全国名校高考数学一轮复习优质专题汇编(附详解)圆：第1节 圆的方程
高考理科数学一轮复习课件圆的方程
定义
01
两个圆有且仅有一个公共点，且一个圆在另一个圆的外部时，
称这两个圆外切。
判定方法
02
通过比较两个圆心之间的距离与两个圆的半径之和的大小关系
来判定。若圆心距等于两圆半径之和，则两圆外切。
性质
03
两圆外切时，连心线必过切点，且两圆心到切点的距离相等。
圆与圆相交
01
定义
两个圆有两个不同的公共点时，称这两个圆相交。
圆的方程形式
标准方程
(x - a)² + (y - b)² = r² ， 其中(a, b)是圆心坐标，r 是半径。
一般方程
x² + y² + Dx + Ey + F = 0 ，其中D² + E² - 4F > 0 。通过配方可以化为标准 方程。
参数方程
圆的参数方程为 x = a + rcosθ, y = b + rsinθ (θ为 参数)。
05
圆的方程在几何问题中的应用
利用圆的方程求轨迹问题
确定动点的轨迹
通过设定动点的坐标，利用圆的方程将动点的坐标代入，得到动 点的轨迹方程。
求解轨迹的半径和圆心
通过轨迹方程，可以进一步求解出轨迹的半径和圆心坐标。
判断轨迹的形状
根据轨迹方程的形式和性质，可以判断出轨迹的形状，如圆、椭圆 等。
利用圆的方程解决最值问题
直线与圆相切
直线与圆有且仅有一个交点，即 直线刚好与圆接触。
可以通过比较圆心到直线的距离 与圆的半径来判断，若距离等于
半径则相切。
切线的斜率可以通过圆心坐标和 切点坐标求得。
直线与圆相离
直线与圆没有交点，即直线在 圆外部。
圆的一般方程
，
1 3 □2
D2＋E2－4F
.
(2)当 D2＋E2－4F＝0 时，方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示点 . 2 2 5 □ D ＋ E －4F<0 (3)当
4 □
D E － ，－ 2 2
时，方程 x2＋y2＋Dx＋Ey
＋F＝0 不表示任何图形．
2．由圆的一般方程判断点与圆的位置关系 已知点 M(x0，y0)和圆的方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2 ＋E2－4F>0)．则其位置关系如下表：
3．(教材改编，P123，T1)圆 x2＋y2＋4x－6y－3＝0 的圆 心和半径长分别为( A．(4，－6)，16 C．(－2,3)，4 ) B．(2，－3)，4 D．(2，－3)，16
课堂互动探究
探究1 求：
圆的一般方程的定义
例 1 若方程 x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0 表示圆， (1)实数 m 的取值范围； (2)圆心坐标和半径．
1．判断二元二次方程 Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示圆要“两看”： 一看方程是否具备圆的一般方程的特征：①A＝C≠0； ②B＝0； 二看它能否表示圆． 此时判断 D2＋E2－4AF 是否大于 0； 或直接配方变形，判断等号右边是否为大于零的常数．
2．求轨迹方程的一般步骤 (1)建立适当坐标系，设出动点 M 的坐标(x，y)． (2)列出点 M 满足条件的集合． (3)用坐标表示上述条件，列出方程 f(x，y)＝0. (4)将上述方程化简． (5)证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的 点．
解 0， 将 P，Q 的坐标分别代入上式，
4D－2E＋F＋20＝0， ① 得 D－3E－F－10＝0， ②
高考数学一轮复习知识点：圆的方程
高考数学一轮复习知识点：圆的方程
(1)设直线，圆圆心到l的距离为则有
(2)设直线，圆，先将方程联立消元，得到一个一元二次方程之后，令其中的判别式为，则有;;
注：如圆心的位置在原点，可使用公式去解直线与圆相切的问题，其中表示切点坐标，r表示半径。
(3)过圆上一点的切线方程：
①圆x2+y2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(课本命题).
②圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2(课本命题的推广).
4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和(差)，与圆心距
(d)之间的大小比较来确定。
设圆，
两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差)，与圆心距(d)之间的大小比较来确定。
当时两圆外离，此时有公切线四条;
当时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条;
当时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线; 当时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线;
当时，两圆内含;当时，为同心圆。
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圆的标准方程1
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高考调研 ·新课标 ·数学（必修二）
【 解 析 】
(1) 方 法 一 ： 圆 的 半 径 r ＝ |CP| ＝
（5－8）2＋（1＋3）2＝5， 又∵圆心在点(8，－3)， ∴圆的方程为(x－8)2＋(y＋3)2＝25. 方法二：因为圆心在 C(8，－3) ，故设方程为(x－8)2＋(y＋ 3)2＝r2. 又因为点 P(5，1)在圆上，所以(5－8)2＋(1＋3)2＝r2. ∴r2＝25. 所以所求圆的方程为(x－8)2＋(y＋3)2＝25.
