第九章静电场习题解答
大学物理课后习题答案
第九章 静电场 (Electrostatic Field)二、计算题9.7 电荷为＋q 和－2q 的两个点电荷分别置于x ＝1 m 和x ＝－1 m 处．一试验电荷置于x 轴上何处，它受到的合力等于零？解：设试验电荷0q 置于x 处所受合力为零，根据电力叠加原理可得()()()()022220000(2)(2)ˆˆ0041414141q q q q q q i i x x x x εεεε⋅-⋅-+=⇒+=π-π+π-π+即：2610(3x x x m -+=⇒=±。
因23-=x 点处于q 、－2q 两点电荷之间，该处场强不可能为零．故舍去．得()223+=x m9.8 一个细玻璃棒被弯成半径为R 的半圆形，沿其上半部分均匀分布有电荷+Q ，沿其下半部分均匀分布有电荷－Q ，如题图9.4所示．试求圆心O 处的电场强度．解：把所有电荷都当作正电荷处理. 在θ 处取微小电荷d q = λd l = 2Q d θ / π它在O 处产生场强θεεd 24d d 20220R QR q E π=π=按θ 角变化，将d E 分解成二个分量：θθεθd sin 2sin d d 202R QE E x π==θθεθd cos 2cos d d 202RQE E y π-=-= 对各分量分别积分，积分时考虑到一半是负电荷⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π=⎰⎰πππθθθθε2/2/0202d sin d sin 2R QE x ＝02022/2/0202d cos d cos 2R QR Q E y εθθθθεππππ-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π-=⎰⎰ 所以j R Q j E i E E y x202επ-=+=9.9如图9.5所示，一电荷线密度为λ的无限长带电直导线垂直纸面通过A 点；附近有一电量为Q 的均匀带电球体，其球心位于O 点。
AOP ∆是边长为a 的等边三角形。
已知P 处场强方向垂直于OP ，求:λ和Q 间的关系。
大学物理第九章习题及答案
第九章静电场的基本规律一、填空1.电荷分为和，一般把用摩擦过的玻璃棒上所带的电荷称为，把用毛皮摩擦过的上所带的电荷称为。
2.物体所带电荷的多寡程度的物理量称为。
3.物体所带的电荷量不是以连续值出现，而是以不连续的量值出现的，这称为。
4.试探电荷满足的两个条件是，。
5.穿过电场中某曲面的电场线条数称为电场对该曲面的。
6.静电场的电场线起始于，，终止于，是（填“闭合”或“不闭合”）的曲线，在没有电荷的空间里，电场线既不会，也不会。
7.高斯定理的表达式是。
8.电场中电势相等的点所构成的曲面称为。
点电荷的等势面是以点电荷为球心的一系列。
9.沿等势面移动电荷，电场力做功为，等势面和电场线处处。
10.沿电场线方向，电势（填“升高”或“降低”）。
二、简答1.简述真空中点电荷满足的库仑定律的内容及矢量表达式。
2.简述研究电场性质时，试探电荷需满足的两个条件。
3.简述静电场的电场线的性质。
4.简述真空中静电场的高斯定理。
