组合数学简介
组合数学的基本概念与应用
组合数学的基本概念与应用组合数学是一门研究离散对象的排列、组合和计数等问题的数学分支。
它在许多领域都有着广泛的应用，从计算机科学到物理学，从生物学到经济学，几乎无处不在。
组合数学的基本概念包括排列、组合、二项式定理、容斥原理等。
排列是指从给定的元素集合中，按照一定的顺序选取若干个元素进行排列。
例如，从 5 个不同的数字中选取 3 个进行排列，计算方法为5×4×3 ＝ 60 种。
组合则是从给定的元素集合中，不考虑顺序地选取若干个元素。
比如，从 5 个不同的数字中选取 3 个的组合数，计算方法为 5×4×3÷（3×2×1) ＝ 10 种。
二项式定理在组合数学中也占据重要地位。
对于任意的正整数 n，有\（（a ＋ b)＾n ＝＼sum_{k=0}＾n C(n, k) a^｛n k} b^k\），其中\（C(n, k)＼）表示从 n 个元素中选取 k 个元素的组合数。
容斥原理用于计算多个集合的并集的元素个数。
例如，有三个集合A、B、C，要计算它们并集的元素个数，需要先分别计算 A、B、C 的元素个数，然后减去两两交集的元素个数，再加上三个集合交集的元素个数。
组合数学在现实生活中的应用十分广泛。
在计算机科学中，组合数学的作用不可小觑。
在算法设计中，经常需要考虑各种可能性的数量和排列组合方式。
比如，在搜索算法中，需要计算搜索空间的大小，以评估算法的效率和复杂度。
在密码学中，组合数学的原理被用于生成和破解密码。
通过对密钥空间的组合分析，可以评估密码系统的安全性。
组合数学在生物学中也有应用。
在基因测序中，需要分析基因片段的排列组合，以确定基因的结构和功能。
在生物进化的研究中，组合数学可以帮助分析物种的遗传变异和多样性。
在经济学领域，组合数学被用于投资组合的优化。
投资者需要从众多的投资项目中选择一组，以在风险和收益之间达到最佳平衡。
这就涉及到对不同投资项目组合的可能性和收益风险的计算。
《组合数学第一讲》课件
概率的乘法公式
如果事件A和B是独立的，那么P(A∩B) = P(A) × P(B)。
贝叶斯公式
用于计算在已知其他相关概率的情况下，某一事件发生的概率。
概率的应用实例
赌博游戏
概率可以用于计算赌博游戏中各种结果的可能性 。
保险业
保险公司使用概率来计算各种风险的赔付概率和 保费。
天气预报
气象学家使用概率来预测天气的发生可能性，例 如降雨的概率。
在排列中，各个元素的位置是独立的，互不影响。
排列的传递性
如果a>b且b>c，则a>c。
排列的公式与定理
排列数的定义
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列的个数，记 为P(n,m)，计算公式为P(n,m)=n*(n-1)*(n-2)*...*(n-m+1)。
排列数的性质
P(n,m)=P(n,n-m)，P(n,m)=m!/[(n-m)!*m!]。
03
CATALOGUE
组合数学中的计数问题
计数原理
01 02
计数原理
在数学中，计数原理是一种基本原理，用于计算在特定条件下可能发生 的事件的数量。它通常用于组合数学中的计数问题，以确定不同排列和 组合的数量。
分类计数原理
分类计数原理是计数原理的一种，它涉及到将问题分解为几个独立的部 分，然后分别计算每个部分的可能性，最后将各部分的计数相加。
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目录
• 组合数学简介 • 组合数学的基本概念 • 组合数学中的计数问题 • 组合数学中的排列问题 • 组合数学中的组合问题 • 组合数学中的概率问题
01
CATALOGUE
组合数学知识点
组合数学知识点组合数学是数学中的一个分支，研究的是离散的结构和计算方法。
它在数学中具有广泛的应用，包括计算、统计、密码学、信息科学等领域。
本文将介绍一些组合数学的基本概念和知识点。
一、排列与组合排列与组合是组合数学中最基本的概念。
排列指的是从一组元素中选取若干个元素进行排列的方式，它考虑元素的顺序。
而组合则是从一组元素中选取若干个元素组成一个集合，它不考虑元素的顺序。
