高一平面解析几何初步复习讲义解析
北师大版数学高一-课堂新坐标14-15数学必修2讲义 第2章 解析几何初步(144页)
第二章解析几何初步§1直线与直线的方程1．1直线的倾斜角和斜率(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)理解直线的倾斜角和斜率的概念．(2)掌握过两点的直线斜率的计算公式．2．过程与方法通过一系列直线的不同位置的学习，培养学生的探究精神．3．情感、态度与价值观通过几何问题用代数问题来处理的思维，培养学生的数形结合思想．●重点难点重点：倾斜角、斜率的概念，过两点的直线斜率的计算公式．难点：直线倾斜角与它的斜率之间的关系．直线的倾斜角、斜率都是用来刻画直线倾斜程度的，它们本质上是一致的，倾斜角α与斜率k之间存在k＝tan α(α≠90°)的关系，可以通过改变直线倾斜角来进一步认识斜率，从而化解难点．(教师用书独具)●教学建议教学时结合具体图形，学生容易了解确定直线位置的几何要素可以是一个点与直线方向，观察教材上的图2－1，2－2要确定直线条中某一条直线还需要给出一个角，即引出倾斜角，进一步引出斜率，进而探究斜率与倾斜角的关系．●教学流程创设问题情境，提出问题⇒引导学生回答问题，认识直线的斜率和倾斜角⇒通过例1及变式训练，使学生掌握直线倾斜角的求法⇒通过例2及互动探究，使学生掌握直线的斜率的求法⇒通过例3及变式训练，使学生掌握直线的倾斜角和斜率的综合问题⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈校正课标解读 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念(重点)． 2．掌握过两点的直线斜率的计算公式(重点).直线的倾斜角和斜率【问题导思】1．已知直线上一个点，能确定一条直线吗？ 2．当直线的方向确定后，直线的位置确定吗？3．直线l 1，l 2分别是平面直角坐标系中一、三象限角平分线和二、四象限角平分线，它们的倾斜程度一样吗？【提示】 1.不能.2.不确定.3.不一样．1．直线的确定在平面直角坐标系中，确定直线位置的几何条件是：已知直线上的一个点和这条直线的方向．2．直线的倾斜角(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，把x 轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l 重合所成的角，叫作直线l 的倾斜角，通常用α表示．(2)范围：0°≤α<180°. 3．直线的斜率直线倾斜角α的正切值叫作直线的斜率，即k ＝{ tan α，α≠90°，不存在，α＝90°. 4．倾斜角、斜率及直线特点之间的联系倾斜角α 直线特点 斜率k 的变化0° 垂直于y 轴 k ＝00°<α<90° 由左向右上升 随着倾斜角在0°→90°间逐渐增大，直线的斜率k也逐渐增大，且恒为正值α＝90° 垂直于x 轴 k 不存在90°<α<180°由左向右下降随着倾斜角在90°→180°间逐渐增大，直线的斜率k 也逐渐增大，且恒为负值 5.过两点的直线斜率的计算公式经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(其中x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1.求直线的倾斜角 设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l 1，则直线l 1的倾斜角为( )A ．α＋45°B．α－135°C．135°－αD．当0°≤α＜135°时为α＋45°，当135°≤α＜180°时为α－135°【思路探究】倾斜角的取值范围0°≤α＜135°α＋45°135°≤α＜180°α－135°【自主解答】由倾斜角的范围知只有当0°≤α＋45°＜180°，即0°≤α＜135°时，l1的倾斜角才是α＋45°；而0°≤α＜180°，所以当135°≤α＜180°时，l1的倾斜角为α－135°，如图所示，故选D.【答案】 D1．研究直线的倾斜角，必须明确倾斜角α的范围是0°≤α＜180°，否则将造成角度范围的扩大，产生不符合范围的角度．如对α不分类，选项A将出现大于等于180°的角；选项B、C将出现小于0°的角．2．此类问题应紧扣倾斜角的范围和倾斜角概念中的三个关键条件：①直线向上的方向；②x轴的正方向；③逆时针方向旋转．有时利用数形结合的思想方法求解．图2－1－1中α是直线l的倾斜角吗？试用α表示图中各条直线l的倾斜角．图2－1－1【解】设直线l的倾斜角为β，图①中α是直线l的倾斜角，β＝α；图②中α不是直线l的倾斜角，β＝180°－α；图③中α不是直线l的倾斜角，β＝α；图④中α不是直线l的倾斜角，β＝90°＋α.求直线的斜率(1)直线过两点A(1,3)、B(2,7)，求直线的斜率；(2)过原点且斜率为1的直线l绕原点逆时针方向旋转90°到达l′位置，求直线l′的倾斜率．【思路探究】(1)利用过两点的直线的斜率公式求得．(2)利用斜率的定义求．【自主解答】(1)因为两点的横坐标不相等，所以直线的斜率存在，根据直线斜率公式得k ＝7－32－1＝4.(2)因为直线l 的斜率k ＝1，所以直线l 的倾斜角为45°，所以直线l ′的倾斜角为45°＋90°＝135°，所以直线l ′的斜率k ′＝tan 135°＝－1.1．熟记斜率公式是解答本题的关键．2．求直线的斜率有两种思路一是公式，二是定义．当两点的横坐标相等时，过这两个点的直线与x 轴垂直，其斜率不存在，不能用斜率公式求解，因此，用斜率公式求斜率时，要先判断斜率是否存在．将本题中的两点改为(1,1)，(－1，－2)其余不变． 【解】 k ＝－2－1－1－1＝32.直线的倾斜角、斜率的综合应用 已知点A (2，－3)，B (－3，－2)，直线l 过点P (3,1)，且与线段AB 相交，求直线l 的斜率的取值范围．【思路探究】 欲使直线l 与线段AB 相交，则直线l 的斜率与直线PA ，PB 的斜率有必然的关系，通过画图可知．【自主解答】 设直线l 的斜率为k ，当l 与线段AB 相交时，k PB ≤k ≤k PA ， 又∵k PA ＝1＋33－2＝4，k PB ＝1＋23＋3＝12，∴12≤k ≤4， 即直线l 的斜率的取值范围为12，433，3－12，3)．1．2直线的方程第1课时直线方程的点斜式(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)掌握直线方程的点斜式．(2)了解斜截式与一次函数的关系．2．过程与方法通过直线点斜式方程的学习，培养学生的探索精神．3．情感、态度与价值观培养学生用代数思维解决几何问题，提高数学的学习兴趣．●重点难点重点：直线方程的点斜式．难点：直线方程的应用．给定点P(x0，y0)和斜率k后，直线就唯一确定了，直线的方程，就是直线上任意一点的坐标(x，y)满足的关系式．(教师用书独具)●教学建议本节是在学习了直线的倾斜角和斜率之后，进行直线方程的学习，因此本节课宜采用探究式课堂模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主为前提，两点斜率公式为基本探究问题，引出直线方程的点斜式，让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展、提高．●教学流程创设问题情境，提出问题⇒通过引导学生回答问题，认识掌握直线方程的点斜式⇒通过例1及互动探究，使学生掌握利用点斜式求直线方程⇒通过例2及变式训练，使学生掌握利用斜截式求直线方程⇒通过例3及变式训练，使学生点斜式、斜截式的综合应用⇒归纳整理，进行课堂小结整体认识所学知识⇒完成当堂双基达标巩固所学知识并进行反馈、矫正课标解读1.掌握直线方程的点斜式(重点)．2．了解直线在y轴截距的概念(易混点)．3．了解斜截式与一次函数的关系(难点).直线方程的点斜式【问题导思】若直线经过点P(x0，y0)，且斜率为k，则直线上任意一点的坐标满足什么关系？【提示】y－y0＝k(x－x0)．1．直线的方程如果一个方程满足以下两点，就把这个方程称为直线l的方程：(1)直线l上任一点的坐标(x，y)都满足这个方程；(2)满足该方程的每一个数对(x，y)所对应的点都在直线l上．2．直线方程的点斜式和斜截式利用点斜式求直线方程根据条件写出下列直线的方程，并画出图形．(1)经过点A(－1,4)，斜率k＝－3；(2)经过坐标原点，倾斜角为45°；(3)经过点B(3，－5)，倾斜角为90°；(4)经过点C(2,8)，D(－3，－2)．【思路探究】解答本题可先分析每条直线的斜率是否存在，然后选择相应形式求解．【自主解答】(1)y－4＝－3，即y＝－3x＋1，图形如图(1)所示．(2)k＝tan 45°＝1，∴y－0＝x－0，即y＝x.图形如图(2)所示．(3)斜率k不存在，∴直线方程为x＝3.图形如图(3)所示．(4)k ＝8－(－2)2－(－3)＝2，∴y －8＝2(x －2)，即y ＝2x ＋4.图形如图(4)所示．1．求直线的斜率是解题的关键，利用“两点确定一条直线”作图．2．利用点斜式求直线方程的步骤：①在直线上找一点，并确定其坐标(x 0，y 0)；②判断斜率是否存在，若存在求出斜率；③利用点斜式写出方程(斜率不存在时，方程为x ＝x 0)．本例第(4)问中“C (2,8)”改为“C (m,8)”，试写出满足条件的直线方程． 【解】 当m ＝－3时，斜率不存在，直线方程为x ＝－3； 当m ≠－3时，k ＝8－(－2)m －(－3)＝10m ＋3，∴y －(－2)＝10m ＋3，即y ＝10m ＋3x ＋24－2m m ＋3.利用斜截式求直线方程 (1)写出斜率为2，在y 轴上截距是3的直线方程的斜截式．(2)已知直线l 的方程是2x ＋y －1＝0，求直线的斜率k ，在y 轴上的截距b ，以及与y 轴交点P 的坐标．【思路探究】 利用斜截式写直线的方程须先确定斜率和截距，再利用斜截式写出直线方程．【自主解答】 (1)∵直线的斜率为2，在y 轴上截距是3， ∴直线方程的斜截式为y ＝2x ＋3.(2)把直线l 的方程2x ＋y －1＝0，化为斜截式为y ＝－2x ＋1， ∴k ＝－2，b ＝1，点P 的坐标为(0,1)．1．已知直线斜率或直线与y 轴有交点坐标时，常用斜截式写出直线方程．2．利用斜截式求直线方程时，要先判断直线斜率是否存在．当直线斜率不存在时，直线无法用斜截式方程表示，在y 轴上也没有截距．写出斜率为2，在y 轴上截距为m 的直线方程，并求m 为何值时，直线过点(1,1)? 【解】 由题意知，直线方程为y ＝2x ＋m .把点(1,1)代入得1＝2×1＋m ， ∴m ＝－1.点斜式、斜截式方程的综合应用 已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0，求证：不论a 取何值，直线l 总经过第一象限． 【思路探究】 可以把直线l 的方程变形为点斜式或斜截式，根据其特点证明．【自主解答】 法一 将直线方程变形为y －35＝a (x －15)，它表示经过点A (15，35)，斜率为a 的直线．∵点A (15，35)在第一象限．∴直线l 必过第一象限．法二 将直线方程变形为y ＝ax ＋3－a5，当a ＞0时，不论a 取何值，直线一定经过第一象限；当a ＝0时，y ＝35，直线显然过第一象限；当a ＜0时，3－a5＞0，直线一定经过第一象限．综上，直线5ax －5y －a ＋3＝0一定过第一象限．1．法一是变形为点斜式，法二是变形为斜截式．2．解决此类问题关键是将方程转化为点斜式或斜截式来处理．不论m 为何值，直线mx －y ＋2m ＋1＝0恒过定点( )A ．(1，12) B ．(－2,1)C ．(2，－1)D ．(－1，－12)【解析】 ∵直线方程可化为y －1＝m ， ∴直线恒过定点(－2,1)．【答案】B忽视对字母的分类讨论致误求过两点(m,2)，(3,4)的直线方程． 【错解】 ∵k ＝4－23－m ＝23－m，∴直线方程为y－4＝23－m(x－3)．【错因分析】未考虑m与3的关系导致错误的出现．【防范措施】当m＝3时斜率不存在，故应该讨论m与3的关系．【正解】当m＝3时，直线斜率不存在，∴直线方程为x＝3，当m≠3时，k＝23－m，∴直线方程为y－4＝23－m(x－3)．1．对于利用点斜式求直线方程，首先应先求出直线的斜率，再代入公式求解．2．对于利用斜截式求直线方程，不仅求斜率，还要求截距．1．过点P(－2,0)，斜率为3的直线方程是()A．y＝3x－2B．y＝3x＋2C．y＝3(x－2) D．y＝3(x＋2)【解析】由点斜式可得y－0＝3(x＋2)，即y＝3(x＋2)．【答案】 D2．直线y＝2x－3的斜率和在y轴上的截距分别等于()A．2,2 B．－3，－3C．－3,2 D．2，－3【解析】由斜截式方程形式可知，k＝2，b＝－3.【答案】 D3．倾斜角为150°，在y轴上截距为6的直线方程是________．【解析】∵倾斜角为150°，∴斜率k＝tan 150°＝－33，又知直线在y轴上截距为6，∴y＝－33x＋6.【答案】y＝－33x＋64．已知直线的斜率为2，与x轴交点横坐标为－1，求直线方程．【解】∵直线过(－1,0)，k＝2，由点斜式得y＝2 ∴y＝2x＋2.一、选择题1．过点(4，－2)，倾斜角为150°的直线方程为( )A ．y －2＝－33(x ＋4)B ．y －(－2)＝－33(x －4)C ．y －(－2)＝33(x －4)D ．y －2＝33(x ＋4)【解析】 k ＝tan 150°＝－33，∴y －(－2)＝－33(x －4)．【答案】 B2．方程y ＝kx ＋1k表示的直线可能是( )【解析】 斜率为k ，且k ≠0，在y 轴上的截距为1k.当k >0时，1k >0；当k <0时，1k<0，从而选B.【答案】 B3．直线l 过点(－1，－1)，(2,5)两点，点(1 005，b )在l 上，则b 的值为( ) A ．2 009 B ．2 010 C ．2 011 D ．2 012【解析】 ∵直线斜率k ＝5－(－1)2－(－1)＝2，∴直线点斜式方程为y －5＝2(x －2)， ∴y ＝2x ＋1，令x ＝1 005，∴b ＝2 011. 【答案】 C4．方程y ＝k (x ＋4)表示( ) A ．过点(－4,0)的所有直线 B ．过点(4,0)的一切直线C ．过点(－4,0)且不垂直于x 轴的一切直线D ．过点(－4,0)且除去x 轴的一切直线【解析】 显然y ＝k (x ＋4)中斜率存在，因此不包含过点(－4,0)且斜率不存在即垂直于x 轴的直线．【答案】 C 5．(2013·佛山高一检测)已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( )A ．1B ．－1C ．－2或－1D ．－2或1【解析】 当a ＝0时，不满足条件，当a ≠0时，令x ＝0，y ＝a ＋2， 令y ＝0，x ＝2＋aa .