双曲线专题复习讲义
双曲线专题复习讲义及练习学生
双曲线专题复习讲义考点1双曲线的定义及标准方程 题型1:运用双曲线的定义题型1求离心率或离心率的范围 2 2［例3］已知双曲线X y 每 1,（a 0,b 0）的左，右焦a b点分别为F 1,F 2，点P 在双曲线的右支上，且端点，若该椭圆的长轴长为 4，则△ AF 1F 2面积的最大值 为 ___ .4.过点（-6 , 3）且和双曲线x 2-2y 2=2有相同的渐近线 的双曲线方程为 _________________ 。
| PF 1 | 4|PF 2 |，则此双曲线的离心率 e 的最大值为_.【新题导练】双曲线x264 y236=1上一点P 到双曲线右焦点的距离是4,那么点P 到左准线的距离是 题型2与渐近线有关的问题在双曲线的几何性质中，应充分利用双曲线的渐近线方程，简化 解题过程.同时要熟练掌握以下三方面内容： （1）已知双曲线方程,求它的渐近线；（2）求已知渐近线的双曲线的方程； （3）渐近线的b 、f c2 — a2 /c2. ----------斜率与离心率的关系，如k =a —a2—1= . e2—1. 【新题导练】 21. 设P 为双曲线X 2- 1上的一点F 1、F 2是该双曲 12 线的两个焦点，若|PF 1|： |PF 2|=3 : 2,则厶PF 1F 2的面 积为 （ ） A. 6、3 B. 12 C. 12 .3 D. 24 2 2 2. 如图2所示，F 为双曲线C : — — 1的左焦点， 9 16 双曲线C 上的点P 与P 7 i i 1,2,3关于y 轴对称， ［例4］若双曲线2X ~2a2莒 1（a 0,b 0）的焦点到渐b 2 近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为7. 【新题导练】2双曲线— 42y_ 9 1的渐近线方程是A.2 x B. 3C.D.2则 RF P 2F P 3F F 4F F ^F P 6F 的值是（） 8.焦点为（0, 6），且与双曲线1有相同的渐近线A . 9 B. 16 C. 18 D. 27 题型2求双曲线的标准方程 2 ［例2 ］已知双曲线C 与双曲线— 16 2—=1有公共焦点, 4的双曲线方程是2A .—122y 2421B .—122x24 )2C . 乂242 x12 2 D .— 24 2乂 112双曲线专题练习且过点（3 ...2，2）.求双曲线C 的方程. 【新题导练】3.已知双曲线的渐近线方程是 y 2，焦点在坐标轴上 且焦距是10，则此双曲线的方程为 __________________ ; 4•以抛物线y 2 8 -. 3x 的焦点F 为右焦点，且两条渐近线 是x J3y 0的双曲线方程为 _________________________ .考点2双曲线的几何性质一、填空题21 .椭圆工9k= 。
双曲线专题复习讲义自理
双曲线专题复习讲义★知识梳理★1. 双曲线的定义（1）第一定义：当1212||||||2||PF PF a F F -=<时, P 的轨迹为双曲线; 当1212||||||2||PF PF a F F -=>时, P 的轨迹不存在;当21212||F F a PF PF ==-时, P 的轨迹为以21F F 、为端点的两条射线（2）双曲线的第二义平面内到定点F 与定直线l (定点F 不在定直线l 上)的距离之比是常数e (1>e )的点的轨迹为双曲线与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程为：)0(2222≠=-λλb y a x与双曲线12222=-b y a x 共轭的双曲线为22221y x b a-=等轴双曲线222a y x ±=-的渐近线方程为x y ±= ，离心率为2=e .；★重难点突破★1.注意定义中“陷阱”问题1：已知12(5,0),(5,0)F F -，一曲线上的动点P 到21,F F 距离之差为6，则双曲线的方程为2.注意焦点的位置问题2：双曲线的渐近线为x y 23±=，则离心率为★热点考点题型探析★考点1 双曲线的定义及标准方程 题型1：运用双曲线的定义1.设P 为双曲线11222=-y x 上的一点F 1、F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|：|PF 2|=3：2，则△PF 1F 2的面积为 （ ）A ．36B ．12C ．312D ．242.如图2所示，F 为双曲线1169:22=-y x C 的左 焦点，双曲线C 上的点i P 与()3,2,17=-i P i 关于y 轴对称，则F P F P F P F P F P F P 654321---++的值是（ ） A ．9 B ．16 C ．18 D ．27题型2 求双曲线的标准方程[例2 ] 已知双曲线C 与双曲线162x －42y =1有公共焦点，且过点（32，2）.求双曲线C的方程．【新题导练】4.已知双曲线的渐近线方程是2x y ±=，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为 ；考点2 双曲线的几何性质 题型1 求离心率或离心率的范围7.