用函数的视角看数列
三、以函数的形态呈现数列
1.若函数f ( x) x m bx的导数为f ( x) 2 x 1. 1 设an , S n是数列 {an }的前n项和, 则S n f ( n)
专题：用函数的视角看数列
吉林二中 申晓晶
基础知识
等差数列
等比数列
一、用函数的视角看数列的通项
2n 1.已知数列 {an }的通项公式是 an , 3n 1 那么这个数列是 A递增数列 C.摆动数列 B.递减数列 D.常数列
一、用函数的视角看数列的通项
2.已知数列 {an }是递增数列 , 且通项公式为
江苏0615 .对于是n N *设曲线f ( x) x n (1 x)在x 2处 an 的切线与y轴交点的纵坐标为 an , 则数列 的前n项 n 1 和公式是
三、以函数的形态呈现数列
上海0913 .对于函数f ( x) sin x tan x.项数为27的等差 数列an 满足an , , 且公差d 0.若f a1 f a2 2 2 f a27 0, 则当k 时, f ak 0
பைடு நூலகம்
二、用函数的视角看数列的递推关系
4.已知函数y f ( x)的图象在下列图中 , 且对任意 ai 0,1,由关系式an 1 f (an )得到的数列满足 an 1 an (n N * ),则该函数的图象是 (
y 1 1 y 1 y 1 y
).
O (A)
1
x
O (B)
1
x
二、用函数的视角看数列的递推关系
an 3 2.湖南0505 .已知数列 {an }满足a1 0, an 1 , 3an 1 则a20
二、用函数的视角看数列的递推关系
1 an 3.已知数列 {an }满足a1 2, an 1 , 1 an 则连乘积a1 a2 a3 a2009 a2010的值为 A. 6 B.3 C.2 D.1
O (C)
1
x
O (D)
1
x
三、以函数的形态呈现数列
陕西0912.对于是n N *设曲线f ( x) x n 1在点1， 1处的切 线与x轴交点的横坐标为 xn , 则x1 x2 xn等于 1 A. n 1 B. n 1 n C. n 1 D.1
三、以函数的形态呈现数列
n 12 * 4.数列an 中, 通项公式为an ,n N , n2 则数列an 中项的最小值为 .
2
二、用函数的视角看数列的递推关系
1.已知当x R时函数y f ( x)满足 : 1 f 2.1 x f 1.1 x , 且f 1 1, 3 . 则f 100的值为 34 33 1 A. B. C.34 D. 33 34 34
3 11 已知函数f x , 其中对称中心是 ,0 .若 2 x 11 2 3 * an , n N 记数列an 的前n项和为S n , 则 2n 11 . S n 0的n的最小值为
A.10
B.11
C.12
D.13
三、以函数的形态呈现数列
an n 2 n, 则实数的取值范围是
7 A. , B.0, 2 C. 2, D. 3,
一、用函数的视角看数列的通项
3.已知数列 {an }的通项公式an n (10 n),
2
求数列 {an }的最大项 .
一、用函数的视角看数列的通项
数列 第九讲 如何从“函数”的角度思考数列问题
备考指津
1.熟悉一些特殊数列的函数模型，如将等差数列、等比数 列与一次函数、指数函数相联系起来，这样有助于提升 学生对函数思想的理解水平．
1.【答案】D
2.【答案】49
谢谢您的观看！
化简，得：2n2－p 5≤p2＋n－82 ．
因为 p 是正整数，当 n＝1，2 时，不等式2n2－p 5≤p2＋n－82 左边小于 0，右边大于 0， 所以 n＝1，2 是不等式2n2－p 5≤p2＋n－82 的解．
能力突破
1．数列是一个特殊的函数，研究数列中的最大项或最小项或恒成立 或不等式的解的问题可以从函数的角度来思考；
例 2. 已知数列{an}是公差为 1 的等差数列，bn＝1＋anan． （1）若 a1＝－52，求数列{bn}中的最大项和最小项的值；
例 2. 已知数列{an}是公差为 1 的等差数列，bn＝1＋anan． （2）若对任意的 n∈N*，都有 bn≤b8 成立，求 a1 的取值范围．
例 2. 已知数列{an}是公差为 1 的等差数列，bn＝1＋anan．
N
有哪些性质？
分析：数列{an}是一个特殊的函数，它的图象应该是上面曲线上一些离散的点，
我们也可以用相邻两点联系的斜率来刻画其单调性.
