带绝对值符号的运算.
实用文档之绝对值大全(零点分段法、化简、最值)
实用文档之"绝对值大全（零点分段法、化简、最值）"一、去绝对值符号的几种常用方法解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法与一般不等式的解法相同。
因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。
1利用定义法去掉绝对值符号根据实数含绝对值的意义，即|x |=(0)(0)x x x x ≥⎧⎨-<⎩，有|x |<c (0)(0)c x c c c -<<>⎧⇔⎨∅≤⎩；|x |>c (0)0(0)(0)x c x c c x c x R c <->>⎧⎪⇔≠=⎨⎪∈<⎩或2利用不等式的性质去掉绝对值符号利用不等式的性质转化|x |<c 或|x |>c (c >0)来解，如|ax b +|>c (c >0)可为ax b +>c 或ax b +<－c ；|ax b +|<c 可化为－c <ax +b <c ，再由此求出原不等式的解集。
对于含绝对值的双向不等式应化为不等式组求解，也可利用结论“a ≤|x |≤b ⇔a ≤x ≤b 或－b ≤x ≤－a ”来求解，这是种典型的转化与化归的数学思想方法。
3利用平方法去掉绝对值符号对于两边都含有“单项”绝对值的不等式，利用|x |2=2x 可在两边脱去绝对值符号来解，这样解题要比按绝对值定义去讨论脱去绝对值符号解题更为简捷，解题时还要注意不等式两边变量与参变量的取值范围，如果没有明确不等式两边均为非负数，需要进行分类讨论，只有不等式两边均为非负数(式)时，才可以直接用两边平方去掉绝对值，尤其是解含参数不等式时更必须注意这一点。
4利用零点分段法去掉绝对值符号所谓零点分段法，是指：若数1x ，2x ，……，n x 分别使含有|x －1x |，|x －2x |，……，|x －n x |的代数式中相应绝对值为零，称1x ，2x ，……，n x 为相应绝对值的零点，零点1x ，2x ，……，n x 将数轴分为m +1段，利用绝对值的意义化去绝对值符号，得到代数式在各段上的简化式，从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解，即令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集。
带字母绝对值运算
带字母绝对值运算这类题目相对来说比较难,因为没有数字,纯字母运算,初中生来说目前还未适应,但这是数学的趋势,早晚要适应,若不能适应,高中数学肯定学不好;但是其实也不难,掌握了技巧就行,下面详细讲解带字母的绝对值运算题目的解题技巧;首先看一下绝对值的运算：a⎧=⎨⎩a a>0-a a<0只要是绝对值的题目,就按照上面的定义来计算就是了;即正数的绝对值是其本身,负数是其相反数;两个字母的绝对值运算：一、两个数相加：1、两个正数相加,直接去绝对值;a b a b+=+；2、两个负数相加,取相反数ba0()a b a b+=-+3、一正一负相加,正的绝对值大直接去绝对值,负的绝对值大取相反数;1正的绝对值大直接去绝对值ba 0a b a b +=+2负的绝对值大取相反数b a 0()a b a b +=-+二、两个数相减：大的减小的取正号,直接去绝对值符号；小的减大的取负号,取相反数;大小看在数轴的位置,右边的数大于左边的数;b a 0大的减小的：b a b a -=- 小的减大的：()a b a b -=--三、应用的小技巧1、负号和减号是一样的,正号和加号是一样的 如：a b b a -+=-2、绝对值内整体去负号不影响计算结果 如：()a b a b a b --=-+=+例题：若用A 、B 、C 分别表示有理数a 、b 、c,O 为原点,如图所示,已知a ＜c ＜0,b ＞0, 1ac b a c a -+--- 2a b c b a c -+---+-+ 32c a b c b c a +++---B OC A解析： 1a c b a c a -+---这道题全是相减的,这是最容易的;从图上可知a ＜c ＜b,所以 ()a c a c -=--b a b a -=-c a c a -=-所以该题答案为()()()a c b a c a a c b a c a -+---=--+---a cb ac a a b =-++--+=-+ 2a b c b a c -+---+-+这道题有加有减,但需要变形a