2015淮北市高三一模数学理含答案
安徽省淮北市、亳州市高三数学第一次模拟考试试卷 文(扫描版)
安徽省淮北市、亳州市2015届高三数学第一次模拟考试试卷文（扫描版）2015年高三数学文科参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11 ． 2 1213 ． ()3,-+∞ 1415． ②④⑤三、解答题：本大题共6小题，共75分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16、解：222sin B B =∴2cos 2sin B B B =∴2sin B B = tan B =,∴3B π=………………6分 （Ⅱ）由正弦定理得sin sin a b A B =⇒2sin sin 43bππ=⇒b =………………9分 ∴115sin 22212S ab C π==⨯= ………………12分17、解：（Ⅰ）设摘下的石榴中，甜味石榴的个数为m ，∴记6个石榴分别是,,,,,a b c d e f ∴从中随机选两个石榴有()()()()(),,,,,,,,,a b a c a d a e a f ()()()()(),,,,,,,,,b c b d b e b f c d()()()()(),,,,,,,,,c e c f d e d f e f 15个等可能的结果，∵选到都是甜味石榴的概率是∴15个结果中有6个结果是全是甜味石榴，∵只有从4个石榴中任选两个的结果是6个，不妨设,,,a b c d 为甜味石榴，可得结果全是甜味石榴结果()()()()()(),,,,,,,,,,,a b a c a d b c b d c d∴摘下的石榴中，甜味石榴的个数为4； ………………6分 （Ⅱ）不妨设,,,a b c d 为甜味石榴，甲乙二人各选一个石榴不同结果有()()()()(),,,,,,,,,a b a c a d a e a f ()()()()(),,,,,,,,,b c b d b e b f c d ()()()()(),,,,,,,,,c e c f d e d f e f()()()()(),,,,,,,,,b a c a d a e a f a ()()()()(),,,,,,,,,c b d b e b f b d c ()()()()(),,,,,,,,,e c f c e d f d f e共30个，这些结果是等可能的，记事件“甲选到甜味石榴且乙选到酸味石榴”为事件A ,∴事件A 包含上面30个结果中的8个，根据古典概型公式得()843015P A == ………………12分 18、（Ⅰ）证明：连接BD 与AC 相交于点O ，连结EO ．∵四边形ABCD 为正方形，∴O 为BD 中点．∵E 为棱PD 中点．所以 EO PB //． ………………3分∵ ⊄PB 平面EAC ，EO Ø平面EAC ，∴直线PB //平面EAC ． ………………6分（Ⅱ）证明：∵⊥PA 平面PDC ，∴CD PA ⊥． ………………8分∵四边形ABCD 为正方形，∴CD AD ⊥，∴⊥CD 平面PAD ． ………………10分 ∴平面PAD ⊥平面ABCD ． ………………12分19、解：（Ⅰ）∵222211n n n n a a a a ++=-∴222211n n n n a a a a ++-=∴221111n n a a +-=∴数列21{}na 是以1为首项，1为公差的等差数列 ………………3分 ∴21nn a=n a ⇒= ………………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，n a =，1n n b a ==∴11n n b b +==+ ………………10分∴11n S n =-+++-1=< ………………13分20、解（Ⅰ）∵()ln ,f x ax x =+()0,x ∈+∞∴1(),f x a x '=+①当0a ≥时，1()0,f x a x'=+>∴()f x 在()0,+∞上单调递增 ②当0a <时，111()0f x a a x x x a'=+>⇒>-⇒<- ∴()f x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增 综上：当0a ≥时，()f x 的增区间是()0,+∞，当0a <时，()f x 的增区间是10,a ⎛⎫-⎪⎝⎭ ………………6分（Ⅱ）()4321x x g x =-⋅+，[]0,1x ∈，令[]21,2xt =∈ []231,1,2y t t t =-+∈，当1t =或2时，max 1y =- ………………8分由（Ⅰ）知，当0a ≥时，()f x 在()0,+∞上单调递增，无最值，不可能满足()()f m g n < 当0a <时，在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递增，在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上递减;∴max 11()()1ln f x f a a ⎛⎫=-=-+- ⎪⎝⎭∵对任意的(0,)[0,1]m n ∈+∞∈，都存在，()(),f m g n <使得∴max max ()()f x g x <∴11ln 1a ⎛⎫-+-<- ⎪⎝⎭∴1ln 0a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭ ∴11a-<,∴1a <- ………………13分21、解：（I ）∵2222222121649112c a a a b b a b c ⎧=⎪⎪⎧=⎪⎪+=⇒⎨⎨=⎪⎩⎪⎪=+⎪⎩椭圆C 的方程为：2211612x y +=； ………………3分（Ⅱ）设切线l 的斜率为k ，∴l ：23y kx k =-+ 由221161223x y y kx k ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩得：()()222348231648120k x k kx k k +--+--=由()()()222264234341648120k k k k k ∆=--+--=得：24410k k ++= ∴12k =-∴求过点P 的椭圆切线方程为280x y +-=； ……………7分（Ⅲ）∵椭圆C 的方程为：2211612x y +=，设椭圆左右焦点分别为12,F F ∴12(2,0),(2,0)F F -∵过点P 的椭圆切线方程为280x y +-=∴过点P 的椭圆法线方程为:210m x y --=，法线的方向向量()1,2m =--∵()()124,3,0,3PF PF =--=-,∴111cos ,5PF mPF m PF m ⋅==22cos ,5PF PF m PF m ==，∴直线12,FP F P 关于直线m 对称； ∴从椭圆一个焦点发出的光线照到点P ，被椭圆反射后，反射光线一定经过另一个焦点. ………………13分。
2015年安徽省示范高中高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2015年安徽省示范高中高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．）1．（5分）设i是虚数单位，z表示复数z的共轭复数，z+＝2，z•＝2，则z 的虚部是（）A．1B．±i C．±1D．﹣12．（5分）双曲线x2﹣3y2＝﹣1的渐近线的倾斜角为（）A．B．C．或D．或3．（5分）若x，y满足，则z＝y﹣x的最大值为（）A．2B．﹣2C．1D．﹣14．（5分）已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列说法正确的是（）A．m⊂α，n∥m⇒n∥αB．m⊂α，n⊥m⇒n⊥αC．m⊂α，n⊂β，m∥n⇒α∥βD．n⊂β，n⊥α⇒α⊥β5．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的k的值为（）A．2B．3C．4D．56．（5分）“0＜k＜9”是“曲线﹣＝1与曲线﹣＝1的焦距相同”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）函数y＝f′（x）的图象如图所示，则关于函数y＝f（x）的说法正确的是（ ）A ．函数y ＝f （x ）有3个极值点B ．函数y ＝f （x ）在区间（﹣∞，﹣4）单调递减C ．函数y ＝f （x ）在区间（﹣2，+∞）单调递增D ．x ＝1时函数y ＝f （x ）取极大值8．（5分）某产品的广告费用x 万元与销售额y 万元的统计数据如下表：根据上表可得回归方程＝bx +a 中b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时，销售额为65.5，则a ，m 为（ ）A ．a ＝9.1，m ＝54B ．a ＝9.1，m ＝53C ．a ＝9.4，m ＝52D ．a ＝9.2，m ＝54 9．（5分）为了得到函数f （x ）＝cos （2x +）的图象，只要把函数g （x ）＝f ′（x ）的图象（ ） A ．向左平行移动个单位长度 B ．向右平行移动个单位长度 C ．向左平行移动个单位长度 D ．向右平行移动个单位长度10．（5分）已知集合M ＝{（x ，y ）|f （x ，y ）＝0}，若对任意P 1（x 1，y 1）∈M ，均不存在P 2（x 2，y 2）∈M 使得x 1x 2+y 1y 2＝0成立，则称集合M 为“好集合”，下列集合为“好集合”的是（ ） A ．M ＝{（x ，y ）|y ﹣lnx ＝0}B ．M ＝{（x ，y ）|y ﹣x 2﹣1＝0}C ．M ＝{（x ，y ）|（x ﹣2）2+y 2﹣2＝0}D ．M ＝{（x ，y ）|x 2﹣2y 2﹣1＝0}二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，直线l的参数方程为（t 为参数），曲线C的极坐标方程为p＝2cosθ，则t与C公共点的个数为．12．（5分）（x2+）6的展开式中常数项是．（用数字作答）13．（5分）直线x＝1与抛物线y2＝4x围成图形的面积是．14．（5分）在△ABC中，已知||2＝（+）•，则＝．15．（5分）已知数列A：a1，a2，a3，…，a n（0≤a1＜a2＜a3＜…＜a n，n≥3，n∈N*）具有性质P：对任意的i，j（1≤i≤j≤n，i，j∈N*），a j+a i与a j﹣a i两数中至少有一个是数列A中的项，现下列命题正确的是：．（写出所有正确答案的序号）①数列A：0，1，3与数列B：0，2，4，6都具有性质P；②a1＝0；③2（a1+a2+a3+…+a n）＝na n；④当n＝5时，a1，a2，a3，a4，a5成等差数列．三、解答：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）一档电视闯关节目规定：三人参加，三人同时闯关成功为一等奖，资金为2000元，三人中有两人闯关成功为二等奖，资金为1000元，三人中有一人闯关成功为三等奖，资金为400元，其它情况不得奖，现有甲乙丙三人参加此活动，甲乙闯关成功的概率都为，丙闯关成功的概率为，三人闯关相互独立．（Ⅰ）求得一等奖的概率；（Ⅱ）求得资金的数学期望．17．（12分）如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2BC＝4，D、E 分别为AC、AB边的中点．将△ADE沿DF折起，使二面角A﹣DE﹣C的余弦值为，求：（Ⅰ）四棱锥A﹣BCDE的体积；（Ⅱ）二面角A﹣BE﹣C的余弦值．18．（12分）三角形ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c且+＝2．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a＝2，求三角形ABC周长l的最大值．19．（12分）数列{a n}是公比为的等比数列，且1﹣a2是a1与1+a3的等比中项，前n项和为S n，数列{b n}是等差数列，b1＝8，前n项和T n满足T n＝nλ•b n+1（λ为常数，且λ≠1）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及λ的值；（Ⅱ）令∁n＝++…+，求证：∁n≤S n．20．（13分）已知椭圆E1：+＝1，E2：+＝2，过E1上第一象限上一点P作E1的切线，交于E2于A，B两点．（Ⅰ）已知x2+y2＝r2上一点P（x0，y0），则过点P（x0，y0）的切线方程为xx0+yy0＝r2．类比此结论，写出椭圆+＝1在其上一点P（x0，y0）的切线方程，并证明；（Ⅱ）求证：|AP|＝|BP|．21．（14分）已知函数f（x）＝﹣lnx++（1﹣a）x+2．（Ⅰ）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若0＜x＜1，求证：f（1+x）＜f（1﹣x）；（Ⅲ）若A（x1，y1），B（x2，y2）为函数y＝f（x）的图象上的两点，记k为直线AB的斜率，若x0＝，f′（x）为f（x）的导函数，求证：f′（x0）＞k．2015年安徽省示范高中高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．）1．（5分）设i是虚数单位，z表示复数z的共轭复数，z+＝2，z•＝2，则z 的虚部是（）A．1B．±i C．±1D．﹣1【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），则，由，得a＝1，由z•＝2，得a2+b2＝2，∴b＝±1．∴z的虚部是±1．故选：C．2．（5分）双曲线x2﹣3y2＝﹣1的渐近线的倾斜角为（）A．B．C．或D．或【解答】解：双曲线x2﹣3y2＝﹣1的渐近线方程为：y＝，渐近线的斜率为：，所以双曲线x2﹣3y2＝﹣1的渐近线的倾斜角为或．故选：D．3．（5分）若x，y满足，则z＝y﹣x的最大值为（）A．2B．﹣2C．1D．﹣1【解答】解：由约束条件作可行域如图，化目标函数z＝y﹣x为y＝x+z，由图可知，最优解为B（0，2），∴z的最大值为：2﹣0＝2．故选：A．4．（5分）已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列说法正确的是（）A．m⊂α，n∥m⇒n∥αB．m⊂α，n⊥m⇒n⊥αC．m⊂α，n⊂β，m∥n⇒α∥βD．n⊂β，n⊥α⇒α⊥β【解答】解：在A选项中，可能有n⊂α，故A错误；在B选项中，可能有n⊂α，故B错误；在C选项中，两平面有可能相交，故C错误；在D选项中，由平面与平面垂直的判定定理得D正确．故选：D．5．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的k的值为（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：执行程序框图，可知k＝0时coxA＜sin A＝1；满足条件；k＝1时cos A＝sin A；满足条件；k＝2时cos A＜sin A；满足条件；k＝3时cos A＜sin A；满足条件；K＝4时cos A＞sin A；不满足条件，退出循环，输出k的值为4．故选：C．6．（5分）“0＜k＜9”是“曲线﹣＝1与曲线﹣＝1的焦距相同”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当0＜k＜9时，曲线﹣＝1的焦距为2，曲线﹣＝1的焦距为相同．当k＝0 时，曲线﹣＝1与曲线﹣＝1的焦距相同为．因此“0＜k＜9”是“曲线﹣＝1与曲线﹣＝1的焦距相同”的充分不必要条件．故选：A．7．（5分）函数y＝f′（x）的图象如图所示，则关于函数y＝f（x）的说法正确的是（）A．函数y＝f（x）有3个极值点B．函数y＝f（x）在区间（﹣∞，﹣4）单调递减C．函数y＝f（x）在区间（﹣2，+∞）单调递增D．x＝1时函数y＝f（x）取极大值【解答】解：函数有两个极值点：x ＝﹣5和x ＝﹣2，但x ＝3不是函数的极值点，所以A 错误；函数在（﹣∞，﹣5）和（﹣2，+∞）上单调递增，在（﹣5，﹣2）上单调递减，所以B 错误，C 正确；x ＝1不是函数的极值班点，所以D 错误． 故选：C ．8．（5分）某产品的广告费用x 万元与销售额y 万元的统计数据如下表：根据上表可得回归方程＝bx +a 中b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时，销售额为65.5，则a ，m 为（ ）A ．a ＝9.1，m ＝54B ．a ＝9.1，m ＝53C ．a ＝9.4，m ＝52D ．a ＝9.2，m＝54 【解答】解：∵回归方程＝bx +a 中b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时，销售额为65.5， ∴a＝9.1， ∴＝9.4x +9.1∵＝（4+2+3+5）＝3.5， ∴＝（49+26+39+m ）＝42， ∴m ＝54． 故选：A ．9．（5分）为了得到函数f （x ）＝cos （2x +）的图象，只要把函数g （x ）＝f ′（x ）的图象（ ） A ．向左平行移动个单位长度 B ．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度【解答】解：∵f（x）＝cos（2x+），∴g（x）＝f′（x）＝﹣sin（2x+）＝cos（2x+），右移得．故选：B．10．（5分）已知集合M＝{（x，y）|f（x，y）＝0}，若对任意P1（x1，y1）∈M，均不存在P2（x2，y2）∈M使得x1x2+y1y2＝0成立，则称集合M为“好集合”，下列集合为“好集合”的是（）A．M＝{（x，y）|y﹣lnx＝0}B．M＝{（x，y）|y﹣x2﹣1＝0}C．M＝{（x，y）|（x﹣2）2+y2﹣2＝0}D．M＝{（x，y）|x2﹣2y2﹣1＝0}【解答】解：由x1x2+y1y2＝0得OP1⊥OP2，即存在两点与原点连线互相垂直；A．取（e，1）∈M，（）∈M，有；B．取（2，2），（﹣2，2）∈M，有2•（﹣2）+2•2＝0；C．取（1，1），（1，﹣1），有1•1+1•（﹣1）＝0；D．x2﹣2y2＝1，渐近线方程为：，容易知道这两条渐近线夹角小于90°，所以不存在两点和原点的连线相互垂直，即该选项正确．故选：D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，直线l的参数方程为（t 为参数），曲线C的极坐标方程为p＝2cosθ，则t与C公共点的个数为两个．【解答】解：直线l的参数方程为（t为参数）转化为直角坐标方程为：x+y＝2曲线C的极坐标方程为p＝2cosθ转化为直角坐标方程为：（x﹣1）2+y2＝1利用圆心到直线的距离：d＝＜1则：t与C公共点的个数为两个．故答案为：t与C公共点的个数为两个．12．（5分）（x2+）6的展开式中常数项是15．（用数字作答）【解答】解：设通项公式为，整理得C6r x12﹣3r，因为是常数项，所以12﹣3r＝0，所以r＝4，故常数项是c64＝15故答案为15．13．（5分）直线x＝1与抛物线y2＝4x围成图形的面积是．