分数指数幂及运算
分数指数幂的概念及其运算
,
根据以上观察，一般地，对于有理数指数幂有如下的运算性质
a 0, b 0, r , s Q （1） a r a s a
（3） ab
r
rs
； （2） a r
s
a rs
；
a r br ．
快乐体验
1.下列运算中，正确的是（ A. a 2 a 3 a 6 ;
4 2
p q p q ( p 0)
6 5 3
5 2
●体验反思 上面的根式或分数指数幂有什么共同的点？为什么没有负数的分数指数幂呢？ 能把你的想法告诉大家吗? 上面的题有易错点吗？
算一算 A组 B组
2 2 =32 4 4 = 32 (3 ) = 216 (2 ) = 2
2 3 2 2 3
0 ；负数 无
a
,
n
an
在初中学习的整数指数幂的运算性质是 ab n a nb m、
an . m nm 、 a n a m a n a am
a, n为奇数 ， a , n为偶数
2.预备练习
3 2 3 32 计算 2 2 ； 2 64； 2 3 216 2 3
；( )
1 2
2
4
．
3.思考：我们已经知道
1 1 1 1 1 ， ( ) 2 ， ( )3 ，„是正整数指数幂，它们的值分别为 ， ， 2 2 2 2 4
2 1 6000 3 1 1 1 1 1 5 10 8 „， 那么 ( ) 2 ， ( ) 5730 ， ( ) 5730 的意义是什么呢？如何运算 a a 和a 3 a 2 呢？ 8 2 2 2
分数指数幂的运算
分数指数幂的运算在数学中，指数是一种不同于加法、减法和乘法的特殊运算，它可以将一个数乘以多次的相同的数，即x的y指数次幂，表示为xy，这种运算被称为指数幂。
指数可以以x的y次幂，或者以a的b指数次幂的形式表示，前者表示x乘以自身y次，后者表示a乘以自身b次。
比如x2表示x 被乘以自身两次，即x×x；a3表示a被乘以自身三次，即a×a×a。
分数指数幂的运算是特殊的指数运算，它是一种将分数转换为指数的运算方式。
以x的分数指数次幂表示法来表达，即x的m/n指数次幂，表示为xm/n，m和n是整数，m≥1。
分数指数幂的运算可以用来解决大量具有指数形式的算数题目，比如求解p的1/2指数次幂，即p1/2，可以用分数指数幂运算求解。
计算分数指数幂的方法是将原式中的分数指数次幂，根据a的m/n指数次幂的形式，分解为m/n次方。
即a的m/n指数次幂等价于a的m次方的n次方根。
总的来说，分数指数幂的运算由两个步骤组成：首先将原式中的分数指数次幂分解为m/n次方，其次计算a的m次方的n次方根就可以求出结果。
分数指数幂的运算在实际中也有许多应用，例如在实际生活中，我们往往碰到如下形式的公式：a的1/4指数次幂，即a1/4。
在这种情况下，我们可以使用分数指数幂的运算计算出结果。
此外，分数指数幂可以用来解决绝对值的化简问题。
比如|x2/3|=x2/3，我们可以用分数指数的运算，将|x2/3|分解为x的4次方的3次方根，再求出结果。
从上述介绍中可以看出，分数指数幂的运算是一种非常有用且重要的数学运算。
它可以帮助我们快速求解具有分数指数形式的算数题目，同时也可以用来解决绝对值的化简问题。
因此，分数指数幂的运算在数学中占据着重要的地位，且运用起来也非常简单方便，希望读者在学习数学的过程中，能够运用分数指数幂运算，去解决各种算法题目，提高自己的数学水平。
指数的运算与指数函数
a>1
图 象
定义域
R 值域 （0，+∞） 性 过定点（0，1），即x=0时，y=1
质
在 R上是减函数
在R上是增函数
☆不同底数的图像
a>b>1
0<b<a<1
归纳：在第一象限总是底大图高
讨论 y a (a 0 a 1)的图像
| x|
（1）a>1 (2)0<a<1
1
2
3
n m
④ a ⑤
n
1 * n (n Z ) a
其中均要求
a0 1
a、b 0
☆平方根
如果 x a ,那么 x 叫做 a 的平方根；
2
a0 a
a a
2
a | a |
2
☆立方根 3 如果 x a ,那么 x 叫做 a 的立方根。
0 0
3 3
aR
3
a
3
a a
指数的运算与指数函数 主讲教师 陈利敏
青春是有限的，智慧是无穷的； 趁短暂的青春，学习无穷的智慧
☆指数的运算
知识梳理
分数指数幂
指数的运算
分数指数幂 的性质
☆分数指数幂
规定： a n a m (a 0, m, n N * , 且n 1)
注意：（1）分数指数幂是根式的另一种表示； （2）根式与分式指数幂可以互化. 规定:
m n
a
m n
1 a
m n
(a 0, m, n N , n 1)
*
注意：0的正分数指数幂等于0; 0的负分数指数幂没意义.
