华师大版七年级数学下册暑假提高练习7-动点专题
华师大版七年级下册初一数学（提高...
华师⼤版七年级下册初⼀数学（提⾼...华师⼤版七年级下册数学重难点突破全册知识点梳理及重点题型举⼀反三巩固练习从实际问题到⽅程（提⾼）知识讲解【学习⽬标】1．正确理解⽅程的概念，并掌握⽅程、等式及代数式的区别与联系；2. 理解并掌握等式的两个基本性质；3. 掌握⽅程的变形规则并能解简单的⽅程.【要点梳理】【从算式到⽅程三、解⽅程的依据——等式的性质】要点⼀、等式1．等式的概念：⽤符号“=”来表⽰相等关系的式⼦叫做等式.2．等式的性质：等式的性质1：等式两边都加（或减去）同⼀个数（或整式），所得的等式仍然成⽴．即：如果，那么 (c表⽰任意数或整式) .等式的性质2：等式两边都乘（或除以）同⼀个数（除数不能是0），所得的等式仍然成⽴.即：如果，那么；如果，c≠0，那么.要点诠释：（1）根据等式的两条性质，对等式进⾏变形，等式两边必须同时进⾏完全相同的变形；(2) 等式性质1中，强调的是整式，如果在等式两边同加的不是整式，那么变形后的等式不⼀定成⽴；如x＝0中，两边加上得x＋，这个等式不成⽴；(3) 等式的性质2中等式两边都除以同⼀个数时，这个除数不能为零．【从算式到⽅程⼀、⽅程的有关概念】要点⼆、⽅程的有关概念1．定义：含有未知数的等式叫做⽅程.要点诠释：判断⼀个式⼦是不是⽅程，只需看两点：⼀.是等式；⼆.含有未知数．2．⽅程的解：使⽅程左右两边的值相等的未知数的值，叫做⽅程的解.要点诠释：判断⼀个数（或⼀组数）是否是某⽅程的解，只需看两点：①它（或它们）是⽅程中未知数的值；②将它（或它们）分别代⼊⽅程的左边和右边，若左边等于右边，则它（或它们）是⽅程的解，否则不是．3．解⽅程：求⽅程的解的过程叫做解⽅程.4．⽅程的两个特征：（1）⽅程是等式；（2）⽅程中必须含有字母（或未知数）.5．⽅程的变形规则：⽅程两边都加（或都减去）同⼀个数或同⼀个整式，⽅程的解不变．⽅程两边都乘以（或都除以）同⼀个不等于0的数，⽅程的解不变.6．移项：在解⽅程的过程中，等号的两边加上（或减去）⽅程中某⼀项的变形过程，相当于将这⼀项改变符号后，从⽅程的⼀边移到另⼀边.这种变形过程叫做移项.要点诠释：移项通常是指把含有未知数的项移到⽅程的⼀边，其他项移到⽅程的另⼀边，但⽆论是移含有未知数的项还是其他项都要改变符号，然后再进⾏移项.【典型例题】类型⼀、⽅程的概念1．（2014秋?越秀区期末）下列⽅程中，是⼀元⼀次⽅程的是（）A. x+y=1B. x2﹣x=1C.+1=3xD.+1=3【答案】C解：A、是⼆元⼀次⽅程，故本选项错误；B、是⼆元⼆次⽅程，故本选项错误；C、符合⼀元⼀次⽅程的定义，故本选项正确；D、是分式⽅程，故本选项错误．【总结升华】⽅程是含有未知数的等式，⽅程和等式的关系是从属关系，且具有不可逆性，⽅程⼀定是等式，但等式不⼀定是⽅程，区别在于是否含有未知数．2．下列各⽅程后⾯括号⾥的数都是⽅程的解的是( )．A．2x-1＝3 (2，-1) B．5118xx+=- (3，-3)C. (x-1)(x-2)＝0 (1，2) D．2(y-2)-1＝5 (5，4)【答案】C.【解析】把⽅程后⾯括号⾥的数分别代⼊⽅程的左、右两边，使左边＝右边的是⽅程的解，若左边≠右边的，则不是⽅程的解．【总结升华】检验⼀个数是否为⽅程的解，只要把这个值分别代⼊⽅程的左边和右边：若代⼊后使左边和右边的值相等，则这个数是⽅程的解；若代⼊后使⽅程左右两边的值不相等，则这个数不是⽅程的解．举⼀反三：【变式】（2015?⼤连）⽅程3x+2（1﹣x）=4的解是（）A．x=B．x=C．x=2 D．x=1【答案】C．类型⼆、等式的性质3．⽤适当的数或整式填空，使所得的结果仍为等式，并说明根据等式的哪条性质，以及怎样变形得到的．(1)若4a＝8a-5，则4a+________＝8a．(2)若163x-=，则x＝________．(3)13132x y y-=-，则112x+＝________．(4)ax+by＝-c，则ax＝-c________．【思路点拨】根据等式的基本性质观察式⼦进⾏判断．【答案与解析】解：(1) 5 ；根据等式性质1，等式两边同时加上5．(2)118-；根据等式性质2，等式两边同时除以-6．(3) 2 ；根据等式性质1，等式两边都加上(1+3y) ．(4) –by；根据等式性质1，等式两边都加上-by．【总结升华】先从不需填空的⼀边⼊⼿，⽐较这⼀边是怎样变形的，再根据等式的性质，对另⼀边也进⾏同样的变形．举⼀反三：【变式】下⾯⽅程变形中，错在哪⾥？（1）由2+x=-4, 得x=-4+2.（2）由9x=-4, 得94x=-.（3）由5=x-3, 得x=-3-5.（4）由3241155x x-+=-，得3x-2=5-4x+1.(5)⽅程2x=2y两边都减去x+y，得2x-(x+y)=2y-(x+y), 即x-y=-(x-y). ⽅程 x-y=-(x-y)两边都除以x-y, 得1=-1.(6)由3721223x xx-+=+，得3(3-7x)=2(2x+1)+2x.【答案】（1）不正确.错在数2从⽅程的等号左边移到右边时没有变号.（2）不正确，错在被除数与除数颠倒（或分⼦与分母颠倒了）.（3）不正确，错在移项或等号两边的项对调时把符号弄错，正确的变形是：由5=x-3，得5+3=x, 即x=5+3.（4）不正确，没有注意到分数415x+中的“分数线”也起着括号的作⽤，因此当⽅程两边的各项都乘以5时，+1没有变号.（5）不正确，错在第⼆步，⽅程两边都除以x-y，由等式性质2要除以不为零的数. （6）不正确，错在2x没乘以公分母6.类型三、等式或⽅程的应⽤4．观察下⾯的点阵图形(如图所⽰)和与之相对应的等式，探究其中的规律：(1)请你在④和⑤后⾯的横线上分别写出相对应的等式．……(2)通过猜想，写出与第n 个图形相对应的等式．【思路点拨】通过观察图像可得：图形呈放射状，四条线上每变化⼀次各增加⼀个点，第n 个图形每条线上应该是n 个点；再观察对应的等式即可求解．【答案与解析】解：等式的左右两边都是表⽰对应图形中点的个数，等式的左边是从1个点开始的，第2个图形增加4个点表⽰为4×1+1，第3个图形⼜增加4个点，表⽰为4×2+1，…，第n 个图形共增加(n-1)个4个点，表⽰为4(n-1)+1；等式的右边，把第⼀个图形看作4点重合为⼀个点，表⽰为4×1-3，第2个图形增加4个点，表⽰为4×2-3，第3个图形⼜增加4个点，表⽰为4×3-3，…，第n 个图形看作n 个4个点少3个点，表⽰为4n-3，所以有4(n-1)+1＝4n-3．(1) ④4×3+1＝4×4-3 ⑤4×4+1＝4×5-3 (2)4(n-1)+1＝4n-3 【总结升华】设出未知量并⽤此未知量表⽰出题中的数量关系．举⼀反三：【变式】⼩明从家⾥骑⾃⾏车到学校，每⼩时骑15km ，可早到10分钟，每⼩时骑12km 就会迟到5分钟．问他家到学校的路程是多少km ？设他家到学校的路程是xkm ，则据题意列出的⽅程是（）A.10515601260x x +=-B. 10515601260x x -=+C. 10515601260x x -=-D. 1051512x x +=-【答案】A类型四、利⽤⽅程的变形规则解⽅程5．解⽅程：12(31)37xx --+（12）= 【答案与解析】解：⽅程两边都乘以21，得7(12)32(31)x x --=?+ 乘法分配律乘开，得 714186x x -+=+ 移项，得 413x -=⽅程两边都除以-4，得 134x =-【总结升华】此题主要考查了利⽤⽅程的变形规则解⼀元⼀次⽅程，关键是注意此变形规则的依据是等式的基本性质．【巩固练习】⼀、选择题1．下列各式是⽅程的是( ). A ．533x y + B ．2m-3＞1 C ．25+7＝18+14 D ．73852t t -=+ 2．（2015?秦淮区⼀模）如果⽤“a=b ”表⽰⼀个等式，c 表⽰⼀个整式，d 表⽰⼀个数，那么等式的第⼀条性质就可以表⽰为“a ±c=b ±c ”，以下借助符号正确的表⽰出等式的第⼆条性质的是（）A. a ?c=b ?d ，a ÷c=b ÷dB. a ?d=b ÷d ，a ÷d=b ?dC. a ?d=b ?d ，a ÷d=b ÷dD. a ?d=b ?d ，a ÷d=b ÷d （d ≠0）3．有⼀养殖专业户，饲养的鸡的只数与猪的头数之和是70，⽽鸡与猪的腿数之和是196，问该专业户饲养多少只鸡和多少头猪？设鸡的只数为x ，则列出的⽅程应是( )． A ．2x+(70-x)＝196 B ．2x+4(70-x)＝196 C ．4x+2(70-x)＝196D ．2x+4(70-x)＝19624.已知关于y 的⽅程324y m +=与41y +=的解相同，则m 的值是（）. A ．9 B ．-9 C ．7 D ．-85. ⼀件商品按成本价提⾼40%后标价，再打8折（标价的108）销售，售价为240元，设这件商品的成本价为x 元，根据题意，下⾯所列的⽅程正确的是（）.A ．x ·40%×108=240B ．x （1+40%）×108=240C ．240×40%×108=xD ．x ·40%=240×1086. 将103.001.05.02.0=+-xx 的分母化为整数，得( )． A ．1301.05.02=+-xxB ．1003505=+-x x C ．100301.05.020=+-xxD ．13505=+-x x ⼆、填空题7．（2014?嘉峪关校级期末）在①2+1=3，②4+x=1，③y 2﹣2y=3x ，④x 2﹣2x+1中，⽅程有（填序号）8．已知x=3是⽅程22(1)6x m x +-=的解，则=m ________.9. 如果关于x 的⽅程（a 2-1）x=a+1⽆解，那么实数a= .10.将⽅程63242-=+x x 的两边同乘以 ______得到3(x+2) =2(2x －3)，这种变形的根据是_____ _．11.⼀个个位数是4的三位数，如果把4换到左边，所得数⽐原数的3倍还多98，若这个三位数去掉尾数4，剩下的两位数是x ，求原数，则可列⽅程为__________________. 12. 观察等式：9-1＝8， 16-4＝12，25-9＝16，36-16＝20，……这些等式反映⾃然数间的某种规律，设n(n ≥1)表⽰⾃然数，⽤关于n 的等式表⽰这个规律为________．三、解答题13.（2014秋?忠县校级⽉考）下列⽅程的变形是否正确？为什么？（1）由3+x=5，得x=5+3．（2）由7x=﹣4，得x=．（3）由，得y=2．（4）由3=x ﹣2，得x=﹣2﹣3． 14．阅读理解：若p 、q 、m 为整数，且三次⽅程x 3+px 2+qx+m=0有整数解c ，则将c 代⼊⽅程得：c 3+pc 2+qc+m=0，移项得：m=﹣c 3﹣pc 2﹣qc ，即有：m=c×（﹣c 2﹣pc ﹣q ），由于﹣c 2﹣pc﹣q 与c 及m 都是整数，所以c 是m 的因数．