巧用圆中的“一题多解”，培养学生发散性思维
一题多解培养学生发散性思维
拖 滑 距 ｚ 羲， 先 以速 ｎ 加速度相等 ， 以机车 多运 动 的一部 分位 移就 是 由 车 行 离 机 从 加度 一 车 所
匀 加 速 到 ， 匀 减 速 到 ０有 ： 再 ，
是 一 （ — ｍ） ＾ Ｍ ｇ一 （ 过 程 中 机 车 通 过 的位 移 ，
如有这样一题 ： 总 质 量 为 Ｍ 的 列 车 ， 水 平 直 线 轨 道 以 速 度 沿 据 图 一Ｌ， Ｓ
图 ２
一 ，
由已知条件可得 一
解 法 三 ： 能定 理 动
．
行驶 ， 尾部有一质量为 的车厢突然脱 钩 ， 司机发觉 此事故时 ， 列车 已行驶 了 Ｌ的距离 ， 于是 司机 立即关 闭气 门， 撤去牵引力 ， 设机车 的牵引力是恒定 的， 列车 所受的阻力是车重的 ｋ倍（ ＜１ ， 是 ） 求列车前后部分都
停 止 后 的距 离 ．
对拖车： ｋ ｇ ｌ 一÷ｍ － ｍ ｘ—ｏ 荫，
对 机车： ｎＬ ｋＭ－ ）ｘ一。 ｋ ｇ － （ － ｇ２ 一÷ （ －ｍ ｚ， ｒ ｍ Ｍ－ ） ￣
．
’
Ｌ 二一 一
．
解 法 四 ： 量 角度 能
机车与拖车初速度 Ｖ 相 同 ， ｏ 末速 为 ０ 阻力 产生 ，
到 Ｄ处停止． 由题意可知 ＡＣ距离 为Ｌ， Ｄ 为待求距 Ｂ
．
， ‘ ，
离 ｄ 由题 意知牵 引力 Ｆ一是 ， ． 在减速 过程 中的加
速度都为－ｋ． ｇ
解 法 一 ： 式 法 公
解 法五 ： 度 变化 角度 速
拖 车速度 由 Ｖ 减小到 ０ 机车速 度 由 ｏ ， 先 增加 到 再减小到 ７ 最后减小到 ０ 而在减速运动 中两者 Ｊ 。 ，
初中物理拓展课程精品教案：《四个节点共圆的巧解难题》
初中物理拓展课程精品教案：《四个节点共圆的巧解难题》一、本课程的教学目标：1. 研究掌握欧拉圆心定理的基本内容和推导方法；2. 学会应用欧拉圆心定理和勾股定理解决实际问题；3. 发展学生的逻辑思维和分析问题的能力；4. 培养学生发现问题、解决问题的兴趣和能力。
二、本课程的重点难点：1. 欧拉圆心定理的理解与推导；2. 如何将定理应用到实际问题中去。
三、教学内容及方法：1. 欧拉圆心定理的介绍学生们通过观察示意图，分析欧拉圆心的特点及与三角形三个顶点和三条边之间的关系，引出欧拉圆心定理，并推导出定理的公式。
2. 应用欧拉圆心定理解决问题引导学生通过几个具体问题的讨论，帮助学生掌握欧拉圆心定理的应用方法与技巧，并在解决问题的过程中巩固定理的理解。
3. 欧拉圆心定理与勾股定理的综合运用引导学生分析和解决具体问题，在解决问题的过程中综合运用欧拉圆心定理和勾股定理，提高学生综合运用知识解决问题的能力。
4. 总结通过案例的讲述和问题的解决，引导学生进一步理解欧拉圆心定理的应用和作用，掌握欧拉圆心定理的应用技巧。
并在课堂上适当提出开放性问题，引导学生进一步探索、发现问题，提高逻辑思维和分析问题的能力。
四、教学评价：1. 编写小组编写教案，并制定课堂教学计划；2. 教师应监控并引导学生的研究进程，及时反馈；3. 课后记录并总结学生的表现，并及时反馈。
本课程通过欧拉圆心定理在生活中的应用，以案例的形式引导学生在知识学习过程中深化对知识的理解，发现问题、解决问题的兴趣和能力，并通过适当设置问题调动学生的积极性和主动性，提高学生综合运用知识解决问题的能力，促进学生综合素质的提高。
一题多解一题多变培养发散性和创造性思维
