静电场的环路定理习题解答
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9-5-静电场的环路定理解析
•电势是标量，有正有负； •电势的单位：伏特 1V=1J.C-1； •电势具有相对意义，它决定于电势零点的选择。 在理论计算中，通常选择无穷远处的电势为零；
•在实际工作中，通常选择地面的电势为零。 •但是对于“无限大”或“无限长”的带电体， 只能在有限的范围内选取某点为电势的零点。
3、电势差
在静电场中，任意两点A和点B之间的电势之差， 称为电势差，也叫电压。
步骤：
(1)先算场强 (2)选择合适的路径L
(3) 积分(计算)
•2、利用点电荷的电势公式和电势的叠加原理
dq dV
4 0r
dq
V 4 0r
要求电荷的分布区域是已知的；
当电荷分布在有限的区域内，可以选择无穷
远点作为电势的零点的；而当激发电场的电荷分
布延伸到无穷远时，只能根据具体问题的性质，
在场中选择某点为电势的零点。
E
1
4 0
Q r2
er
B
Q
rB
r
rA
dr C r
A
dl
er
E
dW
1
4 0
Qq0 r2
er
dl
1
4 0
Qq0 r2
dr
rB
W
Qq0
dr Qq0 ( 1 1 )
rA 40r 2
40 rA rB
在点电荷的静电场中，电场力对试验电荷所作
的功与其移动时起始位置与终了位置有关，与
其所经历的路径无关。
V
p 3xy
Ey
y
4 0
x2 y2 5/2
-q
+q
电偶极子的延长线上 y 0
2p 1
E x 4 0 x 3
•在实际工作中，通常选择地面的电势为零。 •但是对于“无限大”或“无限长”的带电体， 只能在有限的范围内选取某点为电势的零点。
3、电势差
在静电场中，任意两点A和点B之间的电势之差， 称为电势差，也叫电压。
步骤：
(1)先算场强 (2)选择合适的路径L
(3) 积分(计算)
•2、利用点电荷的电势公式和电势的叠加原理
dq dV
4 0r
dq
V 4 0r
要求电荷的分布区域是已知的；
当电荷分布在有限的区域内，可以选择无穷
远点作为电势的零点的；而当激发电场的电荷分
布延伸到无穷远时，只能根据具体问题的性质，
在场中选择某点为电势的零点。
E
1
4 0
Q r2
er
B
Q
rB
r
rA
dr C r
A
dl
er
E
dW
1
4 0
Qq0 r2
er
dl
1
4 0
Qq0 r2
dr
rB
W
Qq0
dr Qq0 ( 1 1 )
rA 40r 2
40 rA rB
在点电荷的静电场中，电场力对试验电荷所作
的功与其移动时起始位置与终了位置有关，与
其所经历的路径无关。
V
p 3xy
Ey
y
4 0
x2 y2 5/2
-q
+q
电偶极子的延长线上 y 0
2p 1
E x 4 0 x 3
5-4静电场的环路定理
q 4πε0R2
E
∝r
R
−2
场强分布曲线
O
r
−1
U
电势分布曲线
q 4πε0R
∝r
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O
R
r
三、由电势叠加原理求电势 例3 电荷以相同的面密度 分布在半径为 r =10cm 和 1 r2 = 20cm的两个同心球面上。设无限远处电势为零，球心 的两个同心球面上。设无限远处电势为零， 处的电势为 U0 = 300V 。 （1）求电荷面密度 ） ； （2）求两球间的电势差。 ）求两球间的电势差。
等势面与电场线的关系
r r dA = q0 E ⋅ dl = q0 E ⋅ dl ⋅ cosθ = 0
正负点电荷周围电势分布特点。 正负点电荷周围电势分布特点。
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点电荷系的电势 电势叠加原理：点电荷系的电场中， 电势叠加原理：点电荷系的电场中，某点的电势 等于每个电荷单独在该点激发的电势的代数和。 等于每个电荷单独在该点激发的电势的代数和。
1 qi U =∑ πε0 ri i 4
dl
dU =
dq 4πε 0 r
1
+ + R+ o + + + + + +
r x p x
qdl = 4πε 0 2πRr
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=
qdl 8π 2ε 0 R R 2 + x 2
整个圆环在p 点的电势为U = ∫ dU Nhomakorabea=∫
2πR 2
qd qdl 8π ε 0 R R + x
2 2
0
=
q 4πε 0 R + x
E
∝r
R
−2
场强分布曲线
O
r
−1
U
电势分布曲线
q 4πε0R
∝r
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O
R
r
三、由电势叠加原理求电势 例3 电荷以相同的面密度 分布在半径为 r =10cm 和 1 r2 = 20cm的两个同心球面上。设无限远处电势为零，球心 的两个同心球面上。设无限远处电势为零， 处的电势为 U0 = 300V 。 （1）求电荷面密度 ） ； （2）求两球间的电势差。 ）求两球间的电势差。
