双曲线的简单几何性质(基础知识+基本题型)(含解析)2021-2022学年高二数学上学期
3.2.2双曲线的简单几何性质
（基础知识+基本题型）
知识点一 双曲线的性质
根据双曲线的标准方程22
221(0,0)x y a b a b
-=>>研究它的几何性质．
1．范围
,x a y R ≥∈，即,x a x a y R ≥≤-∈或．
双曲线位于两条直线x a =±的外侧．讨论双曲线的范围就是确定方程中变量,x y 的范围，由不等式222211x y a b =+≥，得||x a ≥，由22
2211y x b a
--≥-，得y R ∈. 提示
双曲线在直线x a =与x a =-之间没有图象，当x 无限增大时，y 也无限增大，所以双曲线是无限伸展的，不像椭圆那样是封闭的.
2．对称性
双曲线的图象关于x 轴、y 轴成轴对称，关于原点成中心对称，我们把x 轴、y 轴叫做双曲线的对称轴，原点(0,0)O 叫做双曲线的对称中心，简称中心. 提示
（1）把双曲线标准方程中的x 换成x -，方程并没有发生变化，说明当点(,)P x y 在双曲线上时，它关
于y 轴的对称点1(,)P x y -也在双曲线上，所以双曲线的图象关于y 轴成轴对称.
（2）同理，把双曲线标准方程中的y 换成y -，可以说明双曲线的图象关于关于x 轴成轴对称；把双
曲线标准方程中的x 换成x -，y 换成y -，可以说明双曲线的图象关于原点成中心对称. （3）如果曲线具有三种对称性的其中两种，那么它就具有另一种对称性.
（4）对于任意一个双曲线而言，对称轴是两个焦点的连线所在直线及其垂直平分线，且双曲线的中
心是双曲线的对称中心.
3．顶点与实轴、虚轴
如图所示．
（1）双曲线和其对称轴的交点叫做双曲线的顶点，双曲线的顶点为1(,0)A a -，2(,0)A a . （2）线段12A A 叫做双曲线的实轴，线段12B B 叫做双曲线的虚轴.
（3）实轴长122A A a =，虚轴长122B B b =，,a b 分别为双曲线的半实轴长和半虚轴长.
拓展
双曲线中,,a b c 的几何意义及特征三角形：
（1）当双曲线焦点在x 轴上时，a 是半实轴长，b 是半虚轴长，且222c a b =+，所以以,,a b c 为三边
长可构成直角三角形，如图2.3-10所示，其中22Rt OA B ∆称为双曲线的特征三角形，双曲线的焦点永远在实轴上.
（2）当双曲线的焦点在y 轴上时，可得类似的结论.
4．渐近线
（1）渐近线画法：经过点1(,0)A a -，2(,0)A a 作y 轴的平行线x a =±，经过点1(0,)B b -，2(0,)B b 作x
轴的平行线y b =±，四条直线围成一个矩形，矩形 两条对角线，这两条对角线所在的直线即为
双曲线的渐近线.双曲线22
221x y a b
-=的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近.
（2）渐近线方程：b
y x a =±.
拓展
（1）双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为b y x a =±，双曲线22221y x a b -=的渐近线方程为a
y x b
=±，两
者容易混淆，可先将双曲线方程中的“1”换成“0”，再因式分解即可得渐近线方程，这样就不容易记错了.
（2）双曲线与它的渐近线无限接近，但永远不相交.
（3）与双曲线22221x y a b -=共渐近线的双曲线方程可设为2222(0)x y a b λλ-=≠；与双曲线22
221x y a b
-=共
焦点的双曲线方程可设为22
22221()x y b a a b λλλ
-=-<<-+.
5．离心率
（1）定义：双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，定义式c e e a =⇒（2）范围：1e >.
由等式2
2
2
c a b =+，得b a ==e 越大，b a 也越大，即渐近线b y x
a
=±的斜率的绝对值越大，这时双曲线的形状就越陡，由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔. 提示
因为c e a =，c ，所以e =，b a
222(1)b a e =-，在,,,a b c e 四个参数
中，只要知道其中两个，就可以求出另两个，关键要熟悉它们之间的关系. 知识点二 等轴双曲线与共轭双曲线
1.实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，等轴双曲线有如下性质：
（1）方程形式为22(0)x y λλ-=≠；
（2）渐近线方程为y x =±，它们互相垂直，并平分双曲线实轴和虚轴所成的角；
（3.
2. 以双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，与原双曲线是一对共轭双曲线.例如，双曲线
22221(0,0)x y a b a b -=>>与22
221(0,0)y x a b b a -=>>是一对共轭双曲线，其性质如下： （1）双曲线与它的共轭双曲线有相同的渐近线； （2）双曲线与它的共轭双曲线有相同的焦距. 知识点三 直线与双曲线的位置关系 1. 直线与双曲线有三种位置关系：
（1）无公共点，此时直线有可能为双曲线的渐近线.
（2）有一个公共点，分两种情况：①直线是双曲线的切线，特别地，直线过双曲线一个顶点，且垂
直于实轴；②直线与双曲线的一条渐近线平行，与双曲线的一支有一个公共点. （3）有两个公共点，可能都在双曲线一支上，也可能两支上各有一个点.
2. 当直线与双曲线相交时，先联立直线方程与双曲线方程可求得两个交点的坐标，从而根据距离公式求
出弦长，再结合双曲线的定义，还可以求解焦点三角形的周长等.
3. 当直线与双曲线相交时，涉及中点问题，可首先设出直线与双曲线两交点的坐标，然后分别代入双曲
线方程，最后作差，即得中点坐标与该直线的斜率的关系式.
考点一由方程求双曲线的几何性质
例 1 求双曲线22
494
y x
-=-的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程，并画出该双曲线的草图.
解：将双曲线化为
22
1 41
9
x y
-=，
可知半实轴长
42
93
a=，半虚轴长1
b=，于是有22
413
1
9
c a b
=+=+=，
所以焦点坐标为
13
(，离心率为
13
c
e
a
==
渐近线方程为
b
y x
a
=±，即
3
2
y x
=±.
为画出双曲线的草图，首先在平面直角坐标系中画出渐近线
3
2
y x =±，
且顶点坐标为
2
(,0)
3
±，然后算出双曲线在第一象限内一点的坐标，如取1
y=，算出
23
0.94
x=≈.
