控制系统时域及频域性能指标的联系
频域性能指标和时域性能指标的关系
5.7 频域性能指标和时域性能指标的关系频率响应法是通过系统的开环频率特性和闭环频率特性的一些特征量间接地表征系统的瞬(暂)态响应的性能，因而这些特征量又被称为频域性能指标。
常用的频域性能指标有幅值裕度、相位裕度、谐振峰值、谐振频率和频带宽度等。
虽然这些指标没有时域性能指标那样直观，但在二阶系统中，它们与时域性能指标有着确定的对应关系，对于高阶系统，也有近似的关系。
5.7.1频域指标和二阶系统的过渡过程指标设二阶单位反馈系统的方框图如图5-80所示。
图 5-80 二阶单位反馈系统的方框图此系统的闭环传递函数为2222)()(nn n s s s X s Y ωξωω++= 其中ξ为阻尼比，n ω为无阻尼自然振荡频率。
令s j =ω代入上式，可得系统的闭环频率响应为:ja n nM j j X j Y e 2)1(1)()(22=+-=ωωξωωωω式中 M nn =-+1122222()()ωωξωω2212a r c t a n nn ωωωωξα--= 根据式(5-67)可知，当00707≤≤ξ.时，在谐振频率ωr 处，M 出现峰值ωωξr n =-122M r =-1212ξξ二阶系统的闭环频率特性如图5-81所示。
图 5-81 图5-80所示系统的闭环频率特性对于二阶系统，在012≤<ξ时，频率特性的谐振峰值M r 可以反映系统的阻尼系数ξ，而其谐振频率ωr 可以反映给定ξ对应的自然频率ωn ,从而也能反映响应速度。
这样就可把二阶系统闭环频率特性的M r 和ωr 当作性能指标用。
系统的频带宽度(带宽)由图5-81可见，当ωω>r 时，闭环频率特性的幅值M 单调下降。
当闭环频率特性的幅值下降到707.021==M 时，或者说，当闭环频率特性的分贝值下降到零频率时分贝值以下3分贝时，对应的频率ωb 称为截止频率，又称带宽频率。
此时有b j M j M ωωω>-<3)0(lg 20)(lg 20对于0)0(lg 20=j M ，有b j M ωωω>-<3)(lg 20系统对频率高于ωb 的输入衰减很大，只允许频率低于ωb 的输入通过。
自控理论 4-6频域指标与时域指标的关系
2 −40
ω
作业
4 - A -14、 4 -B - 4 、
K s(Ts + 1)
c(t)
例：已知最小相位系统的开环对数幅频特 性曲线，试求： 性曲线，试求：
L(ω)
(1) 开环传递函数 开环传递函数G(s)； ； (2) 剪切频率 ωc ； (3) 相角裕量 γ(ωc)； (4) r(t)=(1/4)t2 时的 ess 。
6 0
−40 −20 0.5
ωc
令 G ( jω c ) = 1,
解得
ω c = ω n − 2ζ 2 + 4ζ 4 + 1
γ = 180 + ϕ (ω c ) = tg
0 −1
(4 − 30)
(4 − 31)
求γ
2ζω n
ωc
将式(4-30)代入式 代入式(4-31)得 将式 代入式 得
求γ
γ = 180 + ϕ (ω c ) = tg
2.
r(t)
25 s( s + 6)
c(t)
ωn2 =25 得 ζ =0.6 ωn=5
2ζ = 59.2 0
γ = tg
−1
− 2ζ 2 + 4ζ 4 + 1
ω c = ω n − 2ζ 2 + 4ζ 4 + 1 = 3.58
3.