由已知得a ＋2＝2＋aa .∴(a ＋2)(1－1a )＝0.∴a ＝－2或a ＝1.【答案】 D 二、填空题 6．(2013·平江高一检测)直线－x ＋3y －6＝0的倾斜角是________，在y 轴上的截距是________．【解析】 y ＝33x ＋23，∴tan α＝33，∴α＝π6，在y 轴上的截轴为2 3.【答案】 π6，2 37．直线y ＝x ＋m 过点(m ，－1)，则其在y 轴上的截距是________．【解析】 y ＝x ＋m 过点(m ，－1)，∴－1＝m ＋m ，即m ＝－12，从而在y 轴上的截距为－12. 【答案】 －128．直线l 的倾斜角为45°，且过点(4，－1)，则这条直线被坐标轴所截得的线段长是________．【解析】 由已知得直线方程 y ＋1＝tan 45°(x －4)， 即y ＝x －5.当x ＝0，y ＝－5，当y ＝0，x ＝5. ∴被坐标轴所截得的线段长|AB |＝52＋52＝5 2.【答案】 5 2 三、解答题9．写出下列直线的方程．(1)斜率是3，在y 轴上的截轴是－2. (2)倾斜角是30°，过点(2,1)．【解】 (1)根据斜截式得直线方程为y ＝3x －2. (2)k ＝tan 30°＝33. ∴直线方程为y －1＝33(x －2)，∴y ＝33x －233＋1. 10．直线x －y ＋1＝0上一点P (3，m )，把已知直线绕点P 逆时针方向旋转15°后得直线l ，求直线l 的方程．【解】 把点P (3，m )的坐标代入方程x －y ＋1＝0可得3－m ＋1＝0，∴m＝4，即P(3,4)．又∵已知直线方程可化为y＝x＋1，∴k＝1＝tan 45°，即倾斜角为45°.如图，易知已知直线绕点P 逆时针方向旋转15°， 所得直线的倾斜角为60°， ∴k ＝tan 60°＝3，∴所求直线方程为y －4＝3(x －3)．11．经过点A (－2,2)并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是1的直线方程． 【解】 设直线为y －2＝k (x ＋2)，交x 轴于点(－2k－2,0)，交y 轴于点(0,2k ＋2)，S ＝12×|2k ＋2|×|2k ＋2|＝1，|4＋2k ＋2k |＝1， 得2k 2＋3k ＋2＝0或2k 2＋5k ＋2＝0，解得k ＝－12或k ＝－2，∴x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0为所求．(教师用书独具)如图所示，已知△ABC 中，A (1,1)，B (5,1)，∠A ＝60°，点C 在直线AB 上方． 求：(1)线段AB 的方程；(2)AC 所在直线的方程及在y 轴上的截距．【思路探究】 结合倾斜角和斜率的关系或斜率公式，得所求直线的斜率，从而求解． 【自主解答】 (1)由A (1,1)，B (5,1)，得AB ∥x 轴， ∴k AB ＝0，∴线段AB 的方程为y ＝1(1≤x ≤5)． (2)k AC ＝tan 60°＝3，∴直线AC 的方程为y －1＝3(x －1)，整理得y ＝3x ＋1－3，令x ＝0得y ＝1－3， ∴在y 轴上的截距为1－ 3.1．斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在，当k＝0时，y＝b表示与x轴平行的直线，当b＝0时，y＝kx表示过原点的直线．2．截距不同于日常生活中的距离，截矩是一个点的横(纵)坐标，是一个实数，可以是正数，也可以是负数或零，而距离是一个非负数．已知直线y＝－33x＋5的倾斜角是直线l的倾斜角的5倍，求分别满足下列条件的直线l的方程．(1)过点P(3，－4)；(2)在y轴上截距为3.【解】由直线y＝－33x＋5，得k＝－33，即tan α＝－33，∴α＝150°，故所求直线l的倾斜角为30°，斜率k′＝33.(1)∵l过点P(3，－4)，则由点斜式方程得：y＋4＝33(x－3)，即y＝33x－3－4. (2)∵l在y轴上截距为3，则由斜截式方程得：y＝33x＋3.第2课时直线方程的两点式和一般式(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)掌握直线方程的几种形式及它们之间的相互转化．(2)了解直线与二元一次方程的对应关系．2．过程与方法让学生在应用旧知识的探究过程中获得新的结论，并通过新的知识的比较、分析、应用获得新知识的特点．3．情感、态度与价值观(1)认识事物之间的普遍联系与相互转化．(2)培养学生用联系的观点看问题．●重点难点重点：直线方程的两点式和一般式．难点：利用直线方程的各种形式求直线方程．两点式其实就是点斜式的变形，值得注意的是两点式方程y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1中的条件x1≠x2，y1≠y2，使得它既不能表示与x轴垂直的直线，也不能表示与y轴垂直的直线．(教师用书独具)●教学建议本节课的教学内容为直线方程的两点式和一般式，在此之前，学生已掌握了直线方程的点斜式、斜截式，在本节教学时，通过师生探讨，得出直线的两点式和一般式方程，通过直线的两点式方程向截距式方程的过渡训练，让学生体会由一般到特殊的处理方法，让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新．●教学流程创设问题情境，提出问题⇒引导学生回答问题，理解直线方程的两点式、一般式⇒通过例1及互动探究使学生掌握灵活运用题目条件求直线方程⇒通过例2及变式训练使学生掌握一般式方程与其他方程的互化⇒通过例3及变式训练使学生掌握一般式方程的应用⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正课标解读1.掌握直线方程的几种形式及它们之间的相互转化(重点)．2．了解在直角坐标系中平面上的直线与关于x，y的二元一次方程的对应关系(难点).直线方程的两点式【问题导思】已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，如何求AB的直线方程？【提示】k AB＝y2－y1x2－x1由点斜式方程得y－y1＝y2－y1x2－x1(x－x1)．1．两点式：设A(x1，y1)，B(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)是直线l上的两点，则l的两点式为y－y1y2－y1＝x－x1 x2－x1.2．截距式：若直线l过A(a,0)，B(0，b)，(ab≠0)，则直线l的两点式方程可化为xa＋yb＝1的形式，这种形式的方程叫作直线方程的截距式．其中a为直线在x轴上的截距，b为直线在y轴上的截距．直线方程的一般式【问题导思】以上所学的直线方程的几种形式能整理成关于x、y的二元一次方程的整式形式吗？【提示】能．直线方程的一般式关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)表示的是一条直线，我们把它叫作直线方程的一般式．直线方程的两点式和截距式 求满足下列条件的直线方程： (1)过点A (－2,3)，B (4，－1)；(2)在x 轴、y 轴上的截距分别为4，－5； (3)过点P (2,3)，且在两坐标轴上的截距相等．【思路探究】 (1)要根据不同的要求选择适当的方程形式；(2)“截距”相等要注意分过原点和不过原点这两种情况．【自主解答】 (1)由两点式得y －3－1－3＝x ＋24＋2化简得2x ＋3y －5＝0.(2)由截距式，得x 4＋y－5＝1化简为5x －4y －20＝0.(3)当直线过原点时，所求直线方程为3x －2y ＝0.当直线不过原点时，设直线方程为x a ＋ya ＝1，∵直线过P (2,3) ， ∴2＋3a ＝1，∴a ＝5， 直线方程为x ＋y －5＝0，所以所求直线方程为3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0.1．本题(3)中易漏掉截距都为0情况．2．直线方程有多种形式，在求解时应根据题目的条件选择合适的形式，但要注意方程各种形式的适用范围．将本例(1)中的A 改(－2，m )，求直线方程． 【解】 当m ＝－1时直线方程为y ＝－1， 当m ≠－1时，由两点式得y －m －1－m ＝x －4－2－4，∴y ＝m ＋16x ＋m －13.直线方程的一般式 设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y ＝2m －6，根据下列条件分别确定m 的值；(1)l 在x 轴上的截距是－3；(2)l 的斜率是－1.【思路探究】 可根据所求的结论把一般式转化为其他形式． 【自主解答】 (1)由题意可得⎩⎨⎧m 2－2m －3≠0， ①2m －6m 2－2m －3＝－3， ② 由①得：m ≠－1且m ≠3， 由②得：m ＝3或m ＝－53.∴m ＝－53.(2)由题意得⎩⎨⎧2m 2＋m －1≠0， ③－m 2－2m －32m 2＋m －1＝－1. ④ 由③得：m ≠－1且m ≠12，由④得：m ＝－1或m ＝－2.∴m ＝－2.1．本题的易错点是(1)中漏掉m 2－2m －3≠0，(2)中漏掉2m 2＋m －1≠0.2．把直线方程的一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A 、B 不同时为0)化成其他形式时，要注意式子成立的条件，特别是当B ＝0时，直线的斜率不存在，这时方程不能化成点斜式或斜截式的形式．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： (1)斜率为2，且经过点A (1，－1)．(2)斜率为12，在y 轴上的截距为1.【解】 (1)y －(－1)＝2(x －1)，即2x －y －3＝0.(2)y ＝12x ＋1，即x －2y ＋2＝0.直线方程的应用 已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0.(1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限； (2)为使直线l 不经过第二象限，求a 的取值范围．【思路探究】 解答本题可先把一般式方程化为点斜式方程，然后再由直线过定点(15，35)，说明直线l 恒过第一象限．对于求a 的取值范围可借助图形，利用“数形结合思想”求得．【自主解答】 (1)将直线l 的方程整理为y －35＝a (x －15)，∴l 的斜率为a ，且过定点A (15，35)，而点A (15，35)在第一象限， 故l 过第一象限．(2)如图，直线OA的斜率k＝35－015－0＝3，∵l不经过第二象限，∴a≥3.1．直线过定点(15，35)是解决本题的关键． 2．针对这个类型的题目，灵活地把一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)进行变形是解决这类问题的关键．在求参量取值范围时，巧妙地利用数形结合思想，会使问题简单明了．若直线(m －1)x －y －2m ＋1＝0不经过第一象限，则实数m 的取值范围是________．【解析】 {m －1＜0，1－2m ＜0，∴12＜m ＜1. 【答案】 (12，1)分类讨论思想在直线方程问题中的应用(12分)设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )．(1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程；(2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．【思路点拨】 对截距相等一定要考虑都为0，都不为0，若不为0求出截距让其相等．【规范解答】 (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为零，当然相等.2分∴当a ＝2时满足条件，此时方程为3x ＋y ＝0.当a ＝－1时，直线为平行于x 轴的直线，在x 轴上无截距，不合题意.4分当a ≠－1且a ≠2时，由a －2a ＋1＝a －2， 即a ＋1＝1.∴当a ＝0时，直线在x 轴、y 轴上的截距都为－2，此时方程为x ＋y ＋2＝0.7分综上所述，当a ＝2时，l 在两坐标轴上的截距相等，方程为3x ＋y ＝0；当a ＝0时，l 在两坐标轴上的截距相等，方程为x ＋y ＋2＝0.8分(2)将l 的方程转化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，∴{ －(a ＋1)＞0，a －2≤0，或{－(a ＋1)＝0，a －2≤0.10分∴a ≤－1.∴a 的取值范围为(－∞，－1x －(－35)－2,2－1,1－12，120,2 C ．－3，3－33，33－33，33(x －1)2＋y 2－1 B ．(13，34 D ．512，＋∞)【思路点拨】 根据图形的特点求解．【解析】 先作出已知曲线y ＝1＋4－x 2的图形，再根据直线y ＝k (x －2)＋4过定点(2,4)． 如图所示，曲线是以(0,1)为圆心，r ＝2为半径的半圆，直线表示过定点(2,4)的动直线．由图形中关系可求得k PC ＝512. 【答案】 D点P (x ，y )在以A (－3,1)，B (－1,0)，C (－2,0)为顶点的△ABC 的内部运动(不包含边界)，则y －2x －1的取值范围是( ) A ．12，114，1 D ．(14，1)【解析】 令k ＝y －2x －1，则k 可以看成过点D (1,2)和(x ，y )的直线斜率，显然k AD 是最小值，k BD 是最大值．由于不包含边界，所以k ∈(14，1)． 【答案】 D。
平面解析几何复习1
第1讲 │ 要点探究
已知 A(－3,1)，B(1,1)，过点 P(3,1＋2 3)作直线 l 与线段 AB 恒有交点，求直线 l 的倾斜角的取值范围．
[思路] 作出图形， 观察有交点时， 直究
[解答] 如图当 l 绕点 P 由直线 PA 旋转到 PB 时，倾斜角 由最小角 α 变到最大角 β， 1－1－2 3 3 π 由斜率公式得 kPA＝tanα＝ ＝ ，所以 α＝ ， 3 6 －3－3 1＋2 3－1 π kPB＝tanβ＝ ＝ 3，所以 β＝ . 3 3－1 所以直线 l
第1讲 │ 要点探究
► 探究点3 综合应用
例 3 已知直线 l 经过点 P(t，t)，Q(t－1,2t)，t≠0.问直线 l 能 否经过点 A(－1,15)和点 B(2，－2)？若经过，分别求出 t 的值， 若不能，请说明理由．
[思路] 由两点式求得直线 l 的方程，再将点 A 和 B 的 坐标代入方程，解关于参数 t 的方程．
第1讲 │ 知识梳理