5.简述为什么等势面的疏密程度可以描述电场大小的分布，二者有什么对应关系？三、计算9.1 两个点电荷的电荷量分别为2q和q，相距L.将第三个点电荷放在何处时，它所受的合力为零?此处由2q和q产生的合场强是多少?9.2 三个电荷量均为q 的点电荷放在等边三角形的各顶点上.在三角形中心放置怎样的点电荷，才能使作用在每一点电荷上的合力为零?9.3 两个点电荷，C q μ0.81=，C q μ60.12-=，相距20cm.求离它们都是20cm 处的电场强度.9.4 如图所示，半径为R 的均匀带电圆环，带电荷为q.(1)求轴线上离环心O 为x 处的场强.(2)画出E-x 曲线.(3)轴线上何处的场强最大?其值是多少?9.5 求均匀带电半圆环的圆心O 处的场强E.已知圆环的半径为R ，带电荷为q.9.6 计算线电荷密度为η的无限长均匀带电线弯成如图所示形状时，半圆圆心O处的场强E.半径为R ，直线Aa 和Bb 平行.9.7 半径为R 的无限长直圆柱体内均匀带电，电荷体密度为ρ，求体内、外场强分布，并画出E-r 分布曲线.9.8 一对无限长的共轴直圆筒，半径分别为R 1和R 2，筒面上都均匀带电，沿轴线单位长度的电荷密度分别为λ1和λ2，求：(1) 各区域内的场强分布；(2) 若λ1= -λ2，情况又如何?9.9 两同心均匀带电球面，带电荷分别为1q 和2q ，半径分别为R 1和R 2， (1) 各区域内场强分布；(2) 若21q q -=，情况又如何?9.10、点电荷q 处在中性导体球壳的中心，壳的内外半径分别为1R 和2R ，求场强和电势的分布第九章 静电场的基本规律答案一、填空1.正电荷，负电荷，丝绸，正电荷，胶木棒，负电荷2.电荷量3.电荷的量子化4.几何线度足够小，电荷量充分小5.电通量6.正电荷，负电荷，不闭合，相交，中断7.0ε内q S d E s e =⋅=Φ⎰⎰8.等势面，同心球面9.零，正交10.降低二、简答1.简述真空中点电荷满足的库仑定律的内容及矢量表达式。
大学物理第9篇习题解答
第9章 真空中的静电场 习题解答9－1 精密的实验已表明，一个电子与一个质子的电量在实验误差为e 2110－±的范围内是相等的，而中子的电量在e 2110－±的范围内为零。
考虑这些误差综合的最坏情况，问一个氧原子（含8个电子、8个质子、8个中子）所带的最大可能净电荷是多少？若将原子看成质点，试比较两个氧原子间的电力和万有引力的大小，其净力是引力还是斥力？解：（1）一个氧原子所带的最大可能净电荷为 e q 21max 1024－⨯±=（2）两个氧原子间的电力和万有引力的大小之比为6222711221921122222max 0108.2)1067.116(1067.6)106.11024(1085.84141------⨯≈⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⋅⨯⨯=≤r r r m G r q f f G e ππε氧其净力是引力。
9－2 如习题9－2图所示，在直角三角形ABC 的A 点处，有点电荷q 1 = ×10-9C ，B 点处有点电荷q 2 = －×10-9C ，AC = 3cm ，BC = 4cm ，试求C 点的场强。
解：根据点电荷场强大小的公式22014q qE kr r==πε， 点电荷q 1在C 点产生的场强大小为112014q E AC =πε 994-1221.810910 1.810(N C )(310)--⨯=⨯⨯=⨯⋅⨯ 方向向下。
点电荷q 2在C 点产生的场强大小为2220||14q E BC =πε E 2 EE 1q 2A C q 1B θ994-1224.810910 2.710(N C )(410)--⨯=⨯⨯=⨯⋅⨯， 方向向右。
C 处的总场强大小为E =44-110 3.24510(N C )==⨯⋅，总场强与分场强E 2的夹角为12arctan33.69E E ==︒θ．9－3 半径为R 的一段圆弧，圆心角为60°，一半均匀带正电，另一半均匀带负电，其电荷线密度分别为+λ和-λ，求圆心处的场强。
高中物理必修三第九章静电场及其应用知识汇总大全(带答案)
高中物理必修三第九章静电场及其应用知识汇总大全单选题1、19世纪30年代，法拉第首先提出了电场概念，并用电场线简洁、形象的描述电场。
