有理数的乘方及混合运算
人教版数学七年级上册 有理数的乘方及混合运算
有理数的乘方及混合运算（基础）【要点梳理】要点一、有理数的乘方定义：求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power )． 即有：n a a a a n ⋅⋅⋅=个.在na 中，a 叫做底数， n 叫做指数. 要点诠释：（1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果．（2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来．（3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51，指数1通常省略不写． 要点二、乘方运算的符号法则（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，即 ． 要点诠释：(1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值．(2)任何数的偶次幂都是非负数．要点三、有理数的混合运算有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．要点诠释：(1)有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方和开方(以后学习)是第三级运算；（2）在含有多重括号的混合运算中，有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺序进行．(3)在运算过程中注意运算律的运用．【典型例题】类型一、有理数乘方1. 把下列各式写成幂的形式：(1)22225555⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯+⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； (2)(-3.7)×(-3.7)×(-3.7)×(-3.7)×5×5；(3)xxxxxxyy ．2．计算：（1）3(4)-（2）（3）（4）（5）⎛⎫⎪⎝⎭335（6）335（7）22×3（）（8）22×3举一反三：【变式1】计算：(1)(-4)4(2)23(3)225⎛⎫⎪⎝⎭(4)(-1.5)2【变式2】（2015•长沙模拟）比较（﹣4）3和﹣43，下列说法正确的是（）A．它们底数相同，指数也相同B．它们底数相同，但指数不相同C．它们所表示的意义相同，但运算结果不相同D．虽然它们底数不同，但运算结果相同类型二、乘方的符号法则3．不做运算，判断下列各运算结果的符号．(-2)7，(-3)24，(-1.0009)2009，553⎛⎫⎪⎝⎭，-(-2)2010 34-4(3)-43-举一反三：【变式】计算：(-1)2009的结果是( )．A ．-lB ．1C ．-2009D ．2009类型三、有理数的混合运算4.计算： （1）()⎡⎤⎛⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦211-1-0.5××2--33（2）()⎡⎤⎣⎦341-1-×2--36 （3）3201111(1+-2.75)×(-24)+(-1)--238（4）33211-+|-2-3|(-0.1)(-0.2)举一反三：【变式1】计算：4211(10.5)[2(3)]3---⨯---【变式2】计算：2421(2)(4)12⎛⎫-÷-⨯- ⎪⎝⎭5. 20032004(2)(2)-+-= （ ）（A ）2- （B ）4007(2)- （C ）20032 （D ）20032-举一反三： 【变式】计算：7734()()43-⨯-【巩固练习】一、选择题1．（2015•郴州）计算（﹣3）2的结果是（ ）A ．﹣6B ． 6C ． ﹣9D ． 92.下列说法中，正确的是（ ）A ．一个数的平方一定大于这个数；B ．一个数的平方一定是正数；C ．一个数的平方一定小于这个数；D ．一个数的平方不可能是负数.3.下列各组数中，计算结果相等的是 ( )．A ．-23与(-2)3B ．-22与(-2)2C ．22()5与225D ．(2)--与2-- 4．式子345-的意义是 （ ） A. 4与5商的立方的相反数 B.4的立方与5的商的相反数 C.4的立方的相反数除5 D.45-的立方 5．计算(-1)2+(-1)3＝( )A ．-2B ．- 1C ．0D ．26．观察下列等式：71=7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，76＝117649…由此可判断7100的个位数字是( ) ．A ．7B ．9C ．3D ．17．一根1米长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此下去，第6次后剩下的绳子的长度为( ) ．A ．312⎛⎫ ⎪⎝⎭米B ．512⎛⎫ ⎪⎝⎭米C ．612⎛⎫ ⎪⎝⎭米D ．1212⎛⎫ ⎪⎝⎭米二、填空题8．在(-2)4中，指数是________，底数是________，在-23中，指数是________，底数是________，在225中底数是________，指数是________． 9.（2015•湖州）计算：23×（）2= ． 10.()3--= ；52-= ；313⎛⎫-- ⎪⎝⎭= ；225= ． 11. 3[(3)]_______---=,233(2)_______-⨯-=12．213____+= ， 2135_____++=，21357_____+++= ，……，从而猜想：135+++……22005_____+=.13. 21(2)________3-=三、解答题14.（2014秋•渭城区校级期末）﹣23+（﹣3）2﹣32×（﹣2）2．15. 已知x 的倒数和绝对值都是它本身，y 、z 是有理数，并且2|3|(23)0y x z +++=，求32525x yz x y --+-的值．。
有理数的乘方和混合运算
有理数的乘方和混合运算 【知识点一：有理数的乘方】求几个相同因数的积的运算叫做乘方．乘方的结果叫幂（power ）． 要点诠释：（1）、一般地，n 个a 相乘，即记作，其中a 叫底数，n 叫指数，叫做a 的n次幂或a 的n 次方，用图表示为：（2）、乘方的运算：乘方是利用乘法来定义的．乘方是乘法的特例，所以乘方的运算可以利用乘法的运算来进行． （3）、乘方运算的符号法则：①正数的任何次幂都是正数；②负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；③任何一个数的偶次幂都是非负数，如．（4）、乘方的性质（1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数。
（2）正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。
（5）、做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序： 1.先乘方，再乘除，最后加减； 2.同级运算，从左到右进行；3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。
巩固练习1、乘方的意义（1）在中，指数是____，底数是____。
（2）在中，指数是 ，底数是_____。
（3）在中，指数是________，底数是________。
2、有理数乘方180= =25 =-3)2( =31.0=-4)10( =-2)2.0( =-2)3.0( =-2)211(3、 有理数的混合运算=---1110)1()1( =-⨯-33)21(2 =-⨯-22)41(4=-÷-)10()10(33 =-÷-)5()5(22 222)4(52-⨯⨯-=4、(－2)6中指数为 ，底数为 ；4的底数是 ，指数是 ；523⎪⎭⎫⎝⎛-的底数是 ，指数是 ，结果是 ；5、根据幂的意义，(－3)4表示 ，－43表示 ；754.-⎛⎝ ⎫⎭⎪125b m6、平方等于641的数是 ，立方等于641的数是 ；【知识点二：有理数混合运算】有理数混合运算的运算顺序规定如下： ①先算乘方，再算乘除，最后算加减； ②同级运算，按照从左至右的顺序进行；③如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的。
有理数的乘方混合运算及科学记数法(基础
有理数的乘方、混合运算及科学记数法（基础）一、目标与策略明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标：●理解有理数乘方的定义； ● 掌握有理数乘方运算的符号法则，并能熟练进行乘方运算；●进一步掌握有理数的混合运算； ● 会用科学记数法表示大数.学习策略：●有理数的乘法运算是学习有理数的乘方的基础； ● 有理数的混合运算中包含有理数的加减、乘除及其乘方运算，注意运算的顺序和运算的正确性。
二、学习与应用1、奇数个正因数相乘结果为，奇数个负因数相乘结果为，偶数个正因数相乘结果为，偶数个负因数相乘结果为，任何个0因数相乘结果都为。
2、有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后；(2)同级运算，从进行；(3)如有括号，先做的运算，按小括号、、大括号依次进行。
3、计算(1)-8+4÷(-2)； (2)6-(-12)÷(-3)；(3)3×(-4)+(-28)÷7； (4)(-7)×(-5)-90÷(-15)；（5）—5×5×5×（-5）×[-(+5)]；（6）)21()21()21(21-⨯-⨯-⨯-.“凡事预则立，不预则废”．科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对要点梳理——预习和课堂学习认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听知识回顾——复习学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？【要点梳理】要点一、有理数的乘方定义：求n 个因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做 幂(power)． 即有：n a a a a n ⨯⨯⋅⋅⋅⨯=个。