《一题多解、一题多变，培养学生发散性和创造性思维》江德小学田彩霞在数学教学中，用一题多解、一题多变的方法可以开拓学生的思路，克服思维定势，培养发散性思维的创造性能力。
当解一道题时，由于解题途径、解题方法和计量单位不同，得到多种解法，达到殊途同归的目的。
在多种解法中，根据具体情况进行比较，选择其中最合理，最简捷的一种解法，可以有效地培养学生分析问题和解决问题的能力，并逐步形成解题的灵活性和解题技巧。
一、利用一题多解，训练学生创造性思维。
怎样才能高效率地利用习题课，更好地让学生掌握知识、培养学生创新思维能力？这个问题一直困扰着教师。
我们在上习题课时，不求多讲，而求精讲。
通过一题多解，引导学生就不同的角度、不同的方位、不同的观点分析思考同一问题，从而扩充思维的机遇，使学生不满足固有的方法，而求新法。
例如，讲解例题，如图：搭１个正方形需要４根火柴棒。
（１）按图中方式，搭２个正方形需要几根火柴棒，搭３个正方形需要几根火柴棒。
（２）搭１０个这样的正方形需要多少根火柴棒？与同伴进行交流。
在解决第（2）问时，教师设计了４种思路，为学生提供充分的“体验”和“感知”的广阔平台。
即第一个思路：第一个正方形用４根，每增加一个正方形增加３根，那么搭ｘ个正方形就需要火柴棒［４＋３（ｘ－１）］根；第二个思路：上面的一排和下面的一排各用了ｘ根火柴棒，竖直方向用了（ｘ＋１）根火柴棒，共用了［ｘ＋ｘ＋（ｘ＋１）］根火柴棒；第三个思路的解法是以课后习题的数学理解呈现的：搭ｘ个这样的正方形需要［４ｘ－（ｘ－１）］根火柴棒；第四个思路的解法是第一个正方形可以看成是３根火柴棒加１根火柴棒搭成的。
此后每增加一个正方形就增加３根，搭ｘ个正方形共需（３ｘ＋１）根。
这样，让学生开展变题方法研究并在教学中不断反复运用，可以培养学生解题兴趣，养成独立思考、敢于“标新立异”的好习惯，在练习中学会探索，学会创造，达到获得新知识和培养能力的目的。
运用一题多解的呈现形式，为关注每一个学生的差异和进一步发展他们的思维提供了可能。
略论小学数学教学中的一题多解与学生发散思维的培养
略论小学数学教学中的一题多解与学生发散思维的培养摘要：小学数学教育是基础教育性学科，对于培养学生智力和思维能力都具有重要作用。
长期以来，我国小学数学教学对学生发散性思维能力的培养力度不够，在此结合一题多解教学方式对小学数学发散思维的培养进行探索。
关键词：小学数学教学；一题多解；发散思维一、一题多解对培养小学生发散思维的重要作用1.一题多解的数学教学方法能够激发小学生对数学知识的好奇心，让小学生有学习数学的动力。
小学数学知识凝结了人类长期以来摸索的数学知识最基本也是最基础的精华。
传统的数学教学模式中，往往通过数学习题和数学例题的练习帮助小学生掌握数学知识，这是一种比较枯燥和无趣的教学方式，会导致小学生对数学丧失学习兴趣。
针对小学生的年龄特征和心理发展状况，小学数学教师在教学过程中最好能够设置有趣的、生动的教学情境来激发学生的求知欲，让他们产生自觉、自发的去学习数学知识的愿望，而一题多解刚好可以起到这种作用。
一题多解并不是说把一道数学题的多种解法教给学生就万事大吉了，而是要通过一题多解的教学方式培养小学生去探索、去研究、去发现。
在教学中，教师可以常常使用以下用语来诱导学生：想想看这道题还有没有其他的解决方法？你们还有其他的解题思路吗？勇敢智慧的孩子会探索等等，小学生在教师的引导下可以形成善于思考、乐于思考的好习惯。
2.一题多解的数学解题方法可以锻炼小学生的发散性思维和创新性思维。