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高考调研 ·新课标 ·数学（必修二）
◎思考题 1
(1)若圆 C 与圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1 关于原点对 ) B．(x－2)2＋(y－1)2＝1 D．(x＋1)2＋(y－2)2＝1
称，则圆 C 的方程是(
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 C．(x－1)2＋(y＋2)2＝1
【答案】 A
圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心 A(a，b)，半径 r， 若点 M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；若点 M(x0，y0) 在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；若点 M(x0， y0)在圆内，则(x0 －a)2＋(y0－b)2<r2.
第 2页
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高考调研 ·新课标 ·数学（必修二）
1 (2)由已知得圆心坐标为 M(2，－1)，半径 r＝2|AB|＝1， ∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝1. (3)方法一：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， （2－a）2＋（－3－b）2＝r2， 2 2 2 ∴（－2－a） ＋（－5－b） ＝r ， a－2b－3＝0， a2－4a＋b2＋6b＋13＝r2， 2 2 2 即a ＋4a＋b ＋10b＋29＝r ， ② a＝3＋2b， ③ ①
圆的标准方程
求圆的标准方程的方法 确定圆的标准方程就是设法确定圆心 C(a，b)及半径 r，其求 解的方法： (1)待定系数法，如法一，建立关于 a，b，r 的方程组，进而 求得圆的方程； (2)借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径，如法二、 三．一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作 转化较为简捷．
练一练 1．求下列圆的标准方程： (1)圆心是(4,0)，且过点(2,2)； (2)圆心在 y 轴上，半径为 5，且过点(3，－4)； (3)过点 P(2，－1)和直线 x－y＝1 相切，并且圆心在直线 y＝－2x 上． 解：(1)r2＝(2－4)2＋(2－0)2＝8， ∴圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝8. (2)设圆心为 C(0，b)， 则(3－0)2＋(－4－b)2＝52， ∴b＝0 或 b＝－8，
法三：由已知可得线段 AB 的中点坐标为(0,0)， kAB＝1－－1－ －11＝－1， ∴弦 AB 的垂直平分线的斜率为 k＝1， ∴AB 的垂直平分线的方程为 y－0＝1·(x－0)， 即 y＝x.则圆心是直线 y＝x 与 x＋y－2＝0 的交点， 由xy＝＋xy－，2＝0， 得yx＝＝11，， 即圆心为(1,1)， 圆的半径为 1－12＋[1－－1]2＝2， 故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
爱好运动的小华，小强，小兵三人相邀搞一场掷飞镖比赛， 他们把靶子钉在土墙上，规定谁的飞镖离靶心 O 越近，谁获胜， 如图 A，B，C 分别是他们掷一轮飞镖的落点．看图回答下列 问题：
[思考 1] 点与圆的位置关系有几种？
提示：三种．点在圆外、圆上、圆内．
[思考 2] 如何判断他们的胜负？ 提示：利用点与圆心的距离．
“南昌之星”摩天轮 2006 年建成时是世界上最高的摩天轮， 它位于江西省南昌市红谷滩新区红角洲赣江边上的赣江市民公园， 是南昌市标志性建筑．该摩天轮总高度为 160 米，转盘直径为 153 米．
圆的方程课件-2024届高考数学一轮复习
得 �� + − + ＋ = ， 解得 = ， 所以圆 C 的一般方
＝ − .
− ＋ − = ，
程为
x 2＋ y 2＋8 x ＋2 y －33＝0.
返回目录Βιβλιοθήκη 考点二 与圆有关的轨迹问题
例2 （1） 已知 A （－1，0）， B （1，0）， C 为平面内的一动点，且
2. （2023·浙江模考）在平面直角坐标系中， A （－1，0）， B （1，
0），动点 P 满足｜ PA ｜2＋｜ PB ｜2＝4.
（1） 求点 P 的轨迹方程.