Mr =
1 2ζ 1 − ζ
2
= 1.04
ω r = ω n 1 − 2ζ 2 = 2.65
结论
8 t sω c = tgγ
(4 − 36)
( 2) ω c与ζ、ω n 都有关,当ζ 一定，ω c ↑→ ω n ↑→ t s ↓ 一定，
控制工程基础练习题(一)
控制工程基础练习题（一）一、填空题1、设系统的开环传递函数为2(1)(1)K s s Ts τ++，则其开环幅频特性为 ，相频特性为 。
（；arctan 180arctan T τωω--o (或：2180arctan 1T T τωωτω---+o ) 2、频域性能指标与时域性能指标有着对应关系，开环频域性能指标中的幅值穿越频率c ω对应时域性能指标 ，它们反映了系统动态过程的 。
（调整时间s t ；快速性）3、在经典控制理论中，可采用 、根轨迹法或 等方法判断线性控制系统稳定性。
（劳斯判据(或时域分析法 ；奈奎斯特判据(或频域分析法)4、若某系统的单位脉冲响应为0.20.5()105t t g t e e --=+，则该系统的传递函数G(s)为 。
（1050.20.5s s s s+++） 5、控制系统的 称为传递函数。
一阶系统传函标准形式是 ，二阶系统传函标准形式是 。
（输出拉氏变换与输入拉氏变换在零初始条件下的比值；1()1G s Ts =+；222()2n n nG s s s ωζωω=++或：221()21G s T s T s ζ=++）。
6、反馈控制系统开环对数幅频特性三频段的划分是以ωc（截止频率）附近的区段为中频段，该段着重反映系统阶跃响应的稳定性和快速性；而低频段主要表明系统的稳态性能。
7、根轨迹起始于 ，终止于 。
（开环极点；开环零点）1、自动控制系统有两种基本控制方式，当控制装置与受控对象之间只有顺向作用而无反向联系时，称为 ；当控制装置与受控对象之间不但有顺向作用而且还有反向联系时，称为 。
含有测速发电机的电动机速度控制系统，属于 。
（开环控制系统 闭环控制系统 闭环控制系统）2、设系统的开环传递函数为12(1)(1)K s T s T s ++，则其开环幅频特性为 ，相频特性为 。
（()A ω=01112()90()()tg T tg T ϕωωω--=---）3、判断一个闭环线性控制系统是否稳定，可用 、 、等方法。
自动控制理论填空题
1.凡是输入输出关系符合_______和齐次性的系统称之为线性系统。
2.叠加原理是线性系统的基本性质之一，对于非线性系统，叠加原理_____成立。
3.线性系统与非线性系统的本质区别是是否满足_______。
4.输入输出模型是对系统的外部描述，_______是这种描述的是最基本的形式，传递函数、框图、信号流图均是由它导出。
5.根轨迹法与频域法都是建立在_______基础上的，需用要根据其画出相应的图，进而进行分析。
6.控制理论有四个重要概念：动态、模型、互联和______，这四个概念是系统分析和设计的关键。
7.计算机网络IP协议采用开环控制，TCP协议则采用______控制。
8.自动控制系统主要由对象、检测单元、执行单元和________等四个基本部分构成。
9.控制理论把系统满足物理约束条件下的负载扰动抑制、测量噪声衰减、指令跟踪、系统结构及参数变化的不确定性问题，归结为求解反馈系统的稳定性、快速性、准确性和_______。
10.反馈是处理不确定性的工具，采用反馈控制，要使系统达到稳定性、_______、准确性、鲁棒性的要求。
11.________是处理不确定性的工具，采用反馈控制，要使系统达到稳定性、快速性、准确性、鲁棒性的要求。
12.灵敏度函数不但可以描述系统对于过程参数变化的鲁棒性，同时也刻画了闭环系统对于______的抑制性能。
13.灵敏度函数不但可以描述系统对于过程_______的鲁棒性，同时也刻画了闭环系统对于扰动的抑制性能。
)14.对于物理系统，由于系统的因果性，传递函数分母的阶次n总是_________分子的阶次m。
15.传递函数2(3)ss++的极点是________。
16.传递函数23(2)(3)ss++的零点是________。
