有关分数指数幂的几个问题
分数指数幂的证明
分数指数幂的证明一切的开始都从分数指数幂的概念开始。
什么是分数指数幂？简单来说，它是一种表达式，用来表示一个数的乘方。
这些表达式可以用来计算许多数学问题，如多项式求和，求根，幂函数求值等等。
要证明分数指数幂的正确性，我们首先要了解其定义。
一个数字的分数指数幂是指它的指数是一个有理数，而不是一个整数。
例如，一个数的5/3 次方就是一个分数指数幂，而它的 5 次方就不是分数指数幂。
因此，当我们证明分数指数幂的正确性时，我们需要首先确定分数指数幂的定义，即指数是一个有理数，而不是一个整数。
一旦我们确定了分数指数幂的定义，我们就可以开始证明它的正确性。
首先，我们要证明分数指数幂的乘法法则，即：(a^m)(a^n)=(a^(m+n))例如，我们要证明 (2^(3/2))(2^(1/2))=(2^2)=4首先，我们要将分数指数幂转换成整数指数，即：2^(3/2)=2^1.5=2^3/2可以将分数指数幂转换成整数指数，即：2^(3/2)=2^1.5=(2^3)(2^(-1/2))同样，我们将另一个分数指数也转换成整数指数，即：2^(1/2)=(2^2)(2^(-1))现在，我们可以把两个分数指数幂的乘积表示为整数指数的乘积，即：(2^1.5)(2^0.5)=(2^3)(2^(-1/2))(2^2)(2^(-1))= (2^3)(2^2)(2^(-3/2))= (2^5)(2^(-3/2))= 2^2= 4这就证明了分数指数幂的乘法法则，即 (2^(3/2))(2^(1/2))=(2^2)=4。
接下来，我们要证明分数指数幂的除法法则，即：(a^m)/(a^n)=(a^(m-n))例如，我们要证明 (2^2)/(2^(-1))=(2^3)同样，我们将分数指数幂转换成整数指数，即：2^2=2^3/22^(-1)=2^(-2/2)将两个分数指数幂的除法表示成整数指数的除法，即：(2^2)/(2^(-1))=(2^3/2)/(2^(-2/2))=(2^3)(2^(2/2))/(2^(-2/2))= (2^5)/(2^(-2/2))= 2^3这就证明了分数指数幂的除法法则，即 (2^2)/(2^(-1))=(2^3)。
分数指数幂
又 a ＋a
1 2
1 －2
3 ＝2 2，
1 9 得 a＋a＋2＝2， 即 2a2－5a＋2＝0. 1 8 32 ∴a＝2 或2，所以代入原式＝－3或 3 .
1．在根式的化简与运算中，一般是先将根式化成 分数指数幂，再进行运算．
2．幂的运算中，结果不能同时含有根号和分数指
数幂，也不能同时含有分母和负分数指数幂，若无特殊 说明，结果一般用分数指数幂的形式表示． 3．对条件求值问题，要弄清已知与未知的联系， 采用“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值．
1 2 2 3
＝a
1 2－ 2
－ ＝a ＝ a5.
2 3
5 6
6
[一点通]
对于既含有分数指数幂，又含有根式的式
子，一般把根式统一化成分数指数幂的形式，以便于计 算．如果根式中的根指数不同，也应化成分数指数幂的形 式．
1．若 2<a<3，则化简 2－a ＋ 3－a4的结果是 ( A．5－2a C．1 解析：由于2<a<3， B．2a－5 D．－1 )
答案：B
7．已知x－3＋1＝a(a为常数)，求a2－2ax－3＋x－6的值． 解：∵x－3＋1＝a， ∴x－3＝a－1，
又∵x－6＝(x－3)2，
∴x－6＝(a－1)2， ∴a2－2ax－3＋x－6 ＝a2－2a(a－1)＋(a－1)2 ＝a2－(2a2－2a)＋(a2－2a＋1)＝1.
