分数指数幂运算
分数指数幂的同底数运算教案二：灵活应用同底数运算规则求解
亲爱的同学们，大家好！今天，我们将进一步讨论分数指数幂的同底数运算，希望通过今天的学习，能够让大家掌握这个知识点，并且能够熟练运用同底数运算规则求解。
我们来复习一下分数指数幂的定义。
分数指数幂，就是指数为分数的幂，例如2的1/2次方，2的2/3次方等等。
在这种情况下，我们需要首先理解分数指数幂的含义，我们以2的1/2次方为例，这个式子可以写成根号2，也就是2的平方根。
因此，我们也可以推广到其他的分数指数幂中，例如2的2/3次方，可以写成2的3次方根号2。
接下来，我们将讨论同底数运算的规则。
同底数运算的规则非常简单，就是将同一底数的指数相加，例如2的3次方乘以2的5次方，可以写成2的8次方。
用公式表示，就是a的m 次方乘以a的n次方，等于a的m+n次方。
在进行同底数运算的时候，有时候我们需要进行一些化简，例如对于3的1/2次方乘以9的3/2次方，我们可以先将9的3/2次方化简为（3的2次方）的3/2次方，接着可以将3的1/2次方写成3的1次方的1/2次方，然后代入同底数运算的公式中，即可得到3的2次方。
除了同底数运算，我们还需要学习同底数约分的方法。
同底数约分的方法非常简单，就是对于同一底数，将指数相减即可。
例如2的5次方除以2的3次方，可以写成2的（5-3）次方，也就是2的2次方。
在进行同底数约分的时候，有时候我们需要注意，即需要将分数指数幂的平方根或者三次方根化成分数形式，例如8的1/6次方可以写成（2的3次方）的1/6次方，然后化成分数形式，变成（2的1次方）的1/3次方，这样就可以进行同底数运算了。
让我们来看几个例子，来加深理解。
例子1：计算2的2/3次方乘以2的5/3次方。
答案：这个时候我们需要将指数相加，得到2的7/3次方。
例子2：计算3的1/2次方乘以9的3/2次方。
答案：这个时候我们需要进行一些化简，将9的3/2次方化简为（3的2次方）的3/2次方，接着可以将3的1/2次方写成3的1次方的1/2次方，然后代入同底数运算的公式中，即可得到3的2次方。
分数指数幂运算
分数指数幂运算
分数指数幂运算是将一个分数作为底数，另一个分数作为指数进行计算的运算。
如果分数指数是正数，可以按照分数的定义进行计算。
例如，计算2^1/3，可以先计算2的立方根，再将结果与自身相乘，即2^1/3 = (∛2)^3 = 2。
如果分数指数是负数，可以使用倒数的概念进行计算。
例如，计算2^(-1/3)，可以先计算2的立方根的倒数，再将结果与自身相乘，即2^(-1/3) = 1/(∛2)。
如果分数指数是分数形式，可以使用乘法的性质进行计算。
例如，计算2^(2/3)，可以将指数分解为2×(1/3)，然后先计算2的立方根，再将结果平方，即2^(2/3) = (∛2)^2 = 2^(1/3) ×
2^(1/3) = (∛2) × (∛2)。
需要注意的是，分数指数运算可能会得到无理数的结果，因此可能需要进行近似运算或使用特定的表达式表示结果。
指数运算10个公式推导
指数运算10个公式推导1. 同底数幂相乘公式：a^m× a^n = a^m + n（a≠0，m、n为实数）- 推导：设a为底数，m和n为指数。
根据指数的定义，a^m表示m个a相乘，a^n表示n个a相乘。
那么a^m× a^n就是m个a相乘再乘以n个a相乘，总共就是(m + n)个a相乘，所以a^m× a^n=a^m + n。
2. 同底数幂相除公式：a^m÷ a^n = a^m - n（a≠0，m、n为实数且m>n）- 推导：同样设a为底数，m和n为指数。
a^m是m个a相乘，a^n是n个a 相乘。
a^m÷ a^n就是m个a相乘的结果除以n个a相乘的结果，相当于m个a相乘后去掉n个a，所以剩下(m - n)个a相乘，即a^m÷ a^n = a^m - n。
3. 幂的乘方公式：(a^m)^n=a^mn（a≠0，m、n为实数）- 推导：(a^m)^n表示n个a^m相乘，而a^m是m个a相乘，那么n个a^m相乘就是m× n个a相乘，所以(a^m)^n = a^mn。