上述过程说明：整数系数⽅程x 3+px 2+qx+m=0的整数解只可能是m 的因数．例如：⽅程x 3+4x 2+3x ﹣2=0中﹣2的因数为±1和±2，将它们分别代⼊⽅程x 3+4x 2+3x ﹣2=0进⾏验证得：x=﹣2是该⽅程的整数解，﹣1，1，2不是⽅程的整数解．解决问题：（1）根据上⾯的学习，请你确定⽅程x 3+x 2+5x+7=0的整数解只可能是哪⼏个整数？（2）⽅程x 3﹣2x 2﹣4x+3=0是否有整数解？若有，请求出其整数解；若没有，请说明理由．15.某市为⿎励节约⽤⽔，对⾃来⽔的收费标准作如下规定：每⽉每户⽤⽔不超过10吨部分按0.45元/吨收费，超过10吨⽽不超过20吨部分按0.80元/吨收费，超过20吨部分按1.5元/吨收费，现已知⽼李家六⽉份缴⽔费14元，问⽼李家六⽉份⽤⽔多少吨？ 16.观察下⾯的图形(如图所⽰)(每个正⽅形的边长均为1)和相应的等式，探究其中的规律：(1)写出第五个等式，并在下图给出的五个正⽅形上画出与之对应的图⽰；(2)猜想并写出与第n 个图形相对应的等式．【答案与解析】⼀、选择题1.【答案】D.【解析】判断⼀个式⼦是不是⽅程，⾸先看它是不是等式，若是等式，再看它是否含有未知数，两条都满⾜了就是⽅程．A 、B 不是等式；C 中没有未知数． 2.【答案】D . 3.【答案】B.【解析】本题的相等关系为：鸡的腿数+猪的腿数＝196． 4.【答案】A.【解析】由41y +=得3y =-，将其代⼊324y m +=可得：9m =．5.【答案】B.【解析】标价＝成本(进价)×(1＋利润率)；实际售价＝标价×打折率． 6.【答案】D.【解析】将分母变为整数⽤的是分数的基本性质⽽⾮等式的性质．⼆、填空题7. 【答案】②、③【解析】∵①不含未知数，①不是⽅程；∵②、③含有未知数的等式，②、③是⽅程；④不是等式，④不是⽅程.8.【答案】-3【解析】将x ＝3代⼊原⽅程得183(1)6m +-=，所以3m =-．9. 【答案】-1【解析】∵⽅程（a 2-1）x=a+1⽆解，∴a 2-1=0，且a+1≠0，解得：a=1． 10.【答案】12，等式的性质2 11.【答案】x x+=++40098)410(3【解析】原数应表⽰为：104x +，再根据题意即可得出答案． 12.【答案】 (n+2)2-n 2＝4(n+1)【解析】通过观察可以看出：题中各等式左边的数字都是完全平⽅数，右边的数字都是4的倍数．即：32-12＝4×2，42-22＝4×3，52-32＝4×4，62-42＝4×5，…．设n(n ≥1)表⽰⾃然数，把第⼀个等式中的l 换成n ，3换成(n+2)，2换成(n+1)，得(n+2)2-n 2＝4(n+1)，就是第n 个等式．三、解答题 13.【解析】解：（1）由3+x=5，得x=5+3，变形不正确，∵⽅程左边减3，⽅程的右边加3，∴变形不正确；（2）由7x=﹣4，得x=，变形不正确，∵左边除以7，右边乘，∴变形不正确；（3）由，得y=2，变形不正确，∵左边乘2，右边加2，∴变形不正确；（4）由3=x ﹣2，得x=﹣2﹣3，变形不正确，∵左边加x 减3，右边减x 减3，∴变形不正确．14.【解析】（1）由阅读理解可知：该⽅程如果有整数解，它只可能是7的因数，⽽7的因数只有：1，﹣1，7，﹣7这四个数．（2）该⽅程有整数解．⽅程的整数解只可能是3的因数，即1，﹣1，3，﹣3，将它们分别代⼊⽅程x 3﹣2x 2﹣4x+3=0进⾏验证得：x=3是该⽅程的整数解．15.【解析】∵ 0.45×10+0.80×(20-10)＝12.5，12.5＜14，∴⽼李家六⽉份⽤⽔超过了20吨．设⽼李家六⽉份⽤⽔x 吨，根据题意得 0.45×10+0.80×(20-10)+1.5(x-20)＝14．16.【解析】 (1) 通过观察可以看出：第n 个等式，⾸起数字是n ，第2个数的分⼦是n ，分母⽐分⼦⼤1，等式的右边与左边不同的是，左边两数之间是乘号，右边两数之间是减号，同时，有⼏个⼩正⽅形，就把每个⼩正⽅形平分为⼏加1份，其中空⽩1份．如图所⽰：555566?=-． (2)11n nn n n n ?=-++解⼀元⼀次⽅程（提⾼）知识讲解【学习⽬标】1. 了解⼀元⼀次⽅程及其相关概念，熟悉解⼀元⼀次⽅程的⼀般步骤，理解每步变形的依据；2. 掌握⼀元⼀次⽅程的解法，体会解法中蕴涵的化归思想；3. 会求解含字母系数的⼀元⼀次⽅程及含绝对值的⼀元⼀次⽅程. 【要点梳理】要点⼀、⼀元⼀次⽅程的有关概念只含有⼀个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的⽅程叫做⼀元⼀次⽅程. 要点诠释：（1）“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，⼀元⼀次⽅程满⾜条件：①是⼀个⽅程．②必须只含有⼀个未知数．③含有未知数的项的最⾼次数是1．④分母中不含有未知数．（2）⼀元⼀次⽅程的标准形式是：ax+b=0(其中a ≠0，a,b 是常数) . （3）⼀元⼀次⽅程的最简形式是： ax ＝b （其中a≠0，a,b 是常数）. 要点⼆、解⼀元⼀次⽅程的⼀般步骤要点诠释：（1）解⽅程时，表中有些变形步骤可能⽤不到，⽽且也不⼀定要按照⾃上⽽下的顺序，有些步骤可以合并简化．(2) 去括号⼀般按由内向外的顺序进⾏，也可以根据⽅程的特点按由外向内的顺序进⾏. （3）当⽅程中含有⼩数或分数形式的分母时，⼀般先利⽤分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意去分母的依据是等式的性质，⽽分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆．要点三、解特殊的⼀元⼀次⽅程 1.含绝对值的⼀元⼀次⽅程解此类⽅程关键要把绝对值化去，使之成为⼀般的⼀元⼀次⽅程，化去绝对值的依据是绝对值的意义．要点诠释：此类问题⼀般先把⽅程化为ax b c +=的形式，然后再分类讨论：(1)当0c <时，⽆解；（2）当0c =时，原⽅程化为：0ax b +=；（3）当0c >时，原⽅程可化为：ax b c +=或ax b c +=-. 2.含字母的⼀元⼀次⽅程此类⽅程⼀般先化为⼀元⼀次⽅程的最简形式ax ＝b ，再分三种情况分类讨论：（1）当a ≠0时，b x a=；（2）当a ＝0，b ＝0时，x 为任意有理数；（3）当a ＝0，b ≠0时，⽅程⽆解．【典型例题】类型⼀、⼀元⼀次⽅程的相关概念1．已知下列⽅程：①210x +=；②x ＝0；③13x x +=；④x+y ＝0；⑤623xx =-；⑥0.2x ＝4；⑦2x+1-3＝2(x-1)．其中⼀元⼀次⽅程的个数是( )．A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】B【解析】⽅程①中未知数x 的最⾼次数是2，所以不是⼀元⼀次⽅程；⽅程③中的分母含有未知数x ，所以它也不是；⽅程④中含有两个未知数，所以也不是⼀元⼀次⽅程；⑦经化简后为-2＝-2，故它也不是⼀元⼀次⽅程；⽅程②⑤⑥满⾜⼀元⼀次⽅程的条件，所以是⼀元⼀次⽅程．【总结升华】⽅程中的未知数叫做元，只含有⼀个未知数称为“⼀元”，“次”是指含有未知数的项中次数最⾼项的次数，判断⼀个⽅程是不是⼀元⼀次⽅程，看它是否具备三个条件：①只含有⼀个未知数；②经过整理未知数的最⾼次数是1；③含未知数的代数式必须是整式（即整式⽅程）．举⼀反三：【变式】（2014秋?莒县期末）已知x=5是⽅程ax ﹣8=20+a 的解，则a= ．【答案】7把x=5代⼊⽅程ax ﹣8=20+a 得：5a ﹣8=20+a ，解得：a=7．故答案为：7．类型⼆、去括号解⼀元⼀次⽅程2. 解⽅程：112[(1)](1)223x x x --=- 【答案与解析】解法1：先去⼩括号得：11122[]22233x x x -+=-再去中括号得：1112224433x x x -+=-移项，合并得：5111212x -=-系数化为1，得：115x =解法2：两边均乘以2，去中括号得：14 (1)(1)23x x x --=-去⼩括号，并移项合并得：51166x -=-，解得：115x =解法3：原⽅程可化为：112[(1)1(1)](1)223x x x -+--=-去中括号，得1112(1)(1)(1)2243x x x -+--=-移项、合并，得51(1)122x--=-解得11【总结升华】解含有括号的⼀元⼀次⽅程时，⼀般⽅法是由内到外或由外到内逐层去括号，但有时根据⽅程的结构特点，灵活恰当地去括号，以使计算简便．例如本题的⽅法3：⽅程左、右两边都含(x-1)，因此将⽅程左边括号内的⼀项x变为(x-1)后，把(x-1)视为⼀个整体运算．3．解⽅程：111111110 2222x----=．【答案与解析】解法1：(层层去括号)去⼩括号11111110 2242x----=，去中括号1111110 2842x，去⼤括号111110 16842x----=，移项、合并同类项，得115168x=，系数化为1，得x＝30．解法2：(层层去分母)移项，得11111111 2222x---=，两边都乘2，得1111112 222x---=移项，得111113 222x--=，两边都乘2，得11116 22x--= ?移项，得1117 22x-=，两边都乘2，得1114 2x-=，移项，得115 2x=，系数化为1，得x＝30．【总结升华】此题既可以按去括号的思路做，也可以按去分母的思路做．类型三、解含分母的⼀元⼀次⽅程4．(2015.三台县期末)解⽅程：1213 0.20.5x x+-+=【思路点拨】先将⽅程中的⼩数化成整数，再去分母，这样可避免⼩数运算带来的失误．【答案与解析】解：将分母化为整数得：101020103 25x x+-+=去分母，得：50x+50+40x-20=30移项，合并得：x=0．【总结升华】解此题⼀般是先将分母变为整数，再去分母，移项合并，把系数化为1，求出解.举⼀反三：【变式】解⽅程0.40.90.30.210.50.3y y++-=．【答案】解：原⽅程可化为49321 53y y++-=．去分母，得3(4y+9)-5(3+2y)＝15．去括号，得 12y+27-15-10y＝15．移项、合并同类项，得 2y＝3．系数化为1，得32y=．类型四、解含绝对值的⽅程5．解⽅程：|x-1|+|x-3|=3【思路点拨】分别讨论①x＜1，②1＜x＜3，③x＞3，根据x的范围去掉绝对值符号，解⽅程即可．