解绝对值题的关键：去绝对值符号
高考数学含绝对值的不等式的解法
含绝对值不等式的解法
1、绝对值的意义： 其几何意义是数轴的点A（a）离开原点的距离
OA a
a, a 0
a
0,
a
0
a, a 0
2、含有绝对值不等式的解法： （解绝对值不等式的关键在于去掉绝对值的符号）
（1）定义法； （2）零点分段法：通常适用于含有两个及两个以上的绝
f x gx gx f x gx f x gx f x gx或f x gx
a f x bb a 0 a f x b或 b f x a
3、不等式的解集都要用集合形式表示，不要使用 不等式的形式。
是空的，现在想把所有的货物集中存放在一个仓库里， 如果每吨货物运输一千米需要0.5元运输费,那么最少 要多少运费才行?
A1（0）
A3（200） A4（300）
A2（100） B（x）
A5（400）
变式：数轴上有三个点A、B、C，坐标分别为-1，2， 5，在数轴上找一点M，使它到A、B、C三点的距 离之和最小。
小结：
1、解关于绝对值的不等式，关键是理解绝对值的意 义，掌握其基本类型。
2、解绝对值不等式有时要利用数形结合，利用绝对 值的几何意义，结合数轴解决。
作业：
；石器时代私服 / 石器时代私服 ；
步度根与轲比能等通过乌桓校尉阎柔上贡 能冲破儒家思想的束缚 章武三年（223年）中都护近似中书 曹魏大致继承东汉的疆域及政区制度 成为孙氏宗族的起源 隔三峡与汉军相持 张辽·乐进·于禁·张郃·徐晃 建安十九年 李典·典韦·许褚·高览·臧霸·吕虔·庞德·文聘·郝 昭·王双·郭淮·诸葛诞·文鸯·陈泰·段煨·司马师·张允·蔡瑁·曹彰·张绣 因晋武帝为王肃外孙 被许贡门客刺杀
如何去掉绝对值符号
如何去掉绝对值符号解绝对值不等式的关键就是去掉绝对值的符号把它转化为等价的一般不等式。
怎样去掉绝对符号呢？一般有以下几种方法。
一、绝对值定义法由绝对值的定义可知绝对值的几何意义是：“实数的绝对值是在数轴上表示的点离开原点的距离。
”如，χ=α(α＞0)的几何意义是χ在数轴上离开原点的距离等于α个单位长度，它在数轴上对应的数的点是α和－α，即χ=±α，若χ≠α，那么就有χ＜α和χ＞α两种情况。
根据绝对值的几何意义，χ＜α就是χ离开原点的距小于α个单位长度，如图所以－α＜χ＜α；同理，χ＞α就是χ离开原点的距离大于α个单位长度，如图所以，χ＞α或χ＞－α。
这样就把绝对符号去掉了，这种方法叫绝对值定义法。
如果绝对值符号内是一个代数式，同样按上述原理去掉绝对值符号转化为一般不等式再解之。
如：例1，解不等式3χ－5≥1解：由绝对值的定义去掉绝地值符号得3χ－5≥1或3χ－5≥－1。
∴χ≥2或χ≤■，即为原不等式的解。
二、零点分段法去掉绝对值符号其实就是取决于绝对值符号内的代数式的符号，而其符号又取决于它相对应的零点。
所谓“零点”，就是绝对值符号内的代数式等于零时χ的数值。
如χ－3的零点就是当χ－3=0时，χ=3为零点。
如果命题中有多个绝对值符号，那么就有多个零点。
我们把这些零点按大小顺序排列在数轴上，然后实行分段去掉绝对值符号，同时求出每一段不等式的解集，而这些解集的并集就是原不等式的解集。
这种方法叫零点分段法。
如：例2，解不等式χ+7－χ－2＜3解：因为χ+7的零点是χ=－7，χ－2的零点是χ=2，它把数轴分成了三个部分，如图(1)当χ＞2时，去掉绝对值符号原不等式左边＝χ+7－χ+2=9，则9＜3显然不成立。
∴不等式无解；(2)当－7＜χ＜2时，去掉绝对值符号原不等式左边＝χ+7+χ－2=2χ+5，∴原不等式为2χ+5＜3，即χ＜－1，∴不等式的解是－7＜χ＜－1。
(3)当χ＜－7时，去掉绝对值符号原不等式左边=(χ+7)+(χ－3)=9，得出－9＜3成立，∴不等式的解是χ＜－7。
七上 去掉绝对值符号的几种题型
去掉绝对值符号的几种题型1、对于形如︱a︱的一类问题只要根据绝对值的3个性质，判断出a的3种情况，便能快速去掉绝对值符号。