8．如果 a ＋a
2 4＋ 3
4 3
1 2
1 4
) ＝3
1 4
14 1 3 ×4
＝3 ＝3 3；
7 6
6
(3)原式＝(5 ＝5 ÷ 5 ＝5 ＝
2 1 － 3 4 2 3
4第四讲 分数指数幂
第四讲 分数指数幂【要点梳理】 一、分数指数幂把指数的取值扩大到分数，我们规定()0m na a =≥，()0m naa -=>，其中m n 、为正整数，1n >. 上面规定中的m na 和m na-叫做分数指数幂，a 是底数.整数指数幂和分数指数幂统称为有理数指数幂. 要点诠释：（1）当m 与n 互素时，如果n 为奇数，那么分数指数幂中的底数a 可为负数.（2）指数的取值范围扩大到有理数后，方根就可以表示为幂的形式，开方运算可以转化为乘方形式的运算.二、有理数指数幂的运算性质设00a b p q >>，，、为有理数，那么 （1）pqp qp q p q a a a a a a +-=÷=，.（2）()qp pq aa =.（3）()pp pp p p a a ab a b b b ⎛⎫== ⎪⎝⎭，.例1、 把下列方根化为幂的形式：（1 （2； （3（4例20a > ，m n 、为正整数，n ＞1）用分数指数幂可表示为（ ）A.n ma B.mna C. n ma-D. m na-例3、 口算：（1）1216；（2）1327；（3）12144；（4）14256.例4、口算：（1）1481-；（2）14116⎛⎫⎪⎝⎭；（3）1236.例5、计算：（1）()1 3827⨯；（2）4112235⎛⎫⨯⎪⎝⎭；（3）3422335⎛⎫⨯⎪⎝⎭；（4）6113223⎛⎫÷⎪⎝⎭【巩固练习】一.选择题1.下列运算正确的是（）A.1393= B.1393=± C.1293= D.1293=±2. 根式（0a>，m n、为正整数，n＞1）用分数指数幂可表示为（）A.nma B.mna- C.nma-- D.mna--3. ）A.237 B.237- C.327- D.3274. ）A.100B.10C.3245⨯ D.2345⨯二.填空题5.=_________.6. _______.7.计算：()1 38-=_________.8.计算：141681-⎛⎫⎪⎝⎭=________.9.计算：11231627258⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=________. 10.计算：()2111332232323-⎛⎫⨯÷⨯ ⎪⎝⎭=________.11.计算：3213346-⎛⎫÷ ⎪⎝⎭=_________.12.计算：133324525-⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭=_________.三.解答题13.计算（结果表示为含幂的式子）：（1）213455⨯； （2）1377÷； （3）12435-⎛⎫ ⎪⎝⎭； （4）()1336122⨯.14.计算（结果表示为含幂的形式）：（1）213481-⎛⎫ ⎪⎝⎭； （2）()155332⨯； （3）112266-⨯； （4）2112223-⎛⎫÷ ⎪⎝⎭.《实数》全章复习与巩固例1、下列命题：①负数没有立方根；②一个实数的算术平方根一定是正数；③一个正数或负数的立方根与这个数同号；④如果一个数的算术平方根是这个数本身，那么这个数是1或0；⑤如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0 ，其中错误的有（ ） A.2个 B.3 个 C.4 个 D.5个例2、下列运算正确的是（ ）ABD ．例32431024-的5次方根是＝_________.2=±=2=-|2|2--=例4＝若，，则 例5、把下列各数填入相应的集合：－1、、π、－3.14、、、、． （1）有理数集合｛ ｝；（2）无理数集合｛ ｝； （3）正实数集合｛ ｝； （4）负实数集合｛ ｝．例6、计算（1）（2）（3） (4)例7、（1）已知：（a+6）2+=0，则2b 2﹣4b ﹣a 的值为 ．（2）实数a 、b 在数轴上所对应的点的位置如图所示： 化简＋∣a －b ∣＝ .（3）实数在数轴上的位置如图所示，则的大小关系是： ；例8、用四舍五入法，按括号中的要求把下列各数取近似数.(1)0.0198 (精确到0.001)； (2)0.34082(精确到千分位)； (3)64.49 (精确到个位)；10.1=7160.03670.03=542.1670.33=_____________3673=3926-22-7.0 233)32(1000216-++23)451(12726-+-32)131)(951()31(--+()223323)3()21()4()4(2--⨯-+-⨯-2a a 2,1,,a aa a -【家庭作业】一.选择题1. 下列说法正确的是（ ）A ．数轴上任一点表示唯一的有理数B ．数轴上任一点表示唯一的无理数C ．两个无理数之和一定是无理数D ．数轴上任意两点之间都有无数个点 2. 的算术平方根是（ ）A ．2B ．±2C ．D ．±3．已知a 、b 是实数，下列命题结论正确的是（ ）A ．若a ＞b ，则＞B ．若a ＞｜b ｜，则＞C ．若｜a ｜＞b ，则＞D ．若＞，则＞4. ，则的值是（ ） A.B. C. D. 5.若式子有意义,则的取值范围是 ( ). A. B. C. D. 以上答案都不对. 6. 下列说法中错误的是（ ）A.中的可以是正数、负数或零.B.中的不可能是负数.C. 数的平方根有两个.D.数的立方根有一个. 7. 数轴上A ，B 两点表示实数a ，b ，则下列选择正确的是（ ）A. B. 0ab > C.0a b -> D.||||0a b ->8. 估算的值在 （ ）A. 5和6之间B.6和7之间C.7和8之间D.8和9之间二.填空题9. 的整数部分是，则其小数部分用表示为 ． 10．