解：（1） 设点 P 的坐标为（ x ， y ），则由题意，得（ x ＋1）2＋ y 2＋
（ x －1）2＋ y 2＝4.化简，得 x 2＋ y 2＝1.所以点 P 的轨迹方程为 x 2＋ y 2
＝1有交点.所以
最小值为－
｜｜
+
≤1，解得－
≤ k ≤ .所以 的最大值为 ，
.
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（2） y － x 的最大值和最小值；
解：（2） 方法一：令 y － x ＝ t ，所以直线 x － y ＋ t ＝0与圆（ x －2）2
＋ y 2＝1有交点.所以
｜+｜
＋(−）
的是（
AC
）
A. 圆 C 的方程为（ x －5）2＋（ y －6）2＝10
B. 点 M （3，3）在圆 C 内
C. 若点 Q （5，3），则｜ PQ ｜的最小值为 10 －3
D. 若点 N （6， a ）在圆外，则 a 的取值范围是（3，9）
2025高考数学一轮复习-圆的方程-专项训练【含解析】
课时过关检测(四十八)圆的方程【原卷版】1．圆心为(2,1)且和x轴相切的圆的方程是()A．(x－2)2＋(y－1)2＝1B．(x＋2)2＋(y＋1)2＝1C．(x－2)2＋(y－1)2＝5D．(x＋2)2＋(y＋1)2＝52．设a∈R，则“a＞2”是“方程x2＋y2＋ax－2y＋2＝0的曲线是圆”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．若x2＋y2＝8，则2x＋y的最大值为()A．8B．4C．210D．54．已知圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝1和两点A(－t,0)，B(t,0)(t＞0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则t的取值范围是()A．(0,2]B．[1,2]C．[2,3]D．[1,3]5．点M为圆C：(x＋2)2＋(y＋1)2＝1上任意一点，直线(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y＝2＋5λ过定点P，则|MP|的最大值为()A．23B．13C．23＋1D．13＋16．(多选)已知圆x2＋y2－4x－1＝0，则下列关于该圆说法正确的有()A ．关于点(2,0)对称B ．关于直线y ＝0对称C ．关于直线x ＋3y －2＝0对称D ．关于直线x －y ＋2＝0对称7．(多选)已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段，弧长比为1∶2，则圆C 可能的方程为()A ．x 2＝43B ．x 2＝43C ．(x －3)2＋y 2＝43D ．(x ＋3)2＋y 2＝438．已知三个点A (0,0)，B (2,0)，C (4，2)，则△ABC 的外接圆的圆心坐标是________．9．已知点P 为圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0上任意一点，A ，B 为直线3x ＋4y ＋5＝0上的两动点，且|AB |＝2，则△ABP 的面积的取值范围是________．10．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410．(1)求直线CD 的方程；(2)求圆P 的方程．11．瑞士数学家欧拉在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．若已知△ABC 的顶点A (－4,0)，B (0,4)，其欧拉线方程为x －y ＋2＝0，则顶点C 的坐标可以是()A ．(1,3)B ．(3,1)C ．(－2,0)D ．(0，－2)12．写出一个关于直线x ＋y －1＝0对称的圆的方程____________．13．已知A (－2,0)，B (2,0)，动点M 满足|MA |＝2|MB |，则点M 的轨迹方程是____________________；又若MA ―→·MB ―→＝0，此时△MAB 的面积为________．14．已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求点M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．15．(多选)设有一组圆C k ：(x －k )2＋(y －k )2＝4(k ∈R )，下列命题正确的是()A ．不论k 如何变化，圆心C 始终在一条直线上B ．所有圆C k 均不经过点(3,0)C ．经过点(2,2)的圆C k 有且只有一个D ．所有圆的面积均为4π16．已知曲线T ：F (x ，y )＝0，对坐标平面上任意一点P (x ，y )，定义F [P ]＝F (x ，y )，若两点P ，Q 满足F [P ]·F [Q ]>0，称点P ，Q 在曲线T 同侧；F [P ]·F [Q ]<0，称点P ，Q 在曲线T 两侧．