高二下学期期末复习理科数学三答案

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2021-2022学年河南省郑州市第四高级中学高二下学期第三次月考(期末模拟)理科数学试题解析版

郑州四中2021-2022学年下期高二年级期末模拟考试理科数学命题人审题人一､单选题（共60分）1.已知复数i z =，则复数1iz-的模是（）A.2 D.32.已知函数()f x 满足()()()221202x f x f e f x x -=-+'，则()f x 的单调递减区间为（） A.(),0∞- B.()1,∞+ C.(),1∞- D.()0,∞+3.已知随机变量ξ的分布列如下表，()D ξ表示ξ的方差，则()32D ξ+=（）A.2 B.2 C.2 D.1324.5位大学生在若假期间主动参加,,A B C 三个社区的志愿者服务，且每个社区至少有1人参加，则不同的安排方法共有（）A.30种B.90种C.120种D.150种5.已知实数,x y 满足2x y +=，则下列结论的证明更适合用反证法的是（） A.证明1xy ≤ B.证明,x y 中至少有一个不大于1 C.证明222x y +≥ D.证明,x y 可能都是奇数6.某制衣品牌为使成衣尺寸更精准，选择了10名志愿者，对其身高（单位：cm ）和臂展（单位：cm ）进行了测量，这10名志愿者身高和臂展的折线图如图所示.已知这10名志愿者身高的平均值为176cm ，根据这10名志愿者的数据求得臂展u 关于身高v 的线性回归方程为ˆˆ1.234uv =-，则下列结论不正确的是（）A.这10名志愿者身高的极差小于臂展的极差B.这10名志愿者的身高和臂展呈正相关关系C.这10名志愿者臂展的平均值为176.2cmD.根据回归方程可估计身高为160cm 的人的臂展为158cm 7.下列有关线性回归分析的六个命题：①在回归直线方程20.5ˆyx =-中，当解释变量x 增加1个单位时，预报变量ˆy 平均减少0.5个单位 ①回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线 ①当相关性系数0r >时，两个变量正相关①如果两个变量的相关性越强，则相关性系数r 就越接近于1①残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高 ①甲､乙两个模型的相关指数2R 分别约为0.88和0.80，则模型乙的拟合效果更好其中真命题的个数为（） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个8.已知曲线2ln 3y x x x =-的一条切线在y 轴上的截距为2，则这条切线的方程为（） A.420x y --= B.520x y --= C.420x y +-= D.520x y +-=9.柯西分布（Cauchydistribution ）是一个数学期望不存在的连续型概率分布.记随机变量X 服从柯西分布为()0,X C x γ~，其中当01,0x γ==时的特例称为标准柯西分布，其概率密度函数为()()211f x x π=+.已知()(211,0,,(1312X C P X P X ~≤=<≤=，则()1P X ≤-=（）A.16B.23C.14D.1210.已知实数12em dx x =-⎰，则521m x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中含21x 的项的系数为（） A.130 B.110 C.110- D.130-11.在一个正三角形的三边上，分别取一个距顶点最近的十等分点，连接形成的三角形也为正三角形（如图1所示，图中共有2个正三角形），然后在较小的正三角形中，以同样的方式形成一个更小的正三角形，如此重复多次，可得到如图2所示的优美图形（图中共有11个正三角形），这个过程称之为迭代，如果在边长为27的正三角形三边上，分别取一个三等分点，连接成一个较小的正三角形，然后选代得到如图3所示的图形（图中共有7个正三角形），则图3中最小的正三角形面积为（）12.已知0,0a b >>，且1(1)(3)b a a b ++=+，则（） A.1a b >+ B.1a b <+ C.1a b <- D.1a b >-二､填空题（共20分）13.类比推理在数学发现中有重要的作用，开普勒说过：我珍视类比胜过任何别的东西，它是我最可信赖的老师，它能揭示自然界的秘密.运用类比推理，人们可以从已经掌握的事物特征，推测被研究的事物特征.比如：根据圆的简单几何性质，运用类比推理，可以得到椭圆的简单几何性质等.已知圆222:C x y r +=有性质：过圆C 上一点()00,M x y 的圆的切线方程是200x x y y r +=.类比上述结论，过椭圆22:1124x y E +=的点()3,1P -的切线方程为__________.14.现用5种颜色，给图中的5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有种__________.15.已知函数()32ln 1,042,0x x f x xx x x +⎧>⎪=⎨⎪--<⎩，若方程()f x ax =有四个不等的实数根，则实数a 的取值范围是__________.16.某武装部在预备役民兵的集训中，开设了移动射击科目，移动射击科目规则如下：每人每次移动射击训练只有3发子弹，每次连续向快速移动的目标射击，每射击一次消耗一发子弹，若目标被击中，则停止射击，若目标未被击中，则继续射击，3发子弹都没打中，移动目标消失.通过统计分析该武装部的预备役民兵李好以往的训练成绩发现，李好第一枪命中目标的概率为0.8，若第一枪没有命中，第二枪命中目标的概率为0.4，若第二枪也没有命中，第三枪命中目标的概率为0.2.则目标被击中的条件下，李好第二枪命中目标的概率是__________.三､解答题（共70分）17.已知122i,34i z a z =+=-（其中i 为虚数单位）（1）若12z z 为纯虚数，求实数a 的值；（2）若2023122iz z -<+（其中2z 是复数2z 的共轭复数），求实数a 的取值范围.18.