已知双曲线221x y m n -=的一条渐近线方程为43y x =，则该双曲线的离心率e为 ．c ab AD =，c a a ED 2+=，=+∴c a a 2cab⋅3，2=∴e 题型2 与渐近线有关的问题[例4]若双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为 （ ） A.2 B.3C.5D.29. 双曲线22149x y -=的渐近线方程是 ( )A. 23y x =±B. 49y x =±C. 32y x =±D. 94y x =±基础巩固训练1. 以椭圆221169144x y +=的右焦点为圆心，且与双曲线221916x y -=的渐近线相切的圆的方程是 （A ）221090x y x +-+= （B ）221090x y x +--= （C ）221090x y x +++= （D ）221090x y x ++-=2.已知双曲线的两个焦点为1(0)F 、20)F ，M 是此双曲线上的一点，且满足120MF MF ⋅= ，12||||2MF MF ⋅=，则该双曲线的方程是 （ ）A ．2219x y -=B ．2219y x -=C ．22137x y -=D ．22173x y -=3.两个正数a 、b 的等差中项是92，一个等比中项是,b a >则双曲线12222=-b y a x 的离心率为( )A ．53B ．4C ．54D ．54..曲线)6(161022<=-+-m m y m x 与曲线)95(19522<<=-+-n ny n x 的 （ ）A ．焦距相等B ．焦点相同C ．离心率相等D ．以上都不对7. 已知椭圆1532222=+ny m x 和双曲线1322222=-n y m x 有公共的焦点，（1）求双曲线的渐近线方程。
专题50 双曲线-高考数学复习资料(解析版)
的取值范围是( )
33 －， A. 3 3
22 22 －， C. 3 3
33 －， B. 6 6
23 23 －， D. 3 3
【答案】 A
【解析】 因为 F1(－ 3，0)，F2( 3，0)，x20－y20＝1，所以M→F1·M→F2＝(－ 3－x0，－y0)·( 3－x0，－y0) 2
＝x20＋y20－3<0，即 3y20－1<0，解得－
a2 b2
的垂线，垂足为 A，且交 y 轴于 B，若 A 为 BF 的中点，则双曲线的离心率为( )
A. 2
B. 3
C.2
6 D.
2
【答案】 A
π －1
【解析】
由题易知双曲线
C
的一条渐近线与
x
π 轴的夹角为 ，故双曲线
C
的离心率
e＝
cos
4
＝ 2.
4
x2 y2 3．(2019·宁夏模拟)设 P 是双曲线 － ＝1 上一点，F1，F2 分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则
b 2a，即 ＝
2，所以该双曲线
a
a
b 的渐近线方程为 y＝± x＝± 2x.
a
c 法二 由 e＝ ＝
a
b2
b
b
1＋ a ＝ 3，得 ＝ 2，所以该双曲线的渐近线方程为 y＝± x＝± 2x.
a
a
（2）（2017
山东）在平面直角坐标系
xOy
中，双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0，b
0)
的右支与焦点为 F
F1
的直线与双曲
线的上下两支分别交于点 B，A，若△ABF2 为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为( )
高考数学双曲线全套复习课件
第九章 平面解析几何
23
解析：通解：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，P 为双曲线右支上一点，则 S△PF1F2＝12 mn＝4，m－n＝2a，m2＋n2＝4c2，又 e＝ac＝ 5，所以 a＝1，选 A. 优解：由题意得，S△PF1F2＝tanb425°＝4，得 b2＝4，又ac22＝5，c2＝b2＋a2，所 以 a＝1.
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第九章 平面解析几何
6
性质
实、虚轴
线段 A1A2 叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a； 线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b； a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴
长
a，b，c 的关系
c2＝__a_2＋__b__2 _ (c＞a＞0，c＞b＞0)
3.等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为_y_＝__±__x__，离心
率为 e＝ 2.