当 .2a 2b2a 2b 2a 2b 3a 3b 2a 2b 3387=-a a 8787-87±512343-3112x x -+-x 21≥x 1≤x 121≤≤x 3a a a a a a 0>+b a 219+a a x11. .12. 若是225的算术平方根，则的立方根是 . 13. 12234-⎛⎫ ⎪⎝⎭＝_________ .14.﹣64的立方根与的平方根之和是 ．15. ，，16. 数轴上离原点距离是的点表示的数是 .三.解答题17. 一个正数x 的平方根是与，则是多少？18.已知x ﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，求x 2+y 2的平方根．19. 已知：表示、两个实数的点在数轴上的位置如图所示，请你化简20. 阅读题：阅读下面的文字，解答问题.大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用－1表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗?事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分.请解答：已知：10＋＝，其中是整数，且,求的相反数.=--32)125.0(12-x x 1--2233532-a a -5a a b ()2b a b a ++-222223y x +x 10<<y y x -。
1高中 必修一分数指数幂 知识点+例题 全面
学科教师辅导教案―分数指数幂(n aa a aa 个2、分数指数幂观察：(25)2=21051022= 2101022=(1)正数的正分数指数幂的意义是：nm a ＝na m (a >0，m 、n ∈N *，且n>1)； (2)正数的负分数指数幂的意义是：nm a-＝nm a1 (a >0，m 、n ∈N *，且n>1)；(3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．注意：不要轻易对nm 进行约分，否则有时会改变a 的取值范围导致出错，若.0,;,41482≥=∈a a a R a a[例1]求下列各式的值：（1）2125-（2）5)21(- （3）43)8116(- （4）0421)127(-+[巩固]计算求值： （1） 021231)1627()21(8---+++（2）214)425()15(4)21(25.0----÷--⨯[例2] 将下列分数指数幂化为根式 （1）_______534=（2）_______221=-（3）_______23=a （4）_______25=-a[巩固] 用分数指数幂表示下列各式：（1）_____2=（2）_____)0(32=>a a （3）_____)(57=-b a （4）_____)()(224322=≥-b a b a3、有理数指数幂的运算性质(1)a t a s ＝a t ＋s (a >0，t 、s ∈Q )； (2)(a t )s ＝a ts (a >0，t 、s ∈Q )； (3)(ab )t ＝a t b t (a >0，b >0，t ∈Q )．[例1]化简精典例题透析精典例题透析。
《分数指数幂时》课件
分数指数幂的除法运算
总结词
详细描述
总结词
详细描述
掌握分数指数幂的除法运算规 则
分数指数幂的除法运算规则是 底数相除，指数相减。例如， a^(m/n) / a^(n/p) = a^((m/n) - (n/p))。
理解分数指数幂除法运算的几 何意义
分数指数幂的除法运算可以理 解为将一个图形进行缩放后再 与另一个图形进行比较，底数 相除相当于将两个图形分开， 指数相减则表示将其中一个图 形进行缩放。
对数函数的性质和运算法则可以应用 于分数指数幂的计算中，如换底公式 、对数的运算法则等。
分数指数幂与三角函数的关系
分数指数幂可以用于表示三角函数的幂次，如sin^α、 cos^α等。
三角函数的性质和运算法则可以应用于分数指数幂的计算中 ，如三角函数的和差化积、积化和差等公式。
CHAPTER 05
好地理解材料的物理特性。
在电子工程中，分数指数幂可以用来描述电路中的电 流和电压等电气参数，帮助工程师更好地设计电子设
备。
分数指数幂在物理和工程中也有广泛的应用， 例如在材料科学、机械工程和电子工程等领域 。
在机械工程中，分数指数幂可以用来描述机械系 统的动态行为，例如振动和噪音等。
CHAPTER 04
中等难度题目解析
总结词
掌握分数指数幂的运 算技巧和复杂表达式 的化简
题目1
求 $frac{a^{m+n}}{b^ m}$的值
解析
根据分数指数幂的运 算规则， $frac{a^{m+n}}{b^ m} = a^n cdot (frac{a}{b})^m$
题目2
求$(a^m)^n cdot (b^n)^m$的值
《分数指数幂》ppt课 件
分数指数幂计算题
分数指数幂计算题摘要：一、分数指数幂的定义二、分数指数幂的运算规则1.分数指数幂的乘法规则2.分数指数幂的除法规则3.分数指数幂的幂运算规则三、分数指数幂的应用举例1.计算分数的幂2.计算指数函数的值3.解决实际问题正文：分数指数幂是指数函数中的一种形式，它表示为a^(m/n)，其中a是底数，m和n是正整数。
在数学中，分数指数幂的运算规则相对复杂，但只要掌握了其规律，就能轻松进行计算。
首先，我们来看分数指数幂的定义。
分数指数幂表示为a^(m/n)，其中a 是底数，m和n是正整数。
这意味着a需要被乘以自身m次，然后再除以自身n次。
例如，2^(3/2)表示2乘以自身3次，然后再除以自身2次，结果为2×2×2÷2÷2=2。
其次，我们来看分数指数幂的运算规则。
1.分数指数幂的乘法规则：若a^(m/n)和a^(p/q)相乘，则结果为a^((m+p)/(n+q))。
例如，2^(3/2)×2^(1/3)=2^(3/2+1/3)=2^(5/6)。
2.分数指数幂的除法规则：若a^(m/n)除以a^(p/q)，则结果为a^((m-p)/(n-q))。
