09静电场习题解答.

第九章 静电场一 选择题1. 在坐标原点放一正+Q ，它在P 点（x =+1，y =0）产生的电场为E 。

现在，另外有一个负电荷-2Q ，试问应将它放在什么位置才能使P 点的电场强度为零？（ ） Ａ. x 轴上x >1。

B. x 轴上x <0。

C. x 轴上0<x <1。

Ｄ. y 轴上y >0。

E. y 轴上y <0。

解：根据电场叠加原理，应选（Ｂ）。

2. 下列说法中哪一个是正确的？A. 电场中某点场强的方向，就是将点电荷放在该点所受的电场力的方向。

B. 在以点电荷为中心的球面上，该电荷产生的场强处处相同。

C. 场强方向可由qFE =定出，其中q 为试验电荷的电量，q 可正可负，Ｆ为试验电荷所受的电场力。

D. 以上说法都不正确。

( ) 解：根据电场强度的定义应选(C)。

3. 如图，电量为Q 的点电荷被曲面S 所包围，从无穷远处引另一电量为q 的点电荷至曲面外一点，则： （ ）Ａ．曲面S 的E 通量不变，曲面上各点场强不变 Ｂ．曲面S 的E 通量变化，曲面上各点场强不变 Ｃ．曲面S 的E 通量变化，曲面上各点场强变化Ｄ．曲面S 的E 通量不变，曲面上各点场强变化 解：根据高斯定理，应选(D)。

4. 两个同心均匀带电球面，半径分别为R a 和R b （R a <R b ），所带电量分别为Q a 和Q b ，设某点与球心相距r ，当R a <r< R b 时，该点的电场强度的大小为：（ ）202202020π41 D. π41C.π41B. π41A.r Q .) R Q r Q (r Q Q . r Q Q .abb a b a b a εεεε+-+解：外球面上的电荷在其内部产生的场强为零，两球面间的场强仅由内球面电荷产生，故选（D ）。

5. 图示为一具有球对称性分布的静电场的E -r 关系曲线，请指出该静电场是由下列哪种带电体产生的。

（ ）S ． Q．q 选择题3图A ． 半径为R 的均匀带电球面 B. 半径为R 的均匀带电球体 C. 半径为R 、电荷体密度ρ =Ar （A 为常数）的非均匀带电球体 D. 半径为R 、电荷体密度ρ =A/r （A 为常数）的非均匀带电球体解：根据计算可知，该电场为半径为R 、电荷体密度ρ =A/r （A 为常数）的非均匀带电球体所产生，故选（D ）。

6. 如图示，直线MN 长为2l ，弧OCD 是以N 点为中心，l 为半径圆弧，N 点有正电荷+q ，M 点有负电荷-q ，今将一试验电荷+q 0从O 点出发沿路径OCDP 移到无穷远处，设无穷远处电势为零，则电场力作功（ ）(A) W ＜0且为有限常量； （B ） W ＞0且为有限常量； （C ） W =∞ （D ） W = 0解：O 点的电势为零，O 点与无穷远处的电势差为零，所以将试验电荷+q 0从O 点出发沿任意路径移到无穷远处，电场力作功均为零，故本题应选（D ）。

7. 在匀强电场中，将一负电荷从A 移到B ，如图所示，则：（ ）A. 电场力作正功，负电荷的电势能减少；B. 电场力作正功，负电荷的电势能增加；C. 电场力作负功，负电荷的电势能减少；D. 电场力作负功，负电荷的电势能增加解：根据图示，A 点的电势高于B 点的电势，所以负电荷在B 点的电势能高于A 点的电势能，电场力作负功。

应选（D 。

）8. 在点电荷q 的电场中，选取以q 为中心、R 为半径的球面上一点P 处作电势零点，则与点电荷q 距离为r 的P ’点的电势为 （ ）选择题5图选择题6图BEA选择题7图P ’选择题8图)rR (q R)(r q )R r (q r q11π4D. π4. C 11π4B.π4A.0000---εεεε解：根据电势的定义可计算出P 点的电势应为)Rr (q 11π40-ε，故选（B ）。

二 填空题1. 把两个相同的小球用同样长度的细绳l 悬挂于同一点，小球的质量都为m ，带等值同号的电荷q ，如图所示，设平衡时两线间夹角2θ 很小，则两小球间的距离x = 。

解：设细绳的拉力为Ｔ，根据受力平衡可得：l x xq T mg T 21tan ,π4sin ,cos 202≈==θεθθ，由此可得x =3102)π2(mg l q ε 2. 位于x 轴上的两个点电荷，分别带电量2q 和q ，坐标分别为a 和-a 。

第三个点电荷q 0放在x = 处，它所受合力为零。

解：第三个点电荷所在处场强为零，设该点的坐标为x ，根据题意，-a <x <0，则2020)(π42)(π4x a q a x q -=+εε，由此解得：a a x )223(1212--=+--=3. 一半径为R 的带有一缺口的细圆环，缺口长度为d ( d <<R )环上均匀带正电，总电量为q ，如图所示，则圆心o 处的场强大小E = ，场强方向为 。

解：圆心处的场强可看成是均匀带正电的完整圆环电荷与缺口处与圆环电荷密度相同的负电荷共同激发，均匀带正电的完整圆环电荷在圆心处激发的场强为填空题1图 q l l θθ q∙∙ 填空题3图填空题2图 O-aq2q ∙ ∙ ∙a零，故30228π4)2(R qd R dd R qE o εππ≈-=ε，场强方向为从o 点指向缺口中心点。