【答案与解析】解：当x＜1时，原⽅程就可化简为：1-x+3-x=3，解得：x=0.5；第⼆种：当1＜x＜3时，原⽅程就可化简为：x-1-x+3=3，不成⽴；第三种：当x＞3时，原⽅程就可化简为：x-1+x-3=3，解得：x=3.5；故x的解为0.5或3.5．【总结升华】解含绝对值的⽅程的关键，就是根据绝对值的定义或性质去掉绝对值符号，把它化为为⼀般的⽅程，从⽽解决问题，注意讨论x的取值．举⼀反三：【变式】关于x的⽅程||x-2|-1|=a有三个整数解，求a的值．【答案】解：①若|x-2|-1=a，当x≥2时，x-2-1=a，解得：x=a+3，a≥-1；当x＜2时，2-x-1=a，解得：x=1-a；a＞-1；②若|x-2|-1=-a，当x≥2时，x-2-1=-a，解得：x=-a+3，a≤1；当x ＜2时，2-x-1=-a ，解得：x=a+1，a ＜1；⼜∵⽅程有三个整数解，∴可得：a=﹣1或1，根据绝对值的⾮负性可得：a ≥0．即a 只能取1．类型五、解含字母系数的⽅程6. 解关于x 的⽅程：1mx nx -= 【答案与解析】解：原⽅程可化为：()1m n x -=当0m n -≠，即m n ≠时，⽅程有唯⼀解为：1x m n=-；当0m n -=，即m n =时，⽅程⽆解．【总结升华】解含字母系数的⽅程时，先化为最简形式ax b =，再根据x 系数a 是否为零进⾏分类讨论．【⼀元⼀次⽅程的解法388407解含字母系数的⽅程】举⼀反三：【变式】若关于x 的⽅程(k-4)x=6有正整数解，求⾃然数k 的值. 【答案】解：∵原⽅程有解，∴ 40k -≠ 原⽅程的解为：64x k =-为正整数，∴4k -应为6的正约数，即4k -可为：1，2，3，6 ∴k 为：5，6，7，10答：⾃然数k 的值为：5，6，7，10.【巩固练习】⼀、选择题1．若⽅程（m 2-1）x 2-mx -x+2=0是关于x 的⼀元⼀次⽅程，则代数式|m-1|的值为（）.A ．0B ．2C ．0或2D ．-2 2．（2015秋?榆阳区校级期末）关于x 的⽅程3x+5=0与3x+3k=1的解相同，则k=（）A.-2B.43 C.2 D. 43- 3．下列说法正确的是 ( ).A ．由7x ＝4x -3移项得7x -4x ＝-3B ．由213132x x --=+去分母得2(2x -1)＝1+3(x -3) C ．由2(2x -1)-3(x -3)＝1去括号得4x -2-3x -9＝4D ．由2(x -1)＝x+7移项合并同类项得x ＝5 4．将⽅程211123x x ---=去分母得到⽅程6x -3-2x -2＝6，其错误的原因是( ).A ．分母的最⼩公倍数找错B ．去分母时，漏乘了分母为1的项C ．去分母时，分⼦部分的多项式未添括号，造成符号错误D ．去分母时，分⼦未乘相应的数5．⼩明在做解⽅程作业时，不⼩⼼将⽅程中⼀个常数污染了看不清楚，被污染的⽅程是：11222y y -=+■，怎么办呢?⼩明想了想，便翻看了书后的答案，此⽅程的解是53y =，于是⼩明很快补上了这个常数，并迅速完成了作业．同学们，你们能补出这个常数吗?它应是( )．A ．1B ．2C ．3D ．46. “△”表⽰⼀种运算符号，其意义是2a b a b ?=-，若(13)2x ??=，则x 等于（）. A ．1 B ．12 C ．32D ．2 7.关于x 的⽅程(38)70m n x ++=⽆解，则mn 是（）. A ．正数 B ．⾮正数 C ．负数 D ．⾮负数⼆、填空题8. 当x= _____ 时，x －31x+的值等于2. 9．已知关于x 的⽅程的3322x a x -=+解是4，则2()2a a --=________．10．若关于x 的⽅程ax+3=4x+1的解为正整数，则整数a 的值是．11．（2014秋?⾼新区校级期末）如果5x+3与﹣2x+9是互为相反数，则x ﹣2的值是．12．a 、b 、c 、d 为有理数，现规定⼀种新的运算：a bad bc c d =-，那么当241815x =-时，则x ＝______．13. 设a ，b 是⽅程||2x -1|-x|=2的两个不相等的根，则22a b a b++的值为 .三、解答题14．解下列⽅程: （1） 521042345102y y y --+-=-+．（2） 111233234324x x x x ----=+?? ???．（3）0.150.1330200.30.110.07300.2x x x +++-=+.15. 解关于x 的⽅程：（1）48x b ax +=-；（2）(1)(1)(2)m x m m -=--；（3）(1)(2)1m m x m --=-.16. （2015?裕华区模拟）定义⼀种新运算“⊕”：a ⊕b=a ﹣2b ，⽐如：2⊕（﹣3）=2﹣2×（﹣3）=2+6=8．（1）求（﹣3）⊕2的值；（2）若（x ﹣3）⊕（x+1）=1，求x 的值．【答案与解析】⼀、选择题 1.【答案】A【解析】由已知⽅程，得（m 2-1）x 2-（m+1）x+2=0．∵⽅程（m 2-1）x 2-mx -x+2=0是关于x 的⼀元⼀次⽅程，∴m 2-1=0，且-m -1≠0，解得，m=1，则|m -1|=0．故选A ． 2.【答案】C ．【解析】解第⼀个⽅程得：x=﹣，解第⼆个⽅程得：x=∴=﹣解得：k=2.3．【答案】 A ．【解析】由7x ＝4x -3移项得7x -4x ＝-3；B ．213132x x --=+去分母得2(2x -1)＝6+3(x -3)；C ．把2(2x -1)-3(x -3)＝1去括号得4x -2-3x+9＝1；D ．2(x -1)＝x+7，2x -2＝x+7，2x -x ＝7+2，x ＝9 4．【答案】C 【解析】把⽅程211123x x ---=去分母，得3(2x -1)-2(x -1)＝6，6x -3-2x+2＝6与6x -3-2x -2＝6相⽐较，很显然是符号上的错误．5．【答案】B【解析】设被污染的⽅程的常数为k ，则⽅程为11222y y k -=+，把53y =代⼊⽅程得1015326k -=+，移项得5110623k -=+-，合并同类项得-k ＝-2，系数化为1得k ＝2，故选B ． 6．【答案】B【解析】由题意可得：“△”表⽰2倍的第⼀个数减去第⼆个数，由此可得：132131?=?-=-，⽽(13)(1)212x x x ??=?-=+=，解得：12x =7．【答案】B【解析】原⽅程可化为：(38)7m n x +=-，将“38m n +”看作整体，只有380m n +=时原⽅程才⽆解，由此可得,m n 均为零或⼀正⼀负，所以mn 的值应为⾮正数．⼆、填空题 8．【答案】213=x 9．【答案】24【解析】把x ＝4代⼊⽅程，得344322a -=+，解得a ＝6，从⽽(-a )2-2a ＝24． 10．【答案】2或3【解析】由题意，求出⽅程的解为：314-=-x ax 2)4(-=-x a ， 42=a x ，因为解为正整数，所以214a --=-或，即2a =或3． 11.【答案】-6.【解析】由题意得：5x+3+（﹣2x+9）=0，解得：x=﹣4，∴x ﹣2=﹣6．12．【答案】3【解析】由题意，得2×5-4(1-x )＝18，解得x ＝3． 13．【答案】4112【解析】∵||2x -1|-x|=2，∴|2x -1|-x=2或-2，∴|2x -1|=x+2或|2x -1|=x -2，当2x -1≥0时，2x -1=x+2，解得x=3；当2x -1＜0时，2x -1=-x -2，解得x=﹣13；或当2x -1≥0时，2x -1=x -2，解得x=-1（舍去）；当2x -1＜0时，2x -1=-x+2，解得x=1（舍去）；∴a=3，b=-13，∴224112a b a b +=+. 三、解答题14. 【解析】解：（1）原⽅程可化为：212y +-=解得： 4y =-（2）原⽅程可化为： 11233234322x x x x ----=+ 移项，合并得： 123943x x x ??--=--解得： 229x =- （3）原⽅程可化为：151332311732x x x +++-=+去分母，化简得： 1513x -= 解得： 1315x =- 15. 【解析】解：(1)原⽅程可化为：(4)8a x b -=+ 当4a ≠时，⽅程有唯⼀解：8b x a +=-；当4a =，8b ≠-时，⽅程⽆解；当4a =，8b =-时，原⽅程的解为任意有理数，即有⽆穷多解． (2)(1)(1)(2)m x m m -=--当10m -≠，即1m ≠时，⽅程有唯⼀的解：2x m =-；当10m -=，即1m =时，原⽅程变为00x ?=．原⽅程的解为任意有理数，即有⽆穷多解．(3) (1)(2)1m m x m --=-当1,2m m ≠≠时，原⽅程有唯⼀解：12x m =-；当1m =时，原⽅程的解为任意有理数，即有⽆穷多解；当2m =时，原⽅程⽆解． 16.【解析】解：（1）根据题中的新定义得：原式=﹣3﹣4=﹣7；（2）已知等式变形得：x ﹣3﹣2（x+1）=1，去括号得：x ﹣3﹣2x ﹣2=1，移项合并得：﹣x=6，解得：x=﹣6．实际问题与⼀元⼀次⽅程（⼀）（提⾼）知识讲解【学习⽬标】1.熟练掌握分析解决实际问题的⼀般⽅法及步骤；2.熟悉⾏程，⼯程，配套及和差倍分问题的解题思路．【要点梳理】知识点⼀、⽤⼀元⼀次⽅程解决实际问题的⼀般步骤列⽅程解应⽤题的基本思路为：问题→分析抽象⽅程→求解检验解答．由此可得解决此类题的⼀般步骤为：审、设、列、解、检验、答．要点诠释：（1）“审”是指读懂题⽬，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系；（2）“设”就是设未知数，⼀般求什么就设什么为x ，但有时也可以间接设未知数；（3）“列”就是列⽅程，即列代数式表⽰相等关系中的各个量，列出⽅程，同时注意⽅程两边是同⼀类量，单位要统⼀；（4）“解”就是解⽅程，求出未知数的值；（5）“检验”就是指检验⽅程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可；（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．知识点⼆、常见列⽅程解应⽤题的⼏种类型（待续）1．和、差、倍、分问题（1）基本量及关系：增长量＝原有量×增长率，现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量-降低量．（2）寻找相等关系：抓住关键词列⽅程，常见的关键词有：多、少、和、差、不⾜、剩余以及倍，增长率等．2．⾏程问题（1）三个基本量间的关系：路程=速度×时间（2）基本类型有：①相遇问题（或相向问题）：Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间Ⅱ．