§1.1.1角的概念的推广(三角函数第1课时)
课件1：角的概念的推广与任意角的三角函数
4.1角的概念的推广与任意角 的三角函数
1．角的概念 (1)分类按按终旋边转位方置向不不同同分分为为象正限角、角负和角轴、线.零角角.
(2)终边相同的角：所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内，可构成一个集合 S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
2．弧度的定义和公式 (1)定义：长度等于 半径长 的弧所对的圆心角叫做
第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题
有______个． 解析：－34π是第三象限角，故①错误；43π＝π＋π3，从而43π
是第三象限角，故②正确；－400°＝－360°－40°，从而③
正确；－315°＝－360°＋45°，从而④正确．
答案：3
2．终边在直线 y＝ 3x 上的角的集合为________． 解析：终边在直线 y＝ 3x 上的角的集合为{α|α ＝kπ＋π3，k∈Z}．
解析：因为 sin α＝13，且 α∈π2，π，所以 cos α＝－ 1－91＝－232从而 tan α＝－ 42.
答案：－
2 4
再见
(2)在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应 用圆心角所在的三角形．
Hale Waihona Puke 针对训练]已知扇形的圆心角是 α＝120°，弦长 AB＝12 cm，求 弧长 l.
解：设扇形的半径为 r cm， 如图． 由 sin 60°＝6r， 得 r＝4 3 cm， ∴l＝|α|·r＝23π×4 3＝833π(cm)．
解析：∵cos α≤0，sin α>0， ∴角 α 的终边落在第二象限或 y 轴的正半 轴上．
∴3a＋a－2>9≤00，， ∴－2<a≤3. 答案：(－2,3]
4．在与 2 010°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧 度数为________．
1.1角的推广及三角函数的概念
1.1 角的推广及三角函数的概念一、知识梳理 1.弧度制：（1）1弧度的角是：________________________________（2）角度制与弧度制的互换：360=____弧度，180=_____弧度，1= _____弧度，1弧度=________度2.角的概念的推广（1）任意角的定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形（2）正角：按________方向旋转形成的角 负角：按________方向旋转形成的角零度角：一条射线没有作任何旋转形成的角（3）象限角：如果角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么角的终边在第几象限，就叫第几象限角（4）与α终边相同的角的集合为______________________ 3.任意角三角函数的定义：在α终边上任取一点(x,y)P （不与原点重合），记22r OP x y ==+则sin yrα=cos α=______tan α=_______4.三角函数值在各象限的符号 （全是天才）sin α cos α tan α二、经典例题例1.把下列角度化成弧度，弧度化成角度（1）210-（2）1200（3）60（4）45（5）12π （6）43π- （7）310π （8）2 例2.选择①sin 0θ> ②sin 0θ< ③cos 0θ> ④cos 0θ< ⑤tan 0θ> ⑥tan 0θ<中适当的关系式的序号填空（1）当角θ为第一象限角时，__________________ （2）当角θ为第二象限角时，__________________ （3）当角θ为第三象限角时，__________________ （4）当角θ为第四象限角时，__________________ 例3.确定下列三角函数的符号： （1）sin156（2）16cos5π （3）()cos 460-（4）17tan 8π⎛⎫- ⎪⎝⎭ （5）4sin 3π⎛⎫- ⎪⎝⎭（6）tan 556三、课下作业1.填写下列特殊角的角度数和弧度数的对应表 角度 0306090150360弧度4π23π 34ππ32π2.在0360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是哪个象限的角 （1）265- （2）1000- （3）843- （4）39003.分别用角度和弧度写出第一、二、三、四象限角的集合4.把下列各角度化成弧度，弧度化成角度（1）36（2）150- （3）1095 （4）1440（5）76π- （6）103π- （7）23 （8）29π5.若sin cos 0,sin cos 0,θθθθ>+<则θ在第______象限6.角α的终边过点()4,3,(k 0)P k k -<，则cos α的值是（ ）A.35B.45C.35-D.45-。
课件7：1.1.1 角的概念的推广
情境引入
角的概念是三角函数的重要内容，同学们能否计算出图中时针 和分针的夹角呢？
知识梳理
1.角的概念：平面内一条射线绕着端点_从__一__个__位__置__旋__转___ __到__另__一__个__位__置____所成的图形．按逆时针方向旋转形成的角叫 做__正__角___；按顺时针方向旋转形成的角叫做__负__角__；射线没 有作任何旋转时，我们也把它看成一个角，叫做__零__角____．
例 1.给出下列说法： ①锐角都是第一象限角； ②第一象限角一定不是负角； ③第二象限角是钝角； ④小于 180°的角是钝角、直角或锐角． 其中正确命题的序号为________(把正确命题的序号都写上)．
【解析】 ①锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象 限，故是第一象限角，所以①正确． ②－330°角是第一象限角，但它是负角，所以②不正确． ③480°角是第二象限角，但它不是钝角，所以③不正确． ④0°角小于180°角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角， 故④不正确． 【答案】 ①
课堂检测
1.设M＝{小于90°的角}，N＝{第一象限的角}，则M∩N＝( )
A．{锐角}
B．{小于90°的角}
C．{第一象限的角}
D．以上都不对
【解析】 ∵M∩N＝{α|α<90°且k·360°<α<k·360°＋90°，k＝0，
－1，－2，－3，……}，
∴M∩N不同于A、B、C，故选D.