(1)直线过l 原点，线段AB 上所有点都在直线l 同侧，其中A (－1,1)，B (2,3)，求直线l 的斜率的取值范围；(2)已知曲线F (x ，y )＝(3x ＋4y －5)4－x 2－y 2＝0，O 为坐标原点，求点集S ＝{P |F [P ]·F [O ]>0}的面积．课时过关检测(四十八)圆的方程【解析版】1．圆心为(2,1)且和x 轴相切的圆的方程是()A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1B ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝1C ．(x －2)2＋(y －1)2＝5D ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5解析：A 圆心为(2,1)且和x 轴相切的圆，它的半径为1，故它的方程是(x －2)2＋(y －1)2＝1，故选A ．2．设a ∈R ，则“a ＞2”是“方程x 2＋y 2＋ax －2y ＋2＝0的曲线是圆”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：A方程x 2＋y 2＋ax －2y ＋2＝0的曲线是圆，则有D 2＋E 2－4F ＝a 2＋4－8＞0，解得a ＞2或a ＜－2，则“a ＞2”是“a ＞2或a ＜－2”的充分不必要条件，所以“a ＞2”是“方程x 2＋y 2＋ax －2y ＋2＝0的曲线是圆”的充分不必要条件．故选A ．3．若x 2＋y 2＝8，则2x ＋y 的最大值为()A ．8B ．4C ．210D ．5解析：C 设2x ＋y ＝t ，则y ＝t －2x ，当直线y ＝t －2x 与x 2＋y 2＝8相切时，t 取到最值，所以|t |5≤22，解得－210≤t ≤210，所以2x ＋y 的最大值为210，故选C ．4．已知圆C ：(x －3)2＋(y －1)2＝1和两点A (－t,0)，B (t,0)(t ＞0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则t 的取值范围是()A ．(0,2]B ．[1,2]C ．[2,3]D ．[1,3]解析：D圆C ：(x －3)2＋(y －1)2＝1的圆心C (3，1)，半径为1，因为圆心C 到O (0,0)的距离为2，所以圆C 上的点到O (0,0)的距离最大值为3，最小值为1，又因为∠APB ＝90°，则以AB 为直径的圆和圆C 有交点，可得|PO |＝12|AB |＝t ，所以有1≤t ≤3，故选D ．5．点M 为圆C ：(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝1上任意一点，直线(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y ＝2＋5λ过定点P ，则|MP |的最大值为()A ．23B ．13C ．23＋1D ．13＋1解析：D 整理直线方程得：(x ＋y －2)＋(3x ＋2y －5)λ＝0＋y －2＝0，x ＋2y －5＝0得＝1，＝1，∴P (1,1)，由圆的方程知圆心C (－2，－1)，半径r ＝1，∴|MP |max ＝|CP |＋r ＝(－2－1)2＋(－1－1)2＋1＝13＋1．故选D ．6．(多选)已知圆x 2＋y 2－4x －1＝0，则下列关于该圆说法正确的有()A ．关于点(2,0)对称B ．关于直线y ＝0对称C ．关于直线x ＋3y －2＝0对称D ．关于直线x －y ＋2＝0对称解析：ABCx 2＋y 2－4x －1＝0⇒(x －2)2＋y 2＝5，所以圆心的坐标为(2,0)，半径为5．A项，圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点(2,0)是圆心，所以本选项正确；B 项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线y ＝0过圆心，所以本选项正确；C 项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线x ＋3y －2＝0过圆心，所以本选项正确；D 项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线x －y ＋2＝0不过圆心，所以本选项不正确．故选A 、B 、C ．7．(多选)已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段，弧长比为1∶2，则圆C 可能的方程为()A ．x 2＝43B ．x 2＝43C ．(x －3)2＋y 2＝43D ．(x ＋3)2＋y 2＝43解析：AB由题意知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为2π3，设圆心C (0，a ),半径为r ，则r sin π3＝1，r cos π3＝|a |，解得r ＝23，即r 2＝43，|a |＝33，即a ＝±33，故圆C的方程为x 2＝43．8．