寻找相等关系：甲⾛的路程+⼄⾛的路程＝两地距离．②追及问题：Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间Ⅱ．寻找相等关系：第⼀，同地不同时出发：前者⾛的路程＝追者⾛的路程；第⼆，第⼆，同时不同地出发：前者⾛的路程+两者相距距离＝追者⾛的路程．③航⾏问题：Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静⽔速度+⽔流速度，逆流速度=静⽔速度－⽔流速度，顺⽔速度－逆⽔速度＝2×⽔速；Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、⽔流速度不变、船在静⽔中的速度不变来考虑．（3）解此类题的关键是抓住甲、⼄两物体的时间关系或所⾛的路程关系，并且还常常借助画草图来分析．3．⼯程问题如果题⽬没有明确指明总⼯作量，⼀般把总⼯作量设为1．基本关系式：（1）总⼯作量=⼯作效率×⼯作时间；（2）总⼯作量=各单位⼯作量之和．4．调配问题寻找相等关系的⽅法：抓住调配后甲处的数量与⼄处的数量间的关系去考虑．【典型例题】类型⼀、和差倍分问题1．旅⾏社的⼀辆汽车在第⼀次旅程中⽤去油箱⾥汽油的25%，第⼆次旅程中⽤去剩余汽油的40%，这样油箱中剩的汽油⽐两次所⽤的汽油少1公⽄，求油箱⾥原有汽油多少公⽄？【答案与解析】解：设油箱⾥原有汽油x公⽄，由题意得：x(1-25%)(1-40%)+1=25%x+(1-25%)x×40% .解得：x=10.答：油箱⾥原有汽油10公⽄.【总结升华】等量关系为：油箱中剩余汽油+1=⽤去的汽油. 举⼀反三：【变式】某班举办了⼀次集邮展览，展出的邮票若平均每⼈3张则多24张，若平均每⼈4张则少26张，这个班有多少学⽣?⼀共展出了多少张邮票? 【答案】解：设这个班有x 名学⽣，根据题意得： 3x+24＝4x-26 解得：x ＝50.所以3x+24＝3×50+24＝174（张）.答：这个班有50名学⽣，⼀共展出了174张邮票．类型⼆、⾏程问题 1.车过桥问题2. 某桥长1200m ，现有⼀列匀速⾏驶的⽕车从桥上通过，测得⽕车从上桥到完全过桥共⽤了50s ，⽽整个⽕车在桥上的时间是30s ，求⽕车的长度和速度．【思路点拨】正确理解⽕车“完全过桥”和“完全在桥上”的不同含义．【答案与解析】解：设⽕车车⾝长为xm ，根据题意，得：120012005030x x+-=，解得：x ＝300，所以12001200300305050x ++==．答：⽕车的长度是300m ，车速是30m/s ．【总结升华】⽕车“完全过桥”和“完全在桥上”是两种不同的情况，借助线段图分析如下(注：A 点表⽰⽕车头)：(1)⽕车从上桥到完全过桥如图(1)所⽰，此时⽕车⾛的路程是桥长+车长． (2)⽕车完全在桥上如图(2)所⽰，此时⽕车⾛的路程是桥长－车长．由于⽕车是匀速⾏驶的，所以等量关系是⽕车从上桥到完全过桥的速度＝整个⽕车在桥上的速度．举⼀反三：【变式】某要塞有步兵692⼈，每4⼈⼀横排，各排相距1⽶向前⾏⾛，每分钟⾛86⽶，通过长86⽶的桥，从第⼀排上桥到排尾离桥需要⼏分钟？【答案】解：设从第⼀排上桥到排尾离桥需要x 分钟，列⽅程得：6928611864x ??=-?+，。
华师大版七年级数学下册暑假提高练习2-期末考综合题
1．（13分）工人小王生产甲、乙两种产品，生产产品件数与所用时间之间的关系如表：生产甲产品件数生产乙产品件数所用总．时间（分钟）10 10 35030 20 850（1）小王每生产一件甲种产品和每生产一件乙种产品分别需要多少分钟；（2）小王每天工作8个小时，每月工作25天．如果小王四月份生产甲种产品a件(a为正整数)．①用含a的代数式表示小王四月份生产乙种产品的件数；②已知每生产一件甲产品可得1.50元，每生产一件乙种产品可得2.80元，若小王四月份的工资不少于1500元，求a的取值范围．2.（13分）如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝2．P是AB的中点，点Q从点A出发，以每秒1个单位的速度沿A→D→C→B的方向运动，设Q点运动的时间为x(秒)．（1）求AP的长．（2）若△APQ的面积为S(平方单位)，用含x的代数式表示S（0<x<8）．（3）如果点M与点Q同时从点A出发，点M以每秒3个单位的速度沿A→B→C→D的方向运动；当M、Q两点相遇时，它们同时停止运动.在整个运动过程中,△AQM按角来分类可以是什么三角形，请写出相应x的取值范围．3．（13分）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹的探究片段，完成所提出的问题.探究1：如图1，在ABC ∆中，O 是ABC ∠与ACB ∠的平分线BO 和CO 的交点，通过分析发现A BOC ∠+=∠2190ο,理由如下: ∵BO 和CO 分别是ABC ∠和ACB ∠的角平分线ACB ABC ∠=∠∠=∠∴212,211 A A ACB ABC ∠-=∠-=∠+∠=∠+∠∴2190)180(21)(2121οο A A BOC ∠+=∠--=∠+∠-=∠∴2190)2190(180)21(180οοοο (1)探究2：如图2中, O 是ABC ∠与外角ACD ∠的平分线BO 和CO 的交点，试分析BOC∠与A ∠有怎样的关系？请说明理由.(2)探究3： 如图3中，O 是外角DBC ∠与外角ECB ∠的平分线BO 和CO 的交点，则BOC ∠与A ∠有怎样的关系？（直接写出结论）(3)拓展:如图4，在四边形ABCD 中，O 是∠AB C 与∠DCB 的平分线BO 和CO 的交点，则∠BOC与∠A+∠D 有怎样的关系？（直接写出结论）214.（13分）在ABC ∆中，︒=∠90C ，cm AC 6=，cm BC 8=.（1）如图1，将ABC ∆沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A 与B 重合，折痕为DE .①试求ACD ∆的周长；②若CAD ∠:BAD ∠ =4:7,求B ∠的度数.（2）如图2，将直角边AC 沿直线AM 折叠，使点C 恰好落在斜边AB 上的点N ,cm BN 4=，求CD 的长.初中数学试卷。
2024-2025学年华东师大版初一数学下册暑假练习试题及答案
2024-2025学年华东师大版初一数学下册暑假练习试题一、单选题（每题3分）1.若函数f(x)=ax2+bx+c的图象经过点(1, 2)，且顶点坐标为(2, -3)，则a, b, c的值分别是？ (答案: (A) a = 5, b = -20, c = 17)2.直线l1:y=2x+3与直线l2:y=mx+n垂直，求m的值？ (答案: (B) m = -0.5)3.在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，则AC的长度是多少？(答案: (C) AC = 4cm)4.设x2−5x+6=0的两个根为x1,x2，则x12+x22的值为？ (答案: (D) 13)5.圆的方程为(x−3)2+(y+2)2=25，圆心到直线y=x+1的距离是多少？ (答案:(E) d =√13)二、多选题（每题4分）题目1（4分）下列哪些数是无理数？A.(√4)B.(π)C.(e))D.(227E.(√10)答案： B, C, E题目2（4分）下列哪些图形一定是相似的？A. 所有的正方形B. 所有的矩形C. 所有边长相同的三角形D. 所有的等腰直角三角形E. 所有的圆答案： A, D, E题目3（4分）下列哪些表达式是二次方程的一般形式(ax2+bx+c=0)的解？)A.(−b±√b2−4ac2aB.(−b±b2−4ac)2a)C.(−b±√b2+4ac2aD.(−b±√b2−4ac)aE.(−b±√b2−4ac)2答案： A题目4（4分）下列哪些事件是互斥的？A. 投掷一枚硬币得到正面和投掷同一枚硬币得到反面B. 从一副标准扑克牌中随机抽取一张牌是红桃和这张牌是梅花C. 从一副标准扑克牌中随机抽取一张牌是红桃和这张牌是红色D. 掷一个六面骰子得到偶数和掷同一个骰子得到大于4的数E. 掷一个六面骰子得到奇数和掷同一个骰子得到小于3的数答案： A, B题目5（4分）下列哪些情况下的数据分布是对称的？A. 均匀分布B. 正态分布C. 伯努利分布D. 二项分布当(p=0.5)时E. 泊松分布答案： B, D三、填空题（每题3分）1. 若(a )和(b )是互为相反数，则(a +b =)___________。
初中数学动点问题及练习题带答案
初中数学动点问题及练习题附参考答案所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静.数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想注重对几何图形运动变化能力的考查。
从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。
选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。
在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。
二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点．专题一：建立动点问题的函数解析式函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析.一、应用勾股定理建立函数解析式。
初中数学几何的动点问题专题练习附答案版(供参考)