数学分数指数幂
思源个性化学习讲义【知识精要】1．分数指数幂的意义： 一般地,我们规定 n m nm a a = ()1,0>≥n n m a 为正整数，、 ,这就是正数a 的正分数指数幂的意义. 规定nm n maa-=1()1,0>>n n m a 为正整数，、其中的nm nm a a -、叫做分数指数幂，a 是底数整数指数幂和分数指数幂统称为有理数指数幂.注：（1）0的正分数指数幂为0, 0的负分数指数幂无意义. （2）若无特殊说明，底数中的字母均为正数。
2. 当a >0时，整数指数幂的运算性质，对于有理指数幂也同样适用.即对于任意有理数r ,s ,均有下面的运算性质：设q p b a 、,0,0>>为有理数（1）q p q p qp q p a a a a a a -+=÷=⋅，（2）()pq qpa a =（3）()p p pp p pb a b a b a ab =⎪⎭⎫ ⎝⎛=，【热身练习】1. 把下列方根化为分数指数幂的形式（1）310 （2）32101（3）3100 （4）41002. 求值(1)21169 (2)3264 (3) 239- (4)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-43256（ ）A.3B.3-C.3±D.81 4．当a _________时，式子23a 有意义 5. 若0>a ，则43a 和53-a 用根式形式表示分别为 和6.56b a 和mm 3用分数指数幂形式表示分别为 和【精解名题】 1. （1）23425-⎪⎭⎫⎝⎛= ；（2） 63125.132⨯⨯= ________2. 计算：631010⨯=__________________3.3151写成幂的形式______________4.化为分数指数幂的形式为 ___________________5. 583221)22(--化为分数指数幂得 _________________________6.式子 （ ）7. 已知32121=+-aa ，求下列各式的值。
人教版高一数学必修1第16课时分数指数幂与幂的运算(含解析)
即x －x ＝± ，
∴x－x－1＝(x －x )(x ＋x )＝±3 .
(2)将x＋x－1＝7两边平方，得x2＋x－2＋2＝49，
∴x2＋x－2＝47，
∴ ＝ ＝4.
能力提升
12．(5分)
的值等于()
A．1－ B．2－
C. － D.
答案：B
答案：1
解析：设ax＝by＝cz＝k，则k>0，a＝k ，b＝k ，c＝k ，因此abc＝k k k ＝k ＝k0＝1.
三、解答题(本大题共4小题，共45分)
10．(12分)计算：
(1) 0.5－0.752＋6－2× ；
(2)(0.25) － 2×[(－2)3] ＋10(2－ )－1－10×30.5；
二、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分)
7．用分数指数幂表示： ＝________.
答案：x y
解析： ＝ ＝x y ＝x y
8．若10x＝3 ，10y＝ ，则102x－y＝________.
答案：
解析：102x－y＝(10x)10y＝(3 )2÷ ＝3 ÷3 ＝ .
9．若a，b，c为正实数，ax＝by＝cz， ＋ ＋ ＝0，则abc＝________.
解析：设4x＝6y＝1442＝t，则4＝t ，6＝t ，144＝t ，∴36＝t .又144＝4×36，∴t ＝t ·t ，即 ＝ ＋ ，选D.
6．已知0<x<1，x2－3x＋1＝0，则x －x 的值为()
A．1 B．－1
C．1或－1 D．－
答案：B
解析：∵x2－3x＋1＝0，∴x2＋1＝3x，∵0<x<1，∴两边除以x，得x＋x－1＝3，∴(x －x )2＝x＋x－1－2＝3－2＝1.又0<x<1，∴x －x ＝ － ＝ <0，∴x －x ＝－1.故选B.
2.1.1 指数幂及其运算
先将根式化为分数指数幂的形式，再运用分数指数幂的运算性
质进行化简.
11
11
7
【解析】(1)原式＝a3 ·a4 ＝a3 ＋4 ＝a12 .
111
111
7
(2)原式＝a2 ·a4 ·a8 ＝a2 ＋4 ＋8 ＝a8 .
23
23
13
(3)原式＝a3 ·a2 ＝a3 ＋2 ＝a 6 .
1
1
2 13
213
73
了灵活运用运算法则外还要关注条件中的字母是否有隐含的条
件.
1
【正解】由(－a)2 知－a≥0，故 a－1<0.
11
∴(1－a)[(a－1)－2(－a)2 ]2
＝(1－a)(1－a)－1·(－a)14＝(－a)14 .
