原子物理学第3章习题

1. 波长 1 A 为的X光光子的动量和能量各为多少？
解：根据德布罗意关系式，得
动量为
p
h
6.63 1034 1010
6.631024千克 米 秒1
能量为
E hv hc /
6.631034 3108 / 1010 1.9861015焦耳
2.经过10000伏特电势差加速的电子束的德布罗意波长是多少 ？用上述电压加速的质子束的德布罗意波长是多少？
式应改V为： 12.V25
(1
0.489
106V
)
A
其中V是以伏特为单位的电子加速电压。试证明之。
证明：德布罗意波长 h / p
虑相对论效应时，其动能与其动量之间有如下关系
EK2 2EK m0c2 p2c2
而被电压V加速的电子的动能为
EK eV
p2
(eV )2 c2
2m0eV
p 2m0eV (eV )2 / c2
h/ p
h 1
2m0eV
1
eV 2m0c2
h 2m0eV
(1
eV 4m0c2 )
h (1 0.489106V ) 2m0eV
12.25
(1
0.489
106V
)
A
V
4.试证明氢原子稳定轨道上正好能容纳下整数个电子的德布 罗意波波长。上述结果不但适用于圆轨道，同样适用于椭圆 轨道，试证明之
证明 对氢原子圆轨道来
些不连8续的值
V(X)
Y Axis Title
6
V0
V0
4
E
0
L
x
2
解：以下将在两种不同坐标系下解答本问题。其中第一种维
持原坐标0 0 不变；2 另一种4 为将横6 坐标8向右平10移L/2，即取 x = x − L/2，在这个坐标系X中Axis，Title−L/2 < x < L/2 时 V=0、在其它
Vz )]
0
分离变量法将偏微分方程分成三个常微分方程
(x, y, z) X (x)Y ( y)Z(z)
并将两边同除以 X (x)Y ( y)Z(z)，得
(1 X
d2X dx2
2m h2
Vx
)
(1 Y
d 2Y dy 2
2m h2
Vy
)
(
1 Z
d 2Z dz 2
2m h2
Vz
)
2m h2
E
1 X
进一步推导
tan = / k tan(L+）= −/ k 由 tan = / k > 0，得 0 < < /2、和 3/2 < < 2 由 tan (L+) = tan (−) 得
L+ = n − 即 = n/2 − L/2 n L 2mE
=
2
2
n = 1, 2, 3, ……
又由tan = / k 得d2X Βιβλιοθήκη x22m h2Vx
2m h2
Ex
1 Y
d 2Y dy 2
2m h2
Vy
2m h2
Ey
1 Z
d 2Z dz 2
2m h2
Vz
2m h2
Ez
其中E Ex Ey Ez , Ex , Ey , Ez皆为常数。
d2X dx2
2m h2
(
Ex
Vx ) X
0
连续条件 X (0) X (l) 0
p2 E
2m E p2
2m
自由粒子的动量p可以取任意连续值，所以它的能量E也可以有 任意的连续值
7.粒子在一维对称势场中，势场形式如下图。
即：0 < x < L 时 V = 0；x < 0 和 x > L 时 V = V0。 （（12））利试用推10上导述粒关子系在式，E 以< 图V0 解情法况证下明总，能粒量子的E 能满量足的E 关只系能式取。一
arctan E arcsin E (0 )
V0 E
V0
2
或 arcsin( E )( 3 )
V0
2
因此能量 E 满足的关系式为
0 arcsin E n L 2mE
V0 2
2
2
n=1,2,3,……N1
或
arcsin( E ) n L 2mE 3
V0 2
•
r
dr
dt
mr 2
•
d
dt )
dt
dt
mv2dt mvds
hds r
h
ds
ds
n
5.带电粒子在威耳孙云室（一种径迹探测器）中的轨迹是一
串小雾滴，雾滴德线度约为1微米。当观察能量为1000电
子伏特的电子径迹时其动量与精典力学动量的相对偏差不
小于多少？ 解：根据测不准原理
px h 2
经典力学的动量为
u1 = Aekx
x > L，
u3 = Be−kx
A 待定 C、 待定 B 待定
波函数的连续性 要求：
x = 0 处，u1 = u2 ； du1/dx = du2/dx x = L 处，u2 = u3 ； du2/dx = du3/dx
将上述连续性条件应用于波函数 得
A = C sin Ak = C cos B e−kL = C sin(L+) −B k e−kL = C cos(L+)
p 2mEK
p
h
3.09 105
p 2x 2mEK
6.证明自由运动的粒子的能量可以有连续的值
证明：自由粒子的波函数为
i ( pr Et )
Aeh
代入薛定谔方程，得
h2
2
[
Ae
i h
(
pr Et )
]
E
2m
h2
2 A( d 2
d2
d )e E 2
i h
(
px
x
p
y
y
pz
z
Et
)
2m
dx2 dy2 dz2
计算出粒子可能具有的能量
解：由题意知
Vx 0, 0 x a; Vy 0, 0 y b;
Vz 0, 0 z c; Vx , x 0和x a Vy , y 0和y b Vz , z 0和z c
势箱内波函数满足方程
2
2x2
2
2y2
2
2z2
2m h2
[
E
(Vx
Vy
x > L 时，u = B e−kx
在 0 < x < L 区域，V = 0。代入 薛定谔方程中
d 2u dx2
2mE
2
u
设
2mE 2
2
u C sin(x )
在 0 < x < L 区域，V = 0。代入 薛定谔方程中
d 2u 2mE dx2 2 u
由定态薛定谔方程解得的波函数为：
x < 0， 0< x < L，
•
pr 0, p mr2 mvr
所以,氢原子稳定轨道上正好能容纳下整数个电子的德布罗意波 长。椭圆轨道的量子化条件是：
其中
•
•
pr m r, p mr 2
( prdr p d) nh, n n nr
•
•
而
( prdr p d) (m rdr mr 2 d)
(m
V0
则能量E 的解可通过 f2 与f1 的交点、与f3 的交点的横坐标求出
f 2
f(x)
5
n=10
n=3 n=2 n=1
4
3
f 3
2
f
1
1
0
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00
x
做各函数曲线如上图所示。。从f2 函数 与 f1 及f3 函数的交点的 横坐标可求出能量E的解。解的个数与 0 < x < 1区间内交点的个
Xn
2 sin nx x,
aa
Ex
2h2 2 a2
nx2 , nx
1, 2,3
同样，有
Yn
2 sin ny y
bb
Ey
2h2 2 b2
ny2, ny
1, 2,3
Zn
2 sin nz z
cc
Ez
2h2 2 c2
nz2 , nz
1, 2,3
(x, y, z) 8 sin nx x sin ny y sin nz z
区间 V =V0 （1）E 满足关系的推导：本题中的势场与时间无关，所以是
定态问题，而且是一维的。先写出定态薛定谔方程的一般形
式
2 d 2u
2m
dx2
Vu
Eu
d 2u dx2
2m(V0
2
E)
u
设
2m(V0
2
E)
k2
u Aekx Bekx
利用波函数的有界性知道： x < 0 时，如果 B ≠ 0，那么 x → − 时 波函数 趋 于 无穷。所以在x < 0 时 B =0。 类似道理 x > L 时，A = 0 。 因此 x < 0 时，u = A ekx
abc a
b
c
E
2h2
2m
(
nx 2 a2
ny2 b2
nz 2 c2
)
可见，三维势箱中粒子的波函数相当于三个一维箱中粒子的 波函数之积。而粒子的能量相当于三个一维箱中粒子的能量 之和
知识回顾 Knowledge
Review
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