【答案】 D
例 3.如果 α 是第三象限角，那么－α、2α 分别是第几象限角？ 解：∵α是第三象限角， ∴k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z，(*) ∴－k·360°－270°<－α<－k·360°－180°， ∴－α为第二象限角． 又由(*)得k·720°＋360°<2α<k·720°＋540°. 即(2k＋1)·360°<2α<(2k＋1)·360°＋180°. ∴2α的终边在第一、二象限或y轴的正半轴上．
1.1.1角的概念的推广
阶
段
段
一
三
1.1 任意角的概念与弧度制
1.1.1 角的概念的推广
阶 段 二
学 业 分 层 测
评
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1.了解角的概念的推广，能正确区分正角、负角和零角. 2.理解象限角的概念. 3.掌握终边相同的角的表示方法，并能判断角所在的位置.(重点)
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[基础·初探] 教材整理1 角的概念 阅读教材P3～P4“例1”以上内容，完成下列问题. 1.角的概念 (1)角的形成：角可以看成是 一条射线 绕着它的 置 旋转 到另一个位置所成的图形.
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教材整理3 象限角 阅读教材P5“第5行”～“例2”以上内容，完成下列问题. 1.象限角：平面内任意一个角都可以通过移动，使角的 顶点 与坐标原点 重合，角的 始边 与x轴正半轴重合.这时，角的 终边 在第几象限，就把这个角叫 做第几象限的角. 2.如果终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限.
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此时，α2为第一象限角； 当k为奇数时，令k＝2n＋1，n∈Z， 则225°＋n·360°<α2<270°＋n·360°， 此时，α2为第三象限角. ∴α2为第一或第三象限角.
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[探究共研型] αk所在象限的判定方法及角的终边对称问题 探究 1 由 α 所在象限如何求αk(k∈N*)所在象限？ 【提示】 (1)画图法：将各象限k等分，从x轴正半轴开始逆时针方向依次标
注1,2,3,4，循环下去，直到填满为止，则当α在第n象限时，
α k
就在n号区域.例如：
表示为 0°<β<90°；小于 90°的角可表示为 γ<90°；由三者之间的关系可知，选 D.
1角的概念的推广
5.1.1 角的概念的推广
【教学目标】
1．理解正角、负角、终边相同的角、第几象限的角等概念，掌握角的加减运算．
2．通过观察实例，使学生认识角的概念推广的可能性和必要性，树立运动变化的观点，并由此深刻理解任意角的概念．
3．通过教学，使学生进一步体会数形结合的思想．
【教学重点】
理解任意角（正角、负角、零角）、终边相同的角、第几象限的角的概念，掌握终边相同的角的表示方法和判定方法．
【教学难点】
任意角和终边相同的角的概念．
【教学方法】
本节采用教师引导下的讨论法，结合多媒体课件，带领学生发现旧概念的不足之处，进而探索新的概念．讲课过程中，紧扣“旋转”两个字，让学生在动手画图的过程中深刻理解任意角的概念．
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117。
1.1.1 角的概念的推广
B.A=C B
C.A B=C
D.A B C
第一章 基本初等函数 （ 2）
启用前绝密
第一章 基本初等函数 （ 2）
启用前绝密
角的概念的推广
角的概念
终边相同
象限角
总结提升
一、任意角的概念： 角可以看成是平面内一条射线绕着端点从 一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。
终边 B
正角、负角、零角：
（1）正角：逆时针旋转 （2）负角：顺时针旋转 （3）零角：无任何旋转
练习：书P4-例1
顶点O A 始边
角的概念的推广
角的概念
终边相同
象限角
总结提升
二、终边相同的角：
设 表示任何角，所有与 终边相同的角，包括 本身 构成一个集合，这个集合可记为S= k 360 , k Z
是任意角； 注（1）
（2）相等的角，终边一定相同； 终边相同的角不一定相等； 终边相同的角有无数个，它们相差 k 360 （3）k Z ,k是整数，可正、可负、可为零
第三象限角集合为 x k 3600 1800 x k 3600 +2700 , k Z
第四象限角集合为 x k 3600 2700 x k 3600 +3600 , k Z
角的概念的推广
角的概念
终边相同
象限角
总结提升
各轴线角的集合
（1）终边落在x轴的非负半轴上, 角的集合为 x x k 360 , k Z