【解答】解：联立直线x＝1与抛物线y2＝4x构成方程组得解得x＝1，y ＝±2．故直线x＝1与抛物线y2＝4x围成图形的面积S＝（1﹣）dy＝（y﹣）|＝4﹣＝，故答案为：14．（5分）在△ABC中，已知||2＝（+）•，则＝5．【解答】解：在△ABC中，∵||2＝（+）•，则有||2＝（+）•（﹣）＝﹣CA2，∴c2＝a2﹣b2．则＝＝＝＝5，故答案为：5．15．（5分）已知数列A：a1，a2，a3，…，a n（0≤a1＜a2＜a3＜…＜a n，n≥3，n∈N*）具有性质P：对任意的i，j（1≤i≤j≤n，i，j∈N*），a j+a i与a j﹣a i两数中至少有一个是数列A中的项，现下列命题正确的是：②③④．（写出所有正确答案的序号）①数列A：0，1，3与数列B：0，2，4，6都具有性质P；②a1＝0；③2（a1+a2+a3+…+a n）＝na n；④当n＝5时，a1，a2，a3，a4，a5成等差数列．【解答】解：对于①因为1+3＝4，3﹣1＝2，都不是数列A中的项，故命题①错误；对于②，考查该数列中的最大项a n，显然a n+a n＝2a n不是数列中的项，则必有a n﹣a n＝0属于该数列，故0∈A，且a1＝0，故②正确；对于③若数列A具有该性质P，设a n是最大项，则具有性质，不在A中，则a n﹣a i是数列A中的项，则依题意：a n﹣a n＜a n﹣a n﹣1＜a n﹣a n﹣2＜…＜a n﹣a2＜a n﹣a1，则由给的数列A的性质可知；a n﹣a n＝a1，a n﹣a n﹣1＝a2，a n﹣a n﹣2＝a3，…a n﹣a2＝a n﹣1，a n﹣a1＝a n，将前面n个式子相加得：na n﹣（a1+a2+a3+…a n﹣1+a n）＝a1+a2+a3+…+a n﹣1+a n，故na n＝2（a1+a2+a3+…a n﹣1+a n），故③正确；对于④，当n＝5时，因为a1＝0，a2﹣a1＝a2，且⇒⇒2a3＝a4+a2⇒2a3＝a4+a2，而a4+a3＞2a3＝a5不是数列A中的项，则a4﹣a3是数列A中的项，所以a1＜a4﹣a3＜a5﹣a3＝a3，所以a4﹣a3＝a2，所以a2﹣a1＝a3﹣a2＝a4﹣a5＝a5﹣a4，故④成立．故答案为：②③④三、解答：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）一档电视闯关节目规定：三人参加，三人同时闯关成功为一等奖，资金为2000元，三人中有两人闯关成功为二等奖，资金为1000元，三人中有一人闯关成功为三等奖，资金为400元，其它情况不得奖，现有甲乙丙三人参加此活动，甲乙闯关成功的概率都为，丙闯关成功的概率为，三人闯关相互独立．（Ⅰ）求得一等奖的概率；（Ⅱ）求得资金的数学期望．【解答】解：（1）获得一等奖的概率＝．（4分）2）二等奖的概率p2＝＝．（6分）三等奖的概率P3＝＝，（8分）不得奖的概率P4＝＝，∴X的分布列为：（10分）奖金的数学期望EX＝＝937.5．（12分）17．（12分）如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2BC＝4，D、E 分别为AC、AB边的中点．将△ADE沿DF折起，使二面角A﹣DE﹣C的余弦值为，求：（Ⅰ）四棱锥A﹣BCDE的体积；（Ⅱ）二面角A﹣BE﹣C的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）∵D，E是边AC、AB的中点，∴DE是△ABC的中位线，∵直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∴DE⊥AC，∵DE⊥AD，DE⊥DC，AD∩DC＝D，∴DE⊥平面ADC，∴平面ADC⊥平面CBED，过点A作AM⊥CD，则AM⊥面CBED，∵∠ADC为二面角A﹣DE﹣C的平面角，∴cos∠ADC＝，（3分），DM＝，＝＝．（6分）∴V A﹣BCDE（Ⅱ）∵DE＝1，DM＝，∴EM＝，∵MC＝，BC＝2，∴BM＝，BE＝2，BM2＝EM2+BE2，∴ME⊥BE，∵AM⊥BE，AM∩ME＝M，∴BE⊥平面AME，∴BE⊥AE．（10分）∴∠AEM为二面角A﹣BE﹣C的平面角，∴cos∠AEM＝＝．（12分）18．（12分）三角形ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c且+＝2．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a＝2，求三角形ABC周长l的最大值．【解答】解：（Ⅰ）三角形ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c且+＝2由正弦定理得：sin2A＝sin（B+C）则：B+C＝2AA＝60°（Ⅱ）由正弦定理：b＝c＝l＝2++＝2+4（）＝2+4sin（C+）当C＝时，l max＝6故答案为：（1）A＝60°（2）当C＝时，l max＝619．（12分）数列{a n}是公比为的等比数列，且1﹣a2是a1与1+a3的等比中项，前n项和为S n，数列{b n}是等差数列，b1＝8，前n项和T n满足T n＝nλ•b n+1（λ为常数，且λ≠1）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及λ的值；（Ⅱ）令∁n＝++…+，求证：∁n≤S n．【解答】解：（Ⅰ）∵数列{a n}是公比为的等比数列，且1﹣a2是a1与1+a3的等比中项，∴（1﹣a2）2＝a1（1+a3），解得，∴，（2分）由已知得，从而，解得，d＝8，解得b n＝8n．（4分）（Ⅱ）c n＝＝（1﹣）＝，＝，（8分）c n≤，即，∴n+1≤2n，（9分）当n＝1时，2n＝n+1，（10分）当n≥2时，2n＝（1+1）n＝＝1+n+…+1＞n+1．∴n+1≤2n成立．∴∁n≤S n．（12分）20．（13分）已知椭圆E1：+＝1，E2：+＝2，过E1上第一象限上一点P作E1的切线，交于E2于A，B两点．（Ⅰ）已知x2+y2＝r2上一点P（x0，y0），则过点P（x0，y0）的切线方程为xx0+yy0＝r2．类比此结论，写出椭圆+＝1在其上一点P（x0，y0）的切线方程，并证明；（Ⅱ）求证：|AP|＝|BP|．【解答】（Ⅰ）解：切线方程在第一象限内，由+＝1可得y＝﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）椭圆在点P处的切线斜率k＝﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）切线方程为y＝﹣（x﹣x0）+y0，即．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（Ⅱ）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），则与+＝2联立可得（）x2﹣x+﹣2a2b2＝0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）所以（x1+x2）＝•＝x0，所以P为A，B中点，所以|AP|＝|BP|．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）21．（14分）已知函数f（x）＝﹣lnx++（1﹣a）x+2．（Ⅰ）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若0＜x＜1，求证：f（1+x）＜f（1﹣x）；（Ⅲ）若A（x1，y1），B（x2，y2）为函数y＝f（x）的图象上的两点，记k为直线AB的斜率，若x0＝，f′（x）为f（x）的导函数，求证：f′（x0）＞k．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝﹣+ax+（1﹣a）＝，∴当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；（Ⅱ）f（1+x）﹣f（1﹣x）＝ln（1﹣x）﹣ln（1+x）+2x，令g（x）＝ln（1﹣x）﹣ln（1+x）+2x，∴g′（x）＝，∵0＜x＜1，g′（x）＜0，g（x）单调递减，∴g（x）＜g（0）＝0．∴f（1+x）＜f（1﹣x）．（Ⅲ）k＝＝+a（x2﹣x1）+1﹣a，f′（x0）＝﹣+ax0+1﹣a＞+a（x2﹣x1）+1﹣a，⇔＜⇔ln＞2，令x2＞x1＞0，＝t，（0＜t＜1），∴＝，ln＞2⇔ln＞2t⇔ln（1+t）﹣ln（1﹣t）+2t＜0，由（Ⅱ）可知上式成立．∴f′（x0）＞k成立．。
安徽省淮北市数学高三理数第一次教学质量监测试卷
安徽省淮北市数学高三理数第一次教学质量监测试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分）复数等于（）A .B .C .D .3. （2分） (2018高一下·通辽期末) 已知是等比数列，，公比，第3项至第项的和是720，则（）A . 4B . 5C . 6D . 74. （2分）(2020·西安模拟) 近几年，我国农村电子商务发展迅速，使得农副产品能够有效地减少流通环节，降低流通成本，直接提高了农民的收益.某农村电商对一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是（）A . 46.5，48，60B . 47，48，60C . 46.5，48，55D . 46.5，51，605. （2分）已知实数x、y满足约束条件，若使得目标函数ax+y取最大值时有唯一最优解(1,3)，则实数a的取值范围是（）A .B .C .D .6. （2分）(2014·浙江理) 在（1+x）6（1+y）4的展开式中，记xmyn项的系数为f（m，n），则f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=（）A . 45B . 60C . 120D . 2107. （2分） (2018高三上·山西期末) 函数如何平移可以得到函数图象（）A . 向左平移B . 向右平移C . 向左平移D . 向右平移8. （2分） (2018高一下·虎林期末) 设下图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A . 9π＋42B . 36π＋18C .D .9. （2分）在平面直角坐标系中，若P，Q满足条件：（1）P,Q都在函数f（x）的图象上；（2）P,Q两点关于直线y=x对称，则称点对{P,Q}是函数f(x)的一对“可交换点对”.（{P,Q}与{Q,P}看作同一“可交换点”.试问函数的“可交换点对有（）A . 0对B . 1对C . 2对D . 3对10. （2分）(2017·宝清模拟) 已知球O是的棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为（）A . πB .C .D .11. （2分）(2018·雅安模拟) 过双曲线的左焦点作直线交双曲线的两条渐近线于，两点，若为线段的中点，且，则双曲线的离心率为（）A .B .C .D .12. （2分）将十进制数93化为二进制数为（）A . 1110101B . 1010101C . 1111001D . 1011101二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高一上·长春期中) 设函数，则 ________．14. （1分） (2019高二下·上海月考) 已知向量，，若，且，，则 ________.15. （1分） (2016高二上·黑龙江期中) 如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽________米．16. （1分）(2017·山西模拟) 已知数列{an}中，a1=﹣l，an+1=2an+（3n﹣1）•3n+1 ，（n∈N*），则其通项an=________．三、解答题 (共7题；共70分)17. （10分） (2017高三上·泰安期中) 已知函数．（I）若α是第二象限角，且的值；（Ⅱ）求函数f（x）在[0，2π]上的单调递增区间．18. （10分）(2017·西城模拟) 某大学为调研学生在A，B两家餐厅用餐的满意度，从在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为60分．整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60]，得到A餐厅分数的频率分布直方图，和B餐厅分数的频数分布表：B餐厅分数频数分布表分数区间频数[0，10）2[10，20）3[20，30）5[30，40）15[40，50）40[50，60]35定义学生对餐厅评价的“满意度指数”如下：分数[0，30）[30，50）[50，60]满意度指数012（Ⅰ）在抽样的100人中，求对A餐厅评价“满意度指数”为0的人数；（Ⅱ）从该校在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取1人进行调查，试估计其对A餐厅评价的“满意度指数”比对B餐厅评价的“满意度指数”高的概率；（Ⅲ）如果从A，B两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由．19. （10分） (2015高二上·安徽期末) 长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2，BC= ，E为CC1的中点．（1）求证：平面A1BE⊥平面B1CD；（2）平面A1BE与底面A1B1C1D1所成的锐二面角的大小为θ，当时，求θ的取值范围．20. （10分） (2016高一下·烟台期中) 已知圆M：x2+（y﹣2）2=r2（r＞0）与曲线C：（y﹣2）（3x﹣4y+3）=0有三个不同的交点．（1）求圆M的方程；（2）已知点Q是x轴上的动点，QA，QB分别切圆M于A，B两点．①若，求|MQ|及直线MQ的方程；②求证：直线AB恒过定点．21. （10分）(2017·武汉模拟) 已知函数f（x）=lnx+x2 ．（Ⅰ）若函数g（x）=f（x）﹣ax在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若a＞1，h（x）=e3x﹣3aexx∈[0，ln2]，求h（x）的极小值；（Ⅲ）设F（x）=2f（x）﹣3x2﹣kx（k∈R），若函数F（x）存在两个零点m，n（0＜m＜n），且2x0=m+n．问：函数F（x）在点（x0 ， F（x0））处的切线能否平行于x轴？若能，求出该切线方程；若不能，请说明理由．22. （10分） (2018高二下·河池月考) 已知曲线的极坐标方程为：，以极点为坐标原点，以极轴为轴的正半轴建立直角坐标系，曲线的参数方程为：( 为参数)，点（1）求出曲线的直角坐标方程和曲线的普通方程；（2）设曲线与曲线相交于，两点，求的值.23. （10分）(2020·陕西模拟) 设函数 .（1）当时，求不等式的解集；（2）若的最大值为3，求的值.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共70分)17-1、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、23-1、23-2、。
数学_2015年安徽省淮北市、淮南市高考数学二模试卷(理科)(含答案)
2015年安徽省淮北市、淮南市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的． 1. 复数z =(2−i)2i（i 为虚数单位），则|z|＝（ ）A 25B √41C 5D √52. 设函数f(x)=sin(2x −π2)，则其导函数f′(x)是（ ）A 最小正周期为2π的奇函数B 最小正周期为2π的偶函数C 最小正周期为π的偶函数 D 最小正周期为π的奇函数3. 已知圆C ：(x −a)2+y 2＝1，直线l:x ＝1；则：“12≤a ≤32”是“C 上恰有不同四点到l 的距离为12”的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件 4. 如果等差数列{a n }中，a 1＝−11，S 1010−S 88=2，则S 11＝（ ）A −11B 10C 11D −105. 若变量x ，y 满足约束条件{x ≥−1y ≥x 3x +2y ≤5 ，则z ＝2x +y 的最大值是（ ）A 4B 3C 2D 16. 执行如图的程序框图，则输出的λ是（ ）A −4B −2C 0D −2或07. 若x >0，y >0，x +2y +2xy ＝8，则x +2y 的最小值是（ ） A 112B 3C 92D 48. 函数 f(x)＝cos 3x +sin 2x −cosx 的最大值是（ ） A 827 B 1 C 3227 D 2 9. 已知M =C 201501+C 201512+C 201523+⋯+C 201520142015+C 201520152016，则M ＝（ ）A22016−12016B 220162016 C22015−12015D 22015201510. 已知平面向量满足：PA →⊥PB →,PA →+PB →=PM →,|QA →|=|QB →|=2，若|QM →|<1，则|PQ →|的取值范围是（ ）A (2,2√2]B (√7,3)C (√7,2√2]D [2√2,3)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11. 设随机变量X 服从正态分布N(3, 1)，且P(2≤X ≤4)＝0.68，则P(X >4)＝________． 12. 一个几何体的三视图如图，则这个几何体的表面积为________．13. 在正方体的8个顶点，12条棱的中点，6个面的中心及正方体的中心共27个点中，共线的三点组的个数是________． 14. 已知曲线Γ：ρ=321−12cosθ，θ∈R 与曲线C:{x =12ty =√32t，t ∈R 相交于A ，B 两点，又原点O(0, 0)，则|OA|⋅|OB|＝________．15. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的所对边分别是a ，b ，c ，有如下下列命题： ①若A >B >C ，则sinA >sinB >sinC ； ②若cosA a=cosB b=cosC c，则△ABC 为等边三角形；③若sin2A ＝sin2B ，则△ABC 为等腰三角形；④若(1+tanA)(1+tanB)＝2，则△ABC 为钝角三角形；⑤存在A ，B ，C ，使得tanAtanBtanC <tanA +tanB +tanC 成立． 其中正确的命题为________三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 已知函数f(x)＝sin 2x +2sinxcosx −cos 2x ，x ∈R ．求： (Ⅰ) 函数f(x)的单调增区间； (Ⅱ)若x ∈[0,π2]，求函数f(x)的值域．17. 