最低点的纵坐标分别为1,21-，于是可分别求出其对应的自变量x 的取值范围，进而求出点B A ,的坐标，最后运用向量数量积的坐标运算即可求出⋅的值；（2）直接根据三角函数的定义可得55sin ,2-==βπα，然后运用倍角公式分别求出β2sin 和β2cos ，最后由两角和差的正弦公式即可求出所求的结果. 试题解析：（1）因为50≤≤x ，所以67363ππππ≤+≤x ，所以21)36cos(1≤+≤-ππx ，当336πππ=+x ，即0=x 时，)(x f 取得最大值1；当πππ=+36x ，即4=x 时，)(x f 取得最大值-2，因此，所求的坐标为)2,4(),1,0(-B A ，则)2,4(),1,0(-==→→OB OA ，所以2-=⋅→→OB OA ;因为点)2,4(),1,0(-B A 分别在角])2,0[,(,πβαβα∈的终边上，则55sin ,2-==βπα， 552cos =β，则54552)552(2cos sin 22sin -=⨯-⨯==βββ，531)552(21cos 22cos 22=--⨯=-=ββ，所以)22sin(βα-1027)5453(22)24sin(=+⨯=-=βπ. 考点：1.余弦函数的图像及其性质；2.向量数量积的坐标运算；3.倍角公式；4.两角和差的正弦公式；16．在ABC ∆中，45B ∠=,D 是边BC 上一点，5,3,7AD CD AC === （1）求ADC ∠的值； （2）求BA DA ⋅的值【答案】（1）32π=∠ADC （2）【解析】试题分析：（1）在ADC △中，已知三边求一角，故应用余弦定理：222cos 2AC ADC CD AD CD AD =∠⋅-+，解得21cos -=∠ADC ，32π=∠ADC （2）因为||||cos BA DA BA DA BAD ⋅=⋅∠,而 7560451805=--=∠=BAD AD ，,因此只需求边AB，这可由正弦定理解得：ADBABABD AD ∠=∠sinsin sin sin AD AB ADB ABD ⇒=⨯∠=∠ 试题解析：在ADC △中，由余弦定理得：222cos 2AC ADC CD AD CD AD =∠⋅-+．把5=AD ，3=CD ，7=AC 代入上式得21cos -=∠ADC ．因为π<∠<ADC 0，所以32π=∠ADC ．在ADC △中，由正弦定理得：ADB ABABD AD ∠=∠sin sin ． 故265sin sin =∠⨯∠=ADB ABD AD AB ．所以5625(35cos7524BA DA ⋅=⨯=． 考点：正余弦定理【名师点睛】1．正弦定理可以处理①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角．余弦定理可以处理①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．其中已知两边及其一边的对角，既可以用正弦定理求解也可以用余弦定理求解．2．利用正、余弦定理解三角形其关键是运用两个定理实现边角互化，从而达到知三求三的目的．17．已知直线l 与圆22:240C x y x y a ++-+=相交于A,B 两点，弦AB 的中点为(0,1)M （1）求实数a 的取值范围以及直线l 的方程;（2）若以AB 为直径的圆过原点O ，求圆C 的方程．【答案】（1）3<a ，1+=x y （2）0242:22=+-++y x y x C 【解析】试题分析：（1）由点与圆位置关系得：弦中点必须在圆内部，即0412<+-a ，所以3<a ．再由圆心与弦中点连线垂直于直线得所求直线斜率，再由点斜式得直线方程：因为1-=CM k ，所以1=l k ．直线l 的方程为1+=x y ． （2）以AB 为直径的圆的圆心为弦AB 的中点(0,1)M ，半径为OM ，因此圆O 方程标准式为2220x y y +-=，两圆公共弦方程为220x y a -+=，与1+=x y 重合，因此2=a ，即圆C 的方程为222420x y x y ++-+= 试题解析：解：（1）因为044222>-+a ，所以5<a ． 因为)1,0(M 在圆C 内，所以0412<+-a ，所以3<a ．综上知3<a ．因为弦AB 的中点为)1,0(M ，所以直线CM l ⊥．因为1-=CM k ，所以1=l k ．所以直线l 的方程为1+=x y ．由⎩⎨⎧+==+-++1,04222x y a y x y x 得0322=-+a x ，故231a x -=，232a x --=． 不妨设)123,23(+--a a A ，)123,23(+----aa B ．则3312022a aOA OB a --⋅=-+-=-=，故2=a ． 故圆0242:22=+-++y x y x C ． 考点：直线与圆位置关系，圆方程 【名师点睛】（1）若已知条件容易求出圆心坐标和半径或需利用圆心坐标列方程，通常选用圆的标准方程；若已知条件为圆经过三点，一般采用一般式． （2）解决直线与圆的问题可以借助圆的几何性质；但也要理解掌握一般的代数法，利用“设而不求”的方法技巧，要充分利用一元二次方程根与系数的关系求解．18．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b )0,2(-F ． （Ⅰ）求出椭圆C 的方程； （Ⅱ） 若直线y x m 与曲线C 交于不同的A 、B 两点，且线段AB 的中点M 在圆221x y 上，求m 的值．【答案】（1）14822=+y x（2）222()()133m m m ∴-+==，即【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意得，c a =，2c = , 解得：⎩⎨⎧==222b a 所以椭圆C 的方程为：14822=+y x （Ⅱ）设点A,B 的坐标分别为),(11y x ，),(22y x ，线段AB 的中点为M ),(00y x ，由⎪⎩⎪⎨⎧+==+m x y y x 14822，消去y 得0824322=-++m mx x 点 M ),(00y x 在圆122=+y x 上，考点：直线与椭圆的位置关系点评：主要是考查了直线与椭圆的位置关系，以及椭圆性质的综合运用，属于中档题。