3．经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜 y2－y1 x2－x1 率公式 k＝______________. 4．直线方程的三种形式 (x1，y1) (1)点斜式：y－y1＝k(x－x1)表示经过点________且斜 (0，b) k 率为____的直线．特例：y＝kx＋b 表示过点______且斜率 截距 为____的直线．其中 b 表示直线在 y 轴上的______．该方 k 斜截式方程 程叫直线方程的________．
倾斜角的范围得 0<k≤1，解不等式即可． y2－y1 a C [解析] 由 k＝ 得 k＝ (a≠2，当 a＝2 时 x2－x1 a－2
倾斜角为 90° 大于 45° )，因为直线 l 的倾斜角 θ∈(0,45° ]， a 所以 0<k≤1，即 0< ≤1，解之得 a<0，选 C. a－2
高中数学第二章平面解析几何初步章末总结归纳课件bb高一数学课件
∴AM2＝x2＋y2，BM2＝(x－a)2＋y2， CM2＝(x－a)2＋(y－b)2，DM2＝x2＋(y－b)2. ∴AM2＋CM2＝x2＋y2＋(x－a)2＋(y－b)2， BM2＋DM2＝x2＋y2＋(x－a)2＋(y－b)2， ∴AM2＋CM2＝BM2＋DM2.
12/13/2021
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(1)如图所示， 设点 B 关于 l 的对称点 B′的坐标为(a，b)， 则 kBB′·kl＝－1， 即 3·b－a 4＝－1， ∴a＋3b－12＝0.① 又由于线段 BB′的中点坐标为a2，b＋2 4，
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且在直线 l 上， ∴3×a2－b＋2 4－1＝0， 即 3a－b－6＝0.② 解①②得 a＝3，b＝3， ∴B′(3,3)， 于是 AB′的方程为3y－－11＝3x－－44，即 2x＋y－9＝0. 解23xx＋－yy－－91＝＝00，， 得yx＝＝52.， 故 l 与 AB′的交点 P(2,5)即为所求．
第二章 平面解析几何初步
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章末总结归纳
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专题 1 求直线和圆的方程
1.要善于根据条件，合理选用直线方程的形式，用待定系数 法确定其中的参数．待定系数法可分以下几步进行：①设所求 直线方程的某种形式；②由条件建立所求参数的方程(组)；③解 这个方程(组)求出参数的值；④把参数的值代入所设的方程．
由图可得 kAM＝11＝1，kBM＝51＝5， ∴1≤k＜5.又当直线与曲线 C 相切时， 有|－1k＋＋k32|＝2,3k2＋6k－5＝0，
解得 k＝－1－236或－1＋236(舍)．
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高一下学期数学期末复习大串讲(新人教A版必修2)专题02 平面解析几何初步Word版含解析
二、平面解析几何初步【知识网络】第六章直线的方程专题一直线的倾斜角与斜率1.直线的倾斜角(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，把x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角.当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)范围：直线l 倾斜角的范围是0°，180°). 2.斜率公式(1)若直线l 的倾斜角α≠90°，则斜率k ＝tan α.(2)P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上，且x 1≠x 2，则l 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1.【典例1】 (1)直线2x cos α－y －3＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3的倾斜角的取值范围是 . (2)直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为 .【答案】 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3 (2)(－∞，－3]∪1，＋∞)(2)如图，∵k AP ＝1－02－1＝1，k BP ＝3－00－1＝－3， ∴k ∈(－∞，－ 3 ]∪1，＋∞).【迁移训练1】 (1)直线x cos α＋3y ＋2＝0的倾斜角的范围是 .(2)已知实数x ，y 满足2x ＋y ＝8，当2≤x ≤3时，则yx的最大值为 ；最小值为 . 【答案】 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π (2)2 23(2)本题可先作出函数y ＝8－2x (2≤x ≤3)的图象，把yx看成过点(x ，y )和原点的直线的斜率进行求解.如图，设点P (x ，y )，因为x ，y 满足2x ＋y ＝8，且2≤x ≤3，所以点P (x ，y )在线段AB 上移动，并且A ，B 两点的坐标分别是(2,4)，(3,2).因为y x的几何意义是直线OP 的斜率，且k OA ＝2，k OB ＝23，所以y x 的最大值为2，最小值为23. 专题二 求直线的方程名称 方程 适用范围 点斜式 y －y 1＝k (x －x 1) 不含直线x ＝x 1 斜截式 y ＝kx ＋b 不含垂直于x 轴的直线 两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1不含直线x ＝x 1 (x 1≠x 2)和直线y ＝y 1 (y 1≠y 2)截距式x a ＋y b＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式 Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不全为0)平面直角坐标系内的直线都适用(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010； (2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12； (3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.(2)由题设知截距不为0，设直线方程为x a ＋y12－a＝1，又直线过点(－3,4)，从而－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4或a ＝9.故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0. (3)当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0； 当斜率存在时，设其为k ，则所求直线方程为y －10＝k (x －5)， 即kx －y ＋(10－5k )＝0.由点线距离公式，得|10－5k |k 2＋1＝5，解得k ＝34.故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0.【思维升华】在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件.用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线.故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况. 【迁移训练2】 求适合下列条件的直线方程： (1)经过点P (4,1)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点A (－1，－3)，倾斜角等于直线y ＝3x 的倾斜角的2倍. 【解析】 (1)设直线l 在x ，y 轴上的截距均为a . 若a ＝0，即l 过点(0,0)及(4,1)， ∴l 的方程为y ＝14x ，即x －4y ＝0.若a ≠0，则设l 的方程为x a ＋y a＝1， ∵l 过点(4,1)， ∴4a ＋1a＝1，∴a ＝5，∴l 的方程为x ＋y －5＝0.综上可知，直线l 的方程为x －4y ＝0或x ＋y －5＝0.专题三 直线方程的综合应用【典例3】 (1)(2014·四川)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则PA ·PB 的最大值是 .(2)(2015·安徽)在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图象只有一个交点，则a 的值为 . 【答案】 (1)5 (2)－12【解析】 (1)∵直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0分别过定点A ，B ，∴A (0,0)，B (1,3).当点P 与点A (或B )重合时，PA ·PB 为零； 当点P 与点A ，B 均不重合时，∵P 为直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0的交点， 且易知此两直线垂直， ∴△APB 为直角三角形， ∴AP 2＋BP 2＝AB 2＝10， ∴PA ·PB ≤PA 2＋PB 22＝102＝5，当且仅当PA ＝PB 时，上式等号成立. (2)∵|x －a |≥0恒成立，∴要使y ＝2a 与y ＝|x －a |－1只有一个交点，必有2a ＝－1，解得a ＝－12.【迁移训练3】 已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，如图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程. 【解析】【方法二】依题意知，直线l 的斜率k 存在且k <0. 则直线l 的方程为y －2＝k (x －3) (k <0)，且有A ⎝⎛⎭⎪⎫3－2k，0，B (0,2－3k )，∴S △ABO ＝12(2－3k )⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2k ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋－9k ＋4－k≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋2 －9k ·4－k ＝12×(12＋12)＝12. 当且仅当－9k ＝4－k ，即k ＝－23时，等号成立. 即△ABO 的面积的最小值为12.故所求直线的方程为2x＋3y－12＝0.第七章两条直线的位置关系专题一两条直线的平行与垂直(1)两条直线平行与垂直①两条直线平行：(ⅰ)对于两条不重合的直线l1、l2，若其斜率分别为k1、k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2(k1，k均存在).2(ⅱ)当直线l1、l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.②两条直线垂直：(ⅰ)如果两条直线l1、l2的斜率存在，设为k1、k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1 (k1，k均存在).2(ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1⊥l2.【典例1】(1)已知两条直线l1：(a－1)·x＋2y＋1＝0，l2：x＋ay＋3＝0平行，则a＝________.(2)已知两直线方程分别为l1：x＋y＝1，l2：ax＋2y＝0，若l1⊥l2，则a＝________.【答案】(1)－1或2 (2)－2【思维升华】(1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况.同时还要注意x、y的系数不能同时为零这一隐含条件.(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.【迁移训练1】已知两直线l1：x＋y sin α－1＝0和l2：2x·sin α＋y＋1＝0，求α的值，使得：(1)l1∥l2；(2)l1⊥l2.【解析】(1)【方法一】当sin α＝0时，直线l1的斜率不存在，l2的斜率为0，显然l1不平行于l2.当sin α≠0时，k 1＝－1sin α，k 2＝－2sin α. 要使l 1∥l 2，需－1sin α＝－2sin α，即sin α＝±22.所以α＝k π±π4，k ∈Z ，此时两直线的斜率相等.故当α＝k π±π4，k ∈Z 时，l 1∥l 2.专题二 两条直线的交点与距离问题1、两条直线的交点直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎨⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解.2、几种距离(1)两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离P 1P 2＝x 2－x 12＋y 2－y 12.(2)点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B2. (3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0(其中C 1≠C 2)间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2. 【典例2】 (1)已知直线y ＝kx ＋2k ＋1与直线y ＝－12x ＋2的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是________.(2)直线l 过点P (－1,2)且到点A (2,3)和点B (－4,5)的距离相等，则直线l __________________________.【答案】 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－16，12 (2)x ＋3y －5＝0或x ＝－1 【解析】(1)【方法一】 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2k ＋1，y ＝－12x ＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－4k2k ＋1，y ＝6k ＋12k ＋1.