例如，2^(3/2)÷2^(1/3)=2^(3/2-1/3)=2^(5/6)。
3.分数指数幂的幂运算规则：若a^(m/n)的幂为a^(k)，则结果为a^((km)/(n^k))。
例如，(2^(3/2))^2=2^(3/2×2)=2^(6/2)=2^3。
最后，我们来看分数指数幂在实际问题中的应用。
1.计算分数的幂：例如，计算2^(3/2)的平方，根据分数指数幂的幂运算规则，结果为2^(3/2×2)=2^3=8。
2.计算指数函数的值：例如，计算f(x)=2^x的导数，根据指数函数的导数公式，结果为f"(x)=2^x * ln(2)。
3.解决实际问题：例如，根据分数指数幂的定义，可以解决与化学反应速率、生物学种群增长等有关的问题。
初中数学分数指数幂练习题(含解析)
分数指数幂1．下列命题中，正确命题的个数是__________． ①n a n ＝a ②若a ∈R ，则(a 2－a ＋1)0＝1 ③3x 4＋y 3＝x 43＋y ④3－5＝6(－5)22．下列根式、分数指数幂的互化中，正确的序号是__________． ①－x ＝(－x)12(x ≠0) ②x x ＝x 34 ③x －13＝－3x ④3x·4x ＝x 112⑤(x y )－34＝4(y x )3(xy ≠0) ⑥6y 2＝y 13(y<0)3．若a ＝2，b ＝3，c ＝－2，则(a c )b ＝__________.4．根式a a 的分数指数幂形式为__________．5.4(－25)2＝__________.6．2－(2k ＋1)－2－(2k －1)＋2－2k 的化简结果是__________．7．(1)设α，β是方程2x 2＋3x ＋1＝0的两个根，则(14)α＋β＝__________.(2)若10x ＝3,10y ＝4，则10x －12y ＝__________.8．(1)求下列各式的值：①2723②(614)12③(49)－32(2)解方程：①x －3＝18②x ＝914.(1)(0.027)23＋(12527)13－(279)0.5(2)(13)12＋3·(3－2)－1－(11764)14－(333)34－(13)－1.10．已知a 12＋a －12＝4，求a ＋a －1的值．(1)5x －23y 12(－14x －1y 12)(－56x 13y －16)(2)m ＋m －1＋2m －12＋m 12.12．[(－2)2]－12的值是__________．13．化简(36a 9)4·(63a 9)4的结果是__________．14．以下各式，化简正确的个数是__________．①a 25a －13a －115＝1②(a 6b －9)－23＝a －4b 6 ③(－x 14y －13)(x －12y 23)(－x 14y 23)＝y④－15a 12b 13c －3425a －12b 13c 54＝－35ac15．(2010山东德州模拟，4改编)如果a 3＝3，a 10＝384，则a 3[(a 10a 3)17]n 等于__________．16．化简3(a －b )3＋(a －2b )2的结果是__________．17．下列结论中，正确的序号是__________．①当a<0时，(a 2)32＝a 3 ②n a n ＝|a|(n>1且n ∈N *)③函数y ＝(x －2)12－(3x －7)0的定义域是(2，＋∞)④若100a ＝5,10b ＝2，则2a ＋b ＝118．(1)若a ＝(2＋3)－1，b ＝(2－3)－1，则(a ＋1)－2＋(b ＋1)－2的值是__________．(2)若x ＞0，y ＞0，且x(x ＋y)＝3y(x ＋5y)，则2x ＋2xy ＋3y x －xy ＋y的值是__________．19．已知a ＝2 0091n －2 009－1n2(n ∈N *)，则(a 2＋1＋a)n 的值是__________．20．若S ＝(1＋2－132)(1＋2－116)(1＋2－18)(1＋2－14)(1＋2－12)，那么S 等于__________．21．先化简，再求值： (1)a 2·5a 310a 7·a ，其中a ＝8－53；(2)a 3x ＋a －3xa x ＋a－x ，其中a 2x ＝5.22.(易错题)计算：(1)(235)0＋2－2·(214)－12－(0.01)0.5(2)(279)0.5＋0.1－2＋(21027)－23－3π0＋3748(3)(0.008 1)－14－[3×(78)0]－1×[81－0.25＋(338)－13]－12－10×0.02713.23．已知x 12＋x－12＝3，求x32＋x－32＋2x2＋x－2＋3的值．24．化简下列各式：(1)x －2＋y －2x －23＋y －23－x －2－y －2x －23－y －23(2)a 43－8a 13b a 23＋23ab ＋4b 23÷(1－23b a )×3a.答案与解析基础巩固1．1 ∵n a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，当n 为奇数时，|a|，当n 为偶数时，∴①不正确； ∵a ∈R ，且a 2－a ＋1＝(a －12)2＋34≠0，∴②正确； ∵x 4＋y 3为多项式，∴③不正确；④中左边为负，右边为正显然不正确．∴只有②正确．2.②⑤ ①－x ＝－x 12，∴①错； ②x x ＝(x x)12＝(x·x 12)12＝(x 32)12＝x 34，∴②对； ③x －13＝1x 13＝13x ，∴③错； ④3x·4x ＝x 13·x 14＝x 13＋14＝x 712， ∴④错；⑤(x y )－34＝(y x )34＝4(y x)3， ∴⑤对；⑥6y 2＝|y|13＝－y 13(y<0)，∴⑥错． ∴②⑤正确．3.164 (a c )b ＝a bc ＝23×(－2)＝2－6＝126＝164. 4．a 32 a a ＝a·a 12＝a1＋12＝a 32. 5．54(－25)2＝4252＝454＝5. 