天津市部分区2020届高三数学上学期期中练习试题201912160268
天津市部分区2020届高三数学上学期期中练习试题第I 卷(共45分)一、选择题：本大题共9道小题，每小题5分，共45分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A ＝{2，3，5.6}，B ＝{1，3，4，6，7}，则A ∪(U ðB)＝A.{2，5}B.{3，6}C.{2.5，6}D.{2，3，5，6，8}2.i 是虚数单位，复数734ii++ A.1－i B.－1＋i C.17312525i + D.172577i -+3.(x 2－32x)，展开式中的常数项是A.80B.－80C.40D.－40 4.设x ∈R ，则“|x －1|<1”是“x 2－x －2<0”的A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 5.两个实习生每人加工一个零件。
加工为一等品的概率分别为56和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为A.12 B.13 C.512 D.166.函数212()log (9)f x x =-的单调递增区间是A.(0，＋∞)B.(－∞，0)C.(3，＋∞)D.(－∞，－3)7.下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x ＝23π-对称的是 A.y ＝sin(2x ＋6π) B.y ＝sin(2x ＋3π) C.y ＝sin(2x －3π) D.y ＝sin(2x －6π)8.已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n ＋n ＋1(n ∈N *)，且a 1＝2，则a 10＝ A.54 B.55 C.56 D.579.已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，12BE BC =，13DF DC =。
则BF DE ⋅＝A.223- B.23C.56D.223第II卷(共105分)二、填空题：本大题共6道小题，每小题5分，共30分。
天津市七校2020届高三上学期期中考试数学试卷
数学试题一、选择题：共9小题，每小题5分，共45分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ＝{x|x 2－5x ＋6≤0}，B ＝{x ∈Z|1<x<5}，A ∩B ＝A.[2，3]B.(1，5)C.{2，3}D.{2，3，4}2.若x>0>y ，则下列各式中一定正确的是A.sinx>sinyB.lnx<ln(－y)C.e x <e yD.11x y > 3.已知a ＝1.10.2，b ＝log 0.21.1，c ＝0.21.1，则A.a>b>cB.b>c>aC.a>c>bD.c>a>b4.要得到函数sin(4)3y x π=-的图象，只需要将函数y ＝sin4x 的图象 A.向右平移12π个单位 B.向左平移12π个单位 C.向右平移3π个单位 D.向左平移3π个单位 5.有下面四个命题，其中正确命题的序号是①“直线a 、b 不相交”是“直线a 、b 为异面直线”的充分而不必要条件；②“直线l ⊥平面α内所有直线”的充要条件是“l ⊥平面α”；③“直线a//直线b ”的充要条件是“a 平行于b 所在的平面”；④“直线a//平面α”的必要而不充分条件是“直线a 平行于α内的一条直线。
”A.①③B.②③C.②④D.③④6.在△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，如果a 、b 、c 成等差数列，∠B ＝30°，△ABC 的面积为32，那么b ＝A.12B.2C.22+ D.17.已知定义域为R 的奇函数y ＝f(x)的导函数为y ＝f ’(x)，当x ≠0，()'()0f x f x x +<，若22()33a f =，2(2)b f =--，11ln (ln )33c f =，则a 、b 、c 的大小关系正确的是 A.a<b<c B.b<c<a C.a<c<b D.c<a<b8.如图，0OA OB ⋅=，2,2OA OB ==，点C 是线段，AB 上的一个动点，D 为OB 的中点，则DC OC ⋅的最小位为A.13B.12D.2 9.已知函数211,[2,0]()12(2),(0,)x x f x x f x x ⎧-⎪+∈-=⎨-⎪-∈+∞⎩，若函数g(x)＝f(x)－x －2m ＋1在区间]－2，4]内有3个零点，则实数m 的取值范围是 A.11{}22m m -<< B.1{1}2m m -<≤ C.1{11}2m m m -<<=或 D.11{1}22m m m -<<=或 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
天津市部分区2019-2020学年度第一学期期中练习高三数学答案
天津市部分区2019～2020学年度第一学期期中练习高三数学参考答案一．选择题：10．()ln x f x a a '= 11 12．30 13．30 14．24π 15．[4,2]- 三．解答题：16．解：（Ⅰ）)(x f 定义域为),0+∞（ .......................................................1分)11(11)(22x x x x x f +-=--=' ................................................4分0>x 且 上恒成立在),0(0)(+∞<'∴x f即)(x f 单调递减区间为),0+∞（ ...............................................................7分（Ⅱ） )()2(2a f a f <+等价于⎪⎩⎪⎨⎧>+>>+222002a a a a ， .......................11分解不等式组得20,01<<<<-a a 或. ............................................14分17．