对于静电场，以下认识正确的是（）A．质子在电场中由静止释放，它的运动轨迹和电场线一定重合B．电子只在电场力的作用下，一定逆着电场线的方向运动C．在电场中可能存在闭合的电场线D．在电场中不可能存在平行直线且相邻间距不相等的电场线答案：DA．当电场线为直线时，质子由静止释放，它的运动轨迹和电场线重合；若电场线为曲线时，质子由静止释放，它的运动轨迹和电场线不重合，故A错误；B．当电场线为直线，电子具有与电场方向相同的初速度时，电子先顺着电场线做减速运动，减速至零后再逆着电场线做加速运动，故B错误；C．电场线不闭合，始于正电荷或无穷远，终止于无穷远或负电荷，故C错误；D．电场线平行且间距相等的电场是匀强电场，不存在平行且相邻间距不相等的电场线，故D正确。
故选D。
2、如图所示为空腔球形导体（不带电），现将一个带正电的小金属球放入腔内，静电平衡时，图中A、B、C三点的电场强度E的关系是（）A．E A>E B>E C B．E A=E B>E CC．E A=E B=E C D．E A>E C>E B答案：A系统静电平衡后，空腔导体上感应电荷与导体内外的电场线的分布图如图所示从图中可以看出E A>E B>E C （C点在导体内部合电场强度为零）。
故选A。
3、下列关于物理观念和科学思维的认识，正确的是（）A．加速度a=Fm 、电场强度E=Fq的定义都运用了比值法B．合外力对物体做功为负，物体的机械能一定不守恒C．驾驶员通过操作方向盘不能使汽车在光滑的水平面上转弯D．“蛋碎瓦全”，说明瓦片撞击鸡蛋的力大于鸡蛋撞击瓦片的力答案：CA．电场强度E=F q用了比值定义法，而加速度a=F m是牛顿第二定律表达式，是加速度大小的决定式，不是比值定义法，故A错误；B．合外力对物体做功为负，物体的动能一定会改变，但是机械能不一定会发生变化，比如向上抛出一个小球，故B错误；C．汽车转弯时需要由摩擦力来提供向心力，驾驶员通过操作方向盘不能使汽车在光滑的水平面上转弯，故C正确；D．瓦片撞击鸡蛋的力和鸡蛋撞击瓦片的力为一对相互作用力，二者大小相等，反向相反，故D错误。
人教版高二物理必修第三册第九章 静电场及其应用练习含解析答案
（新教材）人教高中物理必修第三册第九章 静电场及其应用练习含答案（新教材）必修第三册第九章 静电场及其应用1、a 和b 是点电荷电场中的两点，如图所示，a 点电场强度E a 与a 、b 连线夹角为60°，b 点电场强度E b 与a 、b 连线夹角为30°，关于此电场，下列分析正确的是( )A ．这是一个正点电荷产生的电场，E a ∶E b ＝1∶ 3B ．这是一个正点电荷产生的电场，E a ∶E b ＝3∶1C ．这是一个负点电荷产生的电场，E a ∶E b ＝3∶1D ．这是一个负点电荷产生的电场，E a ∶E b ＝3∶12、现代理论认为，反质子的质量与质子的质量相同，约为电子质量的1 836倍，若m e ＝0.91×10－30 kg ，e ＝1.6×10－19 C ，求反质子的比荷q m 。
3、下列关于点电荷的说法正确的是( )A ．任何带电球体都可以看成电荷全部集中于球心的点电荷B ．球状带电体一定可以看成点电荷C ．点电荷就是元电荷D ．一个带电体能否看成点电荷应以具体情况而定4、关于电场强度的概念，下列说法正确的是( )A ．由E ＝F q 可知，某电场的电场强度E 与q 成反比，与F 成正比B ．电场中某一点的电场强度与放入该点的试探电荷的正负无关C ．正、负试探电荷在电场中同一点受到的电场力方向相反，所以某一点电场方向与放入试探电荷的正负有关D ．电场中某一点不放试探电荷时，该点电场强度等于零5、复印机的核心部件是有机光导体鼓，它是在一个金属圆柱表面涂盖一层有机光导体OPC(没有光照时OPC 是绝缘体，受到光照时变成导体)而制成的。