6．－2－(2k ＋1)∵2－(2k ＋1)－2－(2k －1)＋2－2k ＝2－2k ·2－1－2－2k ·21＋2－2k ＝(12－2＋1)·2－2k ＝－12·2－2k ＝－2－(2k ＋1)． 7．(1)8 (2)32 (1)由根与系数的关系，得α＋β＝－32，∴(14)α＋β＝(14)－32＝(2－2)－32＝23＝8. (2)∵10x ＝3,10y ＝4，∴10x －12y ＝10x ÷1012y ＝10x ÷(10y )12＝3÷412＝32. 8．解：(1)①2723＝(33)23＝33×23＝32＝9. ②(614)12＝(254)12＝[(52)2]12＝(52)2×12＝52. ③(49)－32＝(23)2×(－32)＝(23)－3＝(32)3＝278. (2)①∵x －3＝18＝2－3，∴x ＝2. ②∵x ＝914，∴(x)2＝(914)2＝912.∴x ＝(32)12＝3. 9．解：(1)原式＝(0.33)23＋(12527)13－(259)12＝9100＋53－53＝9100. (2)原式＝3－12＋33－2－(8164)14－(3－23)34－31 ＝33＋3(3＋2)－[4(34)4]14－3－12－3 ＝33＋3＋6－2·34－33－3 ＝6－342. 10．解：∵a 12＋a －12＝4.∴两边平方，得a ＋a －1＋2＝16.∴a ＋a －1＝14. 11．解：(1)原式＝245×5×x －23＋1－13×y 12－12＋16＝24x 0y 16＝24y 16； (2)原式＝(m 12)2＋2m 12·m －12＋(m －12)2m －12＋m 12＝(m 12＋m －12)2m 12＋m －12＝m 12＋m －12. 能力提升12.22 原式＝2－12＝12＝22. 13．a 4 原式＝(3a 96)4·(6a 93)4＝(a 32×13)4·(a3×16)4＝(a 12)4·(a 12)4＝a 2·a 2＝a 4. 14．3 由分数指数幂的运算法则知①②③正确；对④，∵左边＝－35a 12＋12b 13－13c －34－54＝－35a 1b 0c －2＝－35ac －2≠右边，∴④错误． 15．3·2n 原式＝3·[(3843)17]n ＝3·[(128)17]n ＝3·(27×17)n ＝3·2n . 16．b 或2a －3b 原式＝a －b ＋|a －2b|＝⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＋2b －a ，a ＜2b a －b ＋a －2b ，a ≥2b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ＜2b ，2a －3b ，a ≥2b.17．④ ①中，当a ＜0时，(a 2)32＝[(a 2)12]3＝(|a|)3＝(－a)3＝－a 3， ∴①不正确；当a ＜0，n 为奇数时，n a n ＝a ， ∴②不正确；③中，有⎩⎪⎨⎪⎧ x －2≥0，3x －7≠0，即x ≥2且x ≠73，故定义域为[2，73)∪(73，＋∞)， ∴③不正确；④中，∵100a ＝5,10b ＝2，∴102a ＝5,10b ＝2,102a ×10b ＝10.∴2a ＋b ＝1.∴④正确．18．(1)23 (2)3 (1)a ＝12＋3＝2－3，b ＝12－3＝2＋3， ∴(a ＋1)－2＋(b ＋1)－2＝(3－3)－2＋(3＋3)－2＝1(3－3)2＋1(3＋3)2＝(3＋3)2＋(3－3)2(3－3)2·(3＋3)2 ＝32＋2·3·3＋3＋32－2·3·3＋3[(3－3)(3＋3)]2＝2×9＋6(9－3)2＝2436＝23. (2)由已知条件，可得(x)2－2xy －15(y)2＝0，∴x ＋3y ＝0或x －5y ＝0.∵x ＞0，y ＞0，∴x ＝5y ，x ＝25y.∴原式＝50y ＋225y 2＋3y 25y －25y 2＋y ＝50y ＋10y ＋3y 25y －5y ＋y ＝63y 21y＝3. 19．2 009 ∵a ＝2 0091n －2 009－1n 2，∴a 2＋1＝1＋2 0092n ＋2 009－2n －24＝(2 0091n )2＋2＋(2 009－1n )24＝(2 0091n ＋2 009－1n 2)2.∴a 2＋1＋a ＝2 0091n ＋2 009－1n 2＋2 0091n －2 009－1n 2＝2 0091n. ∴(a 2＋1＋a)n ＝(2 0091n)n ＝2 009. 20.12(1－2－132)－1 原式＝(1－2－132)(1＋2－132)(1＋2－116)(1＋2－18)(1＋2－14)(1＋2－12)1－2－132＝(1－2－116)(1＋2－116)(1＋2－18)(1＋2－14)(1＋2－12)1－2－132＝(1－2－18)(1＋2－18)(1＋2－14)(1＋2－12)1－2－132＝(1－2－14)(1＋2－14)(1＋2－12)1－2－132＝(1－2－12)(1＋2－12)1－2－132＝1－2－11－2－132＝12(1－2－132)－1. 21．解：(1)原式＝a2＋35－710－12＝a 75＝(8－53)75＝8－73＝(23)－73＝2－7＝1128. (2)原式＝(a x )3＋(a －x )3a x ＋a －x ＝(a x ＋a －x )(a 2x －a x ·a －x ＋a －2x )a x ＋a －x＝a 2x －1＋a －2x ＝5－1＋15＝415. 22．解：(1)原式＝1＋14·(49)12－(1100)12＝1＋14×23－(110)2×12＝1＋16－110＝1115. (2)原式＝(259)12＋(110)－2＋(6427)－23－3×1＋3748＝53＋100＋(43)－2－3＋3748＝53＋100＋916－3＋3748＝100. (3)原式＝[(0.3)4]－14－3－1×[(34)－14＋(278)－13]－12－10×[(0.3)3]13＝0.3－1－13[3－1＋(32)－1]－12－10×0.3＝103－13(13＋23)－12－3＝103－13－3＝0.23．