【警示】在利用指数幂的运算性质时，要关注条件中有无
隐含条件，在出现根式时要注意是否为偶次方根，被开方数是
(1)4 2＋1·23－2 2·64－3 ；
11
(2)
a－b
1
1
－a＋b1－2a21 ·b2
a2 ＋b2
a2 －b2
【解析】(1)原式＝22 2＋2·23－2 2·2－4＝21＝2.
1
1
1
1
1
1
(2)原式＝a2
＋b2 ·a2 a21＋b12
－b2
－a21 a2
－b2
1
－b2
2
1
＝a2
1
－b2
－ a 1 2
方法二：a2＋a－2＝a2＋2aa－1＋a－2－2aa－1
＝(a＋a－1)2－2＝25－2＝23.
1
1
(2)∵(a2 －a－2 )2＝a＋a－1－2＝5－2＝3，
指数运算规律
指数运算规律一、指数法则1. 幂的乘方：(a^m)^n = a^(m×n) (m,n都是正数) ；2. 同底数幂的乘法：a^m×a^n = a^(m+n) (m,n都是正数) ；3. 同底数幂的除法：a^m / a^n = a^(m-n) (a≠0, m,n都是正数，且m>n) ；4. 幂的乘方：(a^m)^n = a^(m×n) (m,n都是正数) ；5. 积的乘方：(ab)^n = a^n×b^n (n是正整数) 。
二、指数运算性质1. 零指数幂：0^n=1 (n∈Z*)；2. 负整数指数幂：a^(-n)=1/a^n (a≠0, n∈N*)；3. 特殊值法：令字母取不同的值代入进行验证。
三、指数运算技巧1. 分散注意，将难点各个击破；2. 利用分配律简化运算；3. 利用同底数幂的乘除法法则进行简化；4. 利用幂的乘方运算法则进行简化；5. 利用积的乘方运算法则进行简化；6. 利用非零数的0次幂等于1的性质进行简化；7. 利用整体代入的思想简化运算。
四、指数运算的规律1. 负指数表示的是倒数：a^(-n) = 1/a^n2. 分数指数幂：根号[a^(2n)] = a^n，根号[a^(2n-1)] = |a|^n3. 指数为无理数时，视为实数：例如，e^(πi) + 1 = 04. 指数运算中，负数可以引入：例如，e^(-x) = 1/e^x5. 指数函数与对数函数的互为反函数：指数函数和对数函数具有反函数性质，即如果y=a^x，那么x=log_a y。
五、指数运算的应用1. 在物理学中的应用：指数函数在物理学中有广泛的应用，例如在放射性衰变、电路中的RC或LC振荡器、光的吸收和发射等过程中，都可以看到指数函数的身影。
2. 在金融学中的应用：在金融学中，复利计算就是一个典型的指数问题。
复利是指本金及其产生的利息一并计算，也就是利上有利。
复利计算的特点是：把上期末的本利和作为下一期的本金，在计算时每一期本金的数额是不同的。
高三复习-指数是分数怎么算
指数是分数怎么算
分数为指数的运算方式是：a的x分之y次方，也就是a的y次方在开a次根号，例如a^（1/3）也就是a的1次方开3次根号。
分数指数幂是一个数的指数为分数，如2的1/2次幂就是根号2。
分数指数幂是根式的另一种表示形式，
即n次根号(a的m次幂)可以写成a的m/n次幂。
幂是指数值，如8的1/3次幂=2
一个数的b分之a次方等于b次根号下这个数的a次方
重点：
1、分数指数幂的含义的理解。
2、根式与分数指数幂的互化。
3、有理指数幂的运算性质。
难点：
1、分数指数幂概念的理解。
2、有理指数幂的运算和化简。
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2.1 指数函数
2.1.1 指数与指数幂的运算
第2课时 分数指数幂及运算
分数指数幂及运算
1.结合具体例子体会分数指数幂的过程，体会引入数学 概念的过程； 2.理解分数指数幂的概念，掌握分数指数幂的运算法则， 会根据根式和分数指数幂的关系和分数指数幂的运算法 则进行计算分数指数幂； 3.了解可以由有理数指数幂无限逼近无理数指数幂。
(4)2x（ 1 3 1x1 32x2 3） 14.
2
x
分数指数幂及运算
探究点3 无理数指数幂
当幂指数是无理数时，a(a0,是 无 理 数 ）
是一个确定的实数，无理数指数幂可以由有理数指 数幂无限逼近而得到，有理数指数幂的运算法则对 无理数指数幂也成立。
5 观察下表： 2 的是否表示一个确定的实数？
(2) 如果n为奇数，an的n次方根就是a，即
nan a (n为奇数）
如果n为偶数， n a n 表示an的正的n次方根，所以当 a 0 ， 这个方根等于a，当a<0时，这个方根等于-a，
n an a a,a((aa00)),.