由题意，知点(0.94,1)
±在双曲线上，将三点(0.94,1)
-，
2
(,0)
3
，(0.94,1)依次连成光滑曲线并让它逐
步接近渐近线，画出第一、第四象限内双曲线的一支，最后由对称性可画出双曲线位于第二、三象限内的另一支，得双曲线的草图如图所示.
已知双曲线的方程讨论其几何性质时，需先看所给方程是否为标准方程，若不是，需先把方程化为标准方程，这样便于直观写出,a b的值，进而求出c的值及双曲线的焦点坐标、顶点坐标、离心率与渐近线方程.
考点二由双曲线的几何性质求标准方程
例2求满足下列条件的双曲线的标准方程：
（1）一个焦点为(0,13)，且离心率为13
5
；
（2）渐近线方程为
1
2
y x
=±，且经过点(2,3)
A- .
解：（1）由题意，知双曲线的焦点在y 轴上，且13c =，由于
13
5
c a =，所以5a =，12b =. 故所求双曲线的标准方程为22
125144
y x -=.
（2）因为双曲线的渐近线方程为1
2
y x =±，
若焦点在x 轴上，设所求双曲线标准方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>，则1
2b a =.（Ⅰ）
因为点(2,3)A -在双曲线上，所以22
49
1a b -=. （Ⅱ） 联立（Ⅰ）（Ⅱ），无解.
若焦点在y 轴上，设所求双曲线标准方程为22221(0,0)y x a b a b -=>>，则1
2
a b =.（Ⅲ）
因为点(2,3)A -在双曲线上，所以
22
941a b -=. （Ⅳ） 联立（Ⅲ）（Ⅳ），解得228,32a b ==. 故所求双曲线的标准方程为22
1832
y x -=.
当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应分类讨论.为了避免讨论，也可设双曲线方
程为221(0)mx ny mn -=>，从而直接求得.若已知双曲线的渐近线方程为b
y x a =±，则可设方程为
22
22
(0)x y a b λλ-=≠，避免讨论焦点的位置. 考点三 双曲线的离心率
1．求离心率的值
例3 已知12,F F 是双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的两个焦点，PQ 是经过1F 且垂直与x 轴的双曲线的弦，
如果0290PF Q ∠=,求双曲线的离心率.
解：设1(,0)F c ，将x c =代入双曲线方程，得22
221c y a b -=，所以2b y a =±.
由22PF QF =,0290PF Q ∠=,知112PF F F =,
所以2
2b c a =，22b ac =，所以2220c ac a --=.
即2210e e --=，解得1e =+1e =.
故所求双曲线的离心率为1求双曲线离心率的常用方法
（1）依据条件求出,a c ，计算c e a
=
； （2）依据条件建立关于,,a b c 的关系式，一种方法是消去b 转化为关于e 的方程求解；另一种方法是
消去c 转化为含b a 的方程，求出b
a
后利用221b e a =+求解.
例4 设双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的焦距长为2c ，直线l 过点(,0)A a ，(0,)B b 两点，已知原点到直线l
的距离为
3
4
c ，则双曲线的离心率为 . 解析：如图所示，在△OAB 中，OA a =，OB b =，3
4
OE c =
，22AB a b c =+=.
因为AB OE OA OB ⋅=⋅, 所以3c ab =223)a b ab +=，两边同除以2a 233
()0b b a a -=， 解得
3b
a
=3b a =
所以2
12c b e a a ⎛⎫
==+ ⎪⎝⎭
.
答案：2
223)a b ab +=，此方程可称为关于,a b 的齐次方程，转化为以b
a
为变量的一元二次方程是求解的关键.
2．求离心率的范围
例5 双曲线22
221(1,0)x y a b a b
-=>>的焦距为2c ，直线l 过点(,0)a ，(0,)b 两点，且点(1,0)到直线l 的距离
与点(1,0)-到直线l 的距离之和4
5
s c ≥，求双曲线的离心率e 的取值范围.
解：由题意，知直线l 的方程为
1x y
a b +=，即0bx ay ab +-=. 因为点(1,0)到直线l 的距离122d a b =+，点(1,0)-到直线l 的距离222d a b =+，
所以122ab
s d d c
=+=
. 由45s c ≥，得2ab c 45
c ≥
，即252c .
于是得22e ，即22425250e e -+≤.解得25
54e ≤≤.
因为1e >，所以e
的取值范围是. 求双曲线离心率的范围时，要根据题意挖掘题中隐含的不等关系，构造不等式，从而求出双曲线的离心率的取值范围.
例6 双曲线2
22:1(0)x C y a a
-=>与直线:1l x y +=相交于两个不同的点,A B ，则双曲线的离心率e 的取值
范围是 .
解：由22
21
1x y a x y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩
，消去y ，得到2222(1)220a x a x a -+-=，
由题意知，2
422
10
48(1)0
a a a a ⎧-≠⎪⎨+->⎪⎩，解得(0,1)(1,2)a ∈.
所以c e a ===
，所以(2,)e ∈
+∞.
答案：(2,)+∞ .
利用一元二次方程根的判别式构建不等关系是一种常用的方法，另外也可利用基本不等式构建不等关系，线性规划中的区域符号也可构建不等关系. 考点四 直线与双曲线的位置关系
例7 已知双曲线22:1C x y -=及直线:1l y kx =-.若直线l 与双曲线C 有两个不同的交点，求实数则k 的取
值范围.
解：由2211
x y y kx ⎧-=⎪
⎨=-⎪⎩，消去y ，得到22(1)220k x kx -+-=，
由题意，知2
22
10
48(1)0k k k ⎧-≠⎪⎨+->⎪
⎩
，
解得k <，且1k ≠±
. 故实数k 的取值范围是(1)
(1,1)
(1,2)--.
直线与双曲线交点问题，常利用直线方程与双曲线方程构成的方程组求解.