复印机的基本工作过程是：(1)在暗处的有机光导体鼓和一个金属丝电极之间加上高电压，金属丝附近空气发生电离，使转动鼓体均匀带上正电荷；(2)文件反射的强光通过光学系统在鼓上成像，鼓上形成“静电潜像”；(3)鼓体转动经过墨粉盒，潜像将带相反电荷的墨粉吸引到鼓体带电部位；(4)鼓体继续转动经过复印纸，带电复印纸又将墨粉吸引到复印纸上。
09静电场习题解答
第九章 静电场一 选择题1. 在坐标原点放一正+Q ，它在P 点（x =+1，y =0）产生的电场为E 。
现在，另外有一个负电荷-2Q ，试问应将它放在什么位置才能使P 点的电场强度为零？（ ）Ａ. x 轴上x >1。
B. x 轴上x <0。
C. x 轴上0<x <1。
Ｄ. y 轴上y >0。
E. y 轴上y <0。
解：根据电场叠加原理，应选（Ｂ）。
2. 下列说法中哪一个是正确的？A.电场中某点场强的方向，就是将点电荷放在该点所受的电场力的方向。
B.在以点电荷为中心的球面上，该电荷产生的场强处处相同。
C.场强方向可由定出，其中q 为试验电荷的电量，q 可正可负，ＦqFE =为试验电荷所受的电场力。
D.以上说法都不正确。
( )解：根据电场强度的定义应选(C)。
3. 如图，电量为Q 的点电荷被曲面S 所包围，从无穷远处引另一电量为q 的点电荷至曲面外一点，则： （ ）Ａ．曲面S 的E 通量不变，曲面上各点场强不变Ｂ．曲面S 的E 通量变化，曲面上各点场强不变Ｃ．曲面S 的E 通量变化，曲面上各点场强变化Ｄ．曲面S 的E 通量不变，曲面上各点场强变化解：根据高斯定理，应选(D)。
4. 两个同心均匀带电球面，半径分别为R a 和R b （R a <R b ），所带电量分别为Q a 和Q b ，设某点与球心相距r ，当R a <r< R b 时，该点的电场强度的大小为：（ ）202202020π41D.π41C.π41B.π41A.r Q .) R Q r Q (r Q Q .r Q Q .abb a b a b a εεεε+-+解：外球面上的电荷在其内部产生的场强为零，两球面间的场强仅由内球面电荷产生，故选（D ）。
5. 图示为一具有球对称性分布的静电场的E -r 关系曲线，请指出该静电场是由下列哪种带电体产生的。
（ ）S ．Q．q 选择题3图A ．半径为R 的均匀带电球面 B. 半径为R 的均匀带电球体C. 半径为R 、电荷体密度ρ =Ar （A 为常数）的非均匀带电球体D.半径为R 、电荷体密度ρ =A/r （A 为常数）的非均匀带电球体解：根据计算可知，该电场为半径为R 、电荷体密度ρ =A/r （A 为常数）的非均匀带电球体所产生，故选（D ）。
高中物理必修三第九章静电场及其应用知识点梳理(带答案)
高中物理必修三第九章静电场及其应用知识点梳理单选题1、如图所示，一固定的均匀带电圆环，圆心为O，带电量为Q。
MN为垂直于圆环的轴线，M、N两点距圆心均为r。
在圆心正下方2r的位置固定一电量为+q的小带电体。
在M点放置不同电量的试探电荷，试探电荷均可保持静止。
不计试探电荷的重力，静电力常量为k。
则N点的电场强度大小为（）A．0B．2k qr2C．k8q9r2D．k10q9r2答案：D在M点放置不同电量的试探电荷，试探电荷均可保持静止，即M点场强为零。
电量为+q的小带电体在M处产生电场强度为E M=kq(3r)2=kq9r2方向向上。
根据电场的叠加原理，带电圆环与小球在M处产生电场强度大小相等，方向相反，所以带电圆环在M处产生的电场强度大小E′M=kq 9r2方向向下根据对称性可以知道带电圆环在N处产生的电场强E N=kq 9r2方向向上电量为+q的小带电体在N处产生电场强度为E1=k q2 r2所N点处场强的大小为E′N=E N+E1=kq9r2+kqr2=k10q9r2故选D。