b b a b a -+=-=-()c b c b c b --=+=-+a c c a c a -+=-=-所以该题答案为a b c b a c -+---+-+()()a b c b a c =-+---+-+a b c b a c =-+++-+222a b c =-++32c a b c b c a+++---这道题有加有减,但是不需要变形+=-+a b a b()-=--()c b c b-=-c a c a所以这道题的答案是：+++---2c a b c b c a=-+----c a b c b c a2()()()=---+-+2c a b c b c a=。
绝对值的性质与计算
绝对值的性质与计算绝对值是初中数学中常见的概念之一，它具有一些特殊的性质和计算方法。
在本文中，我将为大家详细介绍绝对值的性质与计算方法，并通过实例进行说明，帮助中学生和他们的父母更好地理解和应用这一概念。
一、绝对值的定义与性质绝对值是一个数的非负值，用两个竖线表示。
对于任意实数x，其绝对值记作|x |，表示x到原点的距离。
绝对值有以下几个重要性质：1. 非负性：对于任意实数x，| x | ≥ 0。
2. 正负性：如果x > 0，则| x | = x；如果x < 0，则| x | = -x。
3. 非零性：如果x ≠ 0，则| x | ≠ 0。
4. 三角不等式：对于任意实数x和y，有| x + y | ≤ | x | + | y |。
这些性质是我们理解和运用绝对值的基础，可以帮助我们解决一些数学问题。
二、绝对值的计算方法1. 绝对值的计算：当一个数x不为0时，其绝对值等于x本身；当x为0时，其绝对值为0。
例如，| 5 | = 5，| -3 | = 3，| 0 | = 0。
2. 绝对值的运算法则：（1）绝对值的加法：| x + y | ≤ | x | + | y |。
例如，| 3 + 4 | ≤ | 3 | + | 4 |，即7 ≤ 7。
（2）绝对值的减法：| x - y | ≥ | | x | - | y | |。
例如，| 5 - 2 | ≥ | | 5 | - | 2 | |，即3 ≥ 3。
（3）绝对值的乘法：| x * y | = | x | * | y |。
例如，| 2 * 3 | = | 2 | * | 3 |，即6 = 6。
三、绝对值的应用举例1. 求解绝对值方程：绝对值方程是含有绝对值符号的方程。
例如，| x - 3 | = 5。
我们可以通过以下步骤求解：（1）根据绝对值的定义，将方程分为两个情况：x - 3 = 5 或 x - 3 = -5。
（2）求解两个方程，得到x的值：x = 8 或 x = -2。
算式的绝对值混合运算法则及应用
算式的绝对值混合运算法则及应用在数学中，算式的绝对值混合运算法则是一种应用广泛的计算规则，它可以帮助我们解决涉及绝对值的复杂运算问题。
本文将介绍算式的绝对值混合运算法则的基本概念和应用，并通过实际例子展示其在解题过程中的具体运用。
一、算式的绝对值混合运算法则算式的绝对值混合运算法则是指在一个算式中，同时包含有绝对值和其他数学运算符的情况下，按照一定的规则进行计算的方法。
1.1 绝对值的定义首先，我们需要明确绝对值的定义。
对于任意一个实数a，它的绝对值记作|a|，定义如下：当a大于等于0时，|a| = a；当a小于0时，|a| = -a。
1.2 绝对值的混合运算法则算式的绝对值混合运算法则包含以下基本规则：规则1：当一个算式的绝对值与一个常数进行加减运算时，可以先去掉绝对值符号，再进行加减运算。
例如，|3 + 4| = 7，|-3 - 4| = 7。
规则2：当一个算式的绝对值与一个常数进行乘除运算时，可以先去掉绝对值符号，再进行乘除运算。
例如，|2 × 3| = 6，|-6 ÷ 3| = 2。
规则3：当一个算式的绝对值与一个变量进行加减运算时，需要考虑变量的正负情况。
当变量大于0时，|x + a| = x + a；当变量小于0时，|x + a| = -(x + a)。
例如，|x + 2|，当x大于0时，结果为x + 2；当x小于0时，结果为-(x + 2)。
规则4：当一个算式的绝对值与一个变量进行乘除运算时，也需要考虑变量的正负情况。
当变量大于0时，|x × a| = x × a；当变量小于0时，|x × a| = -(x × a)。
例如，|x × 2|，当x大于0时，结果为x × 2；当x小于0时，结果为-(x × 2)。