双曲线的简单几何性质(经典)
双曲线的简单几何性质 【知识点1】双曲线22a x -22 b y ＝1的简单几何性质 (1)范围：｜x ｜≥a,y∈R. (2)对称性：双曲线的对称性与椭圆完全相同，关于x 轴、y 轴及原点中心对称. (3)顶点：两个顶点：A 1(-a,0),A 2(a,0)，两顶点间的线段为实轴长为2a ，虚轴长为 2b ，且 (4)＝1中的1(5)(6)e ＝2(7)注意：λ≠0且λ（2）与椭圆2a +2b ＝1(a ＞b ＞0)共焦点的曲线系方程可表示为λ-2a -λ-2b ＝1(λ ＜a 2,其中b 2-λ＞0时为椭圆，b 2＜λ＜a 2时为双曲线)
（3）双曲线的第二定义：平面内到定点F(c,0)的距离和到定直线l :x ＝c a 2 的距离之 比等于常数e ＝a c (c ＞a ＞0)的点的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是 双曲线的准线，焦准距(焦参数)p ＝c b 2 ，与椭圆相同. 1、 4、已知双曲线的中心在原点，焦点在 5、求与双曲线221169x y -=共渐近线，且经过() 3A -点的双曲线的标准方及离心率．
【知识点2】弦长与中点弦问题 （1）．直线和圆锥曲线相交时的一般弦长问题：一般地，若斜率为k 的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB ，A 、B 两点分别为A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，则弦长 ]4))[(1(1212212122x x x x k x x k AB -++=-?+= ]4)[()11(11212212122y y y y k y y k -+?+=-?+=,这里体现了解析几何“设而不求”的 （2）设A(x 1；对于y 2【变1变4】 7、过双曲线22 12y x -=的右焦点F 作直线l 交双曲线于A,B 两点,若|AB|=4,这样的直线有几条？ 【题型2】双曲线离心率的求法
(完整版)双曲线标准方程及几何性质知识点及习题
双曲线标准方程及几何性质知识点及习题 1. 双曲线第一定义： 平面内与两个定点F 1、F 2的距离差的绝对值是常数（小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离|F 1F 2|叫焦距。 2. 双曲线的第二定义： 平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数e （e>1）的点的轨迹叫双曲线。定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线，常数e 叫双曲线的离心率。 当曲线上一点沿曲线无限远离原点时，如果到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。无限接近，但不可以相交。 例1. 方程1112 2=-++k y k x 表示双曲线，则k 的取值范围是 （ ） A ．11<<-k B ．0>k C ．0≥k D ．1>k 或1-
双曲线的简单几何性质(基础知识+基本题型)(含解析)2021-2022学年高二数学上学期
3.2.2双曲线的简单几何性质 （基础知识+基本题型） 知识点一 双曲线的性质 根据双曲线的标准方程22 221(0,0)x y a b a b -=>>研究它的几何性质． 1．范围 ,x a y R ≥∈，即,x a x a y R ≥≤-∈或． 双曲线位于两条直线x a =±的外侧．讨论双曲线的范围就是确定方程中变量,x y 的范围，由不等式222211x y a b =+≥，得||x a ≥，由22 2211y x b a --≥-，得y R ∈. 提示 双曲线在直线x a =与x a =-之间没有图象，当x 无限增大时，y 也无限增大，所以双曲线是无限伸展的，不像椭圆那样是封闭的. 2．对称性 双曲线的图象关于x 轴、y 轴成轴对称，关于原点成中心对称，我们把x 轴、y 轴叫做双曲线的对称轴，原点(0,0)O 叫做双曲线的对称中心，简称中心. 提示 （1）把双曲线标准方程中的x 换成x -，方程并没有发生变化，说明当点(,)P x y 在双曲线上时，它关 于y 轴的对称点1(,)P x y -也在双曲线上，所以双曲线的图象关于y 轴成轴对称. （2）同理，把双曲线标准方程中的y 换成y -，可以说明双曲线的图象关于关于x 轴成轴对称；把双 曲线标准方程中的x 换成x -，y 换成y -，可以说明双曲线的图象关于原点成中心对称. （3）如果曲线具有三种对称性的其中两种，那么它就具有另一种对称性. （4）对于任意一个双曲线而言，对称轴是两个焦点的连线所在直线及其垂直平分线，且双曲线的中 心是双曲线的对称中心. 3．顶点与实轴、虚轴 如图所示．
（1）双曲线和其对称轴的交点叫做双曲线的顶点，双曲线的顶点为1(,0)A a -，2(,0)A a . （2）线段12A A 叫做双曲线的实轴，线段12B B 叫做双曲线的虚轴. （3）实轴长122A A a =，虚轴长122B B b =，,a b 分别为双曲线的半实轴长和半虚轴长. 拓展 双曲线中,,a b c 的几何意义及特征三角形： （1）当双曲线焦点在x 轴上时，a 是半实轴长，b 是半虚轴长，且222c a b =+，所以以,,a b c 为三边 长可构成直角三角形，如图2.3-10所示，其中22Rt OA B ∆称为双曲线的特征三角形，双曲线的焦点永远在实轴上. （2）当双曲线的焦点在y 轴上时，可得类似的结论. 4．渐近线 （1）渐近线画法：经过点1(,0)A a -，2(,0)A a 作y 轴的平行线x a =±，经过点1(0,)B b -，2(0,)B b 作x 轴的平行线y b =±，四条直线围成一个矩形，矩形 两条对角线，这两条对角线所在的直线即为 双曲线的渐近线.双曲线22 221x y a b -=的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近. （2）渐近线方程：b y x a =±. 拓展 （1）双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为b y x a =±，双曲线22221y x a b -=的渐近线方程为a y x b =±，两 者容易混淆，可先将双曲线方程中的“1”换成“0”，再因式分解即可得渐近线方程，这样就不容易记错了. （2）双曲线与它的渐近线无限接近，但永远不相交. （3）与双曲线22221x y a b -=共渐近线的双曲线方程可设为2222(0)x y a b λλ-=≠；与双曲线22 221x y a b -=共 焦点的双曲线方程可设为22 22221()x y b a a b λλλ -=-<<-+.