在n a 中，a 叫做， n 叫做.要点诠释：（1）乘方与幂不同，乘方是几个的乘法运算，是乘方运算的结果．（2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来．（3）一个数可以看作这个数本身的．例如，5就是51，指数1通常省略不写．要点二、乘方运算的符号法则（1）正数的任何次幂都是；（2）负数的奇次幂是，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）任何一个数的偶次幂都是，即． 要点诠释：(1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定的符号，然后再计算幂的．(2)任何数的偶次幂都是．要点三、有理数的混合运算有理数混合运算的顺序：(1)先，再，最后；(2)同级运算，从到进行；(3)如有括号，先做的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．要点诠释：(1)有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，是第一级运算，是第二级运算，和开方(以后学习)是第三级运算；（2）在含有多重括号的混合运算中，有时根据式子特点也可按括号、括号、括号的顺序进行．(3)在运算过程中注意运算律的运用．要点四、科学记数法把一个大于10的数表示成的形式（其中a 是整数数位只有的数，l ≤|a |<10，n 是正整数），这种记数法叫做，如42000000＝74.210⨯.要点诠释：（1） 负数也可以用科学记数法表示，“-”照写，其它与正数一样，如-3000=3310-⨯；（2） 把一个数写成10n a ⨯形式时，若这个数是大于10的数，则n 比这个数的整数位数少1典型例题——自主学习 认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完类型一、有理数乘方例1．计算：（1）3(4)-（2）34-（3）4(3)-（4）43-（5）⎛⎫⎪⎝⎭335（6）335（7）22×3（）（8）22×3【总结升华】.举一反三【变式】比较(-5)3与-53的异同．类型二、乘方的符号法则例2．不做运算，判断下列各运算结果的符号．(-2)7，(-3)24，(-1.0009)2009，553⎛⎫⎪⎝⎭，-(-2)2010【总结升华】.类型三、有理数的混合运算例3.计算：（1）()⎡⎤⎛⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦211-1-0.5××2--33（2）()⎡⎤⎣⎦341-1-×2--36（3）3201111(1+-2.75)×(-24)+(-1)--238（4）33211-+|-2-3|(-0.1)(-0.2)【总结升华】.举一反三 【变式】计算：4211(10.5)[2(3)]3---⨯---类型四、科学记数法例4.用科学记数法表示：(1)3870000000；（2）3000亿；（3）287.6-【总结升华】.举一反三：【变式】据宁波市统计局公布的第六次人口普查数据，本市常住人口760.57万人，其中760.57万人用科学记数法表示为 （ ）A ．7.605 7×510人B ．7.605 7×610人C ．7.605 7×710人D ． 0.760 57×710人例5. 把下列用科学记数法表示的数转化成原数.（1）33.1410⨯； （2）71.73210-⨯； （3）61.39210⨯千M【总结升华】.例5.20032004(2)(2)-+-=（）（A ）2-（B ）4007(2)-（C ）20032（D ）20032-【总结升华】.类型五、探索规律例6.你见过拉面馆的师傅拉面吗？他们用一根粗的面条，第1次把两头捏在一起抻拉得到两根面条，再把两头捏在一起抻拉，反复数次，就能拉出许多根细面条，如下图，第3次捏合抻拉得到根面条，第5次捏合抻拉得到根面条，第n次捏合抻拉得到根面条，要想得到64根细面条，需次捏合抻拉。
七年级第二章有理数的乘方及混合运算
专题04 有理数的乘方及混合运算知识网络重难突破知识点一有理数的乘方1.乘方：求几个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂，在n a中，a叫做底数，n叫做指数.2. 乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0【典例1】（2020秋•二七区校级月考）下列各组数中，数值相等的是（）A．﹣22和（﹣2）2B．﹣和（﹣）2C．（﹣2）2和22D．﹣（﹣）2和﹣【变式训练】1．（2020•金华模拟）﹣32的结果等于（）A．9B．﹣9C．﹣1D．﹣62．（2020春•南岗区校级月考）下列计算正确的是（）A．（﹣）2＝B．23＝2×3＝6C．﹣32＝﹣3×（﹣3）＝9D．﹣23＝﹣83.（2019秋•邗江区校级期末）平方等于36的数与立方等于﹣64的数的和是．4.（2020春•定边县期末）若|y﹣3|+（3x﹣2y）2＝0，则（﹣y）x＝．知识点二科学记数法1.把一个数表示成a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）的形式叫做科学记数法.．2.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．【典例2】（2020•深圳模拟）据报道，我国2019年粮食总产量约6.64亿吨，6.64亿用科学记数法表示应为（）A．6.64×107B．6.64×108C．0.664×109D．66.4×107【变式训练】（2020•太原二模）2020年5月20日是第三个“世界蜜蜂日”．蜜蜂不仅给人类带来了蜂蜜等营养品，在保护生物多样性、维持生态平衡方面也发挥着重要作用．据统计，一只蜜蜂飞行一次，可为约100朵花授粉．若一只蜜蜂一天出巢10次，2.5万只蜜蜂一天可完成授粉的花朵总数用科学记数法表示约为（）A．2.5×103朵B．2.5×104朵C．2.5×107朵D．0.25×108朵知识点三近似数1.准确数与近似数：与实际完全符合的数称为准确数；与实际接近的数称为近似数.2.一个近似数的精确度可用四舍五入法表述.一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.【典例3】（2019秋•上蔡县期末）用四舍五入法按要求对下列各数取近似值，其中描述错误的是（）A．0.67596（精确到0.01）≈0.68B．近似数169.8精确到个位，结果可表示为170C．近似数0.05049精确到0.1，结果可表示为0.1D．近似数9.60×106是精确到百分位【变式训练】1.（2019秋•广安期末）下列说法正确的是（）A．将310万用科学记数法表示为3.1×10⁷B．用四舍五入法将1.097精确到百分位为1.10C．近似数2.3与2.30精确度相同D．若用科学记数法表示的数为2.01×10⁵，则其原数为201002.（2019秋•曲靖期末）已知a＝20.18是由四舍五入得到的近似数，则a的可能取值范围是（）A．20.175≤a≤20.185B．20.175≤a＜20.185C．20.175＜a≤20.185D．20.175＜a＜20.185知识点四有理数的混合运算有理数混合运算法则：1.先算乘方，再算乘除，最后算加减；2. 如果有括号，先进行括号里的运算3. 同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；4.如果有绝对值，要先做绝对值内的运算．【典例4】（2019秋•成华区期末）计算：（1）16÷（﹣2）3﹣（﹣）×（﹣4）+（﹣1）2020；（2）﹣14﹣（1﹣0.5）××[2﹣（﹣3）2]．【变式训练】1．（2019秋•鄄城县期末）在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁，四位同学分别做了一道有理数运算题：甲：9﹣32÷8＝0÷8＝0乙：24÷（4+3）＝6+8＝14丙：（36﹣12）÷＝16丁：（﹣3）2÷×3＝9×3×3＝81你认为做对的同学是（）A．甲乙B．乙丙C．丙丁D．乙丁2．（（2019秋•玉田县期末）现定义一种新的运算：a*b＝（a+b）2÷（b﹣a），例如：1*2＝（1+2）2÷（2﹣1）＝32÷1＝9，请你按以上方法计算（﹣2）*1＝（）A．﹣1B．﹣2C．D．3．（2020秋•朝阳区校级月考）计算：﹣22+（﹣2）2﹣（﹣1）3＝．4.（2019秋•安居区期末）计算（1）6.8﹣（﹣4.2）+（﹣9）﹣|﹣2|；（2）﹣2+（﹣）×（﹣）+÷（﹣）（3）﹣23×（﹣8）﹣（﹣）3×（﹣16）+×（﹣3）2(4)﹣22×（﹣3）÷（）2﹣20×（﹣+）．巩固训练1．（2019秋•山西期末）﹣36的底数是．2．（2019秋•遂宁期末）下列各数中：（﹣11）3，﹣（﹣2）5，﹣（﹣5），（﹣4）2，﹣|﹣3|，负数有个．3.（2020春•松江区期末）截至2020年6月5日，全世界感染新冠肺炎的人数约为6650000人，数字6650000用科学记数法表示，并保留2个有效数字，应记为．4．（2019秋•金乡县期中）已知|a|＝2，|b|＝3，且|a﹣b|＝b﹣a，则a b＝．5．（2019秋•鄂城区期末）若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为，则6a+6b﹣3m2+2cd的值是．6．（2020春•南岗区校级月考）下列各组数中，互为相反数的一组是（）A．（﹣3）2与﹣32B．|﹣3|2与32C．（﹣3）2与32D．﹣|﹣3|2与﹣327.（2019秋•樊城区期末）在快速计算法中，法国的“小九九”从“一一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”算法是完全一样的，而后面“六到九”的运算就改用手势了．如计算8×9时，左手伸出3根手指，右手伸出4根手指，两只手伸出手指数的和为7，未伸出手指数的积为2，则8×9＝10×7+2＝72．那么在计算6×8时，左、右手伸出的手指数应该分别为（）A．1，3B．3，1C．1，4D．4，18．（2020秋•雨花区月考）若|m﹣2|与（n+3）2互为相反数，试求（m+n）2017的值．9．（2019秋•莱西市期中）把下列各数填在表示集合的相应的大括号中：﹣（﹣4），0，，（﹣1）2，﹣0.25，﹣|﹣3|，1.5，﹣12014整数集合{}；分数集合{}；负数集合{}．10.（2019秋•侯马市期末）计算（1）﹣2+（1﹣0.2÷）×（﹣3）；（2）﹣14﹣（1+0.5）××[2﹣（﹣3）2]．(3) [﹣18﹣（）×（﹣18）]÷5﹣3×2311.（2020•隆化县二模）有个写运算符号的游戏：在“3□（2□3）□□2“中的每个□内．填入+，﹣，x，÷中的某一个（可重复使用），然后计算结果（1）请计算琪琪填入符号后得到的算式：3×（2÷3）﹣÷22；（2）嘉嘉填入符号后得到的算式是3÷（2×3）×□22，一不小心擦掉了□里的运算符号，但她知道结果是﹣，请推算□内的符号．12.（2019秋•岳麓区校级期中）我们知道：加、减法运算是互逆运算，乘、除法运算也是互逆运算，乘方运算也有逆运算；如指数式23＝8可以转化为3＝1og28，2＝log525也可以转化为52＝25．一般地，若a n＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为log a b（即log a b＝n）．根据以上信息，解决以下问题：（1）直接填写答案：log24＝，log216＝，log264＝；（2）观察（1）的值有什么关系，你发现了什么结果？（3）根据（2）中的结果，请归纳出一般性的结论并证明．专题测试学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一．选择题1．（2020春•林州市期中）据市场研究公司IDC的数据报告，2020年第1季度全球智能手机出货量为2.578亿部，将数据2.578亿用科学记数法表示为（）A．257.8×106B．2.578×107C．2.578×108D．0.2578×1092．（2020春•南岗区校级月考）用四舍五入法按要求对0.15029分别取近似值，其中错误的是（）A．0.1502 （精确到0.0001）B．0.15 （精确到百分位）C．0.150 （精确到千分位）D．0.2 （精确到0.1）3．（2019秋•江汉区期末）下列各组数中，相等的是（）A．﹣（﹣2）2和﹣（﹣22）B．﹣（﹣2）2和﹣（+2）2C．﹣（﹣2）和﹣|﹣2|D．﹣（﹣2）和﹣（+2）4．（2018秋•安徽期中）下列各式，运算结果为负数的是（）A．﹣（﹣2）﹣（﹣3）B．（﹣2）×（﹣3）C．（﹣2）2D．（﹣3）35．（2019秋•丰台区期末）在“﹣（﹣0.3），﹣+，|﹣1|，（﹣2）2，﹣22”这5个算式中，运算结果为非负有理数的个数是（）A．5B．4C．3D．26．（2020•唐山一模）三位同学在计算：（+﹣）×12，用了不同的方法：小小说：12的，，分别是3，2和6，所以结果应该是3+2﹣6＝﹣1；聪聪说：先计算括号里面的数，+﹣＝﹣，再乘以12得到﹣1；明明说：利用分配律，把12与，，﹣分别相乘得到结果是﹣1对于三个同学的计算方式，下面描述正确的是（）A．