6-2交互作用双因子方差分析ppt课件
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6-2交互作用双因子方差分析解读
三、离差平方和的分解
记
1 r s t x xijk rst i 1 j 1 k 1
称为样本总平均；
1 t xij xijk t k 1
xi 1 s t xijk st j 1 k 1
称为水平组合 Ai , B j 下的样本均值； 称为水平 Ai 下的样本均值； 称为水平 B j 下的样本均值。
r r r i 1
s
0
i 1
s
i 1
s
ij uij ui u j u uij ui su i su i 0
j 1 j 1 j 1
所以，如果 H 02 成立，那么因素 B 各效应的水平皆为零； 如果 H 03 成立，那么 ij 0
2 i 1 j 1 k 1
i 1 j 1 k 1 r s t
i 1 j 1 k 1
i 1 j 1 k 1
可以验证上式右边所有的交叉乘积项皆为零 记
SE
SA
2
xijk xij
r s t
2
2
xi x
i 1 j 1 k 1 r s t i 1 j 1 k 1 r s t
rs t 1 2 S A B r 1s 1 ~ F r 1s 1, rs t 1 2 S E rs t 1
2
SB
s 1
，可得 若控制犯第一类错误的概率不超过
x 2 s1 , x 2 s 2 , , x 2 st
……
x r11 , x r12 , , x r1t
……
x r 21 , x r 22 , , x r 2 t
……
x rs 1 , x rs 2 , , x rst
方差分析第四章双因素方差分析ppt课件
i1j1
i1
ab
Se
(yijyi•y•j y)2
i1 j1
整理版课件
自由度分析TN1a b1A a1 B b1
e T A B a 1 ( b a 1 ) ( b 1 ) a a b b 1
e a ( b 1 ) ( b 1 ) ( b 1 )a (1 )
e(b1)a (1)
i 1
b
a
a
a
b
b
y 1 jy i1y i2 y ib ( y 2 j y a)j
j 1
i 1
i 1
i 1
j 1
j 1
b 1 • a y • 1 a y • 2 y a • b ( b y 2 • b y 3 • y b a • )y
整理版课件
三、平方和的简化计算
ST
Se e
VE
SAB
AB
Se
e
■ 3. 判断
ab
ST
(yij y)2
i1 j1
ab
ab
ab
(y i• y ) 2 (y • j y ) 2 (y i jy i• y • j y ) 2
i 1j 1
i 1j 1
i 1j 1
ab
a
SA (yi•y)2b (yi•y)2
i1j1
i1
ab
a
SB (y•Jy)2a (y•jy)2
证明交叉项为零:
abr
(yij k yi• j)(yi• jyi••y•j•y)
i 1j 1k 1
ab
r
(yi•jyi••y•j•y) (yi j kyi•j)
i 1j 1
k 1
ab
§7.4双因子试验的方差分析(共31张PPT)
ijk ~ N (0, 2 ),各ijk独立，
i 1,..., r, j 1,..., s, k 1,...,t.
r
s
r
s
交互效应模型
i
i1
0,
j 1
j
0，（）ij
i1
0,
（）ij
j 1
0.
,i , j（, ）ij , 2均未知.
假分 设别
H 01
: 1
2
r 0, H11 :1,...,r不全为零,
ij ~ N (0, 2 ), 各ij独立，
i 1,..., r, j 1,..., s.
r
s
i 0, j 0.
i 1
j 1
,i , j , 2均未知.
分别检验(jiǎnyàn)
假设
H01 :1 2
r 0, H11 :1,...,r不全为零,
H02 : 1 2
s
0, H12
FA
MS A MSE
SB
s 1
MSB
SB
s 1
FB
MSB MSE
SE (r 1)(s 1)MSE SE (r 1)(s 1)
ST rs 1
12
第十二页，共三十一页。
例2 假定对3个小麦品种(pǐnzhǒng)和3块试验地块进行区
组设计试验，得到如下的数据：
rs
Xij2 816759
表 小麦品种(pǐnzhǒng)区组试验数据i1 j1
ij , 2均为未知参数.