解：∵x 12＋x －12＝3，∴(x 12＋x －12)2＝9.∴x ＋x －1＝7. ∴原式＝(x 12)3＋(x －12)3＋2x 2＋x －2＋3＝(x 12＋x －12)(x －1＋x －1)＋2(x ＋x －1)2－2＋3＝3×(7－1)＋272－2＋3＝25.- 11 -拓展探究24．解：(1)原式＝(x －23)3＋(y －23)3x －23＋y －23－(x －23)3－(y －23)3x －23－y －23＝(x －23)2－x －23·y －23＋(y －23)2－(x －23)2－x －23·y －23－(y －23)2＝－2(xy)－23. (2)原式＝a 13[(a 13)3－(2b 13)3]a 23＋2a 13b 13＋(2b 13)2÷(1－2b 13a 13)×a 13 ＝a 13(a 13－2b 13)[a 23＋2a 13b 13＋(2b 13)2]a 23＋2a 13b 13＋(2b 13)2÷a 13－2b 13a 13×a 13＝a 13(a 13－2b 13)·11×a 13a 13－2b 13×a 13＝a 13·a 13·a 13＝a.。
新高考数学复习考点知识与题型专题讲解15---n次方根与分数指数幂(解析版)
新高考数学复习考点知识与题型专题讲解15 n 次方根与分数指数幂1．根式的概念一般地，如果x n ＝a ，那么x 叫做a 的，其中n >1，且n ∈N *.(1)当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数，这时，a 的n 次方根用符号 表示．(2)当n 是偶数时，正数a 的n 次方根有两个，记为，负数没有偶次方根．(3)0的任何次方根都是0，记作.式子na 叫做根式，其中n (n >1，且n ∈N *)叫做根指数，a 叫做被开方数．2．根式的性质根据n 次方根的意义，可以得到： (1)(na )n ＝.(2)当n 是奇数时，n a n ＝a ；当n 是偶数时，na n ＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0.注意：(n a )n 中当n 为奇数时，a ∈R ；n 为偶数时，a ≥0，而(na n )中a ∈R . 答案：n 次方根n a ±n a n0＝0a题型一 指数与指数幂的运算1．已知4230.2,0.3,0.4a b c ===，则（ ）A ．b a c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．a b c << 【答案】B【解析】∵40.20.0016a ==，20.30.09b ==，30.40.064c ==， ∴b c a >>， 故选B ．题型二 根式、指数幂的化简、求值2．若0xy ≠=- A ．0x >，0y >B ．0x >，0y < C ．0x <，0y >D ．0x <，0y < 【答案】C【解析】0xy ≠，0x ∴≠，0y ≠．由 23000x y xy y ⎧>⎪->⎨⎪>⎩，得 00x y <⎧⎨>⎩.故选C.3．已知函数()22333xxf x =+，则12100101101101f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭________.【答案】50【解析】()()119999939119393939399339x xxx x xxx xx xf x f x --+-=+=+=+=++++++， 设12100101101101S f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，110029950512101101101101101101S ff f f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦1100100=⨯=. 因此，1210050101101101f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为：50.题型三 根数指数幂与根式的互化4．若()3432x --有意义，则实数x 的取值范围是 A ．(),-∞+∞B ．33,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】要使34(32)x -=-需使320x ->，解得32x <，表示为区间形式即3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.故选C.1 ）A ．．C 【答案】A【解析】由题意，可知0a ≥，()11111116363623a a a a a a +=-⋅=-⋅=-=-=故选：A.2．把(a -(1)a -移到根号内等于（ ）A ．．【答案】C 【解析】解：由101a-，得1a <，则10a -<，(a ∴-故选：C ．32，结果是（ ）A ．6x ―6B ．―6x +6C ．―4D ．4 【答案】D【解析】2，∴29610350x x x ⎧-+≥⎨-≥⎩，∴53x ≥，22=31(35)4x x =---= 故选：D.4．某工厂一年中第十二个月的产量是第一个月产量的a 倍，那么该工厂这一年的月平均增长率是（ ）A ．11a B ．12aC ．1D 1 【答案】D【解析】设月平均增长率为x ，据条件可知：()111x a +=，所以1x +=1x =， 故选：D.5．已知a =，则21211a a a a-+-化简求值的结果是（ ）A ．0B ．1．1 【答案】B【解析】由已知，01a <<22121(1)1111(1)a a a a a a a a a a-+--=----- 1111a a a a=-+-=-,代入2a ==原式211== 故选：B6．