等势面与电场线的关系
r r dA = q0 E ⋅ dl = q0 E ⋅ dl ⋅ cosθ = 0
正负点电荷周围电势分布特点。 正负点电荷周围电势分布特点。
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点电荷系的电势 电势叠加原理：点电荷系的电场中， 电势叠加原理：点电荷系的电场中，某点的电势 等于每个电荷单独在该点激发的电势的代数和。 等于每个电荷单独在该点激发的电势的代数和。
1 qi U =∑ πε0 ri i 4
dl
dU =
dq 4πε 0 r
1
+ + R+ o + + + + + +
r x p x
qdl = 4πε 0 2πRr
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=
qdl 8π 2ε 0 R R 2 + x 2
整个圆环在p 点的电势为U = ∫ dU Nhomakorabea=∫
2πR 2
qd qdl 8π ε 0 R R + x
2 2
0
=
q 4πε 0 R + x
02静电场的环路定理
A
1 1 dr ( ) 2 4 0 RA RB 4 0 r RA
RB
q
q
2.如图已知+q 、-q、R ①求单位正电荷沿odc 移至c ，电场力所作的功
Aoc U o U c
d
0
0
q q a ( ) 4 0 3 R 4 0 R q
q
b
c
R
i
q0
b
a
b E1 dl ＋q0 E2 dl ＋
a
q i i 40
1 1 r r bi ai
静电场力做功与路径无关，静电力是保守力
二、静电场的环流定理
—静电力做功与路径无关的数学表述 在静电场中，场强沿任意闭合路径的线 积分等于零。
q0 E dr
Aa b
b
a
qq0 dA 40
dr ra r 2
rb
qq 0 1 1 4 0 ra rb
推广： 任意带电体产生的电场： b Aa b q0 E dl
a
q0
b
a
( E i ) dl
例：求半径为R、带电量为Q的球面在球心O 处产生的电势。
dq Q dq 思路(1): dU U 40 R 40 R 40 R
好
(2):
U
E dl 0
E dl R
R E dl R E dl 0
求：E
例：用电势梯度法计算带电圆环轴线上 一点的场强。 r
o x p X
解：U p
4 r
0
1 1 dr ( ) 2 4 0 RA RB 4 0 r RA
RB
q
q
2.如图已知+q 、-q、R ①求单位正电荷沿odc 移至c ，电场力所作的功
Aoc U o U c
d
0
0
q q a ( ) 4 0 3 R 4 0 R q
q
b
c
R
i
q0
b
a
b E1 dl ＋q0 E2 dl ＋
a
q i i 40
1 1 r r bi ai
静电场力做功与路径无关，静电力是保守力
二、静电场的环流定理
—静电力做功与路径无关的数学表述 在静电场中，场强沿任意闭合路径的线 积分等于零。
q0 E dr
Aa b
b
a
qq0 dA 40
dr ra r 2
rb
qq 0 1 1 4 0 ra rb
推广： 任意带电体产生的电场： b Aa b q0 E dl
a
q0
b
a
( E i ) dl
例：求半径为R、带电量为Q的球面在球心O 处产生的电势。
dq Q dq 思路(1): dU U 40 R 40 R 40 R
好
(2):
U
E dl 0
E dl R
R E dl R E dl 0
求：E
例：用电势梯度法计算带电圆环轴线上 一点的场强。 r
o x p X
解：U p
4 r
0
63静电场环路定理电势
E2
q1
4 0 r 2
R1 r R2
E3
q1 +q2
40r 2
r R2
q1 II
I R1
R2 •
III
rE
P•
III区：U3
E dl
P
q2 q1 II III
E3 dr E3dr
r
r
I R1
R2 •
r
q1 q2
4 0 r 2
dr
q1 q2
40r
rr
P• P•
R2
II区： U3
R r
Q
4 0 R3
rdr
Q
R 4 0r 2 dr
Q
8 0 R
Qr 2
8 0 R3
Q
4 0 R
Q (3R 2 r 2 )
8 0 R3
o rp R
rp
路径的线积分为零（电场强度的环流为
零）
3. 电势能 比 重力做功 保守力 重力势能
较 静电场力做功 保守力 电势能
静电场力对电荷所做功等于电荷电势能 增量的负值
B
WAB A q0E • dl EpB EpA
令 B点为电势能零点，则可得任一点 A
的电势能
0
E p A
q0
E • dl
E dl
P
E dr
E2dr
E3dr
r
r
R2
R2 r
q1
4 0 r 2
dr
R2
q1 q2
4 0 r 2
dr
1
4 0
( q1 r
q2 R2
)
I区：
U3
E dl
10.4静电场环路定理
V V V ( i j k) x y z
V Ez z
E
10-4 静电场的环路定理 V V V E ( i j k) x y z V的梯度: gradV 或
E gradV V
E 的方向与V的梯度反向.