17.传递函数5(3)ss s++的有限零点是________。
18.传递函数23ss++的有限极点是________。
19.线性系统渐近稳定的充要条件是其特征方程的所有根均位于_______。
时域和频域的关系
信号的频域在电子学、控制系统及统计学中，频域是指在对函数或信号进行分析时，分析其和频率有关部份，而不是和时间有关的部份，和时域一词相对。
函数或信号可以透过一对数学的运算子在时域及频域之间转换。
例如傅里叶变换可以将一个时域信号转换成在不同频率下对应的振幅及相位，其频谱就是时域信号在频域下的表现，而反傅里叶变换可以将频谱再转换回时域的信号。
以信号为例，信号在时域下的图形可以显示信号如何随着时间变化，而信号在频域下的图形（一般称为频谱）可以显示信号分布在哪些频率及其比例。
频域的表示法除了有各个频率下的大小外，也会有各个频率的相位，利用大小及相位的资讯可以将各频率的弦波给予不同的大小及相位，相加以后可以还原成原始的信号。
在频域的分析中，常会用频谱分析仪来将实际的信号转换为频域下的频谱。
频域，尤其在射频和通信系统中运用较多，在高速数字应用中也会遇到频域。
频域最重要的性质是：它不是真实的，而是一个数学构造。
时域是惟一客观存在的域，而频域是一个遵循特定规则的数学范畴。
正弦波是频域中唯一存在的波形，这是频域中最重要的规则，即正弦波是对频域的描述，因为时域中的任何波形都可用正弦波合成。
这是正弦波的一个非常重要的性质。
然而，它并不是正弦波的独有特性，还有许多其他的波形也有这样的性质。
正弦波有四个性质使它可以有效地描述其他任一波形：（1）时域中的任何波形都可以由正弦波的组合完全且惟一地描述。
（2）任何两个频率不同的正弦波都是正交的。
如果将两个正弦波相乘并在整个时间轴上求积分，则积分值为零。
这说明可以将不同的频率分量相互分离开。
（3）正弦波有精确的数学定义。
（4）正弦波及其微分值处处存在，没有上下边界。
使用正弦波作为频域中的函数形式有它特别的地方。
若使用正弦波，则与互连线的电气效应相关的一些问题将变得更容易理解和解决。
如果变换到频域并使用正弦波描述，有时会比仅仅在时域中能更快地得到答案。
而在实际中，首先建立包含电阻，电感和电容的电路，并输入任意波形。
频域响应和时域响应之间的关系
5.8 MATLAB在频域分析中的运用
5.8.1 用MATLAB绘制频率响应图
本节介绍如何用MATLAB来绘制Bode图，再次讨论频率性能指标与时域性能的联系，并举例说明频域内的控制系统设计。 本节介绍的MATLAB函数有bode函数和 logspace函数。其中，bode函数用于绘制Bode图， logspace函数用于生成频率点数据是按照数的相等间隔生成的。在这些频率点上，计算机将根据 Bode图的需要，进行相应的计算。
*
当系统无差度 时，由式（5—140）得 （5-141） 综上分析，对于无差度 的无差度系统，闭环幅频特性的零频值 ；而对于无差度 的有差系统，闭环幅频率特性的零频值 。式（5—141）说明， 系统开环放大系数K越大， 闭环幅频特性的零频值 愈接近于1，有差系统的稳态误差将愈小。
上式表明，选择300～600 的相角裕度时，对应的系统阻 尼比约为0.3～0.6。
图5-72 相角裕度和阻尼比的关系
*
式中 为系统的被控信号， 分别是系统的闭环频率特性和 控制信号的频率特性。一般情况下，直接应用式（5—159）求解高阶系统的 时域响应是很困难的。在第三章和第四章我们介绍了主导极点的概念，对于 具有一对主导极点的高阶系统，可用等效的二阶系统来表示，在这种情况下， 可以利用前面介绍的方法对高阶系统进行分析。实践证明，只要满足主导极 点的条件，分析的结果是令人满意的。对于不具有一对主导极点的高阶系统， 除了利用式（5—159）的傅立叶变换外，尚无简便的方法可循。
（3）谐振频率 和截止频率 的大小反映了系统的响应速度。 与 的值愈大，系统响应速度愈快，反之愈慢。但频带太宽（ 的值大），系统对高频噪声的滤波性能差，因此在系统设计中，必须兼顾系统的快速性和抗干扰能力，妥善处理好这一对矛盾。