小学数学不同于小学语文的根本之处在于小学数学着重对学生的思维进行锻炼和提高。
为了增强小学生的发散思维和创新思维，教师可以运用一题多解的教学方式来增强小学生思维的灵活性和变通性。
在探寻一道习题多种解法的过程中，小学生的创新思维也能够得到发展，小学生独立思考的能力在一题多解教学的过程中得到加强。
教师在教学过程中要改变以前自己一个人滔滔不绝的习惯，要把小学生放在学习主体地位上，让学生在课堂上勇于提出自己的见解和疑问，鼓励学生之间进行融洽的沟通和探讨，实现陶行知先生描述的教学相长的教学境界。
高中数学教学中“一题多解”对学生思维能力的培养
B+C）=sin（C-A -B）+
1 2
，面积S满足1臆S臆2，记a，b，c 分
别为角A ，B，C所对的边，则下列不等式成立的是（ ）.
A.b c（b +c）跃8
B.ac（a+b）跃16 姨 2
C.6臆ab c 臆12
D.12臆ab c 臆24
对于这道题你们觉得应该怎样来求解？
生：将 条件 sin2A +sin［（C-B）+A］=sin［（C -B）-A］+
，代
入b2-a2= 1 c2，得tanC=2.明显步骤省略很多，也为解题节 2
省 了 很 多 时 间 ，要 知 道 在 数 学 考 试 中 时 间 是 很 宝 贵 的 . 那 么 同 学 们 思 考 一 下 ，除 可 以 应 用 射 影 定 理 之 外 ，还 能
1 2
还可不可以发生变化？
生：三角形的内角和是180度，所以题目中的等式还
可以转化为sin2A +sin2B+sin2C=
1 2
.
师：那么你们觉得这道题还可以怎么解呢？
86
高中
2019 年 10 月
教育纵横
数坛 在线
生：还可以这样解：S吟ABC=
1 2
R（2 sin2A +sin2B+sin2C）
2
4
［2，2 姨
2
］，S吟ABC=
abc 4R
沂［1，2］，所以8臆4R 臆ab c 臆8R 臆
16 姨 2 .
师：其实我们遇到三角函数题时经常能通过和差化
积进行解决，只是需要同学们对学到的知识点进行归纳
总 结 ，特 别 是 新 旧 知 识 的 综 合 应 用 ，不 能 将 思 维 只 停 留
如何在小学数学教学中对学生进行发散思维训练
如何在小学数学教学中对学生进行发散思维训练在小学数学教学中进行发散性思维训练，可使学生掌握数学知识的内在联系,理解和深化所学知识,有效地发展学生的创造才能。
下面我就数学教学中如何对学生进行发散性思维训练谈的几点粗浅认识。
一、沟通知识的内在联系，培养学生思维广度小学数学知识的交替性特别强，教学时注意发展性思维有助于认识新旧知识之间的联系，促进知识形成网络，加深对新知识的理解。
例如，教学“圆的面积”这一节用实验的方法讲解圆面积公式。
我引导学生，能否像推导三角形，梯形面积公式那样把圆转化成已知圆形，从而推导出圆面积公式？学生在实验中，有的拼成近似的长方形，有的拼成近似的平等行四边形，我因势诱导：①拼成的近似图形的底与圆的周长，高与圆的半径有什么关系？②怎样根据这些近似图形推导出圆面积的计算公式？这时学生的思维十公活跃，各自抢着讲出自己的推导过程。
通过发散思维沟通各种几何图形的内在联系，加深对圆面积公式的理解。
二、通过发散性思维，使学生搞清简单应用题和复合应用题之间的联系以往由于教师按课本例题一例一例地讲，学生按课后配套作业一例一例地练，当遇到复合应用题时，间接条件和直接条件交错在一起，学生感到无从下手。