(若2k ＋1＝0，即k ＝－12，则两直线平行) ∴交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2－4k 2k ＋1，6k ＋12k ＋1.又∵交点位于第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－4k2k ＋1＞0，6k ＋12k ＋1＞0，解得－16＜k ＜12.【方法二】如图，已知直线y ＝－12x ＋2与x 轴、y 轴分别交于点A (4,0)，B (0,2).而直线方程y ＝kx ＋2k ＋1可变形为y －1＝k (x ＋2)，表示这是一条过定点P (－2,1)，斜率为k 的动直线.∵两直线的交点在第一象限，∴两直线的交点必在线段AB 上(不包括端点)， ∴动直线的斜率k 需满足k PA ＜k ＜k PB . ∵k PA ＝－16，k PB ＝12. ∴－16＜k ＜12.【方法二】 当AB ∥l 时，有k ＝k AB ＝－13，直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当l 过AB 中点时，AB 的中点为(－1,4).∴直线l 的方程为x ＝－1. 故所求直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1. 【思维升华】(1)求过两直线交点的直线方程的方法：求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.(2)利用距离公式应注意：①点P (x 0，y 0)到直线x ＝a 的距离d ＝|x 0－a |，到直线y ＝b 的距离d ＝|y 0－b |； ②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x ，y 的系数化为相等. 【迁移训练2】(1)如图，设一直线过点(－1,1)，它被两平行直线l 1：x ＋2y －1＝0，l 2：x ＋2y －3＝0所截的线段的中点在直线l 3：x －y －1＝0上，求其方程.(2)正方形的中心为点C (－1,0)，一条边所在的直线方程是x ＋3y －5＝0，求其他三边所在直线的方程. 【解析】点C 到直线x ＋3y －5＝0的距离d ＝|－1－5|1＋9＝3105.设与x ＋3y －5＝0平行的一边所在直线的方程是x ＋3y ＋m ＝0(m ≠－5)，则点C 到直线x ＋3y ＋m ＝0的距离d ＝|－1＋m |1＋9＝3105，解得m ＝－5(舍去)或m ＝7，所以与x ＋3y －5＝0平行的边所在直线的方程是x ＋3y ＋7＝0. 设与x ＋3y －5＝0垂直的边所在直线的方程是3x －y ＋n ＝0， 则点C 到直线3x －y ＋n ＝0的距离d ＝|－3＋n |1＋9＝3105，解得n ＝－3或n ＝9，所以与x ＋3y －5＝0垂直的两边所在直线的方程分别是3x －y －3＝0和3x －y ＋9＝0. 专题三 对称问题【典例3】 （1）过点P (0,1)作直线l ，使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为________________.（2）已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)，则点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标为____________.（3）已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，求直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程.（3） 在直线m 上任取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上. 设对称点M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋22－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝613，b ＝3013，∴M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3).又∵m ′经过点N (4,3).∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0. 【思维升华】 解决对称问题的方法 (1)中心对称①点P (x ，y )关于Q (a ，b )的对称点P ′(x ′，y ′)满足⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2a －x ，y ′＝2b －y .②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决. (2)轴对称①点A (a ，b )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)的对称点A ′(m ，n )，则有⎩⎪⎨⎪⎧n －b m －a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－A B ＝－1，A ·a ＋m 2＋B ·b ＋n 2＋C ＝0.②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决. 【迁移训练3】在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝4，点P 是边AB 上异于A ，B 的一点，光线从点P 出发，经BC ，CA 发射后又回到原点P (如图).若光线QR 经过△ABC 的重心，则AP ＝________.【答案】 43【解析】建立如图所示的坐标系：可得B (4,0)，C (0,4)，故直线BC 的方程为x ＋y ＝4， △ABC 的重心为⎝⎛⎭⎪⎫0＋0＋43，0＋4＋03，设P (a,0)，其中0<a <4，故直线QR 的方程为y ＝4－a4＋a(x ＋a )，由于直线QR 过△ABC 的重心(43，43)，代入化简可得3a 2－4a ＝0，解得a ＝43，或a ＝0(舍去)，故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，0，故AP ＝43.第八章 圆的方程专题一 求圆的方程 1.圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，其中(a ，b )为圆心，r 为半径. 2.圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是D 2＋E 2－4F >0，其中圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2，半径r ＝D 2＋E 2－4F2.【典例1】 根据下列条件，求圆的方程.(1)经过P (－2,4)、Q (3，－1)两点，并且在x 轴上截得的弦长等于6； (2)圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2).(2)【方法一】如图，设圆心(x 0，－4x 0)，依题意得4x 0－23－x 0＝1，∴x 0＝1，即圆心坐标为(1，－4)，半径r ＝22， 故圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.【方法二】 设所求方程为(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2，根据已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－4x 0，3－x 02＋－2－y2＝r 2，|x 0＋y 0－1|2＝r ，解得⎩⎨⎧x0＝1，y 0＝－4，r ＝2 2.因此所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.【思维升华】 (1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程. (2)待定系数法①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D 、E 、F 的方程组，进而求出D 、E 、F 的值.【迁移训练1】 (1)(2014·陕西)若圆C 的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为____________.(2)过点A (4,1)的圆C 与直线x －y －1＝0相切于点B (2，1)，则圆C 的方程为________________. 【答案】 (1)x 2＋(y －1)2＝1 (2)(x －3)2＋y 2＝2专题二 与圆有关的最值问题 命题点1 斜率型最值问题【典例2】 已知实数x 、y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，则求： （1）y x的最大值为________，最小值为________. （2）求y －x 的最小值和最大值. （3）求x 2＋y 2的最大值和最小值. 【解析】 （1）如图，方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0表示以点(2,0)为圆心，以3为半径的圆. 设y x＝k ，即y ＝kx ，则圆心(2,0)到直线y ＝kx 的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值. 由|2k －0|k 2＋1＝3，解得k 2＝3， ∴k max ＝3，k min ＝－ 3.(也可由平面几何知识，得OC ＝2，CP ＝3，∠POC ＝60°，直线OP 的倾斜角为60°，直线OP ′的倾斜角为120°)解（3）x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图). 又因为圆心到原点的距离为2－02＋0－02＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x 2＋y 2的最小值为(2－3)2＝7－4 3.【思维升华】 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法.一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解.(2)与圆上点(x ，y )有关代数式的最值的常见类型及解法.①形如u ＝y －bx －a型的最值问题，可转化为过点(a ，b )和点(x ，y )的直线的斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2型的最值问题，可转化为动点到定点(a ，b )的距离平方的最值问题. 【迁移训练2】(1)设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则PQ 的最小值为 ________. 【答案】 4【解析】 PQ 的最小值为圆心到直线的距离减去半径.因为圆的圆心为(3，－1)，半径为2，所以PQ 的最小值d ＝3－(－3)－2＝4.(2)已知M 为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2,3). ①求MQ 的最大值和最小值； ②若M (m ，n )，求n －3m ＋2的最大值和最小值.②可知n －3m ＋2表示直线MQ 的斜率，设直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0，则n －3m ＋2＝k . 由直线MQ 与圆C 有交点，所以|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2≤22，可得2－3≤k ≤2＋3， 所以n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3. 专题三 与圆有关的轨迹问题【典例3】设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM 、ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹. 【解析】如图所示，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y2，线段MN 的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 0－32，y 0＋42.由于平行四边形的对角线互相平分， 故x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42.从而⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4.又N (x ＋3，y －4)在圆上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4. 因此所求轨迹为圆：(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，但应除去两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285(点P 在直线OM 上的情况).【思维升华】 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： ①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程. ②定义法：根据圆、直线等定义列方程. ③几何法：利用圆的几何性质列方程.④代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.【迁移训练3】 已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点. (1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程.(2)设PQ 的中点为N (x ，y )，连结BN . 在Rt△PBQ 中，PN ＝BN .