三个同学都用了运算律B．聪聪使用了加法结合律C．明明使用了分配律D．小小使用了乘法交换律7．（2020春•南岗区校级月考）下列说法不正确有（）个（1）一个数的平方一定大于这个数；（2）是有理数；（3）一个数的平方一定小于这个数的绝对值；（4）一个数的平方不可能为负数；（5）平方等于本身的数是±1或0．A．1B．2C．3D．48．（2020春•南关区校级期中）按如图的运算程序，能使输出结果为3的x、y的值是（）A．B．C．D．二．填空题9．（2020春•宁阳县期末）8个相乘用幂的形式简写成．10．（2020•河南模拟）计算：（﹣3）2﹣|﹣2|＝．11．的平方是；立方是﹣的数是．12．（2019秋•孝昌县期末）近似数4.02×104精确到位，有个有效数字．13．（2020春•香坊区校级月考）若a与b互为相反数，x与y互为倒数，|m|＝2，则式子|mxy|﹣+的值为．14．（2020秋•沈河区校级月考）一天，甲乙两人利用温差测量山峰的高度，甲在山顶测得温度是﹣1℃，乙此时在山脚测得温度是5℃．已知该地区高度每增加100米，气温大约降低0.6℃，那么这个山峰的高度大约是米．15．（2020春•西工区校级月考）输入x，按如图所示程序进行运算：规定：程序运行到“判断大于313”计为一次运算．若输入的x为8，则程序运算次停止．三．解答题16．（2008秋•邗江区月考）把下列各数填在相应的大括号里：﹣（﹣2）2，，0.86，﹣|﹣2|，﹣（﹣2），0，﹣（﹣1）2007，负整数集合：{ …}；负分数集合：{…}；正分数集合：{…}．17．（2020春•南岗区校级月考）计算：（1）（﹣3）÷（﹣）×0.75×||÷|﹣3|2；（2）﹣32××[（﹣5）2×（﹣）﹣240÷（﹣4）×]．（3）；（4）﹣22﹣（﹣8）÷（﹣2）3﹣（﹣2）×（﹣4）．(5)﹣32×2+（﹣2）3×3﹣48÷（﹣2）(6)[﹣18﹣（）×（﹣18）]÷5﹣3×2318．（2020•上城区校级三模）计算：．小虎同学的计算过程如下：原式＝﹣6+2÷1＝﹣6+2＝﹣4．请你判断小虎的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程．19．（2020春•香坊区校级期中）已知a是平方等于本身的正数，b是立方等于本身的负数，c是相反数等于本身的数，d是绝对值等于本身的数．求（a÷b）2020﹣3ab+2（cd）2121的值．20．（2019秋•金凤区校级期中）如果有理数a、b满足|ab﹣2|+（1﹣b）2＝0，试求…的值．21．（2019秋•东西湖区期中）已知x，y为有理数，定义一种新运算△，其意义是x△y＝xy+（x+y）﹣1，试根据这种运算完成下列各题．（1）求：①2△3；②（4△3）△（﹣2）；。
初一上册-有理数的乘方
精讲提升题型一：有理数乘方 【知识梳理1】1、定义:n 个相同因数a 相乘,即a ·a ·…·a(个),记作a n ,读作a 的n 次方. 求n 个相同因数的积的运算,叫做乘方,乘方的结果叫做幂,在a n中,a 叫做底数,n 叫做指数.读作a 的n 次方或a 的n 次幂.2、运算法则：负数奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数.正数的任何次幂都是正数,0的任何正整数次幂都是0.【例题精讲】例1 判断下列乘方的幂的符号.（1）223- （2）3(0)a a < （3）21(2)n +-例2 计算（1）31(1)2- （2）3(0.75)- （3）4(2)-- （4）23(2)⨯- （5）548(2)÷- （6）32(2)(3)-⨯-解：（1）331327(1)()228-=-=-（2）33327(0.75)()464-=-=- （3）4(2)16--=- （4）23(2)3412⨯-=⨯= （5）5348(2)48(32)2÷-=÷-=- （6）32(2)(3)8972-⨯-=-⨯=-例3 当2a =-，23b =，14c =-时，求222a b c +-的值。
解：当2a =-，23b =，14c =-时，222222214155(2)()()4434916144a b c +-=-++-=+-= 例4 （1）如果一个有理数的正偶次幂是非负数,那么这个数是（ ）9(1)=-871()88⨯=20032002()1()()...()(5)(5)...(5)=5555-⨯-⨯⨯-⨯-⨯-⨯⨯--个个(1)1(1)10-++⋅⋅⋅+-+=；2011(1)(1)(1)(1)(1)1-⨯-⨯-⨯-⋅⋅⋅-=-；是有理数，且211(1)024x x y ++-+=，求y x 的值。
0≥，21(1)04x y -+≥， 又因为)(2011-所以10,30,310,a b c -=⎧⎪+=⎨⎪-=⎩所以1,3,1.3a b c ⎧⎪=⎪=-⎨⎪⎪=⎩所以1a b c ⨯⨯=-，93211(27)39a b c ⨯⨯=⨯-⨯=-，所以125125()(1)1a b c ⨯⨯=-=-， 所以125()a b c ⨯⨯÷932()a b c ⨯⨯=(1)-÷(3)-=13.题型二：科学记数法【知识梳理2】把一个大于10的数表示a×10n 的形式(其中a 是整数数位上只有一位的数,n 是正整数).这种表示方法叫科学记数法.【例题精讲】例1：用科学记数法记出下列各数：(1)696 000； (2)1 000 000； (3)58 000； (4)―7 800 000。
有理数的乘方及混合运算
有理数的乘方及混合运算一、有理数的乘方 一）乘方的慨念边长为a 的正方形的面积是a·a ，棱长为a 的正方体的体积是a·a·a ． a·a 简记作a 2，读作a 的平方（或二次方）． a·a·a 简记作a 3，读作a 的立方（或三次方）．一般地，几个相同的因数a 相乘，记作a n ．即a·a ……a ． 这种求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．在a n 中，a 叫底数，n 叫做指数，当a n 看作a 的n 次方的结果时，也可以读作a 的n 次幂．问题：1.在94中，底数是，指数是，94读作，或9的4次幂，它表示个相乘； 2.（－2）4的底数是，指数是，读作（或－2的4次幂），它表示． 思考：32与23有什么不同？（－2）3与－23的意义是否相同？其中结果是否一样？（－2）4与－24呢？（）2与呢？注意： 一个数可以看作这个数本身的一次方，例如5就是51，指数1通常省略不写．因为a n 就是n 个a 相乘，所以可以利用有理数的乘方运算来进行有理数的乘方运算． 二）、典型例题 例1：计算：（1）（－4）3； （2）（－2）4； （3）（－）5； （4）33； （5）232⎪⎭⎫⎝⎛；解：3523512因此，可以得出：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；正数的任何非零次幂都是正数；0的任何非零次幂都是0．强调：乘方的意义，a n 表示n 个a 相乘的积．注意（－a ）n 与－a n •两者的区别及相互关系：（－a ）n 的底数是－a ，表示n 个－a 相乘的积；－a n 底数是a ，表示n 个a 相乘的积的相反数．当n 为偶数时，（－a ）n 与－a n 互为相反数，当n 为奇数时，（－a ）n 与－a n 相等．211、212……219；31、32……39.三）、当堂练习（1）在式子n a 中，a 叫做，n 叫做. （2）式子n a 表示的意义是.（3）从运算上看式子n a ，可以读作， 从结果上看式子n a ，可以读作. （4）你能根据乘方的概念填写下表吗？（5）你能指出4)3(-和43-、65⎪⎭⎫⎝⎛和265的异同．．吗？（从写法、读法、意义、结果上看）（6）将下列各式写成乘方（即幂）的形式：1） （–2.3）×（–2.3）×（–2.3）×（–2.3）×（–2.3）=2）=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-414141413）=⋅⋅⋅⋅ 个2014x x x x（7）计算.1）34 2）()51- 3）()310- 4）231-（（8）求下列各式的值并找规律.()=-23，()=-81，()=-52，=⎪⎭⎫⎝⎛-321.规律：当指数是数时，负数的次幂是数. 当指数是数时，负数的次幂是数.思考：正数的奇次幂是什么数？正数的偶次幂是什么数？0呢？二、有理数的混合运算一）、知识回顾1、我们已经学习了哪几种有理数的运算？2．有理数的运算循序是什么？ 1）．先乘方，再乘除，最后加减； 2）．同级运算，从左往右进行；3）．如果有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 二）、有理数的混合运算1、问题：下面的算式里有哪几种运算？3+50÷22×（－）－1这个算式里，含有有理数的加、减、乘、除、乘方五种运算，按怎样的顺序进行运算？3+50÷22×（－）－1=3+50÷4×（－）－1=3+50××（－）－11515151415=3－－1 =－ 2、典型例题例1：计算：（1）. 2×（－3）3－4×（－3）+15；（2）.（－2）3+（－3）×[（－4）2+2]－（－3）2÷（－2）．分析：分清运算顺序，先乘方，再做中括号内的运算，接着做乘除，最后做加减．计算时，特别注意符号问题． 解：例2.计算： （1）、（-3）2×〔-32+（-95）〕 （2）、-14-〔（-2）3-4×（-1）5〕例3：观察下面三行数：－2，4，－8，16，－32，64，…① 0，6，－6，18，－30，66，… ② －1，2，－4，8，－16，32，… ③ （1）第①行数按什么规律排列？（2）第②、③行数与第①行数分别有什么关系？ （3）取每行数的第10个数，计算这三个数的和．分析：（1）第行数，从符号看负、正相隔，奇数项为负数，偶数项为正数，•从绝对值看，它们都是2的乘方． 解：（1）第①行数是－2，（－2）2，（－2）3，（－2）4，（－2）5，（－2）6，…5212（2）对比①②两行中位置对应的数，你有什么发现？第②行数是第①行相应的数加2．即 －2+2，（－2）2+2，（－2）3+2，（－2）4+2，… 对比①③两行中位置对应的数，你有什么发现？ 第③行数是第①行相应的数的一半，即－2×0.5，（－2）2×0.5，（－2）3×0.5，（－2）4×0.5，…（3）根据第①行数的规律，得第10个数为（－2）10，那么第②行的第10个数为（－2）10+2，第③行中的第10个数是（－2）10×0.5． 所以每行数中的第10个数的和是： （－2）10+[（－2）10+2]+[（－2）10×0.5] =1024+（1024+2）+1024×0.5 =1024+1026+512=2562三、巩固练习1.331⎪⎭⎫⎝⎛-读作，其中底数是，指数是，结果是. 2.54表示（ ）A. 4个5相乘B. 5个4相乘C. 5与4的积D. 5个4相加的和 3. 下列计算中，正确的是（ ）A. 11-1-11=）（ B. 255-2= C. 2516542= D.41212=⎪⎭⎫ ⎝⎛- 4. 用乘方的意义计算下列各式：（1）42 （2）42- （3）3)5(- （4）7)1(- （5）332- （6）22.0222220,46,86,1618,..++++-−−→−−→-−−→-−−→5.在2+32×（-6）这个式子中，存在着种运算，这个式子应该先算、再算、最后算。
有理数的乘方(4种题型)(解析版)
有理数的乘方（4种题型）【知识梳理】一、有理数的乘方1、求n 个相同因数a 的积的运算叫乘方，乘方的结果叫幂。
a 叫底数，n 叫指数，na 读作：a 的n 次幂(a 的n 次方)。
2、乘方的意义：n a 表示n 个a 相乘。