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第九章 平面解析几何
7
常用结论 1．双曲线中的几个常用结论 (1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为 b. (2)若 P 是双曲线右支上一点，F1，F2 分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min ＝a＋c，|PF2|min＝c－a. (3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2ab2，异 支的弦中最短的为实轴，其长为 2a.
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第九章 平面解析几何
22
1．(2020·高考全国卷Ⅲ)设双曲线 C：xa22－by22＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分
别为 F1，F2，离心率为 5.P 是 C 上一点，且 F1P⊥F2P.若△PF1F2 的面积为
2025高考数学总复习双曲线精品课件
第二部分
探究核心题型
题型一 双曲线的定义
例1 (1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与
圆C1和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为
A.x2－y82＝1
B.x82－y2＝1
√C.x2－y82＝1(x≤－1)
D.x2－y82＝1(x≥1)
设动圆M的半径为r，由动圆M同时与圆C1和圆C2相外切， 得|MC1|＝1＋r，|MC2|＝3＋r， |MC2|－|MC1|＝2<6， 所以动圆圆心M的轨迹是以点C1(－3,0)和C2(3,0)为焦点的双曲线的左支， 且2a＝2，解得a＝1，又c＝3，
自主诊断
3.(选择性必修第一册P127T3改编)双曲线9y2－16x2＝144的渐近线方程是 _y_＝__±_43_x__.
依题意知，双曲线1y62 －x92＝1 的焦点在 y 轴上，实半轴长 a＝4，虚半 轴长 b＝3， 所以双曲线 9y2－16x2＝144 的渐近线方程是 y＝±43x.
自主诊断
知识梳理
注意：(1)若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，此时 动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；若将其改为“大 于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点轨迹不存在. (2)若将绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹是双曲线的一支. (3)若将“等于非零常数”改为“等于零”，则此时动点的轨迹是线段 F1F2的垂直平分线.
自主诊断
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹
是双曲线.( × ) (2)方程xm2－yn2＝1(mn>0)表示焦点在 x 轴上的双曲线.( × ) (3)双曲线mx22－ny22＝1(m>0，n>0)的渐近线方程是mx ±ny＝0.( √ ) (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( √ )
双曲线课件-2025届高三数学一轮复习
｜PF1｜－｜PF2｜＝±2 a ＝±6，又｜PF 1｜＝5，则｜PF 2｜＝11.
6.
2
2
已知双曲线 C ： 2 － 2 ＝1( a ＞0， b ＞0)的焦距为4
线 C 的渐近线方程为
3 ，实轴长为4 2 ，则双曲
2 x ± y ＝0 .
[解析] 由题意知，2 c ＝4 3 ，2 a ＝4 2 ，则 b ＝ 2 − 2 ＝2，所以 C 的渐近线
C.
2 2
2
双曲线 － ＝1的渐近线方程是y＝± x
9
4
3
D. 等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2
2. [浙江高考]渐近线方程为 x ± y ＝0的双曲线的离心率是(
A.
2
2
B. 1
C. 2
C )
D. 2
[解析] 因为双曲线的渐近线方程为 x ± y ＝0，所以无论双曲线的焦点在 x 轴上还是
轴上.又离心率 e ＝
2 ，所以 ＝
2 ，所以 a ＝ 2 ，则 b 2＝ c 2－ a 2＝2，所以双曲
2
2
线 C 的标准方程为 － ＝1.
2
2
解法二
因为双曲线 C 的离心率 e ＝ 2 ，所以该双曲线为等轴双曲线，即 a ＝ b .又
双曲线 C 的焦点为(－2，0)和(2，0)，所以 c ＝2，且焦点在 x 轴上，所以 a 2＋ b 2＝
1
以｜ PF 1｜·｜ PF 2｜＝8，所以 △ ＝ ｜ PF 1｜·｜ PF 2｜·sin
2
1 2
解法二
60°＝2 3 .