已知三个点A (0,0)，B (2,0)，C (4，2)，则△ABC 的外接圆的圆心坐标是________．解析：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则＝0，＋2D ＋F ＝0，＋4D ＋2E ＋F ＝0，解得＝－2，＝－6，＝0，所以圆的方程为x 2－2x ＋y 2－6y ＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝10，所以圆心坐标为(1,3)．答案：(1,3)9．已知点P 为圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0上任意一点，A ，B 为直线3x ＋4y ＋5＝0上的两动点，且|AB |＝2，则△ABP 的面积的取值范围是________．解析：圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，圆心C (2，1)，半径r ＝2，圆心C 到直线3x ＋4y ＋5＝0的距离d ＝|6＋4＋5|32＋42＝3，设P 到直线AB 的距离为h ，则S △ABP ＝12·|AB |·h＝h ，∵d －r ≤h ≤d ＋r ，∴1≤h ≤5，∴S △ABP ∈[1,5]，即△ABP 的面积的取值范围为[1,5]．答案：[1,5]10．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410．(1)求直线CD 的方程；(2)求圆P 的方程．解：(1)直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1,2)．所以直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0．(2)设圆心P (a ，b )，则由点P 在CD 上得a ＋b －3＝0．①又直径|CD |＝410，所以|PA |＝210．所以(a ＋1)2＋b 2＝40．②＝－3，＝6＝5，＝－2，所以圆心P (－3,6)或P (5，－2)，所以圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40．11．瑞士数学家欧拉在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．若已知△ABC 的顶点A (－4,0)，B (0,4)，其欧拉线方程为x －y ＋2＝0，则顶点C 的坐标可以是()A ．(1,3)B ．(3,1)C ．(－2,0)D ．(0，－2)解析：D ∵A (－4,0)，B (0,4)，∴AB 的垂直平分线方程为x ＋y ＝0，又外心在欧拉线x－y ＋2＝0＋y ＝0，－y ＋2＝0，解得三角形ABC 的外心为G (－1,1)，又r ＝|GA |＝(－1＋4)2＋(1－0)2＝10，∴△ABC 外接圆的方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝10．设C (x ，y )，则三角形ABC 即x －43－y ＋43＋2＝0．整理得x －y －2＝0．联x ＋1)2＋(y －1)2＝10，－y －2＝0，＝0，＝－2＝2，＝0.∴顶点C 的坐标可以是(0，－2)．故选D ．12．写出一个关于直线x ＋y －1＝0对称的圆的方程____________．解析：设圆心坐标为C (a ，b )，因为圆C 关于x ＋y －1＝0对称，所以C (a ，b )在直线x ＋y －1＝0上，则a ＋b －1＝0，取a ＝1⇒b ＝0，设圆的半径为1，则圆的方程(x －1)2＋y 2＝1．答案：(x －1)2＋y 2＝1(答案不唯一)13．已知A (－2,0)，B (2,0)，动点M 满足|MA |＝2|MB |，则点M 的轨迹方程是____________________；又若MA ―→·MB ―→＝0，此时△MAB 的面积为________．解析：设M (x ，y )，由|MA |＝2|MB |，得(x ＋2)2＋y 2＝2(x －2)2＋y 2，整理得3x 2＋3y 2－20x ＋12＝0．以AB 为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝4，x 2＋3y 2－20x ＋12＝0，2＋y 2＝4，解得|y |＝85．即M 点的纵坐标的绝对值为85．此时△MAB 的面积为S ＝12×4×85＝165．答案：3x 2＋3y 2－20x ＋12＝016514．已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求点M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．解：圆C ：x 2＋(y －4)2＝42，故圆心为C (0,4)，半径为4．(1)当C ，M ，P 三点均不重合时，∠CMP ＝90°，所以点M 的轨迹是以线段PC 为直径的圆(除去点P ，C )，线段PC 中点为(1,3)，12|PC |＝12(2－0)2＋(2－4)2＝2，故M 的轨迹方程为(x －1)2＋(y －3)2＝2(x ≠2，且y ≠2或x ≠0，且y ≠4)．