n a n a a a a a =⨯⨯⨯⨯ 个 3、写法的注意：当底数是负数或分数时，底数一定要打括号，不然意义就全变了．4、n a 与－na 的区别．(1)n a 表示n 个a 相乘，底数是a ，指数是n ，读作：a 的n 次方．如：3)2(−底数是2−，指数是3，读作(－2)的3次方，表示3个(－2)相乘． 3)2(−＝(－2)×(－2)×(－2)＝－8．32−底数是2，指数是3，读作2的3次方的相反数．32−＝－(2×2×2)＝－8． 注：3)2(−与32−的结果虽然都是－8，但表示的含义并不同。
5、乘方运算的符号规律． (1)正数的任何次幂都是正数．(2)负数的奇次幂是负数．(3)负数的偶次幂是正数．(4)0的奇数次幂，偶次幂都是0．所以，任何数的偶次幂都是正数或0。
二、有理数的混合运算1、有理数的混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，先算括号里面的，再算括号外面的。
2、括号前带负号，去掉括号后括号内各项要变号，即a+−b−)(a−=+bab(，ba−−)=−三．科学记数法—表示较大的数（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】（2）规律方法总结：①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．【考点剖析】一．有理数的乘方（共11小题）1．（2022秋•南浔区期末）下列各组数中，运算结果相等的是（）A．（﹣5）3与﹣53B．23与32C．﹣22与（﹣2）2D．与【分析】利用乘方运算法则计算后判断即可．【解答】解：A、（﹣5）3＝﹣125，﹣53＝﹣125，故相等，符合题意；B、23＝8，32＝9，故不相等，不符合题意；C、﹣22＝﹣4，（﹣2）2＝4，故不相等，不符合题意；D、，，故不相等，不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了有理数的乘方，关键是掌握有理数的乘方的意义．2．（2022秋•苍南县期中）把写成幂的形式是．【分析】根据有理数的乘方得出结论即可．【解答】解：＝（）5，故答案为：（）5．【点评】本题主要考查有理数的乘方，熟练掌握有理数的乘方计算是解题的关键．3．（2022秋•柯桥区月考）如果a，b，c是整数，且a c＝b，那么我们规定一种记号（a，b）＝c，例如32＝9，那么记作（3，9）＝2，根据以上规定，求（﹣3，﹣27）＝．【分析】利用规定记号的意义将式子表示出乘方的形式，利用有理数乘方的意义解答即可．【解答】解：设（﹣3，﹣27）＝x，∵ac＝b，那么我们规定一种记号（a，b）＝c，∴（﹣3）x＝﹣27．∵（﹣3）3＝﹣27，∴x＝3．故答案为：3．【点评】本题主要考查了有理数的乘方，本题是新定义型题目，理解题干中的新规定并列出算式是解题的关键．4．（2023•西湖区校级二模）﹣33＝（）A．﹣9B．9C．﹣27D．27【分析】运用乘方知识进行计算、求解．【解答】解：﹣33＝﹣27，故选：C．【点评】此题考查了实数的立方运算能力，关键是能准确理解并运用该知识进行计算．5．（2022秋•青田县期末）一张纸的厚度为0.09mm，假设连续对折始终都是可能的，那么至少对折n次后，所得的厚度可以超过厚度为0.9cm的数学课本．则n的值为（）A．5B．6C．7D．8【分析】一张纸的厚度为0.09mm，对折1次后纸的厚度为0.09×2mm；对折2次后纸的厚度为0.09×2×2＝0.09×22mm；对折3次后纸的厚度为0.09×23mm；对折n次后纸的厚度为0.09×2nmm，据此列出不等式，求出n的取值范围即可．【解答】解：∵折一次厚度变成这张纸的2倍，折两次厚度变成这张纸的22倍，折三次厚度变成这张纸的23倍，折n次厚度变成这张纸的2n倍，设对折n次后纸的厚度超过9mm，则0.09×2n＞9，解得2n＞100．而26＜100＜27．∴n为7．故选：C．【点评】本题考查从实际中寻找规律的能力，乘方是乘法的特征，乘方的运算可以利用乘法的运算来进行，乘方的意义就是多少个某个数字的乘积．6．（2022秋•文成县期中）下面的计算错在哪里？指出错误步骤的序号，并给出正确的解答过程．﹣3＝……①＝9÷1……②＝9……③错误步骤的序号：；正确解答：；【分析】根据有理的乘除法则及运算顺序进行判断，并计算便可．【解答】解：∵﹣32＝﹣9，∴步骤①错误；正确的解答如下：﹣3＝﹣9÷（﹣8）×＝﹣9×＝﹣．故答案为：①；﹣．【点评】本题考查了有理数的乘除法，关键是熟记运算法则与运算顺序．7．（2019秋•萧山区期中）计算：23＝．【分析】根据有理数的乘方计算即可【解答】解：23＝8．故答案为：8．【点评】本题主要考查有理数的乘方，解题的关键是掌握有理数的乘方的定义．8．（2020秋•义乌市校级月考）定义：如果10b＝n，那么称b为n的劳格数，记为b＝d（n）．（1）根据劳格数的定义，可知：d（10）＝1，d（102）＝2，那么：d（103）＝．（2）劳格数有如下运算性质：若m，n为正数，则d（mn）＝d（m）+d（n）；d（）＝d（m）﹣d（n）．若d（3）＝0.48，d（4）＝0.6，根据运算性质，填空：d（12）＝，d（）＝，d（）＝．【分析】（1）根据劳格数的定义，可知：d（103）求得是10b＝103中的b值；（2）由劳格数的运算性质可知，两数积的劳格数等于这两个数的劳格数的和；两数商的劳格数等于这两个数的劳格数的差，据此可解．【解答】解：（1）根据劳格数的定义，可知：d（103）＝3；故答案为：3．（2）由劳格数的运算性质：若d（3）＝0.48，d（4）＝0.6，则d（12）＝d（3）+d（4）＝0.48+0.6＝1.08，则d（）＝d（3）﹣d（4）＝0.48﹣0.6＝﹣0.12，∵d（4）＝d（2×2）＝d（2）+d（2）＝0.6，∴d（2）＝0.3，d（）＝d（9）﹣d（2）＝d（3×3）﹣d（2）＝d（3）+d（3）﹣d（2）＝0.48+0.48−0.3＝0.66，故答案为：1.08，﹣0.12，0.66．【点评】本题考查了有理数的乘方，定义新运算，读懂题中的定义及运算法则是解题的关键．9．（2021秋•吴兴区期中）已知三个互不相等有理数a，b，c，既可以表示为1，a，a+b的形式，又可以表示为0，，b的形式，则a2020b2021值是．【分析】由有意义，则a≠0，则应有a+b＝0，＝﹣1，故只能b＝1，a＝﹣1了，再代入代数式求解．【解答】解：因为三个互不相等的有理数1，a，a+b分别与0，，b对应相等，为有理数，∴a≠0，a+b＝0，∴＝﹣1，b＝1，∴a＝﹣1，∴a2020b2021＝（﹣1）2020×12021＝1，故答案为：1．【点评】本题主要考查了实数的运算，属于探索性题目，关键是根据已知条件求出未知数的值再计算．10．（2020秋•吴兴区校级期中）请你研究以下分析过程，并尝试完成下列问题．13＝1213+23＝9＝32＝（1+2）213+23+33＝36＝62＝（1+2+3）213+23+33+43＝100＝102＝（1+2+3+4）2（1）13+23+33+ (103)（2）13+23+33+ (203)（3）13+23+33+…+n3＝（4）计算：113+123+133+…3的值．【分析】根据已知一系列等式，得出一般性规律，计算即可得到结果．【解答】解：（1）13+23+33+…+103＝3025；（2）13+23+33+…+203＝44100；（3）13+23+33+…+n3＝；（4）113+123+133+…+203＝44100﹣3025＝41075．故答案为：（1）3025；（2）44100；（3）；（4）41075．【点评】此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．11．（2020秋•萧山区期中）阅读下列各式：（a•b）2＝a2b2，（a•b）3＝a3b3，（a•b）4＝a4b4…．回答下列三个问题：①验证：（2×）100＝，2100×（）100＝；②通过上述验证，归纳得出：（a•b）n＝；（a•b•c）n＝；③请应用上述性质计算：（﹣0.125）2019×22018×42017．【分析】①根据有理数的乘法法则、有理数的乘方解决此题．②通过猜想归纳解决此题．③根据积的乘方、有理数的乘法法则、有理数的乘方解决此题．【解答】解：①＝1100＝1，＝＝1．故答案为：1，1．②（a•b）n＝anbn，（a•b•c）n＝anbncn．故答案为：anbn，anbncn．③（﹣0.125）2019×22018×42017＝×22018×42017＝＝＝＝．【点评】本题主要考查有理数的乘法、积的乘方，熟练掌握有理数的乘法法则、积的乘方是解决本题的关键．二．非负数的性质：偶次方（共5小题）12．（2022秋•丽水期中）已知a，b满足|a+3|+（b﹣2）2＝0，则a+b的值为（）A．1B．5C．﹣1D．﹣5【分析】直接利用偶次方的性质以及绝对值的性质得出a，b的值，进而得出答案．【解答】解：∵|a+3|+（b﹣2）2＝0，∴a+3＝0，b﹣2＝0，解得：a＝﹣3，b＝2，故a+b＝﹣3+2＝﹣1．故选：C．【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确得出a，b的值是解题关键．13．（2022秋•青田县期中）若|m+1|+（n﹣3）2＝0，则m n的值为（）A．1B．﹣1C．3D．﹣3【分析】利用非负数的性质求出m与n的值，代入所求式子计算即可得到结果．【解答】解：∵|m+1|+（n﹣3）2＝0，|m+1|≥0，（n﹣3）2≥0，∴m+1＝0，n﹣3＝0，即m＝﹣1，n＝3，则mn＝（﹣1）3＝﹣1．故选：B．【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确得出m，n的值是解题关键．14．（2021秋•兰山区校级月考）若|x﹣2|+（y+3）2＝0，则y x＝．【分析】根据非负数的性质可求出x、y的值，再将它们代入yx中求解即可．【解答】解：∵x、y满足|x﹣2|+（y+3）2＝0，∴x﹣2＝0，x＝2；y+3＝0，y＝﹣3；则yx＝（﹣3）2＝9．故答案为：9．【点评】本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．15．（2022秋•兰溪市期中）已知（a﹣2）2与|b+1|互为相反数，求（a﹣b）a+b的值．【分析】根据偶次方的非负性、绝对值的非负性、有理数的乘方解决此题．【解答】解：由题意得：（a﹣2）2+|b+1|＝0．∵（a﹣2）2≥0，|b+1|≥0，∴a﹣2＝0，b+1＝0．∴a＝2，b＝﹣1．∴（a﹣b）a+b＝[2﹣（﹣1）]2+（﹣1）＝31＝3．【点评】本题主要考查偶次方的非负性、绝对值的非负性、有理数的乘方，熟练掌握偶次方的非负性、绝对值的非负性、有理数的乘方是解决本题的关键．16．（2022秋•衢州期中）已知，则（ab）2022＝．【分析】根据绝对值和偶次方是非负数的性质列式求出a、b的值然后代入代数式计算即可．【解答】解：∵，∴，b+2＝0，∴，b＝﹣2，∴，故答案为：1．【点评】本题考查了非负数的性质：根据几个非负数的和等于零，则每一个算式都等于零求出a、b的值是解此类题的关键．三．科学记数法—表示较大的数（共9小题）17．（2022秋•临海市期末）我国倡议的“一带一路”惠及约为4400000000人，用科学记数法表示该数为．【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．【解答】解：4400000000＝4.4×109，故答案为：4.4×109．【点评】本题考查了科学记数法的表示方法，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，解题的关键是要正确确定a和n的值．18．（2023•杭州）杭州奥体中心体育场又称“大莲花”，里面有80800个座位．数据80800用科学记数法表示为（）A．8.8×104B．8.08×104C．8.8×105D．