2
2
由题意可得双曲线 C 的标准方程为 － ＝1，所以可得 b 2＝2，由双曲
专题54直线与双曲线(课件)-2024年中职数学对口升学考试专题复习精讲课件_42057202
即 k＝±23 3时，方程(*)有两个相同的实数解，即直线与双曲线有且
仅有一个公共点．
4－3k2＜0， ③1－k2≠0，
即 k＜－23 3，或 k＞23 3时，方程(*)无实数解，即直线与双曲线无
公共点．
专题54——直线与双曲线的关系 综上所述， 当－2 3 3＜k＜－1，或－1＜k＜1，或 1＜k＜2 3 3时，直线与双曲线有两个公共点； 当 k＝±1，或 k＝±2 3 3时，直线与双曲线有且只有一个公共点； 当 k＜－23 3，或 k＞2 3 3时，直线与双曲线没有公共点．
1
x2
12x 24 0
则 AB 1 k 2 (x1 x2 )2 4x1x2 2 (12)2 4 24 4 6
故 AB 4 6
专题54——直线与双曲线的关系
【题型一 】 直线与双曲线的位置关系
例 1 已知双曲线 x2－y2＝4，直线 l：y＝k(x－1)，在下列条件下，求实数 k 的取值范围． (1)直线 l 与双曲线有两个公共点； (2)直线 l 与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线 l 与双曲线没有公共点．
|AB|＝ 1＋k2 x1＋x22－4x1x2＝ 1＋k2
2k2－3k222－1k22k－2＋2 8
＝ 1＋k2 16k2k－2＋212＝4|k12＋－k22|＝4，
解得 k＝± 22，故这样的直线有 3 条．
专题54——直线与双曲线的关系
2.过双曲线 x2－y32＝1 的左焦点 F1，作倾斜角为π6的直线与双曲线交于 A，B 两
∴|AB|＝|y1－y2|＝4 满足题意．
专题54——直线与双曲线的关系
当直线 l 的斜率存在时，其方程为 y＝k(x－ 3)，
y＝k x－ 3 ， 由x2－y22＝1，
双曲线专题复习讲义及练习
双曲线专题导学案知识梳理1. 双曲线的定义第一定义：当1212||||||2||PF PF a F F -=<时, P 的轨迹为双曲线; 当1212||||||2||PF PF a F F -=>时, P 的轨迹不存在;当21212||F F a PF PF ==-时, P 的轨迹为以21F F 、为端点的两条射线 2. 双曲线的标准方程与几何性质标准方程)0,(12222>=-b a b y a x )0,(12222>=-b a b x a y 性 质焦点 )0,(),0,(c c -，),0(),,0(c c -焦距 c 2范围 R y a x ∈≥,||R x a y ∈≥,||顶点 )0,(),0,(a a -),0(),,0(a a -对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称离心率 (1,)ce a=∈+∞ 准线c a x 2±=c a y 2±=渐近线x a b y ±=x ba y ±=与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程为：)0(2222≠=-λλb y a x与双曲线12222=-b y a x 共轭的双曲线为22221y x b a-=等轴双曲线222a y x ±=-的渐近线方程为x y ±= ，离心率为2=e .；易错题1.注意定义中“陷阱”问题1：已知12(5,0),(5,0)F F -，一曲线上的动点P 到21,F F 距离之差为6，则双曲线的方程为点拨：一要注意是否满足122||a F F <，二要注意是一支还是两支12||||610PF PF -=< ，P 的轨迹是双曲线的右支.其方程为)0(116922>=-x y x 2.注意焦点的位置问题2：双曲线的渐近线为x y 23±=，则离心率为 点拨：当焦点在x 轴上时，23=a b ，213=e ；当焦点在y 轴上时，23=b a ，313=e 热点考点题型探析考点1 双曲线的定义及标准方程 题型1：运用双曲线的定义[例1 ].设P 为双曲线11222=-y x 上的一点F 1、F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|：|PF 2|=3：2，则△PF 1F 2的面积为 （ ）A ．36B ．12C ．312D ．24解析：2:3||:||,13,12,121====PF PF c b a 由 ①又,22||||21==-a PF PF ② 由①、②解得.4||,6||21==PF PF222121252,52,PF PF F F +==为21F PF ∴直角三角形，.124621||||212121=⨯⨯=⋅=∴∆PF PF S F PF 故选B 。
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双曲线专题复习讲义
★知识梳理★
1. 双曲线的定义
（1）第一定义：当1212||||||2||PF PF a F F -=<时, P 的轨迹为双曲线; 当1212||||||2||PF PF a F F -=>时, P 的轨迹不存在;