4. 积的乘方公式：(ab)^n=a^n b^n（a≠0，b≠0，n为实数）- 推导：(ab)^n表示n个ab相乘，即(ab)×(ab)×·s×(ab)（共n个ab）。
根据乘法交换律和结合律，可以将a和b分别相乘，得到a× a×·s× a（共n个a）乘以b×b×·s× b（共n个b），也就是a^n b^n。
5. 商的乘方公式：((a)/(b))^n=(a^n)/(b^n)（a≠0，b≠0，n为实数）- 推导：((a)/(b))^n表示n个(a)/(b)相乘，即(a)/(b)×(a)/(b)×·s×(a)/(b)（共n个(a)/(b)）。
指数的运算与指数函数
a>1
图 象
定义域
R 值域 （0，+∞） 性 过定点（0，1），即x=0时，y=1
质
在 R上是减函数
在R上是增函数
☆不同底数的图像
a>b>1
0<b<a<1
归纳：在第一象限总是底大图高
讨论 y a (a 0 a 1)的图像
| x|
（1）a>1 (2)0<a<1
1
2
3
n m
④ a ⑤
n
1 * n (n Z ) a
其中均要求
a0 1
a、b 0
☆平方根
如果 x a ,那么 x 叫做 a 的平方根；
2
a0 a
a a
2
a | a |
2
☆立方根 3 如果 x a ,那么 x 叫做 a 的立方根。
0 0
3 3
aR
3
a
3
a a
指数的运算与指数函数 主讲教师 陈利敏
青春是有限的，智慧是无穷的； 趁短暂的青春，学习无穷的智慧
☆指数的运算
知识梳理
分数指数幂
指数的运算
分数指数幂 的性质
☆分数指数幂
规定： a n a m (a 0, m, n N * , 且n 1)
注意：（1）分数指数幂是根式的另一种表示； （2）根式与分式指数幂可以互化. 规定:
m n
a
m n
1 a
m n
(a 0, m, n N , n 1)
*
注意：0的正分数指数幂等于0; 0的负分数指数幂没意义.
数学分数指数幂
思源个性化学习讲义【知识精要】1．分数指数幂的意义： 一般地,我们规定 n m nm a a = ()1,0>≥n n m a 为正整数，、 ,这就是正数a 的正分数指数幂的意义. 规定nm n maa-=1()1,0>>n n m a 为正整数，、其中的nm nm a a -、叫做分数指数幂，a 是底数整数指数幂和分数指数幂统称为有理数指数幂.注：（1）0的正分数指数幂为0, 0的负分数指数幂无意义. （2）若无特殊说明，底数中的字母均为正数。
2. 当a >0时，整数指数幂的运算性质，对于有理指数幂也同样适用.即对于任意有理数r ,s ,均有下面的运算性质：设q p b a 、,0,0>>为有理数（1）q p q p qp q p a a a a a a -+=÷=⋅，（2）()pq qpa a =（3）()p p pp p pb a b a b a ab =⎪⎭⎫ ⎝⎛=，【热身练习】1. 把下列方根化为分数指数幂的形式（1）310 （2）32101（3）3100 （4）41002. 求值(1)21169 (2)3264 (3) 239- (4)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-43256（ ）A.3B.3-C.3±D.81 4．当a _________时，式子23a 有意义 5. 若0>a ，则43a 和53-a 用根式形式表示分别为 和6.56b a 和mm 3用分数指数幂形式表示分别为 和【精解名题】 1. （1）23425-⎪⎭⎫⎝⎛= ；（2） 63125.132⨯⨯= ________2. 计算：631010⨯=__________________3.3151写成幂的形式______________4.化为分数指数幂的形式为 ___________________5. 583221)22(--化为分数指数幂得 _________________________6.式子 （ ）7. 已知32121=+-aa ，求下列各式的值。
人教版高一数学必修1第16课时分数指数幂与幂的运算(含解析)
即x －x ＝± ，
∴x－x－1＝(x －x )(x ＋x )＝±3 .