下列各式中成立的是（ ）A ．7177n n m m ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．C32()x y +D 3π=- 【答案】D【解析】对于A ，777n n m m -⎛⎫= ⎪⎝⎭，故A 错误；对于B =B 错误； 对于C ，显然不成立，故C 错误；对于D 33ππ=-=-，故D 正确. 故选：D.7________． 【答案】1-202x x -≥⇒≤．|2||3|(2)(3)1x x x x =---=---=-． 故答案为：1-8．已知m 、n 是方程2530x x ++=的两根，则______．【答案】-【解析】对于方程2530x x ++=，2543130∆=-⨯=>，由韦达定理可得53m n mn +=-⎧⎨=⎩，0m ∴<，0n <，因此，==-=-故答案为：-9．化简：（1（2|3)x <【答案】（11；（2）22(31),4(13).x x x ---<<⎧⎨-≤<⎩ .【解析】（1）原式(11=+(111=++1111=+=.（2）原式=13x x =--+()()13,3113,13x x x x x x ⎧----<<⎪=⎨---≤<⎪⎩，22(31),4(13).x x x ---<<⎧=⎨-≤<⎩ 10．化简下列各式． （Ⅰ）计算：10.25021116()()812-+--；（Ⅱ）若为a ，b 正数，化简(-÷． 【答案】（Ⅰ）6；（Ⅱ）24b .【解析】（1）原式40.254(3)16--=+-=；（2）原式()()12211133342423424a b a b a b b ----⎛⎫=⨯-⨯-÷= ⎪⎝⎭．。
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7 几点体会
笔者细读了有关分数指数幂的几篇文章, 又
作了如上具体分析, 有如下几点体会供商讨:
1° 数学对象的“确定性”(或唯一性) 是不可
动摇的原则, 不能仅当做权宜之计; 反之,“存在
性”倒是可以扩充的Ζ 在数的扩张过程中, 应该使
中学生逐步明确这种思想Ζ
某些式子,
如
0 0
,
0°始
终不能扩充, 正是因为不能唯一扩充! 文[ 1 ]正是
不合理的, 应坚决地改; 合理的, 则应尊重历史、尊 重习惯, 不要随意改动, 以免“牵一发而动全身”! 应该如《通报》编者按所言, 开展广泛的、实事求是 的讨论, 意见分歧是不难解决的Ζ
参考资料
1 陈重穆.
函数 y =
x
m n
定义域的商榷.
数学通报, 1996,
10.
2 余炯沛等. 浅谈关于分数指数幂的几点见解. 数学通
从这种思想高度提出了一个被忽略的重要问题!
2° “数”的本质在于“运算”,“不能直接参与
运算”的“数”, 意义不大, 若又造成矛盾, 就应排
除Ζ
文[ 2 ]正是从这种思想的高度, 对 a<
0
时,
m
an
定义的合理性作了严格剖析, 这对我们大家都深
有启发!
3° 数学定义, 特别是一般教材中的定义, 应
该尊重历史和教育规律, 还应注意在后续课程中
其次, 第 2、4 两步也应该不成问题, 根据是分
数或正整指数幂已经明确的性质及等量替换原理Ζ
那么, 问题就在第 1、3 两步, 根源就在分数指
数幂的定义 (即与根式互化的条件) Ζ
2 两种定义及其比较
为避免上述矛盾出现, 事实上存在两种方案Ζ
即否定第 3 或第 1 步而采用定义 1 或 2Ζ
定义 1 当且仅当mn 是既约分数时,
“求”出来的! 即使是“数学解析表达式”的“存在
域”, 也是人们事先约定的! 这里只有“怎样更好”
的问题, 而不存在“应该怎样”的问题! 本文赞成文
[ 2 ]的观点, y =
x
1 3
的定义域勿须多说;
y=
x3
的定
义域倒是值得讨论的!
实际上, x 3 有两种理解: 狭义为乘方运算 (x 3
= x ·x ·x ) , 其定义域为 (- ∞, + ∞) ; 广义为分
为奇数、n 为偶数时为〔0, + ∞) , 可与前者视为同
一函数, 其它情形定义域为 (- ∞, + ∞) , 与前者
不是同一函数Ζ 两者相区别, 没有什么可奇怪的!
而且相补益彰、各得其所Ζ 从现代的观点看, 实函
数 f (x ) 就是从实数集 A 到 R 的映射, 定义域 A
是由实际问题或人们根据需要事先给定的, 不是
出版社. 1986 年, p. 299.
把定义改得简单些, 变成“有两个面互相平行, 其
余各面都是平行四边形, 由这些面围成的多面体
叫做棱柱”? 这一质疑表面看来很有道理, 估计具
有普遍性, 因此有必要在全体学生面前加以澄清.
面对学生的质疑, 魏老师举了一个反例图形
( 图 1). 但我们觉得这个反例不妥, 顺便指出, 在
一些文中也都用此反例, 也有澄清的必要.
建议改为如下的反例. 取两个全等的正四棱台 (使它们较大底面重 合 A 1B 1C 1D 1 - A B CD - A 2B 2C 2D 2 ( 图 2) , 过 B 1, B 2 和 D 1, D 2 分别作对角面 A 1A 2C 2C 1 的平行平 面, 得到两个截面 B 1EB 2F 2 和 D 1GD 2H , 这两个 截面均为平行四边形. 事实上, 根据“两平行平面 都 与第三平面相交, 所得的两交线平行”可知, B 1E = ∥ A A 1 = ∥ D 1H = ∥ CC 2 = ∥ B 2F = ∥ D 2G , B 1F = ∥ CC 1 = ∥ D 1G = ∥ D 2H = ∥ A A 2 = ∥ B 2E , 故两个截 面 B 1EB 2F 和 D 1GD 2H 均为平行四边形, 由此切 割得到一个十二面体, 这个几何体中有两个面 A 1B 1C 1D 1 和面 A 2B 2C 2D 2 互相平行, 其余各面均 为平行四边形 (但每相邻两个四边形的交线不互 相平行) , 这个凸多面体显然不是棱柱.