第四章分析自动控制系统性能常用的方法
第四章 分析自动控制系统性能常用的方法（10 学时）目的、教学要求：在经典控制理论中常用的分析方法有时域分析法(由时域响应及传递函 数出发去进行分析)、根轨迹分析法和频率特性分析法。
本章主要介绍其中的两种分析方法， 即：时域分析法和频域分析法。
因此在本章中主要掌握：² 时域分析法的基本概念及分析方法² 频域分析法的基本概念及分析方法重点、难点：本章的重点是： 频率特性的基本概念， 开环对数频率特性的绘制及幅值穿越频率的求取， 控制系统的对数稳定性判据，系统频域性能分析及与时域性能指标之间的关系。
本章的难点是：自动控制系统开环对数频率特性的绘制及幅值穿越频率的求取、控制系 统的频域性能分析及与时域性能指标之间的关系。
主要内容：² 频率特性的基本概念² 频率特性的图形表示法² 典型环节的 Bode 图² 自动控制系统的开环对数频率特性² 习题² 实验教学方式：该部分内容较难理解，应采用 PPT+《自动控制原理频域分析工具箱》教学软件 的多媒体教学方式；习题课采用课堂教学， 但至少应用一次课堂练习用来让学生学习绘制伯 德图。
教学设计：① 通过多媒体教学演示软件《自动控制原理频域分析工具箱》生动说明频率响应的概 念，引导学生对实验演示结果进行分析，从而引出占有率特性的基本概念。
② 通过一个案例（一阶 RC 电路）及多媒体教学演示软件来讲解：输出信号的幅值与相 位与频率之间的关系及频率特性与系统结构参数之间的关系（简要介绍，用 PPT+媒体教学 演示软件来讲）。
③ 采用课堂练习的方法，引导学生按步骤进行伯德图的绘制，学习绘制前要求学生准 备好二张以上的三级半对数坐标纸（从校园网上下载）。
教学内容：一、频率特性的基本概念1. 频率响应与频率特性频率响应的概念：线性定常系统对正弦输入信号的稳态响应称为频率响应。
线性系统的 频域分析的出发点仍然是它的传递函数。
控制系统的时域与频域分析及应用研究
控制系统的时域与频域分析及应用研究控制系统的时域与频域分析是控制工程中的两个重要方面，它们为我们研究和设计控制系统提供了强大的工具。
本文将探讨控制系统的时域与频域分析的基本概念、方法和应用，并讨论它们在实际工程中的重要性。
控制系统的时域分析是对系统在时间域内的行为进行分析和研究。
时域分析的主要目标是研究系统的稳定性、响应速度和稳态误差等特性。
在时域分析中，我们通常关注系统的脉冲响应、阶跃响应和频率响应等。
通过对这些响应的分析，我们可以了解系统对输入信号的处理方式和输出响应的特点。
时域分析的基本方法包括传递函数法、状态空间法和信号流图法等。
其中，传递函数法是最常用的方法之一。
它通过求解系统的传递函数，将输入信号和输出响应之间的关系用数学表达式表示出来。
传递函数法可以帮助我们分析系统的稳定性、零极点分布和频率响应等重要特性。
另外，状态空间法可以帮助我们直观地理解系统的动态特性，以及对多输入多输出系统进行分析和设计。
信号流图法则可以帮助我们将系统的结构图形象地表示出来，从而更好地理解和分析系统的性能。
除了时域分析，控制系统的频域分析也是十分重要的。
频域分析是通过将系统的输入和输出信号转换为频率域内的频谱图来研究系统的动态特性。
频域分析的主要目标是研究系统的频率响应、幅频特性和相频特性等。
在频域分析中，我们可以使用频率响应法、傅里叶变换法和拉普拉斯变换法等方法来分析系统。
其中，频率响应法是最常用的分析方法之一。
它通过将系统的输入和输出信号的频谱进行比较，得出系统的幅度响应和相位响应。
频率响应法可以帮助我们分析系统的频率特性，如共振频率、带宽和滤波特性等，从而指导系统的设计和优化。
控制系统的时域与频域分析在实际工程中具有广泛的应用。
首先，时域分析可以通过对系统的阶跃响应进行研究，帮助我们评估系统的稳态误差和响应速度，从而指导系统的控制策略和参数调节。
其次，频域分析可以通过对系统的幅度响应和相位响应进行研究，帮助我们评估系统的稳定性和抑制高频噪声的能力。