10
9
8
7
6
5 4
系列系1列1
3
2
1
0
0
1
2
33
44
典题直击
例 2. 已知数列{an}是公差为 1 的等差数列，bn＝1＋anan． （1）若 a1＝－52，求数列{bn}中的最大项和最小项的值； （2）若对任意的 n∈N*，都有 bn≤b8 成立，求 a1 的取值范围．
解：因为{an}是等差数列，d＞1，{bn}是等比数列，q＞1， 且{a3，a4，a5}∪{b3，b4，b5}＝{1，2，3，4，5}， 所以{a3，a4，a5}＝{1，3，5}，{b3，b4，b5}＝{1，2，4}， 所以 an＝2n－5，bn＝2n－3．
用函数的观点看数列 ( 刘若菡)
用函数的观点看数列温州七中刘若菡设计立意及思路：数列是函数概念的继续和延伸。
它是定义在自然集或它的子集{1，2，…，n}上的函数。
对于等差数列而言，可以把它看作自然数n的“一次函数”，前n项和是自然数n的“二次函数”。
等比数列可看作自然数n的“指数函数”。
因此，学过数列后，一方面对函数概念加深了解，拓宽了学生的知识范围；另一方面也为今后学习高等数学中有关级数的知识和解决现实生活中的一些实际问题打下了基础。
高考考点回顾1．与二次函数有关的等差数列的问题（2004年重庆卷）若{an}是等差数列，首项a1>0,a2003+a2004>0,a2003a2004<0,则使前n项和Sn成立的最大自然数n 是( )(A)4005 (B)4006 (C)4007 (D)4008（1992年全国高考试题）设等差数列｛a n｝的前n项和为S n，已知a3=12，S12>0,S13<0。
（1）求公差d的取值范围(2)指出S1，S2,...,S n中哪一个值最大，并说明理由。
（2002年上海春季高考题）设｛a n｝(n∈N)是等差数列,S n是其前n项的和,且S5< S6, S6< S7, S7< S8,则下列结论错误的是( )(A)d<0 (B) a 7=0 (C) S 9>S 5 (D) S 6与S 7均为S n 的最大值2．与函数的单调性有关的数列问题（2002年上海卷）已知函数f(x)=a ·b x 的图象过点A （4，41）和B （5，1） （1） 求函数f(x)的解析式；（2） 记a n =log 2f(n),n 是正整数，S n 是数列｛a n ｝的前n 项和，解关于n的不等式a n S n ≤0；（3） （文）对于（2）中的a n 与S n ，整数96是否为数列｛a n S n ｝中的项？若是，则求出相应的项数；若不是，请说明理由。
（理）对于（2）中的a n 与S n ，整数104是否为数列｛a n S n ｝中的项？若是，则求出相应的项数；若不是，请说明理由。
例谈用函数观点看数列最值问题
例谈用函数观点看数列最值问题数列在数学中是一个非常基础且重要的概念，而数列的最值问题是数学中一个常见且有趣的问题。
我们可以通过数学函数的观点来分析数列的最值问题，这样不仅可以更深入地理解数列的性质，还可以运用函数的方法来解决数列的最值问题。
本文将从函数的角度出发，用一些具体的例子来谈谈如何用函数观点看数列最值问题。
我们先来回顾一下函数的相关概念。
在数学中，函数是一种特殊的关系，它将一个或多个自变量映射到一个因变量上。
函数可以用数学公式或图像来表示，函数的性质可以通过函数的导数、极值、微分等来研究。
而数列其实可以看作是一个离散的函数，它将自然数映射到实数上，因此我们可以用函数的方法来研究数列的性质。
接下来，我们来看一个经典的数列最值问题。
考虑一个数列a_1, a_2, a_3, \cdots, a_n，其中每一项a_i满足a_i = 2i^2 - 3i + 5。