某校一个研究性学习团队从网上查得，某种植物种子在一定条件下的发芽成功的概率为12，于是该学习团队分两个小组进行验证性实验．(Ⅰ)第一小组做了5次这种植物种子的发芽实验（每次均种下一粒种子），求他们的实验至少有3次成功的概率；(Ⅱ)第二小组做了若干次发芽实验（每次均种下一粒种子），如果在一次实验中种子发芽成功就停止实验，否则就继续进行下次实验．直到种子发芽成功为止，但实验的次数不超过5次．求这一小组所做的种子发芽实验次数ξ的分布列和期望．18. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，∠BAD ＝∠CDA ＝90∘，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ＝AB ＝2，CD ＝1，M ，N 分别是PD 、PB 的中点．（1）证明：直线NC // 平面PAD ；（2）求平面MNC 与地面ABCD 所成的锐二面角的余弦值． （3）求三菱锥P −MNC 的体积V ．19. 已知函数f(x)=(√x +√2)2，(x ≥0)，又数列{a n }中，a n >0，a 1＝2，该数列的前n 项和记为S n ，对所有大于1的自然数n 都有S n ＝f(S n−1)． (Ⅰ)求{a n }的通项公式； (Ⅱ)记b n =a n+12+a n 22a n+1a n，{b n }其前n 项和为T n ，证明：T n <n +1．20. 已知F 1、F 2分别是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，P 是此椭圆上的一动点，并且PF 1→⋅PF 2→的取值范围是[−43,43]．(Ⅰ)求此椭圆的方程；(Ⅱ)点A 是椭圆的右顶点，直线y ＝x 与椭圆交于B 、C 两点（C 在第一象限内），又P 、Q 是椭圆上两点，并且满足(CP →|CP →|+CQ →|CQ →|)⋅F 1F 2→=0，求证：向量PQ →AB →共线．21. 设函数f(x)＝xlnx ． (Ⅰ) 求f(x)的极值；(Ⅱ)设g(x)＝f(x +1)，若对任意的x ≥0，都有g(x)≥mx 成立，求实数m 的取值范围； (Ⅲ)若0<a <b ，证明：0<f(a)+f(b)−2f(a+b 2)<(b −a)ln2．2015年安徽省淮北市、淮南市高考数学二模试卷（理科）答案1. C2. D3. B4. A5. B6. B7. D8. C9. A 10. C 11. 0.16 12. (8+2√5)cm13. 49 14. 12515. ①②④16. ( I)函数f(x)＝sin 2x +2sinxcosx −cos 2x =sin2x −cos2x =√2sin(2x −π4)，x ∈R令−π2+2kπ≤2x +π4≤π2+2kπ,(k ∈Z) 解得：−π8+kπ≤x ≤3π8+kπ，所以：f(x)的单调增区间为：[−π8+kπ,3π8+kπ](k ∈Z)( II)由x ∈[0,π2]， 所以：π4≤2x +π4≤5π4从而有：−√22≤sin(2x −π4)≤1，故：−1≤√2sin(2x −π4)≤√2因此：函数f(x)的值域：[−1,√2]17. （1）至少有3次成功包括3次、4次和5次成功，即：C 53(12)3(1−12)2+C 54(12)4(1−12)+C 55(12)5=0.5（2）依题意有：Eξ=1×12+2×14+3×18+4×116+5×116=311618. 证明：如图，取PA 中点Q ，连接NQ ，DQ ，∵ N 、Q 分别为PB 、PA 的中点，∴ NQ // AB ，NQ =12AB ，又DC // AB ，DC =12AB ，∴ NQ // DC ，NQ ＝DC ，则四边形DCNQ 为平行四边形，∴ NC // DQ ，DQ ⊂面PAD ，NC ⊄面PAD ，∴ 直线NC // 平面PAD ； 连接BD ，∵ M 、N 分别为PD 、PB 中点， ∴ MN // BD ，过C 作l // BD ，则MN // l ，∴ 平面MNC ∩平面ABCD ＝l ，取AD 中点S ，连接CS ，∴ CS ⊥l ，连接MC ，则∠MCS 为平面MNC 与底面ABCD 所成的锐二面角，∵ PA ＝AD ＝AB ＝2，CD ＝1，∴ MS ＝1，SC =√2，则MC =√12+(√2)2=√3， ∴ cos∠MCS =√2√3=√63； 设SC ∩BD ＝R ，由题意可得：SR ＝CR ，∴ C 与S 到平面PMN 的距离相等，又S 为AD 的中点， ∴ S 到平面PMN 的距离等于A 到平面PMN 距离的一半， 设A 到平面PMN 距离为ℎ，由PA ⊥AB ⊥AD ，PA ＝AD ＝AB ＝2，则由等积法得：13×12×2×2×2=13×12×2√2×√6ℎ，解得ℎ=2√33， ∴ C 到平面PMN 的距离为√33，又三角形PMN 为边长是√2的正三角形，∴ S △PMN =√32， ∴ V P−MNC =13×√32×√33=16．19. （1）由f(x)=(√x +√2)2，S n ＝f(S n−1)知：S n =(√S n−1+√2)2， 又a n >0，a 1＝2，S n >0，∴ √S n −√S n−1=√2， 即：{√S n }是以√2为首项，√2为公差的等差数列， ∴ √S n =√2n ，S n =2n 2，∴ 当n ≥2时，a n ＝S n −S n−1＝4n −2，当n ＝1时也成立， ∴ a n ＝4n −2． （2）证明：b n =a n+12+a n 22a n+1a n =(4n+2)2+(4n−2)22(4n+2)(4n−2)=8n 2+22(4n 2−1)=1+24n 2−1=1+12n−1−12n+1，T n =∑ n i=1(1+12i−1−12i+1)<n +1．20. （1）设P(x 0, y 0)，F 1(−c, 0)，F 2(c, 0)， 其中c =√a 2−b 2,PF 1→=(−c,0)−(x 0,y 0)=(−x 0−c,−y 0)，PF 2→=(c,0)−(x 0,y 0)=(c −x 0,−y 0)．从而PF 1→⋅PF 2→=(−x 0−c,−y 0)⋅(c −x 0,−y 0)=x 02−c 2+y 02=x 02+y 02−c 2．由于b 2≤x 02+y 02≤a 2,b 2−c 2≤PF 1→⋅PF 2→≤a 2−c 2，即2b 2−a 2≤PF 1→⋅PF 2→≤b 2． 又已知−43≤PF 1→⋅PF 2→≤43，所以{2b 2−a 2=−43b 2=43⇒{a 2=4b 2=43. 从而椭圆的方程是x 24+3y 24=1．（2）因为(CP →|CP →|+CQ →|CQ →|)⋅F 1F 2→=0,CP →|CP →|+CQ →|CQ →|∠PCQ 的平分线平行，所以∠PCQ 的平分线垂直于x 轴． 由{x 24+3y 24=1y =x解得{x =1y =1∴ C(1,1)．不妨设PC 的斜率为k ，则QC 的斜率为−k ，因此PC 和QC 的方程分别为y ＝k(x −1)+1，y ＝−k(x −1)， 其中k ≠0,{y =k(x −1)+1x 24+3y 24=1.消去y 并整理得(1+3k 2)x 2−6k(k −1)x +3k 2−6k −1＝0(∗)．∵ C(1, 1)在椭圆上，∴ x ＝1是方程(∗)的一个根． 从而x P =3k 2−6k−11+3k 2，同理x Q =3k 2+6k−11+3k 2，从而直线PQ 的斜率为k PQ =y P −y Q x P −x Q=k(x P +x Q )−2kx P −x Q=k2(3k 2−1)1+3k 2−2k−12k 1+3k 2=13．又知A(2, 0)，B(−1, −1)， 所以k AB =−1−0−1−2=13∴ k PQ =k AB ，∴ 向量PQ →与AB →共线．21. （1）f ′(x)＝1+lnx ，(x >0)．令f ′(x)＝0，解得：x =1e，且当x ∈(0,1e)时，f ′(x)<0，x ∈(1e,+∞)时，f ′(x)>0，因此：f(x)的极小值为f(1e )=−1e ；（2）g(x)＝f(x +1)＝(x +1)ln(x +1)，令ℎ(x)＝(x +1)ln(x +1)−mx ，则ℎ′(x)＝ln(x +1)+1−m ，注意到：ℎ(0)＝0，若要ℎ(x)≥0，必须要求ℎ′(0)≥0，即1−m ≥0，亦即m ≤1； 另一方面：当m ≤1时，ℎ′(x)＝ln(x +1)+1−m ≥0恒成立；故实数m的取值范围为：m≤1；(Ⅲ)构造函数F(x)=alna+xlnx−(a+x)ln a+x2，x>aF′(x)=1+lnx−ln a+x2−1=ln2xa+x，又∵ x>a，∴ 0<a+x<2x，F′(x)>0，F(x)在(a, +∞)上是单调递增的；故F(b)>F(a)＝0，即：f(a)+f(b)−2f(a+b2)>0．另一方面，构造函数G(x)=alna+xlnx−(a+x)ln a+x2−(x−a)ln2G′(x)=ln2xa+x−ln2=ln xa+x<0，G(x)在(a, +∞)上是单调递减的，故G(b)<G(a)＝0即：f(a)+f(b)−2f(a+b2)<(b−a)ln2，综上，0<f(a)+f(b)−2f(a+b2)<(b−a)ln2．。
2015年高考安徽理科数学试题及答案(word解析)
2015年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）【2015年安徽，理1，5分】i 为虚数单位，则复数2i1i-在复平面内所对应的点位于（ ）（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 【答案】B【解析】由题意()()()2i 1i 2i 22i1i 1i 1i 1i 2+-+===-+--+，其对应的点坐标为()1,1-，位于第二象限，故选B ．【点评】本题考查复数的运算，考查复数的几何意义，考查学生的计算能力，比较基础．（2）【2015年安徽，理2，5分】下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）（A ）cos y x = （B ）sin y x = （C ）ln y x = （D ）21y x =+ 【答案】A【解析】由选项可知，B 、C 项均不是偶函数，故排除B 、C ，A 、D 项是偶函数，但D 项与x 轴没有交点，即D项不存在零点，故选A ．【点评】本题考查了函数的奇偶性和零点的判断．①求函数的定义域；②如果定义域关于原点不对称，函数是非奇非偶的函数；如果关于原点对称，再判断()f x -与()f x 的关系；相等是偶函数，相反是奇函数；函数的零点与函数图象与x 轴的交点以及与对应方程的解的个数是一致的．（3）【2015年安徽，理3，5分】设:12p x <<，:21x q >，则p 是q 成立的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由0:22x q >，解得0x >，易知，p 能推出q ，但q 不能推出p ，故p 是q 成立的充分不必要条件，故选A ．【点评】本题考查充分必要条件的判断，同时考查指数函数的单调性的运用，属于基础题． （4）【2015年安徽，理4，5分】下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是（ ）（A ）2214y x -= （B ）2214x y -= （C ）2214y x -= （D ）2214x y -=【答案】C【解析】由题意，选项A ，B 的焦点在x 轴，故排除A ，B ，C 项渐近线方程为2214y x -=，即2y x =±，故选C ．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的焦点和渐近线方程的求法，属于基础题． （5）【2015年安徽，理5，5分】已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ）（A ）若α，β垂直于同一平面，则α与β平行 （B ）若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行（C ）若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线 （D ）若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面 【答案】D【解析】对于A ，若α，β垂直于同一平面，则α，β不一定平行，如果墙角的三个平面；故A 错误；对于B ，若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行．相交或者异面；故B 错误； 对于C ，若α，β不平行，则在α内存在无数条与β平行的直线；故C 错误；对于D ，若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面；假设两条直线同时垂直同一个平面，则这 两条在平行；故选D ．【点评】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系． （6）【2015年安徽，理6，5分】若样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，10x 的标准差为8，则数据121x -，221x -，⋅⋅⋅，1021x -的标准差为（ ）（A ）8 （B ）15 （C ）16 （D ）32 【答案】C 【解析】设样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，10x 的标准差为DX ，则8DX =，即方差64DX =，而数据121x -，221x -，⋅⋅⋅，1021x -的方差()22212264D X DX -==⨯，所以其标准差为226416⨯=，故选C ． 【点评】本题主要考查方差和标准差的计算，根据条件先求出对应的方差是解决本题的关键 （7）【2015年安徽，理7，5分】一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ） （A ）13+ （B ）23+ （C ）122+ （D ）22 【答案】B【解析】由题意，该四面体的直观图如下，ABD ∆，ACD ∆时直角三角形，ABC ∆，ACD ∆是等边三角形，则12212BCD ABD S S ∆∆==⨯⨯=，1322sin 6022ABC ACD S S ∆∆==⨯⨯︒=，所以四面体的表面积3212232BCD ABD ABC ACD S S S S S ∆∆∆∆=+++=⨯+⨯=+，故选B ． 【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题的关键是由三视图得出几何体的结构特征，是基础题目．（8）【2015年安徽，理8，5分】ABC ∆是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2AB a =， 2AC a b =+，则下列结论正确的是（ ）（A ）1b = （B ）a b ⊥ （C ）1a b ⋅= （D ）()4a b BC -⊥【答案】D【解析】依题意，()22BC AC AB a b a b =-=+-=，故2b =，故A 错误，222a a ==，所以1a =，又()2224222cos602AB AC a a b a ab ⋅=⋅+=+=⨯︒=，所以1a b ⋅=-，故B ，C 错误；设BC 中点为D ，则2AB AC AD +=，且AD BC ⊥，所以()4a b BC +⊥，故选D ．【点评】本题考查了向量的数量积公式的运用；注意：三角形的内角与向量的夹角的关系．（9）【2015年安徽，理9，5分】函数()()2ax bf x x c +=+的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）（A ）0a >，0b >，0c < （B ）0a <，0b >，0c > （C ）0a <，0b >，0c < （D ）0a <，0b <，0c < 【答案】C【解析】由()()2ax b f x x c +=+及图像可知，x c ≠-，0c ->；当0x =时，()200bf c =>，所以0b >；当0y =，0ax b +=， 所以0bx a=->，所以0a <．故0a <，0b >，0c <，故选C ． 【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数图象的信息，结合定义域，零点以及()0f 的符号是解决本题的关键．（10）【2015年安徽，理10，5分】已知函数()()sin f x x ωϕ=A +（A ，ω，ϕ均为正的常数）的最小正周期为π，当23x π=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（ ） （A ）()()()220f f f <-< （B ）()()()022f f f <<- （C ）()()()202f f f -<< （D ）()()()202f f f <<-【答案】A【解析】由题意，()()sin f x x ωϕ=A +()0,0,0A ωϕ>>>，22T πππωω===，所以2ω=，则()()sin f x x ωϕ=A +，而当23x π=时，2322,32k k Z ππϕπ⨯+=+∈，解得2,6k k Z πϕπ=+∈，所以()()sin 206f x x A π⎛⎫=A +> ⎪⎝⎭，则当2262x k πππ+=+，即6x k ππ=+时，()f x 取得最大值．要比较()()()2,2,0f f f -的大小，只需判断2，-2，0与最近的最高点处对称轴的距离大小，距离越大，值越小，易知0，2与6π比较近，-2与56π-比较近，所以当0k =时，6x π=，此时00.526π-=，2 1.476π-=，当1k =-时，56x π=-，此时520.66π⎛⎫---= ⎪⎝⎭，所以()()()220f f f <-<，故选A ．【点评】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，三角函数的图象与性质，用诱导公式将函数值转化到一个单调区间是比较大小的关键，属于中档题．第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．（11）【2015年安徽，理11，5分】731x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数是 （用数字填写答案）．【答案】35【解析】由题意()732141771rrr r r r T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令2145r -=，得4r =，则5x 的系数是4735C =．【点评】本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项，在这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具．（12）【2015年安徽，理12，5分】在极坐标中，圆8sin ρθ=上的点到直线()3R πθρ=∈距离的最大值是 ．