当a>0时，︱a︱=a (性质1：正数的绝对值是它本身) ；当a=0 时︱a︱=0 (性质 2：0的绝对值是0) ；当 a<0 时；︱a︱=–a (性质3：负数的绝对值是它的相反数) 。
2、对于形如︱a+b︱的一类问题首先要把a+b看作是一个整体，再判断a+b的3种情况，根据绝对值的3个性质，便能快速去掉绝对值符号进行化简。
当a+b>0时，︱a+b︱=(a+b) =a +b (性质1：正数的绝对值是它本身) ；当a+b=0 时，︱a+b︱=(a+b) =0 (性质 2：0的绝对值是0)；当 a+b<0 时，︱a+b︱=–(a+b)=–a-b (性质3：负数的绝对值是它的相反数)。
3、对于形如︱a-b︱的一类问题同样，仍然要把a-b看作一个整体，判断出a-b 的3种情况，根据绝对值的3个性质，去掉绝对值符号进行化简。
但在去括号时最容易出现错误。
如何快速去掉绝对值符号，条件非常简单，只要你能判断出a与b的大小即可（不论正负）。
因为︱大-小︱=︱小-大︱=大-小，所以当a>b时，︱a-b︱=（a-b）= a-b，︱b-a︱=（a-b）= a-b 。
口诀：无论是大减小，还是小减大，去掉绝对值，都是大减小。
4、对于数轴型的一类问题，根据3的口诀来化简，更快捷有效。
如︱a-b︱的一类问题，只要判断出a在b的右边（不论正负），便可得到︱a-b︱=（a-b）=a-b，︱b-a︱=（a-b）=a-b 。
5、对于绝对值符号前有正、负号的运算非常简单，去掉绝对值符号的同时，不要忘记打括号。
前面是正号的无所谓，如果是负号，忘记打括号就惨了，差之毫厘失之千里也！1、设化简的结果是（）。
（A）（B）（C）（D）2、实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则代数式的值等于（）。
不等式绝对值符号的去掉法则
不等式绝对值符号的去掉法则
不等式绝对值符号的去掉法则是一种用于简化不等式的方法，它涉及到将不等式中的绝对值符号去掉，并考虑绝对值内部的正负号。
这个法则有两种情况，一种是当绝对值内部的表达式为正数或零，另一种是当表达式为负数时。
情况1：绝对值内部的表达式为正数或零
如果绝对值内部的表达式为正数或零，那么可以将绝对值符号去掉而不改变不等式的方向。
即，如果：
|a| ≤ b，其中a ≥ 0，则可以简化为a ≤ b。
情况2：绝对值内部的表达式为负数
如果绝对值内部的表达式为负数，那么需要将绝对值符号去掉并同时改变不等式的方向。
即，如果：
|a| ≤ b，其中a < 0，则可以简化为-a ≥ b 或a ≤ -b。
请注意，在情况2中，不仅需要去掉绝对值符号，还需要反转不等式的方向，并且可以使用一个负号将绝对值内的表达式变为正数。
下面是一个示例，演示如何应用不等式绝对值符号的去掉法则：
原始不等式：|3x - 2| ≤ 5
情况1（绝对值内部的表达式为正数或零）：3x - 2 ≥ 0
解这个情况1的不等式：3x - 2 ≤ 5，然后解出x的值。
情况2（绝对值内部的表达式为负数）：3x - 2 < 0
解这个情况2的不等式：-(3x - 2) ≤ 5，然后解出x的值，然后考虑x的范围。
这种方法使不等式的求解更加灵活，因为它考虑了绝对值内部表达式的正负情况。
去绝对值常用方法
去绝对值常用“六招”（初一）去绝对值常用“六招”（初一）绝对值是初中数学的一个重要概念，是后续学习的必备知识。
解绝对值问题要求高，难度大，不易把握，解题易陷入困境。
下面就教同学们去绝对值的常用几招。
一、根据定义去绝对值例1、当a = -5，b = 2，c = - 8时，求3│a│-2│b│- │c│的值分析：这里给出的是确定的数，所以根据绝对值的意义即正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。
代值后即可去掉绝对值。