2021学年新教材高中数学第二章平面解析几何2.6.2双曲线的几何性质课时分层作业含解析人教B版选择性必修一
课时分层作业(二十二) 双曲线的几何性质 (建议用时：40分钟) 一、选择题 1．若双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( ) A ．5 B ．5 C ．2 D ．2 A [由题意得b ＝2a ，又a 2＋b 2＝c 2，∴5a 2＝c 2． ∴e 2 ＝c 2 a 2＝5，∴e ＝5．] 2．若双曲线的一个焦点为(0，－13)，且离心率为13 5，则其标准方程为( ) A ．x 252－y 2 122＝1 B ．y 2122－x 2 52＝1 C ．x 2122－y 2 52＝1 D ．y 252－x 2 122＝1 D [依题意可知，双曲线的焦点在y 轴上，且c ＝13．又c a ＝13 5，所以a ＝5，b ＝ c 2 －a 2 ＝12，故其标准方程为y 252－x 2 122＝1．] 3．已知双曲线C ：y 2a 2－x 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点F 到渐近线距离与顶点A 到渐近线距离之比为3∶1，则双曲线C 的渐近线方程为( ) A ．y ＝±22x B ．y ＝±2x C ．y ＝±22x D ．y ＝±2 4x D [根据题意，双曲线C ：y 2a 2－x 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点在y 轴上，其渐近线方程为y ＝± a b x ， 若双曲线的焦点F 到渐近线距离与顶点A 到渐近线距离之比为3∶1，则c ＝
3a ，则b ＝ 9a 2－a 2＝22a ， 则双曲线的渐近线方程为y ＝±2 4x ．] 4．平行四边形ABCD 的四个顶点均在双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上，直线AB ，AD 的斜率分别为1 2，1，则该双曲线的渐近线方程为( ) A ．x ±2y ＝0 B ．2x ±y ＝0 C ．x ±y ＝0 D ．x ±3y ＝0 A [∵双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)是中心对称的， 故平行四边形ABCD 的顶点B ，D 关于原点对称， 设A (x 0，y 0)，B (x 1，y 1)，则D (－x 1，－y 1)， 故x 20a 2－y 20b 2＝1，x 21a 2－y 21 b 2＝1， ∴(x 0－x 1)(x 0＋x 1)a 2－(y 0－y 1)(y 0＋y 1)b 2＝0， 整理得到： b 2a 2＝(y 0－y 1)(y 0＋y 1)(x 0－x 1)(x 0＋x 1)，即b 2 a 2－k AB ·k AD ＝0， 故b 2a 2＝12，即b a ＝22， ∴渐近线方程为y ＝±2 2x ，即x ±2y ＝0．] 5．若双曲线x 29－y 2m ＝1的渐近线的方程为y ＝±5 3x ，则双曲线焦点F 到渐近线的距离为( ) A ． 5 B ．14 C ．2 D ．2 5 A [∵a ＝3，b ＝m ，∴m 3＝5 3，∴m ＝5，
新课标人教A版选修2-1辅导资料—双曲线的简单几何性质(含答案)
双曲线的简单几何性质 一、要点精讲 1．双曲线的标准方程和几何性质 2．等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程为()02 2≠=-λλy x ，离心率2= e ，渐近 线方程x y ±=。 3、共渐近线的双曲线系方程：与-22a x 22b y =1有相同渐近线的双曲线系方程可设为-22a x ()022 ≠=λλb y ， 若0>λ，则双曲线的焦点在轴上；若0<λ，则双曲线的焦点在轴上。 4、共焦点的双曲线系方程： 与-22a x 22b y =1焦点相同的双曲线系方程可设为()22 222 21,+x y k b k a a k b k -=<<-
二、基础自测 1.（15安徽）下列双曲线中，渐近线方程为2y x =±的是( ) （A ）22 14y x -= （B ）2214x y -=（C ）22 12y x -= （D ）2212 x y -= 2．（2013湖北）已知π 04 θ<<,则双曲线1C :22221sin cos x y θθ-=与2C :222 21cos sin y x θθ-=的 （ ） A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．离心率相等 D ．焦距相等 3．（2013课标）已知双曲线2222:1x y C a b -=(0,0)a b >>,则C 的渐近线方程为 （ ） A ．14 y x =± B ．13y x =± C ．1 2 y x =± D ．y x =± 4.（15广东）已知双曲线C ：122 22=-b y a x 的离心率54 e =，且其右焦点()25,0F ，则双曲线C 的方程为 A ．13422=-y x B.191622=-y x C.116922=-y x D. 14 32 2=-y x 5．（2013湖南）设F 1、F 2是双曲线C,22 221x y a b -=(a >0，b>0)的两个焦点。若在C 上存在一点P ，使PF 1⊥PF 2， 且∠PF 1F 2=30°，则C 的离心率为____13+_______. 6．(2012江苏)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2 m 2＋4＝1的离心率为5，则m 的值为______． 解：由题意，双曲线的焦点在x 轴上且m ＞0，所以e ＝m 2＋m ＋4 m ＝5，所以m ＝2. 三、典例精析 题型一：渐近线问题 1、已知双曲线的方程()0,02 22222>>=-b a b a y a x b ，求双曲线的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、渐 近线方程． 2.（2014新课标Ⅰ）已知F 是双曲线C ：22 3(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线 的距离为 A B .3 C .D .3m 解：由C ：2 2 3(0)x my m m -=>，得 22 133 x y m -=，233,c m c =+=) F ，一条 渐近线 y x = ，即0x =，则点F 到C 的一条渐近线的距离d = A.