(2)将x＋x－1＝7两边平方，得x2＋x－2＋2＝49，
∴x2＋x－2＝47，
∴ ＝ ＝4.
能力提升
12．(5分)
的值等于()
A．1－ B．2－
C. － D.
答案：B
答案：1
解析：设ax＝by＝cz＝k，则k>0，a＝k ，b＝k ，c＝k ，因此abc＝k k k ＝k ＝k0＝1.
三、解答题(本大题共4小题，共45分)
10．(12分)计算：
(1) 0.5－0.752＋6－2× ；
(2)(0.25) － 2×[(－2)3] ＋10(2－ )－1－10×30.5；
二、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分)
7．用分数指数幂表示： ＝________.
答案：x y
解析： ＝ ＝x y ＝x y
8．若10x＝3 ，10y＝ ，则102x－y＝________.
答案：
解析：102x－y＝(10x)10y＝(3 )2÷ ＝3 ÷3 ＝ .
9．若a，b，c为正实数，ax＝by＝cz， ＋ ＋ ＝0，则abc＝________.
解析：设4x＝6y＝1442＝t，则4＝t ，6＝t ，144＝t ，∴36＝t .又144＝4×36，∴t ＝t ·t ，即 ＝ ＋ ，选D.
6．已知0<x<1，x2－3x＋1＝0，则x －x 的值为()
A．1 B．－1
C．1或－1 D．－
答案：B
解析：∵x2－3x＋1＝0，∴x2＋1＝3x，∵0<x<1，∴两边除以x，得x＋x－1＝3，∴(x －x )2＝x＋x－1－2＝3－2＝1.又0<x<1，∴x －x ＝ － ＝ <0，∴x －x ＝－1.故选B.
近似数的精确度 分数指数幂及运算
近似数的精确度分数指数幂及运算
在数学中，我们经常会遇到需要进行近似数的计算，这时候我们需要考虑到近似数的精确度。
近似数的精确度是指我们所得到的近似数与真实值之间的误差大小。
在实际应用中，我们需要根据具体情况来确定近似数的精确度，以保证计算结果的准确性。
在分数的运算中，我们需要注意分母的大小，因为分母越大，分数的精确度就越高。
例如，1/2和1/1000相比，1/2的精确度要高得多。
在进行分数的加减乘除运算时，我们需要先将分数化为相同的分母，然后再进行运算。
这样可以避免分母不同导致的误差。
指数幂是数学中常见的运算方式，它可以用来表示一个数的幂次方。
例如，2的3次方等于8，即2³=8。
在进行指数幂的计算时，我们需要注意底数和指数的大小关系。
如果底数比较大，指数比较小，那么我们可以直接计算出结果。
但如果底数比较小，指数比较大，那么我们需要使用科学计数法来表示结果，以保证精确度。
在运算中，我们还需要注意数值的精确度。
例如，当我们进行小数的加减乘除运算时，我们需要注意小数点后的位数，以保证计算结果的精确度。
如果小数点后的位数太多，我们可以使用四舍五入的方法来保留合适的位数。
在数学中，我们需要根据具体情况来确定近似数的精确度，以保证计算结果的准确性。
在分数、指数幂和运算中，我们需要注意数值
的大小关系和精确度，以避免误差的产生。
指数运算规律
指数运算规律一、指数法则1. 幂的乘方：(a^m)^n = a^(m×n) (m,n都是正数) ；2. 同底数幂的乘法：a^m×a^n = a^(m+n) (m,n都是正数) ；3. 同底数幂的除法：a^m / a^n = a^(m-n) (a≠0, m,n都是正数，且m>n) ；4. 幂的乘方：(a^m)^n = a^(m×n) (m,n都是正数) ；5. 积的乘方：(ab)^n = a^n×b^n (n是正整数) 。
二、指数运算性质1. 零指数幂：0^n=1 (n∈Z*)；2. 负整数指数幂：a^(-n)=1/a^n (a≠0, n∈N*)；3. 特殊值法：令字母取不同的值代入进行验证。
三、指数运算技巧1. 分散注意，将难点各个击破；2. 利用分配律简化运算；3. 利用同底数幂的乘除法法则进行简化；4. 利用幂的乘方运算法则进行简化；5. 利用积的乘方运算法则进行简化；6. 利用非零数的0次幂等于1的性质进行简化；7. 利用整体代入的思想简化运算。