当C ，M ，P 三点中有重合的情形时，易求得点M 的坐标为(2,2)或(0,4)．综上可知，点M 的轨迹是一个圆，轨迹方程为(x －1)2＋(y －3)2＝2．(2)由(1)可知点M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心，2为半径的圆．法一(几何法)：由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上．又P 在圆N 上，从而ON⊥PM．因为ON的斜率为3，所以直线l的斜率为－13，故直线l的方程为y＝－13x＋83，即x＋3y－8＝0．又易得|OM|＝|OP|＝22，点O到直线l的距离为812＋32＝4105，|PM|＝＝4105，所以△POM的面积为12×4105×4105＝165．法二(代数法)：设M(x，y)，由|OM|＝|OP|＝22得x2＋y2＝8，2＋y2＝8，①－1)2＋(y－3)2＝2，②①－②得直线l方程为x＋3y－8＝0，将x＝8－3y代入①得5y2－24y＋28＝0，解得y1＝145，y2＝2．从而x1＝－25，x2＝2．所以M－25，|PM|＝＝4105．又点O到l距离d＝812＋32＝4105，所以△POM的面积S＝12|PM|·d＝12×4105×4105＝165．15．(多选)设有一组圆C k：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列命题正确的是()A．不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上B．所有圆C k均不经过点(3,0)C．经过点(2,2)的圆C k有且只有一个D．所有圆的面积均为4π解析：ABD圆心坐标为(k，k)，在直线y＝x上，A正确；令(3－k)2＋(0－k)2＝4，化简得2k2－6k＋5＝0，∵Δ＝36－40＝－4＜0，∴2k2－6k＋5＝0无实数根，B正确；由(2－k)2＋(2－k)2＝4，化简得k2－4k＋2＝0，∵Δ＝16－8＝8＞0，有两不等实根，∴经过点(2,2)的圆C k有两个，C错误；由圆的半径为2，得圆的面积为4π，D正确．故选A、B、D．16．已知曲线T：F(x，y)＝0，对坐标平面上任意一点P(x，y)，定义F[P]＝F(x，y)，若两点P，Q满足F[P]·F[Q]>0，称点P，Q在曲线T同侧；F[P]·F[Q]<0，称点P，Q在曲线T 两侧．(1)直线过l原点，线段AB上所有点都在直线l同侧，其中A(－1,1)，B(2,3)，求直线l 的斜率的取值范围；(2)已知曲线F(x，y)＝(3x＋4y－5)4－x2－y2＝0，O为坐标原点，求点集S＝{P|F[P]·F[O]>0}的面积．解：(1)由题意，显然直线l斜率存在，设方程为y＝kx，则F(x，y)＝kx－y＝0，因为A(－1,1)，B(2,3)，线段AB上所有点都在直线l同侧，则F[A]·F[B]＝(－k－1)(2k－3)>0，解得－1<k<3 2．(2)因为F[O]<0，所以F[P]＝(3x＋4y－5)·4－x2－y2<0，x＋4y－5<0，2＋y2<4，点集S为圆x2＋y2＝4在直线3x＋4y－5＝0下方内部，如图所示，设直线与圆的交点为A，B，则O到AB的距离为1，故∠AOB＝2π3，因此，所求面积为S＝12·4π3·22＋12·32·22＝8π3＋3．。
高考江苏数学大一轮精准复习课件圆的方程
圆的标准方程
(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2，其 中 (a, b) 为圆心坐标，r 为半径。
圆心、半径与方程关系
圆心坐标与方程关系
圆心坐标 (a, b) 直接体现在圆的标准 方程中。
半径与方程关系
半径 r 是圆的标准方程中的关键参数 ，决定圆的大小。
圆与圆的位置关系
利用圆与圆的位置关系，可以确定满足条 件的点或圆的存在性。
代数法
通过代数运算和推理，可以证明或否定满 足条件的点、直线或圆的存在性。
05
典型例题分析与解题技巧
选择题答题技巧指导
审题要仔细
选择题中往往包含一些关键信息，如 圆的方程形式、圆心坐标、半径等， 审题时要特别注意这些信息的提取和 理解。
04
涉及圆的综合问题探讨
最值问题在圆背景下的应用
圆心到直线的距离公式
通过公式可以快速求解圆 心到直线的距离，进而解 决与圆相关的最值问题。
圆的方程与不等式联立
将圆的方程与不等式联立 ，通过求解不等式组可以
得到最值问题的解。
利用数形结合思想
通过图形分析，结合代数 运算，可以直观地找到最
值问题的解决方案。
直线与圆相离条件
直线方程与圆方程联立无实数解
将直线方程代入圆方程，得到一个关于x（或y）的一元二次方程，若该方程无实数解，则直线与圆相 离。
圆心到直线的距离大于半径
利用点到直线距离公式，求出圆心到直线的距离d，若d大于圆的半径r，则直线与圆相离。
03
圆的切线问题求解策略
切线判定定理及应用
切线判定定理
圆的对称性及其性质
高考数学第一轮总复习100讲(含同步练习及答案)_g31077圆的方程.