高考数学专题复习：双曲线(含解析)
高考数学专题复习：双曲线(含解析) 本文存在大量的格式错误和段落问题，需要进行修正和删减。修正后的文章如下： 研究目标： 1.理解双曲线的定义、几何图形、标准方程以及简单几何性质。 2.理解数形结合的思想。 3.了解双曲线的实际背景及其简单应用。 一、单选题 1.设 $F_1,F_2$ 分别是双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}- \frac{y^2}{b^2}=1$ 的左右焦点，点 $P$ 在双曲线 $C$ 的右支上，且 $F_1P=F_2P=c$，则 $\frac{c^2}{a^2-b^2}$ 的值为：A。$1$ B。$\frac{1}{2}$ C。$\frac{1}{3}$ D。$\frac{1}{4}$
答案】B 解析】根据双曲线的性质求出 $c$ 的值，结合向量垂直和向量和的几何意义进行转化求解即可。 点睛】本题主要考查双曲线性质的意义，根据向量垂直和向量和的几何意义是解决本题的关键。 2.设 $F_1(-1,0),F_2(1,0)$ 是双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}- \frac{y^2}{b^2}=1$ 的左右焦点，$A(0,b)$ 为左顶点，点 $P$ 为双曲线右支上一点，且 $AP=\frac{a}{2}$，则 $\frac{b^2}{a^2}$ 的值为： A。$1$ B。$\frac{1}{2}$ C。$\frac{1}{3}$ D。$\frac{1}{4}$ 答案】D
解析】先求出双曲线的方程为 $\frac{x^2}{a^2}- \frac{y^2}{b^2}=1$，再求出点 $P$ 的坐标，最后求 $\frac{b^2}{a^2}$。 点睛】本题主要考查双曲线的几何性质和向量的数量积运算，考查双曲线方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力。双曲线的通径为 $2a$。 3.已知直线$l$ 的倾斜角为$\theta$，且$l: y=x\tan\theta$，直线 $l$ 与双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左、右两支分别交于 $A,B$ 两点，$OA\perp$轴， $OB\perp$轴（其中 $O$、$F_1,F_2$ 分别为双曲线的坐标原点、左、右焦点），则该双曲线的离心率为： A。$\frac{\sqrt{3}}{2}$ B。$\frac{\sqrt{2}}{2}$ C。$\frac{1}{2}$ D。$\frac{\sqrt{5}}{4}$ 答案】D
双曲线(知识点讲解)高考数学一轮复习(新教材新高考)(解析版)
专题9.4 双曲线（知识点讲解） 【知识框架】 【核心素养】 1.考查双曲线的定义，求轨迹方程及焦点三角形，凸显数学运算、直观想象的核心素养． 2.考查双曲线几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)，结合几何量的计算，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养． 3.考查直线与双曲线的位置关系，凸显逻辑推理、数学运算、数学应用的核心素养． 【知识点展示】 （一）双曲线的定义及标准方程 1．双曲线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线 (1)在平面内； (2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值； (3)这一定值一定要小于两定点的距离． 2．双曲线的标准方程
标准方程 x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2 b 2 ＝1(a >0，b >0) 图形 （二）双曲线的几何性质 双曲线的几何性质 标准方程 x 2a 2－y 2 b 2 ＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2 b 2 ＝1(a >0，b >0) 图形 性质 范围 x ≥a 或x ≤－a ，y ∈R x ∈R ，y ≤－a 或y ≥a 对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点 A 1(－a,0)，A 2(a,0) A 1(0，－a )，A 2(0，a ) 渐近线 y ＝±b a x y ＝±a b x 离心率 e ＝c a ，e ∈(1，＋∞)，其中c ＝a 2＋b 2 实虚轴 线段A 1A 2叫作双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝2a ；线段B 1B 2叫作双曲线的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ；a 叫作双曲线的实半轴长，b 叫作双曲线的虚半轴长． a 、 b 、 c 的关系 c 2＝a 2＋b 2(c >a >0，c >b >0) （三）常用结论 1.等轴双曲线及性质 (1)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程可写作：x 2－y 2＝λ(λ≠0)． (2)等轴双曲线⇔离心率e ＝2⇔两条渐近线y ＝±x 相互垂直． 2．双曲线中的几个常用结论 (1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b . (2)若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a . (3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b 2 a ，异支的弦中最短的为实轴，其长
(完整版)双曲线经典知识点总结
双曲线知识点总结班级姓名 知识点一：双曲线的定义在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0 且）的动点的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距. 注意：1. 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； 2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 3. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； 4．若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； 5．若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。 知识点二：双曲线的标准方程 1．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中； 2．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中. 注意：1．只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到双曲线的标准方程； 2．在双曲线的两种标准方程中，都有； 3．双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上.当的系数为正时，焦点在轴上， 双曲线的焦点坐标为，；当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为， . 知识点三：双曲线的简单几何性质 双曲线（a＞0，b＞0）的简单几何性质 （1）对称性：对于双曲线标准方程（a＞0，b＞0），把x换成― x，或把y换成―y，或把x、y同时换成―x、―y，方程都不变，所以双曲线（a＞0，b ＞0）是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。 （2）范围：双曲线上所有的点都在两条平行直线x=―a和x=a的两侧，是无限延伸的。因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a或x≥a。（3）顶点：①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。 ②双曲线（a＞0，b＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A1（―a，0），A2（a，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。 ③两个顶点间的线段A1A2叫作双曲线的实轴；设B1（0，―b），B2（0，b）为y轴上的两个点，则线段B1B2叫做双曲线的虚轴。实轴和虚轴的长度分别为|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长。 注意：①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆。 ②双曲线的焦点总在实轴上。③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。 （4）离心率：①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e表示，记作。 ②因为c＞a＞0，所以双曲线的离心率。由c2=a2+b2，可得， 所以决定双曲线的开口大小，越大，e也越大，双曲线开口就越开阔。所以离心率可以用来表示 双曲线开口的大小程度。③等轴双曲线，所以离心率。 （5）渐近线：经过点A2、A1作y轴的平行线x=±a，经过点B1、B2作x轴的平行线y=±b，四条直线 围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是，我们把直线叫做双曲线的渐近线。 注意：双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交。 知识点四：双曲线与的区别和联系 标准方程 图形 性质 焦点，， 焦距 范围，，
双曲线的几何性质同步练习-山东师范大学附属中学2021-2022学年高二上学期数学人教A版
基础知识精练 知识点1 由双曲线方程探究其简单性质 1、如图，双曲线C ： 110 9 2 2 =y x 的左焦点为1F ，双曲线上的点1P 与2P 关于y 轴对称，则||||1112F P F P 的 值是（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 2、双曲线 116 9 2 2 =y x 的左顶点与右焦点的距离为（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 8 3、在平面直角坐标系中，双曲线的中心在坐标原点，焦点在y 轴上，一条渐近线的方程为02=y x ，则 它的离心率为（ ） A. 5 B. 2 5 C. 3 D. 2 4、双曲线12 2=+y mx 的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m 的值为（ ） A. 4 1 B. -4 C. 4 D. 4 1 5、在平面直角坐标系中，双曲线 14 2 2 2 =+m y m x 的离心率为5，则m 的值为（ ）。 6、已知双曲线的方程是14491622 =y x 。
（1）求此双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程； （2）21,F F 为双曲线的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足32||||21=•PF PF ，求21PF F ∠的大小。 知识点2 由双曲线的性质探求其方程 7、已知双曲线C ：)0,0(12 2 2 2>>=b a b y a x 的焦距为10，点P （2,1）在C 的渐近线上，则双曲线C 的方程为（ ） A. 15202 2=y x B. 120522=y x C. 1208022 =y x D. 180 202 2 =y x 8、已知双曲线)0,0(122 2 2 >>=b a b y a x 的一个焦点为)0,52(F ，且离心率2 5=e ，则双曲线的标准方 程为（ ）。 9、求满足下列条件的双曲线的标准方程。 （1）双曲线过点)29,3(，离心率3 10 = e ； （2）过点P （2，-1），渐近线方程是y=±3x ； （3）与双曲线 13 42 2=x y 有相同的渐近线，且经过点M （3，-2）； （4）与椭圆 116 252 2=+x y 有公共焦点，且过点)10,2(。
高中数学第二章2.2双曲线2.2.3双曲线的简单几何性质(1)课时作业(含解析)新人教A版选修1_1
课时作业16 一、选择题 1．[2013·福建高考]双曲线x 2 －y 2 ＝1的顶点到其渐近线的距离等于( ) A. 12 B. 22 C. 1 D. 2 解析：本题主要考查双曲线的性质和点到直线的距离公式．双曲线x 2 －y 2 ＝1的渐近线为x ±y ＝0，顶点坐标为(±1,0)，故顶点到渐近线的距离为 2 2 ，故选B. 答案：B 2．[2014·甘肃省兰州一中期末考试]以直线3x ±y ＝0为渐近线，一个焦点坐标为 F (0,2)的双曲线方程是( ) A. x 23－y 2 ＝－1 B. x 2 －y 2 3＝1 C. x 2 3 －y 2 ＝1 D. x 2 －y 2 3 ＝－1 解析：本题主要考查双曲线的简单几何性质及其标准方程的求法．一个焦点坐标为(0,2)，说明双曲线的焦点在y 轴上．因为渐近线方程为3x ±y ＝0，所以可设双曲线方程 为y 2 －3x 2 ＝λ(λ>0)，即y 2λ－x 2λ3 ＝1,22＝λ＋λ3＝4，解得λ＝3，所以双曲线方程为x 2 － y 23 ＝－1，故选D. 答案：D 3．双曲线的渐近线为y ＝±3 4x ，则双曲线的离心率是( ) A.54 B ．2 C.54或53 D. 52或153 解析：若双曲线焦点在x 轴上，∴b a ＝3 4 . ∴e ＝ 1＋b 2a 2＝1＋916＝2516＝54 . 若双曲线的焦点在y 轴上，
∴a b ＝34，b a ＝43 . ∴e ＝1＋b 2a 2＝1＋169＝ 259＝53 . 答案：C 4．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( ) A. 2 B. 3 C ．2 D ．3 解析：设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，焦点F (－c,0)，将x ＝－c 代入x 2a 2－y 2 b 2＝1可得 y 2 ＝b 4a 2，所以|AB |＝2×b 2 a ＝2×2a . ∴b 2＝2a 2，c 2＝a 2＋b 2＝3a 2 ，∴e ＝c a ＝ 3. 答案：B 二、填空题 5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，焦点与椭圆x 225＋y 2 9 ＝1的焦点相同， 那么双曲线的焦点坐标为__________；渐近线方程为__________． 解析：椭圆的焦点坐标为(4,0)，(－4,0)， 故c ＝4，且满足c a ＝2， 故a ＝2，b ＝c 2 －a 2 ＝2 3. 所以双曲线的渐近线方程为 y ＝±b a x ＝±3x . 答案：(4,0)，(－4,0) y ＝±3x 6．已知点(2,3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)上，C 的焦距为4，则它的离心率为 ________． 解析：根据点(2,3)在双曲线上，可以很容易建立一个关于a ，b 的等式，即4a 2－9 b 2＝1. 考虑到焦距为4，可得到一个关于c 的等式，2c ＝4，即c ＝2.再加上a 2＋b 2＝c 2 ，可以解出 a ＝1， b ＝3， c ＝2，所以离心率e ＝2. 答案：2
新教材高考数学第三章圆锥曲线的方程2-2双曲线的简单几何性质分层练习含解析新人教A版选择性必修第一册
双曲线的简单几何性质 基础练 巩固新知夯实基础 1.已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 2 12 ＝1 B. x 212－y 2 4 ＝1 C.x 210－y 2 6 ＝1 D.x 26－y 2 10 ＝1 2.双曲线3x 2 －y 2 ＝3的渐近线方程是( ) A.y ＝±3x B.y ＝±1 3 x C.y ＝±3x D.y ＝± 33 x 3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则双曲线C 的方程为( ) A ．x 220－y 2 5＝1 B ．x 25－y 2 20＝1 C ．x 2 80－y 220 ＝1 D ．x 220－y 2 80 ＝1 4．已知双曲线C ：x 2 3 －y 2 ＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为 M ，N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝( ) A ．32 B ．3 C ．2 3 D ．4 5.已知双曲线C 的焦点、顶点恰好分别是椭圆x 225＋y 2 16＝1的长轴端点、焦点，则双曲线C 的渐近线方程为 ______. 6．若双曲线x 2 －y 2 m ＝1的离心率为3，则实数m ＝________，渐近线方程是________． 7．以y ＝±x 为渐近线且经过点(2,0)的双曲线方程为________． 8.已知双曲线的一条渐近线为x ＋3y ＝0，且与椭圆x 2 ＋4y 2 ＝64有相同的焦距，求双曲线的标准方程. 能力练