解：（Ⅰ）由正弦定理得CCAA C cos sin sin sin sin 8=， ...........................3分化简得81cos =C ...................................................................................5分（Ⅱ）52CB CA =， 5cos 2ab C ∴=， 20ab ∴=． ......................................................................................7分又9a b +=22281a ab b ∴++=．2241a b ∴+=． ...........................................................................10分2222cos 36c a b ab C ∴=+-=．6c ∴=． ......................................................................14分18．解：（Ⅰ）设“取出的4个球中恰有1个红球”为事件A ，52)(2523131222231211=+=C C C C C C C C A P ..............................................................5分（Ⅱ）解：ξ可能的取值为0123，，，． .........................................................6分 101)0(25232322===C C C C P ξ， ......................................................................8分 由（Ⅰ）52)1(==ξP ，3013)2(2523222213121211=+==C C C C C C C C P ξ， ..................................................10分 151)3(2523221211===C C C C C P ξ. ..............................................................12分ξ的分布列为分ξ的数学期望．15221513301325211010=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE . ....................15分 19．解：（Ⅰ）证明：由四边形ABCD 为菱形，︒=∠60ABC ，可得ABC ∆为正三角形.因为E 为BC 的中点，所以BC AE ⊥. 又 AD BC //，因此AD AE ⊥. 因为ABCD PA 平面⊥，ABCD AE 平面⊂，所以AE PA ⊥. ...............................................2分 而PAD PA 平面⊂，PAD AD 平面⊂且A AD PA = ， 所以PAD AE 平面⊥，又PAD PD 平面⊂.所以PD AE ⊥ . ......................................5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知AP AD AE ,,两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又F E ,分别为PC BC ,的中点，所以)0,0,0(A ，)0,1,3(-B ，)0,1,3(C ，)0,2,0(D ，)2,0,0(P ，)0,0,3(E ，)1,21,23(F ，① )0,2,0(),2,1,3(=-=,. ..........................................6分∴42222022103||||,cos =⨯⨯+⨯+⨯-=⋅>=<AD BP ,............9分 设异面直线PB 与AD 所成角为α，∴414sin =α ...........................10分 ②31(3,0,0),(,,1).22AE AF == 设平面AEF 的一法向量为111(,,),m x y z =则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00m m因此11110,10.2x y z =++= 取11,(0,2,1),z m =-=-则 .....................................12分因为AC BD ⊥，PA BD ⊥，A AC PA = ， 所以 AFC BD 平面⊥，故 BD 为平面AFC 的一法向量. ..............................................13分又 BD =（），所以 ><m ,cos |BD||||5m BD == .............................15分因为二面角C AF E --为锐角，所以所求二面角的余弦值为5.......16分 20．解：（Ⅰ）,64,2,,2141211d a S d a S a S d +=+===4122421,,S S S S S S =∴成等比..........................................4分解得12,11-=∴=n a a n . .........................................6分 （Ⅱ）)121121()1(4)1(111++--=-=-+-n n a a n b n n n n n ，...........................10分当n 为偶数时11111(1)()()33557n T =+-+++-1111()()23212121n n n n ++-+---+1221211+=+-=∴n nn T n .........................................12分11111(1)()()33557n n T =+-+++--当为奇数时，1111()()23212121n n n n +++---+12221211++=++=∴n n n T n .........................................14分⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=∴为奇数为偶数n n n n n nT n ,1222,122． ..........................................16分。