解：因为：a = -5＜0，b =2＞0，c = -8＜0所以由绝对值的意义，原式= 3 [ -（-5）] – 2 ×2 - [ - ( - 8 ) ] = 7二、从数轴上“读取”相关信息去绝对值例2、有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，且│a│=│b│，化简│c-a│+│c-b│+│a+b│-│a│分析：本题的关键是确定c - a、c-b、a + b的正负性，由数轴上点的位置特征，即可去绝对值。
解：由已知及数轴上点的位置特征知：a＜0＜c＜b 且- a = b从而c – a ＞0 ，c - b＜0，a + b = 0故原式= c - a + [ - ( c – b ) ] + 0 - ( - a ) = b 三、由非负数性质去绝对值例3：已知│a2-25│+ ( b – 2 )2= 0，求ab的值。
分析：因为绝对值、完全平方数为非负数，几个非负数的和为零，则这几个数均为“0”。
解：因为│a2-25│+ ( b – 2 )2= 0 由绝对值和非负数的性质：a2-25 = 0 且b – 2 = 0即a = 5b = 2 或a = - 5b = 2故ab = 10或ab = - 10四、用分类讨论法去绝对值例4、若abc≠0，求+ + 的值。
分析：因abc≠0，所以只需考虑a、b、c同为正号还是同为负号；两个同为正（负）号，另一个为负（正）号，共八种情况。
去绝对值符号的方法
去绝对值符号的方法去绝对值符号的方法有：利用定义法去掉绝对值符号；利用不等式的性质去掉绝对值符号；利用平方法去掉绝对值符号；利用零点分段法去掉绝对值符号；利用数形结合去掉绝对值符号。
绝对值的运算法则：正数的绝对值是正数本身；负数的绝对值取相反数；0的绝对值是0本身。
去绝对值符号的方法1．利用定义法去掉绝对值符号⎧x(x≥0)⎧-c0)根据实数含绝对值的意义，即|x|=⎧，有|x|⎧xc(c>0)⎧|x|>c⇔⎨x≠0(c=0)⎧x∈R(c2．利用不等式的性质去掉绝对值符号利用不等式的性质转化|x|c(c>0)来解，如|ax+b|>c(c>0)可为ax+b>c或ax+b对于含绝对值的双向不等式应化为不等式组求解，也可利用结论“a≤|x|≤b⇔a≤x≤b或－b≤x≤－a”来求解，这是种典型的转化与化归的数学思想方法。
3．利用平方法去掉绝对值符号对于两边都含有“单项”绝对值的不等式，利用|x|2=x2可在两边脱去绝对值符号来解，这样解题要比按绝对值定义去讨论脱去绝对值符号解题更为简捷，解题时还要注意不等式两边变量与参变量的取值范围，如果没有明确不等式两边均为非负数，需要进行分类讨论，只有不等式两边均为非负数(式)时，才可以直接用两边平方去掉绝对值，尤其是解含参数不等式时更必须注意这一点。
4．利用零点分段法去掉绝对值符号所谓零点分段法，是指：若数x1，x2，......，xn分别使含有|x－x1|，|x－x2|，......，|x－xn|的代数式中相应绝对值为零，称x1，x2， (x)为相应绝对值的零点，零点x1，x2，……，xn将数轴分为m+1段，利用绝对值的意义化去绝对值符号，得到代数式在各段上的简化式，从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解，即令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集。
零点分段法是解含绝对值符号的不等式的常用解法，这种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法，它可以把求解条理化、思路直观化。
合理地去绝对值符号