【答案】6【解析】由题意2sin ρρθ=，转化为直角坐标方程为228x y y +=，即()22416x y +-=；直线()3R πθρ=∈转化为直角坐标方程为3y x =，则圆上到直线的距离最大值是通过圆心的直线，设圆心到直线的距离为d ，圆心的半径为r ，则圆到直线距离的最大值()2204424613D d r -=+=+=+=+-．【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．（13）【2015年安徽，理13，5分】执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n 为 ． 【答案】4【解析】由题意，程序框图循环如下：①1a =，；1n =②131112a =+=+，2n =；③1713512a =+=+，3n =；④117171215a =+=+，4n =，此时， 171.4140.0030.00512-≈<，所以输出4n =． 【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的a ，n 的值是解题的关键，属于基础题． （14）【2015年安徽，理14，5分】已知数列{}n a 是递增的等比数列，249a a +=，238a a =，则数列{}n a 的前n 项和等于 ． 【答案】21n -【解析】由题意，14231498a a a a a a +=⎧⎨⋅==⎩，解得11a =，48a =或者18a =，41a =，而数列{}n a 是递增的等比数列，所以11a =，48a =，即3418a q a ==，所以2q =，因而数列{}n a 的前n 项和()111221112n n n n a q S q --===---． 【点评】本题考查等比数列的性质，数列{}n a 的前n 项和求法，基本知识的考查．（15）【2015年安徽，理15，5分】设30x ax b ++=，其中,a b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是 __．①3,3a b =-=-；②3,2a b =-=；③3,2a b =->；④0,2a b ==；⑤1,2a b ==． 【答案】①③④⑤【解析】令()3f x x ax b =++，求导得()23f x x a '=+，当0a ≥时，()0f x '≥，所以()f x 单调递增，且至少存在一个数使()0f x <，至少存在一个数使()0f x >，所以()3f x x ax b =++必有一个零点，即方程30x ax b ++=仅有一根，故④⑤正确；当0a <时，若3a =-，则()()()233311f x x x x '=-=+-，易知，()f x 在(),1-∞-，()1,+∞上单调递增，在[]1,1-上单调递减，所以()()1132f x f b b =-=-++=+极大，()()11320f x f b b ==-+=->极小，解得2b <-或2b >，故①③正确．所以使得三次方程仅有一个实根的是①③④⑤．【点评】本题考查了函数的零点与方程的根的关系；关键是数形结合、利用导数解之．三、解答题：本大题共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．解答写在答题卡上的指定区域内． （16）【2015年安徽，理16，12分】在ABC ∆中，4A π=，6AB =，AC =D 在BC 边上，AD BD =，求AD 的长．解：设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ，由余弦定理得2222cos a b c bc BAC =+-∠223626cos 4π=+-⨯⨯1836(36)=+--90=，所以a =．又由正弦定理得sin sin b BAC B a ∠===， 由题设知04B π<<，所以cos B = 在ABD ∆中，由正弦定理得sin 6sin 3sin(2)2sin cos cos AB B B AD B B B Bπ===-【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基本知识的考查． （17）【2015年安徽，理17，12分】已知2件次品和3件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结果． （1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；（2）已知每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X 的分布列和均值（数学期望）．解：（1）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A ，1123253()10A A P A A ==．（2）χ的可能取值为200，300，400，22251(200)10A P A χ===；31123232353(300)10A C C A P A χ+===； 136(400)1(200)(300)1101010P P P χχχ==-=-==--=． 故χ的分布列为13200300400350101010E χ=⨯+⨯+⨯=． 【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查计算能力． （18）【2015年安徽，理18，12分】设*n N ∈，n x 是曲线231n y x +=+在点(12)，处的切线与x 轴交点的横坐标．（1）求数列{}n x 的通项公式；（2）记2221221n n T x x x -=，证明14n T n≥． 解：（1）2221(1)(22)n n y x n x ++''=+=+，曲线221n y x +=+在点(12)，处的切线斜率为22n +，从而切线方程为2(22)(1)y n x -=+-，令0y =，解得切线与x 轴交点的横坐标1111n nx n n =-=++． （2）由题设和（1）中的计算结果知22222213211321...()()...()242n n n T x x x n--==， 当1n =时，114T =；当2n ≥时，因为2222212221(21)(21)1221()2(2)(2)2n n n n n n x n n n n n -------==>==； 所以211211()...2234n n T n n ->⨯⨯⨯⨯=，综上可得对任意的*n N ∈，均有14n T n≥． 【点评】本题主要考查切线方程的求法和放缩法的应用，属基础题型． （19）【2015年安徽，理19，13分】如图所示，在多面体111A B D DCBA ，四边形11AA B B ，11,ADD A ABCD 均为正方形，E 为11B D 的中点，过1,,A D E 的平面交1CD 于F ．（1）证明：11//EF B C ；（2）求二面角11E A D B --余弦值．解：（1）由正方形的性质可知11////A B AB DC ，且11A B AB DC ==，所以四边形11A B CD 为平行四边形，从而11//B C A D ，又1A D ⊂面1A DE ，1B C ⊄面1A DE ，于是1//B C 面1A DE ， 又1B C ⊂面11B CD ，面1A DE面11B CD EF =，所以1//EF B C ．（2）11,,AA AB AA AD AB AD ⊥⊥⊥，且1AA AB AD ==，以A 为原点，分别以1,,AB AD AA 为x 轴，y 轴和z轴单位正向量建立如图所示的空间直角坐标系，可得点的坐标(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(0,1,0)D ，111(0,0,1),(1,0,1),(0,1,1)A B D ，而E 点为11B D 的中点，所以E 点的坐标为()0.5,0.5,1．设面1A DE 的法向量1111(,,)n r s t =，而该面上向量()10.5,0.5,0A E =，()10,1,1A D =-，由11n A E ⊥，11n A D ⊥得111,,r s t 应满足的方程组11110.50.500r s s t +=⎧⎨-=⎩，()1,1,1-为其一组解，所以可取()11,1,1n =-，设面11A B CD 的法向量2222(,,)n r s t =，而该面上向量()110.5,0.5,0A B =，()10,1,1A D =-，由此同理可得2(0,1,1)n =所以结合图形知二面角11E A D B --的余弦值为1212||26||||332n n n n ==⨯．【点评】本题考查空间中线线平行的判定，求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题．（20）【2015年安徽，理20，13分】设椭圆E 的方程为()222210x y a b a b+=>>，点O 为坐标原点，点A 的坐标为()0a ，，点B 的坐标为()0b ，，点M 在线段AB 上，满足2BM MA =，直线OM 的斜率为510． （1）求E 的离心率e ；（2）设点C 的坐标为()0b -，，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为72，求E 的方程．解：（1）由题设条件知，点M 的坐标为21(,)33a b ，又510OM k =，从而5210b a =，进而得225,2a b c a b b ==-=，、故255c e a ==．（2）由题设条件和（1）的计算结果可得，直线AB 的方程为15x y bb +=，点N 的坐标为51(,)22b b -，设点N 关于直线AB 的对称点S 的坐标为17(,)2x ，则线段NS 的中点T的坐标为117,)244x b +-+，又点T 在直线AB 上，且1NS AB k k =-，从而有117441,71x b b b +-++=⎨+⎪=解得3b =，所以a =E 的方程为221459x y +=．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、线段的垂直平分线性质、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．（21）【2015年安徽，理21，13分】设函数2()f x x ax b =-+．（1）讨论函数(sin )f x 在22ππ(-,)内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；（2）记2000()f x x a x b =-+，求函数0(sin )(sin )f x f x -在22ππ(-,)上的最大值D ；（3）在（2）中，取000a b ==，求24az b =-满足1D ≤时的最大值．解：（1）2(sin )sin sin sin (sin )f x x a x b x x a b =-+=-+，22x ππ-<<，[(sin )](2sin )cos ,22f x x a x x ππ'=--<<，因为22x ππ-<<，所以cos 0x >，22sin 2x -<<，①2,a b R ≤-∈时，函数(sin )f x 单调递增，无极值； ②2,a b R ≥∈时，函数(sin )f x 单调递减，无极值；③对于22a -<<，在(,)22ππ-内存在唯一的0x ，使得02sin x a =，02x x π-<≤时，函数(sin )f x 单调递减；02x x π≤<时，函数(sin )f x 单调递增．因此22a -<<，b R ∈时，函数(sin )f x 在0x 处有极小值20(sin )()24a a f x fb ==-．（2）22x ππ-≤≤时，00000|(sin )(sin )||()sin |||||f x f x a a x b b a a b b -=-+-≤-+-，当00()()0a a b b --≥时，取2x π=，等号成立，当00()()0a a b b --<时，取2x π=-，等号成立．由此可知，0|(sin )(sin )|f x f x -在[,]22ππ-上的最大值为00||||D a a b b =-+-．（3）1D ≤即为||||1a b +≤，此时201,11a b ≤≤-≤≤，从而214a zb =-≤．取0,1a b ==，则||||1a b +≤，并且214a z b =-=，由此可知，24a zb =-满足条件1D ≤的最大值为1．【点评】本题考查函数的性质和运用，主要考查二次函数的单调性和极值、最值，考查分类讨论的思想方法和数形结合的思想，属于难题．。
2015年安徽高考数学(理科)真题(带答案)
2015年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）本试卷分第I 卷（选择题目）和第II 卷（非选择题目）两部分，第I 卷第1至第2页，第II 卷第3至第4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：1．答题前，务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。
务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。
2．答第I 卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3．答第II 卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写，要求字体工整、笔迹清晰。
作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。
必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在答题卷、．．．．．．．．．．．．．．．．．．．草稿纸上答题无效．．．．．．．．。
4．考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。
参考公式：第Ⅰ卷（选择题目共50分）一、选择题目：本大题共10个小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。
（1）设i 是虚数单位，则复数21ii 在复平面内所对应的点位于（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限（2）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（A ）y cos x （B ）y sin x （C ）y n l x （D ）21y x （3）设p ：1<x<2，q ：2x >1，则p 是q 成立的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件4、下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x 的是（）（A ）2214y x （B ）2214x y （C ）2214y x （D ）2214x y 5、已知m ，n 是两条不同直线， ， 是两个不同平面，则下列命题正确的是（）（A ）若 ， 垂直于同一平面，则 与 平行（B ）若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行（C ）若 ， 不平行，则在 内不存在与 平行的直线（D ）若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面6、若样本数据1x ，2x ， ，10x 的标准差为8，则数据121x ，221x ， ，1021x 的标准差为（）（A ）8（B ）15（C ）16（D ）327、一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）（A ）13（B ）23 （C ）122 （D ）228、C 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2a ，C 2a b ，则下列结论正确的是（）（A ）1b （B ）a b （C ）1a b （D ） 4C a b 9、函数2ax b f x x c 的图象如图所示，则下列结论成立的是（）（A ）0a ，0b ，0c （B ）0a ，0b ，0c （C ）0a ，0b ，0c （D ）0a ，0b ，0c 10、已知函数sin f x x （ ， ， 均为正的常数）的最小正周期为 ，当23x时，函数 f x 取得最小值，则下列结论正确的是（）（A ） 220f f f （B ）022f f f （C ）202f f f （D ） 202f f f 第二卷二．填空题目11.371()x x 的展开式中5x 的系数是（用数字填写答案）12.在极坐标系中，圆8sin 上的点到直线()3R 距离的最大值是13.执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n为14.已知数列{}n a 是递增的等比数列，14329,8a a a a ，则数列{}n a 的前n 项和等于15.设30x ax b ，其中,a b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是（写出所有正确条件的编号）(1)3,3a b ；(2)3,2a b ；(3)3,2a b ；(4)0,2a b ;(5)1,2a b .三.解答题16.在ABC 中，3,6,324A AB AC ,点D 在BC 边上，AD BD ，求AD 的长。
淮北市高三第一次模拟考试数学试题(理)
淮北市2016届高三第一次模拟考试数学试题（理）2016.1.16本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考场座位号、姓名”与考生本人考场座位号、姓名是否一致。
2．第1卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选出其他答案标号。
第II 卷用0．5毫米的黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。