以上规则可以根据具体的算式和运算需求灵活运用，帮助我们更快速、准确地解决绝对值混合运算问题。
初一绝对值符号
（A） (2)
实数 a、b、c 在数轴上的位置如图所示，则代数式 ）。 （B） （C） （ D）
等于（ （A）
(3)
已知
，化简
的结果是
。
(4) (5) (6) 么 (7)
已知 已知
，化简 ，化简
的结果是 的结果是 且 （提示：可借助数轴完成）
。 。 ，那
已知 a、b、c、d 满足
若 （A）
，则有（ （B）
带绝对值符号的运算
1、对于形如︱ a︱的一类问题 只要根据绝对值的 3 个性质，判断出 a 的 3 种情况，便能快速去掉绝对值符号。 当 a>0 时，︱a︱=a 当 a=0 时︱a︱=0 当 a<0 时；︱a︱= –a (性质 1：正数的绝对值是它本身) ； (性质 2：0 的绝对值是 0) ； (性质 3：负数的绝对值是它的相反数) 。
2、对于形如︱ a+b︱的一类问题 首先要把 a+b 看作是一个整体，再判断 a+b 的 3 种情况，根据绝对值的 3 个性质，便能快 速去掉绝对值符号进行化简。 当 a+b>0 时，︱a+b︱=(a+b) =a +b 当 a+b=0 时，︱a+b︱=(a+b) =0 当 a+b<0 时，︱a+b︱=–(a+b)=–a-b (性质 1：正数的绝对值是它本身) ； (性质 2： 0 的绝对值是 0)； (性质 3：负数的绝对值是它的相反数)。
）。
（A）y 没有最小值 （B）有有限多个 x 使 y 取到最小值 （C）只有一个 x 使 y 取得最小值 （D）有无穷多个 x 使 y 取得最小值 （12）、若
x2 x2
带绝对值和根号的混合运算题
带绝对值和根号的混合运算题
摘要：
1.绝对值和根号的概念
2.混合运算题的类型
3.解法一：分别求绝对值和根号内的运算，再进行合并
4.解法二：利用绝对值和根号的性质进行化简
5.练习题及答案
正文：
一、绝对值和根号的概念
绝对值是一个数到0 的距离，用符号“| |”表示，其值永远为非负数。
例如，|3| = 3，|-3| = 3。
根号表示一个数的平方根，用符号“√”表示。
例如，√9 = 3，√25 = 5。
二、混合运算题的类型
混合运算题是指既包含绝对值，又包含根号的运算题。
例如，求解|x - 3| + √(x^2 - 2x + 1)。
三、解法一：分别求绝对值和根号内的运算，再进行合并
对于混合运算题，我们可以先分别求出绝对值和根号内的运算结果，然后将它们进行合并。
以|x - 3| + √(x^2 - 2x + 1) 为例：
1.计算绝对值内的运算：|x - 3| = x - 3 (因为x - 3 >= 0)
2.计算根号内的运算：x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2
3.将两个结果合并：(x - 3) + √((x - 1)^2) = x - 3 + |x - 1|
四、解法二：利用绝对值和根号的性质进行化简
我们可以利用绝对值和根号的性质，对混合运算题进行化简。
含字母绝对值、开方运算的计算题
含字母绝对值、开方运算的计算题含字母的绝对值和开方运算在数学中十分常见，它们在实际计算中有着广泛的应用。
下面，我们将详细介绍这两者的意义、计算方法和一些实际的计算题解析。
首先，我们来了解含字母绝对值的意义和计算方法。
绝对值是一个数到零点的距离，无论正负，其绝对值都是非负数。
在含有字母的式子中，字母的绝对值表示的是字母所代表的数到零点的距离。
例如，|a|表示a的绝对值，如果a是正数，那么|a|就等于a；如果a是负数，那么|a|就等于-a。
当字母代表的是实数时，绝对值的计算方法遵循常规的计算规则，例如，|3x|表示3x的绝对值，而|-3x|则表示-3x的绝对值。
其次，我们来了解一下开方运算。
开方运算是指求一个数的平方根，也就是找到一个数，使得这个数的平方等于被开方数。
开方运算可以用符号√表示，例如，√9表示求9的平方根，结果是3。
在含有字母的式子中，开方运算表示的是字母所代表的数的平方根。
例如，√a表示a的平方根，如果a是正数，那么√a就等于a；如果a是负数，那么√a就没有实数解。
接下来，我们来看一些含有字母绝对值和开方运算的计算题解析。
例如，题目给出：|2x-3| + √(4-x)。
这道题中，我们需要先计算2x-3的绝对值，再计算4-x的平方根，最后将两个结果相加。
解题步骤如下：1.计算2x-3的绝对值：当2x-3大于等于0时，绝对值等于2x-3；当2x-3小于0时，绝对值等于3-2x。