动点问题专题训练一、如图，已知ABC==厘米，8BC=厘米，点D为AB的中点．AB AC△中，10（1）若是点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①假设点Q的运动速度与点P的运动速度相等，通过1秒后，BPD△与CQP△是不是全等，请说明理由；②假设点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使BPD△与△全等？CQP（2）假设点Q以②中的运动速度从点C动身，点P以原先的运动速度从点B同时动身，都逆时针沿ABC△三边运动，求通过量长时刻点P与点Q第一次在ABC△的哪条边Array上相遇？P二、直线364y x =-+与坐标轴别离交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点动身，同时抵达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿线路O →B →A 运动． （1）直接写出A B 、两点的坐标；（2）设点Q 的运动时刻为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式； （3）当485S =时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为极点的平行四边形的第四个极点M 的坐标．3、如图，在Rt ABC △中，9060ACB B ∠=∠=°，°，2BC =．点O 是AC 的中点，过点O 的直线l 从与AC 重合的位置开始，绕点O 作逆时针旋转，交AB 边于点D ．过点C 作CE AB ∥交直线l 于点E ，设直线l 的旋转角为α．（1）①当α= 度时，四边形EDBC 是等腰梯形，现在AD 的长为 ；②当α= 度时，四边形EDBC 是直角梯形，现在AD 的长为 ； （2）当90α=°时，判定四边形EDBC 是不是为菱形，并说明理由．xAO QPBy O E CDA α lOCA（备用图）4、如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x－8别离与x轴，y轴相交于A，B两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P.（1）连结P A，假设P A=PB，试判定⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；（2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为极点的三角形是正三角形？五、如图，在梯形ABCD中，3545AD BC AD DC AB B ====︒∥，，，．动点M 从B 点动身沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点动身沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时刻为t 秒． （1）求BC 的长．（2）当MN AB ∥时，求t 的值．（3）试探讨：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．六、如图①，正方形 ABCD 中，点A 、B 的坐标别离为（0，10），（8，4），点C 在第一象限．动点PC在正方形 ABCD 的边上，从点A 动身沿A →B →C →D 匀速运动，同时动点Q 以相同速度在x 轴正半轴上运动，当P 点抵达D 点时，两点同时停止运动，设运动的时刻为t 秒．(1)当P 点在边AB 上运动时，点Q 的横坐标x （长度单位）关于运动时刻t （秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q 开始运动时的坐标及点P 运动速度； (2)求正方形边长及极点C 的坐标；(3)在（1）中当t 为何值时，△OPQ 的面积最大，并求现在P 点的坐标；(4)若是点P 、Q 维持原速度不变，当点P 沿A →B →C →D 匀速运动时，OP 与PQ 可否相等，假设能，写出所有符合条件的t 的值；假设不能，请说明理由．7、数学课上，张教师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．90AEF ∠=，且EF 交正方形外角DCG ∠的平行线CF 于点F ，求证：AE =EF ．通过试探，小明展现了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，那么AM =EC ，易证AME ECF △≌△，因此AE EF =．在此基础上，同窗们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，若是把“点E 是边BC 的中点”改成“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE =EF ”仍然成立，你以为小颖的观点正确吗？若是正确，写出证明进程；若是不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE =EF ”仍然成立．你以为小华的观点正确吗？若是正确，写出证明进程；若是不正确，请说明理由．八、已知一个直角三角形纸片OAB ，其中9024AOB OA OB ∠===°，，．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB 交于点C ，与边AB 交于点D ．（Ⅰ）假设折叠后使点B 与点A 重合，求点C 的坐标；ADFC GE B图1ADF C GE B 图2 ADFGB图3（Ⅱ）假设折叠后点B 落在边OA 上的点为B '，设OB x '=，OC y =，试写出y 关于x 的函数解析式，并确信y 的取值范围；（Ⅲ）假设折叠后点B 落在边OA 上的点为B '，且使B D OB '∥，求现在点C 的坐标．1.解：（1）①∵1t =秒，∴313BP CQ ==⨯=厘米，∵10AB =厘米，点D 为AB 的中点， ∴5BD =厘米．又∵8PC BC BP BC =-=，厘米， ∴835PC =-=厘米，∴PC BD =． 又∵AB AC =， ∴B C ∠=∠，∴BPD CQP △≌△． ············································································· （4分） ②∵P Q v v ≠， ∴BP CQ ≠，又∵BPD CQP △≌△，B C ∠=∠，那么45BP PC CQ BD ====，， ∴点P ，点Q 运动的时刻433BP t ==秒， ∴515443Q CQ v t ===厘米/秒． ·································································· （7分） （2）设通过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇， 由题意，得1532104x x =+⨯， 解得803x =秒． ∴点P 共运动了803803⨯=厘米．∵8022824=⨯+，∴点P 、点Q 在AB 边上相遇， ∴通过803秒点P 与点Q 第一次在边AB 上相遇． ········································· （12分） 2.解（1）A （8，0）B （0，6） ·············· 1分 （2）86OA OB ==， 10AB ∴=点Q 由O 到A 的时刻是881=（秒） ∴点P 的速度是61028+=（单位/秒） ·· 1分 当P 在线段OB 上运动（或03t ≤≤）时，2OQ t OP t ==，2S t = ········································································································· 1分当P 在线段BA 上运动（或38t <≤）时，6102162OQ t AP t t ==+-=-，, 如图，作PD OA ⊥于点D ，由PD AP BO AB =，得4865tPD -=， ····························· 1分 21324255S OQ PD t t ∴=⨯=-+ ······································································ 1分（自变量取值范围写对给1分，不然不给分．）（3）82455P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ···························································································· 1分12382412241224555555I M M 2⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，， ···················································· 3分3.解：（1）⊙P 与x 轴相切.∵直线y =－2x －8与x 轴交于A （4，0），与y 轴交于B （0，－8）， ∴OA =4，OB =8. 由题意，OP =－k ， ∴PB =P A =8+k .在Rt △AOP 中，k 2+42=(8+k )2， ∴k =－3，∴OP 等于⊙P 的半径， ∴⊙P 与x 轴相切.（2）设⊙P 与直线l 交于C ，D 两点，连结PC ，PD 当圆心P在线段OB 上时,作PE ⊥CD 于E .∵△PCD 为正三角形，∴DE =12CD =32，PD =3， ∴PE 33. ∵∠AOB =∠PEB =90°， ∠ABO =∠PBE ， ∴△AOB ∽△PEB ，∴332,45AO PE AB PB PB =即， ∴315PB =∴3158PO BO PB =-= ∴3158)P -， ∴3158k =. 当圆心P 在线段OB 延长线上时,同理可得P (0,315－8)， ∴k =315－8，∴当k=315－8或k=－315－8时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为极点的三角形是正三角形.4.5.解：（1）1，85；（2）作QF ⊥AC 于点F ，如图3， AQ = CP = t ，∴3AP t =-． 由△AQF ∽△ABC，4BC =， 得45QF t =．∴45QF t =． ∴14(3)25S t t =-⋅， 即22655S t t =-+．（3）能．①当DE ∥QB 时，如图4．∵DE ⊥PQ ，∴PQ ⊥QB ，四边形QBED 是直角梯形． 现在∠AQP =90°． 由△APQ ∽△ABC ，得AQ AP AC AB=， 即335t t -=． 解得98t =． ②如图5，当PQ ∥BC 时，DE ⊥BC ，四边形QBED 是直角梯形．现在∠APQ =90°． 由△AQP ∽△ABC ，得AQ APAB AC=， 即353t t -=． 解得158t =．（4）52t =或4514t =． ①点P 由C 向A 运动，DE 通过点C ．连接QC ，作QG ⊥BC 于点G ，如图6．