格与布尔代数格与布尔代数万字
离散数学第6章 格与布尔代数
6-1 格的概念
5）下面证明 a∧b=aa∨b=b 若a∧b=a 则 a∨b=(a∧b)∨b=b 反之，若a∨b=b 则 a∧b=a∧(a∨b)=a
b用a∨b代替(∵两式中b是相互独立的) ∴a∨(a∧(a∨b))=a 即 a∨a=a. (2)格的等价定理：〈A，∨，∧〉代数系统，∨.∧满足交换性， 结合性，吸收性，则A上存在偏序关系≤，使〈A，≤〉是一个格
从格可引出代数系统〈A，∨，∧〉； 而从满足三个条件的〈A，∨，∧〉也可导出格〈A，≤〉 证明见书：（格中⑻⑼⑾三个性质很重要，决定了格）
(11) 要证 a≤a∨(a∧b) 第一式显然成立
a∨(a∧b)≤a
a≤a
a∧b≤a
∴a∨(a∧b) ≤a
∴a=a∨(a∧b)
6-1 格的概念
6、格的等价原理：格〈A，≤〉 (1)引理6-1.1：〈A，∨，∧〉代数系统，若∨, ∧满足吸收性，
则∨, ∧满足幂等性 证：a,b∈A. a∨(a∧b)=a a∧(a∨b)=a.
第六章 格与布尔代数
格论是近代数学的一个重要分支，由它所引出的布尔 代数在计算机科学中有很多直接应用。
格的概念 分配格 有补格 布尔代数 布尔表达式
6-1 格的概念
1、回忆偏序集〈A，≤〉，≤偏序关系：满足自反性，反对称性， 传递性。有限集合上的偏序集可用哈斯图来表示：
COV (A) {a,c, b,c, c, d, d,e, d, f }
∧也易求得 ∴ A，∨，∧〉是格〈A，|〉 诱导的代数系统
6-1 格的概念
第十三章 格与布尔代数
二．格的性质 定义13.2 设f是含有格中元素以及符号=, , ,∨和 ∧的命题。令f*是将f中的 替换成 , 替换 成 ,∨替换成∧,∧替换成∨所得到的命题。称f*为f的 对偶命题。 例如,在格中令f是(a∨b)∧c c, 则f*是 (a∧b)∨c c. 格的对偶原理 设f是含有格中元素以及符号=, , ,∨和∧等的命题。 若f对一切格为真,则f的对偶命题f*也对一切格为真。 例如,对一切格L都有 a,b∈L,a∧b a 那么对一切格L都有 a,b∈L,a∨b a
例13.6
(1)设L1={2n|n∈Z+}， L2={2n＋1|n∈N}
则L1和L2关于通常数的小于或等于关系构成格。
令 f: L1→L2,f(x)=x-1 验证f是L1到L2的同态映射
证明： 对任意的x,y∈L1有x∨y＝max(x,y) f(x∨y)=f(max(x,y))=max(x,y)-1
所以f是L1到L2的同态映射
(2) 如图13.4中的格 L1,L2和L3，若定义
L1 f1: L1→L2 f2: L1→L3 L2 L3
f1(a)=f1(b)=f1(c)=a1, f1(d)=d1 f2(a)=a2,f2(b)=b2,f2(c)=c2,f2(d)=d2
问f1和f2是否格同态？
解：f1和f2都不是格同态，
解：S1不是L的子格 对于e和f,有e∧f=c,但c
S2是L的子格
S1.
