机器人的雅可比矩阵

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机器人学技术基础
——雅可比矩阵
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一、引入
Tn T1T2 Tn
运动学方程只限于静态位 置问题的讨论，未涉及机 器人运动的速度、加速度 和力等动态过程。
nx ox ax px
Tn

ny n0z
oy oz 0
ay az 0
p
y

pz 1

动力学主要研究运动和 力的关系。
Tq F T D
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假定关节无摩擦，并忽略各杆件的重力，则广义关节力矩τ与机器 人手部端点力F的关系可用下式描述：
τ = JTF
式中： JT为n*6阶机器人力雅可 比矩阵，并且是机器人 速度雅可比J的转置矩阵。
它表示静态平衡状态下，操作力 向关节力映射的线性关系。
思考与速度雅可比有什么不同
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• 上述计算中，当θ2趋于0°或180°时，机械手的雅可比行列式 为0，其逆不存在，此时机械手处于奇异状态，相应关节速度 将趋于无穷大。
• 从几何上看，机械手完全伸直或完全缩回时，机械手末端丧失 了径向自由度，仅能沿切向运动。在奇异形位时，机械手在操 作空间的自由度将减少。
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)

速度雅可比矩阵反映了关节空间的微小 运动dθ与手部空间（操作空间）微小位 移dX的关系。
dX

X
1
d1

X
2
d2
dY

Y
1
d1

Y
2
d2
X
dX dY



1
Y

1
X
2
Y
2

•机器人末端在操作空间的位置和方位可用末端手爪的位姿X表示， 它是关节变量的函数，X=X(q)，并且是一个6维列矢量。
dX=[dX,dY,dZ,φX,φY,φZ] T反映了操作空间的微小运动，它由 机器人末端微小线位移和微小角位移(微小转动)组成.
重点
dX=J(q)dq
J(q)称为n自由度机器人 速度雅可比矩阵。
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雅可比矩阵的含义：
(1)每一列表示其他关节不动而某 一关节运动的端点速度；
(2)前三行代表手部线速度与关节 速度传递比；后三行代表手部角 速度与关节速度传递比。
X
J


1
Y

1
X

2

Y

2

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雅可比矩阵的第i行第j列元素为
J ij

J

l1s1 l2s12

l1c1

l2c12
l2s12
l2c12

从J中元素组成可见，J矩阵的值是θ1和θ2的函数。
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推而广之，对于n自由度机器人，关节变量可用广义关节变量q 表示
q= [q1, q2, …, qn] T 当关节为转动关节时qi=θi； 当关节为移动关节时qi=di， dq= [dq1，dq2, … , dqn]T，反映了关节空间的微小运动。
图示为二自由度平面关节型机器人(2R机器人)， •端点位置X、Y与关节θ1、θ2的关系为
X l1c1 l2c12
Y
l1s1 l2s12

X Y
X (1,2 Y (1,2 )
)
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将其微分得
X Y
X (1,2 Y (1,2 )

xi (q) q j
,i
1,2,,6;
j
1,2,, n
雅可比矩阵——研究操作空间速度与关节空间速度线性映射 关系，同时也用来表示空间之间力的传递关系 。
数学上，雅可比矩阵是一个多元函数的偏导矩阵。
机器人学中，雅可比是一个把关节速度向量变换为手爪相对 基坐标的广义速度向量v的变换矩阵。
雅可比矩阵
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1.X=X(q)的运动方程式
nx ox ax px
Tn

ny n0z
oy oz 0
ay az 0
p
y

pz 1

可否用3个参数简便描 述手部姿态？
角度设定法
“角度设定法”就是 采用相对参考坐标系或相对运动坐标系作三次连续转动来规
定姿态的方法，。
手部位姿可用一个6维列矢量来表示



(l1s2 l2s12 )1
(l1c1 l2c12
l2s122 )1

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例 如图所示的二自由度机械手，手部沿固定坐标系X0轴正向以1.0 m/s的速度移动，杆长l1=l2=0.5 m。设在某瞬时θ1=30°，θ2=60°， 求相应瞬时的关节速度。
在机器人速度分析和静力分析中都将用到雅可比。
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(1)工业机器人的速度分析
dX=J(q)dq
两边同除以dt得
dX J (q) dq
dt
dt
或写为
v X J (q)q
式中：
v为机器人末端在操作空间中的广义速度； q为机器人关节在关节空间中的关节速度； J(q)为确定关节空间速度与操作空间速度v之间关系的雅可 比矩阵。
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对该二自由度机器人来说，J(q)是一个2*2的矩阵。
J

l1s1 l2s12

l1c1

l2c12
l2s12
l2c12

V

vx vy Fra bibliotek l1s2 l2s12

l1c1 l2c12
l2s12 l2c12

12
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虚功原理（虚位移原理）：对于任何可能的虚位移，作用于刚 体系的所有外力所做的虚功之和为零。 各关节所做虚功之和为： W Tq 1q1 2q2 nqn 末端执行器所做虚功为： W F T D f T d nT 两者所做虚功应相等，总的虚功为零：即，
X [ px py pz x y z ]T
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设q为广义关节变量 q [q1 q2 ... qn ]T
则:
x x(q1,q2,..., qn ) x(q)
y y(q1,q2,..., qn ) y(q)
z z(q1,q2,..., qn ) z(q)
x x (q1,q2,..., qn ) x (q)
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机器人静力计算的两类问题 (1) 已知外界环境对机器人手部的作用力F，求相应的满足 静力平衡条件的关节驱动力矩τ。 (2) 已知关节驱动力矩τ，确定机器人手部对外界环境的作 用力或负载的质量。
第二类问题是第一类问题的 逆解。逆解的关系式为
F =(JT)–1τ
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• 当机构处于奇异位形时其Jacobian矩阵为奇异阵，行列式值为 零，此时机构速度反解不存在，存在某些不可控的自由度。另 外当机构处于奇异位形附近时，关节速度将趋于无穷大，从而 造成机器人的损坏，因此在设计和应用机器人时应避开奇异位 形。
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（2）力雅可比与静力计算
机器人在工作状态下会与环境之间引起相互作用的力和力矩。 机器人各关节的驱动装置提供关节力和力矩，通过连杆传递到 末端执行器，克服外界作用力和力矩。
机器人的奇异形位分为两类： (1) 边界奇异形位：当机器人臂全部伸展开或全部折回时，使
手部处于机器人工作空间的边界上或边界附近，出现雅可比矩 阵奇异，机器人运动受到物理结构的约束。这时相应的机器人 形位叫做边界奇异形位。 (2) 内部奇异形位：两个或两个以上关节轴线重合时引起的奇 异。当出现奇异形位时，会产生退化现象。
关节驱动力和力矩与末端执行器施加的力和力矩之间的关系是 机器人力控制的基础。
机器人与外界环境相互作用时，在接触的地方要产生力f和力矩n， 统称为末端广义力矢量。记为:
f
F


n

在静止状态下，广义操作力F应与各关节的驱动力相平衡。
n个关节的驱动力组成的n维矢量
1 2 n
y y (q1,q2,..., qn ) y (q)
z z (q1,q2,..., qn ) z (q)
故用角度设定法表示手部姿态时机器人的运动学方程可写成
X [x y z x y z ]T X(q)
表示了手部位姿X与关节变量q之间的关系。
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二、机器人的雅可比矩阵
d1 d2

X
J


1
Y

1
X
2

Y
2

dX=Jdθ
J称为二自由度平面关节型机器人的速度雅可比矩阵。
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对该二自由度机器人运动方程进行计算，则其雅可比可写为
X l1c1 l2c12
Y l1s1 l2s12