高数一微积分第5章

例 1：一曲线通过点（1，2），且在该曲线上任一点 M（x,y）处的切线的斜率为 2x， 求这曲线的方程。
过程 令
在一般情况下：
设 F＇（u）=f（u），则
如果
（可微）
由此可得换元法定理。
定理 设 f（u）具有原函数，
可导，则有换元公式
第一类换元公式（凑微分法） 说明 使用此公式的关键在于将 观察重点不同，所得结论不同。 例：求
解（一）
解（二）
解（三）
例：求
。
解：
。 一般地
例：求
。
例：求
。
例：求
（1）
可令 x=asint；
（2）
可令 x=atant；
（3）
可令 x=asect。
例：求
。
解：令 。
例：
。
总结： 5.4 分部积分法
一、基本内容 问题 解决思路 利用两个函数乘积的求导法则。 设函数 u=u（x）和 v=v（x）具有连续导数，
分部积分公式 例 1：求积分 解（一）
显然，u，v 选择不当，积分更难进行。 解（二）
根据题意知 即 f（x）是 2x 的一个原函数。
由曲线通过点（1，2） 所求曲线方程为 y =x2+1。
函数 f（x）的原函数的图形称为 f（x）的积分曲线。显然，求不定积分得到一积分曲 线族。
不定积分的性质
结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的。 5.2 基本积分公式
实例 启示 能否根据求导公式得出积分公式？ 结论 既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式。 基本积分表
。
例：求
。
例：求
。
例：求
。
笔记搞错
例：求
。
例：求
。
解：
例：求 解：
。 。
。
例：求
。
例：求
。
例： 例：
例：
例：
例：
；
例：求 解：
。 （使用了三角函数恒等变形）
例：求
。
解：
例： 解：设 u=x2，则
， 所以
例：
。
解：设 u=lnx，则
，
所以
例：
，求 f（x）。
二、第二类换元法
问题 解决方法 改变中间变量的设置方法。 过程 令
例 9：
；
例 10：已知 f（x）的一个原函数是 两边同时对 x 求导，得
例 11：
。
例 12： 例 13：
例 14： 例 15：
例 16：
。
例 17：
。
5.5 微分方程初步
5.5.1 微分方程的定义 1.微分方程: 凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程。
例：
实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数（或微分）之间的关系式。
第五章 一元函数积分学
5.1 原函数和不定积分的概念
一、原函数与不定积分的概念
定义：如果在区间 I 内，存在可导函数 F（x）使
都有 F＇（x）=f（x）或 dF（x）
=f（x）dx，那么函数 F（x）就称为 f（x）在区间 I 内原函数。
例：
，sinx 是 cosx 的原函数。
Lnx 是 在区间（0，+∞）内的原函数。
原函数存在定理：
如果函数 f（x）在区间 I 内连续，那么在区间 I 内存在可导函数 F（x），使
，
都有 F＇（x）=f（x）。 简言之：连续函数一定有原函数。 问题：（1）原函数是否唯一？ （2）若不唯一它们之间有什么联系？ 例：（sinx）＇=cosx （sinx+C）＇=cosx
（C 为任意常数） 关于原函数的说明： （1）若 F＇（x）=f（x），则对于任意常数 C，F（x）+C 都是 f（x）的原函数。 （2）若 F（x）和 G（x）都是 f（x）的原函数，则 F（x）-G（x）=C（C 为任意常数） 证∵[F（x）-G（x）] ＇=F＇（x）-G＇（x） =f（x）=f（x）=0 ∴F（x）-G（x）=C（C 为任意常数）
2.常微分方程: 未知函数都是一元函数的微分方程 微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称之微分方程的阶 例：（yy＇）3+3y4-xy=0；
一阶微分方程
高阶（n）微分方程
3.主要问题-----求方程的解 微分方程的解: 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之。
设
在区间 I 上有 n 阶导数，
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。
解：
例：求积分
。
解：
。
例：
。
解：
。
例：
；
例：已知 f（x）之一原函数为 ，求∫f＇（x）dx。
例：求
。
例：
例：设
，求 f（x）。
例：
。
例：
；
例：
例：
。
解： 例：设
，且 f（0）=1，求 f（x）.
解：因为
，若设 u=ex，则 f＇（u）=1+u3
所以 f（x）是 1+x3 的一个原函数，而
（应用“凑微分”即可求出结果）
定理 2 设
是单调的、可导的函数，并且
，又设
原函数，则有换元公式
其中
具有 的反函数。
第二类积分换元公式
例：
。
解：令
说明（5）当被积函数含有两种或两种以上的根式 中 n 为各根指数的最小公倍数）
例：
。
解：令
时，可采用令
（其
三角代换。 三角代换的目的是化掉根式。 一般规律如下：当被积函数中含有
不定积分的定义： 函数 f（x）的全体原函数的集合称 f（x）的不定积分，记为∫f（x）dx。
,其中∫为“积分号”，f（x）为被积函数，f（x）dx 为被积表 达式，C 为任意常数。
例：求
。
解：
例：求
。
解：
积分曲线 例 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此 曲线方程。 解：设曲线方程为 y=f（x）,
（1）
；
（2）
；
（3）
；
说明：
简写为
（4）
；
（5） （6） （7） （8）
（9） （10） （11） （12） （13） 例：求积分
； ；
； ；
； ；
； ；
；
解： 根据积分公式（2）
不定积分的性质
（1）
；
证
。
∴等式成立。 （此性质可推广到有限多个函数之和的情况）
（2）
（k 是常数，k≠0）
例：求积分
。
故
。又 f（0）=1，从而 C=1。因此
例：
；
例：
。
例：
。
例：
。
例：求积分
。
解：
说明：以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表。 四、小结 原函数的概念：F＇（x）=f（x） 不定积分的概念： 基本积分表（1） 求微分与求积分的互逆关系 不定积分的性质
5.3 换元积分法 一、第一类换元法 问题 解决方法 利用复合函数，设置中间变量。
指数函数 例 2：
例 3：求积分
总结：若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函 数或反三角函数为 u。
例 4：求积分
总结：若被积函数是幂函数和正（余）弦函数或幂函数和指数函数的乘积,就考虑设幂 函数为 u, 使其降幂一次（假定幂指数是正整数）
例 5：
例 6：
例 7： 例 8：求积分