记
1 rs
r i1
s
ij , ——总平均（一般平均）
j 1
i•
1 s
s
ij , i
交互作用双因子方差分析
双因素方差分析的步骤与单因素分析类似 ，主要包括以下步骤：
1.分析所研究数据能否满足方差分析要求的 假设条件，需要的话进行必要的检验。如 果假设条件不满足需要先对数据进行变换 。
•2、提出零假设和备择假设。双因素方差分析可以 同时检验两组或三组零假设和备择假设。
•要说明因素A有无显著影响，就是检验如下假设：
•五、 应用实例
例，在注塑成形过程中，成形品尺寸与射出压力和模腔
温度有关，某工程师根据不同水平设置的射出压力和
模腔温度实验得出某成形品的关键尺寸如下表，用方
差分析法分析两因素及其交互作用对成形品关键尺寸
是否存在重要影响。
因素A：射出压力
水平1 水平2 水平3
水平1 30.51 30.47 30.84 30.62 30.67 30.88
•μA1B1=μA1B2=μA1B3 =μA2B1=μA2B2=μA3B3 =μA3B1=μA3B2=μA3B3；
9）、将统计结论转化为实际结论。
1）射出压力的不同水平设置对成形品影响显著
2）模腔温度的不同水平设置对成形品无显著影响
3）射出压力和模腔温度的交互作用对成形品影响显著。
10）、计算各因素、因素交互作用及误差对输出变 量y的影响
2）计算SSB。 SSB= 3*2*[(30.66-30.64)2+ (30.69-30.64)2+ (30.57-30.64)2]=0.052
• 3）计算SSAB。
•SSAB=0.689
因素B 模腔温度
水平1 水平2 水平3
水平1 30.5 30.57 30.62 30.97 30.90 30.80 30.99 31.13 31.2
•双 因素 方差 分析 的类 型
1.分析所研究数据能否满足方差分析要求的 假设条件，需要的话进行必要的检验。如 果假设条件不满足需要先对数据进行变换 。
•2、提出零假设和备择假设。双因素方差分析可以 同时检验两组或三组零假设和备择假设。
•要说明因素A有无显著影响，就是检验如下假设：
•五、 应用实例
例，在注塑成形过程中，成形品尺寸与射出压力和模腔
温度有关，某工程师根据不同水平设置的射出压力和
模腔温度实验得出某成形品的关键尺寸如下表，用方
差分析法分析两因素及其交互作用对成形品关键尺寸
是否存在重要影响。
因素A：射出压力
水平1 水平2 水平3
水平1 30.51 30.47 30.84 30.62 30.67 30.88
•μA1B1=μA1B2=μA1B3 =μA2B1=μA2B2=μA3B3 =μA3B1=μA3B2=μA3B3；
9）、将统计结论转化为实际结论。
1）射出压力的不同水平设置对成形品影响显著
2）模腔温度的不同水平设置对成形品无显著影响
3）射出压力和模腔温度的交互作用对成形品影响显著。
10）、计算各因素、因素交互作用及误差对输出变 量y的影响
2）计算SSB。 SSB= 3*2*[(30.66-30.64)2+ (30.69-30.64)2+ (30.57-30.64)2]=0.052
• 3）计算SSAB。
•SSAB=0.689
因素B 模腔温度
水平1 水平2 水平3
水平1 30.5 30.57 30.62 30.97 30.90 30.80 30.99 31.13 31.2
•双 因素 方差 分析 的类 型
双因素方差分析课件
双原因无反复（无交互作用）试验资料表
原因 B 原因 A
B1
A1
X11
...
...
Aa
X a1
a
T. j X ij T.1 i 1
X. j T. j a X .1
b
B2 ... Bb Ti. X ij X i. Ti. b j 1
X12 ... X1b
T1.
