微积分上期末试卷A答案

北京师范大学珠海分校

2014-2015学年第一学期期末考试试卷A （参考答案）

开课单位：_ 应用数学学院___课程名称：_微积分（上）（3学分）_ 任课教师：__ __考试类型：_闭卷_ 考试时间：_120 分钟 学院_________ 姓名___________ 学号______________ 班级____________

试卷说明

：（本试卷

共4页，满分100分）

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一、填空题：（共5小题，每空 3分，共 30分）

(1)函数y=arctanx 的定义域是__(,)-∞

+∞__,其微分。 （2）函数f(x)在点0x 处连续，必须同时满足的条件是：1、f(x)在点0x 有定义，

2、_0

lim ()x x f x →存在__，3、_0

0lim ()()x x f x f x →=__。

(3) 曲线y=(1+x)lnx

_y=2x-2____________,

法线方程为。

(4)若函数f(x)在a,b ）_内可导__，

则至少有一点(,)a b ξ∈使得：()()'()()f b f a f b a ξ-=-。 （5）已知f （u ）可导；y=2x f(lnx),则y '=_2(ln )(ln )x f x x f x '⋅

+⋅__,

2(ln )x f x dx =⎰u 若f(u)的一个原函数是e ,则。

二、单选题：（共5小题，每题 3分，共 15分）

（1）下列正确的是（ B ） A sin lim

1x x x →∞= , B 1lim sin 1x x x →∞= , C 01lim sin 1x x x →= , D 1

lim sin 0x x x

→∞=。

（2）()f x 在0x 点可微与()f x 在0x 点可导是（ C ）的

A 相等 ，

B 相关 ，

C 等价 ，

D 无关 。

（3）若00()0()0f

x f x '''=<，，则下列结论正确的是（ A ）

A 0x 是()f x 的极大值点 ，

B 00(,())x f x 是()f x 的拐点 ，

C 0x 是()f x 的间断点 ，

D 0x 是()f x 的极小值点 。 （4）若在区间I 上，()0()0f x f x '''><， ，则曲线y=f(x)在I 上是（ D ）

A 单调减的凹弧 ，

B 单调增的凹弧 ，

C 单调减的凸弧 ，

D 单调增的凸弧 。

（5）设(),()(0,1)ln x

x

a f x a g x a a a

==>≠则（ C ） A ()()g x f x 是的不定积分 ， B ()()g x f x 是的导函数 ，

C ()()g x f x 是的一个原函数 ，

D ()()f x x 是g 的一个原函数 。 三、计算题：（共9小题，每题5分，共45分）（要求写出计算过程） （1）已知arccos ,y x x =求：0

'

x y ='；

（2）已知)0(arcsin 2222

2>+-=a a

x a x a x y ，求：dy 解：

12y a '=22212a x dy a -=-

（3） 设(sin )(cos )x y x x

= ，求：

dy

dx

（4）求极限：30(cos sin )(1)

lim sin x x x x x e x x →--

（5）计算：2

（6）计算：12x

e

dx x

⎰

（7）计算：求2

1

4dx x -⎰

． 解：

（8）计算：cos x e xdx -⎰

解：cos cos cos (sin )x x x x e xdx xde e x e x dx ----=-=-+-⎰⎰⎰

cos sin cos sin cos x x x x x e x xde e x e x e xdx -----=-+=-+-⎰⎰---2’ 12cos (sin cos )x x x x x x C --∴=-+⎰e d e -------------------2’

（9）计算：dx x

⎰

所以，当3x >时，

当

3x <-时，同理可得：

四、应用题：（10分）（要求写出计算过程）

设大型超市通过测算，已知某种手巾的销量Q (条)与其成本C 的关系为

23()100060.003(0.01)C =+-+Q Q Q Q (元),

现每条手巾的定价为6元, 求使利润最大的销量.

解： 利润函数为

()L Q 236()10000.003(0.01)C ==-+-Q -Q Q Q -----2’，

求导2()0.0060.03(0.01)L '=-Q Q Q ------------2’，

令()0L '=Q ，因0>Q ，故得唯一驻点为2000=Q --------2’，

因此使利润最大的销量为2000条。------------------2’