第1讲 正弦、余弦、正切、余切(知识点串讲)解析版
第1讲 正弦、余弦、正切、余切（沪教版2020必修二）知识网络知识点一：角的概念的推广1.定义：角是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。
(1)规定：射线按逆时针方向旋转所形成的角为正角；射线按顺时针方向旋转所形成的角为负角；(2)射线没有旋转（终边与始边重合）也认为形成了一个角，该角叫做零角（3）象限角和轴线角.象限角的前提是角的顶点与直角坐标系中的坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，这样当角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角，若角的终边与坐标轴重合，这个角不属于任一象限，这时也称该角为轴线角.（4）终边相同的角，具有共同的绐边和终边的角叫终边相同的角，所有与角α终边相同的角（包含角α在内）的集合为{}Z k k ∈⋅+=,360 αββ. （5）角α在“ 0到 360”范围内，指 3600<≤α.例1（角的概念）（2020·上海黄浦区·高一期末）大于360-︒且终边与角75︒重合的负角是________.【答案】285-︒【分析】根据终边相同的角的概念进行判断.【详解】大于360-︒且终边与角75︒重合的负角是285-︒.故答案为：285-︒【点睛】本题考查终边相同的角，属于基础题.【变式训练1-1】若时针走过2小时40分，则分针走过的角是多少？【难度】★【答案】 960-【变式训练1-2】求经过下列时间，时钟的分针所转过的角度：（1）15分钟；（2）1小时20分钟.【难度】★【答案】 90-， 480-【解析】（1）分针所转过的角度 903606015-=⨯-=； （2）分针所转过的角度 48036060201-=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-=. 例2.（象限角）回答下列问题(1)锐角是第几象限角?(2)第一象限的角一定是锐角吗?(3)小于90的角一定是锐角吗?(4)0~90的角一定是锐角吗?【难度】★【答案】(1)第一象限；(2)不一定，反例361；(3)不一定，反例零角或负角；(4)不一定，反例0,90.【变式训练2-1】（2020·上海市建平中学高一期中）已知α是第二象限角，则2α是（ ） A ．锐角B ．第一象限角C ．第一、三象限角D ．第二、四象限角【答案】C 【分析】根据α是第二象限角，得到22,2k k k απ+π<<π+π∈Z ,再得到2α的范围判断。
1.1.1角的概念的推广1
（1）在坐标系中讨论角时，对角的顶点与角的始边有何要求？
（2）你对“角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限”这句话是怎样理解的？
（3）分别举几个第一、第二、三、四象限的角的例子。
学生在教师的引导下分析
（1）终边相同的角
有何特点？（相差整数个周角）
（2）试表示出与30°角的终边相同的角的集合。
7.用旋转定义角之后，角的范围扩大了。
（1）角有正负之分，如
（2）角可以任意大
实例：
体操动作：旋转两周（ ）、3周（ ）
（3）还有零角：一条射线，没有旋转。
8.为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角。
角的顶点与坐标原点重合，角的始边与 轴正半轴重合，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角。角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限。
（3）用集合表示终边相同的角需注意以下几点：
（4）终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，他们相差360°的整数倍。
学生讨论思考：
角的范围是什么？角的分类有几种？
师生共同分析学生板书，教师指出其中的问题，予以纠正。
学生练习，完成口答题目。
例2（1）由教师板书示范解题步骤，其他例题有学生自己练习，请同学上黑板板演。
让学生弄清角的正负的规定存属习惯。
学习新概念与问题讨论相结合，进一步加深学生对新概念的理解与掌握。
从观察分析入手，通过具体例子，归纳总结出终边相同的角的表示方法，并初步认识用集合表示终边相同的角需注意的几点问题。
通过对三个问题的探讨引导学生认识以下三点：
1.角的概念推广后的范围
2.弄清角的分类。
3.能利用旋转量的变化求多个角的和。
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§1.1.1角的概念的推广 (三角函数第1课时)
课型：新授课 主备人：董胜兵 审核人：项治斌 打印时间：2014.11.11
三维目标
1.理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念.