X 1.
... ... ... ...
➢ 有交互作用旳双原因试验旳方差分析
有检验交互作用旳效应，则两原因A，B旳不同水 平旳搭配必须作反复试验。
处理措施：把交互作用当成一种新原因来处理，
即把每种搭配AiBj看作一种总体Xij。
基本假设（1）X ij 相互独立；
（2）Xij ~ N ij , 2 ，（方差齐性）。
线性统计模型
原因B
总平均 旳效应
53 58 48
a
T. j Xij 197 232 183 i 1
b
Ti. X ij j 1 165 143 145 159
T 612
X i. Ti. b
55.0 47.7 48.3 53.0
X. j T. j a 49.3 58.0 45.8
X 51
解 基本计算如原表
a b
双原因方差分析措施
双原因试验旳方差分析
在实际应用中，一种试验成果（试验指标）往往 受多种原因旳影响。不但这些原因会影响试验成果， 而且这些原因旳不同水平旳搭配也会影响试验成果。
例如：某些合金，当单独加入元素A或元素B时， 性能变化不大，但当同步加入元素A和B时，合金性 能旳变化就尤其明显。
统计学上把多原因不同水平搭配对试验指标旳 影响称为交互作用。交互作用在多原因旳方差分析 中，把它当成一种新原因来处理。
双因素方差分析课件
特点
能够同时考虑两个因素对连续变量的 影响，并比较不同因素之间的交互作 用。
适用范围
适用于研究两个分类变量对一个或多 个连续变量的影响，并分析不同因素 之间的交互作用。
适用于数据满足正态分布、方差齐性 和独立性等假设的情况。
目的与意义
目的
通过双因素方差分析，可以比较不同组之间的差异，了解两个因素对连续变量的影响程度和交互作用，为进一步 的数据分析和决策提供依据。
意义
双因素方差分析在社会科学、医学、经济学等领域有广泛应用，能够帮助研究者深入了解不同因素之间的交互作 用，为科学研究和实际应用提供有力支持。
02 双因素方差分析的数学原 理
方差分析的基本思想
01
方差分析是通过比较不同组别 的平均值差异来检验多个总体 均值是否相等的一种统计方法 。
02
它将数据总变异分为组内变异 和组间变异，通过比较组间变 异与组内变异的比例来判断各 总体均值是否存在显著差异。
在弹出的对话框中，选择“因子变 量”和“组变量”，并设置相应的 级别和组别。
03
点击“确定”，SPSS将自动进行 双因素方差分析，并输出结果。
04
其他统计软件介绍
01பைடு நூலகம்
02
03
Stata
Stata是一款功能强大的统 计软件，可以进行各种统 计分析，包括双因素方差 分析。
SAS
SAS是一款商业统计软件， 广泛应用于各种统计分析， 包括双因素方差分析。
在双因素方差分析中，数学模型通常采用如下形式：Yijk=μ+αi+βj+εijk， 其中Yijk表示第i组第j类的观测值，μ表示总体均值，αi表示第i个因素的效
应，βj表示第j个因素的效应，εijk表示随机误差。
能够同时考虑两个因素对连续变量的 影响，并比较不同因素之间的交互作 用。
适用范围
适用于研究两个分类变量对一个或多 个连续变量的影响，并分析不同因素 之间的交互作用。
适用于数据满足正态分布、方差齐性 和独立性等假设的情况。
目的与意义
目的
通过双因素方差分析，可以比较不同组之间的差异，了解两个因素对连续变量的影响程度和交互作用，为进一步 的数据分析和决策提供依据。
意义
双因素方差分析在社会科学、医学、经济学等领域有广泛应用，能够帮助研究者深入了解不同因素之间的交互作 用，为科学研究和实际应用提供有力支持。
02 双因素方差分析的数学原 理
方差分析的基本思想
01
方差分析是通过比较不同组别 的平均值差异来检验多个总体 均值是否相等的一种统计方法 。
02
它将数据总变异分为组内变异 和组间变异，通过比较组间变 异与组内变异的比例来判断各 总体均值是否存在显著差异。