图13.3
二．格同态的定义及其性质
1．格同态的定义
定义13.5 设L1和L2是格,f: L1→L2,若 a,b∈L1有
f(a∧b)=f(a)∧f(b), f(a∨b)=f(a)∨f(b)
成立，则称f为格L1到L2的同态映射,简称格同态。
格与布尔代数
三. 格的性质
5. ∨和∧都满足结合律。即 (a∨b)∨c =a∨(b∨c) ， (a∧b)∧c =a∧(b∧c) 。 证明：⑴先证明(a∨b)∨c ≤a∨(b∨c) ∵ a≤ a∨(b∨c) b≤b∨c ≤ a∨(b∨c) (性质1) 即a∨(b∨c) 为{a，b}的上界。 ∴ (a∨b) ≤a∨(b∨c) 又 ∵ c≤b∨c ≤ a∨(b∨c) (性质1) 即a∨(b∨c) 为{a∨b ，c}的上界 ∴ (a∨b)∨c ≤a∨(b∨c) ⑵同理可证 a∨(b∨c)≤(a∨b)∨c 最后由反对称得 (a∨b)∨c =a∨(b∨c) 类似可证 (a∧b)∧c =a∧(b∧c) 。
。 。 。 。
a b
1
a
c
d e
2 4
3 5
b d
c e
6
这三个偏序集，也都不是格，第一个与第三个是同构 的。因为 d和e无下界，也无下确界；b,c虽有下界， 但无下确界。 2,3无下确界，4,5无上确界。 2. 平凡格：所有全序都是格，称之为平凡格。 因为全序中任何两个元素x,y，要么x≤y, 要么y≤x。 如果x≤y，则{x,y}的下确界为x，上确界为y。 如果y≤x，则{x,y}的下确界为y，上确界为 x 。 即这{x,y}的下确界为较小元素，上确界为较大元素.
*9. a≤b a∨b=b a∧b=a
证明：下面只证明a≤b a∨b=b 先证a≤b a∨b=b 设 a≤b，又b≤b ∴ a∨b≤ b 又∵ b≤a∨b 由反对称得 a∨b=b 再证 a∨b=b a≤b 已知 a∨b=b ∵ a≤ a∨b ∴ a≤b。 最后得 a≤b a∨b=b 这是个很重要的定理，我们在以后经常用到此论。
第5篇ch15格与布尔代数
设对任意的a,bA1, a1bf(a)2f(b)
设 a∧1b=c，则 c1a, c1b ，
于是 f(a∧1b)=f (c) ,f(c)2f(a) , f(c)2f(b)
故有 f(c)2f(a)∧2f(b)
令 则
ff((ac))∧22ff((db))=,ff((dd))2f(a) , f(d)2f(b)
所以 b∧c=b∧c∧b∧c (a∨b)∧(a∨c) (2)
再对(1)式和(2)式应用定理15-1.2得 a∨(b∧c) (a∨b)∧(a∨c)
第2式证明由对偶原理从上式直接可得。
定理15-1.6 设<A, >是一个格,那么，对于任意的a,bA,
都有： ab(a∧b)=a(a∨b)=b
ab(a∧b)证明思路：
故有 d1a ，d1b，于是 d1a∧1b ，即 d1c，
所以 f(d)2f(c)
因此 f(d)=f(c) 即 f(a∧1b)=f(a)∧2f(b)
类似地可证： f(a∨1b)=f(a)∨2 f(b) 格同构证毕。
15-2 分配格
定义15-2.1 设<A,∨,∧> 是由格<A, >是所诱导的
代数系统。如果对任意的a,b,c A，满足： a∧(b∨c)= (a∧b)∨(a∧c) a∨(b∧c)= (a∨b)∧(a∨c)
则称< A, > 是分配格 。
例1： 集合：S={a,b,c}
格： <(S), > 代数系统： <(S), ∪,∩> 结论：<(S), > 是一个分配格。
例2：不是分配格的例子。 例3：利用两个“特殊五元素非分配格”的结论。
定理15-2.1 如果在一个分配格中交运算对于并运算可分 配，则并运算对于交运算也一定是可分配的。反之亦然。
Chapt22 格与布尔代数
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整除格
例2：设Z+是所有自然数的集合。 | 是Z+ 上的整除关系。于是Z+, | 是一个格，称 为整除格。因为
首先， Z+, | 是一个偏序集； 其次，对任意的m, n∈Z+，有
sup{m, n} = [m, n](最小公倍数)； inf{m, n} = (m, n)(最大公约数)。
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代数格的例子
例5：设S是集合，于是ρ(S), ∩, ∪是一 个代数格。
例6：设Z+是自然数集合。定义运算×和 为： m×n = (m, n)(最大公约数)， mn = [m, n] (最小公倍数)。
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§22.1 格的定义
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格的定义
定义22.1.1：设 L, ≤ 是一个偏序集。如 果对任意a，b∈L，{a，b}在L中都有最 大下界和最小上界，则称 L, ≤ 是一个格。
常将{a，b}的最大下界记为inf{a, b}，最 小上界记为sup{a, b}。
用算符×和分别表示inf和sup，即
因为aa××b(a=ibn)f{=a,inbf}{，a, asupb{=a,sbu}p}{a，, b所}。以 a×这(a两种b)运≤a算，满即足in如f{a下, s的up性{a质, b：}} ≤a (1又)交因换为律，：a≤aa×且ba=≤sbu×p{aa，, ba}，b所= 以baa是；
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第八章格与布尔代数
布尔代数的性质
定理8.8 设<B,∧,∨, , 0, 1>是布尔代数, 则 (1) a∈B, (a) = a . (2) a,b∈B, (a∧b) = a∨b, (a∨b) = a∧b （德摩根律）
证 (1) (a)是a的补元, a也是a的补元. 由补元惟一性得(a)=a. (2) 对任意a, b∈B有
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有界分配格的补元惟一性
定理8.7 设<L,∧,∨,0,1>是有界分配格. 若L中元素 a 存在 补元, 则存在惟一的补元. 证 假设 c 是 a 的补元, 则有
a∨c = 1, a∧c = 0, 又知 b 是 a 的补元, 故
a∨b = 1, a∧b = 0 从而得到 a∨c = a∨b, a∧c = a∧b, 由于L是分配格, b = c.