当21212||F F a PF PF ==-时, P 的轨迹为以21F F 、为端点的两条射线 （2）双曲线的第二义
平面内到定点F 与定直线l (定点F 不在定直线l 上)的距离之比是常数e (1>e )的点的轨迹为双曲线
与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程为：)0(22
22≠=-λλb y a x
与双曲线122
22=-b y a x 共轭的双曲线为22221y x b a
-=
等轴双曲线222a y x ±=-的渐近线方程为x y ±= ，离心率为2=e .；
★重难点突破★
1.注意定义中“陷阱”
问题1：已知12(5,0),(5,0)F F -，一曲线上的动点P 到21,F F 距离之差为6，则双曲线的方程为
点拨：一要注意是否满足122||a F F <，二要注意是一支还是两支
12||||610PF PF -=< ，P 的轨迹是双曲线的右支.其方程为)0(116
92
2>=-
x y x 2.注意焦点的位置
问题2：双曲线的渐近线为x y 2
3
±
=，则离心率为 点拨：当焦点在x 轴上时，
23=a b ，213=e ；当焦点在y 轴上时，2
3
=b a ，313=e ★热点考点题型探析★
考点1 双曲线的定义及标准方程 题型1：运用双曲线的定义
[例1 ] 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同
时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上)
【解题思路】时间差即为距离差，到两定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线型的． [解析]如图，以接报中心为原点O ，正东、正北方向为x 轴、y 轴正向，建立直角坐标系.设A 、B 、C 分别是西、东、北观测点，则A （－1020，0），B （1020，0），C （0，1020） 设P （x,y ）为巨响为生点，由A 、C 同时听到巨响声，得|PA|=|PC|，故P 在AC 的垂直平分线PO 上，PO 的方程为y=－x ，因B 点比A 点晚4s 听到爆炸声，故|PB|－ |PA|=340×4=1360 由双曲线定义知P 点在以A 、B 为焦点的双曲线
122
22=-b
y a x 上， 依题意得a=680, c=1020，
1
3405680340568010202
2
22222222=⨯-⨯=-=-=∴y x a c b 故双曲线方程为
用y=－x 代入上式，得5680±=x ，∵|PB|>|PA|,
10680),5680,5680(,5680,5680=-=-=∴PO P y x 故即
答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心m 10680处. 【名师指引】解应用题的关键是将实际问题转换为“数学模型” 【新题导练】
1.设P 为双曲线112
2
2
=-y x 上的一点F 1、F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|：|PF 2|=3：2，则△PF 1F 2的面积为 （ ）
A ．36
B ．12
C ．312
D ．24
解析：2:3||:||,13,12,121====PF PF c b a 由 ①
又,22||||21==-a PF PF ② 由①、②解得.4||,6||21==PF PF
,52||,52||||2212221==+F F PF PF
为21F PF ∴直角三角形，
.12462
1
||||212121=⨯⨯=⋅=
∴∆PF PF S F PF 故选B 。
2.如图2所示，F 为双曲线116
9:
2
2=-y x C 的左 焦点，双曲线C 上的点i P 与()3,2,17=-i P i 关于y 轴对称，
则F P F P F P F P F P F P 654321---++的值是（ ） A ．9 B ．16 C ．18 D ．27
[解析] =-F P F P 61=-F P F P 52643=-F P F P ，选C
3. P 是双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 左支上的一点，F 1、F 2分别是左、右焦点，且焦距
为2c ，则21F PF ∆的内切圆的圆心的横坐标为（ ） （A ）a -
（B ）b -
（C ）c -
（D ）c b a -+
［解析］设21F PF ∆的内切圆的圆心的横坐标为0x ，
由圆的切线性质知，a x a c x x c PF PF -=⇒=----=-000122|)(|||
题型2 求双曲线的标准方程
[例2 ] 已知双曲线C 与双曲线162
x －4
2y =1有公共焦点，且过点（32，2）.求双曲线C
的方程．
【解题思路】运用方程思想，列关于c b a ,,的方程组
[解析] 解法一：设双曲线方程为22
a x －22b
y =1.由题意易求c =25.
又双曲线过点（32，2），∴22)23(a －2
4
b =1.
又∵a 2
+b 2
=（25）2
，∴a 2
=12，b 2
=8.。