2020-2021学年天津市部分区高三(上)期中数学试卷
2020-2021学年天津市部分区高三（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分。
在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A＝{1，2，3，5，6，9}，B＝{x|2＜x＜10}（）A．2B．3C．4D．52．（5分）对于实数x，“|x|＜1”是“x＜1”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要3．（5分）函数y＝的图象大致为（）A．B．C．D．4．（5分）设cos x＝﹣，则cos2x＝（）A．B．C．D．﹣5．（5分）将一个棱长为1cm的正方体铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的表面积为（）A．B．πcm2C．D．3πcm26．（5分）已知单位向量的夹角为60°，与垂直（）A．1B．﹣1C．2D．﹣27．（5分）设2，则a，b，c的大小关系为（）A．b＜a＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．a＜b＜c8．（5分）已知两条平行直线l1：2x﹣y+1＝0，l2：x+ay＝0（a∈R），则l1与l2间的距离为（）A．B．C．D．9．（5分）已知a＞0，函数f（x）＝，若关于x的方程f（x）（2﹣x）恰有2个互异的实数解，则a的取值范围为（）A．1＜a＜4B．2＜a＜4C．4＜a＜8D．2＜a＜8二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分。
10．（5分）函数f（x）＝x sin x的导函数为．11．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和，若S n＝n2﹣2n（n∈N*），则a9＝，通项公式a n＝．12．（5分）在正三棱柱ABC﹣A′B′C′中，D为棱AC的中点，AB＝AA′．13．（5分）若向量＝（3，﹣4），则与平行的单位向量是．14．（5分）圆x2+y2﹣4＝0与圆x2+y2﹣4x+4y﹣12＝0的公共弦的长为．15．（5分）已知a＞0，b＞0，且a+2b＝2，则+．三、解答题：本大题共5小题，共75分。
天津市七校(静海一中、宝坻一中、杨村一中等)2019-2020学年高三上学期期中联考数学试题(解析版)
2019～2020学年度第一学期期中七校联考高三数学一、选择题：共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|560}A x x x =-+≤，{|15}B x Z x =∈<<，则AB =（ ） A. [2,3]B. (1,5)C. {2,3}D. {2,3,4} 【答案】C【解析】【分析】解不等式简化集合A 的表示，用列举法表示集合B ，最后根据集合交集的定义求出A B . 【详解】2560(2)(3)023x x x x x -+≤⇒--≤⇒≤≤，{}23A x x ∴=≤≤， 又{}{|15}2,3,4B x Z x =∈<<=，所以{}2,3A B ⋂=，故本题选C.【点睛】本题考查了列举法表示集合、集合交集的运算，正确求解出不等式的解集是解题的关键. 2.若x ＞0＞y ，则下列各式中一定正确的是（ ）A. sinx siny >B. ()lnx ln y <-C. x y e e <D. 11x y> 【答案】D【解析】【分析】举反例否定A,B,C ，根据不等式性质证明D 成立.【详解】∵[]sin πsin πln1ln 1=-=--，,11 e e ->, ∴A,B,C 不正确， ∵x ＞0，∴1x ＞0，∵y ＜0，∴1y ＜0，∴1x ＞1y ． 故选：D ． 【点睛】本题考查比较大小，考查基本分析判断能力，属基本题.3.已知0.21.1a =，0.2log 1.1b =， 1.10.2c =，则（ ）A. a b c >>B. b c a >>C. a c b >>D. c a b >>【答案】C【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【详解】0.20 1.100.20.2a 1.1 1.11,?b log 1.1log 10,?0c 0.20.21=>==<=<=<=,故a c b >> 故选：C【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，熟记指对函数的单调性与底的关系是关键，属于基础题．4.要得到函数4y sin x =-（3π）的图象，只需要将函数4y sin x =的图象（ ） A. 向左平移12π个单位 B. 向右平移12π个单位 C. 向左平移3π个单位 D. 向右平移3π个单位 【答案】B【解析】因为函数sin 4sin[4()]312y x x ππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，要得到函数43y sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需要将函数4y sin x =的图象向右平移12π个单位。