(3) 0的任何次方根都是0，记作 n 0 0 .
分数指数幂及运算
探究点1 分数指数幂
…
分数指数幂及运算
5 2 的近似值
9.518 269 694 9.672 669 973 9.735 171 039 9.738 305 174 9.738 461 907 9.738 508 928 9.738 516 765 9.738 517 705 9.738 517 736
…
2 的不足近似值 1.4 1.41
规定正数的正分数指数幂的意义是：
m
annam(a0 ,m ,n N *,且 n1 )
注：在上述限制条件下，根式都可以写成分数指数幂的 形式。
分数指数幂及运算
正数的负分数指数幂的意义与负分数指数幂的意 义相仿，我们规定：
am na1m nn1 am (a0,m ,nN *,n1)
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。 规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指 数推广到了有理数指数。
[2 ( 6 ) ( 3 )]a 2 3 1 2 1 6 b 1 2 1 3 6 5 4 a b 0 4 a ;
(2 )(m 1 4n 8 3)8(m 1 4)8(n 8 3)8m 2n 3m 2. n 3
分数指数幂及运算
例5.计算下列各式：
(1) (325125)425; (2)3Βιβλιοθήκη a4 4 a3;3
a 5
1
;
5 a3
2
a 3
1
.
3 a2
分数指数幂及运算
2.用分数指数幂表示下列各式：
2
(1) 3 x 2 ;
x3
(2) 4(ab)3 (ab0);
3
(a b)4
(3) 3(mn)2(mn);
2
(m n)3
(4) (mn)4(mn);
(5) p6q5(p0);
(m n)2
分析：根据分数指数幂和根式的关系，以及有理数指
数幂的运算法则解决。
解： a3 aa3a1 2a31 2a7 2;
a23a2a2a2 3a22 3a8 3;
11
41 2
a3a(aa3)2(a3)2a3.
分数指数幂及运算
1.用根式表示下面各式（a>0)
1 3 3 2
a2,a4,a 5,a 3.
1
答案： a 2 a ;
a2 a 3 a2
(a0).
解：(1) (325125)425
23
1
2131
(53 52)52 53 52 52 52
1
56 56 55;
(2) aa 2 3a2a1 2a2 a2 3a21 22 3a6 56a5.
分数指数幂及运算
3.计算下列各式的值：
(1)（
36
3
）2
;
14 9 1 1
(3) a 2 a 4 a 8 ;
分数指数幂及运算
探究点2 有理数指数幂的运算性质
(1 )a ra s a r s(a 0 ,r,s Q );
(2 )(a r)s a rs(a 0 ,r,s Q );
(3 )(a b )r a r b r(a 0 ,b 0 ,r Q ).
分数指数幂及运算
例2 求值： 823;2512（ ; 1） 5（ , 16） 43. 2 81
分数指数幂及运算
2 的过剩近似值 1.5 1.42
1.415 1.414 3 1.414 22 1.414 214 1.414 213 6 1.414 213 57 1.414 213 563
…
5 2 的近似值
11.180 339 89 9.829 635 328 9.750 851 808 9.739 872 62 9.738 618 643 9.738 524 602 9.738 518 332 9.738 517 862 9.738 517 752
分数指数幂及运算
复习回顾
1.正数指数幂的运算性质：
（1） a m a n a m n(a 0 ,m ,n Z );
（2） (a m )n a m n (a 0 ,m ,n Z );
（3）（ a b )m a m b m(a 0 ,m ,n Ζ )
分数指数幂及运算
2.根式的运算性质
(1) ( n a )n a
5
p 3q 2
m3
5
(6) . m
m2
分数指数幂及运算
例4.计算下列各式（式中的字母均是正数）：
21
11
15
(1)(2a3b2)(6a2b3)(3a6b6); (2)
1
(m4
3
n8
)8.
分析：根据有理数指数幂的运算法则和负分数指数幂的
意义求解。
21
11
15
解： (1)(2a3b2)(6a2b3)(3a6b6)
解：
2
83
2
(23)3
32
2 3
224;
251 2(52)1 252(1 2) 511; 5
（1） 5 (21)5 25 32; 2
（ 16） 3 4 （ 2） 4(3 4) （ 2） 327.
81 3
38
分数指数幂及运算
例3 用分数指数幂的形式表示下列各式（其中a>0):
a3 a; a23a2; a3a.
(2)2 331.5612;
(4) 2x（ 13 1x13 2x23） .
解：(1)（ 36） 3 2 （ 6） 23 2 （ 6） 3216;
2
(2 )2 493 31 .7 5 61 2 72 1 1 3 31 3 4 33 1 2 1 3 1 6 6 ;
1 1 1
111
5
(3)a2a4a8a2 4 8a8;