1.1 排列在排列中，如果从 n 个元素中选取 r 个元素进行排列，且要求选取的元素都不相同，则称为从 n 个元素中选取 r 个不同元素的排列，表示为 P(n, r)。
排列的计算公式为：P(n, r) = n! / (n-r)!其中，n! 表示 n 的阶乘，即 n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1。
1.2 组合在组合中，如果从 n 个元素中选取 r 个元素组成一个集合，且不考虑选取元素的顺序，则称为从 n 个元素中选取 r 个元素的组合，表示为 C(n, r)。
组合的计算公式为：C(n, r) = n! / (r! * (n-r)!)二、二项式系数二项式系数也是组合数学中的重要概念。
对于任意非负整数 n 和非负整数 r，二项式系数 C(n, r) 表示从 n 个元素中选取 r 个元素的组合数。
二项式系数具有以下性质：1. 对称性：C(n, r) = C(n, n-r)2. 递推关系：C(n, r) = C(n-1, r-1) + C(n-1, r)二项式系数是组合数学中的基本构建块，它在代数、概率、统计等领域中有重要的应用。
三、图论中的组合数学组合数学在图论中有广泛的应用。
以下是几个常见的图论中的组合数学知识点：3.1 树和森林在图论中，树是一个没有回路的连通图。
一个有 n 个顶点的树含有 n-1 条边。
而森林是由若干个不相交的树组成的图。
3.2 图的匹配图的匹配是指一个图中的边的集合，其中任意两条边都没有公共顶点。
组合数学--组合数学第一章
1.2排列与组合
定义：从n个不同元素中取r个不重复的元 素组成一个子集，而不考虑其元素的顺序， 称为从n个中取r个的无重组合。 组合的个数用C(n,r)表示。
1.2排列与组合
从n个中取r个的排列的典型例子是从n 个不同的球中,取出r个,放入r个不同的 盒子里,每盒1个。第1个盒子有n种选择， 第2个有n-1种选择，······，第r个有nr+1种选择。
例：长度为n的0，1符号串的数目为多少?
一一对应原理
• “一一对应”概念是一个在计数中极为 基本的概念。一一对应既是单射又是满 射。
• 如我们说A集合有n个元素 |A|=n，无非 是建立了将A中元与[1,n]元一一对应的 关系。
• 在组合计数时往往借助于一一对应实现 模型转换。
• 比如要对A集合计数，但直接计数有困难， 于是可设法构造一易于计数的B，使得A 与B一一对应。
1.2排列与组合
例 有5本不同的日文书，7本不同 的英文书，10本不同的中文书。 1)取2本不同文字的书； 2)取2本相同文字的书； 3)任取两本书
1.2排列与组合
解 1) 5×7+5×10+7×10=155; 2) C(5,2)+C(7,2)+C(10,2) =10+21+45=76; 3) 155+76=231=( 5+27+10)
1.7 若干等式及其组合意义
1.7 若干等式及其组合意义
1.7 若干等式及其组合意义
• 证2 从n个元素中取偶数个数的组合数
（包含0）,等于取奇数个数的组合数。
• r为偶数的组合和r为级数的组合之间建 立一一对应即可。
• 举例说明
1.7 若干等式及其组合意义
组合数学的基本概念与方法
汇报人：XX
目录
01
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02
组合数学简介
03
组合数学的基本概念
04
组合数学的主要方法
05
组合数学中的问题与求解方法
06
组合数学与其他数学领域的联系
添加章节标题
PART 01
组合数学简介
PART 02
组合数学的定义
组合数学是研究离散对象组合性质和结构的数学分支
THANK YOU
汇报人：XX
特点：具有自相似性、层次性和规律性
定义：一个数学对象或系统通过自身子对象或子系统的递归方式进行描述或构造
组合数学的主要方法
PART 04
归纳法
定义：归纳法是从个别到一般的推理方法，通过对一些具体实例的分析，总结出一般规律。
应用：在组合数学中，归纳法常用于研究排列、组合、概率等问题，通过对具体问题的分析，归纳出一般性的结论。
注意事项：在应用反证法时，需要注意推理和演绎的严密性和准确性，避免出现逻辑错误。