设O 为坐标原点，连结ON ，则ON ⊥PQ ， 所以OP 2＝ON 2＋PN 2＝ON 2＋BN 2， 所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.第九章 直线与圆、圆与圆的位置关系专题一 直线与圆的位置关系判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系.d <r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d >r ⇔相离. (2)代数法：――→判别式Δ＝b 2－4ac ⎩⎨⎧>0⇔相交；＝0⇔相切；<0⇔相离.【典例1】(1)已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是______. (2)若过点(1,2)总可以作两条直线与圆x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2－15＝0相切，则实数k 的取值范围是________.(3)已知方程x 2＋x tan θ－1sin θ＝0有两个不等实根a 和b ，那么过点A (a ，a 2)，B (b ，b 2)的直线与圆x 2＋y 2＝1的位置关系是________.【答案】 (1)相交 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－833，－3∪⎝⎛⎭⎪⎫2，833(3)相切(2)把圆的方程化为标准方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝16－3k 24，所以16－3k24>0，解得－833<k <833.由题意知点(1,2)应在已知圆的外部， 把点代入圆的方程得1＋4＋k ＋4＋k 2－15>0， 即(k －2)(k ＋3)>0， 解得k >2或k <－3，则实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－833，－3∪⎝⎛⎭⎪⎫2，833.(3)由题意可知过A ，B 两点的直线方程为(a ＋b )x －y －ab ＝0，圆心到直线AB 的距离为d ＝|－ab |a ＋b 2＋1，而a ＋b ＝－1tan θ，ab ＝－1sin θ，因此d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1tan θ2＋1，化简后得d＝1，故直线与圆相切.【思维升华】 判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用d 与r 的关系. (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断.(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交. 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题. 【迁移训练1】 已知直线l ：y ＝kx ＋1，圆C ：(x －1)2＋(y ＋1)2＝12. (1)试证明：不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点； (2)求直线l 被圆C 截得的最短弦长.(2)解 设直线与圆交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点， 则直线l 被圆C 截得的弦长AB ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝28－4k ＋11k21＋k2＝2 11－4k ＋31＋k2，令t ＝4k ＋31＋k 2，则tk 2－4k ＋(t －3)＝0，当t ＝0时，k ＝－34，当t ≠0时，因为k ∈R ，所以Δ＝16－4t (t －3)≥0，解得－1≤t ≤4，且t ≠0， 故t ＝4k ＋31＋k 2的最大值为4，此时AB 最小为27.专题二 圆与圆的位置关系设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1>0)，圆O 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2>0).方法 位置关系几何法：圆心距d 与r 1，r 2的关系代数法：联立两圆方程组成方程组的解的情况外离 d >r 1＋r 2 无解 外切 d ＝r 1＋r 2 一组实数解 相交 |r 1－r 2|<d <r 1＋r 2两组不同的实数解 内切 d ＝|r 1－r 2|(r 1≠r 2) 一组实数解 内含0≤d <|r 1－r 2|(r 1≠r 2)无解【典例2】 (1)圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为________. (2)过两圆x 2＋y 2＋4x ＋y ＝－1，x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0的交点的圆中面积最小的圆的方程为____________.(3)如果圆C ：x 2＋y 2－2ax －2ay ＋2a 2－4＝0与圆O ：x 2＋y 2＝4总相交，那么实数a 的取值范围是__________.【答案】 (1)相交 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋652＝45(3)(－22，0)∪(0,22)∴两圆两个交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，－25，(－1，－2). 过两交点的圆中，以⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，－25，(－1，－2)为端点的线段为直径的圆时，面积最小. ∴该圆圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－65，半径为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－25＋222＝255，圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋652＝45. (3)C 的标准方程为(x －a )2＋(y －a )2＝4，圆心坐标为(a ，a )，半径为2.依题意得：0<a 2＋a 2<2＋2，∴0<|a |<2 2.∴a ∈(－22，0)∪(0,22)【思维升华】 判断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤是(1)确定两圆的圆心坐标和半径长；(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d ，求r 1＋r 2，|r 1－r 2|；(3)比较d ，r 1＋r 2，|r 1－r 2|的大小，写出结论.【迁移训练2】 (1)圆C 1：x 2＋y 2－2y ＝0，C 2：x 2＋y 2－23x －6＝0的位置关系为________.【答案】 内切(2)设M ＝{(x ，y )|y ＝2a 2－x 2，a >0}，N ＝{(x ，y )|(x －1)2＋(y －3)2＝a 2，a >0}，且M ∩N ≠∅，求a 的最大值和最小值.解 M ＝{(x ，y )|y ＝2a 2－x 2，a >0}，即{(x ，y )|x 2＋y 2＝2a 2，y ≥0}，表示以原点O 为圆心，半径等于2a 的半圆(位于横轴或横轴以上的部分). N ＝{(x ，y )|(x －1)2＋(y －3)2＝a 2，a >0}，表示以O ′(1，3)为圆心，半径等于a 的一个圆. 再由M ∩N ≠∅，可得半圆和圆有交点，故半圆和圆相交或相切.当半圆和圆相外切时，由OO ′＝2＝2a ＋a ，求得a ＝22－2；当半圆和圆相内切时，由OO ′＝2＝2a －a ，求得a ＝22＋2，故a 的取值范围是22－2,22＋2]，a 的最大值为22＋2，最小值为22－2.专题三 直线与圆的综合问题【典例3】 (2015·课标全国Ⅰ)已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点.(1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求MN .【解析】 (1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1，因为直线l 与圆C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k2<1. 解得4－73<k <4＋73. 所以k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2). 将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0. 所以x 1＋x 2＝41＋k 1＋k 2，x 1x 2＝71＋k2. OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k 1＋k 1＋k2＋8. 由题设可得4k 1＋k 1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1， 所以直线l 的方程为y ＝x ＋1.故圆心C 在直线l 上，所以MN ＝2.【迁移训练3】 (1)过点(3,1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________.(2)已知圆C 的方程为x 2＋y 2＋ax ＋2y ＋a 2＝0，一定点为A (1,2)，要使过A 点作圆的切线有两条，则a 的取值范围是____________. 【答案】 (1)2 2 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233 【解析】 (1)设P (3,1)，圆心C (2,2)，则PC ＝2，由题意知最短的弦过P (3,1)且与PC 垂直，所以最短弦长为222－22＝2 2.。
高中数学--平面解析几何课件ppt
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3．直线方程的几种形式
名称
方程的形式
已知条件
局限性
点斜式
_y_－__y_1＝__k_(_x－__x_1_)
(x1，y1)为直线上 一定点，k为斜 率
不包括垂直于x轴的 直线
斜截式
___y_＝__k_x_＋_b____
k为斜率，b是直 线在y轴上的截 距
不包括垂直于x轴的 直线
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名 方程的形式
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法二：由题意，所求直线的斜率存在且 k≠0， 设直线方程为 y－2＝k(x－3)， 令 y＝0，得 x＝3－2k，令 x＝0，得 y＝2－3k， 由已知 3－2k＝2－3k，解得 k＝－1 或 k＝23， ∴直线 l 的方程为： y－2＝－(x－3)或 y－2＝23(x－3)， 即直线 l 的方程为 x＋y－5＝0 或 2x－3y＝0.
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【解】 (1)法一：设直线 l 的方程为 y－1＝k(x－2)(k＜0)，
则 A(2－1k，0)，B(0,1－2k)， ∴S△AOB＝12(2－1k)(1－2k)＝2＋12(－4k－1k)
≥2＋12×2
－4k－1k＝4，
当且仅当－4k＝－1k，即 k＝±12时取等号．
∵k＜0，∴k＝－12，
故所求直线方程为 y－1＝－12(x－2)， 即 x＋2y－4＝0.
第八章 平面解析几何
第1课时 直线及其方程
考纲展示
2016高考导航
备考指南
1.在平面直角坐标系中，结合具体图
形，掌握确定直线位置的几何要素． 1.基本公式、直线的斜率、方程以
2.掌握确定直线位置的几何要素，掌 及两直线的位置关系是高考的重
握直线方程的三种形式(点斜式、两 点．
高中数学第二章平面解析几何初步章末总结课件bb高一数学课件
在 Rt△MBC 中,|BC|= 3 ,|MB|=2,故|MC|= | MB |2 | BC |2 =1,
由点到直线的距离公式得 | k 1 3 2k | =1,解得 k= 3 .所以直线 l 的方程为 3x-4y+6=0.
k2 1
4
(2)当直线 l 的斜率不存在时,其方程为 x=2,
且|AB|=2 3 ,所以适合题意.综上所述,直线 l 的方程为 3x-4y+6=0 或 x=2.
题型二 直线与圆、圆与圆的位置关系 【例3】 已知圆M:(x-1)2+(y-1)2=4,直线l过点P(2,3)且与圆M交于A,B两点, 且|AB|=2 3 ,求直线l的方程.
解:(1)当直线 l 存在斜率时,设直线 l 的方程为 y-3=k(x-2),即 kx-y+3-2k=0. 作示意图如图所示,作 MC⊥AB 于 C.
aa
a a
当直线 l 的方程为 x + y =1 时,把 P(8,6)代入得: 8 + 6 =1 故 a=14,
aa
aa
所以直线 l 的方程为 x+y-14=0;
当直线 l 的方程为 x + y =1 时,因为点 P(8,6)在 l 上, a a
所以 8 - 6 =1 故 a=2,所以直线 l 的方程为 x-y-2=0.综上所述, aa
题型探究·素养提升
题型一 直线和圆的方程的确定 【例1】 直线l过点P(8,6)且与两坐标轴围成等腰直角三角形,求直线l的 方程.
解:法一 直线 l 与坐标轴围成的三角形为等腰直角三角形,必须且只需直线 l 在两坐标轴上的截距的绝对值相等且不为 0,故设直线 l 的方程为
x + y =1 或 x + y =1(a≠0),
高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.2.4 点到直线的距离课件 bb高一数学课件
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求点到直线的距离 求点 P(1，2)到下列直线的距离： (1)l1：y＝x－3；(2)l2：y＝－1；(3)y 轴．
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【解】 (1)将直线方程化为一般式为 x－y－3＝0， 由点到直线的距离公式，得 d1＝ |112－＋2(－－31|)2＝2 2． (2)法一：直线方程化为一般式为 y＋1＝0， 由点到直线的距离公式，得 d2＝ |20＋2＋11| 2＝3．