10-4 静电场的环路定理
一
电场的环量
E dl E cos dl
l l
环量：场强沿闭合路径的线积分称为电场的环量
dl
l
F dl qLeabharlann E cos dll l
E
环量的意义：将单位正电荷沿闭合路径 移动一周电场力做的功。
10-4 静电场的环路定理
RB
q A qB qA 1 1 ( ) 4 0 R B 40 r RB
qA qB 40 r 40 RB
（3）r RA
U
RA r
10-4 静电场的环路定理
RB E dr E dr E dr RA RB 0
V
另一方面，由于场强沿法线方向 dV dV E V n E En n n dn dn 电势梯度是一个矢量，它的大小为电势沿等势面法线 方向的变化率（该方向电势的变化率最大），它的方 向沿等势面法线方向且指向电势增大的方向。
10-4 静电场的环路定理
静电场力的功 b Aab q E dl qUab q(U a U b )
a
原子物理中能量单位: 电子伏特eV
1 eV 1.6021019 J
10-4 静电场的环路定理
点电荷电场的电势
E q e 2 r 4 πε0 r
V Ez z
E
10-4 静电场的环路定理 V V V E ( i j k) x y z V的梯度: gradV 或
E gradV V
E 的方向与V的梯度反向.
10-4 静电场的环路定理
一
电场的环量
E dl E cos dl
l l
环量：场强沿闭合路径的线积分称为电场的环量
dl
l
F dl qLeabharlann E cos dll l
E
环量的意义：将单位正电荷沿闭合路径 移动一周电场力做的功。
10-4 静电场的环路定理
RB
q A qB qA 1 1 ( ) 4 0 R B 40 r RB
qA qB 40 r 40 RB
（3）r RA
U
RA r
10-4 静电场的环路定理
RB E dr E dr E dr RA RB 0
V
另一方面，由于场强沿法线方向 dV dV E V n E En n n dn dn 电势梯度是一个矢量，它的大小为电势沿等势面法线 方向的变化率（该方向电势的变化率最大），它的方 向沿等势面法线方向且指向电势增大的方向。
10-4 静电场的环路定理
静电场力的功 b Aab q E dl qUab q(U a U b )
a
原子物理中能量单位: 电子伏特eV
1 eV 1.6021019 J
10-4 静电场的环路定理
点电荷电场的电势
E q e 2 r 4 πε0 r
大学物理第7章 电场题库答案(含计算题答案)
9题图第七章 电场 填空题 （简单）1、两无限大平行平面的电荷面密度分别为σ+和σ+，则两无限大带电平面外的电场强度大小为σε ，方向为 垂直于两带电平面并背离它们 。
2、在静电场中，电场强度E 沿任意闭合路径的线积分为 0 ，这叫做静电场的 环路定理 。
3、静电场的环路定理的数学表达式为 0lE dl =⎰ ，该式可表述为 在静电场中，电场强度的环流恒等于零 。
4、只要有运动电荷，其周围就有 磁场 产生；5、一平行板电容器，若增大两极板的带电量，则其电容值会 不变 ；若在两极板间充入均 匀电介质，会使其两极板间的电势差 减少 。
（填“增大”，“减小”或“不变”）6、在静电场中，若将电量为q=2×108库仑的点电荷从电势V A =10伏的A 点移到电势V B = -2伏特的B 点，电场力对电荷所作的功A ab = 92.410⨯ 焦耳。
(一般)7、当导体处于静电平衡时，导体内部任一点的场强 为零 。
8、电荷在磁场中 不一定 （填一定或不一定）受磁场力的作用。
9、如图所示，在电场强度为E 的均匀磁场中，有一半径为R 的半球面，E 与半球面轴线的夹角为α。
则通过该半球面的电通量为 2cos B R πα-⋅ 。
10、真空中两带等量同号电荷的无限大平行平面的电荷面密度分别为σ+和σ+，则两无限大带电平面之间的电场强度大小为 0 ，两无限大带电平面外的电场强度大小为σε 。