构造法
定义：构造法是一种通过构造具体的实例或模型来解决问题的数学方法。
应用场景：在组合数学中，构造法常用于证明组合恒等式、求解组合问题等。
举例说明：例如，通过构造一个具体的组合模型来证明组合恒等式。
注意事项：使用构造法时需要注意构造的合理性和正确性，以及构造实例或模型的代表性和一般性。
数学归纳法
定义：数学归纳法是一种证明无限数学命题的推理方法，通过有限次验证和归纳推理来证明无限命题的正确性。
步骤：数学归纳法包括两个步骤：基础步骤和归纳步骤。基础步骤是验证命题在某个初始值成立，而归纳步骤则是假设在某个值成立，然后证明该假设对于下一个值也成立。
组合数学pdf
组合数学
组合数学是数学中的一个分支，研究如何选出一些元素组成某种集合的数学问题。
组合数学是运用较为广泛的数学分支之一，它涉及面不仅局限于数学领域，还涉及计算机科学，物理学，统计学，生物学等领域。
在日常生活中，组合数学也有很多应用，例如密码学、图论、排列组合等方面。
组合数学主要涉及组合、排列、集合这些数学概念，下面将对这些概念逐一进行介绍。
组合数：组合数是指从n个不同元素中取r个元素（r≤n）不重不漏的所有情况的个数。
组合数可以简单地表示成C(n,r)，其计算公式为：C(n,r)=n!/(r!(n-r)!)。
排列数：排列数是指从n个不同元素中取出r个元素进行排列，不放回地选取，可以表示为A(n,r)，排列数的计算公式为
A(n,r)=n!/(n-r)!。
排列数也可以分为有放回排列和无放回排列。
集合：集合是由若干个元素组成的一个整体，集合内的元素没有重复且无序。
例如，{1,2,3}和{3,2,1}都代表同一个集合。
在实际应用中，组合数学的应用十分广泛。
例如在密码学中，组合数学可以用来生成密码，用来保护数据的安全性。
在图论中，组合数学可以用来研究图的结构，处理图的中间点，连通性等问题。
在排列组合中，组合问题是许多具有不同性质的排列问题的基础。
生物学中，组合数学也可以通过研究遗传物质的组合和排列等问题，来推断人类或动物的遗传基因情况。
总之，组合数学是一门综合性极强的数学学科，在实际中的应用和研究都有非常重要的地位。
组合数学基础知识
组合数学基础知识组合数学是一门研究离散对象的计数、排列、组合和优化等问题的数学分支。
它在计算机科学、密码学、统计学、物理学等众多领域都有着广泛的应用。
接下来，让我们一起走进组合数学的世界，了解一些它的基础知识。
首先，我们来谈谈排列与组合。
排列是指从给定的元素集合中按照一定的顺序选取若干个元素进行排列。
比如说，从 5 个不同的数字中选取 3 个进行排列，那么排列的方式就有 5×4×3 ＝ 60 种。
而组合则是指从给定的元素集合中选取若干个元素，不考虑它们的顺序。
还是刚才的例子，从 5 个不同的数字中选取 3 个的组合方式，就有 5×4×3÷（3×2×1) ＝ 10 种。
我们再来看一下加法原理和乘法原理。
加法原理说的是，如果完成一件事情有 n 类办法，在第一类办法中有 m1 种不同的方法，在第二类办法中有 m2 种不同的方法，……，在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事情共有 m1 ＋ m2 ＋… ＋ mn 种不同的方法。
比如，要从 A 地到 C 地，可以先从 A 地到 B 地有 3 条路，再从 B 地到 C 地有 4 条路，那么从 A 地到 C 地就一共有 3 ＋ 4 ＝ 7 条路。
乘法原理则是，如果完成一件事情需要 n 个步骤，做第一步有 m1 种不同的方法，做第二步有 m2 种不同的方法，……，做第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事情共有m1×m2×…×mn 种不同的方法。
比如，一个密码由三位数字组成，第一位可以是 0 到 9 中的任意一个数字，第二位和第三位也是如此，那么总共的密码组合就有 10×10×10 ＝ 1000 种。
在组合数学中，还有一个重要的概念是容斥原理。
容斥原理用于计算多个集合的并集中元素的个数。