我们的问题是找出这个数列的最大值和最小值。
我们可以用函数的观点来解决这个问题。
我们可以将数列的通项公式a_i = 2i^2 - 3i + 5看作是一个关于自变量i的函数。
设这个函数为f(i)，则有f(i) = 2i^2 - 3i + 5。
我们要找出这个函数的最大值和最小值，可以转化为求函数f(i)的极值问题。
我们对函数f(i)求导，得到f'(i) = 4i - 3。
然后令导数f'(i)=0，解得i=\frac{3}{4}。
我们可以求得这个函数在i=\frac{3}{4}处取得极值。
为了判断是极大值还是极小值，我们可以求出二阶导数f''(i)，当f''(i)>0时，i为极小值点；当f''(i)<0时，i为极大值点。
在这个例子中，f''(i) = 4，显然大于0，因此i=\frac{3}{4}为f(i)的极小值点。
根据上面的分析，我们得到这个数列的最小值为f(\frac{3}{4}) =2\times(\frac{3}{4})^2 - 3\times\frac{3}{4} + 5 = 4.25。
例谈用函数观点看数列最值问题
例谈用函数观点看数列最值问题
在数学中，数列是指按一定规律排列的一系列数的集合。
数列最值问题是在给定的数列中寻找最大值或最小值的问题。
在解决这类问题时，我们可以运用函数观点。
我们可以将数列看作是一个函数的图像。
具体来说，将数列中的第n个数表示为an，则数列可以看作是一个自然数到实数的映射。
可以定义一个函数f(n)=an来表示数列。
通过这个函数，我们可以方便地运用函数的性质和方法来解决数列最值问题。
我们可以通过函数的导数来判断数列的增减性。
通过观察数列函数的导数，我们可以知道数列的增减规律，从而进一步确定数列的最值点。
如果数列是递增的，那么最小值一定在数列的第一个数上；如果数列是递减的，那么最大值一定在数列的第一个数上。
我们还可以通过导数的一阶导数、二阶导数等来判断数列的凹凸性，从而进一步推断数列的最值点。
我们还可以运用函数的极值性质来解决数列最值问题。
对于数列函数f(n)，如果它在某个区间上具有极大值或极小值，那么这个极值点也是数列的最值点。
通过求解函数的极值点，我们可以得到数列的最值点，进而找到数列的最值。
我们还可以通过函数的图像来观察数列的变化和趋势。
在数列最值问题中，我们可以将函数图像理解为数列的数值变化，从而更直观地看出数列的最值点。
通过观察数列函数图像的拐点、极值点等特征，我们可以找到数列的最值点。
用函数的眼光看数列问题
常数 项 ) 此 时( 可以应用二次函数的知识求 ( 解等 差数 列的 通项公 式及 最值 问题 . 当 7 时( 是 常数 数列 ( / & * + , A + . ,/ , $ 若 + 则 A 的 一次 函数 ( ( $C & , 是 关于 , 若 + 则 / & ( A / & . $ , 结论 ? 非 常数 数 列 * 是 等 差 数 列的 + , 充要 条件 是数 列 * 的前 , 项和 公式 A + , , 是关 于正 整数 , 的 二次 函数 ’ 无常 数项 ) . 结论 D 数列 * 的前 , 项和 为 A 非常 + ( , , 数数列 * 是 等 差 数 列 的 充 要 条 件 是 数 列 + , 的 通 项 公 式 是 关 于 正 整 数 ,的 一 次 函 ,* 数. A ,
的通 项公 ,* 式是 关于 正整 数 ,的一 次函 数 ( A F , A , F 是 数列 A , 的两 / ( / F F , , , A , A , 项( 故 而设 列 * 的 通项 为 @ / + , 8 : ( , , , J + F8 : / ( F 由 I F + , 8 : / . K , =