四、指数运算的规律1. 负指数表示的是倒数：a^(-n) = 1/a^n2. 分数指数幂：根号[a^(2n)] = a^n，根号[a^(2n-1)] = |a|^n3. 指数为无理数时，视为实数：例如，e^(πi) + 1 = 04. 指数运算中，负数可以引入：例如，e^(-x) = 1/e^x5. 指数函数与对数函数的互为反函数：指数函数和对数函数具有反函数性质，即如果y=a^x，那么x=log_a y。
五、指数运算的应用1. 在物理学中的应用：指数函数在物理学中有广泛的应用，例如在放射性衰变、电路中的RC或LC振荡器、光的吸收和发射等过程中，都可以看到指数函数的身影。
2. 在金融学中的应用：在金融学中，复利计算就是一个典型的指数问题。
复利是指本金及其产生的利息一并计算，也就是利上有利。
复利计算的特点是：把上期末的本利和作为下一期的本金，在计算时每一期本金的数额是不同的。
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复习 目标 例题 练习 小结 作业
根式化成分数指数 幂的形式，再计算。
解题过程
例5:计算下列各式
(1)( 25 125) 5
3 4
(5 5 ) 5 5 5 5 5
5
2 1 3 4
2 3
3 2
1 4
2 3
1 4
3 2
1 4
5
3 1 2 4
5 5 5 5 5
3 6
(3)( 25 125) 5
3 4
该题着重运用了根式与分数指数幂的互化
( 4) a 2 b
复习 目标
类似形式要先转化为完全平方 例题 练习 小结 作业
本节小结 变形技巧
1、灵活运用根式与分数 指数幂的互化。 2、利用凑完全平方形式
你掌 握了 吗？
3、化小数为分数 4、寻求同底数幂
3
1 1 1 2 3 6
2 3 6
练习 小结 作业
目标
例题
变形技巧
1、灵活运用根式与分数 指数幂的互化。 2、利用凑完全平方形式 3、化小数为分数 4、寻求同底数幂
最后利用有理指数幂运算性质 或根式运算性质来化简、计算
复习 目标 例题 练习 小结 作业
.Ⅲ. 课堂练习一
1、课本P69练习4 计算下列各式：
制作：冯昕萍 潍坊十二中
复习 目标 例题 练习 小结 作业
复习提问（一）
分数指数幂概念：
r
m n
你知 道吗？
s rs
有理指数幂运算性质：
a n am
a
m n
(1)a a a (a 0, r , s Q)
1
n
1 a
m n
am
*
(2)(a r ) s a r s (a 0, r , s Q) (3)(a b) r a r b r (a, b 0, r Q)
4 0 2 (2)[ 5 3 ( ) ] 15
提示 复习 目标 例题 练习 小结 作业
本节小结
(1)(2a b )(6a b ) (3a b )
直接或间接地寻求同底幂来进行运算是常用的方法
2 3 1 2 1 2 1 3 1 6 5 6
(2)2 3 1.5 12把该题中的小数先化为分数
(1)a a a
3
1 2
1 4
3 8
1 3
(2)(x y )
1 3
1 2
1 3 6
1 3 2 3
8a (3)( ) 6 27b
提示 复习
1 (4)2 x ( x 2 x ) 2
例题 练习 小结 作业
目标
.Ⅲ. 课堂练习二
2、（补充）计算下列各式：
1 2 3 4
1 1 3 (1)16 ( ) ( ) 16 2
补充:第（1）题解题过程
(1) 5 2 6
2
74 3 64 2
2 2 2
( 3) 2 3 2 ( 2 ) 2 2 2 3 ( 3) 2 2 2 2 ( 2)
2 2 2 2 2
( 3 2 ) (2 3 ) (2 2 )
(2)2 3 1.5 12
3 6
复习 目标 例题 练习 小结 作业
分析
补充例题 求值：
分析（1）题须把各项被 开方数变为完全平方形式， 然后再利用根式运算性质。
(1) 5 2 6 7 4 3 6 4 2
(2)2 3 1.5 12
3 6
分析（2）题须把开 方数变形后寻求同底 数幂，然后再计算。 复习 目标 例题 练习 小结 作业
1 5
5, a , b , a .