假设我们有三个集合 A、B、C，那么它们的并集中元素的个数可以通过以下公式计算：｜A∪B∪C| ＝｜A| ＋｜B| ＋｜C| ｜A∩B| ｜A∩C| ｜B∩C| ＋｜A∩B∩C|。
组合数学简介
映射的个数
n元集上的幂等映射的个数 n元集上的部分映射的个数
n
C
k n
k
n
k
k 1
n
Cnk nk (1 n)n
k 0
例题
• 问题一：对三角形的三个顶点u,v,w染以红、蓝两 种颜色，求不同的染色方案数。
• 问题二：求集合{u,v,w}到集合{r,b}的映射的数目。
例题
• 问题1：求n元集合上有多少个不同的自反关系？
组合数学 Combinatorics
教材
课程安排
• 组合数学简介 • 排列组合公式 • 母函数 • 递推关系 • 容斥原理 • 抽屉原理 • Polya计数
组合数学简介
• 组合数学也称为组合分析或组合学，按研究的对象 归于离散数学家族。
• 早在中国古代的洛书、河图中就有组合数学的思想。 • 组合数学的历史渊源扎根于数学娱乐和游戏中。 • 现代组合数学在纯粹和应用科学上都有重要的价值。 • 组合数学与抽象代数、拓扑学、数学基础、图论、
• 主要内容：把有限集合的元素按一定的规则进行安排。 • 这种安排被考究地称为组态（Configuration）。
解决的问题
• 组态的存在性 • 组态的枚举、分类和计数 • 组态的构造 • 组态的优化
幻方
• 幻方是最古老最流行的一个数学游戏之一。 • 在中世纪时期曾存在与幻方相关的玄想，人们将
幻方佩戴身上辟邪。 • 本杰明·富兰克林就是一个幻方迷，他的论文中包
有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，…，在ห้องสมุดไป่ตู้n类 办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…+mn种不 同方法。
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幻方体
• n阶幻方体(magic cube)是以下述方式由整数1,2, …,n3构
造一个n×n×n立方阵列，其在下述每一条直线上的n个元 素的和s都是相同的： • (i) 平行于立方体一条边的直线； • (ii) 每个截面上的两条对角线； • (iii) 四条空间对角线。 • 数s叫做幻方体的幻和。 • 不存在2阶幻方体 • 也不存在3阶幻方体 • 证明不存在4阶幻方体要困难的多。 • 一个8阶的幻方体在Cardner的一篇论文中给出。
Nim取子游戏
• Nim取子游戏是由两个人面对若干堆硬币（或石子）进行 的游戏。设有k≥1堆硬币，各堆分别含有n1，n2，…，nk 枚硬币。游戏的目的是选择最后剩下的硬币。游戏规则如 下：
• 1. 两个游戏人交替进行游戏（游戏人I：第一个取子者； 游戏人II：第二个取子者）；
• 2. 当轮到每个游戏人取子时，选择这些堆中的一堆，并 从所选的堆中取走至少一枚硬币（游戏人可以取走他所选 堆中的全部硬币）；
有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类 办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…+mn种不 同方法。
• 乘法原理做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种
不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同 的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法。
含很多有趣的例子。 • 问题：用n2个整数1,2,…,n2构造一个n×n矩阵，
使每行、每列、对角线元素之和均相等。 • 这个相等的和叫做幻和。
幻方的问题
• 对任意的正整数n，n阶幻方存在吗？ • 对于某个正整数n，如果n阶幻方存在，有多少不同的形式？ • 构造存在的n阶幻方。
幻方
• 一阶幻方 • 二阶幻方不存在 • 三阶幻方 • 四阶幻方有880个 • 结论：对任意n≥1，n≠2，均可构造一个n阶幻方。但构造