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控制系统时域与频域性能指标的联系经典控制理论中，系统分析与校正方法一般有时域法、复域法、频域法。
时域响应法是一种直接法，它以传递函数为系统的数学模型，以拉氏变换为数学工具，直接可以求出变量的解析解。
这种方法虽然直观，分析时域性能十分有用，但是方法的应用需要两个前提，一是必须已知控制系统的闭环传递函数，另外系统的阶次不能很高。
如果系统的开环传递函数未知，或者系统的阶次较高，就需采用频域分析法。
频域分析法不仅是一种通过开环传递函数研究系统闭环传递函数性能的分析方法，而且当系统的数学模型未知时，还可以通过实验的方法建立。
此外，大量丰富的图形方法使得频域分析法分析高阶系统时，分析的复杂性并不随阶次的增加而显著增加。
在进行控制系统分析时，可以根据实际情况，针对不同数学模型选用最简洁、最合适的方法，从而使用相应的分析方法，达到预期的实验目的。
系统的时域性能指标与频域性能指标有着很大的关系，研究其内在联系在工程中有着很大的意义。
一、系统的时域性能指标延迟时间t d阶跃响应第一次达到终值h(∞)的50%所需的时间上升时间t r阶跃响应从终值的10%上升到终值的90%所需的时间；对有振荡的系统，也可定义为从0到第一次达到终值所需的时间峰值时间tp阶跃响应越过终值h(∞)达到第一个峰值所需的时间调节时间ts阶跃响应到达并保持在终值h(∞)的±5%误差带内所需的最短时间超调量%σ 峰值h(tp)超出终值h(∞)的百分比，即%σ=()()()∞∞-h h h t p ⨯100%二、系统频率特性的性能指标采用频域方法进行线性控制系统设计时，时域内采用的诸如超调量，调整时间等描述系统性能的指标不能直接使用，需要在频域内定义频域性能指标。
1、零频振幅比M(0)：即ω为0时闭环幅频特性值。
它反映了系统 的稳态精度， M(0)越接近于1，系统的精度越高。
M(0)≠1时，表明系统有稳态误差。
2、谐振峰值Mr ：为幅频特性曲线的A(ω)的最大值。
一般说来，Mr 的大小表明闭环控制系统相对稳定性的好坏。
Mr 越大，表明系统对某个频率的正弦信号反映强烈，有共振倾向，系统的平稳性较差，相应阶跃响应的超调量越大。
对应的ωr为谐振频率。
3、谐振频率ωr：出现最大值Mmax 时对应的频率。
4、带宽bω幅频特性下降至零频幅比的﹪，或下降3dB 时对应的频率称为带宽（也成为闭环截止频率）。
带宽用于衡量控制系统的快速性，带宽越宽，表明系统复现快速变化信号的能力越强，阶跃响应的上升时间和调节时间就越短。
带宽是控制系统及控制元件的重要性能指标。
三、闭环频域性能指标与时域性能指标的关系1、二阶系统的相互联系对于二阶系统，其频域性能指标和时域性能指标之间有着严格的数学关系（1）、谐振峰值Mr 和时域超调量δ之间的关系幅频特性的谐振峰值Mr在二阶系统Φ(s)=ωωωξn2n 222s ++s n中，2(nωM令()=0dM d ωω，得谐振频率=r ωω。
求得幅频特性峰值r M 二阶系统的超调量-%=100%e ξπδ⨯由此可看出，谐振峰值Mr 仅与阻尼比ξ有关，超调量%σ也仅取决于阻尼比ξ。
ξ越小，Mr 增加的越快，这时超调量%σ也很大，超过40%，一般这样的系统不符和瞬态响应指标的要求。
当< ξ<时，Mr 与δ%的变化趋势基本一致，此时谐振峰值Mr= ~ ，超调量%σ=20% ~30%，系统响应结果较满意。
当ξ>时，无谐振峰值，Mr 与%σ的对应关系不再存在，通常设计时，ξ取在至之间（2）、谐振频率rω与峰值时间p t的关系=rωωt =p πωp t 与rω之积为prt ω由此可看出，当ξ为常数时，谐振频率 r ω与峰值时间 p t 成反比， r ω值愈大，p t 愈小，表示系统时间响应愈快（3）、闭环谐振峰值Mr 和相角裕度γ的关系()()=M()j j eαωφωω ()()=()j G j A eϕωωω0()(180-)()=()=()=()(-cos -sin )j c j c c c c G j A eA eA j ϕωγωωωωγγ0=180+()cγϕω 0()=180-c ϕωγ()()M()==1+()1-()cos -()sin c c c c G j A G j A jA ωωωωωγωγ一般Mr 极大值发生在c ω附近。