为了改变这种状况，我在教学时根据解答复合应用题的关键，先找出中间问题，在教学简单应用题时，注意开发散性思维训练。
训练的方式有：①解答连续两问的简单应用题，使学生认识第一问的答案，就是求第二问的条件，只有求出第一问的得数，才能求出第二问的结果，从而认识“中间未知量”的重要。
如“商店里有彩色电视机20台，黑白电视机是彩色电视机的2/5，黑白电视机有多少台？电视机一菜有多少台？”②变换简单应用题的一个条件，突出“中间未知量”。
如“新华书店运来科技书420本，运来文艺书是科技书的1/6，运来文艺书多少本？”学生计算后要求将“运来文艺书是科技书的1/6”换成“文艺书比科技书少1/6”，“文艺书比科技书多1/6，“科技书比文艺书少1/6”，“科技书比文艺书多1/6”，问题还是求“运来文艺书多少本“。
培养学生形象思维的初中数学教案：《圆,造就你的图像思维》
培养学生形象思维的初中数学教案：《圆，造就你的图像思维》中学数学教学体系中，图像思维是一个非常重要的能力。
相较于文字和符号的表示方式，图像可以帮助学生更好地理解和解决问题。
而作为初中数学教学的重点，圆的概念和应用，则是训练学生图像思维的重要途径之一。
今天，我将为大家介绍一节培养学生形象思维的初中数学教学案例——《圆，造就你的图像思维》。
一、教学目标通过本节课的教学，希望学生能够：1. 掌握圆的基本概念和性质；2. 能够应用圆的基本概念和性质解决问题；3. 培养学生图像思维，提高学生的视觉想象能力；4. 培养学生团队协作精神，增强学生的沟通能力。
二、教学准备PPT课件、黑板、彩色笔、圆规、量角器。
三、教学过程1. 引入教师在黑板上写下一个圆的公式，并和学生讨论圆的定义和性质。
教师让学生用恰当的语言描述圆的图像形态，并用圆规和量角器画出一个完美的同心圆。
让学生思考，如何用手绘制出完美的正方形正三角形。
2. 学习圆的性质2.1 直径、半径、弧教师用PPT介绍圆的基本概念和性质。
学生需要理解直径、半径、弧和圆心角的概念，并掌握计算它们的方法。
2.2 扇形、扇区和面积通过练习，让学生理解扇形、扇区和圆的面积计算方法。
3. 提高学生图像思维能力3.1 绘制圆让学生用圆周上的两个点画出圆。
然后让学生运用图像思维，想象用圆规和铅笔画出一个完美的圆。
3.2 绘制正方形和正三角形教师将学生分成小组，让每个小组用规定的长度和工具，作出完美的正方形和正三角形。
学生需要在完成任务的同时，注意图像形态和准确度。
4. 提高学生沟通能力让学生在小组内进行讨论，互相交流和评价，并选择最好的作品进行展示。
5. 解决问题让学生团队合作，用圆的概念解决以下问题：5.1 扇形的周长和面积学生需要计算出给定扇形的周长和面积。
5.2 相交圆的问题给定两个相交的圆，并知道它们的半径，让学生计算碰到的长度比。
四、总结在本节课中，我们通过学习圆的性质，加强学生的图像思考能力，提高沟通和协作能力，同时培养学生的准确度和创造力。
一题多解,培养学生的发散性思维
亠题多解，培养学生的发散性思维教学不只是继承和吸收前人的知识成果，还必须应用和创新，教师应该把传授知识和培养能力、掌握方法放在同等重要的位置。
通过例题示范和习题的一题多解，可以幵拓思路，培养学生的发散性思维能力，还可以通过纵横发散，使知识串联、综合沟通，达到举一反三的目的。
一、发散性思维的定义发散性思维，又称扩散性思维、辐射性思维、求异思维，是一种从不同的方向、途径和角度去设想，探求多种答案，最终使问题获得圆满解决的思维方法。