综合应用核心素养 9．若实数k 满足0＜k ＜5，则曲线x 216－y 25－k ＝1与曲线x 216－k －y 2 5＝1的( ) A ．实半轴长相等 B ．虚半轴相等 C ．离心率相等 D ．焦距相等 10．(多选题)关于双曲线C 1：4x 2 －9y 2 ＝－36与双曲线C 2：4x 2 －9y 2 ＝36的说法正确的是( ) A ．有相同的焦点B ．有相同的焦距 C ．有相同的离心率D ．有相同的渐近线 11．若a >1，则双曲线x 2a 2－y 2 ＝1的离心率的取值范围是( ) A ．(2，＋∞)B．(2，2)C ．(1，2) D ．(1,2) 12.已知F 是双曲线C ：x 24－y 2 5＝1的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点.若|OP |＝|OF |，则△OPF 的面积 为( ) A.32 B.52 C.72 D.92 13．过双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1的右焦点F 2作垂直于实轴的弦PQ ，F 1是左焦点，若∠PF 1Q ＝90°，则双曲线的离心 率是( ) A ．2 B ．1＋2 C ．2＋ 2 D ．3－ 2 14.双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为________. 15.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2 －y 2 b 2＝1(b >0)经过点(3，4)，则该双曲线的渐近线方程是________. 16. 已知椭圆x 26＋y 22＝1与双曲线x 2 3－y 2 ＝1的公共焦点为左焦点F 1，右焦点F 2，点P 是两条曲线在第一象限 内的一个公共点，则|PF 1|＝________，cos∠F 1PF 2的值为________． 17.已知圆M ：x 2 ＋(y －5)2 ＝9，双曲线G 与椭圆C ：x 250＋y 2 25＝1有相同的焦点，它的两条渐近线恰好与圆M 相切，求双曲线G 的方程. 18．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点是F (2,0)，离心率e ＝2. (1)求双曲线C 的方程； (2)若斜率为1的直线l 与双曲线C 交于两个不同的点M ，N ，线段MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l 的方程．
高中数学人教A版选修2-1学业测评：2.3.2 双曲线的简单几何性质 Word版含解析
学业分层测评 (建议用时：45分钟) [学业达标] 一、选择题 1．等轴双曲线的一个焦点是F 1(－6，0)，则它的标准方程是( ) A.y 218－x 2 18＝1 B.x 218－y 2 18＝1 C.x 28－y 2 8＝1 D.y 28－x 2 8＝1 【解析】 设等轴双曲线方程为x 2a 2－y 2 a 2＝1(a ＞0)， ∴a 2 ＋a 2 ＝62 ，∴a 2 ＝18，故双曲线方程为x 218－y 2 18＝1. 【答案】 B 2．已知双曲线方程为x 2 －y 2 4＝1，过P (1，0)的直线l 与双曲线只 有一个公共点，则共有l ( ) A ．4条 B ．3条 C ．2条 D ．1条 【解析】 因为双曲线方程为x 2－y 24＝1，所以P (1，0)是双曲线 的右顶点，所以过P (1，0)并且和x 轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外还有两条就是过点P (1，0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的共有3条，故选B. 【答案】 B
3．双曲线C ：x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则双曲线C 的焦距等于( ) 【导学号：18490063】 A ．2 B ．2 2 C ．4 D ．4 2 【解析】 由已知得e ＝c a ＝2，所以a ＝1 2c ，故b ＝ c 2－a 2＝3 2 c ，从而双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±3x ，由焦点到渐近线的距离为3，得3 2c ＝3，解得c ＝2，故2c ＝4，故选C. 【答案】 C 4．若实数k 满足0
2021_2022学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的几何性质讲义苏教版选修2_1
2.3.2 双曲线的几何性质 学习目标核心素养 1.了解双曲线的简单几何性质．(重点) 2.会求双曲线的渐近线、离心率、顶点、焦点坐标等．(重点) 3.知道椭圆与双曲线几何性质的区别.1.通过双曲线性质的学习，提升直观想象素养． 2.借助性质的应用，提升数学运算素养. 1．双曲线的简单几何性质 标准方程 x2 a2 － y2 b2 ＝1 (a＞0，b＞0) y2 a2 － x2 b2 ＝1 (a＞0，b＞0) 性质 图形 焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距2c 范围 x≤－a或x≥a， y∈R y≤－a或y≥a， x∈R 对称轴x轴，y轴 对称中心原点 顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a) 轴 实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b；实半轴 长：a，虚半轴长：b 离心率e＝ c a ∈(1，＋∞) 渐近线y＝± b a x y＝± a b x (1)实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线． (2)性质：①等轴双曲线的离心率e＝2；
②等轴双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，它们互相垂直． 思考：(1)渐近线一样的双曲线是同一条双曲线吗？ (2)双曲线的离心率和渐近线的斜率有怎样的关系？ [提示] (1)渐近线一样的双曲线有无数条，但它们实轴与虚轴的长的比值一样． (2)e 2 ＝c 2a 2＝1＋b 2a 2，b a 是渐近线的斜率或其倒数． 1．双曲线x 24－y 2 9＝1的渐近线方程是( ) A ．y ＝±2 3x B ．y ＝±4 9x C ．y ＝±3 2 x D ．y ＝±9 4 x C [双曲线的焦点在x 轴上，且a ＝2，b ＝3，因此渐近线方程为y ＝±3 2x .] 2．双曲线x 2 16－y 2 ＝1的顶点坐标是( ) A ．(4,0)，(0,1) B ．(－4,0)，(4,0) C ．(0,1)，(0，－1) D ．(－4,0)，(0，－1) B [由题意知，双曲线的焦点在x 轴上，且a ＝4，因此双曲线的顶点坐标是(－4,0)，(4,0)．] 3．假设双曲线x 24－y 2m ＝1(m ＞0)的渐近线方程为y ＝±3 2 x ，那么双曲线的焦点坐标是 ________． (－7，0)，(7，0) [由双曲线方程得出其渐近线方程为y ＝±m 2 x ，∴m ＝3，求得双 曲线方程为x 24－y 2 3 ＝1，从而得到焦点坐标为(－7，0)，(7，0)．] 4．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝4 3 x ，那么双曲线的离心率为 ________． 53 [因为渐近线方程为y ＝43x ，所以b a ＝4 3， 所以离心率e ＝c a ＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝53 .]