8.08×105【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：80800＝8.08×104，故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．19．（2023•路桥区校级二模）2022年12月28日，台州市域铁路S1线开通运营，标志着台州城市发展迈入轨道时代台州市域铁路S1线全长约52.4公里，总投资约228.19亿元，是连接椒江区、路桥区及温岭市之间重要的城市快速通道．其中数据228.19亿用科学记数法表示为（）A．0.22819×1010B．0.22819×1011C．2.2819×1010D．2.2819×1011【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：228.19亿＝22819000000＝2.2819×1010．故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．20．（2023•郧阳区模拟）2022年5月10日凌晨，长征7号火箭托举着天舟四号货运飞船发射升空，在距地面390000米的高度，与空间站完成自主交会对接任务．390000用科学记数法表示为．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：390000＝3.9×105．故答案为：3.9×105．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a n的值．21．（2022秋•拱墅区月考）北京冬奥会标志性场馆国家速滑馆“冰丝带”近12000平方米的冰面采用分模块控制技术．可根据不同项目分区域、分标准制冰．将数据12000用科学记数法表示为．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：12000＝1.2×104．故答案为：1.2×104．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．22．（2023•余姚市二模）中国空间站2022年建成，轨道高度为400～450千米．“450千米”用科学记数法表示是（）A．4.5×105米B．0.45×107米C．45×105米D．4.5×107米【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：“450千米”等于“450000米”，用科学记数法表示是4.5×105米．故选：A．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．23．（2021秋•越城区校级月考）一次自然灾害导致大约20万人受困，急需准备一批帐篷和粮食进行援助．估计每顶帐篷可以住10人，平均每人每天需要粮食0.4千克，共维持15天，那么有关部门需要筹集多少顶帐篷？多少吨粮食？（结果用科学记数法表示）【分析】根据题意列式计算，并用科学记数法表示结果即可．【解答】解：根据题意得：20万＝200000，所以有关部门需要筹集200000÷10＝20000（顶）帐篷，即2×104顶帐篷；需要筹集200000×0.4×15＝1200000（千克）粮食，1200000千克＝1200吨即1200＝1.2×103吨粮食．a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．24．（2022秋•慈溪市期中）在宇宙之中，光速是目前知道的最快的速度，可以达到3×108m/s，如果我们用光速行驶3.6×103s，请问我们行驶的路程为多少m？【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：3×108×3.6×103＝3×3.6×108×103＝10.8×1011＝1.08×1012（m）．答：行驶的路程为1.08×1012m．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．25．（2022秋•永嘉县校级月考）已知一个U盘的名义内存为10GB，平均每个视频的内存为512MB，平均每首音乐的内存为10.24MB，平均每篇文章的内存为10.24KB．现该U盘已存16个视频，50首音乐．若该U盘的内存的实际利用率为90%，求还可以存文章的最多篇数（用科学记数法表示）．（注：已知1GB ＝1024MB，1MB＝1024KB）【分析】根据题意列式求解，最后化成科学记数法．【解答】解：（10×1024×1024×0.9﹣512×1024×16﹣10.24×50×1024）÷10.24＝5.12×104，答：还可以存文章的最多篇数是5.12×104．【点评】本题考查了科学记数法，掌握科学记数法的形式是解题的关键．四．科学记数法—原数（共1小题）26．（2021秋•平阳县期中）用科学记数法表示的数为4.315×103，这个数原来是（）A．4315B．431.5C．43.15D．4.315【分析】将小数点向右移动3位即可得出原数．【解答】解：用科学记数法表示的数为4.315×103，这个数原来是4315，故选：A．【点评】本题主要考查科学记数法—原数，科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．若科学记数法表示较小的数a×10﹣n，还原为原来的数，需要把a的小数点向左移动n位得到原数．【过关检测】一、单选题1．（2023·浙江·七年级假期作业）()23−的相反数为（）A．3−B．3C．9−D．9【答案】C【分析】根据乘方运算以及相反数的定义进行计算即可得到答案．【详解】解：()239−=，根据相反数的定义可知：9的相反数是9−．故选：C．【点睛】本题考查了乘方运算以及相反数的定义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号；正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0．2．（2022秋·浙江·七年级期末）32的意义是（ ） A ．2×3 B ．2＋3 C ．2＋2＋2 D ．2×2×2【答案】D【分析】根据幂的意义即可得出答案．【详解】解：，32222=⨯⨯故选：D ．【点睛】本题考查了有理数的乘方，掌握na 表示n 个a 相乘是解题的关键． 3．（2023·浙江·七年级假期作业）代数式22222n ⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯个可以表示为（ ）A ．2n +B ．2nC ．2nD ．n2【答案】C【分析】根据有理数乘方的意义解答即可得.【详解】解：代数式22222n ⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯个可以表示为2n； 故选：C.【点睛】本题考查了有理数的乘方，理解乘方的意义是关键.【答案】C【分析】由相反数的定义和非负数的性质求出a 、b 的值，代入计算即可． 【详解】解：∵5a +与6b −互为相反数，560a b ∴++−=，50a ∴+=，60b −=，解得5a =−，6b =，202120212021()(56)11a b ∴+=−+==．故选C ．【点睛】本题考查了相反数的定义和非负数的性质，解题的关键是求出a 、b 的值．5．（2022春·浙江金华·七年级统考期末）下列对于式子()23−的说法，错误的是（ ） A ．指数是2 B ．底数是3− C ．幂为3− D ．表示2个3−相乘【答案】C【分析】根据乘方的定义解答即可． 【详解】A ．指数是2，正确； B ．底数是3−，正确； C ．幂为9，故错误；D ．表示2个3−相乘，正确；． 故选C ．【点睛】此题考查了乘方的意义，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．乘方的定义为：求n 个相同因数a 的积的运算叫做乘方，乘方运算的结果叫做幂．在na 中，它表示n 个a 相乘，其中a 叫做底数，n 叫做指数．6．（2023·浙江·七年级假期作业）观察下列等式：071=，177=，2749=，37343=，472401=，5716807=，…，根据其中的规律可得30122027777++++的结果的个位数字是（ ）A ．0B ．1C ．7D ．8【答案】A【分析】由已知可得尾数1，7，9，3的规律是4个数一循环，则30122027777++++的结果的个位数字与01237777+++的个位数字相同，即可求解．【详解】解：∵071=，177=，2749=，37343=，472401=，5716807=，…，∴尾数1，7，9，3的规律是4个数一循环， ∵179320+++=，∴01237777+++的个位数字是0，又∵20244506÷=，∴30122027777++++的结果的个位数字与01237777+++的个位数字相同， ∴30122027777++++的结果的个位数字是0．故选：A ．【点睛】本题考查数的尾数特征，能够通过所给数的特点，确定尾数的循环规律是解题的关键． 7．（2022秋·浙江绍兴·七年级校联考期中）某种细胞每过15秒便由1个分裂成2个．经过3分钟，这种细胞由2个分裂成（ ）个． A ．102 B ．112 C ．122 D ．132【答案】C【分析】根据题意可得3分钟有12个15秒，进而根据有理数乘方的意义即可求解． 【详解】解：∵3分钟3601215=⨯=⨯秒， ∴经过3分钟，这种细胞由2个分裂成122个， 故选：C ．【点睛】本题考查了有理数乘方的应用，理解题意是解题的关键． 8．（2023·浙江·七年级假期作业）已知n 为正整数，计算()()22111nn +−−−的结果是（ ）A ．1B ．-1C ．0D ．2【答案】D【分析】根据有理数乘方运算法则进行计算即可．【详解】解：()()22111112nn +−−−=+=，故选：D ．【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握有理数的乘方运算法则以及乘方的符号规律是解本题的关键． 9．（2023·浙江·七年级假期作业）已知28.6274.3044=，若20.743044x =，则x 的值（ ） A ．86.2 B ．0.862 C ．0.862± D ．86.2±【答案】C【分析】根据两式结果相差2位小数点，利用乘方的意义即可求出x 的值．【详解】解：∵28.6273.96=，20.7396x =，∴220.862x =，则0.862x =±． 故选C ．【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解题的关键．二、填空题10．（2022秋·浙江·七年级专题练习）计算：()3232−⨯−=_____． 【答案】72【分析】直接利用有理数的乘方运算法则计算得出答案． 【详解】解：()()32329872−⨯−=−⨯−=．故答案为：72．【点睛】此题主要考查了有理数的乘方运算，正确化简各数是解题关键．11．（2022秋·浙江绍兴·七年级校考期中）把22222⨯⨯⨯⨯写成幂的形式是____________. 【答案】52【分析】根据有理数的乘方的定义及幂的定义解答即可． 【详解】解：22222⨯⨯⨯⨯写成幂的形式为：52． 故答案为：52．【点睛】本题考查了有理数的乘方及幂的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．【分析】先根据()2320a b −++=求出a 和b 的值，再把a 和b 的值代入()2022a b +即可求解．【详解】解：∵()2320a b −++=，∴,a b −=+=3020，解得：3,2a b ==−，∴()()a b =−=+20222022132，故答案为：1．【点睛】本题主要考查了绝对值与偶次幂的非负性，幂的运算，熟练掌握绝对值与偶次幂的非负性是解题的关键．