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4．当点 P(x1，y1)在直线 Ax＋By＋C＝0 上时，还适合点到直 线的距离公式吗？
解：适合．点 P 在直线 Ax＋By＋C＝0 上，则距离 d＝0，且 有 Ax1＋By1＋C＝0， 所以 d＝|Ax1＋A2B＋y1B＋2 C|＝0．
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两平行线间距离的求法 (1)求两平行线间的距离可以转化为求点到直线的距离，也可 以应用公式． (2)应用两平行线间的距离公式 d＝ |CA2－2＋CB1|2时，两直线方程必 须是一般形式，而且 x，y 的系数对应相等．
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2．求过点 P(1，2)且与原点距离最大的直线方程． 解：由题意知与 OP 垂直的直线到原点 O 的距离最大， 因为 kOP＝2， 所以所求直线方程为 y－2＝－12(x－1)， 即 x＋2y－5＝0．
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1．点到直线距离公式的推导用到了解析几何中的常用方法 “设而不求”，希望在今后学习中注意这种方法在解题中的 应用．公式只与直线方程中的系数有关，因而它适合任意直 线，在具体应用过程中，应将直线方程化为一般式，再套用 公式．
第2章 平面解析几何初步
第2章 平面解析几何初步2.1 直线与方程如图2—1—2（1），已知两点1122(,),(,)P x y Q x y ，如果12x x ≠，那么直线PQ 的斜率（slope)为211221()y y k x x x x -=≠-.例 1 如图2—1—3，直线123,,l l l 都经过点(3,2),P 又123,,l l l 分别经过点123(2,1),(4,2),(3,2)Q Q Q ----，试计算直线123,,l l l 的斜率.例2 经过点（3，2）画直线，使直线的斜率分别为： （1）34；（2）45-.在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，把x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角（inclination)，并规定： 与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为0︒由定义可知，直线的倾斜角α的取值范围是0180α︒≤<︒.当直线的斜率为正时，直线的倾斜角为锐角（图2—1—5（1）），此时，tan .y BNk x ANα∆===∆当直线的斜率为负时，直线的倾斜角为钝角（图2—1—5（2）），此时，tan tan(180).y BNk x ANθα∆===-=-︒-∆-练习1.分别求经过下列两点的直线的斜率： （1）（2，3），（4，5）；（2）（－2，3），（2，1）；（3）（―3，―1），（2，―1）；（3）（―1，3），2.根据下列条件，分析画出经过点P ，且斜率为k 的直线： （1）(1,2),3P k =； （2）3(2,4),4P k =-； （3）(1,3),0P k -=；（3）(2,0),P -斜率不存在.3.设过点A 的直线的斜率为k ，试分别根据上列条件写出直线上另一点B 的坐标（答案不惟一）：（1）4,(1,2);k A =（2）2,(2,3);k A =--- （3）3,(2,4);2k A =--（4）4,(3,2).3k A =- 4.分别判断下列三点是否在同一直线上： （1）（0，2）（2，5），（3，7）； （2）（―1，4），（2，1），（―2，5）.若直线l 经过点(1,3)A -，斜率为2-，点P 在直线l 上运动，那么点P 的坐标(,)x y 满足什么条件（图2—1—6）？一般地，设直线l 经过点111(,)P x y ，斜率为k ，直线l 上任意一点P 的坐标是(,)x y . 当点(,)P x y （不同于点1P ）在直线l 上运动时，1PP的斜率恒等于k ，即 11y y k x x -=-， 故11()y y k x x -=-.可以验证：直线l 上的每个点（包括点1P ）的坐标都是这个方程的解；反过来，以这个方程的解为坐标的点都在直线l 上.这个方程就是过点1P ，斜率为k 的直线l 的方程.方程11()y y k x x -=-叫做直线的点斜式方程.当直线l 与x 轴垂直时，斜率不存在，其方程不能用点斜式表示.但因为l 上每一点的横坐标都等于1x ，所以它的方程是1x x =例1 已知一直线经过点(2,3)P -，斜率为2，求这条直线的方程.例2 已知直线l 的斜率为k ，与y 轴的交点是(0,)P b ，求直线l 的方程. 练习1.根据下列条件，分别写出直线的方程： （1）经过点(4,2)-，斜率为3；（2）经过点(3,1)，斜率为12； （3）斜率为2-，在y 轴上的截距为2-；（4，与x 轴交点的横坐标为7-. 2.直线(1)(0)y k x k =+>的图象可能是（ ）.3.若一直线经过点(1,2)P ，且斜率与直线23y x =-+的斜率相等，则该直线的方程是 .4.任一条直线都可以用点斜式方程表示吗？斜截式方程可以改写成点斜式方程吗？ 思考（1）方程121121y y y y x x x x --=--的左、右两边各具有怎样的几何意义？它表示什么图表？ （2）方程121121y y y y x x x x --=--和方程112121y y x x y y x x --=--表示同一图形吗？ 例1 已知直线l 经过两点(,0),(0,)A a B b ，其中0ab ≠，求直线l 的方程（图2—1—8）.例2 已知三角形的顶点是(5,0),(3,3),(0,2)A B C --（图2—1—9），试求这个三角形三边所在直线的方程.1.分别写出经过下列两点的直线的方程： （1）（1，3），（－1，2）；（2）（0，3），（－2，0）.2.已知两点(3,2),(8,12)A B . （1）求出直线AB 的方程；（2）若点(2,)C a -在直线AB 上，求实数a 的值.3.求过点(3,4)M -，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程.4.回答下列问题：（1）任一条直线都有x 轴上的截距和y 轴上的截距吗？（2）如果两条直线有相同的斜率，但在x 轴上的截距不同，那么它们在y 轴上的截距可能相同吗？（3）如果两条直线在y 轴上的截距相同，但是斜率不同，那么它们在x 轴上的截距可能相同吗？（4）任一条直线都可以用截距式方程表示吗？ 思考平面内任意一条直线是否都可以用形如0Ax By C ++=（,A B 不全为0）的方程来表示？例1 求直线:35150l x y +-=的斜率以及它在x 轴、y 轴上的截距，并作图.例2 设直线l 的方程为260x my m +-+=，根据下列条件分别确定m 的值： （1）直线l 在x 轴上的截距是3-； （2）直线l 的斜率是1.1.如果直线326x y +=的斜率为k ，在y 轴上的截距为b ，那么有（ ）.A.3,32k b =-=B.2,33k b =-=- C.3,32k b =-=-D.2,23k b =-= 2.直线52100x y --=在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，则（ ）. A.2,5a b ==B.2,5a b ==-C.2,5a b =-=D.2,5a b =-=-3.设直线l 的方程为0Ax By C ++=（,A B 不同时为0），根据下列条件，求出,,A B C 应满足的条件：（1）直线l 过原点；（2）直线l 垂直于x 轴； （3）直线l 垂直于y 轴；（3）直线l 与两条坐标轴都相交.4.写出下列图中各条直线的方程，并化为一般式：习题2.1（1）1.根据下列条件，分别写出直线的方程：（1）过点(3,2)-，斜率为3； （2）过点(3,0)-，且与x 轴垂直； （3）斜率为4-，且在y 轴上的截距为7；（4）经过点(1,8),(4,2)--.2.写出过点(3,1)P ，且分别满足下列条件的直线l 的方程； （1）直线l 垂直于x 轴； （2）直线l 垂直于y 轴； （3）直线l 过原点.3.分别求下列直线与两坐标轴围成的三角形的面积： （1）2360x y --=；（2）5320x y ++=.4.一根弹簧挂4kg 的物体时，长20cm.在弹性限度内，所挂物体的质量每增加1kg ，弹簧伸长1.5cm.试写出弹簧的长度l （cm ）和所挂物体质量m （kg ）之间的关系.5.一根铁棒在40℃时长12.506m ，在80℃时长12.512m.已知长度l （m ）和温度t （℃）之间的关系可以用直线方程来表示，试求出这个方程，并根据这个方程求出这根铁棒在100℃时的长度.6.已知菱形的两条对角线长分别为8和6，以菱形的中心为坐标原点，较长对角线所在的直线为x 轴，建立直角坐标系，求出菱形各边所在直线的方程.7.直线l 经过点(3,1)-，且与两条坐标轴围成一个等腰直角三角形，求直线l 的方程. 8.设直线l 的方程为2(3)260(3)x k y k k +--+=≠，根据下列条件分别确定k 的值； （1）直线l 的斜率为－1；（2）直线l 在x 轴、y 轴上截距之和等于0.9.设直线l 的方程为3(2)y k x -=+，当k 取任意实数时，这样的直线具有什么共同的特点？10.已知两条直线1110a x b y ++=和2210a x b y ++=都过点(1,2)A ，求过两点111222(,),(,)P a b P a b 的直线的方程.11.“坡度”常用来刻画道路的倾斜程度，这个词与直线的斜率有何关系？坡度为4%的道路很陡吗？调查一些山路或桥面的坡度，并与同学交流.例1 求证：顺次连结7(2,3),5,,(2,3),(4,4)2A B C D ⎛⎫--- ⎪⎝⎭四点所得的四边形是梯形（图2—1—12）.例2 求过点(2,3)A -，且与直线250x y +-=平行的直线的方程. 思考如果两条直线12,l l 中的一条斜率不存在，那么这两条直线什么时候互相垂直？逆命题成立吗？例3 （1）已知四点(5,3),(10,6),(3,4),(6,11)A B C D --，求证：AB CD ⊥； （2）已知直线1l 的斜率134k =，直线2l 经过点，且12l l ⊥，求实数a 的值.例4 如图2—1—14，已知三角形的顶点为(2,4),(1,2),(2,3)A B C --，求BC 边长的高AD 所在直线的方程.例5 在路边安装路灯，路宽23m ，灯杆长2.5m ，且与灯柱成120°角.路灯采用锥形灯罩轴线与灯杆垂直.当灯柱高h 为多少米时，灯罩轴线正好通过道路路面的中线？（精确到0.01m ） 习题1.分别判断下列直线AB 与CD 是否平行： （1）(3,1),(1,1)A B --；(3,5),(5,1)C D -；（2）(2,4),(4)A B --； (0,1),(4,1).C D 2.已知17(4,2),(1,1),(5,5),(,)32A B C D ----，求证：四边形ABCD 是梯形. 3.以(1,1),(2,1),(1,4)A B C --为顶点的三角形是（ ）. A.锐有三角形B.直角三角形C.钝角三角形4.求过点(2,3)A ，且分别适合下列条件的直线的方程：（1）平行于直线2530x y +-=； （2）垂直于直线20x y --=.例1 分别判断下列直线1l 与2l 是否相交，若相交，求出它们的交点： （1）1:27,l x y -=2:3270;l x y +-= （2）1:2640,l x y -+= 2:41280;l x y -+=（3）1:4240,l x y ++= 2:2 3.l y x =-+例2 直线l 经过原点，且经过另两条直线2380,10x y x y ++=--=的交点，求直线l 的方程.例3 某商品的市场需求量1y （万件）、市场供应量2y （万件）与市场价格x （元/件）分别近似地满足下列关系：1270,220y x y x =-+=-.当12y y =时的市场价格称为市场平衡价格，此时的需求量称为平衡需求量. （1）求平衡价格和平衡需求量；（2）若要使平衡需求量增加4万件，政府对每件商品应给予多少元补贴？思考已知直线1:10l x y ++=和2:240l x y -+=，那么方程1(24)0x y x y λ+++-+=（λ为任意实数）表示的直线有什么特点？ 习题1.与直线230x y --=相交的直线的方程是（ ）. A.4260x y --= B.2y x = C.25y x =+D.23y x =-+2.若三角直线2380,10x y x y ++=--=和102x ky k +++=相交于一点，则k 的值等于（ ）A .－2B.12-C.2D.123.已知直线l 经过两条直线2330x y --=和20x y ++=的交点，且与直线310x y +-=平行，求直线l 的方程.4.在例3中，求当每件商品征税3元时新的平衡价格. 习题2.1（2）1.分别求满足下列条件的直线的方程：（1）经过点(3,2)A ，且与直线420x y +-=平行； （2）经过点(3,0)B ，且与直线250x y +-=垂直；（3）经过点(2,3)C -，且平行于过两点(1,2)M 和(1,5)M --的直线. 2.三角形三个项点是(4,0),(6,7),(0,3)A B C ，求AB 边上高所在直线的方程. 3.根据下列条件，求直线的方程：（1）斜率为－2，且过两条直线340x y -+=和40x y +-=的交点；（2）过两条直线230x y -+=和290x y +-=的交点和原点；（3）过两条直线22100x y -+=和3420x y +-=的交点，且垂直于直线3240x y -+=；（4）过两条直线280x y +-=和210x y -+=的交点，且平行于直线4370x y --=.4.三条直线280ax y ++=，4310x y +=和210x y -=相交于一点，求a 的值.5.已知(1,3),(3,2),(6,1),(2,4)A B C D ---，求证：四边形ABCD 为平行四边形.6.已知两条直线210ax ay ++=和(1)(1)10a x a y --+-=互相垂直，求垂足的坐标.7.已知两条直线12:(3)453,:2(5)8l m x y m l x m y ++=-++=，当m 为何值时，1l 与2l ：（1）相交？（2）平行？（3）垂直？ 8.已知三条直线10,280x y x y ++=-+=和350ax y +-=共有三个不同的交点，求实数a 满足的条件.9.