3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合，{}12B x x =-≤≤，则等于()A.{}10x x -<< B.{}24x x ≤< C.{}02x x x <>或 D.{}02x x x ≤≥或 2．在复平面内，复数2iz i-=的共轭复数z 对应的点所在的象限（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．设0x >，则“4m =”是“4≥+xmx ”恒成立”的（） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4、执行如图所示的程序框图，若输出的n=6，则输入整数p 的最小值是.（） A ． 17B ．16C ．18D ．195.在等差数列{}n a 中，若1201210864=++++a a a a a ，则12102a a -的值为（） A.6B.12C.24D.606、已知O 为坐标原点，双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>的右焦点F ，以OF 为直径作圆交双曲线的渐近线于异于原点的两点A 、B ，若()0AO AF OF +⋅=u u u r u u u r u u u r，则双曲线的离心率e 为()7．在区间[－1，1]上随机取一个数k ，使直线y ＝k (x ＋3)与圆x 2＋y 2＝1相交的概率为( )A.12B.13C.8．有以下命题：①命题“2,20x R x x ∃∈--≥”的否定是：“2,20x R x x ∀∈--<”； ②已知随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ，(4)0.79,P ξ≤=则(2)0.21P ξ≤-=； ③函数131()()2xf x x =-的零点在区间11(,)32内；其中正确的命题的个数为（） A.3个 B.2个 C.1个 D.0个9.已知函数()y f x =是定义在实数集R 上的偶函数，且当(,0)x ∈-∞时()()xf x f x '<--成立（其中()()f x f x '是的导函数），若a =，(1)b f =，212(log )4c f =-，则,,a b c 的大小关系是（）A ．c a b >>B ．c b a >>C ．a b c >>D ．a c b >>10.已知实数,x y 满足：04010x y x y x -≤⎧⎪+-<⎨⎪-≥⎩，则使等式(2)(1)240t x t y t ++-++=成立的t 取值范围为（）A.51--42⎡⎫⎪⎢⎣⎭， B.51---+42⎛⎤⎛⎫∞⋃∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭，， C.5-14⎡⎫⎪⎢⎣⎭，D 1-12⎡⎫⎪⎢⎣⎭，11.已知四面体ABCD 的四个顶点都在球O 的表面上，⊥AB 平面BCD ，又3,2,4AB BC BD ===,且60CBD ∠=o，则球O 的表面积为（）（A ）12π（B ）16π（C ）20π（D ）25π12、如图，四边形ABCD 是正方形，延长CD 至E ，使得DE=CD.若动点P 从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，其中AP AB AE λμ=+u u u r u u u r u u u r，下列判断正确．．的是（）A.满足2λμ+=的点P 必为BC 的中点B.满足1λμ+=的点P 有且只有一个C.λμ+的最大值为3D.λμ+的最小值不存在二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分).13、设21eea dx x=⎰,则二项式261()-ax x 展开式中的常数项为 。
2015年安徽省高考一模数学试卷【解析版】
2015年安徽省高考数学一模试卷一、单项填空（共10小题；每小题5分，满分50分）．从A、B、C、D四个选项中，选出可以填入空白处的最佳选项，并在答题卡上将该项涂黑．1．（5分）已知集合A＝{x|≥2}，B＝{x|（x﹣1）（x﹣3）2≤0}，则A∪B 等于（）A．（3，+∞）B．（﹣∞，﹣7]C．（﹣∞，1]∪（3，﹢∞）D．（﹣∞，1]∪[3．﹢∞）2．（5分）命题“事件A与事件B互斥”是命题“事件A与事件B对立”的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）已知θ为实数，若复数z＝sin2θ﹣1+i（cosθ﹣1）是纯虚数，则z 的虚部为（）A．2B．0C．﹣2D．﹣2i4．（5分）已知如图1所示是某学生的14次数学考试成绩的茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为A1，A2，…A14，图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个程序框图，则输出的n的值是（）A．8B．9C．10D．115．（5分）等差数列{a n}的前n项和S n（n＝1，2，3…）当首项a1和公差d变化时，若a5+a8+a11是一个定值，则下列各数中为定值的是（）A．S15B．S16C．S17D．S186．（5分）过抛物线C1：y＝ax2（a＞0）的焦点作y轴的垂线交抛物线C1于A，B两点，若△OAB（O是坐标原点）是面积为的等腰三角形，则a的值为（）A．B．1C．D．27．（5分）定义在区间[0，1]上的函数f（x）的图象如图所示，以A（0，f（0））、B（1，f（1））、C（x，f（x））为顶点的△ABC的面积记为函数S（x），则函数S（x）的导函数S′（x）的大致图象为（）A．B．C．D．8．（5分）在△ABC中，a＝2，c＝1，则∠C的取值范围是（）A．（0，30°]B．[30°，60°]C．[60°90°]D．（90°，180°）9．（5分）已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，λ∈[0，+∞），则动点P的轨迹一定通过△ABC的（）A．内心B．垂心C．重心D．外心10．（5分）已知函数f（x）＝，若|f（x）|≥a（x﹣1），则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣∞，1]C．[﹣1，1]D．[﹣1，0]二、填空题（共5小题；每小题5分，满分25分）．11．（5分）已知直线l1：x+ay+＝0与直线l2：ax+2y+2＝0平行，则直线l1的倾斜角为．12．（5分）若变量x，y满足约束条件，且z＝﹣2x+y的最大值为m，最小值为n，则log m（﹣n）＝．13．（5分）已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x2﹣4x，那么，不等式f（x+2）＜5的解集是．14．（5分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，D为AB的中点，且A1D与底面ABC所成角的正切值为2，则三棱锥A1﹣ACD外接球的表面积为．15．（5分）在直角坐标平面内，点A（x，y）实施变换f后，对应点为A′（y，x），给出以下命题：①圆x2+y2＝r2（r≠0）上任意一点实施变换f后，对应点的轨迹仍是圆x2+y2＝r2：②若直线y＝kx+b上海一点实施变换f后，对应点的轨迹方程仍是y＝kx+b，则k＝﹣1；③椭圆每一点，实施变换f后，对应点的轨迹仍是离心率不变的椭圆；④曲线C ；y ＝lnx ﹣x （x ＞0）上每一点实施变换f 后，对应点轨迹足曲线C '，M是曲线C 上任意一点，N 是曲线C '上任意一点，则|MN |的最小值为．以上正确命题的序号是 （写出全部正确命题的序号）三、解答题（共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（12分）已知函数f （x ）＝2（2cos 2ωx ﹣1）sin2ωx +cos （4ωx +），ω∈（0，1），且函数有一个最高点（，1）． （1）求实数ω的值和函数f （x ）的最小正周期；（2）求f （x ）在[，]上的最大值和最小值．17．（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABEF 是长方形，DA ⊥平面ABEF ，BC ∥AD ，G ，H 分别为DF ，CE 的中点，且AD ＝AF ＝2BC ．（Ⅰ）求证：GH ∥平面ABCD ；（Ⅱ）求三棱锥E ﹣BCD 与D ﹣BEF 的体积之比．18．（12分）设数列{a n }、{b n }满足a 1＝1，a 2＝3，a n +1＝，a n b n ＝a n +1b n +1．（Ⅰ）求（a n ）的通项公式；（Ⅱ）设数列{c n }满足c n ＝b n log 3a n ，求数列{c n }的前n 项和． 19．（12分）一般来说，一个人脚掌越长，他的身高就越高．现对10名成年人的脚掌长x 与身高y 进行测量，得到数据（单位均为cm ）作为一个样本如上表示．（1）在上表数据中，以“脚掌长”为横坐标，“身高”为纵坐标，作出散点图后，发现散点在一条直线附近，试求“身高”与“脚掌长”之间的线性回归方程＝bx +a ；（2）若某人的脚掌长为26.5cm ，试估计此人的身高；（3）在样本中，从身高180cm 以上的4人中随机抽取2人作进一步的分析，求所抽取的2人中至少有1人身高在190cm 以上的概率．（参考数据：，）20．（13分）已知函数f （x ）＝a （x ﹣）﹣2lnx （a ∈R ）．（1）当﹣1＜a ＜1时，求函数f （x ）的单调区间；（2）设函数g （x ）＝﹣，若至少存在一个x 0∈[1，4]，使得f （x 0）＞g （x 0）成立，求实数a 的取值范围．21．（14分）如图，椭圆上的点M 与椭圆右焦点F 1的连线MF 1与x轴垂直，且OM （O 是坐标原点）与椭圆长轴和短轴端点的连线AB 平行．（1）求椭圆的离心率；（2）F 2是椭圆的左焦点，C 是椭圆上的任一点，证明：∠F 1CF 2≤；（3）过F 1且与AB 垂直的直线交椭圆于P 、Q ，若△PF 2Q 的面积是20，求此时椭圆的方程．2015年安徽省高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、单项填空（共10小题；每小题5分，满分50分）．从A、B、C、D四个选项中，选出可以填入空白处的最佳选项，并在答题卡上将该项涂黑．1．（5分）已知集合A＝{x|≥2}，B＝{x|（x﹣1）（x﹣3）2≤0}，则A∪B 等于（）A．（3，+∞）B．（﹣∞，﹣7]C．（﹣∞，1]∪（3，﹢∞）D．（﹣∞，1]∪[3．﹢∞）【解答】解：由A中不等式变形得：﹣2≥0，即＝≥0，整理得：（x+7）（x﹣3）≥0，且x﹣3≠0，解得：x≤﹣7或x＞3，即A＝（﹣∞，﹣7]∪（3，+∞），由（x﹣3）2≥0，（x﹣1）（x﹣3）2≤0，得到x﹣1≤0，即x≤1或x＝3，∴B＝（﹣∞，1]∪{3}，则A∪B＝（﹣∞，1]∪[3．﹢∞），故选：D．2．（5分）命题“事件A与事件B互斥”是命题“事件A与事件B对立”的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：“事件A与事件B互斥”不能推出“事件A与事件B对立”，但是“事件A与事件B对立”，能推出“事件A与事件B互斥”，故命题“事件A与事件B互斥”是命题“事件A与事件B对立”的必要不充分条件．故选：C．3．（5分）已知θ为实数，若复数z＝sin2θ﹣1+i（cosθ﹣1）是纯虚数，则z 的虚部为（）A．2B．0C．﹣2D．﹣2i【解答】解：θ为实数，若复数z＝sin2θ﹣1+i（cosθ﹣1）是纯虚数，∴⇒⇒，（k∈Z），∴cosθ﹣1＝﹣2，故选：C．4．（5分）已知如图1所示是某学生的14次数学考试成绩的茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为A1，A2，…A14，图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个程序框图，则输出的n的值是（）A．8B．9C．10D．11【解答】解：由程序框图知：算法的功能是计算学生在14次数学考试成绩中，成绩大于等于90的次数，由茎叶图得，在14次测试中，成绩大于等于90的有：93、99、98、98、94、91、95、103、101、114共10次，∴输出n的值为10．故选：C．5．（5分）等差数列{a n}的前n项和S n（n＝1，2，3…）当首项a1和公差d变化时，若a5+a8+a11是一个定值，则下列各数中为定值的是（）A．S15B．S16C．S17D．S18【解答】解：由等差数列的性质可得a5+a8+a11＝3a8，再由求和公式可得S15＝＝＝15a8，故当a5+a8+a11为定值时，S15为定值．故选：A．6．（5分）过抛物线C1：y＝ax2（a＞0）的焦点作y轴的垂线交抛物线C1于A，B两点，若△OAB（O是坐标原点）是面积为的等腰三角形，则a的值为（）A．B．1C．D．2【解答】解：抛物线C1：y＝ax2（a＞0）的焦点为（0，），令y＝，则x＝±，即有|AB|＝2×＝，则有△OAB的面积为××＝，解得a＝．故选：A．7．（5分）定义在区间[0，1]上的函数f（x）的图象如图所示，以A（0，f（0））、B（1，f（1））、C（x，f（x））为顶点的△ABC的面积记为函数S（x），则函数S（x）的导函数S′（x）的大致图象为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，△ABC的底边AB长一定，在点C由A到B的过程中，△ABC的面积由小到大再减小，然后再增大再减小，对应的面积函数的导数先正后负再正到负．且由原图可知，当C位于AB连线和函数f（x）的图象交点附近时，三角形的面积减或增较慢，故选：D．8．（5分）在△ABC中，a＝2，c＝1，则∠C的取值范围是（）A．（0，30°]B．[30°，60°]C．[60°90°]D．（90°，180°）【解答】解：由正弦定理可得，∴sin C＝＝∵a＞c∴A＞C∴0°＜C＜90°∵y＝sin x在（0，]上单调递增∴0°＜C≤30°故选：A．9．（5分）已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，λ∈[0，+∞），则动点P的轨迹一定通过△ABC的（）A．内心B．垂心C．重心D．外心【解答】解：设BC的中点为D，∵，∴＝+，即＝，两端同时点乘，∵•＝λ（）＝λ（）＝λ（﹣）＝0，∴DP⊥BC，∴点P在BC的垂直平分线上，即P经过△ABC的外心故选：D．10．（5分）已知函数f（x）＝，若|f（x）|≥a（x﹣1），则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣∞，1]C．[﹣1，1]D．[﹣1，0]【解答】解：①当x≥1时，|f（x）|≥a（x﹣1）即为lnx≥a（x﹣1），令y＝lnx﹣a（x﹣1），y′＝﹣a，由于x≥1则0＜≤1，当a≤0时，y′＞0，函数y在x≥1递增，即有y≥ln1﹣a（1﹣1）＝0，成立；当a≥1时，y′＜0，函数y在x≥1递减，不等式不成立；当0＜a＜1时，函数y不单调，则不成立；②当0＜x＜1时，|f（x）|≥a（x﹣1）即为﹣lnx≥a（x﹣1），令y＝﹣lnx﹣a（x﹣1），y′＝﹣﹣a，由于0＜x＜1，则﹣＜﹣1，当a≥﹣1时，y′＜0，函数y在0＜x＜1递减，即有y＞﹣ln1﹣a（1﹣1）＝0，成立；当a＜﹣1时，函数y不单调，则不成立；③当x≤0时，|f（x）|≥a（x﹣1）即为x2﹣3x+2≥a（x﹣1），即（x﹣2）（x﹣1）≥a（x﹣1），即有a≥x﹣2，由x≤0，则x﹣2≤﹣2，即有a≥﹣2．综上可得，a≤0且a≥﹣1，且a≥﹣2，即为﹣1≤a≤0，故选：D．二、填空题（共5小题；每小题5分，满分25分）．11．（5分）已知直线l1：x+ay+＝0与直线l2：ax+2y+2＝0平行，则直线l1的倾斜角为．【解答】解：∵直线l1：x+ay+＝0与直线l2：ax+2y+2＝0平行，∴，解得a＝．∴直线l1的斜率为k＝．则直线l1的倾斜角为arctan．故答案为：．12．（5分）若变量x，y满足约束条件，且z＝﹣2x+y的最大值为m，最小值为n，则log m（﹣n）＝．【解答】解：不等式组对应的平面区域如图：由z＝﹣2x+y得y＝2x+z，平移直线y＝2x+z，则由图象可知当直线y＝2x+z经过点A（0，8）时，直线y ＝2x+z的截距最大，此时z最大，为z＝8，即m＝8，当直线y＝2x+z经过点B时，直线y＝2x+z的截距最小，此时z最小，由，解得，即B（4，4），此时z＝﹣8+4＝﹣4，即n＝﹣4，则log m（﹣n）＝log84＝故答案为：13．（5分）已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x2﹣4x，那么，不等式f（x+2）＜5的解集是（﹣7，3）．【解答】解：因为f（x）为偶函数，所以f（|x+2|）＝f（x+2），则f（x+2）＜5可化为f（|x+2|）＜5，即|x+2|2﹣4|x+2|＜5，（|x+2|+1）（|x+2|﹣5）＜0，所以|x+2|＜5，解得﹣7＜x＜3，所以不等式f（x+2）＜5的解集是（﹣7，3）．故答案为：（﹣7，3）．14．（5分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，D为AB的中点，且A1D与底面ABC所成角的正切值为2，则三棱锥A1﹣ACD外接球的表面积为8π．【解答】解：如图示：∵侧棱AA1⊥底面ABC，∴∠A1DA就是A1D与底面ABC所成的角，在直角三角形A1DA中，tan∠A1DA＝＝2，∵底面是边长为2的正三角形，且AD＝1，∴A1A＝2，设三棱锥A1﹣ACD外接球的半径为r，＝×1×2＝1，∵S△A1DACD＝＝，∴三棱锥A1﹣ACD＝×1×＝，V三棱锥O﹣A1CD+V三棱锥O﹣A1AD+V三棱锥O﹣A1AC+V三棱锥O﹣ACD＝×××r+××2×1r+××2×2r+××1×r＝，∴r＝，∴三棱锥A1﹣ACD外接球的表面积为4πr2＝8π．故答案为：8π．15．（5分）在直角坐标平面内，点A（x，y）实施变换f后，对应点为A′（y，x），给出以下命题：①圆x2+y2＝r2（r≠0）上任意一点实施变换f后，对应点的轨迹仍是圆x2+y2＝r2：②若直线y＝kx+b上海一点实施变换f后，对应点的轨迹方程仍是y＝kx+b，则k＝﹣1；③椭圆每一点，实施变换f后，对应点的轨迹仍是离心率不变的椭圆；④曲线C；y＝lnx﹣x（x＞0）上每一点实施变换f后，对应点轨迹足曲线C'，M是曲线C上任意一点，N是曲线C'上任意一点，则|MN|的最小值为．以上正确命题的序号是①③④（写出全部正确命题的序号）【解答】解：由题意点A（x，y）实施变换f后，对应点为A'（y，x），对应曲线来说，就是求曲线关于直线y＝x的对称曲线．对于①，因为圆x2+y2＝r2（r≠0）的圆心在直线y＝x上，所以圆x2+y2＝r2（r ≠0）上任意一点实施变换f后，对应点的轨迹仍是圆x2+y2＝r2．所以①正确；对于②，直线y＝kx+b关于直线y＝x的对称曲线方程为，而直线y＝kx+b上每一点实施变换f后，对应点的轨迹方程仍是y＝kx+b，所以，解得，或．所以②不正确；对于③，椭圆上每一点，实施变换f后，对应点的轨迹为，所以轨迹仍是离心率不变的椭圆．所有③正确；对于④，令g（x）＝x﹣（lnx﹣x）＝2x﹣lnx（x＞0）．．当x∈（0，）时，g′（x）＜0，g（x）为减函数，当x∈（，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）为增函数．所以g（x）在（0，+∞）上有极小值，也是最小值．最小值为．所以曲线y＝1nx﹣x（x＞0）上的点到直线y＝x的距离的最小值为．