发散性思维的特点是：充分发挥人的想象力，突破原有的知识圈，从一点向四面八方辐射幵，并通过知识、观念的重新组合，寻找更新更多的设想、答案或方法。
例如，一题多解、一词多组、一字多意或通过不同方法去探究答案的思维活动。
例如，风筝的用途是什么？有人回答：放在空中玩儿、测量风向、当射击靶子。
还有人回答：传递军事情报、作联络暗号等等。
他们根据不同的想法说出他们各自的答案，这样从不同的角度考虑问题将会促使学生拓展思维，把所学的知识灵活地运用，提高解题能力。
二、培养学生一题多解一题多解训练，就是启发和引导学生从不同的角度、不同的思路，用不同的方法和不同的运算过程去分析、解答同一道数学题的练习活动。
教师在教学活动中做好学生课堂教学的引导者和组织者，在课堂教学中，引导学生从多方面考虑问题，培养学生的一题多解能力，培养学生的发散思维能力，使其养成一个良好的解题方法和思路。
1. 启发联想，诱发一题多解联想是由一事物想到另一个事物的思维过程，它是创造性思维的起点。
课堂上启发学生展开联想，进行发散性思维，可以帮助学生突破感官时空限制，扩大感知领域，唤起学生对已有知识和经验的回忆，沟通新旧知识之间的联系，达到一题多解，发展学生的思维。
例•某厂有工人126人，男女工人之比是5 ：4,男工有多少人？读题后，引导学生根据“男女工人数之比是5 : 4”展幵联想：①男工人数是女工人数的；②女工人数是男工人数的；③男工人数占全厂工人的：④女工人数占全厂工人的；⑤男工人数比女工人数多；⑥女工人数比男工人数少；⑦男工人数占5份，女工人数占4份。
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巧用圆中的“一题多解”，培养学生发
散性思维
摘要:在初中数学教学中，习题解答是重要的组成部分，这不仅是由数学学
科能用于解决现实问题的特征决定的，更是为了培养学生的逻辑思维、解题能力。
一题多解指的就是学生在解决数学问题的时候，不再局限一道题目一个解题思路
和方法的限制，而是学会从不同的角度寻找切入点，使用多种方法解决问题。
本
文从初中数学教学“圆”的一题多解教学入手展开研究，进行有效的一题多解训练，带出多种数学知识与方法，培养学生的发散性思维。
关键词：发散性思维；一题多解；初中数学；圆
数学本身具有着一定的抽象性和逻辑性，而且解决问题的方式也是多样的。
教师注重转变教学理念和教学方法，引导学生从多角度和多层面进行问题的分析，学会使用一题多解来找到解决问题的多种方式，对发散学生的思维，培养学生的
数学能力至关重要。
一、数学课程中的一题多解
数学学科教学本身具有一定的抽象性与综合性内涵，它旨在培养学生的灵活
逻辑思维能力。
在新课改背景下，为了实现数学教学实效性的有效提升，教师也
希望从多个方面思考，实现多角度数学教学，引入一题多解训练模式，在提炼数
学知识内容过程中也希望培养学生良好的变式思维，更多结合数学问题、条件、
结论之间的相互转换来彰显学生对于教学内容、方法的不同理解，培养学生思维
的广阔性和慎密性。
在该过程中，教师的教学过程不再固定于某一局限性定式思维上思考问题，
要鼓励学生充分的发挥出想象力，能针对一个题目从多角度和多方向进行观察和
分析，多角度和多变并且多层次的应用学习过的知识，得出不同类型解决问题的
方式方法，同时也养成任何问题都去多方面思考的习惯。
二、圆的一题多解问题探析
在学完圆的有关知识后，很多学生会发现有些习题常出现一题多解的特点.