a∨(a∧b) = a, a∧(a∨b) = a
5
证明
(1) a∨b是{ a, b }的最小上界, b∨a是{ b, a }的最小上界. 由于 { a, b } = { b, a }, 所以 a∨b = b∨a. 由对偶原理, a∧b = b∧a.
(2) 由最小上界的定义有
(a∨b)∨c≽a∨b≽a
(1)
(a∨b)∨c≽a∨b≽b
(2)
(a∨b)∨c≽c
(3)
由式(2)和(3)有 (a∨b)∨c≽b∨c
(4)
由式(1)和(4)有 (a∨b)∨c≽a∨(b∨c)
同理可证
(a∨b)∨c≼a∨(b∨c)
(a∨b)∨c = a∨(b∨c)
由对偶原理, (a∧b)∧c = a∧(b∧c)
6
证明
(3) 显然 a ≼ a∨a, 又由 a ≼ a 可得 a∨a ≼a. 根据反对称性 有a∨a = a . 由对偶原理, a∧a = a 得证.
第六章 格与布尔代数
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4. 格的半分配律
格中一般地不满足分配律
定理6-1.5：设<A, ≼>是一个格，对任意的a,b,c,d∈A，都有 (1) a∨( b∧c) ≼ (a∨b)∧( a∨c) (2) (a∧b)∨( a∧c) ≼ a∧( b∨c) 证明：(1)因为a≼a∨b，a≼a∨c， 所以a∧a≼(a∨b)∧(a∨c) 又a=a∧a，故a≼(a∨b)∧(a∨c) 又因b≼a∨b，c≼a∨c，所以由保序性 b∧c≼(a∨b)∧(a∨c) 故(a∨b)∧(a∨c)是a和b∧c的上界， 所以a∨(b∧c)≼(a∨b)∧(a∨c)
由(3)(4)式 a∨a=a， ∨满足等幂性。 同理可证：∧都满足等幂性。
2
回顾
1. 极大(极小)元： B⊆A，b∈B，B中无元素x满足b≺x (x≻b)。 不一定存在；若存在也不一定唯一。 2. 最大(最小)元： a B⊆A，b∈B，B中每一元素x都满足x≼b (b≼x)。 不一定存在；若存在也不一定唯一。 3. 上界(下界 )： B⊆A，a∈A，B中每一元素x有x≼a (a≼x)。 不一定存在；若存在也不一定唯一。 4. 最小上界、最大下界。不一定存在；若存在则必唯一。
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四、格的代数结构
根据前面的讨论： 格<A, ≼>可以诱导出具有结合律、交换律、吸收律的两个 代数运算∨和∧的代数系统<A,∨,∧> 。
反之，什么样的代数系统<A,*, °> 可确定一个格。 一个代数系统<A,*, °>，如果运算*和°满足结合律、交 换律、吸收律，则可诱导出一个格<A, ≼>，其中偏序 ≼ 定 义为：a ≼b ⇔ a°b=a, 或 a ≼b ⇔ a*b=b
例：<I+, |>是偏序集。 最小上界：两个元素的最小公倍数； 最大下界：两个元素的最大公约数。 <I+, |>是格.