由对称性可知，曲线y＝1nx﹣x（x＞0）上的点与其关于直线y＝x的对称曲线上的点的最小值为即为．所以④正确．所以正确命题的序号是①③④．故答案为①③④．三、解答题（共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（12分）已知函数f（x）＝2（2cos2ωx﹣1）sin2ωx+cos（4ωx+），ω∈（0，1），且函数有一个最高点（，1）．（1）求实数ω的值和函数f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在[，]上的最大值和最小值．【解答】解：（1）f（x）＝2（2cos2ωx﹣1）sin2ωx+cos（4ωx+）＝2cosωx sin2ωx+cos4ωx﹣sin4ωx＝sin4ωx+cos4ωx﹣sin4ωx＝sin4ωx+cos4ωx＝sin（4ωx+），∴f（x）＝sin（4ωx+），∵函数有一个最高点（，1），∴4ω×+＝+2kπ，k∈Z，∴ω＝+3k，k∈Z，∵ω∈（0，1），∴ω＝，∴f（x）＝sin（x+），∴T＝＝2π，∴f（x）的最小正周期2π；（2）∵x∈[，]，∴x+∈[，]，∴sin（x+）∈[﹣，1]，∴f（x）在[，]上的最大值1和最小值﹣．17．（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABEF是长方形，DA⊥平面ABEF，BC∥AD，G，H分别为DF，CE的中点，且AD＝AF＝2BC．（Ⅰ）求证：GH∥平面ABCD；（Ⅱ）求三棱锥E﹣BCD与D﹣BEF的体积之比．【解答】（Ⅰ）证明：取AD，BC的中点P，Q，连接GP，PQ，HQ，则GP∥F A，GP＝F A同理HQ∥BE，HQ＝BE，∵ABEF是长方形，∴GP∥HQ，GP＝HQ，∴四边形GPQH是平行四边形，∴GH∥PQ，∵GH⊄平面ABCD，PQ⊂平面ABCD，∴GH∥平面ABCD；（Ⅱ）解：∵DA⊥平面ABEF，∴DA⊥F A，∵F A⊥AB，DA∩AB＝A，∴F A⊥平面ABCD，∴V E ﹣BCD ＝×BC ×AB ×AF ，V D ﹣BEF ＝×EF ×BE ×AD ，∵AD ＝AF ＝2BC ， ∴V E ﹣BCD ：V D ﹣BEF ＝1：2．18．（12分）设数列{a n }、{b n }满足a 1＝1，a 2＝3，a n +1＝，a n b n ＝a n +1b n +1．（Ⅰ）求（a n ）的通项公式；（Ⅱ）设数列{c n }满足c n ＝b n log 3a n ，求数列{c n }的前n 项和． 【解答】解：（Ⅰ）由a 1＝1，a 2＝3，a 2＝，得b 1＝，∵a n b n ＝a n +1b n +1．∴{a n b n }是常数列． ∴a n b n ＝a 1b 1＝，b n ＝，a n +1＝＝3a n ，∴{a n }是以a 1＝1为首项，以3 为公比的等比数列． ∴a n ＝3n ﹣1，（Ⅱ）c n ＝b n log 3a n ＝（n ﹣1），设数列{c n }的前n 项和为S n ， 则S n ＝[]，①S n ＝[+]②①﹣②得，S n ＝[﹣]＝[﹣]，∴S n ＝19．（12分）一般来说，一个人脚掌越长，他的身高就越高．现对10名成年人的脚掌长x 与身高y 进行测量，得到数据（单位均为cm ）作为一个样本如上表示．（1）在上表数据中，以“脚掌长”为横坐标，“身高”为纵坐标，作出散点图后，发现散点在一条直线附近，试求“身高”与“脚掌长”之间的线性回归方程＝bx +a ；（2）若某人的脚掌长为26.5cm ，试估计此人的身高；（3）在样本中，从身高180cm 以上的4人中随机抽取2人作进一步的分析，求所抽取的2人中至少有1人身高在190cm 以上的概率． （参考数据：，）【解答】解：（1）记样本中10人的“脚掌长”为x i （i ＝1，2，…10），“身高”为y i （i ＝1，2，…10），则，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分） ∵＝24.5，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分） ∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分） ∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分） （2）由（1）知，当x ＝26.5时，，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）故估计此人的身高为185.5cm ．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）（3）将身高为181、188、197、203（cm）的4人分别记为A、B、C、D，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）记“从身高180cm以上4人中随机抽取2人，所抽的2人中至少有1个身高在190cm以上”为事件A，则基本事件有：（AB）、（AC）、（AD）、（BC）、（BD）、（CD），总数6，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）A包含的基本事件有：（AC）、（AD）、（BC）、（BD）、（CD），个数5，所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）20．（13分）已知函数f（x）＝a（x﹣）﹣2lnx（a∈R）．（1）当﹣1＜a＜1时，求函数f（x）的单调区间；（2）设函数g（x）＝﹣，若至少存在一个x0∈[1，4]，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+∞），函数的导数f′（x）＝a（1+．设h（x）＝ax2﹣2x+a①当﹣1＜a≤0时，h（x）＝ax2﹣2x+a＜0在（0，+∞）上恒成立，则h（x）＝ax2﹣2x+a（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，此时f（x）在（0，+∞）上单调递减．②若0＜a＜1，△＝4﹣4a2＞0，由f′（x）＞0，即h（x）＞0，得0＜x＜或x＞；由f′（x）＜0，即h（x）＜0，得＜x＜；即﹣1＜a≤0时，函数的单调减区间为（0，+∞），0＜a＜1时，函数f（x）的单调递增区间为（0，）和（，+∞）；单调递减区间为（，）．（2）因为存在一个x0∈[1，4]使得f（x0）＞g（x0），则ax0＞2lnx0，等价于a＞．令F（x）＝，等价于“当x∈[1，4]时，a＞F（x）min”．对F（x）求导，得F′（x）＝．因为当x∈[1，e]时，F′（x）≥0，所以F（x）在[1，e]上单调递增．当x∈[e，4]时，F′（x）＜0，所以F（x）在[e，4]上单调递减．所以F（x）min＝F（1）＝0，因此a＞0．21．（14分）如图，椭圆上的点M与椭圆右焦点F1的连线MF1与x轴垂直，且OM（O是坐标原点）与椭圆长轴和短轴端点的连线AB平行．（1）求椭圆的离心率；（2）F2是椭圆的左焦点，C是椭圆上的任一点，证明：∠F1CF2≤；（3）过F1且与AB垂直的直线交椭圆于P、Q，若△PF2Q的面积是20，求此时椭圆的方程．【解答】解：（1）易得，∴，∴．（2）证明：由椭圆定义得：第21页（共21页）＝．， ∴，∴．（3）解：设直线PQ 的方程为（x ﹣c ），即y ＝﹣． 代入椭圆方程消去x 得：， 整理得：，∴．∴，因此a 2＝50，b 2＝25，所以椭圆方程为．。
安徽省淮北市2015届高三一模理科数学试题(含答案)
淮北市2015届高三第一次模拟考试数学试题 （理科） 2015.1.24本试卷满分150分，考试时间120分钟。
第I 卷 (选择题 共50分)一．选择题（本大题共10小题，每小题只有一个正确答案，每小题5分）1.已知,,x y R i ∈为虚数单位，且(2)1x i y i --=+，则(1)x y i ++的值为（ ）。
A ．4B ． 4-C ． 44i +D ．2i 2.已知n X m log =，则1>mn 是1>X 的（ ）。
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 3. 已知棱长为1的正方体的俯视图是边长为1正方形，则其主视图的面积不可能是（ ） A.2 B.212- C. 1 D. 433 4. 等差数列{}n a 有两项m a 和()k a m k ≠，满足11,m k a a k m==，则该数列前mk 项之和为 ( ) A. 12mk - B 2mk C 12mk + D 12mk+ 5.下列命题正确的是（ ） A.函数)32sin(π+=x y 在区间)6,3(ππ-内单调递增B.函数x x y 44sin cos -=的最小正周期为π2C.函数)3cos(π+=x y 的图像是关于点)0,6(π成中心对称的图形D.函数)3tan(π+=x y 的图像是关于直线6π=x 成轴对称的图形6.已知实数x ，y 满足200,0x y x y y k +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩设y x m +=，若m 的最大值为6，则m 的最小值为（ ）A ．—3B ．—2C ．—1D ．07. 某项实验，要先后实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一或最后一步，程序B 和C 在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有（ ） A ．34种B ．48种C ．96种D ．144种8. 若函数)(x f 的导函数是34)(2+-='x x x f ，则函数)()(xa f x g = (0<a<1)的单调递减区间是( )A 、 []0,3log a ，[)+∞,1B 、(]),0[,3log ,+∞∞-aC 、[]a a ,3 D 、[]1,3log a9. 若对任意[]5,0∈x ，不等式x n xx m 514241+≤+≤+恒成立，则一定有（ ） A ． 31,21-≥≤n m B ．31,21-≥-≤n m C ．31,21≥-≤n m D ．31,21->-<n m10.已知ABC ∆的外接圆的圆心为O ,满足：CB n CA m CO +=,234=+n m 34=6=,则=∙( )A. 36B. 24C. 243D. 312 二、填空题（每小题5分，共25分）11. 执行如图所示的程序框图，若输入A 的值为2，则输出的P 值 为12. 在52512⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的二项展开式中，x 的系数为13．已知),0(,,,,+∞∈≠∈+y x n m R n m ，则有yx n m y n x m ++≥+222)(，且当ynx m =时等号成立，利用此结论，可求函数x x x f -+=1334)(，)1,0(∈x 的最小值为14. 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 、N 分别为AD 、CC 1的中点，O为上底面A 1B 1C 1D 1的中心，则三棱锥O-MNB 的体积是 。
安徽省皖北协作区高考数学一模试卷 理(含解析)
安徽省皖北协作区2015届高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）“ab＞0且a+b＜0”是“a与b均为负数的”（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件2．（5分）复数z=（其中i为虚数单位）在复平面内对应的点所在的象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知﹣2，a1，a2，﹣8成等差数列，﹣2，b1，b2，b3，﹣8成等比数列，则等于（）A．B．C．D．或4．（5分）抛物线y2=8x的焦点到双曲线x2﹣=1的一条渐近线的距离为（）A．1 B．2 C．D．5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输入的P值为（）A．2 B．3 C．4 D．56．（5分）若f（x）是奇函数，且在（0，+∞）上是减函数，又有f（﹣2）=0，则不等式x•f （x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）B．（﹣2，0）∪（0，2） C．（﹣2，0）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）7．（5分）函数y=的图象大致是（）A．B．C．D．8．（5分）在极坐标系中，点（2，﹣）到圆ρ=﹣2cosθ的圆心的距离为（）A．2 B．C．D．9．（5分）已知x，y满足约束条件，若z=2x+y的最小值为1，则a的值是（）A．4 B．C．1 D．210．（5分）已知是单位向量，且的夹角为，若向量满足|﹣+2|=2，则||的最大值为（）A．2+B．2﹣C．+2 D．﹣2二、本大题共5小题，每小题5分，共25分，请将答案填在答题卡的相应位置.11．（5分）函数f（x）=的值域为．12．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中，面积最大的面的面积是13．（5分）从一架钢琴挑出的十个音键中，分别选择3个，4个，5个，…，10个键同时按下，可发出和声，若有一个音键不同，则发出不同的和声，则这样的不同的和声数为（用数字作答）14．（5分）已知集合A={（x，y）||x|+2|y|≤4}，集合B={（x，y）|（x﹣m）2+y2=}，若B⊆A，则实数m的取值范围是．15．（5分）已知函数f（x）=sinx+cosx，则下列命题正确的是（填上你认为正确的所有命题的序号）①函数f（x）的最大值为2；②函数f（x）的图象关于点（﹣，0）对称；③函数f（x）的图象与函数h（x）=2sin（x﹣）的图象关于x轴对称；④若实数m使得方程f（x）=m在[0，2π]上恰好有三个实数解x1，x2，x3，则x1+x2+x3=；⑤设函数g（x）=f（x）+2x，若g（θ﹣1）+g（θ）+g（θ+1）=﹣2π，则θ=﹣．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（12分）设△ABC的三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且b（cosA﹣3cosC）=（3c ﹣a）cosB．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若cosB=，且△ABC的周长为14，求b的值．17．（12分）央视财经频道《升级到家》栏目答题有奖，游戏规则：每个家庭两轮游戏，均为三局两胜，第一轮3题答对2题，可获得小物件（家电），价值1600元；第二轮3题答对2题，可获得大物件（家具）价值5400元（第一轮的答题结果与第二轮答题无关），某高校大二学生吴乾是位孝顺的孩子，决定报名参赛，用自己的知识答题赢取大奖送给父母，若吴乾同学第一轮3题，每题答对的概率均为，第二轮三题每题答对的概率均为．（Ⅰ）求吴乾同学能为父母赢取小物件（家电）的概率；（Ⅱ）若吴乾同学答题获得的物品价值记为X（元）求X的概率分布列及数学期望．18．（12分）已知函数f（x）=mlnx+x2﹣（m+1）x+ln2e2（其中e=2.71828…是自然对数的底数）（Ⅰ）当m=﹣1时，求函数f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．19．（13分）已知F1，F2为椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，点P（1，）在椭圆上，且|PF1|+|PF2|=4．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过F1的直线l1，l2分别交椭圆E于A，C和B，D，且l1⊥l2，问是否存在常数λ，使得，λ，成等差数列？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．20．（13分）如图，已知四边形AA1C1C和AA1B1B都是菱形，平面AA1B1B和平面AA1C1C互相垂直，且∠ACC1=∠BAA1=60°，AA1=2（Ⅰ）求证：AA1⊥BC1；（Ⅱ）求四面体A﹣CC1B1的体积；（Ⅲ）求二面角C﹣AB﹣C1的正弦值．21．（13分）已知数列{a n}满足：a1=1，a n+1﹣a n sin2θ=sin2θ•cos2nθ．（Ⅰ）当θ=时，求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若数列{b n}满足b n=sin，S n为数列{b n}的前n项和，求证：对任意n∈N*，S n＜3+．安徽省皖北协作区2015届高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）“ab＞0且a+b＜0”是“a与b均为负数的”（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：由“ab＞0且a+b＜0”⇔“a与b均为负数的”，即可判断出．解答：解：“ab＞0且a+b＜0”⇔“a与b均为负数的”，因此“ab＞0且a+b＜0”是“a与b均为负数的”的充要条件．故选：C．点评：本题考查了充要条件的判定、不等式的性质，考查了推理能力，属于基础题．2．（5分）复数z=（其中i为虚数单位）在复平面内对应的点所在的象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、几何意义即可得出．解答：解：复数z====1﹣2i，在复平面内对应的点（1，﹣2），所在的象限为第四象限．故选：D．点评：本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题．3．（5分）已知﹣2，a1，a2，﹣8成等差数列，﹣2，b1，b2，b3，﹣8成等比数列，则等于（）A．B．C．D．或考点：等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列和等比数列可得a2﹣a1=﹣2，b2=﹣4，代入要求的式子计算可得．解答：解：∵﹣2，a1，a2，﹣8成等差数列，∴a2﹣a1==﹣2，又∵﹣2，b1，b2，b3，﹣8成等比数列，∴b22=（﹣2）×（﹣8）=16，解得b2=±4，又b12=﹣2b2，∴b2=﹣4，∴==故选：B点评：本题考查等差数列和等比数列的通项公式，属基础题．4．（5分）抛物线y2=8x的焦点到双曲线x2﹣=1的一条渐近线的距离为（）A．1 B．2 C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出抛物线的焦点和双曲线的渐近线方程，再由点到直线的距离公式计算即可得到所求．