2.2.2双曲线的简单几何性质(含答案)
2.2.2 双曲线的简单几何性质 课时目标 1.掌握双曲线的简单几何性质.2.了解双曲线的渐近性及渐近线的概念.3.掌握直线与双曲线的位置关系． 1．双曲线的几何性质 标准方程 x 2a 2－y 2 b 2 ＝1 (a >0，b >0) y 2a 2－x 2 b 2 ＝1 (a >0，b >0) 图形 性 质 焦点 焦距 范围 对称性 顶点 轴长 实轴长＝______，虚轴长＝______ 离心率 渐近线 2.直线与双曲线 一般地，设直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0) ① 双曲线C ：x 2a 2－y 2 b 2＝1 (a >0，b >0) ② 把①代入②得(b 2－a 2k 2)x 2－2a 2mkx －a 2m 2－a 2b 2＝0. (1)当b 2－a 2k 2＝0，即k ＝±b a 时，直线l 与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线C 相交于 ________． (2)当b 2－a 2k 2≠0，即k ≠±b a 时， Δ＝(－2a 2mk )2－4(b 2－a 2k 2)(－a 2m 2－a 2b 2)． Δ>0⇒直线与双曲线有________公共点，此时称直线与双曲线相交； Δ＝0⇒直线与双曲线有________公共点，此时称直线与双曲线相切； Δ<0⇒直线与双曲线________公共点，此时称直线与双曲线相离． 一、选择题 1．下列曲线中离心率为 6 2 的是( ) A ．x 22－y 24＝1 B ．x 24－y 2 2＝1 C ．x 24－y 26＝1 D ．x 24－y 2 10 ＝1 2．双曲线x 225－y 24＝1的渐近线方程是( )
A ．y ＝±25x B ．y ＝±5 2x C ．y ＝±425x D ．y ＝±25 4 x 3．双曲线与椭圆4x 2＋y 2＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y ＝2x ，则双曲线的方程为( ) A ．2x 2－4y 2＝1 B ．2x 2－4y 2＝2 C ．2y 2－4x 2＝1 D ．2y 2－4x 2＝3 4．设双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程 为( ) A ．y ＝±2x B ．y ＝±2x C ．y ＝±22x D ．y ＝±1 2 x 5．直线l 过点(2，0)且与双曲线x 2－y 2＝2仅有一个公共点，则这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 6．已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1 (a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支 上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为( ) A.43 B.53 C ．2 D.73 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题 7．两个正数a 、b 的等差中项是52，一个等比中项是6，且a >b ，则双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1 的离心率e ＝______. 8．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，且a ＝10，c －b ＝6，则顶点A 运动的轨迹方程是________________． 9．与双曲线x 29－y 2 16 ＝1有共同的渐近线，并且经过点(－3，23)的双曲线方程为 __________． 三、解答题 10．根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)经过点⎝⎛⎭⎫ 154，3，且一条渐近线为4x ＋3y ＝0； (2)P (0,6)与两个焦点连线互相垂直，与两个顶点连线的夹角为π 3 . 11．设双曲线x 2 －y 22 ＝1上两点A 、B ，AB 中点M (1，2)，求直线AB 的方程． 能力提升 12．设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( ) A ． 2 B ． 3
2021_2022学年新教材高中数学第二章平面解析几何2.6.1双曲线的标准方程学案含解析新人教B版
2．6 双曲线及其方程 2.6.1 双曲线的标准方程 必备知识·自主学习 导思 1.双曲线的定义是什么？ 2．双曲线的标准方程有哪些？ 1.双曲线的定义 如果F 1，F 2是平面内的两个定点，a 是一个正常数，且2a ＜|F 1F 2|，则平面上满足||PF 1|－|PF 2||＝2a 的动点P 的轨迹称为双曲线，其中，两个定点F 1，F 2称为双曲线的焦点，两个焦点的距离|F 1F 2|称为双曲线的焦距． (1)如何理解“绝对值”？ 提示：若将“绝对值”去掉，其余条件不变，则动点的轨迹只有双曲线的一支． (2)把“小于|F 1F 2|”改为“等于|F 1F 2|”或“大于|F 1F 2|”或常数为0，结果如何？ 提示：①若将“小于|F 1F 2|”改为“等于|F 1F 2|”，其余条件不变，则动点轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线(包括端点)；②若将“小于|F 1F 2|”改为“大于|F 1F 2|”，其余条件不变，则动点轨迹不存在．③若常数为零，其余条件不变，则点的轨迹是线段F 1F 2的中垂线． 2．双曲线的标准方程 焦点所在的坐标轴 x 轴 y 轴 标准方程 x 2a 2 －y 2 b 2 =1 (a>0,b>0) y 2 a 2 －x 2 b 2 ＝1 (a>0,b>0) 图形
焦点坐标 F 1(-c,0),F 2(c,0) F 1(0,-c),F 2(0,c) a,b,c 的关系式 a 2 +b 2 =c 2 如何从双曲线的标准方程判断焦点的位置？ 提示：焦点F 1，F 2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x 2项的系数为正，则焦点在x 轴上；若y 2项的系数为正，则焦点在y 轴上． 1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”). (1)在双曲线标准方程中，a ，b ，c 之间的关系与椭圆中a ，b ，c 之间的关系相同．( ) (2)点A(1，0)，B(－1，0)，若|AC|－|BC|＝2，则点C 的轨迹是双曲线．( ) (3)双曲线x 2 a 2 －y 2 b 2 ＝1的焦点在x 轴上，且a>b.( ) 提示：(1)×.双曲线中b 2＝c 2－a 2，椭圆中b 2＝a 2－c 2. (2)×.因为|AB|＝2＝|AC|－|BC|，所以C 点的轨迹是两条射线． (3)×.在双曲线x 2 a 2 －y 2 b 2 ＝1中，焦点在x 轴上，且a>0，b>0，但是不一定a>b. 2．(教材例题改编)设动点M 到点A ()0，－5 的距离与它到点B ()0，5 的距离的差等于6，则M 点的轨迹方程是( ) A ．x 2 9 －y 2 16 ＝1 B ．y 2 9 －x 2 16 ＝1 C ．y 2 9 －x 2 16 ＝1()y>0 D ．x 2 9 －y 2 16 ＝1()x>0 【解析】选C.因为||MA|－|MB||＝6<10＝|AB|， 所以M 点轨迹是焦点在y 轴上的双曲线的上半支， 其中a ＝3，c ＝5，所以b 2＝ c 2－a 2 ＝4， 所以M 点轨迹方程为y 29 －x 2 16 ＝1() y>0 . 3．已知圆C ：x 2＋y 2 －6x －4y ＋8＝0，以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则所得双曲线的标准方程为________. 【解析】令x ＝0，得y 2－4y ＋8＝0，方程无解，即该圆与y 轴无交点．