3--代数系统之格和布尔代数--beamer
Theorem 12
在一个格 ⟨������, ∨, ∧⟩ 中, 对任意的 ������, ������ ∈ ������, 都有 ������ ������ ⇔ ������ ∧ ������ = ������ ⇔ ������ ∨ ������ = ������
Theorem 13 (模不等式)
韩参变量 (某某大学)
代数系统之格和 Boole 代数
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子格
Definition 3 设 ⟨������, ⟩ 是一个格, 其诱导的代数系统为 ⟨������, ∨, ∧⟩. 设 ������ 是 ������ 的非 空子集, 若 ������ 中的两个运算 ∨ 和 ∧ 关于 ������ 是封闭的, 则称 ⟨������, ⟩ 是 ⟨������, ⟩ 的子格. Example 4 设 ⟨������, ⟩ 是一个格, 任取 ������ ∈ ������ , 构造 ������ 的子集 ������ 为
则称 ⟨������, ⟩ 是分配格.
韩参变量 (某某大学)
代数系统之格和 Boole 代数
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分配格的性质
Theorem 18 在一个格中, 交运算对并运算可分配, 当且仅当, 并运算对交运算 可分配. Theorem 19 每个链都是分配格. Theorem 20 设 ⟨������, ⟩ 是一个分配格, 则对于任意的 ������, ������, ������ ∈ ������, 若有 ������ ∧ ������ = ������ ∧ ������ 和 ������ ∨ ������ = ������ ∨ ������, 则必有 ������ = ������.
������ ∨ ������ = ������ ∨ ������, ������ ∧ ������ = ������ ∧ ������ ������ ∧ (������ ∧ ������) = (������ ∧ ������) ∧ ������
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第5章：格与布尔代数格与布尔代数是代数系统中的又一类重要代数系统。
这两个代数系统与第4章讨论的代数系统之间存在着一个重要的区别：在格与布尔代数中，偏序关系具有重要的意义。
为了强调偏序关系的作用，我们将分别从偏序关系和代数系统两个方面引入格的概念。
给格附加一定的限制后，格就转化为布尔代数，即布尔代数是一种特殊的格。
布尔代数最初是作为对逻辑思维法则的研究而出现的，创立者是英国哲学家和数学家布尔（G .Boole ）。
自布尔之后，许多数学家对布尔代数的一般化作了许多努力，特别是斯通（M.H.Stone ），他的工作可以说是对现代布尔代数的发展开创了一个新阶段。
1938年，香农（C.E.Shannon ）发表了《继电器和开关电路的符号分析》一文，为布尔代数在工艺技术中的应用开创了道路，从而出现了开关代数。
为了给开关代数奠定基础，于是自然形成了二值布尔代数，即逻辑代数。
自香农之后，人们应用布尔代数对电路作了大量研究，并形成了网络理论。
格与布尔代数不仅是代数学的一个分支，而且在近代解析几何、半序空间等方面也都有重要的作用，同时，格与布尔代数在计算机科学中也有十分重要的作用，可直接用于开关理论和逻辑设计、密码学、计算机理论科学等。
§5.1 偏序关系与偏序集 1. 基本概念我们常用关系对集合的某些元素或全体元素进行排序。
例如，使用包含着字对><y x ，的关系对字排序，其中x 按照字典顺序排在y 的前面。
使用包含着任务对><y x ，的关系安排任务，其中任务x 必须在任务y 之前完成。
使用包含着整数对><y x ，的关系安排整数，其中x 小于y 。
当我们再把所有形如><x x ，的序偶加到这些关系中时就得到一个自反的、反对称的和传递的关系，即偏序关系。
定义5.1 设R 是集合X 上的关系，如果R 是自反的、反对称的和传递的，则称R 是X上的偏序关系。