在弹出的对话框中，选择“因子变 量”和“组变量”，并设置相应的 级别和组别。
03
点击“确定”，SPSS将自动进行 双因素方差分析，并输出结果。
04
其他统计软件介绍
01பைடு நூலகம்
02
03
Stata
Stata是一款功能强大的统 计软件，可以进行各种统 计分析，包括双因素方差 分析。
SAS
SAS是一款商业统计软件， 广泛应用于各种统计分析， 包括双因素方差分析。
在双因素方差分析中，数学模型通常采用如下形式：Yijk=μ+αi+βj+εijk， 其中Yijk表示第i组第j类的观测值，μ表示总体均值，αi表示第i个因素的效
应，βj表示第j个因素的效应，εijk表示随机误差。
两因素方差分析PPT课件
LSR0.01
0.38 0.44 0.47 0.50 0.52 0.54 0.55 0.57 0.58
16
B因素各水平均值多重比较结果见表4
测定 日期
B7 B6 B10 B8 B4 B3 B1 B9 B2 B5
表4不同测定日牛奶酸度多重比较结果（q法）
x.j
x.j10.56
x.j10.7
5
11.44 11.70 12.43 12.44 12.68 12.76 13.10
分无重复观测值和重复观测值两种类型。
2
3.1.1 两因素无重复试验资料的方差分析 对于A、B两个试验因素的全部ab个水平组合， 每个水平组合只有一个观测值（无重复）， 全试验共有ab个观测值，其数据模式如下表 所示。
3
表 两因素无重复观测值的试验数据模式
注：A因素有a个水平，B因素有b个水平，共计有ab个水 平组合，每一组合观测一次，有ab个观测值（表5），xij 4 为A的第i水平与B的第j水平组合观测值。
0.4635 df T ab 1 3 10 1 29 df A a 1 3 1 2 df B b 1 10 1 9 df e df T df A df B 29 2 9 18
13
2 列出方差分析表，进行F检验
表2 资料的方差分析表
变异来源
SS
df
MS
15
表3 q值与LSR值
dfe 秩次距k q0.05
2
2.97
3
3.61
4
4.00
5
4.28
18
6
4.49
7
4.67
8
4.82
9
4.96
10
5.07
方差分析PPT课件
方差分析的用途
1. 用于多个样本平均数的比较 2. 分析多个因素间的交互作用 3. 回归方程的假设检验 4. 方差的同质性检验
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
第一节 方差分析的基本问题
▪ 一、方差分析问题的提出 问题：为了探索简便易行的发展大学生心 血管系统机能水平的方法，在某年级各项 身体发育水平基本相同，同年龄女生中抽 取36人随机分为三组，用三种不同的方法 进行训练，三个月后，测得哈佛台阶指数 如表 1 ，试分析三种不同的训练方法对女 大学生心血管系统的影响有无显著性差异。
结果的好坏和处理效应的高低，实际中具体测 定的性状或观测的项目称为试验指标。常用的 试验指标例如有：身高、体重、日增重、酶活 性、DNA含量等等。
影响因素（ experimental factor）： 观测中所
研究的影响观测指标的定性变量称之为因素。 当考察的因素只有一个时，称为单因素试验； 若同时研究两个或两个以上因素的影响时，则 称为两因素或多因素试验。
N (3, 2)
A3
61.31 60.00
┆ 67.26 69.05
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
分析