2、下列关于物理学史说法正确的是（）A．牛顿发现了万有引力定律，并通过实验较准确地测出了引力常量B．伽利略用“冲淡”重力的方法研究得出自由落体运动是匀加速运动C．开普勒独立完成了观测行星的运行数据、整理观测数据、发现行星运行规律的全部工作D．元电荷e的数值，最早是由法国科学家库仑测得的答案：BA．牛顿发现了万有引力定律，但通过实验较准确地测出了引力常量的科学家是卡文迪什，A错误；B．伽利略用“冲淡”重力的方法研究得出自由落体运动是匀加速运动，B正确；C．开普勒是研究第谷的观测行星的运行数据，研究总结出开普勒三大定律的，C错误；D．元电荷e的数值，最早是由美国物理学家密立根测得的，D错误；故选B3、如图所示，在三角形ABC的A点和C点分别固定两个点电荷，已知B点的电场强度方向垂直于BC边向上，那么（）A．两点电荷都带正电B．两点电荷都带负电C．A点的点电荷带正电，C点的点电荷带负电D．A点的点电荷带负电，C点的点电荷带正电B点的电场强度方向垂直于BC边向上，则A点的点电荷在B处的电场强度方向是沿AB指向A，C点的点电荷在B处的电场强度方向是沿BC指向B，这样二者矢量和才能垂直于BC边向上，如图所示，则分析可知A点的点电荷带负电，C点的点电荷带正电，故D正确，ABC错误。
第九章 真空中的静电场(答案)
一． 选择题[ B ] 1（基础训练1） 图中所示为一沿x 轴放置的“无限长”分段均匀带电直线，电荷线密度分别为＋λ(x ＜0)和－λ(x ＞0)，则Oxy 坐标平面上点(0，a )处的场强E为(A) 0． (B) i a 02ελπ． (C) i a 04ελπ． (D)()j i a+π04ελ． 【提示】左侧与右侧半无限长带电直线在(0，a )处产生的场强大小E ＋、E －大小为：E E +-==矢量叠加后，合场强大小为：02E aλπε=合，方向如图。
［ B ］ 2（基础训练2） 半径为R 的“无限长”均匀带电圆柱体的静电场中各点的电场强度的大小E 与距轴线的距离r 的关系曲线为：【提示】由场分布的轴对称性，作闭合圆柱面（半径为r ，高度为L ）为高斯面。
据Guass 定理：SE dS=iiq ε∑⎰r R ≤时，有：()22012rL=r E L R λππεπ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即：20r =2E R λπε r R >时，有：()012rL=E L πλε ，即：0=2rE λπε ［ C ］ 3（基础训练3） 如图所示，一个电荷为q 的点电荷位于立方体的A 角上，则通过侧面abcd 的电场强度通量等于： (A)06εq ． (B) 012εq． (C) 024εq ． (D) 048εq ．【提示】添加7个与如图相同的小立方体构成一个大立方体，使A 处于大立方体的中心。
则大立方体的外表面构成一个闭合的高斯面。
由Gauss 定理知，通过该高斯面的电通量为qε。
另一方面，该高斯面可看成由24个面积与侧面abcd 相等的面组成，且具有对称性。
所以，通过侧面abcd 的电场强度通量等于24εq ［ D ］ 4（基础训练6） 在点电荷+q 的电场中，若取图中P 点处为电势零点 ， 则M 点的电势为 (A) a q 04επ． (B) a q 08επ． (C) a q 04επ-． (D) a q 08επ-．【提示】200248P a M M aq qU E dl dr r a πεπε-===⎰⎰［ B ］ 5（自测提高6）如图所示，两个同心的均匀带电球面，内球面半径为R 1、带电荷Q 1，外球面半径为R 2、带有电荷Q 2．设无穷远处为电势零点，则在内球面之内、距离球心为r 处的P 点的电势U 为：(A)rQ Q 0214επ+． (B) 20210144R Q R Q εεπ+π． (C) 0． (D) 1014R Q επ． 【提示】根据带电球面在球内外所激发电势的公式，以及电势叠加原理即可知结果。