复习 目标 例题 练习 小结 作业
3
4
3 5
2
教学目标：
能力训练： 1、掌握根式与分数指数幂的互化。
2、熟练运用有理指数幂运算性质 进行化简、求值。 3、培养学生的数学应用意识。
教学重点：
教学难点：
复习 目标
有理指数幂运算性质运用。
化简求值的技巧。
例题 练习 小结 作业
复习 目标 例题
1 4 8
3 8 8
m n
2
3
练习
小结
作业
讲授新课
例5:计算下列各式
(1)( 25 125) 5
3 4
(2)
复习
a
3
2 2
(a 0)
练习 小结 作业
a a
目标
例题
分析
例5:计算下列各式
3
分析（1）题须把根 式化成分数指数幂的 最简形式，然后计算。
(1)( 25 125) 5 2 a (2)( (a 0) 2 3 分析（2）题须把 a a
请同学们先练习
补充例题 求值：
分析（1）题须把各项被 开方数变为完全平方形式， 然后再利用根式运算性质。
(1) 5 2 6 7 4 3 6 4 2
(2)2 3 1.5 12
3 6
分析（2）题须把被 开方数变形后寻求同 底数幂，然后再计算。 复习 目标 例题 练习 小结 作业
3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 (2 2 )
2 2
复习 目标 例题 练习 小结 作业
补充:第（2）题解题过程
(2)2 3 1.5 12
3 6
3 2 3 ( ) (3 2 ) 2
2
复习
1 2
1 3
1 2 6
1 1 1 3 3
通过学习，能够熟练运用有理指数幂 运算性质进行化简、求值，并掌握一 定的解题技巧。
复习 目标 例题 练习 小结 作业
课后作业
（一）课本P70习题2.5 第5题（5、6、7、8）
（二） 1、预习内容：课本P70
*6，*7。
2、预习要求： （1）题中已知与所求有何联系？ （2）总结解题技巧。
复习
目标
例题
12 5 4
例题 练习 小结 作业
5 12
5 4
复习
目标
解题过程
例5:计算下列各式
(2)(
a
3
2 2
a a
a
复习
a
1 2
2 2 3
a
1 2 2 2 3
a a
6 5
5 6
a
例题
目标
练习
小结
作业
讲授新课
补充例题: 求值：
(1) 5 2 6 7 4 3 6 4 2
(1)(2a b )(6a b ) (3a b )
1 3
1 6
5 6
(2)(m n
复习 目标
1 4
3 8
)
8
分析（2）按积的乘 方计算，再按幂的乘 方计算，待熟练后可 简化计算步骤。
例题
练习
小结
作业
解题过程
例4:计算下列各式（式中字母都是正数）
2 3 1 2 1 2 1 3 1 6 5 6
(1)(2a b )(6a b ) (3a b )
[2 (6) (3)]a
4ab 4a
0
复习 目标 例题 练习
2 1 1 3 2 6
b
1 1 5 2 3 6
小结
作业
解题过程
例4:计算下列各式（式中字母都是正数）
1 4 3 8
(2)(m n
)
8
(m ) (n ) 2 m 3 n
练习 小结 作业
(a 0, m, n N , n 1)
复习
目标
例题
复习提问（二）
（1）用根式表示（a>0)：
1 3 4 5 1 6 3 4
1 2
练一练？
（3）求值：
2 , a ,3 , a .
（2）用分数指数幂表示 （a>0,b>0)：
1 9 ,64 , ( ) 32
2 3
练习
小结
作业
想重学本节吗？
是
复习 目标 例题 练习 小结 作业
否
复习
目标
例题
练习
小结
作业
讲授新课
例4:计算下列各式（式中字母都是正数）
2 3 1 2 1 2 1 3 1 6 5 6
(1)(2a b )(6a b ) (3a b )
(2)(m n
复习 目标
1 4
3 8
)
8
例题
（式中字母都是正数）
2 3 1 2 1 2
分析（1）题可以仿 照单项式乘除法进行， 首先是系数相乘除， 然后是同底数幂相乘 除，并且要注意符号