• 主要内容：把有限集合的元素按一定的规则进行安排。 • 这种安排被考究地称为组态（Configuration）。
解决的问题
• 组态的存在性 • 组态的枚举、分类和计数 • 组态的构造 • 组态的优化
幻方
• 幻方是最古老最流行的一个数学游戏之一。 • 在中世纪时期曾存在与幻方相关的玄想，人们将
幻方佩戴身上辟邪。 • 本杰明·富兰克林就是一个幻方迷，他的论文中包
a
ASn aA
例题
• 设A,B为有限集，A = m, B = n。 • 从A到B的映射有多少个？ • 若m=n，则从A到B的双射有多少个？ • 若m≤n，则从A到B的单射有多少个？ • 若m≥n，则从A到B的满射有多少个？ • 集合B上的幂等映射有多少个？ • 集合B上的部分映射有多少个？ • 空映射
• 减法原理 • 除法原理
例题
• 137名运动员打乒乓球，单淘汰赛，问决出 冠军需要打多少场比赛？
• 方法一： • 方法二：
例题
• n元集合的子集有多少个？ • 加法原理 • 乘法原理 • 所有n长的0,1序列有多少个？
例题
• 求n元集合的含某固定元的子集的个数？ • 设Sn={1,2,…,n}，求
映射的个数
n元集上的幂等映射的个数 n元集上的部分映射的个数
n
C
k n
k
n
ห้องสมุดไป่ตู้
k
k 1
n
Cnk nk (1 n)n
k 0
例题
• 问题一：对三角形的三个顶点u,v,w染以红、蓝两 种颜色，求不同的染色方案数。
• 问题二：求集合{u,v,w}到集合{r,b}的映射的数目。
例题
• 问题1：求n元集合上有多少个不同的自反关系？
博弈论、线性规划以及许多其它领域都有联系。驳 杂 • 组合数学与计算机的相互促进关系。算法 速度
洛书、河图
• 洛书、河图是以不同形状、个数的黑白点排列的图案，并 有许多神秘的解释。
研究内容
• 组合数学与很多数学分支相交叉，因此很难对它下一个正 式的定义。
• 大体上说，组合数学是研究离散结构的存在、计数、分析 和优化等问题的一门学科。
组合数学 Combinatorics
教材
课程安排
• 组合数学简介 • 排列组合公式 • 母函数 • 递推关系 • 容斥原理 • 抽屉原理 • Polya计数
组合数学简介
• 组合数学也称为组合分析或组合学，按研究的对象 归于离散数学家族。
• 早在中国古代的洛书、河图中就有组合数学的思想。 • 组合数学的历史渊源扎根于数学娱乐和游戏中。 • 现代组合数学在纯粹和应用科学上都有重要的价值。 • 组合数学与抽象代数、拓扑学、数学基础、图论、
• 3.当所有的堆都变成空堆时，最后取子的游戏人即为胜者。
• 对应的组合问题是，确定游戏人I获胜还是游戏人II获胜， 以及游戏人应该如何取子才能保证获胜（获胜策略）。
Nim取子游戏
• 一堆硬币的情况 • 两堆硬币的情况
两堆硬币数相同 平衡 两堆硬币数不同 不平衡 • 结论： 平衡游戏，II按照I取子数量在另一堆中取子即可获胜； 不平衡游戏，I从大堆中取走硬币使两堆数量相等，后I每 次取子数量与II相同，I即可获胜。 • 用二进制表示 • k堆情形：平衡与不平衡 • 结论：游戏人II能够在平衡游戏中获胜，游戏人I能够在非 平衡取子游戏中获胜。
集合论
• 集合中元素个数的定义（集合的势） • 一一对应的思想 • 有限集 • 无限集 • 可数集(可列集)
常见数集的势
• 正偶数集与正整数集 • 两个可数集的并仍为可数集 • 可数个可数集的并仍为可数集 • 自然数集与有理数集 • 实数确实比自然数多
四个基本的计数原理
• 加法原理 做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中
• 问题2：求n元集合上有多少个不同的对称关系？
棋盘的覆盖问题
• 用1×2格的骨牌覆盖8×8棋盘。 • (1) 能否在棋盘上放置32个骨牌使之完全覆盖该棋盘？ • (2) 若存在，则有多少种不同的完全覆盖？ • (3) 去掉了两个对角处格子的残缺棋盘，问能否用31枚骨
牌恰将其覆盖？
棋盘的覆盖问题
问题：证明用 形可以完全覆盖剪去任一小方格后得 到的(2n×2n-1)形棋盘。