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E L dEy j ，其大小
E
dE
sin
L
sin 4 0 R 2
QR
dl
由几何关系 dl Rd ，统一积分变量后，有
E
0
Q 4 20R2
sin d
Q 2 20R2
方向沿 y 轴负方向。
9.15 两块“无限大”的带电平行电板，其电荷面密度分别为
解 （1）两球相距很远，均可视作孤立导体，孤立导体球电势
V1
1108 C 40 102 m
V2
1108 C 40 2 102 m
可见两球电势不相等，相连后两球电势必相等，因此必然会有电荷在两球体之间转移，
设达到平衡时小半径球带电量为 q1 ，大半径球带电量 q2 ，由电势相等可得
q 4 0l 2
q 2 0l 2
方向沿 A 指向 B。
O 点电势为正负两个点电荷产生的电势的叠加
VO
q 4 0l
q 4 0l
0
同理，
ED
q 40l 2
q 40 (3l)2
2q 9 0l 2
方向沿 B 指向 A
VD
q 4 0 3l
q 4 0l
开为 2d，试求(1)外力所做的功（2）两极板间的相互作用力。
解 （1）由于匀速拉开的，因此外力做功等于电容器储能的增加。拉开前后的电容分别为
C1
0S d
， C2
0S 2d
储能的增量为
E
E2
E1
1 2
Q2
(
1 C2
1 C!
)
Q2 2 0 S
d
所以外力所作的功
W
E
Q2 2 0 S
1 R1
1 R2
q1 q2 4 0 R2
q1 4 0 R1
q2 4 0 R2
9.30 半径分别为 1.0 cm 与 2.0 cm 的两个球形导体，各带电荷 1.0×10-8 C，两球相距很 远．若用细导线将两球相连接．求
（1） 每个球所带电荷；
（2） 每球的电势．
dE
2πRdx L 40 R2 L
x x 2 3/2
R 4 0
d R2 R2
L
L
x
x2
2
3/ 2
方向沿 x 轴正方向。
由于柱面上所取各小圆环在 P 点产生的电场强度方向均沿 x 轴正方向，所有小圆环 在 P 点产生的电场强度的叠加即为带电柱面在 P 点产生的电场强度，其大小为
d
（2）因两极间相互作用力 F 与外力 F 等值反向，而 外
F（2d-d）= E 外
F 外
E
/
d
Q2 2 0 S
所以
F
Q2 2 0 S
9.41 球形电容器所带电量为 Q，内外半径为 R1 和 R2 ，中间充满电容率介电常数 的电介质,
试求球形电容器电场中的能量。
解 利用高斯定理容易求得极间电场强度
q1 40 102
2 108 q1 40 2 102
解得
q1
2 3
108 C ,
q2
4 3
108 C
（2）V1
q1 4 0 r1
2 3
108
C
40 102 m
6000V
V2
q2 4 0 r2
6000V
9.39 空气介质平行板电容器板面积为 S，间距为 d，充电使两板带电±Q，断电后将二板拉
q 6 0l
（2）WOD
q0U OD
q 6 0l
（3）WD
(VD
V )
q 6 0l
9.20 在习题 9.16 中，求 P 点的电势。
解 如图所示，取 A 点为坐标原点，向右为 x 轴正方向。
在直导线上任取一线元 dx 到 A 点距离为 x，带电线元
在 P 点产生的电势为