根据研究目的，这里有三个正态总体 N (1, 2)，N (2, 2 )， N (3 , a2 ) 。三组数据分别为来自三个总体的样本，问题是 推断 1 ,2 和 3 之间有无显著差异。 由 x1, x2, x3不相等，不能直接得出1, 2, 3不尽相等的结论， 原因是：造成 x1, x2, x3不相等可能有两个方面因素：一是 1, 2, 3 不等，二是1 2 3，但由于抽样误差，造成 x1, x2, x3 之间有差异。现在的任务是通过样本推断1, 2, 3之间有无 显著性差异。
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例如饮料销售，除了关心饮料颜色之外，我们还想 了解销售地区是否影响销售量，如果在不同的地区， 销售量存在显著的差异，就需要分析原因。采用不 同的销售策略，使该饮料品牌在市场占有率高的地 区继续深入人心，保持领先地位；在市场占有率低 的地区，进一步扩大宣传，让更多的消费者了解、 接受该生产线。
2
双因 素方 差分 析的 类型
无交互作用的 双因素方差分析
有交互作用的 双因素方差分析
假定因素A和因素 B的效应之间是相 互独立的，不存在 相互关系
假定因素A和因素B 的结合会产生出一 种新的效应
3
二、数据结构
设因素 A 有r 个不同的水平A1, , Ar ， 因素B 有s 个不同的水平B1, , Bs ，
现对因素 A 、B 的每一种不同的水平组合:
x221, x222 , , x22t
……
……
Ar
xr11 , xr12 , , xr1t
xr21, xr22 , , xr2t
…… …… …… …… ……
Bs
x1s1 , x1s2 , , x1st x2s1 , x2s2 , , x2st
……
xrs1 , xrs2 , , xrst
5
在水平组合Ai , B j 下的t 次试验，由于所有可控制
因素均没有发生变化，试验结果 xij1 , xij 2 , , xijt 的差异
纯粹是由随机因素引起的，故可将数据 xij1 , xij 2 , , xijt
看成是来自正态总体
X ij ~ N uij , 2
（6.19）
的t 个样本观测值.
对不同的水平组合 Ai , B j ，假定各总体的方差相
它是水平 B j 下的理论均值与理论总均值的偏差，称为水平 B j 下的效应；
记：rij uij ui• u• j u uij u i j
所以 rij 是总效应 uij u 减去 Ai 的效应 i 和 B j 的效应 j
后的剩余部分，称为水平组合 Ai , B j 的交互效应。
i 1
i 1
i 1
s
s
s
ij uij ui u• j u uij ui• sui• sui• 0
j 1
j 1
j 1
所以，如果
H
成立，那么因素
02
B
各效应的水平皆为零；
如果 H 03成立，那么 ij 0 i 1,2, , r; j 1,2, , s .
12
以上 3 个假设H01 、H02 、H03 中的三组参数i 、 j 、 ij 都是未知的，为了对三个假设成立与否进行检验， 仍只能依据试验观测值
Ai , B j i 1,2, , r; j 1,2, , s
都安排tt 2次试验（称为等重复试验），假
定各次试验是相互独立的，得到如下试验结 果：
4
1.双因素方差分析的数据结构如表所示：
B1
B2
A1
x111 , x112 , , x11t
x121, x122 , , x12t
A2
x211 , x212 , , x21t
第二节 双因素方差分析
➢ 双因素方差分析的类型 ➢ 数据结构 ➢ 离差平方和的分解 ➢ 应用实例
1
一、 双因素方差分析的类型
如果在试验中有两个可控制因素 A, B ，同时发生变 化，而其它可控制因素均保持不变，这样的试验称为
双因素试验。
双因素试验方差分析的作用是同时鉴别两个因素
对结果可能产生的影响。
是否成立。
（6.30）
11
r
r
由于 i
i 1
i 1
ui• u
1 s
r i 1
s
uij
j 1
ru
0，
因此，如果
H
成立，那么因素
01
A各水平的效应必皆为
0.