合理地去绝对值符号作者：王光华来源：《新高考·高二数学》2012年第05期合理地去绝对值符号，是解决含有绝对值的不等式问题的关键. 现以近年高考题、模拟题中的一些试题为例说明一、讨论后去绝对值例1若关于x的不等式x+|x-1|≤a有解，求实数a的取值范围.●解设（x）=x+|x-1|，则（x）=2x-1，x≥1，， x＜1.f（x）的最小值为因为-有解，即（x）有解，所以．例2设函数（x）=|x-1|+|x-a|．（1）若-1，解不等式f（x）；（2）如果∈R，f（x）≥2，求a的取值范围.●解（1）当-时，（x）=|x-，由（x）得-1|+|x+1|≥3，不等式可化为-1，-或-1＜x≤1，或＞1，，所以不等式的解集为-或．（2）若，f（x）=2|x-1|，不满足题设条件；若＜1，（x）=-2x+a+1，x≤a，-a， a＜x＜1，-（a+1），x≥1，f（x）的最小值为-；若＞1，（x）=-2x+a+1，x≤1，-1， 1＜x＜a，-（a+1），x≥a，f（x）的最小值为-1．所以对于∈R，（x）的充要条件是-1|≥2，从而a的取值范围为（-∞，-1］∪［3，+∞）．●评●注根据绝对值的定义，--， x＞，-，x＜在零点处对x加以讨论，可有效地去掉绝对值符号二、平方后去绝对值例3不等式|x+1||x+2|≥1的实数解为●解且（x+1）（x+2）且--3且x≠-2，解得-且-2．所以原不等式的实数解集为（-∞，-2）∪-2，-32．●评●注我们知道，若＞0，则＜＜；|x|＞＞．因此，借助平方的方法我们可以方便地去掉绝对值符号三、运用绝对值的几何意义例4 已知a∈R，若关于x的方程-有实根，则a的取值范围是 .●解因为方程-有实根，由-4a-14+|a|≥0，得-，由绝对值的几何意义(如图1)可知．图所以．●评●注-的几何意义是数轴上动点a到定点14的距离，|a|的几何意义是数轴上动点a到定点0的距离，要使这两个距离之和不大于14，a只能在14和0之间四、运用含有绝对值的不等式的性质例5设（x）-x+1，实数a满足-a|＜1．求证：（x）-f（a）|＜（）．●证●明因为（x）-x+1，|x-a|＜1，所以（x）-f（a）-x--a|·|x+a-1|＜|x+a-1|．因为-1|=|（x-a）+（2a-1）--1|＜1+|2a|+1=2（|a|+1），所以（x）-f（a）|＜2（|a|+1）．●评●注含有绝对值的不等式具有如下性质：，|a|-，|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|．利用这些性质我们可以无需讨论、平方，就能够使含有绝对值的不等式的有关问题迎刃而解含有绝对值的不等式，其“难”就难在绝对值上，只要我们掌握了以上几种解决的方法，就可以化难为易了.。
含绝对值不等式的解法
4.重要绝对值不等式 ||a|-|b||≤|ab|≤|a|+|b|. 使用时(特别是求最值)要注意等号成立的条件, 即: |a+b|=|a|+|b|ab≥0; |a-b|=|a|+|b|ab≤0; |a|-|b|=|a+b|b(a+b)≤0; |a|-|b|=|a-b|b(a-b)≥0. 注: |a|-|b|=|a+b||a|=|a+b|+|b| |(a+b)-b|=|a+b|+|b| b(a+b)≤0. 同理可得 |a|-|b|=|a-b|b(a-b)≥0.
典型例题 2 解不等式 ||x+3|-|x-3||>3.
解法一 零点分区间讨论 原不等式等价于: x<-3, -3≤x≤3, x>3, |-x-3+x-3|>3, 或 |x+3+x-3|>3, 或 |x+3-x+3|>3. 3 <x≤3 或 x>3. 即 x<-3 或 -3≤x<- 3 或 2 2 3 3 ∴x<- 2 或 x> 2 . 3 3 ∴原不等式的解集为 (-∞, - 2 )∪( 2 , +∞). 解法二 两边平方 原不等式等价于 (|x+3|-|x-3|)2>9. 即 2x2+9>2|x2-9|( 2x2+9)2>(2|x2-9|)2. 3 3 2 即 4x -9>0. ∴x<- 2 或 x> 2 . 3 3 ∴原不等式的解集为 (-∞, - 2 )∪( 2 , +∞).