PC t =，222QC QG CG =+2234[(5)][4(5)]55t t =-+--．由22PC QC =，得22234[(5)][4(5)]55t t t =-+--，解得52t =．②点P 由A 向C 运动，DE 通过点C ，如图7． 22234(6)[(5)][4(5)]55t t t -=-+--，4514t =】6.解（1）①30，1；②60，1.5；（2）当∠α=900时，四边形EDBC 是菱形. ∵∠α=∠ACB=900，∴BC //ED .∵CE //AB , ∴四边形EDBC 是平行四边形. ……………………6分 在Rt △ABC 中，∠ACB =900，∠B =600,BC =2,∴∠A =300.∴AB =4,AC ∴AO =12AC ……………………8分P图4图5在Rt △AOD 中，∠A =300，∴AD =2. ∴BD =2. ∴BD =BC .又∵四边形EDBC 是平行四边形，∴四边形EDBC 是菱形 ……………………10分7.解：（1）如图①，过A 、D 别离作AK BC ⊥于K ，DH BC ⊥于H ，那么四边形ADHK 是矩形∴3KH AD ==． ················································································ 1分 在Rt ABK △中，sin 4542AK AB =︒==．2cos 454242BK AB =︒== ·························································· 2分 在Rt CDH △中，由勾股定理得，3HC ==∴43310BC BK KH HC =++=++= ················································· 3分（2）如图②，过D 作DG AB ∥交BC 于G 点，那么四边形ADGB 是平行四边形∵MN AB ∥ ∴MN DG ∥ ∴3BG AD == ∴1037GC =-= ············································································· 4分 由题意知，当M 、N 运动到t 秒时，102CN t CM t ==-，． ∵DG MN ∥∴NMC DGC =∠∠ 又C C =∠∠∴MNC GDC △∽△∴CN CMCD CG = ··················································································· 5分 即10257t t -= 解得，5017t = ···················································································· 6分（3）分三种情形讨论：①当NC MC =时，如图③，即102t t =- ∴103t =·························································································· 7分 （图①） A D C B K H （图②） A D C B G MNADNAD N②当MN NC =时，如图④，过N 作NE MC ⊥于E 解法一：由等腰三角形三线合一性质得()11102522EC MC t t ==-=- 在Rt CEN △中，5cos EC tc NC t -==又在Rt DHC △中，3cos 5CH c CD ==∴535t t -=解得258t = ······················································································· 8分解法二：∵90C C DHC NEC =∠=∠=︒∠∠， ∴NEC DHC △∽△∴NC ECDC HC =即553t t -= ∴258t = ·························································································· 8分③当MN MC =时，如图⑤，过M 作MF CN ⊥于F 点.1122FC NC t ==解法一：（方式同②中解法一）132cos 1025tFC C MC t ===-解得6017t =解法二：∵90C C MFC DHC =∠=∠=︒∠∠， ∴MFC DHC △∽△ ∴FC MCHC DC = 即1102235tt -= ∴6017t =综上所述，当103t =、258t =或6017t =时，MNC △为等腰三角形 ··············· 9分（图⑤）A DCBH N MF8.解（1）如图1，过点E 作EG BC ⊥于点G ． ··················· 1分∵E 为AB 的中点，∴122BE AB ==．在Rt EBG △中，60B =︒∠，∴30BEG =︒∠． ··········· 2分∴112BG BE EG ====， 即点E 到BC····································· 3分（2）①当点N 在线段AD 上运动时，PMN △的形状不发生改变． ∵PM EF EG EF ⊥⊥，，∴PM EG ∥． ∵EF BC ∥，∴EP GM =，PM EG ==同理4MN AB ==． ················································································· 4分 如图2，过点P 作PH MN ⊥于H ，∵MN AB ∥， ∴6030NMC B PMH ==︒=︒∠∠，∠．∴122PH PM == ∴3cos302MH PM =︒=．则35422NH MN MH =-=-=．在Rt PNH △中，PN === ∴PMN △的周长=4PM PN MN ++=． ······································ 6分 ②当点N 在线段DC 上运动时，PMN △的形状发生改变，但MNC △恒为等边三角形． 当PM PN =时，如图3，作PR MN ⊥于R ，那么MR NR =．类似①，32MR =． ∴23MN MR ==．··················································································· 7分 ∵MNC △是等边三角形，∴3MC MN ==．现在，6132x EP GM BC BG MC ===--=--=． ··································· 8分当MP MN=时，如图4，这时MC MN MP ===现在，615x EP GM ===-=当NP NM =时，如图5，30NPM PMN ==︒∠∠．图3A D E BFCPN M图4A D EBF CP MN 图5A D EBF （P ） CMN GGRG图1A D E BF CG图2A D EBF CPNMG H则120PMN =︒∠，又60MNC =︒∠， ∴180PNM MNC +=︒∠∠．因此点P 与F 重合，PMC △为直角三角形． ∴tan301MC PM =︒=．现在，6114x EP GM ===--=．综上所述，当2x =或4或(5-时，PMN △为等腰三角形． ···················· 10分 9解：（1）Q （1，0） ····················································································· 1分 点P 运动速度每秒钟1个单位长度． ································································ 2分 （2） 过点B 作BF ⊥y 轴于点F ，BE ⊥x 轴于点E ，那么BF ＝8，4OF BE ==． ∴1046AF =-=．在Rt △AFB中，10AB == 3分 过点C 作CG ⊥x 轴于点G ，与FB 的延长线交于点H ． ∵90,ABC AB BC ∠=︒= ∴△ABF ≌△BCH ． ∴6,8BH AF CH BF ====． ∴8614,8412OG FH CG ==+==+=．∴所求C 点的坐标为（14，12）． 4分 （3） 过点P 作PM ⊥y 轴于点M ，PN ⊥x 轴于点N ， 则△APM ∽△ABF ． ∴AP AM MP AB AF BF ==． 1068t AM MP∴==． ∴3455AM t PM t ==，． ∴3410,55PN OM t ON PM t ==-==．设△OPQ 的面积为S （平方单位）∴213473(10)(1)5251010S t t t t =⨯-+=+-（0≤t ≤10） ················································ 5分说明:未注明自变量的取值范围不扣分．∵310a =-<0 ∴当474710362()10t =-=⨯-时， △OPQ 的面积最大． ························· 6分 现在P 的坐标为（9415，5310） ． ····································································· 7分 （4） 当 53t =或29513t =时， OP 与PQ 相等． ················································ 9分10.解：（1）正确． ················································ （1分） 证明：在AB 上取一点M ，使AM EC =，连接ME ． （2分） BM BE ∴=．45BME ∴∠=°，135AME ∴∠=°． CF 是外角平分线， 45DCF ∴∠=°， 135ECF ∴∠=°． AME ECF ∴∠=∠．A DF CGEBM90AEB BAE ∠+∠=°，90AEB CEF ∠+∠=°， ∴BAE CEF ∠=∠．