故 (-
1)
6 2
、(
-
1
)
12 4
等
或者
看做
(
-
1) 3 的同义式、
或者看做无意义, 即或有时误用也无妨 (文[ 2 ]中
三条运算性质应慎用,
本文暂不讨论)
Ζ 因此
x
m 2n-
1
的定义域约定为 x ∈ (- ∞, + ∞) 亦无妨Ζ 或说,
仅当m
n
为既约分数,
且
n
为偶数时,
m
xn
的定义域
为 x ∈〔0, + ∞) Ζ
若lim n→∞
rn
=
Α, 则 aΑ=
lim a rn
n→∞
一般大学教材基本上采用该定义或类似定义[ 4 ] Ζ
对于中学生由指数函数 ax 的单调性 (配合图象)
亦不难作直观说明Ζ
5 关于复数的分数指数幂的一点意见
值得指出 (3) 式在复数域内已不成立Ζ因为一
般说 n am 有 n 个根, 而np am p 有 np 个根, 而且也难
的普遍适用性或扩张功能Ζ 例如分数指数幂的定
义: 定义 1 不仅有诸多问题, 而且在复数域中不成
立; 定义 2 不仅简便, 而且在复数域中容易转换为
定义 4; 而定义 4 就更便于推广到复数域Ζ
总之, 一般教材中的定义应全面、慎重考虑Ζ
1999 年 第 1 期 数学通报
41
对一道反例的商榷
徐玉卿 ( 苏州市十中) 张小寅 (苏州市三元中学) 张斑竹 ( 苏州市四中)
学数学教学都有好处”Ζ
1 问题的根源究竟在哪里?
方根的存在性与多值性是中学教学的一个难
点Ζ 学生常因疏忽而陷入矛盾, 老师也常出一些
“诡辩”题考察学生Ζ 如
3-
①
2= (-
1②
2) 3 = (-
2③
2) 6 =
6 (-
④
2) 2 =
6 22
⑤
= 32
(1)
(-
1) 3=
(-
3
1) 1 =
(-
6
1) 2 =
数指数幂即乘方开方混合运算 (x 3 =
3
x1=
6
x2=
…) , 其定义域为〔0, + ∞) Ζ 初看起来似乎有点奇
怪, 但仔细想来, 数学也和文学一样, 难免一词多
40
义, 实际上, 和、差、积、商、幂的概念都在不断发
展, 复函数中 ez 也有单值和多值两种理解[3]. 是
否也应该将
x
3
与
x
3 1
报, 1998, 5.
3 钟玉泉. 复变函数论. 高等教育出版社. 1988 年第二 版, p. 75.
4 [ 前苏 ]Г. M . 菲赫金哥尔茨著, 叶彦谦等译. 微积分学 教程, 一卷一分册. 高等教育出版社. 1959 年第二版,
p. 27. 5 [ 美 ]H 1 伊夫斯著, 欧阳绛译. 数学史概论. 山西人民
贵刊 1998 年第 1 期魏诗明老师的文章《浅论
数学课堂教学信息反馈与调控》, 读后得益匪浅,
但其中 312 节“及时辨明是非”中举了一个教例:
在棱柱教学中, 教师按照课本讲述棱柱定义“有两
个面互相平行, 其余各面都是四边形, 且每相邻两
个四边形的公共边也都平行, 由这些面所围成的
几何体叫做棱柱”时, 有的学生提出质疑, 能不能
能直接参与运算”, [2] 换句话说, 又是产生新的矛
盾的根源Ζ 如
(-
1) 3=
(-
1)
4 5
= ×15 4
(-
4
1) 5
15
4=
4
(1) 5
15 4
=
1
4 5
×15 4
=
13
(5)
如果仅仅为了表示简单, 不如记
n am = am n
(6)
并强调仅当 a ≥0 时, m
n=
m n
才是真正的分数,
这样还不至于造成混淆或矛盾Ζ
总之, 按定义 1“作为根式的代表符号保留
m
an
,
是没有什么必要的”, [2 ]
简言之,
麻烦、无益且
引起矛盾Ζ
定义 2 可以说简单明确, 从根本上杜绝了矛
盾Ζ 而 a< 0 时, 按照方根的定义, 自然有
n
a m=
a
m
n ,m
为偶数时,
n am =
-
n a m= -
a
m n
以统一约定同一主值Ζ 这样定义 2 将失去“确定
性”, 即使从值集的观点看Ζ但复根式仍有与 (3) 式
类似的性质:
定理 对任意复数 a 及自然数m 、n、p , 有
( np a ) m p = ( n a ) m
(8)
证 设 a= reiΗ( r≥0, 0≤Η< 2Π) , 则
( ) = a np
n
个
不同的值Ζ 从集合的观点看 (8) 式成立Ζ
由此可引入复数的分数指数幂:
定义 4 对任意复数 a 及自然数 m 、n、p , 规
定 amn = ( n a ) m
(9)
显然,
由
(9)
式约定的