11、在静电场中，电场力所做的功与 路径 无关，只与 起点 和 终点位置 有关。
12、由高斯定理可以证明，处于静电平衡态的导体其内部各处无 净电荷 ，电荷只能分布于 导体 外表面 。
因此，如果把任一物体放入空心导体的空腔内，该物体就不受任何外 电场的影响，这就是 静电屏蔽 的原理。
(一般)13、静电场的高斯定理表明静电场是 有源 场， (一般)14、带均匀正电荷的无限长直导线，电荷线密度为λ。
它在空间任意一点（距离直导线的垂直距离为x 处）的电场强度大小为02xλπε ，方向为 垂直于带电直导线并背离它 。
高等物理静电场环路定理
dq
r
Vp
1
4 0 r
q
dq
1q
4 0 r
Ro
x
q
z
4 0 R2 x2
•x
p
2 ) 定义法:
Vp
p0 E d l
p
qx
E dl
p
x 4 0 ( R2 x 2 )3/ 2 d x
q
4 0
(R2
1 x 2 )1/ 2
x
4 0
q R2 x2
特例:
q
★若x = 0，
由Vp 40
Vp
Edl
P
p
(
E1
E2
En
)
d
l
V1 V2 Vn
VP
i
V pi
n 1 qi
i 1 4 0 ri
说明
代数和 ！
3、连续分布的带电体的电势：
1 dq dV
4 0 r
V
1
4 0
dq r
三种典型的电荷分布情况 ：
1
dV
V 4 0 r
1 dS
V 4 0 r
4、电势的计算方法：
WAB q0
E dl
AB
E pA E pB
( E pB E pA )
试探电荷q o 在电场中某一点的静电势能在数值上等于 把试探电荷q o 由该点移到零势能点静电力所作的功。
若选 B 点为电势能零点，则
B
EPA q0
A E d l q0
Ed l
AB
说明
1）静电势能是属于系统的; 2）静电势能的大小是相对的;
电势能是相对的，若选 P0 点电势能为零, 则有
大学物理习题参考解答上静电场环路定理_电势能_电势和电势差
02. 如图所示， CDEF 是一矩形，边长分别为 l 和 2l 。在 DC 延长线上 CA l 处的 A 点有点电荷 q ，在 CF 的中点 B 点有点电荷 q ，若使单位正电荷从 C 点沿 CDEF 路径运动到 F 点，则电场
力所作的功等于：
【D】
(A)
q 4ol
5 1； 5l
(B)
q 4ol
三 判断题
09. 静电场中某点电势值的正负取决于电势零点的选取。
【对】
10. 在已知静电场分布的条件下，任意两点 P1 和 P2 之间的电势差决定于 P1 和 P2 两点的位置。【 对 】
11. 正电荷在电势高的地方，电势能也一定高。 12. 电场强度的方向总是指向电势降落最快的方向。
【对】 【对】
1 4 0
4 r12 r1
1 4 0
4 r22 r2
0
——
r1 ' r2 0
XCH
第3页
20XX-3-24
大学物理教程_上_习题集参考解答
r1 r2
—— 外球面带负电
外球面应放掉电荷： Q Q Q Q 4 r22 4 r22
Q
(1
r1 r2
)
4
r22
将 r1 10 cm and r2 20 cm ， 8.85 109C / m2 代入上式得到：
13. 静电场的保守性体现在电场强度的环流等于零。
【对】
四 计算题
14. 如图所示， AB 2L ， OCD 是以 B 为中心 L 为半径的半圆， A 和 B 两处分别有正负电荷 q 和 q ，试问：
1) 把单位正电荷从 O 沿 OCD 移动到 D ，电场力对它作了多少功？
XCH
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W 2 (xy 2z) (0.8,0.6,1) 0.96 J (1,0,1)
4. 关于静电场环路定理的微分形式，下述描述正确的是( )
A. E 0
B. E 0
C. E 0
D. E
0
解析：本题考查静电场基本方程 E 0 ，基本知识点 习题难度：易 静电场是无旋场， E 0
2
5. 已知有向闭合曲线 L ，以 L 为边界的有向曲面为S ，L 的环绕方向与S 的法向方向