试证明：如果两条直线斜率的乘积等于－1，那么它们互相垂直.10.（1）已知直线:0l Ax By C ++=，且直线1//l l ，求证：直线1l 的方程总可以写出110()Ax By C C C ++=≠；（2）已知直线:0l Ax By C ++=，且直线2l l ⊥，求证：直线2l 的方程总可以写成20Bx Ay C -+=.11.直线1l 和2l 的方程分别是1110A x B y C ++=和2220A x B y C ++=，其中11,A B 不全为220,,A B 也不全为0.试探求：（1）当12//l l 时，直线方程中的系数应满足什么关系？（2）当12l l ⊥时，直线方程中的系数应满足什么关系？例1 （1）求(1,3),(2,5)A B -两点间的距离；（2）已知(0,10),(,5)A B a -两点间的距离是17，求实数a 的值.例2 已知ABC ∆的顶点坐标为(1,5),(2,1),(4,7)A B C ---，求BC 边上的中线AM 的长和AM 所在直线的方程.例3 已知ABC ∆是直角三角形，斜边BC 的中点为M ，建立适当的直角坐标系，证明：12AM BC =.习题1.求线段AB 的长及其中点的坐标：（1）(8,10),(4,4)A B -； （2）((A B .2.已知ABC ∆的顶点坐标为(3,2),(1,0),(2A B C ，求AB 边上的中心CM 的长.3.已知两点(1,4),(3,2)P A -，求点A 关于点P 的对称点B 的坐标.思考你还能通过其他途径求点P 到直线l 的距离吗？例1 求点(1,2)P -到下列直线的距离：（1）2100x y +-=；（2）32x =.例2 求两条平行直线340x y +-=与2690x y +-=之间的距离.例3 建立适当的直角坐标系，证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高.习题1.求下列点P 到直线l 的距离：（1）(3,2),:34250P l x y -+-=；（2）(2,1),:350P l y -+=.2.求下列两条平行直线之间的距离：（1）51220512150x y x y --=-+=与；（2）364502x y y x -+==与. 3.直线l 经过原点，且点(5,0)M 到直线l 的距离等于3，求直线l 的方程.习题2.1（3）1.求,A B 两点之间的距离：（1）(2,0),(2,3);A B ---（2）(0,3),(3,3)A B ---；（3）(3,5),(3,3)A B -.2.已知点(1,2)P -，分别求点P 关于原点、x 轴和y 轴的对称点的坐标.3.设点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，线段AB 的中点M 的坐标是(2,1)-，求线段AB 的长度.4.已知,A B 两点都在直线1y x =-上，且,A B ,A B 之间的距离.5.已知两点(2,3),(1,4)A B -，点(,)P x y 到点,A B 的距离相等，求实数,x y 满足的条件.6.已知点(,)P x y 在直线40x y +-=上，O 是原点，求OP 的最小值.7.求点P 到直线l 的距离：（1）(2,1),:230P l x +=；（2）(3,4),:34300P l x y --+=.8.直线l 到两条平行直线220x y -+=和240x y -+=的距离相等，求直线l 的方程.9.直线l 在y 轴上截距为10，且原点到直线l 的距离是8，求直线l 的方程.10.点P 在直线350x y +-=上，且点P 到直线10x y --=求点P 的坐标.11.已知(7,8),(10,4),(2,4)A B C -，求ABC ∆的面积. 12.已知直线l 经过点(2,3)-，且原点到直线l 的距离是2，求直线l 的方程.13.在ABC ∆中，点,E F 分别为,AB AC 的中点，建立适当的直角坐标系，证明：//EF BC ，且12EF BC =. 14.过点(3,0)P 作直线l ，使它被两条相交直线220x y --=和30x y ++=所截得的线段恰好被P 点平分，求直线l 的方程.15.已知光线通过点(2,3)A -，经x 轴反射，其反射光线通过点(5,7)B ，求入射光线和反射光线所在直线的方程.16.已知光线通过点(2,3)A ，经直线10x y ++=反射，其反射光线通过点(1,1)B ，求入射光线和反射光线所在直线的方程.17.在直线20x y +=上求一点P ，使它到原点的距离与到直线230x y +-=的距离相等.18.已知直线:33l y x =+，求：（1）直线l 关于点(3,2)M 对称的直线的方程；（2）直线20x y --=关于l 对称的直线的方程.19.证明平行四边形四边的平方和等于两条对角线的平方和.20.求证：两点(,)A a b ，(,)B b a 关于直线y x =对称.21.已知(1,3)M -，(6,2)N ，点P 在x 轴上，且使PM PN +取最上值，求点P 的坐标.22.某人上午8时从山下大本营出发登山，下午4时到达山顶.次日上午8时从山顶沿原路返回，下午4时回到山下大本营.如果该人以同样的速度匀速上山、下山，那么两天中他可能在同一时刻经过途中同一地点吗？如果他在上山、下山过程中不是匀速行进，他还可能在同一时刻经过途中同一地点吗？2.2 圆与方程例1 求圆心(2,3)C -，且经过坐标原点的圆的方程.例2 已知隧道的截面是半径为4m 的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7m ，高为3m 的货车能不能驶入这个隧道？思考假设货车的最大宽度为a m ，那么货车要驶入该隧道，限高为多少？例3 已知ABC ∆顶点的坐标为(4,3),(5,2),(1,0)A B C ，求ABC ∆外接圆的方程. 思考 本题还有其他解法吗例4 某圆拱梁的示意图如图2—2—4所示.该圆拱的跨度AB 是36m ，拱高OP 是6m ，在建造时，每隔3m 需要一个支柱支撑，求支柱22A P 的长（精确到0.01m ）.习题1.写出下列各圆的方程：（1）圆心在原点，半径为6；（2）经过点(6,3)P ，圆心为(2,2)C -.2.求以点(1,5)C --为圆心，并且和y 轴相切的圆的方程.3.已知点(4,5),(5,1)A B ---，求以线段AB 为直径的圆的方程.4.下列方程各表示什么图形？若表示圆，则求其圆心和半径：（1）2240x y x +-=；（2）224250x y x y +--+=.5.求经过点(4,1),(6,3),(3,0)A B C -的圆的方程.6.如果方程22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->所表示的曲线关于直线y x =对称，那么必有（ ）.A.D E =B.D F =C.E F =D.D E F ==习题2.2（1）1.求满足下列条件的圆的方程：（1）过点(2,2)P -，圆心是(3,0);C（2）与两坐标轴都相切，且圆心在直线2350x y -+=上；（3）经过点(3,5)A 和(3,7)B -，且圆心在x 轴上.2.已知圆内接正方形相对的两个顶点的坐标分别是(5,6),(3,4)A C -，求这个圆的方程.3.已知半径为5的圆过点(3,4)P -，且圆心在直线210x y -+=上，求这个圆的方程.4.求经过三点(1,5),(5,5),(6,2)A B C --的圆的方程.5.已知圆222420x y x by b ++++=与x 轴相切，求b 的值.6.求过两点(0,4),(4,6)A B ，且圆心在直线220x y --=上的圆的标准方程.7.已知点(1,1)P 在圆22()()4x a y a -++=的内部，求实数a 的取值范围.8.画出方程1x -=. 9.求圆222210x y x y ++-+=关于直线30x y -+=对称的圆的方程.10.已知点(,)M x y 与两个定点(0,0),(3,0)O A 的距离之比为12，那么点M 的坐标应满足什么关系？画出满足条件的点M 所形成的曲线.11.河道上有一座圆拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面为9m ，拱圈内水面宽22m.一条船在水面以上部分高6.5m ，船顶部宽4m ，故通行无阻.近日水位暴涨了2.7m ，为此，必须加得船载，降低船身，才能通过桥洞.试问：船身应该降低多少？例1 求直线430x y +=和圆22100x y +=的公共点坐标，并判断它们的位置关系.例2 自点(1,4)A -作圆22(2)(3)1x y -+-=的切线l ，求切线l 的方程.例3 求直线0x +=被圆224x y +=截得的弦长.习题1.判断下列各组中直线l 与圆C 的位置关系：（1）:10l x y +-=，22:4C x y +=； （2）:4380,l x y --=22:(1)1;C x y ++= （3）:40l x y +-=， 22:20C x y x ++=.2.若直线1ax by +=与圆221x y +=相交，则点(,)P a b 与圆的位置关系是（ ）A.在圆上B.在圆外C.在圆内D.不能确定3.（1）求过圆224x y +=上一点的圆的切线方程；（2）求过原点且与圆22(1)(2)1x y -+-=相切的直线的方程.4.求直线230x y +-=被圆22(2)(1)4x y -++=截得的弦长.5.从圆22(1)(1)1x y -+-=外一点(2,3)P 向圆引切线，求切线长.例1 判断下列两圆的位置关系：（1）22(2)(2)1x y ++-=与22(2)(5)16x y -+-=；（2）22670x y x ++-=与226270x y y ++-=.例2 求过点(0,6)A 且与圆22:10100C x y x y +++=切于原点的圆的方程.习题1.判断下列两个圆的位置关系：（1）22(3)(2)1x y -++=与22(7)(1)36x y -+-=；（2）2222320x y x y +-+=与22330x y x y +--=.2.已知圆22x y m +=与圆2268110x y x y ++--=相交，求实数m 的取值范围.习题2.2（2）1.过点(3,4)P --作直线l ，当l 的斜率为何值时，（1）直线l 将圆22(1)(2)4x y -++=平分？（2）直线l 与圆22(1)(2)4x y -++=相切？（3）直线l 与圆22(1)(2)4x y -++=相交，且所截得的弦长为2？2.已知过点(1,1)A --的直线l 与圆222660x y x y +-++=相交，求直线l 斜率的取值范围.3.，且与直线23100x y +-=切于点(2,2)P 的圆的方程.4.已知以(4,3)C -为圆心的圆与圆221x y +=相切，求圆C 的方程.5.求圆心在y 轴上，且与直线1:43120l x y -+=，直线2:34120l x y --=都相切的圆的方程.6.已知一个圆经过直线:240l x y ++=与圆22:2410C x y x y ++-+=的两个交点，并且有最小面积，求此圆的方程.7.已知圆C 的方程是222x y r +=，求证：经过圆C 上一点00(,)M x y 的切线方程200x x y y r +=.8.已知圆222:C x y r +=，直线2:l ax by r +=.（1）当点(,)P a b 在圆C 上时，直线l 与圆C 具有怎样的位置关系？（2）当点(,)P a b 在圆C 外时，直线l 具有什么特点？2.3 空间直角坐标系例1 在空间直角坐标系中，作出点(5,4,6)P .例2 如图2—3—4，在长方体ABCD A B C D ''''-中，12,8, 5.AB AD AA '===以这个长方体的顶点A 为坐标原点，射线AB ，AD ，AA '分别为x 轴、y 轴和x 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体各个顶点的坐标.思考在空间直角坐标系中，x 轴上的点、xOy 平面内的点的坐标分别具有什么特点？例3 （1）在空间直角坐标系O xyz -中，画出不共线的3个点,,P Q R ，使得这3个点的坐标都满足3z =，并画出图形；（2）写出由这三个点确定的平面内的点的坐标应满足的条件.习题1.在空间直角坐标系中，画出下列各点：(0,0,3),(1,2,3),(2,0,4),(1,2,2).A B C D --2.在长方体ABCD A B C D ''''-中，6,4,7AB AD AA '===.以这个长方体的顶点B 为坐标原点，射线,,AB BC BB '分别为x 轴、y 轴和z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体各个顶点的坐标.3.写出空间直角坐标系yOz 平面内的点的坐标应满足的条件.例1 求空间两点12(3,2,5),(6,01)P P --间的距离12PP .例2 平面上到坐标原点的距离为1的点的轨迹是单位圆，其方程为221x y +=.在空间中，到坐标原点的距离为1的点的轨迹是什么？试写出它的方程.思考 连结平面上两点111222(,),(,)P x y P x y 的线段12PP 的中点M 的坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，那么，已知空间中两点11112222(,,),(,,)P x y z P x y z ，线段12PP 的中点M 的坐标是什么呢？练习1.运用两点间距离公式求图2—3—4中线段,OC B C ''的长度.2.一个长方体的8个顶点的坐标为（0，0，0），（0，1，0）（3，0，0），（3，1，0），（3，1，9），（3，0，9），（0，0，0），（0，1，9）.（1）在空间直角坐标系中画出这个长方体；（2）求这个长方体的体积.3.已知正四棱锥P ABCD -的底面边长为13，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标.4.已知(2,5,6),A -在y 轴上求一点P ，使7PA =.5.已知空间三点(1,0,1),(2,4,3),(5,8,5)A B C -，求证：,,A B C 在同一条直线上.6.（1）求点(4,3,7)P -关于xOy 平面的对称点的坐标；（2）求点(2,1,4)P 关于坐标原点的对称点的坐标；（3）求点(3,2,4)P -关于点(0,1,3)A -的对称点的坐标.7.在你的教室或房间里建立适当的空间直角坐标系，以此确定电灯、门锁或开关的位置，写出相应的坐标.复习题1.已知直线350ax y +-=经过点(2,1)A ，求实数a 的值.2.已知过两点(,3),(5,)A a B a --的直线的斜率为1，求a 的值及这两点间的距离.3.如果0,0AC BC <>，那么直线0Ax By C ++=不通过（ ）.A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.