【答案】 34 3 ﹣2764【分析】根据有理数的乘方的定义和意义，在na 中，a 叫做底数，n 叫做指数；na 表示n 个a 相乘，即可．【详解】∵在na 中，a 叫做底数，n 叫做指数∴334⎛⎫− ⎪⎝⎭的底数是34，指数是3∵na 表示n 个a 相乘∴3332744464⎛⎫−⨯⨯=−⎪⎝⎭故答案为：34；3；﹣2764．【点睛】本题考查了有理数的乘方，解题的关键是掌握有理数的乘方的定义和意义． 14．（2023·浙江·七年级假期作业）已知24m =，则m =______________． 【答案】2【分析】把4写成22即可求出m 的值．【详解】解：∵24m =且24=2，∴222m =，∴2m =， 故答案为：2．【点睛】本题主要考查了乘方的意义，正确把4写成22是解答本题的关键．【答案】243【分析】根据题意可求出第一次截去全长的13，剩下213⨯米，第二次截去余下的13，剩下2123⨯，从而即可得出第五次截去余下的13，剩下532133224⨯=米．【详解】解：第一次截去全长的13，剩下1111332⎛⎫⨯−=⨯⎪⎝⎭米，第二次截去余下的13，剩下2911111133432⎛⎫⎛⎫⨯−⨯−=⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭米，…第五次截去余下的13，剩下532133224⨯=米．故答案为：32 243．【点睛】本题考查有理数乘方的应用，数字类规律探索．理解乘方的定义是解题关键．三、解答题【答案】(1)正(2)负(3)负(4)负【分析】根据有理数乘方的符号规律解答即可．【详解】（1）解：∵12(6)−的指数是12，为偶数，负数的偶次幂是正数，∴12(6)−的结果为正；（2）解：∵9(0.0033)−的指数是9，为奇数，负数的奇次幂是负数，∴9(0.0033)−的结果为负；（3）解：∵85−表示的是85的相反数，正数的任何次幂都是正数， 85的结果为正，所以85−的结果为负；（4）解：∵1125⎛⎫− ⎪⎝⎭的指数是11，为奇数，负数的奇次幂是负数， ∴1125⎛⎫− ⎪⎝⎭的结果为负．【点睛】本题主要考查了有理数乘方的符号规律，掌握负数的偶次幂为正、奇次幂为负成为解答本题的关键．【答案】(1)625(2)85−(3)0.027【分析】（1）4(5)−表示4个5−相乘，即可得出答案； （2）先计算2的立方，即可得出答案；（3）根据在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数，乘方是几个相同因数的简便运算，可得答案．【详解】（1）4(5)(5)(5)(5)(5)625−=−⨯−⨯−⨯−=；（2）322228555⨯⨯−=−=−； （3）[]3(0.3)(0.3)(0.3)(0.3)(0.027)0.027−−=−−⨯−⨯−=−−=．【点睛】本题考查了乘方的定义，理解乘方的意义是解题的关键． 18．（2023·浙江·七年级假期作业）（1）计算下面两组算式： ①2(35)⨯与2235⨯；②2[(2)3]−⨯与222)3⨯(-；（2）根据以上计算结果想开去：3()ab 等于什么?（直接写出结果）（3）猜想与验证：当n 为正整数时， ()n ab 等于什么? 请你利用乘方的意义说明理由． （4）利用上述结论，求20202021(4)0.25−⨯的值． 【答案】（1）①225，225,2(35)⨯=2235⨯;②36，36，2[(2)3]−⨯=222)3⨯(-，（2）33a b（3）见详解 （4）0.25．【分析】（1）①先算括号内的数，再算平方；先算平方，再计算乘法即可，比较计算结果， ②先算括号内的数，再算平方；先算平方，再计算乘法即可，比较计算结果， （2）直接按（1）写结果即可，（3）利用乘方()nab 的意义写成n 个数相乘，利用交换律转化为n a aa 个与n b bb个乘积即可．（4）利用积的乘方的逆运算把202120200.250.250.25=⨯，然后20202021(4)0.25−⨯=()202040.250.25−⨯⨯，再简便运算即可．【详解】（1）①2(35)⨯=152=225，2235⨯=9×25=225，2(35)⨯=2235⨯，②2[(2)3]−⨯=(-6)2=36， 222)3⨯(-=4×9=36， 2[(2)3]−⨯=222)3⨯(-，（2）333()ab a b =（3）()()()()=n n n n n n ab ab ab ab a a a b b b a b ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭个个个．（4）20202021(4)0.25−⨯=()202040.250.2510.250.25−⨯⨯=⨯=．【点睛】本题考查有理数乘法法则问题，先通过不同形式的计算，验证结果相同，达到初步认证，再次认证结果，通过证明先算计积再算乘法，与先算每个数的乘方再算积，验证结论成立，会逆用积的乘方运算来简便运算是解题关键．【答案】(1)1，1；(2)ab ，anbn ，abc ，anbncn ；(3)﹣0.125【分析】（1）先算括号内的，再算乘方；先乘方，再算乘法．（2）根据有理数乘方的定义求出即可；（3）根据根据阅读材料可得（﹣0.125×2×4）2014×（﹣0.125），再计算，即可得出答案．【详解】（1）解：（4×0.25）100＝1100＝1；4100×0.25100＝1，故答案为：1，1． （2）解：（ab ）n ＝anbn ，（abc ）n ＝anbncn ，故答案为：ab ，anbn ，abc ，（3）解：原式＝（﹣0.125）2014×22014×42014×（﹣0.125）＝（﹣0.125×2×4）2014×（﹣0.125）＝（﹣1）2014×（﹣0.125）＝1×（﹣0.125）＝﹣0.125【点睛】本题考查了有理数乘方的应用，主要考查学生的计算能力，理解阅读材料是解题的关键． 20．（2022秋·浙江·七年级专题练习）先阅读下列材料，再解答后面的问题材料：一般地，n 个相同的因数a 相乘n a a a ⋅个，记为an ． 如322228⨯⨯==，此时，3叫做以2为底8的对数，记为2log 8(即2log 83=)．一般地，若n a b =(0a >且10a b ≠>，)，则n 叫做以a 为底b 的对数，记为log a b (即log a b n =)． 如4381=，则4叫做以3为底81的对数，记为3log 81(即3log 814=)．问题：(1)计算以下各对数的值：2log 4=_________，2log 16=_________，2log 64=_________．(2)通过观察（1），思考：2log 4、2log 16、2log 64之间满足怎样的关系式？(3)由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？log log a a M N +＝______（0a >且100a M N ≠>>，，）．(4)利用（3）的结论计算44log 2log 32+＝______．【答案】(1)2，4，6(2)222log 4log 16log 64+=(3)()log a MN(4)3【分析】（1）根据对数的定义求解；（2）认真观察，即可找到规律：41664⨯=，222log 4log 16log 64+=； （3）由特殊到一般，得出结论：()log log log a a a M N MN +=（4）根据（3【详解】（1）解：(1)∵24624216264===，， ∴222log 42log 164log 646===，，，故答案为：2，4，6；（2）∵41664⨯=，2log 42=，2log 164=，2log 646=， ∴222log 4log 16log 64+=， 故答案为：222log 4log 16log 64+=；（3）观察（2）的结果，我们发现，底数不变，后面两个数相乘．则()log log log a a a M N MN +=， 故答案为：()log a MN ．（4）44log 2log 32+()4log 232=⨯4log 64=3=． 故答案为：3．【点睛】本题考查了有理数的乘方运算，对数，类比、归纳，推测出对数应有的性质是解题的关键．【答案】(1)710，8a(2)m n a +(3)2023x ，31n y +(4)18【分析】（1）根据题目中给出的信息进行运算即可；（2）总结题目信息得出同底数幂的运算法则；（3）根据同底数幂的运算法则进行运算即可；（4）逆用同底数的乘法公式进行运算即可．【详解】（1）257101010⨯=，358a a a ⨯=，故答案为710，8a ；（2）m n mn a a a ⨯=（m 、n 都是正整数），故答案为m n a +；（3）220201*********x x xx x ++=⋅=⋅，212131n n n n n y y y y ++++⋅==， 故答案为2023x ，31n y +；（4）∵3,6a b x x ==，∴3618a b a b x x x +=⋅=⨯=，故答案为18．【点睛】本题主要考查了乘方的定义和意义，得到同底数幂的运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，是解题的关键． ，一般地，把n a a a aa a ÷÷÷个（a ≠02⎝⎭深入思考【答案】(1)12，8− (2)213，415，82 (3)21n a −(4)1−【分析】（1）（2）根据新定义内容列出算式，然后将除法转化为乘法，再根据乘法和乘方的运算法则进行化简计算；（3）根据（1）（2）得出规律21n a a −=ⓝ；（4）根据（3）的规律求解即可．【详解】（1）解：122222=÷÷=③， 1111118222222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−=−÷−÷−÷−÷−=− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⑤， 故答案为：12，8−；（2）解：(3)−=④21(3)(3)(3)(3)3−÷−÷−÷−=， 4155555555÷÷÷=÷÷=⑥， 1111111111122222222222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−−−−−−−−−−− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎝=÷⎭÷÷÷÷÷÷÷÷⎭⎝⎭⎭⎝⎝⎭⎝⎭⑩82=； 故答案为：213，415，82；（3）解：21n a a a a a a −=÷÷⋯⋯÷=ⓝ， 故答案为：21n a −；（4）解：3242(16)2÷+−⨯④21248(16)2=÷+−⨯ 13(16)4=+−⨯34=−1=−．【点睛】本题属于新定义题型，考查有理数乘除运算法则及对有理数乘方运算的理解，理解新定义内容，掌握有理数乘除法和有理数乘方的运算法则是解题关键．。
1.5有理数的乘方-有理数的混合运算(教案)
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了有理数乘方的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对有理数混合运算的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
举例：计算表达式-3+2×（-2）的2次幂，先计算乘方，得到（-2）的2次幂为4，然后进行乘法，2×4=8，最后进行加法，-3+8=5。
2.教学难点
（1）负数的乘方运算：学生容易混淆负数的奇数次幂和偶数次幂的结果，需要通过实例讲解和练习加深理解。
举例：解释为什么（-2）的3次幂是-8，而（-2）的4次幂是16。
（2）混合运算中的运算顺序：学生在面对复杂的混合运算时，容易忽略运算顺序，导致计算错误。