差数 列 ( 那 么通 项公 式为 + , 9$ ) 7 /, 78 + /+ , 8: . ,/ + $8 ’ $9 7 据此 可以 有 结论 6 非 常数 数 列 * 是 等 差 数列 的 + , 充要 条 件 是数 列 * 的 通 项是 关 于 正 整 数 , + , 的一 次函 数 . 例6 在 等差 数列 * 中( 已知 + + & ( , ;/ $ 求数 列 * 的通 项公 式 . + $ ( + $ #/ % , 分析 常规 方 法是 求 解 首 项和 公 差 ( 代 入通 项公 式 . 下 面应 用 结论 $ 提 供的 方 法 ( 用 一次 函数 的思想 求解 . 解法 6 ’ 待 定系 数法 ) 数 列 是 等差 数列 ( < * + , = 设 数列 * 的通 项公 式为 + , ; + 8 : / $ > ( 为常 数 ) + , 8 : ’ + ( : ( ,/ + 则有 解得 $ # + 8 : / % $ . +/ % ( : /9 ; . = + ,/ % , 9 ; . 解法 ? ’ 直 线的 斜率 ) < 数 列* 是 等差 数列 ( + , 其通 项公 式 + 的一 = , 是关 于正 整数 , 次函 数 ( 那 么图 像是 直线 上的 一群 孤立 的点 ( = = 三 点共线 ( ’ ; ( $ & ) ( ’ $ # ( % $ ) ( ’ , ( + , ) 任 两点 的斜 率相 等 ( 即 + ,9 $ & % $ 9 $ & / . , 9 ; $ # 9 ; = + ,/ % , 9 ; . 评析 解法 $ 是直 接应 用结 论 $ 进 行求
例谈用函数观点看数列最值问题
例谈用函数观点看数列最值问题1. 引言1.1 引言简述数、作者、日期等。
数列是数学中常见的一种序列，数列的最值问题是数学中的一个重要概念。
数列的最值问题可以通过函数的观点来进行分析和解决。
函数观点能够使我们更清晰地理解数列最值问题的本质和规律，从而更有效地解决数列最值问题。
在本文中，我们将通过引入函数的概念，来探讨数列最值问题的一般性质和解决方法。
我们将从初识数列最值问题开始，然后引入函数观点下的数列最值问题，接着讨论常见的数列最值问题，然后分析函数对数列最值特性的影响，最后介绍函数方法来解决数列最值问题。
通过对这些内容的探讨，我们将能够更全面地了解和掌握数列最值问题的相关知识和技巧。
2. 正文2.1 初识数列最值问题初识数列最值问题是数学中常见的问题之一。
所谓数列最值问题就是要找出一个数列中最大值或最小值所在的位置或数值。
在解决数列最值问题时，我们需要找出数列中的极大值和极小值，这些极值往往具有一定的规律性，可以通过对数列的性质和趋势进行分析和推理来解决。
在解决初识数列最值问题时，我们可以借助数学工具和方法进行分析和计算。
可以利用数列的递推关系式或通项公式来推导出数列的数值规律，从而帮助我们找出数列的最值。
还可以采用数学归纳法等数学推理方法来证明数列的最值问题，从而加深对数列的理解和掌握。
在初识数列最值问题的解决过程中，我们需要注重数学思维和逻辑推理能力的培养，充分挖掘数列中的隐藏规律和特点，灵活运用数学知识和方法进行分析和推理。
通过不断练习和思考，我们可以逐渐提高解决数列最值问题的能力，为以后更复杂的数列问题做好准备。
2.2 函数观点下的数列最值问题在数列最值问题中，我们常常可以从函数的角度进行分析。
通过构建适当的函数，我们可以更清晰地理解数列的特性和最值问题。
我们可以将数列转化为函数的形式。