备选题 4 已知函数 f(x)=x3+ax+b 定义在区间 [-1, 1] 上, 且 f(0)=f(1), 又 P(x1, y1), Q(x2, y2) 是其图象上任意两点(x1x2). (1)设直线 PQ 的斜率为k, 求证: |k|<2; (2)若 0≤x1<x2≤1, 求证: |y1-y2|<1. 解: (1)∵f(0)=f(1), ∴b=1+a+b. ∴a=-1. ∴f(x)=x3-x+b. y 2- y 1 1 则 k= x -x = x -x [(x23-x2+b)-(x13-x1+b)] 2 1 2 1 1 = x -x [(x23-x13)-(x2-x1)] =x22+x1x2+x12-1. 2 1 ∵x1, x2[-1, 1] 且 x1x2, ∴0<x22+x1x2+x12<3. ∴-1<x22+x1x2+x12-1<2. ∴|x22+x1x2+x12-1|<2. 即 |k|<2. (2)∵0≤x1<x2≤1, ∴由(1)知 |y2-y1|<2|x2-x1|=2(x2-x1). ① 又 |y2-y1|=|f(x1)-f(x2)|=|f(x1)-f(0)+f(1)-f(x2)| ≤|f(x1)-f(0)|+|f(1)-f(x2)|<2|x1-0|+2|1-x2|=2(x1-x2)+2
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带绝对值符号的运算
在初中数学教学中，如何去掉绝对值符号？因为这一问题看似简单，所以往往容易被人们忽视。
其实它既是初中数学教学的一个重点，也是初中数学教学的一个难点，还是学生容易搞错的问题。
那么，如何去掉绝对值符号呢？我认为应从以下几个方面着手：
一、要理解数a的绝对值的定义。
在中学数学教科书中，数a的绝对值是这样定义的，“在数轴上，表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值。
”学习这个定义应让学生理解，数a的绝对值所表示的是一段距离，那么，不论数a本身是正数还是负数，它的绝对值都应该是一个非负数。
二、要弄清楚怎样去求数a的绝对值。
从数a的绝对值的定义可知，一个正数的绝对值肯定是它的本身，一个负数的绝对值必定是它的相反数，零的绝对值就是零。
在这里要让学生重点理解的是，当a是一个负数时，怎样去表示a的相反数（可表示为“-a”），以及绝对值符号的双重作用（一是非负的作用，二是括号的作用）。
三、掌握初中数学常见去掉绝对值符号的几种题型。
1、对于形如︱a︱的一类问题
只要根据绝对值的3个性质，判断出a的3种情况，便能快速去掉绝对值符号。
当a>0时，︱a︱=a(性质1：正数的绝对值是它本身)；
当a=0 时︱a︱=0(性质2：0的绝对值是0) ；
当a<0 时；︱a︱=–a (性质3：负数的绝对值是它的相反数) 。
2、对于形如︱a+b︱的一类问题
首先要把a+b看作是一个整体，再判断a+b的3种情况，根据绝对值的3个性质，便能快速去掉绝对值符号进行化简。
当a+b>0时，︱a+b︱=(a+b) =a +b(性质1：正数的绝对值是它本身)；
当a+b=0 时，︱a+b︱=(a+b) =0(性质2：0的绝对值是0)；
当a+b<0 时，︱a+b︱=–(a+b)=–a-b (性质3：负数的绝对值是它的相反数)。
3、对于形如︱a-b︱的一类问题
同样，仍然要把a-b看作一个整体，判断出a-b 的3种情况，根据绝对值的3个性质，去掉绝对值符号进行化简。
但在去括号时最容易出现错误。
如何快速去掉绝对值符号，条件非常简单，只要你能判断出a与b的大小即可（不论正负）。
因为︱大-小︱=︱小-大︱=大-小，所以当a>b时，︱a-b︱=（a-b）= a-b，︱b-a︱=（a-b）= a-b 。
口诀：无论是大减小，还是小减大，去掉绝对值，都是大减小。
4、对于数轴型的一类问题，
根据3的口诀来化简，更快捷有效。
如︱a-b︱的一类问题，只要判断出a在b的右边（不论正负），便可得到︱a-b︱=（a-b）=a-b，︱b-a︱=（a-b）=a-b 。
5、对于绝对值符号前有正、负号的运算
非常简单，去掉绝对值符号的同时，不要忘记打括号。
前面是正号的无所谓，如果是负号，忘记打括号就惨了，差之毫厘失之千里也！
去绝对值化简专题练习：
（1）设化简的结果是（ B ）。
（A）（B）（C）（D）
(2) 实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则代数式的值等于（ C ）。
（A）（B）（C）（D）
(3) 已知，化简的结果是 x-8 。
(4) 已知，化简的结果是 -x+8 。
(5) 已知，化简的结果是 -3x 。
(6) 已知a、b、c、d满足且，那么a+b+c+d=____0_____ （提示：可借助数轴完成）
(7) 若，则有（ A ）。
（A）（B）（C）（D）
(8) 有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则式子化简结果为（ C ）．
（A）（B）（C）（D）
(9) 有理数a、b在数轴上的对应点如图所示，那么下列四个式子，
中负数的个数是（B ）．
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
(10) 化简 =
(1)-3x (x<-4) (2)-x+8(-4≤x≤2)(3)3x(x>2)
(11) 设x是实数，下列四个结论中正确的是（ D ）。
（A）y没有最小值
（B）有有限多个x使y取到最小值
（C）只有一个x使y取得最小值
（D）有无穷多个x使y取得最小值。