这是由于图形的位置及圆的对称性等特性而出现的情况。
本文将课本中的例、习
题的改编题及近几年来全国各地的中考题有关圆中一题多解的问题归纳起来，作
为培养学生发散思维的有效路径并展开分析。
（一）点在圆的位置不确定
由于点与圆有三种位置关系(点在圆内、圆上和圆外)，加上圆中弧分为优弧
和劣弧两类以及圆心本身的位置，常造成点与圆心、点与圆的相对位置的不同，
从而产生多种解的情况[1]。
例1，已知PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠APB=80°，点C是⊙O上
不同于A、B的任意一点。
求∠ACB的度数。
分析:点C在圆上的位置不确定，要考虑点C在劣弧AB上和在优弧AB上两
种情况，如图1
解析:联结OA、OB，在圆弧AB上任取一点C，因为PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，所以，∠OAP=∠OBP=90°又∠APB=80°，所以，∠AOB=100°
①若点C在劣弧AB上，则∠ACB=130°
②若点C在优弧AB上，则∠ACB=50°
（二）圆心与弦的关系不确定
圆中两弦与圆心的关系有两种情况，一种是两弦位于圆心同侧面，一种是两
弦位于圆心的两侧[2]。
因此，凡是涉及有关弦的计算都有可能产生多解。
解答这
类题时，只要按照弦的不同位置分别解答就可以了。
例4，在半径为1的⊙O中弦
AB，AC分别是和，则∠BAC的度
数为？
（三）圆与圆的位置关系不确定
圆与圆的位置关系有相离、相切、相交三种情况而相离也分外离和内含，相
切也分内切和外切.这些不确定性就导致了此类问题的多解.解决此类问题时，应
从两圆位置的多种情况入手分类求解[3]。
例6，以O为圆心的两个同心圆的半径分别是10和4，若⊙P与两圆都相切，则⊙P的半径是？
图2图3
解析:⊙P既可以如图2所示，与小圆外切且与大圆内切，也可以如图3所示，
与两圆都内切，因此⊙P的半径是或
例7，⊙M与⊙N相交于A、B，它们的半径分别是4cm和5cm，公共弦
AB=6cm，则圆心距MN=
图4图5
解析:许多同学由于受思维定势的干扰，习惯于图4中M、N在AB的异侧的
情况，得到一个解(4+)cm。
其实还有图6中M、N在AB的同侧，得出，漏掉了(4-)cm这个解。
例8，⊙A与⊙B相外切，⊙A的半径是1cm，⊙B的半径是4cm，则半径为
6cm且与⊙A、⊙B都相切的⊙M一共可以作出（）。
A.4个
B.5个
C.6个
D.7个
图6
解析:⊙M与⊙A、⊙B都相切应分下列4种情形：⊙M与⊙A、⊙B都相外切，可作2个；⊙M与⊙A、⊙B都相内切，可作2个；⊙M与⊙A相外切且与⊙B相内切，可作1个；⊙M与⊙A相内切且与⊙B相外切，可作1个。
所以，一共可作6个，选C[4]。
结束语
在初中数学教学中，圆由于图形位置、形状及大小的不确定，经常出现一题多解的“多结论”情况，学生解题时漏解出错时有发生。
教师要在提炼“圆”知识内容过程中更多结合“圆”问题、条件、结论之间的相互转换来多角度和多层面展开问题分析，得出不同类型解决问题的方式方法，培养学生的数学思维发散能力，并在不断解题的过程中养成任何问题都去多方面思考的习惯。
参考文献
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[4] 王静茹. 一道中考几何填空压轴题的解法探究[J]. 数学教学通讯，2023(8):86-88.作者信息:钱星利，女(1994.07—)，汉族，四川省内江市人，硕士，泸州老窖天府中学，研究方向:数学教育。