AME BCF ∴△≌△（ASA ）． ··································································· （5分） AE EF ∴=． ························································································· （6分） （2）正确． ····················································· （7分）证明：在BA 的延长线上取一点N ． 使AN CE =，连接NE ． ·································· （8分） BN BE ∴=． 45N PCE ∴∠=∠=°． 四边形ABCD 是正方形， AD BE ∴∥．DAE BEA ∴∠=∠．NAE CEF ∴∠=∠．ANE ECF ∴△≌△（ASA ）． ·································································· （10分） AE EF ∴=． （11分）11.解（Ⅰ）如图①，折叠后点B 与点A 重合， 则ACD BCD △≌△.设点C 的坐标为()()00m m >，. 则4BC OB OC m =-=-. 于是4AC BC m ==-.在Rt AOC △中，由勾股定理，得222AC OC OA =+， 即()22242m m -=+，解得32m =. ∴点C 的坐标为302⎛⎫⎪⎝⎭，. ·················································································· 4分（Ⅱ）如图②，折叠后点B 落在OA 边上的点为B ', 则B CD BCD '△≌△. 由题设OB x OC y '==，， 则4B C BC OB OC y '==-=-，在Rt B OC '△中，由勾股定理，得222B C OC OB ''=+.()2224y y x ∴-=+，即2128y x =-+ ···························································································· 6分 由点B '在边OA 上，有02x ≤≤，∴ 解析式2128y x =-+()02x ≤≤为所求.∴ 当02x ≤≤时，y 随x 的增大而减小，A D F GB Ny ∴的取值范围为322y ≤≤. ····································································· 7分 （Ⅲ）如图③，折叠后点B 落在OA 边上的点为B ''，且B D OB ''∥. 则OCB CB D ''''∠=∠. 又CBD CB D OCB CBD ''''∠=∠∴∠=∠，，有CB BA ''∥. Rt Rt COB BOA ''∴△∽△. 有OB OC OA OB''=，得2OC OB ''=. ·································································· 9分 在Rt B OC ''△中，设()00OB x x ''=>，那么02OC x =. 由（Ⅱ）的结论，得2001228x x =-+，解得000808x x x =-±>∴=-+，∴点C 的坐标为()016. ···································································· 10分。
华师七年级数学下暑假复习资料8
图形的平移、旋转、轴对称知识结构图：1.图形平移两要素：平移方向，平移距离；平移的特点：平移不改变图形的形状和大小．图形平移的作图中要注意以下几点：①首先确定图形中的关键点；②将这些关键点沿指定的方向移动指定的单位距离；③然后连接对应的部分形成相应的图形．2.图形旋转要素：旋转中心，旋转方向，旋转角度；图形旋转的特点：旋转不改变图形的形状和大小．图形旋转的作图中要注意以下几个问题：①首先确定旋转中心；②其次确定图形的关键点；③将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度；④然后连接对应的部分，形成相应的图形．3.中心对称在平面内，将一个图形绕着中心旋转180°后能与自身重合，则这种图形叫做中心对称图形，这个中心叫做对称中心．中心对称图形的特点：图形绕着它自身的中心旋转180°后能与自身重合．在图形中心对称的作图中要注意以下几点：①首先确定图形的对称中心；②其次确定图形的关键点；③作这些关键点关于对称中心的对称点；④最后连接对应的部分，形成相应的图形．[重点讲解]1、典例剖析考点之一：考查轴对称图形的识别给出一些图案、图形或图形的名称，要求判断是不是轴对称图形．例１：下列交通标志图中，属于轴对称图形的是（）考点之二：考查文字中的轴对称主要考查文字、数字及字母的轴对称问题．例２：小强站在镜前，从镜子中看到镜子对面墙上挂着的电子表，其读数如图所示，则电子表的实际时刻是＿＿＿，可以把数据抄下来，反过来看看，这样最直观 考点之三：考查镜子里的轴对称主要考查实际物体与镜子里的像之间的关系．例３（安徽省课改区）小亮在镜中看到身后墙上的时钟如下，你认为实际时间最接近八点的是（ ）根据平面镜成像原理可知，镜中的像与原图象之间实际上只是进行了左右对换，由轴对称知识可知，只要将其进行左可翻折，即可得到原图考点之四：考查折纸中的轴对称主要考查折纸时对折痕两边的图形或部分图形关于折痕为对称轴的认识．例４：如图：将一张矩形纸片ＡＢＣＤ的角Ｃ沿着ＧＦ折叠（Ｆ在ＢＣ边上，不与Ｂ、Ｃ重合）使得Ｃ点落在矩形ＡＢＣＤ内部的Ｅ处，ＦＨ平分∠ＢＦＥ，则∠ＧＦＨ的度数α满足（ ）．Ａ．︒<<︒18090α ；Ｂ．︒=90α ； Ｃ．︒<<︒900α；Ｄ．α随着折痕位置变化而变化．考点之五：考查剪纸中的轴对称主要考查一定形状的纸按一定的规律折叠后裁剪掉一部分，然后识别展开后的形状．例５：如图所示，将矩形纸片ＡＢＣＤ沿虚线ＥＦ折叠，使点Ａ落在点Ｇ上，点Ｄ落在点Ｈ上；然后再沿虚线ＧＨ折叠，使Ｂ落在点Ｅ上，点Ｃ落在点Ｆ上；叠完后，剪一个直径在ＢＣ上的半圆，再展开，则展开后的图形为（ ）对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．H GF E D C BA考点之六：考查轴对称作图主要考查按某种要求作一个图形的轴对称图形．例６：如图，一个轴对称图形画出了它的一半，请你以点画线为对称轴画出它的另一半．考点之七：考查轴对称方案设计主要考查根据提供的材料按要求设计一个轴对称图形． 例７：国卫公司办公大楼前有一个１５ｍ×３０ｍ的矩形广场，广场中央已建成一个半径为４ｍ的圆形花圃（其圆心与矩形对角线的交点重合）．现欲建一个半径为２米与花圃相外切的圆形喷水池，使得建成后的广场、花铺和喷水池构成的平面图形是一个轴对称图形．则符合条件的喷水池的位置有＿＿＿个．．2.能力提升1.如图，把一张长方形纸片对折，折痕为AB ，再以AB 的中点O 为顶点把平角∠AOB 三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O 为顶点的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是（ ）A ．正三角形B ．正方形C ．正五边形D ．正六边形 2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. 菱形B.梯形C. 正三角形D.正五边形3.右边的图案是由下面五种基本图形中的两种拼接而成，这两种基本图形是（ ）A ．①⑤B ．②④C ．③⑤D ．②⑤4.把一张正方形纸片按如图所示的方法对折两次后剪去两个角，那么打开以后的形状是（ ）花圃F ED C B AA ．六边形B ．八边形C ．十二边形D ．十六边形 5.如图2，将矩形纸片ABCD （图1）按如下步骤操作：（1）以过点A 的直线为折痕折叠纸片，使点B 恰好落在AD 边上，折痕与BC 边交于点E （如图2）；（2）以过点E 的直线为折痕折叠纸片，使点A 落在BC 边上，折痕EF 交AD 边于点F （如图3）；（3）将纸片收展平，那么∠AFE 的度数为（ ）.（A ）60° （B ）67.5° （C ）72° （D ）75°6.如图，D 是AB 边上的中点，将△ABC 沿过D 的直线折叠，使点A 落在BC 上F 处，若∠B=50°，则∠BDF=__ __度．7.下列图形中，中心对称图形有（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8.图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC 的顶点和O 点都在正方形的顶点上． （1）以点O 为对称中心，在方格图中作出△ABC 的中心对称图形△A ′B ′C ′；（2）△A ′B ′C ′绕点B ′顺时针旋转90，画出旋转后得到的△A ″B ′C ″，并求边A ′B ′在旋转过程中扫过的图形面积．9.如图，ΔABC 与ΔA ’B ’C ’关于直线l 对称，则∠B 的度数为 （ ） A ．50° B ．30° C ．100° D ．90°A BC O30︒lC'B'A'B C A 50︒10.在小正方形组成的15×15的网络中，四边形ABCD 和四边形A ′B ′C ′D ′的位置如图所示。
七年级数学动点问题专题训练
动点问题专题训练1、如图，已知△ABC中， AB=AC=10厘米， BC=8厘米，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA 上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，BPD△与 CQP△是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使BPD△与CQP△全等（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿ABC△三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在ABC△的哪条边上相遇2、直线y=-3/4+6与坐标轴分别交于A、B两点，动点P、Q同时从O点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O→B→A运动．（1）直接写出AB点的坐标；（2）设点Q的运动时间为t秒，△OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；（3）当S=48/5时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．3、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ 于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．（1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是；（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ 的面积S与 t的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形若能，求t的值．若不能，请说明理由；（4）当DE经过点C 时，请直接写出t的值．4, 如图，在梯形ABCD中， AD已知一个直角三角形纸片OAB，其中∠AOB=90°，OA=2，OB=4。