举例：强调在计算过程中，先算ห้องสมุดไป่ตู้方，再算乘除，最后算加减，如表达式-3+2×（-2）的2次幂，应先算乘方，再算乘法，最后算加法。
（3）实际问题的应用：学生需要学会将实际问题转化为数学表达式，并正确应用乘方和混合运算进行求解。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“有理数乘方和混合运算在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
这些核心素养目标与新教材要求相符，有助于学生全面提高数学素养，为后续学习打下坚实基础。
有理数的乘除乘方及混合运算讲义
有理数的乘除【知识点回顾】有理数的分类，有理数的加减法，绝对值与相反数【知识点介绍】 （一）有理数的乘法（1）两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。
任何数与0相乘仍得0.（2）如果两个有理数的乘积为1，那么称其中一个数是另一个数的倒数，也称这两个数互为倒数。
（3）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。
负因数的个数是奇数时，积的符号为_______；负因数的个数是偶数时，积的符号为_______。
积的绝对值等于各个因数的绝对值的_______。
（4）乘法交换律_________________________________________。
乘法结合律_________________________________________。
乘法对加法的分配律_________________________________。
【例题精讲】1．下列算式中，积为正数的是（ ） A ．（－2）×（＋21） B ．（－6）×（－2） C ．0×（－1） D ．（＋5）×（－2） 2．下列说法正确的是（ ）A ．异号两数相乘，取绝对值较大的因数的符号B ．同号两数相乘，符号不变C ．两数相乘，如果积为负数，那么这两个因数异号D ．两数相乘，如果积为正数，那么这两个因数都是正数 3、若两个有理数的和与它们的积都是正数，则这两个数( )A.都是正数B.是符号相同的非零数C.都是负数D.都是非负数4、下列说法正确的是( )A.负数没有倒数B.正数的倒数比自身小C.任何有理数都有倒数D.-1的倒数是-15、如果x2y250+++=，那么(－x)·y=( )A．100 B．－100 C．50 D．－506、两个有理数的积是负数，和是正数，那么这两个有理数是( )A．都是正有理数 B．都是负有理数C．绝对值大的那个有理数是正数，另一个有理数是负数D．绝对值大的那个有理数是负数，另一个有理数是正数7、a、b互为相反数且都不为0，则(a+b一1)×a1b⎛⎫+⎪⎝⎭的值为( )A．0 B．－1 C．1 D．28、若a、b为有理数，请根据下列条件解答问题：(1)若ab>0，a+b>0，则a、b的符号怎样?(2)若ab>0，a+b<0，则a、b的符号怎样?(3)ab<0，a+b>0，a b>，则a、b的符号怎样?9、若a1,a b0=+=，求－ab－2的值。
有理数的乘方及计算.docx
文档来源 :从网 收集整理 .word 版本可 . 迎下 支持 .有理数的乘方运算及其混合运算1. 理解有理数乘方的意 并能准确 行有理数乘方的 算教学目的2. 熟 运用加减乘除法 行有理数的混合运算( 一 ) 、乘方的意知识点梳理. 在 a n 中， a 叫做底数， n 叫做指数，当a n 看作 a1. 求 n 个相同因数的 的运算，叫做乘方，乘方的 果叫做的 n 次方的 果 ，也可以 作a 的 n 次 .2. 数的奇次 是 数， 数的偶次 是正数.3. 正数的任何次 都是正数，0 的任何正整数次 都是 0.( 二 ) 、有理数混合运算的运算 序：1. 先乘方，再乘除，最后加减；2. 同极运算，从左到右 行；3. 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次 行 .( 三 ) 、有理数混合运算需注意的1. 有理数的运算，加减法叫做第一 运算；乘除法叫做第二 运算；乘方和开方（以后学）叫做第三 运算. 一个式子中如果含有多 运算式，先做第三 运算，再做第二 运算，最后做第一季运算. 同一 运算按照从左到右的序 行运算；有括号 ，按照小括号、中括号、大括号（或大括号、中括号、小括号）的 序 行运算.2. 灵活的运用运算律，改 运算 序，可以 化 算 .1 1 3 5【例 1】例题讲解242 6 812【例 2】 132 2 1 135 3 0.3430.3477【例 3】311333【例 4】1410.51 1223123456782007【例 5】已知 3 =3，3 =9， 3 =27， 3 =81， 3 =243， 3 =729， 3 =2187，3 =6561，⋯， 确定3 的末位数字是几．（ 1） 写出木棍第一天，第二天，第三天的 度分 是多少？（ 2） 推断第 n 天木棍的 度是多少？【例 7】若 52x+1=125，求（ x-2 ） 2005+x 的值是 ．【例 8】用简便方法计算．（ 1）（ - 14 ） 4005×162003=（2） 318×（ - 19 ） 8=19920092093（3）（0.5 ×3 23 ） ?（ - 2× 311 ） =（ 4） 0.25 ×2 ×25 ×64 =【例 9】比较下面算式结果的大小（在横线上填“＞”、“＜”或“ =”）：42+322×4×3；（ -3 ）2 +12 ×（ -3 ）× 1；（ -2 ） 2+（ -2 ） 2 ；×（ -2 ）×（ -2 ）．通过观察归纳，写出能反映这一规律的一般结论．【例 10】有一张厚度是 0.2毫米的纸，如果将它连续对折10 次，那么它会有多厚？一、选择题 巩固练习1、 118 表示（ ）A 、11 个 8 连乘B、11 乘以 8C 、8个11连乘D、8个别 1相加2的值是（ ）2、－ 3A 、－ 9B 、9C 、－6D 、 63、下列各对数中，数值相等的是（）A 、 －32 与 －23B 、－23 与 ( －2)3C 、－ 32 与 (－3) 2D 、 ( －3×2) 2 与－ 3×224、下列说法中正确的是（ ）A 、 23 表示 2×3的积B、任何一个有理数的偶次幂是正数C 、－ 32 与 ( － 3) 2 互为相反数D、一个数的平方是4，这个数一定是2935、下列各式运算结果为正数的是（）A 、－ 24×5B 、 (1 －2) × 5 C、(1 －24) ×5D、 1－(3 ×5) 66、如果一个有理数的平方等于 ( －2) 2，那么这个有理数等于（）A 、－ 2B 、 2C 、4D、2或－27、一个数的立方是它本身, 那么这个数是（ ）A 、0B 、0或1 C、－1或1D、0或1或－18、如果一个有理数的正偶次幂是非负数, 那么这个数是（）A 、正数B 、负数C 、 非负数D、任何有理数9、－ 24×( － 22) ×( － 2) 3 =（ ）A 、29B 、－29C、－ 224D 、22410、两个有理数互为相反数，那么它们的 n 次幂的值（）A 、相等B、不相等C、绝对值相等 D、没有任何关系11、一个有理数的平方是正数 , 则这个数的立方是（ ）A 、正数B、负数C、正数或负数D、奇数12、 ( － 1) 2001＋( － 1) 2002÷ 1 ＋ ( － 1) 2003 的值等于（）A 、0B 、 1 C、－ 1D 、 2二、填空题3 51、 ( －2) 6 中指数为，底数为； 4 的底数是，指数是；的底数是，指数2是 ，结果是；2、根据幂的意义， ( － 3) 4 表示 ，－ 43 表示；3、平方等于1的数是，立方等于 1 的数是；64644、一个数的 15 次幂是负数，那么这个数的2003 次幂是；5、平方等于它本身的数是，立方等于它本身的数是；33336、3， 3，44；47、2 73 ， 2 74 ， 2 75 的大小关系用“＜”号连接可表示为；8、如果 a 4 a 4 ，那么 a 是；9、 12 23 3 42001 2002；10、如果一个数的平方是它的相反数，那么这个数是 ；如果一个数的平方是它的倒数，那么这个数是；11、若a 2b 3＞0 ，则 b三、计算题2 41131、2、23、 1 2003413 3 3、 15、23 3 2 6、323 27、2 222 3 238、 421545 349、2624321210 、2 2 31 302 37四、解答题：某种细菌在培养过程中， 每半小时分裂一次 （由一个分裂成两个） ，若这种细菌由 1 个分裂为 16 个，则这个过程要经文档来源为 :从网络收集整理.word 版本可编辑 .欢迎下载支持.过多长时间？1、 78表示（）作业布置A、7个8连乘B、7 乘以 8C、8个7连乘D、8个7相加2、计算﹣32的结果是（）A、﹣9B、 9C、﹣6D、 63、下列各组数中，数值相等的是（）A、32和 23B、﹣ 23和（﹣ 2）3C、﹣32和（﹣ 3）2D、﹣（ 3×2）2和﹣ 3×224、下列说法中正确的是（）A、 23表示 2×3的积B、任何一个有理数的偶次幂是正数C、﹣ 32 与（﹣3）2互为相反数D、一个数的平方是，这个数一定是5、下列各式运算结果为正数的是（）A、﹣ 24×5B、（ 1﹣ 2）4×5C、（ 1﹣ 24）×5D、 1﹣（ 3×5）66、下列计算结果为正数的是（）A、7×（﹣24）B、（ 1﹣ 5）2×3C、（ 1﹣ 52）×3D、 1﹣（ 3×5）27、﹣ | ﹣ 3| ﹣ 23的值是（）A、﹣ 3B、﹣ 11C、 5D、 118、计算器上的或键的功能是（）A、开启计算器B、关闭计算器C、清除全部内容或刚刚输入内容D、计算乘方9、﹣ 5 的绝对值的倒数与绝对值等于 5 的数的和为（）A、1 或-1 B 、 0 或1C、51或- 4 1D、 55510、下列计算结果正确的是（）A、﹣ 7﹣2×5=（﹣7﹣ 2）×5B、C、D、﹣（﹣32）=911、（﹣ 2）6中指数为_________，底数为_________； 4的底数是_________，指数是_________；文档来源 :从网收集整理 .word 版本可 .迎下支持 .的底数是_________ ，指数是_________，果是_________．12、根据的意，（ 3）4表示_________， 43表示_________．13、平方等于的数是_________，立方等于的数是_________ ．14、一个数的15 次是数，那么个数的2003 次是_________．15、平方等于它本身的有理数是_________，立方等于它本身的有理数是_________．16、 = _________， = _________， =_________．17、用算器入7 的法是先入_________ ，然后按 _________．18、算： =_________ ．19、若 |a+1|+|b5|+ （ c 2）2=0， abc=_________．20、当 x=， y= 2 ，（ x+y）2=_________．21、有理数依次是2， 5，9， 14，x， 27，⋯依次你能求出x 的？ x 的_________．22、（ 1）（ 2）4（ 2）（ 3）（ 1）2003（ 4） 13 3×（ 1）3325） 2 +（ 3）23. 你吃“手拉面” ？如果把一个面拉开，然后折，再拉开，再折，⋯如此往复下去，折10 次，会拉出多少根面条？附答案典型例例 1：7例2：-13.34例3：9例4：例5：解：32007的指数2007 且 2007÷4=501⋯3，所以 32007的末位数字是7．答： 32007的末位数字是7．例 6：一根木棍原m 米，如果从第一天起每天折断它的一半．（ 1）写出木棍第一天，第二天，第三天的度分是多少？（ 2）推断第n 天木棍的度是多少？例7：解：∵ 52x+1=53，∴2x+1=3 ，解得 x=1．所以（ x-1 ）2005+x=（ -1）2006=1．