s
类似地，由 j
j 1
s j 1
u• j u
1 r
s j 1
r i 1
uij
su
0
r
r
r
ij uij ui• u• j u uij u• j ru• j ru• j 0
等，但均值uij 可能存在差异。
6
2.双因素试验的方差分析的数学模型
Xij uij ij , i 1, 2L r(因素A的水平），j 1, 2L s因素B的水平，
ij相互独立同分布N(0, 2)
记：u
1 rs
r i1
s
uij ——理论总均值
j 1
记：ui•
1 s
s
uij —因素A在i水平下的理论平均
j 1
记：u• j
1 r
r i 1
uij —因素B在j水平下的理论平均
7
显然
uij u ui• u u• j u uij ui• u• j u
记：i =ui• u
它是水平 Ai 下的理论均值与理论总均值的偏差，称为水平Ai 下的效应；
记： j = u• j u
xijk （i 1,2, , r; j 1,2, , s; k 1, , t ） 并且仍是从分析这组数据的离散性着手。
8
于是 X ij ~ N uij , 2 可以等价的表示为：
X ij uij ij u i j ij ij
ij ~ N 0, 2
， i 1,2, , r; j 1,2, , s
这表明，在因素 A, B 的不同水平组合下，试验结果的相对差异
uij u （视为总效应）是由如下四部分组成：
su
0
r
r
ij uij ui• u• j u =0
i1
i1
s
s
ij uij uio u• j u =0 9
j 1
j 1
因此，要鉴别因素 A 是否对结果有显著影响，只
需鉴别因素 A 水平的改变是否导致试验结果的明显变
化，这等价于检验因素A 各水平的效应是否相等，即
检验假设
H01 : 1 2 r 是否成立。
（6.28）
10
类似地，要鉴别因素B 是否对结果有显著影响，
等价于检验假设
H 02 : 1 2 s 是否成立。
（6.29）
要鉴别因素 A 与因素B 是否存在交互效应，等价于
检验假设 H 03 : ij i 1,2, , r; j 1,2, , s 全相等
（1）水平Ai 下的效应i ；
（2）水平Bj 下的效应 j ；
（3）水平组合 Ai , B j 的交互效应ij ；
（4）随机因素引起的随机波动ij .
r
r
1r s
i
i 1
i 1
ui• u
s
i 1
uij
j 1
ru
0
s
j
j 1
s
u• j u
j 1
1 r
s j 1
r
uij
i 1
2
双因 素方 差分 析的 类型
无交互作用的 双因素方差分析
有交互作用的 双因素方差分析
假定因素A和因素 B的效应之间是相 互独立的，不存在 相互关系
假定因素A和因素B 的结合会产生出一 种新的效应
3
二、数据结构
设因素 A 有r 个不同的水平A1, , Ar ， 因素B 有s 个不同的水平B1, , Bs ，
现对因素 A 、B 的每一种不同的水平组合:
x221, x222 , , x22t
……
……
Ar
xr11 , xr12 , , xr1t
xr21, xr22 , , xr2t
…… …… …… …… ……
Bs
x1s1 , x1s2 , , x1st x2s1 , x2s2 , , x2st
……
xrs1 , xrs2 , , xrst
5
在水平组合Ai , B j 下的t 次试验，由于所有可控制
因素均没有发生变化，试验结果 xij1 , xij 2 , , xijt 的差异
纯粹是由随机因素引起的，故可将数据 xij1 , xij 2 , , xijt
看成是来自正态总体
X ij ~ N uij , 2
（6.19）
的t 个样本观测值.
对不同的水平组合 Ai , B j ，假定各总体的方差相
它是水平 B j 下的理论均值与理论总均值的偏差，称为水平 B j 下的效应；
记：rij uij ui• u• j u uij u i j
所以 rij 是总效应 uij u 减去 Ai 的效应 i 和 B j 的效应 j
后的剩余部分，称为水平组合 Ai , B j 的交互效应。
i 1
i 1
i 1
s
s
s
ij uij ui u• j u uij ui• sui• sui• 0
j 1
j 1
j 1
所以，如果
H
成立，那么因素
02
B
各效应的水平皆为零；
如果 H 03成立，那么 ij 0 i 1,2, , r; j 1,2, , s .