2.计算4-x的平方根：由于4-x大于等于0，所以其平方根等于4-x。
3.将两个结果相加：根据第一步和第二步的结果，我们可以得到两种情况，分别是2x-3+4-x和3-2x+4-x，简化后得到x+1和7-3x。
最后，我们来看一下含字母绝对值和开方运算在实际应用中的例子。
假设我们要计算一个长方体的体积，其长、宽、高分别为a、b和c。
那么，体积V 等于长a乘以宽b再乘以高c，即V = a * b * c。
在实际计算中，我们可能需要先计算ab和ac的绝对值，然后再计算体积。
带绝对值的式子-概述说明以及解释
带绝对值的式子-概述说明以及解释1.引言1.1 概述绝对值是数学中一个基本的概念，它可以用来表示一个数到原点的距离。
在数学和实际应用中，经常会遇到带有绝对值的式子，这些式子在解决问题和分析情况时起着重要的作用。
带有绝对值的式子通常会出现在方程、不等式、函数和数列等数学问题中。
它们的出现使得问题更加复杂，但同时也赋予了问题更多的可能性和灵活性。
因此，对带有绝对值的式子有一个全面的理解，对于我们解决问题和发现数学中的美妙关系具有重要的意义。
本文将介绍绝对值的定义和性质，探讨带有绝对值的基本运算，以及探讨如何解决带有绝对值的等式和不等式。
通过对这些内容的学习和研究，我们将能够更好地理解和应用带有绝对值的式子。
在正文部分，我们将首先介绍绝对值的定义和性质，深入探讨它的几个重要概念，如非负性、可加性和三角不等式等。
然后，我们将讨论带有绝对值的基本运算，包括加法、减法、乘法和除法等。
通过对这些运算法则的研究，我们将能够更加灵活地处理带有绝对值的式子。
接下来，我们将探讨如何解决带有绝对值的等式和不等式。
这部分内容将引入绝对值方程和不等式的求解方法，并通过实际例子进行说明。
我们将学习如何将带有绝对值的问题转化为无绝对值的问题，并找到合适的解。
通过掌握这些方法，我们将能够更加自信地解决带有绝对值的等式和不等式。
最后，在结论部分，我们将总结带有绝对值的式子的特点和应用场景。
我们将回顾已学知识，概括带有绝对值的式子的一些重要特性，并且讨论在实际问题中如何应用这些知识。
此外，我们还将展望对带有绝对值的式子的进一步研究，探讨一些可能的发展方向和未来的研究方向。
通过本文的学习和研究，我们将能够更好地理解和应用带有绝对值的式子。
带有绝对值的式子不仅仅是数学中的一种概念和工具，更是一种思维方式和解决问题的途径。
相信通过我们的共同努力，我们可以更好地掌握和应用带有绝对值的式子，为解决实际问题和发展数学做出更大的贡献。
1.2 文章结构在本文中，我们将探讨带有绝对值的式子。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
带绝对值符号的运算
在初中数学中，如何去掉绝对值符号？因为这一问题看似简单，所以往往容易被人们忽视。
其实它既是初中数学的一个重点，也是初中数学的一个难点，还是容易搞错的问题。
那么，如何去掉绝对值符号呢？我认为应从以下几个方面着手：
一、要理解数a的绝对值的定义。
在中学数学教科书中，数a的绝对值是这样
定义的，“在数轴上，表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值。
”学习这个定义应让理解，数a的绝对值所表示的是一段距离，那么，不论数a本身是正数还是负数，它的绝对值都应该是一个非负数。
二、要弄清楚怎样去求数a的绝对值。
从数a的绝对值的定义可知，一个正
数的绝对值肯定是它的本身，一个负数的绝对值必定是它的相反数，零的绝对值就是零。
在这里要让学生重点理解的是，当a是一个负数时，怎样去表示a的相反数（可表示为“-a”），以及绝对值符号的双重作用（一是非负的作用，二是括号的作用）。
三、掌握初中数学常见去掉绝对值符号的几种题型。
1、对于形如︱a︱的一类问题
只要根据绝对值的3个性质，判断出a的3种情况，便能快速去掉绝对值符号。
当a>0时，︱a︱=a (性质1：正数的绝对值是它本身)；
当a=0 时︱a︱=0 (性质 2：0的绝对值是0) ；
当 a<0 时；︱a︱=–a (性质3：负数的绝对值是它的相反数) 。
2、对于形如︱a+b︱的一类问题
首先要把a+b看作是一个整体，再判断a+b的3种情况，根据绝对值的3个性质，便能快速去掉绝对值符号进行化简。
当a+b>0时，︱a+b︱=(a+b) =a +b (性质1：正数的绝对值是它本身)；