故填 1．例8：解：（1）（- 14）4005×162003=（ - 14）4005×（ 42）2003=（ - 14）4005×44006=（ - 14）4005×44005×4=[ （ - 14）×4]4005×4=（ -1）×4=-4 ；（2） 318×（ - 19）8=318×[-（ 13）2]8=318×（ 13）16=316+2×（ 13）16=（ 3×13）16×32=9；（3）（0.5 ×3 23）199?（-2 ×311）200=（ 0.5 ×113）199?（ -2 ×311）200=[0.5 ×113 ×（ -2）×311] 199×（ -2 ×311）= 611；（4） 0.259×220×259×643=0.25 9×643×220×259=0.25 9×（43）3×410×259=（ 0.25 ×4）9×（ 4×25）9×4=4×1018．例9：解：∵ 42+32=25，2×4×3=24，∴42+32＞ 2×4×3；∵（ -3）2+12=10， 2×（ -3）×1=-6，∴（ -3）2+12＞ 2×（ -3）×1；∵（ -2）2+（-2）2=8， 2×（ -2）×（ -2） =8，∴（ -2）2+（-2）2=2×（ -2）×（-2）．∴规律为：两数的平方和大于或等于这两数的积的 2 倍．故答案为：＞，＞， =，两数的平方和大于或等于这两数的积的2倍．例 10：课堂练习一、选择题1、 C2、 A3、B4、 C5、 B6、D7、 D8、 D9、B10、 C11、 C12、 C二、填空题3， 5，2432、4 个－ 3 相乘， 3 个 4 的积的相反数；1、 6，－ 2， 4，1，；2323、1，1 ；4、负数；5、0 和 1， 0，1 和－ 1；6、27 ,27 ,27；8464644 7、2 75＜ 2 73＜ 2 74； 8、9，0；9、－ 1； 10、－ 1 和 0，1；11、＜三、计算题271、－ 162、3、－ 14、 25、16、－ 17、 288、－ 599、－ 7310、－ 1四、解答题： 2 小时11.6，﹣ 2， 4， 1，﹣， 5，﹣．12.4 个﹣ 3 相乘和 3 个 4 的积的相反数．13. ±，． 14.负数 15.解： 02=0， 12=1，（﹣ 1）2=1 ，所以平方等于它本身的有理数是0,1；又 03=0 ， 13 =1，（﹣ 1）3=﹣ 1，所以立方等于它本身的有理数是0，±1．16.解： ==；==；==．17.7；+/ ﹣．18.解：原式 ===19.﹣ 10．20.解：当 x= ， y= ﹣ 2 时，（x+y ）2=（﹣ 2）2=（﹣）2=．故答案为：．21.20． 22. 解：（ 1）﹣（﹣ 2）4=﹣ 16；（ 2） =（）3=；（ 3）（﹣ 1）2003=﹣ 1；（4）﹣ 13﹣ 3×（﹣ 1）3=﹣ 1﹣ 3×（﹣ 1）=﹣ 1+3=2；（ 5）﹣ 23+（﹣ 3）2=﹣ 8+9=1；23. 2101024 根。
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有理数的乘方及混合运算（基础） 主讲 沈老师
【学习目标】
1．理解有理数乘方的定义；
2.掌握有理数乘方运算的符号法则，并能熟练进行乘方运算；
3. 进一步掌握有理数的混合运算. 【要点梳理】
要点一、有理数的乘方
定义：求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power )．
即有：n a a a a n ⋅⋅⋅=个
.在n
a 中，a 叫做底数， n 叫做指数.
要点诠释： （1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果． （2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来．
（3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51，指数1通常省略不写． 要点二、乘方运算的符号法则
（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，即
．
要点诠释：
(1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值．
(2)任何数的偶次幂都是非负数． 要点三、有理数的混合运算
有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 要点诠释：
(1)有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方和开方(以后学习)是第三级运算；
（2）在含有多重括号的混合运算中，有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺序进行．
(3)在运算过程中注意运算律的运用． 【典型例题】
类型一、有理数乘方
1. 把下列各式写成幂的形式：
(1)22225555⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+
⨯+⨯+⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
； (2)(-3.7)×(-3.7)×(-3.7)×(-3.7)×5×5； (3)xxxxxxyy ．
【答案与解析】 (1)44
222222555555⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+⨯+⨯+⨯+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
；
(2)(-3.7)×(-3.7)×(-3.7)×(-3.7)×5×5＝(-3.7)4×52； (3) 62xxxxxxyy x y =
【总结升华】乘方时，当底数是分数、负数时，应加上括号. 【有理数的乘方及混合运算 有理数乘方的性质】 2．计算：
（1）3(4)- （2） （3） （4）
（5）⎛⎫ ⎪⎝⎭
3
35 （6）3
35 （7）2
2×3（） （8）22×3
【答案与解析】
（1）
3
(4)-(4)(4)(4)64=-⨯-⨯-=-； （2）44464=-⨯⨯=-；
（3）
(3)(3)(3)(3)81=-⨯-⨯-⨯-=； （4）333381=-⨯⨯⨯=-；
（5）⎛⎫ ⎪⎝⎭
3
3533327555125=⨯⨯=； （6）33
533327
55⨯⨯==
； （7）
3⨯（2）2
2
636==； （8）22×32918=⨯=
【总结升华】()n
a -与n a -不同，()()
()()-=--⋅⋅⋅-n
n a a a a 个
，
而n
n a a
a a -=-⋅⋅⋅
个
表示a 的n 次幂的相反数．
举一反三：
【变式1】计算：(1)(-4)4 (2)23
(3)2
25⎛⎫ ⎪⎝⎭
(4)(-1.5)2
34-4(3)-4
3-3
4-4
(3)-43-
【答案】 (1)(-4)4=(-4)×(-4)×(-4)×(-4)=256；
(2)23＝2×2×2=8； (3)2
2224
55525⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭
(4) (-1.5)2
=(-1.5)×(-1.5)=2.25
【变式2】比较（﹣4）3和﹣43
，下列说法正确的是（ ） A ． 它们底数相同，指数也相同 B ． 它们底数相同，但指数不相同
C ． 它们所表示的意义相同，但运算结果不相同
D ． 虽然它们底数不同，但运算结果相同 【答案】D ．
解：比较（﹣4）3
=（﹣4）×（﹣4）×（﹣4）=﹣64，﹣43
=﹣4×4×4=﹣64， 底数不相同，表示的意义不同，但是结果相同.
类型二、乘方的符号法则
3．不做运算，判断下列各运算结果的符号．
(-2)7，(-3)24，(-1.0009)2009，5
53⎛⎫
⎪⎝⎭
，-(-2)2010
【答案与解析】根据乘方的符号法则直接判断，可得：
(-2)7
运算的结果是负；(-3)24
运算的结果为正；(-1.0009)
2009
运算的结果是负；5
53⎛⎫
⎪
⎝⎭
运算的结果是正；-(-2)2010运算的结果是负． 【总结升华】“一看底数，二看指数”，当底数是正数时，结果为正；当底数是0时，结果是0；当底数是负数时，再看指数，若指数为偶数，结果为正；若指数是奇数，结果为负． 举一反三：
【变式】计算：(-1)2009的结果是( )．
A ．-l
B ．1
C ．-2009
D ．2009 【答案】A
类型三、有理数的混合运算
【有理数的乘方及混合运算 典型例题1】
4.计算： （1）()⎡⎤⎛⎫
⎡⎤
⎪⎢⎥⎣⎦
⎝
⎭⎣
⎦
211-1-0.5××2--33
（2）()⎡⎤⎣
⎦3
41-1-×2--36
（3）3
201111(1+-2.75)×(-24)+(-1)--238
（4）
332
11
-+|-2-3|(-0.1)(-0.2)
【答案与解析】
（1）法一：原式＝517(1)(7)(7)666
-⨯-=⨯-=-；
法二：原式=1117
(11)(29)(7)2366-+
⨯⨯-=⨯-=- （2）原式()=⎡⎤⎣⎦1-1-×2--276=1-1-×296=35
-6
(3) 原式=4111
(+-)×(-24)-1-8384=-32-3+66-9=22
(4) 原式=11
-+|-8-3|-0.0010.04
=-1000-25+11=-1014
【总结升华】有理数的混合运算，确定运算顺序是关键，细心计算是运算正确的前提． 举一反三：
【变式1】计算：4
2
11(10.5)[2(3)]3
---⨯--- 【答案】原式11
1151(29)1(7)17523666⎛⎫=--⨯--=----=--+=
⎪⎝⎭
【变式2】计算：2
4
21(2)(4)12⎛⎫
-÷-⨯- ⎪⎝⎭
【答案】原式111
16(4)11612444
=÷-⨯
-=-⨯⨯-=- 【有理数的乘方及混合运算 典型例题2（2）】 5. 2003
2004(2)
(2)-+-= （ ）
（A ）2- （B ）4007
(2)- （C ）2003
2
（D ）2003
2
-
【答案】C
【解析】逆用分配律可得：2003
2004200320032003(2)(2)(2)[1(2)](2)2-+-=-+-=--=，所
以答案为：C
【总结升华】当几项均为幂的形式，逆用分配律提出共同的因数时，要提指数较小的幂的形式. 举一反三：
【变式】计算：7
7
3
4()()4
3
-⨯-
【答案】77
7
3434()()[()()]143
43
-⨯-=-⨯-=
类型四、探索规律
6. 你见过拉面馆的师傅拉面吗？他们用一根粗的面条，第1次把两头捏在一起抻拉得到两根面条，再把两头捏在一起抻拉，反复数次，就能拉出许多根细面条，如下图，第3次捏合
抻拉得到 根面条，第5次捏合抻拉得到 根面条，第n 次捏合抻拉得到 根面条，要想得到64根细面条，需 次捏合抻拉.
第1次 第2次 第3次 【答案】8; 32; 2n ; 6
【解析】由题意可知，每次捏合后所得面条数是捏合前面条数的2倍，所以可得到： 第1次：122=；第2次：224=；第3次：3
28=；…；第n 次：2n .
第3次捏合抻拉得到面条根数：32，即8根；第5次得到：5
2，即32根；第n 次捏合抻拉得到2n
；
因为6
264=，所以要想得到64根面条，需要6次捏合抻拉.
【总结升华】解答此类问题的方法一般是：从所给的特殊情形入手，再经过猜想归纳，从看似杂乱的问题中找出内在的规律，使问题变得有章可循． 举一反三：
【变式】已知21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，观察上面的规律，试猜想22008的末位数字是________． 【答案】6。