双曲线专题复习讲义

双曲线专题复习讲义
★知识梳理★
1. 双曲线的定义:
当1212||||||2||PF PF a F F -=<时, P 的轨迹为双曲线; 当1212||||||2||PF PF a F F -=>时, P 的轨迹_____________;
当21212||F F a PF PF ==-时, P 的轨迹为___________________________ 2. 双曲线的标准方程与几何性质
★重难点突破★
1.注意定义中“陷阱”
问题1：已知12(5,0),(5,0)F F -，一曲线上的动点P 到21,F F 距离之差为6，则双曲线的方程为 2.注意焦点的位置
问题2：双曲线的渐近线为x y 2
3
±
=，则离心率为 ★热点考点题型探析★
考点1 双曲线的定义及标准方程 题型1：运用双曲线的定义
例1. 如图2所示，F 为双曲线1
16
9:
2
2=-y x C 的左 焦点，双曲线C 上的点i P 与()3,2,17=-i P i 关于y 轴对称， 则F P F P F P F P F P F P 654321---++的值是（ ） A ．9 B ．16 C ．18 D ．27
练习1.设P 为双曲线112
2
2
=-y x 上的一点F 1、F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|：|PF 2|=3：2，则△PF 1F 2的面积为 （ ）
A ．36
B ．12
C ．312
D ．24
题型2 求双曲线的标准方程
[例2 ] 已知双曲线C 与双曲线162
x －4
2y =1有公共焦点，且过点（32，2）.求双曲线C
的方程．
练习：1曲线
)6(161022<=-+-m m y m x 与曲线)95(1952
2<<=-+-n n
y n x 的 （ ）
A ．焦距相等
B ．焦点相同
C ．离心率相等
D ．以上都不对
2 已知椭圆1532
222=+n y m x 和双曲线13222
22=-n y m x 有公共的焦点，（1）求双曲线的渐近
线方程（2）直线l 过焦点且垂直于x 轴，若直线l 与双曲线的渐近线围成的三角形的面积为
4
3
，求双曲线的方程 考点2 双曲线的几何性质 题型1 求离心率或离心率的范围
例3.已知双曲线
22
1x y m n
-=的一条渐近线方程为43y x =，则该双曲线的离心率e 为
题型2 与渐近线有关的问题
[例4]若双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的
离心率为 （ ） A.2
B.3
C.5
D.2
例5、（1）已知F 1、F 2分别是双曲线 x 2a 2 － y 2
b 2 =1（a >0,b >0）的左、右两焦点，
过F 2作垂直于x 轴的直线，在第一象限交双曲线于点P ，若∠PF 1F 2=30°，求双
曲线的渐近线方程．
（2）已知双曲线的渐近线方程为x y 4
3±=，求双曲线的离心率。

练习：焦点为（0，6），且与双曲线12
22
=-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是 （ ）
A ．1241222=-y x
B ．1241222=-x y
C ．1122422=-x y
D ．1
12242
2=-y x
考点3 焦点三角形
点P 是双曲线13
422=-y x 上一点，F 1、F 2是双曲线焦点，若∠F 1PF 2=120o ， 则∆F 1PF 2的面积
练习：设21,F F 是双曲线
116
92
2=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上，且 6021=∠PF F ，求∆21PF F 的面积。

考点3 中点弦问题
已知双曲线方程为2222=-y x ,
（1）求过点P （1，2）的直线l 的斜率k 的取值范围，使直线与双曲线
有一个交点，两个交点，没有交点。

(2) 过点P （1，2）的直线交双曲线于A 、B 两点，若P 为弦AB 的中点，
求直线AB 的方程；
（3）是否存在直线l ，使Q （1，1）为l 被双曲线所截弦的中点？若存在，
求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由。

变式：已知双曲线12
2
2
=-y x ,问过点A （1，1）能否作直线l ,使l 与双曲线交于P 、Q 两点，并且A 为线段PQ 的中点？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，说明理由。

抛物线
基础梳理
1．抛物线的定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不过F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线． 其数学表达式：|MF |＝d (其中d 为点M 到准线的距离)． 2．抛物线的标准方程与几何性质
标准 方程
y 2＝2px
(p >0)
y 2＝－2px
(p >0)
x 2＝2py
(p >0)
x 2＝－2py
(p >0)
p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离
图形
顶点 O (0,0)
对称 轴 y ＝0
x ＝0
焦点 F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫p 2
，0 F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－p 2
，0 F ⎝
⎛⎭
⎪⎫0，p 2 F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，－p 2
离心 率 e ＝1
准线 方程 x ＝－p 2
x ＝p 2
y ＝－p 2
y ＝p 2
范围 x ≥0，y ∈R
x ≤0，y ∈R
y ≥0，x ∈R
y ≤0，x ∈R
开口 方向 向右 向左 向上 向下 焦半 径
|PF |＝
x 0＋p 2
|PF |＝ －x 0＋p
2
|PF |＝
y 0＋p 2
|PF |＝ －y 0＋p
2
双基自测
1．(人教A 版教材习题改编)抛物线y 2
＝8x 的焦点到准线的距离是( )． A ．1 B ．2 C ．4 D ．8
2．(2012·金华模拟)已知抛物线的焦点坐标是(0，－3)，则抛物线的标准方程是
( )．
A ．x 2
＝－12y B ．x 2
＝12y C ．y 2＝－12x
D ．y 2
＝12x
3．(2011·陕西)设抛物线的顶点在原点，准线方程x ＝－2，则抛物线的方程是
( )．
A ．y 2
＝－8x B ．y 2
＝－4x C ．y 2
＝8x D ．y 2
＝4x
4．(2012·西安月考)设抛物线y 2
＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( )．
A ．4
B ．6
C ．8
D ．12
5．(2012·长春模拟)抛物线y 2
＝8x 的焦点坐标是________．
考向一 抛物线的定义及其应用
【例1】►(2011·辽宁)已知F 是抛物线y 2
＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )． A.34 B ．1 C.54 D.74
【训练1】 (2011·济南模拟)已知点P 是抛物线y 2
＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )． A.
172 B ．3 C. 5 D.9
2
考向二 抛物线的标准方程及性质
【例2】►(1)(2011·南京模拟)以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过P (－2，－4)的抛物线方程为________．
(2)(2010·浙江)设抛物线y 2
＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点A (0,2)．若线段FA 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为________．
【训练2】 已知F 为抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点，M 为其上一点，且|MF |＝2p ，则直线MF 的斜率为( )． A ．－
33 B ．±3
3
C ．－ 3
D ．± 3
考向三 抛物线的综合应用
【例3】►(2011·江西)已知过抛物线y 2
＝2px (p ＞0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线
于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1＜x 2)两点，且|AB |＝9. (1)求该抛物线的方程；
(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →
，求λ的值．
解 (1)直线AB 的方程是y ＝22⎝ ⎛
⎭⎪⎫
x －p 2，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2
＝0，所以
x 1＋x 2＝5p
4
，
由抛物线定义得：|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9， 所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2
＝8x .
(2)由p ＝4,4x 2
－5px ＋p 2
＝0可简化为x 2
－5x ＋4＝0， 从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42， 从而A (1，－22)，B (4,42)；
设OC →
＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)， 又y 2
3＝8x 3，即[22(2λ－1)]2
＝8(4λ＋1)， 即(2λ－1)2
＝4λ＋1，解得λ＝0，或λ＝2.。