2.会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写．
3.提高学生的推理能力；培养学生应用意识． 重点难点
重点：任意角的概念，用集合表示终边相同的角. 难点：角的概念的推广，终边相同的角之间的关系. 学法指导
通过回忆已有知识和观察日常生活中的实际例子,把对角的理解进行了推广.把角放入坐标系环境中以后,了解象限角的概念.通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法. 知识链接
回忆初中所学的角的定义,任意角概念的学习为以后三角函数的建立做好了准备. 学习过程
探究1：任意角的概念
1.初中时，我们已学习了0360︒︒~角的概念，它是如何定义的呢？
(1)角可以看成是由平面内的一点出发的两条 所组成的图形.
(2)角可以看成平面内的一条 绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB ，就形成角α.旋转开始时的射线OA 叫做角的 ，OB 叫做角的 ，射线的端点O 叫做叫做角的 . 以上两种定义方式哪一种更科学、合理?为什么?
2.在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720︒” （即转体2周），“转体1080︒”（即转体3周）等,都是遇到大于360︒的角以及按不同方向旋转而成的角.同学们思考一下:能否再举出几个现实生活中“大于360︒的角或按不同方向旋转而成的角”的例子,这些说明了什么问题?又该如何区分和表示这些角呢?
为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫做 __,按顺时针方向旋转所形成的角叫做 __.如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个 __.这样，我们就把角的概念推广到了任意角,包括 __、 __和 __. 为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“α∠”可简记为α. 探究2：象限角
在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念. 角的顶点与 ___重合，角的始边与_____轴的非负半轴重合.那么，角的终边（除端点外）
在第几象限，我们就说这个角是________________.如30︒角、210︒-角分别是第______象限角和第______象限角.要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为__________. 探究3：终边相同的角
将角按上述方法放在直角坐标系中后,给定一个角,就有唯一的一条终边与之对应.反之,对于直角坐标系中任意一条射线OB (如图1.1-5),以它为终边的角是否唯一?如果不惟一,那么终边相同的角有什么关系?
一般地,我们有:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合______________________________,即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和. 典型例题
A 例1.在0360︒︒~范围内，找出与95012'︒－角终边相同的角，并判定它是第几象限角. （注：0360︒︒－是指0360β︒︒≤<）
B 例2.写出终边在y 轴上的角的集合.
拓展：你能写出终边在x 轴上，终边坐标轴上的角的集合吗？第一、二、三、四象限角的集合呢？
B 例3.写出终边在直线y x =上的角的集合S ,并把S 中适合不等式360α︒-≤720︒<的元素β写出来.
C 拓展：你能写出终边在在直线y=-x 上的角的集合吗？
达标检测
A1.下列说法正确的有几个（ ）.
（1）锐角是第一象限的角；（2）第一象限的角都是锐角； （3）小于 90°的角是锐角；（4）0°～90°的角是锐角. A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D . 4 个
A2.已知角的顶点与坐标原点重合，始边在 x 轴的非负半轴上，则角0885是第（ ）象限角.
A. 第一象限角
B. 第二象限角
C. 第三象限角
D. 第四象限角
B3.若α是第四象限角，则α-0180是（ ）．
A. 第一象限角
B. 第二象限角
C. 第三象限角
D. 第四象限角
B4.将下列各角表示为()0003600,360<≤∈⋅+ααZ k k 的形式，并判断角在第几象限． （１）425600'； （２）425600'-．
B5.写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式00720720<≤-β的元素β写出来．
（１）0210-； （２）1513420'．
总结反思
本节课我们主要学习了：1.任意角包括正角、负角、零角；2. 象限角与轴线角；
3.终边相同的角.
外扩展
B1.钟表经过 4 小时，时针与分针各转了_______，________. (填度数)
B2.现在是8点5分,经过2小时15分钟后,钟表上的时针和分针转过的角度分别是多少?
C3. 若 α 与 β 的终边互为反向延长线，则有（ ）.
Ａ．0180+=βα Ｂ．0180-=βα
Ｃ．βα-= Ｄ．()Z k k ∈⋅++=,180120βα。