解答：解：抛物线y2=8x的焦点为（2，0），双曲线x2﹣=1的一条渐近线为y=x，则焦点到渐近线的距离为d==．故选C．点评：本题考查抛物线和双曲线的性质，主要考查渐近线方程和焦点坐标，运用点到直线的距离公式是解题的关键．5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输入的P值为（）A．2 B．3 C．4 D．5考点：循环结构．专题：算法和程序框图．分析：根据输入A的值，然后根据S进行判定是否满足条件S≤2，若满足条件执行循环体，依此类推，一旦不满足条件S≤2，退出循环体，求出此时的P值即可．解答：解：S=1，满足条件S≤2，则P=2，S=1+=满足条件S≤2，则P=3，S=1++=满足条件S≤2，则P=4，S=1+++=不满足条件S≤2，退出循环体，此时P=4故选：C点评：本题主要考查了当型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断．6．（5分）若f（x）是奇函数，且在（0，+∞）上是减函数，又有f（﹣2）=0，则不等式x•f （x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）B．（﹣2，0）∪（0，2） C．（﹣2，0）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数奇偶性和单调性之间的关系，利用数形结合即可得到结论．解答：解：∵奇函数在（0，+∞）上是减函数，∴在（﹣∞，0）上也是减函数，且f（﹣2）=﹣f（2）=0，即f（2）=0，作出函数f（x）的草图：则不等式x•f（x）＜0等价为x＞0时，f（x）＜0，此时x＞2当x＜0时，f（x）＞0，此时x＜﹣2，综上不等式的解为x＞2或x＜﹣2，故不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），故选：A点评：本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．7．（5分）函数y=的图象大致是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：综合题；推理和证明．分析：利用排除法，即可得出结论．解答：解：由题意，x≠0，排除A；x＜0，0＜2x＜1，y=＞0，排除B；x增大时，指数函数的增长速度大于幂函数的增长速度，排除D，故选：C．点评：本题考查函数的图象，考查排除法的运用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．8．（5分）在极坐标系中，点（2，﹣）到圆ρ=﹣2cosθ的圆心的距离为（）A．2 B．C．D．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：利用，把极坐标化为直角坐标，利用两点之间的距离公式即可得出．解答：解：点P（2，﹣）可得：x P==1，y P==﹣，∴P．圆ρ=﹣2cosθ化为ρ2=﹣2ρcosθ，∴x2+y2=﹣2x，化为（x+1）2+y2=1，可得圆心C（﹣1，0）．∴|PC|==．故选：D．点评：本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9．（5分）已知x，y满足约束条件，若z=2x+y的最小值为1，则a的值是（）A．4 B．C．1 D．2考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：由线性约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．解答：解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得，即A（1，﹣），化z=2x+y，得y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为2×1，解得：a=2．故选：D．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合及数学转化思想方法，是中档题．10．（5分）已知是单位向量，且的夹角为，若向量满足|﹣+2|=2，则||的最大值为（）A．2+B．2﹣C．+2 D．﹣2考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：由题意可设=（1，0），=（，），=（x，y），可得x2+（y+）2=4，故向量的终点在以C（0，﹣）为圆心，半径等于2的圆上，由图象即可得到最大值为|OA|．解答：解：是单位向量，且的夹角为，设=（1，0），=（，），=（x，y）则﹣+2=（x，y+），∵|﹣+2|=2，即x2+（y+）2=4，故向量的终点在以C（0，﹣）为圆心，半径等于2的圆上，∴||的最大值为|OA|=|OC|+r=+2．故选：A．点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，熟练掌握向量的坐标运算和圆的方程及数形结合是解题的关键，属于基础题．二、本大题共5小题，每小题5分，共25分，请将答案填在答题卡的相应位置.11．（5分）函数f（x）=的值域为[0，1）．考点：函数的值域．专题：函数的性质及应用．分析：根据指数函数的单调性的性质，结合根式的性质即可求出函数的值域．解答：解：∵e x＞0，∴﹣e x＜0，则0≤1﹣e x＜1，则0≤＜1，即0≤f（x）＜1，故函数的值域为[0，1），故答案为：[0，1）点评：本题主要考查函数值域的求解，根据指数的单调性的性质是解决本题的关键．12．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中，面积最大的面的面积是考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，先确定最大的面，再求其面积．解答：解：由三视图可知，该几何体有两个面是直角三角形，如右图，底面是正三角形，最大的面是第四个面，其边长分别为：2，=2，=2；故其面积为：×2×=；故答案为：．点评：三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，本题考查了学生的空间想象力，识图能力及计算能力．13．（5分）从一架钢琴挑出的十个音键中，分别选择3个，4个，5个，…，10个键同时按下，可发出和声，若有一个音键不同，则发出不同的和声，则这样的不同的和声数为968（用数字作答）考点：计数原理的应用．专题：排列组合．分析：本题是一个分类计数问题，共有8种不同的类型，当有3个键同时按下，有C103种结果，…以此类推，根据分类计数原理得到共有的结果数解答：解：由题意知本题是一个分类计数问题，共有8种不同的类型，当有3个键同时按下，有C103种结果，当有4个键同时按下，有C104种结果，…以此类推，根据分类计数原理得到共有C103+C104+C105+…+C1010=C100+C101+C102+…+C1010﹣（C100+C101+C102）=210﹣（1+10+45）=968．故答案为：968．点评：本题考查分类计数原理，考查组合数的性质，考查利用排列组合知识解决实际问题，本题是一个易错题，易错点是组合数的运算不正确14．（5分）已知集合A={（x，y）||x|+2|y|≤4}，集合B={（x，y）|（x﹣m）2+y2=}，若B⊆A，则实数m的取值范围是[﹣2，2]．考点：集合的包含关系判断及应用．专题：集合．分析：根据题意可得集合A的区域是一个关于坐标轴对称的菱形，集合B的区域是一个圆及圆的内部，画出图象即可．解答：解：由题意，集合A中元素构成菱形，集合B中元素构成一个圆及圆的内部，如图∵B⊆A，∴圆在菱形内部，故只需圆心到菱形边坐在的直线的距离大于或等于半径即可，即：，解得m≥﹣2或m≤﹣6（舍去），由对称性可知m≤2，所以实数m∈[﹣2，2]．故答案为：[﹣2，2]．点评：本题考查集合间的关系及点到直线的距离公式，做出草图是解决本题的关键，属中档题．15．（5分）已知函数f（x）=sinx+cosx，则下列命题正确的是①③④⑤（填上你认为正确的所有命题的序号）①函数f（x）的最大值为2；②函数f（x）的图象关于点（﹣，0）对称；③函数f（x）的图象与函数h（x）=2sin（x﹣）的图象关于x轴对称；④若实数m使得方程f（x）=m在[0，2π]上恰好有三个实数解x1，x2，x3，则x1+x2+x3=；⑤设函数g（x）=f（x）+2x，若g（θ﹣1）+g（θ）+g（θ+1）=﹣2π，则θ=﹣．考点：两角和与差的正弦函数；正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：先把函数f（x）利用两角和的正弦公式化成标准形式，然后逐个判断，对于③，方程f（x）=m在[0，2π]上恰好有三个实数解，在一个周期内有三个实数解，其中两个解一定为区间的两个端点；对于④，代入使表达式恒成立，求出θ的值．解答：解：∵f（x）=sinx+cosx=2sin（x+）∴函数f（x）的最大值为2，①正确；当x=﹣时，f（）=2，②不正确；函数f（x）的图象关于x轴对称的解析式为y=﹣2sin（x+）=2sin（x+﹣π）=2sin（x ﹣），③正确；若实数m使得方程f（x）=m在[0，2π]上恰好有三个实数解x1，x2，x3，则x1=0，x2=，x3=2π，所以x1+x2+x3=，④正确；g（x）=f（x）+2x=2sin（x+）+2x，g（θ﹣1）+g（θ）+g（θ+1）=2sin（θ﹣1+）+2（θ﹣1）+2sin（θ+）+2θ+2sin（θ+1+）+2（θ+1）=2sin（θ+）（1+2cos1）+6θ=﹣2π所以sin（θ+）=0，6θ=﹣2π，所以．⑤正确．故答案为：①③④⑤．点评：本题考查了三角函数式的化简，三角函数的最值、对称性及三角方程，综合性强，解决这类问题的关键是把三角函数式化成标准形式．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（12分）设△ABC的三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且b（cosA﹣3cosC）=（3c ﹣a）cosB．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若cosB=，且△ABC的周长为14，求b的值．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（I）由b（cosA﹣3cosC）=（3c﹣a）cosB．利用正弦定理可得：．化简整理即可得出．（II）由=得c=3a．利用余弦定理及cosB=即可得出．解答：解：（I）∵b（cosA﹣3cosC）=（3c﹣a）cosB．由正弦定理得，．即（cos A﹣3cos C）sin B=（3sin C﹣sin A）cos B，化简可得sin（A+B）=3sin（B+C）．又A+B+C=π，∴sin C=3sin A，因此=．（II）由=得c=3a．由余弦定理及cosB=得b2=a2+c2﹣2accos B=a2+9a2﹣6a2×=9a2．∴b=3a．又a+b+c=14．从而a=2，因此b=6．点评：本题考查了正弦定理余弦定理的应用、两角和差的正弦公式、诱导公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．（12分）央视财经频道《升级到家》栏目答题有奖，游戏规则：每个家庭两轮游戏，均为三局两胜，第一轮3题答对2题，可获得小物件（家电），价值1600元；第二轮3题答对2题，可获得大物件（家具）价值5400元（第一轮的答题结果与第二轮答题无关），某高校大二学生吴乾是位孝顺的孩子，决定报名参赛，用自己的知识答题赢取大奖送给父母，若吴乾同学第一轮3题，每题答对的概率均为，第二轮三题每题答对的概率均为．（Ⅰ）求吴乾同学能为父母赢取小物件（家电）的概率；（Ⅱ）若吴乾同学答题获得的物品价值记为X（元）求X的概率分布列及数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（1）由题意赢取小物件即第一轮答对2题，故概率P=，计算即可；（2）赢取大物件即第二轮答对2题，可得概率P′=，化简可得；同理可求P（X=0）和P（X=1600）和P（X=5400）以及P（X=7000），可得X的分布列和期望值．解答：解：（1）由题意赢取小物件即第一轮答对2题，∴所求概率P==；（2）赢取大物件即第二轮答对2题，∴所求概率P′==，同理可求P（X=0）=（+×）×（+×）=，P（X=1600）=×（+×）=，P（X=5400）=（+×）×=P（X=7000）=×=可得X的分布列为：X 0 1600 5400 7000P∴=350+625+4375=5350（元）点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，涉及概率的加法公式和乘法公式，属中档题．18．（12分）已知函数f（x）=mlnx+x2﹣（m+1）x+ln2e2（其中e=2.71828…是自然对数的底数）（Ⅰ）当m=﹣1时，求函数f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；分类讨论；导数的概念及应用；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出m=﹣1的f（x）的解析式，求出切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到切线方程；（Ⅱ）求出f（x）的导数，并分解因式，对m讨论，①当m＞1时，②当m=1时，③当0＜m ＜1时，④当m≤0时，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间．解答：解：（Ⅰ）当m=﹣1时，，即有f（2）=4，，则切线方程为：，即 3x﹣2y+2=0；（Ⅱ）由已知可得，（x＞0）即，①当m＞1时，当x＞m或0＜x＜1时，f′（x）＞0，当1＜x＜m时，f′（x）＜0，即函数f（x）的递增区间为（0，1），（ m，+∞），递减区间为（1，m）．②当m=1时，f′（x）≥0恒成立，即函数f（x）的递增区间为（0，+∞）．③当0＜m＜1时，当x＞1或0＜x＜m时，f′（x）＞0，当m＜x＜1时，f′（x）＜0，即函数f（x）的递增区间为（0，m），（1，+∞），递减区间为（m，1）．④当m≤0时，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，当x＞1时，f′（x）＞0，即有函数f（x）的递增区间为（1，+∞），递减区间为（0，1）．点评：本题考查导数的运用：求切线方程和判断单调性，运用分类讨论的思想方法和二次不等式的解法是解题的关键．19．（13分）已知F1，F2为椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，点P（1，）在椭圆上，且|PF1|+|PF2|=4．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过F1的直线l1，l2分别交椭圆E于A，C和B，D，且l1⊥l2，问是否存在常数λ，使得，λ，成等差数列？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（I）利用椭圆的定义即可得出a，将P代入椭圆方程可得b2，即可得出；（II）对k分类讨论，把直线方程代入椭圆方程得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系、斜率计算公式、弦长公式即可得出结论．解答：解：（I）∵|PF1|+|PF2|=4，∴2a=4，a=2．∴椭圆E：，将P代入可得b2=3，∴椭圆E的方程为．（II）①当AC的斜率为零或斜率不存在时，=；②当AC的斜率k存在且k≠0时，AC的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，并化简得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0．设A（x1，y1），C（x2，y2），则，，∵直线BD的斜率为，∴|BD|==，∴=，综上：，∴，∴存在常数使得成等差数列．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、等差数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．（13分）如图，已知四边形AA1C1C和AA1B1B都是菱形，平面AA1B1B和平面AA1C1C互相垂直，且∠ACC1=∠BAA1=60°，AA1=2（Ⅰ）求证：AA1⊥BC1；（Ⅱ）求四面体A﹣CC1B1的体积；（Ⅲ）求二面角C﹣AB﹣C1的正弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；棱柱、棱锥、棱台的体积；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间角；立体几何．分析：（1）取AA1的中点为O，连接OB，通过已知条件及线面垂直的判定定理即得结论；（2）利用三角形CC1B1和CC1B面积相等，通过体积公式计算即可；（3）以O为坐标原点，分别以OA1，OC1，OB为x轴，y轴，z轴建立坐标系，利用平方关系，通过计算平面ABC的法向量与平面ABC1的法向量的夹角的余弦值即可．解答：（1）证明：设AA1的中点为O，连接OB，∵四边形AA1C1C和AA1B1B都是菱形，且∠ACC1=∠BAA1=60°，∴三角形AA1B和三角形AA1C1都是等边三角形，所以OB⊥OC1，又∵OB∩OC1=O，∴AA1⊥平面OBC1，所以AA1⊥BC1；（2）解：∵三角形CC1B1和CC1B面积相等，∴=，∴四面体A﹣CC1B1的体积为1；（3）解：由（1）知AA1⊥OB，又∵平面AA1B1B和平面AA1C1C互相垂直，∴OB⊥平面AA1C1C，∴OA1，OC1，OB，三条直线两两垂直，以O为坐标原点，分别以OA1，OC1，OB为x轴，y轴，z轴建立坐标系如图，则，，∴=（1，0，），=（﹣1，，0），=（1，，0），设平面ABC，ABC1的法向量的坐标分别为（a，b，c），（a1，b1，c1），由，可得，所以可取，同理可取，∴，所以二面角C﹣AB﹣C1的正弦值为=．点评：本题考查直线与平面垂直的判定，二面角的计算，考查四面体的体积公式，考查空间想象能力，计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题．21．（13分）已知数列{a n}满足：a1=1，a n+1﹣a n sin2θ=sin2θ•cos2nθ．（Ⅰ）当θ=时，求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若数列{b n}满足b n=sin，S n为数列{b n}的前n项和，求证：对任意n∈N*，S n＜3+．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）当时，，，利用等差数列的通项公式即可得出；（2）由（1）可得：a n=，可得，可得当n=1，2，3时，不等式成立；当n≥4时，由于，利用“错位相减法”、等比数列的前n项函数公式即可得出．解答：（1）解：当时，，，∴{2n﹣1a n}是以1为首项、1为公差的等差数列，2n﹣1a n=n，从而．（2）证明：，∴当n=1，2，3时，；当n≥4时，∵，，令，两式相减得，．综上所述，对任意．点评：本题考查了“错位相减法”、等比数列与等差数列的通项公式及其前n项函数公式、三角函数的性质、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