偏序关系通常用符号π表示，π>∈<b a ，通常记为b a π并读着“a 先于b ”。
带有偏序关系π的集合X 叫做偏序集，当我们需要指明时，记作><π，X 。
b a π意为b a π且b a ≠，读着“a 严格先于b ”。
π也是集合X 上的关系，并且是反自反的、反对称的和传递的，叫做X 上的半序。
显然，如果π是偏序，则X I -π为半序π，反之，如果π是半序，则X I Y π为偏序π。
a b φ意为b a π，读着“b 后于a ”。
φ也是集合X 上的偏序关系，叫做π的对偶序，相应的偏序集><φ，X 称为><π，X 的对偶集。
显然对偶序φ是关系π的逆，即1-=πφ。
例5.1 （1）设R 是实数集合，≤为小于或等于关系，则≤是R 上的偏序关系，≤><，R 是偏序集。
（2）设+Z 是正整数集合，a 整除b 记作“b a |”，例如，21|712|34|2，，，等等，则这种整除关系“|”是+Z 上的偏序关系，><+|，Z 是偏序集。
（3）整除关系“|”不是整数集合Z 上的偏序关系。
特别地，“|”在Z 上不是反对称的，例如有2|2-和2|2-，但22-≠。
（注意：说m 整除x 是指存在整数k ，使得m k x ⨯=）（4）在整数集合Z 上，定义关系：aRb 当且仅当存在正整数r 使得ra b =，例如因为328=所以82R 。
则R 是Z 上的偏序关系，><R ，Z 是偏序集。
（5）设)(S p 是集合S 的幂集，⊆是集合的包含于关系，则⊆是幂集)(S p 上的偏序关系，⊆><，)(S p 是偏序集。
■为了更直观地研究偏序关系和偏序集，可借助于哈斯（Hass ）图。
哈斯图的画法可描述为：设><π，X 是偏序集，X 中的每个元素用节点表示，若X y x ∈，，且y x π，则节点x 画于节点y 的下面；若y x π且x 与y 之间不存在另一个z 使得z x π和y z π，则x 与y 之间用一线段连接。
显然，哈斯图是关系图的一种简化，它是根据偏序关系的自反和传递特点去掉了关系图中所有环和某些线段后的简化图。
例5.2 （1）集合}362412632{，，，，，=X 在整除关系下构成偏序集，它的哈斯图如图5.1（a ）所示。
（2）集合}{c b a S ，，=的幂集)(S p 在集合的包含于关系⊆下构成偏序集，它的哈斯图如图5.1（b ）所示。
图5.1偏序集的哈斯图■定义5.2 假设a 和b 是偏序集><π，X 上的两个元素。
如果b a π或a b π。
我们就说a 和b 是可比较的。
否则我们就说a 和b 是不可比较的，并记作b a ||。
“偏”是用来定义偏序集X 的，因为集合X 上某些元素是不可比较的。
若X 的每一对元素都是可比较的，则称X 为全序集，相应的偏序就称为全序。
全序集也叫做线性序集或叫做链。
虽然偏序集可能不是全序集，但它的子集仍有可能是全序集。
很明显，全序集的每一个子集都是全序集。
例5.3 （1）偏序集≤><，R 是全序集，R 的每个子集在偏序关系≤下也都是全序集。
（2）考虑偏序集><+|，Z 。
21和7可比较，因为21|7；但3和5不可比较，因为既没有5|3也没有3|5。
因此><+|，Z 不是全序集，但}361262{，，，=S 是+Z 在整除关系下的全序子集。
（3）对于含有两个或两个以上元素的集合S ，偏序集⊆><，)(S p 不是全序集。
例如，假设a 和b 属于S ，那么)(S p 中的}{a 与}{b 是不可比较的。
而}}{{S a A ，，φ=是)(S p 在偏序关系⊆下的全序子集。
■2. 偏序集中的特殊元素定义5.3 设><π，X 是偏序集，S 是X 的子集。
S 中的一个元素a 叫做S 的极小元，如果S 中没有其它元素严格先于a 。
类似地，S 中的一个元素b 叫做S 的极大元，如果S 中没有其它元素严格后于b 。
极小元、极大元的符号化表示为a 为S 的极小元)(a x a x S x x =→∧∈∀⇔π a 为S 的极大元)(a x x a S x x =→∧∈∀⇔π偏序集的子集S 可以有多于一个的极小元和极大元。
如果S 是无限集合，那么S 可能没有极小元和极大元，例如，偏序集≤><，R 没有极小元和极大元。