12
以上 3 个假设H01 、H02 、H03 中的三组参数i 、 j 、 ij 都是未知的，为了对三个假设成立与否进行检验， 仍只能依据试验观测值
Ai , B j i 1,2, , r; j 1,2, , s
都安排tt 2次试验（称为等重复试验），假
定各次试验是相互独立的，得到如下试验结 果：
4
1.双因素方差分析的数据结构如表所示：
B1
B2
A1
x111 , x112 , , x11t
x121, x122 , , x12t
A2
x211 , x212 , , x21t
第二节 双因素方差分析
➢ 双因素方差分析的类型 ➢ 数据结构 ➢ 离差平方和的分解 ➢ 应用实例
1
一、 双因素方差分析的类型
如果在试验中有两个可控制因素 A, B ，同时发生变 化，而其它可控制因素均保持不变，这样的试验称为
双因素试验。
双因素试验方差分析的作用是同时鉴别两个因素
对结果可能产生的影响。
是否成立。
（6.30）
11
r
r
由于 i
i 1
i 1
ui• u
1 s
r i 1
s
uij
j 1
ru
0，
因此，如果
H
成立，那么因素
01
A各水平的效应必皆为
0.
s
类似地，由 j
j 1
s j 1
u• j u
1 r
s j 1
r i 1
uij
su
0
r
r
r
ij uij ui• u• j u uij u• j ru• j ru• j 0
等，但均值uij 可能存在差异。
6
2.双因素试验的方差分析的数学模型
Xij uij ij , i 1, 2L r(因素A的水平），j 1, 2L s因素B的水平，
ij相互独立同分布N(0, 2)
记：u
1 rs
r i1
s
uij ——理论总均值
j 1
记：ui•
1 s
s
uij —因素A在i水平下的理论平均
j 1
记：u• j
1 r
r i 1
uij —因素B在j水平下的理论平均
7
显然
uij u ui• u u• j u uij ui• u• j u
记：i =ui• u
它是水平 Ai 下的理论均值与理论总均值的偏差，称为水平Ai 下的效应；
记： j = u• j u
xijk （i 1,2, , r; j 1,2, , s; k 1, , t ） 并且仍是从分析这组数据的离散性着手。
8
于是 X ij ~ N uij , 2 可以等价的表示为：
X ij uij ij u i j ij ij
ij ~ N 0, 2
， i 1,2, , r; j 1,2, , s
这表明，在因素 A, B 的不同水平组合下，试验结果的相对差异
uij u （视为总效应）是由如下四部分组成：
su
0
r
r
ij uij ui• u• j u =0
i1
i1
s
s
ij uij uio u• j u =0 9
j 1
j 1
因此，要鉴别因素 A 是否对结果有显著影响，只
需鉴别因素 A 水平的改变是否导致试验结果的明显变
化，这等价于检验因素A 各水平的效应是否相等，即
检验假设
H01 : 1 2 r 是否成立。
（6.28）
10
类似地，要鉴别因素B 是否对结果有显著影响，
等价于检验假设
H 02 : 1 2 s 是否成立。
（6.29）
要鉴别因素 A 与因素B 是否存在交互效应，等价于
检验假设 H 03 : ij i 1,2, , r; j 1,2, , s 全相等
（1）水平Ai 下的效应i ；
（2）水平Bj 下的效应 j ；
（3）水平组合 Ai , B j 的交互效应ij ；
（4）随机因素引起的随机波动ij .
r
r
1r s
i
i 1
i 1
ui• u
s
i 1
uij
j 1
ru
0
s
j
j 1
s
u• j u
j 1
1 r
s j 1
r
uij
i 1