圆锥曲线的性质及推广应用

圆锥曲线的性质及推广应用
【摘要】在高中阶段，学生对圆锥曲线性质的掌握及应用，是现今我国高考数学的考查重点。

作为高中数学教师，我们要积极探究圆锥曲线在解析几何下的分类，然后利用这些平面解析几何的知识以及数形结合的数学思考模式，对圆锥曲线的基本性质及推广应用进行总结、证明，并将其应用于对学生的解题教学中。

【关键词】高中数学；圆锥曲线；性质；推广；应用；解题
圆锥曲线是解析几何的重要内容，其对于几何问题的研究却是利用代数的解题方法。

而且，对于高中生来说，圆锥曲线的性质掌握及其推广应用是目前我国高考数学的重点考查内容。

从更深层次来讲，加强对于圆锥曲线分类与性质的研究，在一定程度上可以帮助学生打开解题思路、提高解题技巧，同时培养学生以数学思维能力、创新能力为代表的综合能力。

因此，为了使学生能够更好地掌握圆锥曲线的性质及其的推广应用，且进一步提高学生的数学学习素质，作为高中数学教师的我们，就要积极探讨圆锥曲线在解析几何下的分类及其性质，注重对学生圆锥曲线性质及其推广应用的教学。

一、圆锥曲线的定义
对于圆锥曲线在解析几何下的分类及性质的研究前提，是对于圆锥曲线定义的了解及掌握。

本文，笔者从三个方面介绍圆锥曲线的定义。

1、从几何的观点出发。

我们说，如果用一个平面去截取另一个平面，然后两个平面的交线就是我们所要研究的圆锥曲线。

严格来讲，圆锥曲线包含许多情况的退化，由于学生对于数学知识学习的局限性，对于圆锥曲线的教学，我们通常包含椭圆、双曲线和抛物线，这三类的知识内容。

2、从代数的观点出发。

在直角坐标系中，对于圆锥曲线的定义就是二元二次方程的图像。

高中生在其的学习中，可以根据其判别式△的不同，分为椭圆、双曲线、抛物线以及其他几种退化情形。

3、从焦点-准线的观点出发。

在平面中有一个点，一条确定的直线与一个正实常数e，那么所有到点与直线的距离之比都为e的点，所形成的图像就是圆锥曲线。

学生在具体的圆锥曲线学习中可以了解到，如果e的取值不同，这些点所形成的具体的图像也不同。

（1）如果e的取值为1，那么那些点所形成的圆锥曲线是一条抛物线；
（2）如果e的取值在0到1之间，那么圆锥曲线就为椭圆；（3）如果e的取值大于1，那么圆锥曲线就为双曲线。