当a+b=0 时，︱a+b︱=(a+b) =0 (性质 2：0的绝对值是0)；
当 a+b<0 时，︱a+b︱=–(a+b)=–a-b (性质3：负数的绝对值是它的相反数)。
3、对于形如︱a-b︱的一类问题
同样，仍然要把a-b看作一个整体，判断出a-b 的3种情况，根据绝对值的3个性质，去掉绝对值符号进行化简。
但在去括号时最容易出现错误。
如何快速去掉绝对值符号，条件非常简单，只要你能判断出a与b的大小即可（不论正负）。
因为︱大-小︱=︱小-大︱=大-小，所以当a>b时，︱a-b︱=（a-b）= a-b，︱b-a︱=（a-b）= a-b 。
口诀：无论是大减小，还是小减大，去掉绝对值，都是大减小。
4、对于数轴型的一类问题，
根据3的口诀来化简，更快捷有效。
如︱a-b︱的一类问题，只要判断出a在b的右边（不论正负），便可得到︱a-b︱=（a-b）=a-b，︱b-a︱=（a-b）=a-b 。
5、对于绝对值符号前有正、负号的运算
非常简单，去掉绝对值符号的同时，不要忘记打括号。
前面是正号的无所谓，如果是负号，忘记打括号就惨了，差之毫厘失之千里也！
去绝对值化简专题练习：
（1）设化简的结果是（）。
（A）（B）（C）（D）
(2) 实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则代数式的值等于（）。
（A）（B）（C）（D）
(3) 已知，化简的结果是。
(4) 已知，化简的结果是。
(5) 已知，化简的结果是。
(6) 已知a、b、c、d满足且，那么
（提示：可借助数轴完成）
(7) 若
，则有（ ）。
（A ） （B ） （C ） （D ）
(8) 有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则式子
化简结果为（ ）．
（A ） （B ） （C ） （D ）
(9) 有理数a 、b 在数轴上的对应点如图所示，那么下列四个式子，
中负数的个数是（ ）．
（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3
(10) 化简
(11) 设x 是实数， 下列四个结论中正确的是（
）。
（A ）y 没有最小值
（B ）有有限多个x 使y 取到最小值
（C ）只有一个x 使y 取得最小值
（D ）有无穷多个x 使y 取得最小值
（12）、当1x =-时，则22x x -++= ．
（13）、已知15x <≤，化简15x x -+- （14）、已知3x <-，化简321x +-+.
（15）、如果010m <<并且10m x ≤≤，化简1010x m x x m -+-+--.
（16）、如果有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，求a b a c b c ++--+的值.
b -1
c 0 a 1
（17）．已知a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简：|2a|﹣|a+c|﹣|1﹣b|+|﹣a ﹣b|
（18）．有理数a ，b ，c 在数轴上的对应位置如图，化简：|a ﹣b|+|b ﹣c|+|a ﹣c|．
（19）.若|3a+5|=|2a+10|，求a的值．
（20）.已知|m﹣n|=n﹣m，且|m|=4，|n|=3，求（m+n）2的值．
（21）．a、b在数轴上的位置如图所示，化简：|a|+|a﹣b|﹣|a+b|．
（22）．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，
试化简下式：|a﹣c|﹣|a﹣b|﹣|b﹣c|+|2a|．
（23）．已知：有理数a、b在数轴上对应的点如图，化简|a|+|a+b|﹣|1﹣a|﹣|b+1|．
（24）．（1）|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值？
（2）|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣1|的最小值？
（3）|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣20|的最小值？（25）．计算：|﹣|+|﹣|+|﹣|+…+|﹣| （26）．试求|x﹣1|+|x﹣3|+…+|x﹣2003|+|x﹣2005|的最小值．（27）．计算：．。