假设数列为a_1, a_2, a_3, ...，我们可以定义一个函数f(n)来表示数列的第n个元素a_n。
例谈用函数观点看数列最值问题
例谈用函数观点看数列最值问题数列是数学中的一个基本概念，其中包含了一系列的数字有序排列在一起，我们称之为数列。
在数学中，数列的最值问题是一个非常基础的问题，它的解决方法有很多种，但是本文将从函数的角度出发，讨论数列最值问题及其解决方法。
首先，我们需要明确数列的概念。
数列是一个有限或无限的数字序列。
有限数列是由有限的数字序列构成，我们通常用n表示其序列长度，即n个数字。
无限数列是由无数个数字构成的。
一个数列通常用 {an} 表示，其中每一个数字 an 被称为该数列的项。
对于无限数列，我们也能通过前n项定义。
在数列中，我们通常关注该序列的最值问题，即该数列的最大值和最小值，这是数列中一个很基础的概念。
我们可以使用函数的角度来思考这个问题。
具体来说，我们可以将数列看成是一个定义在正整数集合上的函数。
即若 {an} 表示数列，那么可以将其看成是一个无限的函数f: N→R，其中 f(n)=an。
这可以帮助我们更好地理解数列和最值问题。
如何求解数列的最值问题呢？我们可以根据函数的性质来确定解决方案。
例如，对于一个连续函数f(x)，要找到它的最大值和最小值，我们通常会求出f(x)的导数，然后令导数等于零，求解方程，得到函数的极值。
同样地，对于数列也有类似的做法。
首先，我们可以确定数列的最大值和最小值一定出现在数列的某个位置，而不会出现在无穷远的位置，因为数列是由有限或无限数量的数字组成的。
因此，我们只需要考虑数列中每个项的大小关系，就能找到数列的最大值和最小值。
具体来说，假设我们需要求一个数列的最大值和最小值，那么我们可以从数列的第一个项开始，依次进行比较，找到一个比当前位置更小的数字，该数字即为数列的最小值；同样地，我们也可以从第一个项开始，依次进行比较，找到一个比当前位置更大的数字，该数字即为数列的最大值。
这种方法称为简单搜索法。
当然，简单搜索法并不一定是最高效的解决方法。
当数列较大时，过程会变得很慢。
因此，我们可以使用二分查找法来优化搜索过程。
函数观点看数列
这节课你学到了什么？
1、正确运用函数方法去求数列 中的项。
2、解题过程中重视函数思想， 整体思想，数形相结合思想的运 用。
思考题 若两个等差数列 an ,bn
的前n项和分别为Sn和Tn，且满足
sn 7n 1
求 a11
Tn
的值.
4n 27
b11
(n N)
smn a(m n)2 b(m n)
(m n)[a(m n) b]
即 smn (m n)
课题 引例2函数观点Biblioteka 数列一、 用函数的观点认识数列
数列可以看作是一个定义域为正整数集, 或它的有限子集{1，2，3，…，k}的函数.
函数解析式 y=f(x) 对应点(x, y)
数列的通项公式 an f (n) 对应点(n,an )
an o1 -10
-100
11
n
an 10n 110 10(n 11)
(n N)
例2
为s
n
设等差数列 an 的前n项和
，若 s12 0, s13 0，
则S1，S2，…，Sn …中最大项是第几
项？并说明理由．
解得sn 中第6项是最大项.
法1
练习
解： an是等差数列
s12
s13
aa11
即数列sn中的最小值是 550.
解（二）an是等差数列，
an a1 (n 1)d 10n 110 1（0 n-11） n 11, n N ; an 0
n 11,
a11 0
n 10, n N ; an 0 所有负项之和最小，
(sn )min s10 s11 550
即sn中的最小值是 550.