已知直线10mx ny +-=经过第一、三、四象限，求实数,m n 满足的条件.5.已知直线l 过点(5,4)P --，且与两坐标轴围成的三角形的面积为5个平方单位，求直线l 的方程.6.直线过点(5,6)P ，它在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍，求此直线的方程.7.已知直线22x ay a +=+与直线1ax y a +=+平行，求实数a 的值.9.已知点A 与点(1,1)P -的距离为5，且到y 轴的距离等于4，求A 点的坐标.10.已知两条平行直线2360x y +-=和230x y a ++=之间的距离等于2，求实数a 的值.11.求圆224440x y x y +-++=被直线50x y --=所截得的弦的长度.12.求与点(32,10),(42,0),(0,)A B C 的距离都相等的点的坐标.13.求与圆22:(5)3C x y ++=相切，且在x 轴、y 轴上的截距相等的直线的方程.14.判断两圆222200x y x y ++--=与2225x y +=的位置关系.15.过点(1,2)P 作一直线l ，使直线l 与点(2,3)M 和点(4,5)N -的距离相等，求直线l 的方程.16.在空间直角坐标系中作出下列点，并求两点间的距离和连结两点的线段的中点坐标：（1）(2,4,1),(4,6,7);A B --- （2）(8,3,2),(4,5,2).C D --17.河北省赵县的赵州桥，是世界上历史最悠久的石拱桥，赵州桥的跨度约为37.4 m ，圆拱高约为7.2m ，试写出这个圆拱所在的圆的方程.18.已知平面内两点(4,1),(3,1)A B --，直线2y kx =+与线段AB 恒有公共点，求实数k 的取值范围.19.求证：无论k 取任何实数，直线(14)2(3)(214)0k x k y k +--+-=必经过一个定点，并求出定点的坐标.20.设集合22222{(,)|4},{(,)|(1)(1)(0)}M x y x y N x y x y r r =+≤=-+-≤>.当M N N = 时，求实数r 的取值范围.21.已知点(1,3),(5,2),M N -在x 轴上取一点P ，使得||PM PN -最大，求P 点的坐标.22.如图，在矩形ABCD 中，已知3,,AB AD E F =为AB 的两个三等分点，,AC DF 交于点G ，建立适当的直角坐标系，证明：EG DF ⊥.23.已知ABC ∆的一条内角平分线CD 的方程为210x y +-=，两个顶点为(1,2),(1,1)A B --，求第三个顶点C 的坐标.24.若直角y x b =+与曲线x =b 的取值范围.25.在直角坐标系中，已知射线:0(0),30(0)OA x y x OB y x -=≥+=≥，过点(1,0)P 作直线分别交射线,OA OB 于点,.A B（1）当AB 中点为P 时，求直线AB 的方程；（2）当AB 中点在直线12y x =上时，求直线AB 的方程. 26.已知点P 在xOy 平面内，点A 的坐标为（0，0，4），5PA =，那么，满足此条件的点P 组成什么曲线？27.已知圆222440x y x y +-+-=，是否存在斜率为1的直线l ，使以l 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.28.把函数()y f x =在x a =和x b =之间的一段图象近似地看做直线，且设a c b <<，试用(),()f a f b 来估计()f c .。
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第四章平面解析几何初步1．掌握两条直线平行和垂直的条件，掌握两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．2．会用二元一次不等式表示平面区域．3．了解简单的线性规划问题，了解线性规划的意义，并会简单的应用．4．了解解析几何的基本思想，了解用坐标法研究几何问题的方法．在近几年的高考试题中，两点间的距离公式、中点坐标公式、直线方程的点斜式、斜截式、一般式、斜率公式及两条直线的位置关系，圆的方程及直线与圆、圆与圆的位置关系是考查的热点.但由于知识的相互渗透，综合考查直线与圆锥曲线的关系一直是高考命题的大热门，应当引起特别注意，本章的线性规划内容是新教材中增加的新内容，近年来，在高考中经常考查，但基本上以中易题出现．考查的数学思想方法，主要是数形结合、分类讨论、方程的思想和待定系数法等．第1课时直线的方程1．倾斜角:对于一条与x轴相交的直线,把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角α叫做直线的倾斜角．当直线和x轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为0°．倾斜角的范围为________．斜率:当直线的倾斜角α≠90°时，该直线的斜率即k＝tanα；当直线的倾斜角等于90°时，直线的斜率不存在．2．过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式．若x1＝x2，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°． 3．直线方程的五种形式名称 方程 适用范围 斜截式 点斜式 两点式 截距式 一般式例1. 已知直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m)y ＝4m －1．① 当m ＝ 时，直线的倾斜角为45°．②当m ＝ 时，直线在x 轴上的截距为1．③ 当m ＝ 时，直线在y 轴上的截距为－23．④当m ＝ 时，直线与x 轴平行．⑤当m ＝ 时，直线过原点． 解：(1) －1 ⑵ 2或－21⑶31或－2 ⑷－23⑸ 41变式训练1.（1）直线3y ＋ 3 x ＋2=0的倾斜角是 （ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° （2）设直线的斜率k=2，P 1（3，5），P 2（x 2，7），P （－1，y 3)是直线上的三点，则x 2，y 3依次是 （ ）A ．－3，4B ．2，－3C ．4，－3D ．4，3（3）直线l 1与l 2关于x 轴对称，l 1的斜率是－7 ，则l 2的斜率是 （ ）A ．7B ．－77 C ．77D ．－7 （4）直线l 经过两点（1，－2），（－3，4），则该直线的方程是 ．解：（1）D ．提示：直线的斜率即倾斜角的正切值是－33． （2）C ．提示：用斜率计算公式1212y y x x --． （3）A ．提示：两直线的斜率互为相反数．（4）2y ＋3x ＋1=0．提示：用直线方程的两点式或点斜式 例2. 已知三点A （1，-1），B （3，3），C （4，5）. 求证：A 、B 、C 三点在同一条直线上. 证明 方法一 ∵A （1，-1），B （3，3），C （4，5）， ∴k AB =1313-+=2,k BC =3435--=2，∴k AB =k BC ，∴A 、B 、C 三点共线.方法二 ∵A （1，-1），B （3，3），C （4，5）， ∴|AB|=25，|BC|=5，|AC|=35，∴|AB|+|BC|=|AC|，即A 、B 、C 三点共线. 方法三 ∵A （1，-1），B （3，3），C （4，5），典型例题∴AB =（2，4），BC =（1，2），∴AB =2BC . 又∵AB 与BC 有公共点B ，∴A 、B 、C 三点共线.变式训练2. 设a ，b ，c 是互不相等的三个实数，如果A （a ，a 3）、B （b ，b 3）、C （c ，c 3）在同一直线上，求证：a+b+c=0.证明 ∵A 、B 、C 三点共线，∴k AB =k AC ， ∴ca c ab a b a --=--3333，化简得a 2+ab+b 2=a 2+ac+c 2，∴b 2-c 2+ab-ac=0，（b-c ）（a+b+c ）=0， ∵a 、b 、c 互不相等，∴b-c≠0，∴a+b+c=0. 例3. 已知实数x,y 满足y=x 2-2x+2 (-1≤x≤1). 试求：23++x y 的最大值与最小值. 解： 由23++x y 的几何意义可知，它表示经过定点P （-2，-3）与曲线段AB 上任一点（x,y)的直线的斜率k,如图可知：k PA ≤k≤k PB , 由已知可得：A （1，1），B （-1，5）， ∴34≤k≤8， 故23++x y 的最大值为8，最小值为34. 变式训练3. 若实数x,y 满足等式(x-2)2+y 2=3，那么xy的最大值为 （ ） A.21B.33 C.23D.3答案D例4. 已知定点P(6, 4)与直线l 1:y ＝4x ，过点P 的直线l 与l 1交于第一象限的Q 点，与x 轴正半轴交于点M ．求使△OQM 面积最小的直线l 的方程． 解：Q 点在l 1: y ＝4x 上，可设Q(x 0，4x 0)，则PQ 的方程为：6644400--=--x x x y 令y ＝0，得：x ＝1500-x x (x 0>1)，∴ M(1500-x x，0) ∴ S △OQM ＝21·1500-x x ·4x 0＝10·1020-x x＝10·[(x 0－1)＋110-x ＋2]≥40 当且仅当x 0－1＝110-x 即x 0＝2取等号，∴Q(2，8) PQ 的方程为：626484--=--x y ，∴x ＋y －10＝0变式训练4.直线l 过点M(2，1)，且分别交x 轴y 轴的正半轴于点A 、B ，O 为坐标原点． (1)当△AOB 的面积最小时，求直线l 的方程； (2)当MB MA ⋅取最小值时，求直线l 的方程．解：设l ：y －1＝k(x －2)(k ＜0) 则A(2－k1，0)，B(0，1－2k) ①由S ＝21(1－2k)(2－k 1)＝21(4－4k －k 1) ≥21⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⋅-+)1()4(24k k ＝4当且仅当－4k ＝－k 1，即k ＝－21时等号成立 ∴△AOB 的面积最小值为4此时l 的方程是x ＋2y －4＝0 ②∵|MA|·|MB|＝224411k k+⋅+ ＝||)1(22k k +＝2⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-)()1(k k ≥4 当且仅当－k ＝－k1即k ＝－1时等号成立 此时l 的方程为x ＋y －3＝0（本题也可以先设截距式方程求解）1．直线方程是表述直线上任意一点M 的坐标x 与y 之间的关系式，由斜率公式可导出直线方程的五种形式．这五种形式各有特点又相互联系，解题时具体选取哪一种形式，要根据直线的特点而定．2．待定系数法是解析几何中常用的思想方法之一，用此方法求直线方程，要注意所设方程的适用范围．如：点斜式、斜截式中首先要存在斜率，截距式中横纵截距存在且不为0，两点式的横纵坐标不能相同等（变形后除处）．3．在解析几何中,设点而不求,往往是简化计算量的一个重要方法.4．在运用待定数法设出直线的斜率时，就是一种默认斜率存在，若有不存在的情况时，就会出现解题漏洞，此时就要补救：较好的方法是看图，数形结合来找差距.第2课时 直线与直线的位置关系（一）平面内两条直线的位置关系有三种________．1．当直线不平行坐标轴时，直线与直线的位置关系可根据下表判定2（二）点到直线的距离、直线与直线的距离1．P(x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0 的距离为______________．2．直线l 1∥l 2，且其方程分别为：l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0 l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0，则l 1与l 2的距离为 ．（三）两条直线的交角公式若直线l 1的斜率为k 1，l 2的斜率为k 2，则 1．直线l 1到l 2的角θ满足 ．2．直线l 1与l 2所成的角(简称夹角)θ满足 ．（四）两条直线的交点：两条直线的交点的个数取决于这两条直线的方程组成的方程组的解的个数．（五）五种常用的直线系方程.① 过两直线l 1和l 2交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(不含l 2). ② 与直线y ＝kx ＋b 平行的直线系方程为y ＝kx ＋m (m≠b). ③ 过定点(x 0, y 0)的直线系方程为y －y 0＝k(x －x 0)及x ＝x 0.④ 与Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程设为Ax ＋By ＋m ＝0 (m≠C). ⑤ 与Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程设为Bx －Ay ＋C 1＝0 (AB≠0).例1. 已知直线l 1:ax+2y+6=0和直线l 2:x+(a-1)y+a 2-1=0, （1）试判断l 1与l 2是否平行； （2）l 1⊥l 2时，求a 的值.解（1）方法一 当a=1时，l 1:x+2y+6=0, l 2:x=0,l 1不平行于l 2; 当a=0时，l 1:y=-3,l 2:x-y-1=0,l 1不平行于l 2; 当a≠1且a≠0时，两直线可化为 l 1:y=-x a 2-3,l 2:y=x a-11-(a+1), l 1∥l 2⇔⎪⎩⎪⎨⎧+-≠--=-)1(3112a a a，解得a=-1, 综上可知，a=-1时，l 1∥l 2，否则l 1与l 2不平行.方法二 由A 1B 2-A 2B 1=0，得a （a-1）-1×2=0， 由A 1C 2-A 2C 1≠0，得a(a 2-1)-1×6≠0,∴l 1∥l 2⇔⎪⎩⎪⎨⎧≠⨯--=⨯--061)1(021)1(2a a a a⇔⎪⎩⎪⎨⎧≠-=--6)1(0222a a a a ⇒a=-1,故当a=-1时，l 1∥l 2，否则l 1与l 2不平行.（2）方法一 当a=1时，l 1:x+2y+6=0,l 2:x=0,l 1与l 2不垂直，故a=1不成立.当a≠1时，l 1:y=-2ax-3, l 2:y=x a-11-(a+1), 由⎪⎭⎫⎝⎛-2a ·a-11=-1⇒a=32.方法二 由A 1A 2+B 1B 2=0，得a+2(a-1)=0⇒a=32.变式训练1.若直线l 1：ax+4y-20=0，l 2：x+ay-b=0，当a 、b 满足什么条件时，直线l 1与l 2分别相交？平行？垂直？重合？解：当a=0时，直线l 1斜率为0，l 2斜率不存在，两直线显然垂直。