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淮北市2015届高三第一次模拟考试数学试题 （理科） 2015.1.24考生注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考场座位号、姓名”与考生本人考场座位号、姓名是否一致。
2. 本试卷满分150分，考试时间120分钟。
3．考生务必在答题卷上答题，考试结束后交回答题卷。
第I 卷 (选择题 共50分)一．选择题（本大题共10小题，每小题只有一个正确答案，每小题5分）1.已知,,x y R i ∈为虚数单位，且(2)1x i y i --=+，则(1)x y i ++的值为（ ）。
A ．4B ． 4-C ． 44i +D ．2i 2.已知n X m log =，则1>mn 是1>X 的（ ）。
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 3. 已知棱长为1的正方体的俯视图是边长为1正方形，则其主视图的面积不可能是（ ） A.2 B.212- C. 1 D. 433 4. 等差数列{}n a 有两项m a 和()k a m k ≠，满足11,m k a a k m==，则该数列前mk 项之和为 ( ) A. 12mk - B 2mk C 12mk + D 12mk+ 5.下列命题正确的是（ ） A.函数)32sin(π+=x y 在区间)6,3(ππ-内单调递增B.函数x x y 44sin cos -=的最小正周期为π2C.函数)3cos(π+=x y 的图像是关于点)0,6(π成中心对称的图形D.函数)3tan(π+=x y 的图像是关于直线6π=x 成轴对称的图形6.已知实数x ，y 满足200,0x y x y y k +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩设y x m +=，若m 的最大值为6，则m 的最小值为（ ）A ．—3B ．—2C ．—1D ．07. 某项实验，要先后实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一或最后一步，程序B 和C 在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有（ ） A ．34种B ．48种C ．96种D ．144种8. 若函数)(x f 的导函数是34)(2+-='x x x f ，则函数)()(xa f x g = (0<a<1)的单调递减区间是( )A 、 []0,3log a ，[)+∞,1B 、(]),0[,3log ,+∞∞-aC 、[]a a ,3 D 、[]1,3log a9. 若对任意[]5,0∈x ，不等式x n xx m 514241+≤+≤+恒成立，则一定有（ ） A ． 31,21-≥≤n m B ．31,21-≥-≤n m C ．31,21≥-≤n m D ．31,21->-<n m10.已知ABC ∆的外接圆的圆心为O ,满足：CB n CA m CO +=,234=+n m 34=6=,则=∙( )A. 36B. 24C. 243D. 312 二、填空题（每小题5分，共25分）11. 执行如图所示的程序框图，若输入A 的值为2，则输出的P 值 为12. 在52512⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的二项展开式中，x 的系数为13．已知),0(,,,,+∞∈≠∈+y x n m R n m ，则有yx n m y n x m ++≥+222)(，且当ynx m =时等号成立，利用此结论，可求函数x x x f -+=1334)(，)1,0(∈x 的最小值为14. 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 、N 分别为AD 、CC 1的中点，O为上底面A 1B 1C 1D 1的中心，则三棱锥O-MNB 的体积是 。
15. 称离心率为e =22221(0,0)x y a b a b-=>>为黄金双曲线．如图是双曲线22221(0,0,x y a b c a b-=>>=的图象，给出以下几个说法：①双曲线221x =是黄金双曲线；②若2b ac =，则该双曲线是黄金双曲线；③若F 1，F 2为左右焦点，A 1，A 2为左右顶点，B 1（0，b ）， B 2（0，-b ）且∠F 1B 1A 2=90°，则该双曲线是黄金双曲线； ④若MN 经过右焦点F 2且MN ⊥F 1F 2，∠MON=90°，则该双 曲线是黄金双曲线．其中正确命题的序号为三、解答题（共75分，请写出详细解答过程） 16. （本题满分12分） 已知函数)(x f =sin （2x+6π）+ cos 2x ． （1）求函数)(x f 的单调递增区间。
（2）在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知f （A ）=2，a=2，B=3π，求△ABC的面积．17.（本题满分12分）如图所示，P A ⊥平面ABC ，点C 在以AB 为直径的⊙O 上，∠CBA ＝30°，P A ＝AB ＝2，点E 为线段PB 的中点，点M 在弧AB 上，且OM ∥AC .(1)求证：平面MOE ∥平面P AC ； (2)求证：平面P AC ⊥平面PCB ；(3)设二面角M －BP －C 的大小为θ，求cos θ的值．18. （本题满分12分）近年来空气污染是一个生活中重要的话题， PM2．5就是其中一个指标。
PM2．5指大气中直径小于或等于2．5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．PM2．5日均值在35微克／立方米以下空气质量为一级：在35微克／立方米～75微克／立方米之间空气质量为二级；在75微克／立方米以上空气质量为超标． 淮北相山区2014年12月1日至I0日每天的PM2．5监测数据如茎叶图所示． （1）期间的某天小刘来此地旅游，求当天PM2．5日均监测数据未超标的概率；（2）陶先生在此期间也有两天经过此地，这两天此地PM2．5监测数据均未超标．请计算出这两天空气质量恰好有一天为一级的概率； （3）从所给10天的数据中任意抽取三天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列及期望．19. （本题满分12分）已知椭圆C ：22221x y a b+=(a >b >0)的上顶点为A ，左，右焦点分别为F 1，F 2,且椭圆C过点P (43，b3)，以AP 为直径的圆恰好过右焦点F 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)若动直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，试问：在x 轴上是否存在两定点，使其到直线l 的距离之积为1？若存在，请求出两定点坐标；若不存在，请说明理由.20. （本题满分13分）已知数列}{n a 满足)()1(2,1*11N n a a a n n n ∈-+==+. （1）若3112-=-n n a b ，求证：数列}{n b 是等比数列并求其通项公式； （2）求数列}{n a 的通项公式； （3）求证：11a +21a +…+na 13<.21. （本题满分14分）已知函数()()(),ln xg x f x g x ax x==-. （1）求函数()g x 的单调区间；（2）若函数()()1,f x +∞在上是减函数，求实数a 的最小值；（3）若212,,x x e e ⎡⎤∃∈⎣⎦，使()()12f x f x a '≤+成立，求实数a 的取值范围.答案：一、选择题：11、4 12、258- 13、 325 14、 67 15、①②③④ 三、解答题：16、（1）解：()sin(2)cos 26f x x x π=++=sin 2coscos 2sincos 266x x x ππ++32cos 22x x +1sin 22)2x x +)3x π+ …………………………3分令222232k x k πππππ-+≤+≤+ ⇒512312k x k πππππ-+≤+≤+，k ∈Z ()f x 的单调递增区间为：5[,],1212k k k ππππ-++∈Z0…………………………6分（2）由1())232f A A π=+=， 又20,3A π<<52,333A πππ<+< 因此5236A ππ+=，解得：4A π= …………………………8分由正弦定理sin sin a BA B=，得b =又由,43A B ππ==可得：sin C =…………………………10分故 13sin 22ABC S ab C ∆+== …………………………12分17. (1)因为点E 为线段PB 的中点，点O 为线段AB 的中点， 所以OE ∥PA.因为PA ⊆平面PAC ，OE ⊄平面PAC ， 所以OE ∥平面PAC. 因为OM ∥AC ，又AC ⊆平面PAC ，OM ⊄平面PAC ， 所以OM ∥平面PAC.因为OE ⊆平面MOE ，OM ⊆平面MOE ，OE ∩OM ＝O ，所以平面MOE ∥平面PAC. …………………………4分 (2)因为点C 在以AB 为直径的⊙O 上， 所以∠ACB ＝90°，即BC ⊥AC.因为PA ⊥平面ABC ，BC ⊆平面ABC ， 所以PA ⊥BC.因为AC ⊆平面PAC ，PA ⊆平面PAC ，PA ∩AC ＝A ， 所以BC ⊥平面PAC.因为BC ⊆平面PBC ，所以平面PAC ⊥平面PBC. …………………………9分(3)如图，以C 为原点，CA 所在的直线为x 轴，CB 所在的直线为y 轴，建立空间直角坐标系C －xyz. 因为∠CBA ＝30°，PA ＝AB ＝2， 所以CB ＝2cos30°＝3，AC ＝1. 延长MO 交CB 于点D. 因为OM ∥AC ，所以MD ⊥CB ，MD ＝1＋12＝32，CD ＝12CB ＝32.所以P(1,0,2)，C(0,0,0)，B(0，3，0)，M(32，32，0)．所以CP →＝(1,0,2)，CB →＝(0，3，0)． 设平面PCB 的法向量m ＝(x ，y ，z)．因为⎩⎪⎨⎪⎧m ·CP →＝0，m ·CB →＝0.⎩⎨⎧=⋅=⋅∴0)0,3,0(),,(0)2,0,1(),,(z y x z y x 即⎩⎨⎧==+0302y z x令z ＝1，则x ＝－2，y ＝0. 所以m ＝(－2,0,1)．同理可求平面PMB 的一个法向量n ＝(1，3，1)．所以cos 〈m ，n 〉＝m·n |m|·|n|＝－15.所以cosθ＝15. …………………………12分18. 解：(1)记“恰好赶上PM2.5日均监测数据未超标”为事件A 531042)(=+=A P ………………………………3分 (2)记“他这两次此地PM2.5监测数据均未超标且空气质量恰好有一天为一级”为事件B ，158)(261412=⋅=C C C B P ………………………………7分 (3)ξ的可能值为0,1,2,361)0(31036===C C P ξ 21)1(3101426=⋅==C C C P ξ 103)2(3102416=⋅==C C C P ξ 301)3(31034===C C P ξ………………10分 其分布列为：53031022160=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ………………12分19. 解：(1)因为椭圆过点P (43，b 3),所以169a 2+19=1,解得a 2=2,又以AP 为直径的圆恰好过右焦点F 2.所以AF 2⊥F 2P ,即-b c ⋅b 343-c =-1, b 2=c (4-3c ).……6分而b 2=a 2-c 2=2-c 2,所以c 2-2c +1=0,解得c 2=1,故椭圆C 的方程是x 22+y 2=1. ………………………4分(2)①当直线l 斜率存在时，设直线l 方程为y =kx +p ，代入椭圆方程得(1+2k 2)x 2+4kpx +2p 2－2=0.因为直线l 与椭圆C 有只有一个公共点，所以△=16k 2p 2－4(1+2k 2)(2p 2－2)=8(1+2k 2―p 2)=0，即 1+2k 2=p 2. …………………………………7分 设在x 轴上存在两点(s ,0),(t ,0),使其到直线l 的距离之积为1,则|ks +p |k 2+1 ⋅ |kt +p |k 2+1=|k 2st +kp (s +t )+p 2|k 2+1=1,即(st +1)k +p (s +t )=0(*)，或(st +3)k 2+(s +t )kp +2=0 (**).由(*)恒成立,得⎩⎨⎧st +1=0，s+t =0.解得⎩⎨⎧s =1t =-1,或⎩⎨⎧s =-1t =1,而(**)不恒成立. …………………………10分 ②当直线l 斜率不存在时，直线方程为x =±2时，定点(－1，0)、F 2(1，0)到直线l 的距离之积d 1⋅ d 2=(2－1)(2+1)=1.综上,存在两个定点(1,0),(-1,0),使其到直线l 的距离之积为定值1. ……………12分20. 解：（1）22122(1)n n n a a +=+-= 2121212[2(1)]141,n n n a a ---+-+=-212112121144334,1133n n n n n n a a b b a a +-+----===--又1112.33b a =-= 所以{}n b 是首项为23，公比为4的等比数列，且124.3n n b -=⨯……………5分（2）由（Ⅰ）可知1212112114(21)3333n n n n a b ---=+=⨯+=+，……………………7分 21212221212(1)(21)1(21).33n n n n n a a ---=+-=+-=- ………………8分所以11(2(1))3n n n a +=+-，或1(21);(2)31(21).(21)3nn n n k a n k ⎧-=⎪⎪=⎨⎪+=-⎪⎩………………9分（3） ∴22122111212,2.3333n n n n a a --=⋅-=⋅+ 21221222121222122122121221212113321213(22)222213(22)3(22)222122n nn n n n n n n n n n n n n n n n na a ----------+=++-⨯+=⋅+--⨯+⨯+=≤⋅+-⋅21211322n n -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ …………………………………11分当n ＝2k 时，1234212111111k k a a a a a a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭223211(1)111122331222212k k -⎛⎫≤++++=⨯ ⎪⎝⎭-23332k =-<当n ＝2k －1时，12342322211111111k k k a a a a a a a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ <1234212111111k ka a a a a a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭<3 ∴1 a 1 ＋1 a2 ＋…＋1 a n＜3．…………13分 21. 解：由已知函数)(),(x f x g 的定义域均为),1()1,0(+∞ ,且ax xxx f -=ln )(. ……1分 （1）函数22)(ln 1ln )(ln 1ln )(x x x x x x x g -=⋅-=',当e 0<<x 且1≠x 时,0)(<'x g ;当e >x 时,0)(>'x g .所以函数)(x g 的单调减区间是)e ,1(),1,0(,增区间是),e (+∞. ………………4分（2）因f (x )在(1,)+∞上为减函数，故2ln 1()0(ln )x f x a x -'=-≤在(1,)+∞上恒成立． 所以当(1,)x ∈+∞时，max ()0f x '≤． 又()22ln 111()ln ln (ln )x f x a a x x x -'=-=-+-()2111ln 24a x =--+-， 故当11ln 2x =，即2e x =时，max 1()4f x a '=-．所以10,4a -≤于是14a ≥，故a 的最小值为14． ………………………………7分（3）命题“若212,[e,e ],x x ∃∈使()12()f x f x a '≤+成立”等价于 “当2[e,e ]x ∈时，有()min max ()f x f x a '≤+”．由（Ⅱ），当2[e,e ]x ∈时，max 1()4f x a '=-，∴()max 14f x a '+=．问题等价于：“当2[e,e ]x ∈时，有min 1()4f x ≤”． ………………………………9分01当14a ≥时，由（Ⅱ），()f x 在2[e,e ]上为减函数，则min ()f x =222e 1(e )e 24f a =-≤，故21124e a ≥-．2当14a <时，由于()f x '()2111ln 24a x =--+-在2[e,e ]上为增函数， 故()f x '的值域为2[(e),(e )]f f ''，即1[,]4a a --．(i )若0a -≥，即0a ≤，()0f x '≥在2[e,e ]恒成立，故()f x 在2[e,e ]上为增函数， 于是，min ()f x =1(e)e e e>4f a =-≥，不合题意． ……………………11分(ii )若0a -<，即104a <<，由()f x '的单调性和值域知，∃唯一20(e,e )x ∈，使0()0f x '=，且满足：当0(e,)x x ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数；当20(,e )x x ∈时，()0f x '>，()f x 为增函数； 所以，min ()f x =00001()ln 4x f x ax x =-≤，20(e,e )x ∈． 所以，2001111111ln 44e 244ln e a x x ≥->->-=，与104a <<矛盾，不合题意．综上，得21124e a ≥-． …………………………………14分。