g3.1077圆的方程一、 知识要点1、 圆心为),(b a C ，半径为r 的圆的标准方程为：)0()()(222>=-+-r r b y a x .特殊地，当0==b a 时，圆心在原点的圆的方程为：222r y x =+.2、 圆的一般方程022=++++F Ey Dx y x ，圆心为点)2,2(E D --，半径2422F E D r -+=，其中0422>-+F E D . 3、 二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax ，表示圆的方程的充要条件是：①、2x 项2y 项的系数相同且不为0，即0≠=C A ；②、没有xy 项，即B=0；③、0422>-+AF E D .4、 圆222)()(:r b y a x C =-+-的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin cos r b y r a x (θ为参数).特殊地，222r y x =+的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x (θ为参数). 二、考试要求1、 掌握圆的标准方程和一般方程，并能根据已知条件求圆的方程；2、 了解参数方程的概念；3、 理解圆的参数方程；三、基本训练1．设方程(,)0f x y =的解集非空，如果命题“坐标满足方程(,)0f x y =的点都在曲线C 上”是不正确的，则下列()A 坐标满足方程(,)0f x y =的点都不在曲线C 上；()B 曲线C 上的点的坐标都不满足方程(,)0f x y =；()C 坐标满足方程(,)0f x y =的点有些在曲线C 上，有些不在曲线C 上； ()D 一定有不在曲线C 上的点，其坐标满足(,)0f x y =；2．已知两点55(1,),(4,)44M N --，给出下列曲线方程：（1）4210x y --=，（2）223x y +=，（3）2212x y +=，（4）2212x y -=曲线上存在点P 满足||||MP NP =的所有曲线方程是（ ） ()A (1)(2)(3)()B (2)(4) ()C (1)(3)()D (2)(3)(4) 3．方程222xy x y x -=所表示的曲线是 （ ）()A 关于y 轴对称()B 关于0x y +=对称()C 关于原点对称 ()D 关于0x y -=对称4．若直线20x y k -+=与曲线221y x x =-+没有公共点，则k 的取值范围是 。
圆的标准方程
全国名校高中数学优质学案、专题汇编（附详解）4.1.1 圆的标准方程 一、温故互查：1、两点间距离公式：2．（1）在平面直角坐标系中，如何确定一条直线呢？（2）在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？首先回忆一下初中讲过的一个圆最基本要素是 和二、设问导读1、如图，在直角坐标系中，圆心点A 的位置用坐标(a ,b ) 表示，半径r 的大小等于圆上任意一点M (x , y )与圆心A (a ,b ) 的距离．符合上述条件的圆的集合是什么？你能用描述法来表示这个集合吗？2.则点M 、A 间的距离为：=MA ___________________________________________ 即：把这个方程称为圆心为A (a , b )，半径长为r 的圆的方程，把它叫做圆的标准方程 【结构分析】圆的标准方程是一个____元____次方程.减号 r 是________ 平方222)()(r b y a x =-+- b 是_______________a 是_______________ y x ,的系数都是____探究一 探究圆的标准方程1. 写出下列圆的圆心坐标和半径。
方程 圆心坐标 半径 方程 圆心坐标 半径6)1()4(122=-+-y x ）（ __________ ________ 8)3(422=-+y x ）（ __________ ________ 4)4()1(222=++-y x ）（ __________ ________ 222)3(5-=+y x ）（ __________ ________ 9)2(322=++y x ）（ ___________ _________ 222)(6a y a x =+-）（ ___________ ________总结： 特别地，当)0,0(),(=b a 时，圆的方程变为________________________ 2. 根据下列条件，写出圆的标准方程。
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第1节 圆的方程
【基础知识】
1．圆的定义：在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆．
2．圆的标准方程
(1) 若圆的圆心为C(a,b ),半径为r ，则该圆的标准方程为：
222()()x a y b r -+-=．
(2) 方程222()()x a y b r -+-=表示圆心为C(a,b ),半径为r 的圆．
3．圆的一般方程
(1)任意一个圆的方程都可化为：220x y Dx Ey F ++++=.这个方程就叫做圆的一般方程．
(2) 对方程：220x y Dx Ey F ++++=.
①若2240D E F +->，则方程表示以(2D -，)2
E -为圆心,
F E D 42122-+为半径的圆；
②若0422=-+F E D ，则方程只表示一个点(2D -，)2E -； ③若0422<-+F E D ，则方程不表示任何图形．
4.点00()A x y ，与⊙C 的位置关系
(1)|AC |<r ⇔点A 在圆内⇔22200()()x a y b r <－＋－；
(2)|AC |＝r ⇔点A 在圆上⇔22200()()x a y b r =－＋－；
(3)|AC |>r ⇔点A 在圆外⇔22200()()x a y b r >－＋－.