ey
ez
0
4z x
er re r sin e
A3
r2
1 sin
r
0
r0
0
e
A4 1
0
e ez
3 z
0 ，所以 A1和 A3可能是静电场的电场强度
30
1
2. 关于静电场，下列描述错误的是( ) A. 静电场是无旋场 B. 静电场是保守力场 C. 静电场的电力线可能闭合 D. 静电场中电场力做功与路径无关 解析：本题考查静电场的基本方程 E 0 ，基本知识点
7. 在直角坐标系中，已知电场强度 E 6x2 ex 6 y ey 4 eVz /m ，点 M 位于(2, 6, 1) ， 若点Q(4, 2, 35) 为参考点，则 M ( )
A. 90V
B. 90V
C. 120V
D. 120V
解析：本题知识点：电位物理意义，电位参考点，电场力做功与路径无关
习题难度：中
习题难度：易 静电场是无旋场，电力线不可能闭合。总是由正电荷出发，并终止于负电荷。
3.
有一非均匀电场 E y ex x
ey 2
，若从 ez
M
(1,0,1)
到
N
(0.8,
0.6,1)
沿着一小段圆弧
x2 y2 1， z 1移动 2C 电荷时，电场力所做的功为( )
A. 1.92J
B. 0.96J
Q
E dl M
Q M
(6x2 ex
6
yey
4ez )
(dxex dyey dz ez)
Q (6x2dx 6 ydy 4dz) (2x 3 3y 2 4z) C M
Q 为电位参考点，选择不同点为电位参考点，对应C 值各不相同。
若点Q(4, 2, 35) 为参考点，则 Q 0 ，计算可得C 0
2.4 静电场的环路定理习题解答
1. 已知矢量函数， A 1 xex 4 yey zez
， A ye 4ze xe ， A re (球坐标系)，
2
x
y
z
3
r
A4 e2 (圆柱坐标系)，则下列描述正确的是(
)
A. A2 和 A4 可能是静电场的电场强度 B. A1和 A3可能是静电场的电场强度 C. A1、 A3和 A4 可能是静电场的电场强度 D. A1和 A4 可能是静电场的电场强度
解析：本题考查静电场的基本方程 E 0 ，基本知识点 习题难度：中
是否可能是静电场的电场强度，只要看矢量的旋度是否为零就行。 本题的难度在于计算 A3和 A4 的旋度时，要分别使用球坐标和柱坐标系中旋度 的计算公式。
ex
A1
x
x
ey ez
y
z
0
4y z
ex
A2
x
y
ey ezyz源自4exC. 0.48J
D. 0.48J
解析：本题知识点：电场力做功与路径无关，即电场力做功只与两端点有关，而与
移动时的具体路径无关。
习题难度：中
W
q
N
E dl
M
2
N
M ( yex xey 2ez ) (dxex
dyey dz ez)
N
N
W 2M ( ydx xdy 2dz) 2M d(xy) 2dz
D. 139V
解析：本题知识点：电位的物理意义，电位差，电场力做功与路径无关
习题难度：难
MN
N
E dl
M
N M
(6x
2ex
6
yey
4ez
)
(dxex
dyey dz ez)
MN
N (6x 2dx 6 ydy 4dz) (2x3
M
3y2 4z) (3,3,2) 139V (2,6,1)
根据斯托克斯定理可知： L E dL S ( E) dS 0 ，所以 D 错误
6. 在直角坐标系中，已知电场强度 E 6x2 ex 6 y ey 4 eVz /m ，点 M 位于(2, 6, 1) 、 点 N 位于(3, 3, 2) ，则 MN ( )
A. 101V
B. 139V
C. 101V
M
(2x 3
3y 2
4z)
120V
(2,6,1)
3
满足右手螺旋法则，那么关于静电场环路定理，下述描述错误的是( )
A. E 0
B. L E dL 0
C. S ( E) dS 0
D. S ( E)dS 0
解析：本题考查静电场环路定理的表达式，基本知识点 习题难度：中
静电场环路定理的微分和积分形式分别为： E 0 ， L E dL 0