七年级下册数学动点问题及压轴题(带答案)
七年级下册动点问题及压轴题1．如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0）是x轴正半轴上一点，C是第四象限一点，CB⊥y轴，交y轴负半轴于B（0，b），且（a﹣3）2+|b+4|=0，S四边形AOBC=16．（1）求C点坐标；（2）如图2，设D为线段OB上一动点，当AD⊥AC时，∠ODA的角平分线与∠CAE 的角平分线的反向延长线交于点P，求∠APD的度数．（3）如图3，当D点在线段OB上运动时，作DM⊥AD交BC于M点，∠BMD、∠DAO的平分线交于N点，则D点在运动过程中，∠N的大小是否变化？若不变，求出其值，若变化，说明理由．【解答】解：（1）∵（a﹣3）2+|b+4|=0，∴a﹣3=0，b+4=0，∴a=3，b=﹣4，∴A（3，0），B（0，﹣4），∴OA=3，OB=4，∵S四边形AOBC=16．∴（OA+BC）×OB=16，∴（3+BC）×4=16，∴BC=5，∵C是第四象限一点，CB⊥y轴，∴C（5，﹣4）（2）如图，延长CA，∵AF是∠CAE的角平分线，∴∠CAF=∠CAE，∵∠CAE=∠OAG，∴∠CAF=∠OAG，∵AD⊥AC，∴∠DAO+∠OAG=∠PAD+∠PAG=90°，∵∠AOD=90°，∴∠DAO+∠ADO=90°，∴∠ADO=∠OAG，∴∠CAF=∠ADO，∵DP是∠ODA的角平分线∴∠ADO=2∠ADP，∴∠CAF=∠ADP，∵∠CAF=∠PAG，∴∠PAG=∠ADP，∴∠APD=180°﹣（∠ADP+∠PAD）=180°﹣（∠PAG+∠PAD）=180°﹣90°=90°即：∠APD=90°（3）不变，∠ANM=45°理由：如图，∵∠AOD=90°，∴∠ADO+∠DAO=90°，∵DM⊥AD，∴∠ADO+∠BDM=90°，∴∠DAO=∠BDM，∵NA是∠OAD的平分线，∴∠DAN=∠DAO=∠BDM，∵CB⊥y轴，∴∠BDM+∠BMD=90°，∴∠DAN=（90°﹣∠BMD），∵MN是∠BMD的角平分线，∴∠DMN=∠BMD，∴∠DAN+∠DMN=（90°﹣∠BMD）+∠BMD=45°在△DAM中，∠ADM=90°，∴∠DAM+∠DMA=90°，在△AMN中，∠ANM=180°﹣（∠NAM+∠NMA）=180°﹣（∠DAN+∠DAM+∠DMN+∠DMA）=180°﹣[（∠DAN+DMN）+（∠DAM+∠DMA）]=180°﹣（45°+90°）=45°，∴D点在运动过程中，∠N的大小不变，求出其值为45°2．如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1与∠2互补．（1）试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；（2）如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接PH，K是GH上一点使∠PHK=∠HPK，作PQ平分∠EPK，问∠HPQ的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由．【考点】JB：平行线的判定与性质．【分析】（1）利用对顶角相等、等量代换可以推知同旁内角∠AEF、∠CFE互补，所以易证AB∥CD；（2）利用（1）中平行线的性质推知°；然后根据角平分线的性质、三角形内角和定理证得∠EPF=90°，即EG⊥PF，故结合已知条件GH⊥EG，易证PF∥GH；（3）利用三角形外角定理、三角形内角和定理求得∠4=90°﹣∠3=90°﹣2∠2；然后由邻补角的定义、角平分线的定义推知∠QPK=∠EPK=45°+∠2；最后根据图形中的角与角间的和差关系求得∠HPQ的大小不变，是定值45°．【解答】解：（1）如图1，∵∠1与∠2互补，∴∠1+∠2=180°．又∵∠1=∠AEF，∠2=∠CFE，∴∠AEF+∠CFE=180°，∴AB∥CD；（2）如图2，由（1）知，AB∥CD，∴∠BEF+∠EFD=180°．又∵∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，∴∠FEP+∠EFP=（∠BEF+∠EFD）=90°，∴∠EPF=90°，即EG⊥PF．∵GH⊥EG，∴PF∥GH；（3）∠HPQ的大小不发生变化，理由如下：如图3，∵∠1=∠2，∴∠3=2∠2．又∵GH⊥EG，∴∠4=90°﹣∠3=90°﹣2∠2．∴∠EPK=180°﹣∠4=90°+2∠2．∵PQ平分∠EPK，∴∠QPK=∠EPK=45°+∠2．∴∠HPQ=∠QPK﹣∠2=45°，∴∠HPQ的大小不发生变化，一直是45°．3.如图①，在矩形ABCD中，AB=10cm，BC=8cm，点P从A出发，沿A→B→C→D 路线运动，到D停止，点P的速度为每秒1cm，a秒时点P改变速度，变为每秒bcm，图②是点P出发x秒后△APD的面积S（cm2）与x（秒）的关系图象，（1）参照图②，求a、b及图②中的c值；（2）设点P离开点A的路程为y（cm），请写出动点P改变速度后y与出发后的运动时间x（秒）的关系式，并求出点P到达DC中点时x的值．（3）当点P出发多少秒后，△APD的面积是矩形ABCD面积的．4．星光橱具店购进电饭煲和电压锅两种电器进行销售，其进价与售价如表：进价（元/台）售价（元/台）电饭煲200250电压锅160200（1）一季度，橱具店购进这两种电器共30台，用去了5600元，并且全部售完，问橱具店在该买卖中赚了多少钱？（2）为了满足市场需求，二季度橱具店决定用不超过9000元的资金采购电饭煲和电压锅共50台，且电饭煲的数量不少于电压锅的，问橱具店有哪几种进货方案？并说明理由；（3）在（2）的条件下，请你通过计算判断，哪种进货方案橱具店赚钱最多？【考点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．【分析】（1）设橱具店购进电饭煲x台，电压锅y台，根据图表中的数据列出关于x、y的方程组并解答即可，等量关系是：这两种电器共30台；共用去了5600元；（2）设购买电饭煲a台，则购买电压锅（50﹣a）台，根据“用不超过9000元的资金采购电饭煲和电压锅共50台，且电饭煲的数量不少于电压锅的”列出不等式组；（3）结合（2）中的数据进行计算．【解答】解：（1）设橱具店购进电饭煲x台，电压锅y台，依题意得，解得，所以，20×+10×=1400（元）．答：橱具店在该买卖中赚了1400元；（2）设购买电饭煲a台，则购买电压锅（50﹣a）台，依题意得，解得22≤a≤25．又∵a为正整数，∴a可取23，24，25．故有三种方案：①防购买电饭煲23台，则购买电压锅27台；②购买电饭煲24台，则购买电压锅26台；③购买电饭煲25台，则购买电压锅25台．（3）设橱具店赚钱数额为W元，当a=23时，W=23×+27×=2230；当a=24时，W=24×+26×=2240；当a=25时，W=25×+25×=2250；综上所述，当a=25时，W最大，此时购进电饭煲、电压锅各25台．5．（本题12分）已知：在平面直角坐标系中，直线AB 分别与x 轴负半轴、y 轴正半轴交于点B (b ，0)、点A (0，a )，且a 、b 满足0|32|34=++++--b a b a ，点D (h ，m )是直线AB 上且不与A 、B 两点重合的动点(1) 求△AOB 的面积;(2) 如图1，点P 、点T 分别是线段OA 、x 轴正半轴上的动点，过T 作TE ∥AB ，连接TP ．若∠ABO ＝n °，请探究∠APT 与∠PTE 之间的数量关系？（注：可用含n 的式子表达并说明理由）(3) 若32S △BOD ≥S △AOD ，求出m 的取值范围.。
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所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或
多个动点它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目解决这类问题的关键是动中求静灵活运用有关数学知识解决问题关键动中求静数学思想：分类思想数形结合思想转化思想
1、已知A、B是数轴上两点，A点对应数为12，B点对应数位42
（1）C是数轴上一点，且AC=2AB，求C点对应的数
（2）D是数轴上A点左侧一点，动点P从D点出发向右运动，9秒钟到达A点，15秒到达B点，求P点运动的速度；
（3）在（2）的条件下，又有2 个动点Q和R分别从A、B和P点同时向右运动，Q的速度为每秒1个单位，R的速度为每秒2个单位，求经过几秒，P和Q的距离等于Q和R的距离的3倍
2、已知数轴上A、B两点对应数为－2、4，P为数轴上一动点，对应的数为x。
A B
－2 －1 0 1 2 3 4
(1)若P为AB线段的三等分点，求P对应的数；
（2）数轴上是否存在P，使P到A点、B点距离和为10，若存在，求出x；若不存在，说明理由。
（3）A点、B点和P点（P在原点）分别以速度比1 ：10 ：2（长度：单位/分），向右运动几分钟时，P为AB的中点。
3、在直角三角形ABC中，BC=6，AC=8，点D在线段AC上从C向A运动．若设CD=x，△ABD的面积为y．
（1）请写出y与x的关系式；
（2）当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？此时点D在什么位置？
（3）当△ABD的面积是△ABC的面积的一半时，点D在什么位置？
4、如图，正方形ABCD的边长是１cm，E为CD的中点．P为正方形边上的一个动点，动点P从A
A D
x
E
P。