例谈用函数观点看数列最值问题
例谈用函数观点看数列最值问题数列是数学中一个非常重要的概念，它在实际的问题中有非常广泛的应用。
数列最值问题是数学中一个常见的问题，涉及到数列中的最大值和最小值的确定。
在本文中，我们从函数的观点来探讨数列最值问题。
我们知道数列可以看成是一种函数的图像。
对于一个数列，我们可以将它看成是一个定义在正整数集上的函数。
设数列的通项公式为an，那么这个函数可以表示为f(n)=an。
在这个函数中，自变量n表示数字的位置，因变量f(n)表示该位置上的数值。
通过这个函数的图像，我们可以更直观地看出数列的变化趋势。
基于这个函数的观点，我们可以很自然地将数列最值问题转化为函数最值问题。
也就是说，我们可以通过分析函数f(n)来确定数列中的最大值和最小值。
具体来说，我们可以通过求导数的方法来确定函数f(n)的极值点，从而得到数列的最值点。
在分析函数f(n)时，我们可以考虑它的基本性质以及变化规律。
我们可以观察函数f(n)的增减性，看它在不同区间上的变化趋势；我们也可以观察函数f(n)的曲线形状，以及是否存在截距等。
通过这些观察，我们可以更好地了解数列的特点，从而更准确地确定它的最值点。
函数的观点还能够帮助我们更系统地分析数列最值问题。
在数列中，我们经常会遇到各种各样的数列类型，比如等差数列、等比数列等。
而通过函数的观点，我们可以将这些数列表示成具体的函数形式，从而用函数的方法来解决问题。
对于等差数列an=a1+(n-1)d，我们可以将它表示成函数f(n) = a1+(n-1)d，然后用函数的性质来确定函数的极值点。
通过函数的观点来看数列最值问题，可以帮助我们更清晰地理解数列的变化规律和特点，从而更准确地确定数列的最值点。
函数的观点还能够帮助我们更系统地分析和解决各种数列最值问题。
通过这种方法，我们能够更好地理解和应用数列的知识，提升数学问题的解决能力。
从函数的观点看等差数列
从函数的观点看等差数列课标指出，要用函数的观点来认识数列。
对于一个数列n a ，如果从函数的观点来看，就是定义在正整数集上的函数。
下标n 表示的是自变量。
这时，有一个量很重要，它就是，1n n a a +-它的含义是，当自变量变化一个单位时，因变量变化的量。
换句话说，它就是函数的‘变化率’。
也就是说，它相当于连续变量时，函数的导数。
我们都知道微积分在数学上的重要地位。
而微积分中，最重要的概念之一就是导数。
用导数研究函数是微积分的重要组成部分，也是我们学习的主要内容。
因此，不难想见，在数列的研究中，1n n a a +-的重要作用。
事实上，和导数一样，当1n n a a +-大于零时，数列递增，当1n n a a +-小于零时，数列递减。
1n n a a +-的绝对值大时，数列的变化幅度大，当1n n a a +-的绝对值小时，数列的变化幅度小。
1n n a a +-起着和函数导数一样的作用，可以用它来分析数列的增，减，极大、极小值等。
1n n a a +-和导数一样重要，但是，它又十分简单。
特别是，和导数比，它不需要引进极限的概念。
上述讨论表明，在数列的研究中，1n n a a +-起着重要的作用。
它是数列的变化率，是数列的‘导数’，是数列的‘斜率’。
而等差数列就是1n n a a +-等于常数的数列。
我们记做1n n a a +-d =，并称d 为公差。
这个公差d ，就是变化率，就是‘导数’，就是‘斜率’。
d 是常数，就是指，变化率是常数；‘导数’是常数；‘斜率’是常数。
我们知道，在连续变量中，导数或斜率是常数的函数是一次函数：y kx b =+。
它的图象是一条直线。
这个直线虽然可以用直线上的两个点来决定（两点式方程），但更方便的是，用直线上一点和直线的斜率来决定（点斜式方程），即，用一点和一个方向来决定该直线。
同样，在等差数列中，我们最常用的方法是，用一项（相当于直线上的一点）和公差（即斜率）来决定该等差数列，即通项公式：1(1)n a a n d =+-。