强具有球对称性，可以用高斯定理求场强。
（2）选择高斯面：选与带电球面同心的球面作为高斯面。
当 r>R2 时，取半径为 r 的高斯面 S1，如图所示。由高斯定理有
s1
E
dS
q1 q2 0
因为场有上述的对称性，所以
解得
s1 E
dS
E 4r 2
q1 q2 0
E
q1 q2 4 0r 2
E
Q 4 r2
er
式中， R1 r R2 ，因能量密度
w
1 2
E2
2
(
Q 4 r
2
)2
所以电容器储能
W
wdV
R2 R1
2
(
Q 4 r
2
)2
4
r
2dr
Q2 8
(
1 R1
1 R2
)
我们知道，球形电容器的电容
C
4
(
R1R2 R2 R1
S1 S2 R1 q1
q2 R2
S3
当 R1<r<R2 时，取半径为 r 的高斯面 S2，如图所
示。由高斯定理
S2
E
dS
q1 0
因场强有球对称性，故
解出
S2
E dS
E 4r 2
q1 0
E
q1 4 0r 2
当 r<R1 时，取半径为 r 的高斯面 S3，如图所示。由高斯定理
(a)
R P
A dx l
(b)
BP x
R
解 如图(b)所示，取 A 点为坐标原点，向右为 x 轴正方向。在直导线上任取一线元 dx 到 A
点距离为 x，带电线元在 P 点产生的电场强度为
dE
1 4 0
(l
dx x R)2
而直导线上各段带电线元在 P 处产生场强方向相同（沿 x 轴正方向），故总场强为
EP
dE
1 4 0
l dx 0 (l x R)2
1 4 0
(l
λ x
R)
l 0
λ 4 0
(
1 R
1 R
l
)
方向沿 x 轴正方向。
9.17 在半径为 R1 和 R2 （ R2 R1 ）的同心球面上，分别均匀地分布着正电荷 q1 和 q2 ，求
场强分布。 解 （1）对称性分析：①场强沿径向；②离球心 O 距离相等处，场强的大小相同。可见场
dVP
dx 40 (l x
R)
A dx l
所有带电线元在 P 点产生的电势为
Vp
l 0
dVp
l 0
dx 40 (l x
R)
4 0l(lx R)
l 0
4 0
ln
l
R R
BP x
R
9.23 一根长为 L 的细棒，弯成半圆形，其上均匀带电，电荷线密度为 ，试求在圆心 O
1 2
0E2
4r 2dr
2 0 E 2 r 2dr
所求能量为：
We
V
wedV
R 0
2
0[
Q 4 0
R3
r]2 r2dr
R
2
0
[
Q 4 0
r
2
]2r 2dr
Q2 8 0 R6
R
r 4dr
0
Q2 8 0
R
1 r2
dr
Q2 40 0 R 6
R5
Q2 8 0 R
1 4 0
(
3Q2 5R
)
)
这样上式可写成W
Q2 2C
，这就印证了关于电容器储能的结论。
9.42 有一个均匀带电荷为 Q 的球体，半径为 R，试求电场能量。
解：由高斯定理知，场强为
E
Q 4 0R3
Q 4 0r 2
r(r R) (r R)
在半径为 r ,厚为 dr 的球壳内，能量为：
dWe wedV we 4r 2dr
E
dE
R 4 0
L d R2 L x2 0 R2 L x2 3/2
R 2 0
1 R
1
R2
L2
电场强度方向沿 x 轴正向。
9.28 求习题 9.17 中电势的分布
解 根据场强分布，可以从电势的定义出发求出空间的电势分布
4 0
9.26 如图所示，一半径为 R 、长度为 L 的均匀带电圆柱面，电荷面密度为 。试求
端面处轴线上 P 点的电场强度。
(a)
(b)
解 取底面圆心处为坐标原点，x 轴沿轴线向上为正。在距 O 点为 x 处的圆柱面上取高度 为 dx 的圆环，其上电荷为 dq 2πRdx
小圆环在 P 点产生的电场强度大小为
当 r>R2 时