4. 半径为R 的半球面置于场强为E 均匀电场中，其对称轴与场强方向一致，如图所示，则通过该半球面的E 通量为 。

解：πR 2 E5. 如图，点电荷q 和-q 被包围在高斯面S 内，则通过该高斯面的E 通量⎰⎰⋅SS E d = ，式中E 为 的场强。

解：0；高斯面S 上面积元d S 处。

6. 点电荷q 1，q 2，q 3和q 4在真空中的分布如图所示，图中S 为高斯面，则通过该高斯的E 通量⎰⎰⋅SS E d = 。

式中的E 是高斯面上任一点的场强，它等于点电荷 单独存在时在该点产生场强的矢量和。

解：(q 2 +q 4) /ε0 ，q 1 , q 2 ,q 3 ,q 47. 图中电场强度分量为E x = b x 1/2，E y = E z = 0，正立方体的边长为a ，则通过这正立方体的E 通量Φ = ，正方体内的总电荷Q = 。

解：25)12(ba -；25)12(ba oε-8. 三个平行的“无限大”均匀带电平面，其电荷面密度是+σ,则A ，B ，C ，D 四个区域的电场强度分别为：E A = ，E B = ，E C =，填空题7图+σ +σ +σA B C D填空题8图填空题9图填空题4图 填空题5图S+q-q ∙ ∙填空题6图Sq 4 ∙ ∙ ∙ ∙q 2 q 3q 1E D = 。

（设方向向右为正）解：每个无限大均匀带电平面产生的场强为σ / (2εo )，根据场强的叠加原理可得：E A = -3σ / (2εo )；E B = -σ / (2εo )；E C =σ / (2εo )；E D =3σ / (2εo )9. A 、B 为真空中两个平行的“无限大”均匀带电平面，已知两平面间的电场强度大小为E 0，两平面外侧电场强度大小都为E 0 /3，方向如图。

则A 、B 两平面上电荷面密度分别为σ A = ， σB = 。

解：根据上题可得：0000312,2E E A B A B =+=-εσσεσσ，解得：σA = -2ε0 E 0 / 3；σB = 4ε0 E 0 / 310. 真空中有一半径为R 的半圆细环，均匀带电Q ，如图所示，设无穷远处为电势零点，则圆心o 点的处的电势V 0 = ，若将一带电量为q 的点电荷从无穷远处移到圆心o 点，则电场力做功W = 。

解：V 0 = Q / (4πεo R )；W = -q Q / (4πεo R )11. 图示BCD 是以o 点为圆心，以R 为半径的半圆弧，在A 点有一电量为+q 的点电荷，o 点有一电量为-q 的点电荷，线段BA = R ，现将一单位正电荷从B 点沿半径圆弧轨道BCD 移到D 点，则电场力所作的功为 。

解：0π4π400=-=RqR q V B εεRqR q R q V D 000π6π43(π4εεε-=-=）Rq V V V D B BD 0π6ε=-=Rq W BD 0π6ε=∴12. 质量为m 电量为q 的小球从电势V A 的A 点运动到电势为V B 的B 点，如果小球在B 点的速率为v B ，则小球在A 点的速率v A = 。

填空题10图RoQ 填空题11图A B o D+q -q R C∙∙解：由能量守恒可求得v A =212])(2[mV V q mv B A B --三 计算题1. 两个点电荷分别为q 1= +2⨯10-7C ，q 2= -2⨯10-7C ，相距0.3m 。

求距q 1为0.4m 、距q 2为0.5m 处P 点的电场强度。

（2290C m (N 100.9π41-⋅⋅⨯=ε） 解：P 点与两个点电荷构成直角三角形，分别求出两个点电荷在P 点的场强，然后分解到水平和垂直方向，最后求出场强大小0.699⨯104 N .C -1，场强方向与x 轴正向夹角51.8︒。

2. 如图所示，在x y 平面内有与y 轴平行、位于x = a / 2和x = - a / 2处的两条无限长平行的均匀带电细线，电荷线密度分别为+λ和-λ，求z 轴上任一点的电场强度。

解：过z 轴上任一点（0，0，z ）分别以两条带电细线为轴作单位长度的圆柱形高斯面，如图所示,按高斯定理求出两带电直线分别在该处产生的场强为E + - = ±λ/ ( 2πε0 r ) 式中正负号分别表示场强方向沿径向朝外朝里，如图所示，按场强叠加原理，该处合场强的大小为)4(2 2/.cos 22200z a a r a r E E +===+πελπελθ方向如图所示或用矢量表示i E )4(2220z a a +-=πελ3. 一段半径为a 的细圆弧，对圆心所张的角为θ0，其上均匀分布有正电荷q ，试用a 、q 、θ0表示出圆心o 处的电场强度。

解：取坐标xoy 如图，由对称性可知：0d ==⎰x x E Eθθπελθπελθπεd cos 4cos 4d cos 4d d 202020a aa la q E y ⋅===计算题2图2sin2d cos 400202121000θθπεθθπελθθa q a E E y ===⎰- j E 2sin2020θθπεa q -=∴4. 线电荷密度为λ的无限长均匀带电线，弯成如图形状，若图弧半径为R ，试求图中O 点场强。

解：在o 点建立坐标系。

半无限长直导线A ∞在o 点产生的场强。

ji j i E RR y y R y y R R 002/322002/3220144 d })(4)(4[πελπελπελπελ-=+-++=⎰∞半无限长直导线B ∞ 在o 点产生的场强：j i E RR 00244πελπελ+-=圆弧AB 在o 点产生的场强为：j i E RR 00344πελπελ+=所以合场强)(4 0321j i E E E E +=++=Rπελ5. 一电荷面密度为σ 的“无限大”平面，在距离平面a 米远处的一点的场强大小的一半是由平面上一个半径为R 的圆面积范围内的电荷所产生的，试求该圆半径的大小。