【规律技巧】
1.求圆的方程，采用待定系数法：
①若已知条件与圆的圆心和半径有关，可设圆的标准方程．
②若已知条件没有明确给出圆的圆心和半径，可选择圆的一般方程．
2.在求圆的方程时，常用到圆的以下几何性质：
①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；
②圆心在任一弦的垂直平分线上．
【典例讲解】
【例1】 (1)经过点P (－2，4)，Q (3，－1)两点，并且在x 轴上截得的弦长等于6的圆的方程为________．
(2)已知圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为( )
A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2
B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2
C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2
D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2
解析 (1)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，
将P ，Q 两点的坐标分别代入得
⎩⎪⎨⎪⎧2D －4E －F ＝20，3D －E ＋F ＝－10.
①② 又令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0.③
设x 1，x 2是方程③的两根，
由|x 1－x 2|＝6有D 2－4F ＝36，④
由①，②，④解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－8，或D ＝－6，E ＝－8，F ＝0.
故所求圆的方程为
x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0.
【变式探究】 (1)过点A (4，1)的圆C 与直线x －y －1＝0相切于点B (2，
1)，则圆C 的方程为________．
(2)在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上．则圆C 的方程为________．
(2)曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点为(0，1)，
(3±22，0)．故可设圆的圆心坐标为(3，t )，
则有32＋(t －1)2＝ (22)2＋t 2，解得t ＝1， 则圆的半径为32＋（t －1）2＝3，
所以圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.
答案 (1)(x －3)2＋y 2＝2 (2)(x －3)2＋(y －1)2＝9
【针对训练】
1、求圆心在x 轴上，半径为5，且过点A （2，-3）的圆的方程.
【答案】22(2)25x y ++=或22(6)25x y +-=.
2、已知圆心为C 的圆经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在:10l x y -+=上,求圆心为C 的圆的标准方程．
【答案】22(3)(2)25x y +++=
法二、由点斜式可得线段AB 的垂直平分线的方程为：330x y --=. 因为圆心在:10l x y -+=上，所以线段AB 的垂直平分线与直线:10l x y -+=的交点就是圆心.
解方程组33010x y x y --=⎧⎨-+=⎩得32
x y =-⎧⎨=-⎩，所以圆心为(3,2)C --.
所以所求圆的标准方程为：22(3)(2)25x y +++=.
3、ABC ∆的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C --求它的外接圆的方程．
【答案】22860x y x y +-+=
4、求圆心在直线:0l x y +=上，且过点(4,0),(0,2)A B -的圆的方程．
【答案】22(3)(3)x y ++-=
5、求过三点O(0， 0)、A(1，1)、B(4，2)的圆的方程．
【答案】22860x y x y +-+=
【综合点评】
求圆的标准方程，可用待定系数法，也可直接求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程；求圆的一般方程，一般都用待定系数法．
【练习巩固】
1．已知点A (1，－1)，B (－1，1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是 ( )
A ．x 2＋y 2＝2
B ．x 2＋y 2＝ 2
C ．x 2＋y 2＝1
D ．x 2＋y 2＝4
2．方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是 ( )
A ．(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋∞ B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－23，0 C ．(－2，0) D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－2，23 解析 方程为⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋a 22＋(y ＋a )2＝1－a －3a 24表示圆，则1－a －3a 24＞0，解得－2＜a ＜23.
答案 D
3．设圆的方程是x 2＋y 2＋2ax ＋2y ＋(a －1)2＝0，若0<a <1，则原点与圆的位置关系是 ( )
A ．原点在圆上
B ．原点在圆外
C ．原点在圆内
D ．不确定
4．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程为
( )
A ．x 2＋(y －2)2＝1
B ．x 2＋(y ＋2)2＝1
C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1
D ．x 2＋(y －3)2＝1
解析 设圆心坐标为(0，b )，则由题意知
（0－1）2＋（b －2）2＝1，解得b ＝2，
故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.
答案 A
5．已知圆心(a ，b )(a ＜0，b ＜0)在直线y ＝2x ＋1上的圆，其圆心到x 轴的距离恰好等于圆的半径，在y 轴上截得的弦长为25，则圆的方程为 ( )
A ．(x ＋2)2＋(y ＋3)2＝9
B ．(x ＋3)2＋(y ＋5)2＝25
C ．(x ＋6)2
＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋732＝499 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋232＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫y ＋732＝499 6、过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交y 轴于M ，N 两点，则||MN =( )
A ．26
B ．8
C ．46
D ．10
【答案】C
7、若圆C 经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是________．
解析：由已知可设圆心为(2，b )，由22＋b 2＝(1－b )2＝r 2得b ＝
－32，r 2＝254.故圆C 的方程为(x －2)2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫y ＋322＝254.
答案：(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝254。