但是，严格来说，在数学的研究领域，这种焦点-准线的观点是只能定义圆锥曲线的几种的主要情形的，是不能算作为圆锥曲线的定义。

但是，在对于学生的圆锥曲线教学中，这种定义被广泛使用，并且，其也能引导出许多圆锥曲线中的重要的性质、概念的。

二、圆锥曲线的分类
1、椭圆。

椭圆上的任意一个点到某个焦点与一条确定的直线的距离之比都是一个大于0且小于1的实常数e，而且这个点到两个焦点的距离和为2a。

一般情况下，我们称这条确定的直线为椭圆的准线，e 就是我们经常说的椭圆的离心率。

2、双曲线。

双曲线上的任意一点到其焦点与一条确定直线的距离之间为一个大于1的实常数e。

同样的，这条确定直线也是一条准线，其为双曲线的准线，e为双曲线的离心率。

3、抛物线。

抛物线上的任意一点到其定点与一条确定直线的距离之比等于1。

同样地，这条确定的直线为抛物线的准线。

三、圆锥曲线的基本性质
1、椭圆的基本性质。

在高中对于圆锥曲线的学习，通常包含两个定义和三个基本定理。

定义1 即椭圆的定义，课本上是这样表述的：平面内与两定点f1、f2的距离的和等于实常数2a（2a>|f1f2|）的动点p的轨迹叫做椭圆。

简单地用公式来表达，就是|pf1|+|pf2|=2a。

定义2 即椭圆的第二定义，关于椭圆的准线方程及其离心率。

动点p（x，y）与定点f（-c，0），即椭圆的焦点的距离和它到确定直线的距离的比为实常数（a>c>0）时，那么p点的轨迹即
为椭圆。

简单来说，即到定点确定直线的距离的比等于定值e（0c>0）时，p点的运动轨迹即为双曲线。

简单的说，到定点与到确定直线的距离比等于一个定值e （e>1）的点的集合所形成的的图像就是双曲线。

我们把定值（e>1），叫做椭圆的离心率。

确定直线为准线，方程是。

定理1 渐近线是双曲线特有的性质，渐近线可以与双曲线无限接近，但这两者却永不会相交，当双曲线的焦点在x轴上时，双曲线的渐近线方程是；而当双曲线的焦点在y轴上时，双曲线的渐近线方程是。

定理2 当实轴长与虚轴长相等时，即2a=2b，此时双曲线被称为等轴双曲线，它的渐近线方程就为，而标准方程是x2-y2=c，其中c≠0；离心率。

3、抛物线的基本性质。

抛物线对于学生在圆锥曲线的学习过程中，其相对于椭圆与双曲线，无论是从解题技巧，还是从思维方式，它对于学生的学习来说，还是相对较为简单的。

抛物线的性质，在学生的学习过程中，较为常接触的有两个定义、三个定理。

定义1 平面内到一个定点p和一条确定直线l的距离都相等的点的集合所形成的的图像叫做抛物线，而这个点p就叫做抛物线的焦点，确定的直线l就叫做抛物线准线。

定义2 定点p不在确定的直线l上时的情况，对于离心率e的比值不同时，圆锥曲线的图像也不同。

当e=1时，圆锥曲线的图像为
抛物线，而当01时其为双曲线。

抛物线的标准方程有四种形式，这一知识点较为简单，且在高中数学的实践教学中，学生对这一知识点也能迅速的理解、掌握，所以在这里笔者就不一一说明了。

四、圆锥曲线的推广应用
对于学生高中阶段的学习，上文所提到的圆锥曲线的这些基本性质只是起到稳固学生基础的作用，要想使得学生在圆锥曲线的学习上有更加良好的进步、发展，进一步对学习的知识进行稳固，并培养学生的创新能力、自主学习能力等各种综合能力，这就使得，作为高中数学教师的我们就要利用这些基本性质，对其进行推广，得出更进一步的推理定理，从而提高学生圆锥曲线中的解题技巧。

而笔者对于在课堂教学中对于学生提出的问题进行了积极的研究，并且对圆锥曲线的这些基本性质也同样进行了深入的研究，两者相结合，得出了这么两个推理定理。

推理定理1 f是横向型圆锥曲线的焦点，e是与焦点f相对应的准线和对称轴的交点，经过f且斜率是k的直线交圆锥曲线于a，b 两点，e 是圆锥曲线的离心率，如果=θ，则五、总结
圆锥曲线在历年高考中都会出现，其涉及的题型范围也很广泛，且分值都较高。

但是学生在圆锥曲线上没有太多的解题技巧，解题思路往往也会受到自身的限制。

这就要求作为高中数学教师的我们，加强学生对于圆锥曲线的基本性质的理解与掌握，而且我们要在教学之余加深对圆锥曲线的研究，利用其基本性质进行推广，得
到多种推广性推理定理，从而提高学生的解题技巧、扩展学生的数学思维。

我们在对圆锥曲线的性质进行推广应用时，相应地，我们还要加强自身在教学过程中对圆锥曲线的教学内容及重难点的掌握。

而在日常生活中，我们在对学生的解题技巧进行训练，要严格把握好题目的难易程度，使得学生可以在提高解题技巧的同时，树立自己在考试中的信心。

参考文献：
[1]李满春.高中课堂之变式教学[j]数理化学习
[2]杨丽.抛物线焦点弦的性质及其应用[j]科技信息
[3]刘夏进.圆锥曲线探索性学习一例[j]. 教育教学论坛
[4]《圆锥曲线与方程》（人教a版选修1-1）。