()11=0()()sin sin dM A Mr dA ωωωγγ⇒≈⇒≈故1sin Mr γ≈在开环截止频率c ω附近，上述近似程度就越高。
（4）、γ和ξ的关系2()==1()(+2)n c cc c nG j G j j j ωωωωωξω∠2n)1/22=c nωξω2=180+(-90-arctg)=90-arctg =arctg 22ccnnncωωξωγξωξωω得出1/2=arctg 2γξ⎡⎤⎛⎫⎢⎥⎢⎥⎣⎦对于二阶系统，一般要求：0030<<700.27<<0.8γξ⇔2、带宽b ω与时域性能的关系（1）、一阶系统一阶系统的闭环传递函数为1()=1+s TSφ 系统的闭环频率特性为1()=1+j Tj φωω系统的闭环幅频特性为()=()M j ωφω可知，ω＝0时幅值为1，即零频振幅比M(0)＝1， 则L(0)＝ 20LgM(0) ＝ 0 闭环截止频率b ω：由b ω的定义知 L(b ω)＝L (0)-3=-320()=20b LgM Lgω(b M ω 可解得：=1/b T ω一阶系统中调节时间、上升时间与带宽的关系=2.2tr T =3ts T → =2.2/b tr ω，=3/b ts ω（2）、二阶系统标准二阶系统的开环传递函数为 2()=(s+2)nn G s s ωξω二阶系统的闭环传递函数为222()=+2+nnns s s ωφξωω闭环频率特性为222222()==()+2++2-nnnnnnj j j j ωωφωωξωωωωξωωω系统的闭环幅频特性为2()=()nM j ωφω可知， ω＝0时幅值为1，即零频振幅比M(0)＝1，则L(0)＝ 20LgM(0) ＝ 0闭环截止频率b ω由b ω的定义知 L(b ω)＝L (0)-3=-3 可解得：2(nb M ω=bωω阻尼比不变，自然振荡频率越大，带宽越大；自然振荡频率不变，阻尼比越小，带宽越大；可知带宽与系统响应速度成正比！（3）、带宽b ω与调节时间ts 的关系调整时间 3.5=nts ξω=bωωb ω与ts 之积为 bts ω由此可看出，当阻尼比ξ给定后，闭环截止频率b ω与过渡过程时间s t 成反比关系。
换言之，b ω愈大（频带宽度0 -b ω愈宽），系统的响应速度愈快。
（4）、系统带宽的选择带宽频率是一项重要指标。
其选择要求要既能以所需精度跟踪输入信号，又能拟制噪声扰动信号。
在控制系统实际运行中，输入信号一般是低频信号，而噪声信号是高频信号。
（5）、带宽指标取决于下列因素：a) 对输入信号的再现能力。
大的带宽相应于小的上升时间，即相应于快速特性。
粗略地说，带宽与响应速度成正比。
b) 对高频噪声必要的滤波特性。
为了使系统能够精确地跟踪任意输入信号，系统必须具有大的带宽。
但是，从噪声的观点来看，带宽不应当太大。
因此，对带宽的要求是矛盾的，好的设计通常需要折衷考虑。
具有大带宽的系统需要高性能的元件，因此，元件的成本通常随着带宽的增加而增大。
3、典型二阶系统频域指标与时域指标的关系闭环频域指标：Mr=r ω=b ω=γ)1/22=cωξω闭环阶跃响应时域指标：-%=100%eξπσ⨯tp=/=/(d πωπω=(-)/=(-)/(d tr πβωπβω3.5=(=0.05,0<<0.9)nts ξξω∆因此，若知道频域指标中的任两个，就可解算出ξ，n ω，从而求出时域指标。
反之，给出时域指标的任两个，就可确定闭环频域指标。
ξ-%=100%eσ⨯ξ↑，,,,Mr ts γσ↓↑↓↓，相对稳定性好，超调小，振荡次数少。
,nξω↑不变时，c,,,,nbtr tp ωωω↓↓↓↑↑，系统灵敏度下降。
,nωξ↑不变时，c,,rbωωω↑↑↑，系统灵敏，速度快。
4、高阶系统频域指标与时域指标 谐振峰值 1=sin Mr γ超调量 =0.16+0.4(-1)Mr σ 1 1.8Mr ≤≤调节时间 c=K ts πω2=2+1.5(-1)+2.5(-1)K Mr Mr 1 1.8Mr ≤≤。