如果S 是有限集合，那么S 一定至少有一个极小元和一个极大元。
即有下面的定理。
定理5.1 设><π，X 是偏序集，S 是X 的子集。
如果S 是有限集，那么S 至少有一个极小元和一个极大元。
证明 不妨设}{21n y y y S ，，，Λ=，令1y a =，并且对n i ，，，Λ32=做⎪⎩⎪⎨⎧=ii i i y a a y a aa y y a ||若若若ππ根据偏序关系的传递性知S 中不可能存在元素x 使得a x π，所以a 就是S 的极小元。
同样可以证明存在极大元。
■定义5.4 设><π，X 是偏序集，S 是X 的子集。
S 中的元素a 叫做S 的最小元，如果对于S 中的每一个元素x 有x a π即a 先于S 中的每一个元素。
类似地，S 中的元素b 叫做S 的最大元，如果对于S 中的每一个元素x 有b x π即b 后于S 中的每一个元素。
最小元和最大元的符号化表示为a 为S 的最小元)(x a S x x π→∈∀⇔ a 为S 的最大元)(a x S x x π→∈∀⇔偏序集的子集S 若有最小元则最小元唯一，而且它一定是极小元；若有最大元则最大元唯一，而且它一定是极大元。
反之，如果子集S 为有限集且有唯一的极小元，则它一定就是最小元；若为有限集且有唯一的极大元，则它一定就是最大元。
即有下面的定理。
定理5.2 设><π，X 是偏序集，S 是X 的子集。
如果S 是有限集且a 是其唯一极小元（极大元），那么a 一定是S 的最小元（最大元）。
证明 不妨设}{21n y y y S ，，，Λ=，假设a 是唯一极小元而不是最小元，则在S 中必至少有一个元素j y 使得a y j π。
令j y b =，并且对n i ，，，Λ21=且j i =/做⎪⎩⎪⎨⎧=ii i iy a b y a bb y y b ||若若若ππ根据偏序关系的传递性知S 中不可能存在元素x 使得b x π，所以b 也是S 的极小元且a b ≠，这与极小元的唯一性矛盾，所以a 是最小元。
对极大元和最大元，同样可以证明。
■例5.4 （1）偏序集≤><，R 无极小元、极大元、最小元、最大元。
（2）偏序集><+|，Z 有唯一的极小元1，它也是最小元，但无极大元和最大元。
（3）集合}362412632{，，，，，=X 在整除关系下构成偏序集，它的哈斯图如前面的图5.1（a ）所示，2和3是极小元，24和36是极大元，无最小元和最大元。
（4）集合}{c b a S ，，=的幂集)(S p 在集合的包含于关系⊆下构成偏序集，它的哈斯图如前面的图5.1（b ）所示，空集φ是唯一的极小元也是最小元，全集}{c b a S ，，=是唯一的极大元也是最大元。
■定义5.5 设><π，X 是偏序集，S 是X 的子集。
X 中的元素a 叫做S 的下界，如果a 先于S 中的每一个元素，即对S 中的每一个元素x 有x a πS 的所有下界组成的集合的最大元称为S 的下确界，记作)inf(S 。
类似地，X 中的一个元素b 叫做S 的上界，如果b 后于S 中的每一个元素，即对S 中的每一个元素x 有b x πS 的所有上界组成的集合的最小元称为S 的上确界，记作)sup(S 。
如果S 是含有元素n a a a ，，，Λ21的有限集，我们也将)inf(S 和)sup(S 记为)inf(21n a a a ，，，Λ和)sup(21n a a a ，，，Λ。
同极小元、极大元、最小元和最大元类似，下界、上界也可以用符号化表示为a 为S 的下界)(x a S x x π→∈∀⇔ a 为S 的上界)(a x S x x π→∈∀⇔下界、上界、下确界和上确界都可能不存在，即使对有限集合也是这样；下界和上界可以有多个，但下确界和上确界如果存在则唯一。
而且如果a 是集合S 的最小（大）元，则a 也是S 的下（上）确界；反之，如果a 是集合S 的下（上）确界且S a ∈，则a 也是S 的最小（大）元。
有些书将下确界叫做最大下界，并记作)glb(S 不不是)inf(S ，将上确界叫做最小上界，并记作)lub(S 不不是)sup(S 。
例5.5 （1）偏序集}{1f e d c b a X ，，，，，=，其哈斯图如图5.2（a ）所示，求子集}{1d c b a S ，，，=的下界、上界、下确界、上确界。