给出下列条件：①若展开式前三项的二项式系数的和等于16；①若展开式中倒数第三项与倒数第二项的系数比为4：1.从中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答（注：若选择多个条件，按第一个解答计分）已知()*nx n N ⎛∈ ⎝⎭，__________. （1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中所有的有理项.19.已知函数()()24ln 1,f x ax x a =-+为常数.（1）若()f x 在1x =处有极值，求a 的值并判断1x =是极大值点还是极小值点；（2）若()f x 在[]2,3上是增函数，求实数a 的取值范围. 20.已知数列{}n a 的前n 项和112n n na S a =+-，且0,n a n N +>∈. （1）求123,,a a a ；（2）猜想{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明.21.随着原材料供应价格的上涨，某型防护口罩售价逐月上升.1至5月，其售价（元/只）如下表所示：（1）请根据参考公式和数据计算相关系数（精确到0.01）说明该组数据中y 与x 之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+；（2）某人计划在六月购进一批防护口罩，经咨询届时将有两种促销方案：方案一：线下促销优惠.采用到店手工“摸球促销”的方式.其规则为：袋子里有颜色为红､黄､蓝的三个完全相同的小球，有放回的摸三次.若三次摸的是相同颜色的享受七折优惠，三次摸的仅有两次相同颜色的享受八折优惠，其余的均九折优惠.方案二：线上促销优惠.与店铺网页上的机器人进行“石头､剪刀､布”视频比赛.客户和机器人每次同时､随机､独立地选择“石头､剪刀､布”中的一种进行比对，约定：石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头.手势相同视为平局，不分胜负.客户和机器人需比赛三次，若客户连胜三次则享受七折优惠，三次都不胜享受九折优惠，其余八折优惠.请用（1）中方程对六月售价进行预估，用X 表示据预估数据促销后的售价，求两种方案下X 的分布列和数学期望，并根据计算结果进行判断，选择哪种方案更实惠.参考公式：()()()()nnii ii xx y y xx y y r ----==∑∑，ˆˆˆybx a =+，其中()()()121ˆniii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-. 6.5≈， 2.08y =，()()516.4i i i x x y y =--=∑，()5214.208i i y y =-=∑.22.已知函数()cos f x x x =⋅.（1）当()0,x π∈时，求证：()sin f x x <；（2）求证：当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，方程()210f x -=有且仅有2个实数根. 参考答案：1.B 【解析】先求出z ，进而根据复数的除法运算法则进行化简，最后求出模即可. 【详解】由题可得i z =，则)()i 1i 1i 2z+=-，所以1i z ==-故选：B. 2.A 【解析】【分析】对()f x 求导得到关于()2f '､()0f 的方程求出它们的值，代入原解析式，根据0f x 求单调减区间.【详解】由题设()()()22e 0x f x f f x -''=-+，则()()()2202f f f ''=-+，可得()02f =，而()()2022e f f -'==，则()2e 22f '=，所以()212e 22xf x x x =-+，即()2e 2x f x x '=-+，则()00f '=且fx 递增，当0x <时0f x，即()f x 递减，故()f x 递减区间为（-∞，0）.故选：A 3.C 【解析】【分析】根据分布列的性质求出a ，根据公式求出()D ξ，再根据方差的性质可求出结果. 【详解】根据分布列的性质得11214a a +-+=，得14a =，所以111()2101424E ξ=⨯+⨯+⨯=，所以222111()(21)(11)(01)424D ξ=-⨯+-⨯+-⨯12=，所以9(32)9()2D D ξξ+==. 故选：C 4.D 【解析】【分析】每个社区至少有1人参加，所以这5位大学生共分为三组，共有1，2，2和1，1，3两种情况，分别求每种情况的安排方法可得答案.因为每个社区至少有1人参加，所以这5位大学生共分为三组，共有1，2，2和1，1，3两种情况.若是1，2，2，则共有1223542322C C C A 90A ⨯=（种）；若是1，1，3，则共有1133543322C C C A 60A ⨯=（种），所以共有6090150+=（种）不同的方法. 故选：D. 5.B 【解析】【分析】根据反证法的特点：假设结论的对立面，最终导出矛盾，从而肯定结论成立，观察四个选项可作出判断. 【详解】实数,x y 满足2x y +=，观察四个选项，更适合用反证法的是B ，原因是：假设1x >且1y >，则2x y +>，与已知矛盾，故原结论成立，其它选项均不适合. 故选：B 6.C 【解析】【分析】利用平均值､极差､线性回归方程的特征进行逐项判断. 【详解】解：对于选项A ：因为这10名志愿者臂展的最大值大于身高的最大值，而臂展的最小值小于身高的最小值，所以这10名志愿者身高的极差小于臂展的极差，故A 正确.对于选项B ：因为1.20>，所以这10名志愿者的身高和臂展呈正相关关系，故B 正确. 对于选项C ：因为这10名志愿者身高的平均值为176cm ，所以这10名志愿者臂展的平均值为1.217634177.2cm ⨯-=，故C 错误.对于选项D ：若一个人的身高为160cm ，则由回归方程ˆˆ1.234uv =-，可得这个人的臂展的估计值为158cm ，故D 正确. 故选：C 7.B 【解析】【分析】对于①，根据回归直线方程的特点即可判断；对于①，根据回归直线的几何意义即可判断；对于①，根据相关指数大于0，可得两变量正相关即可可判断；对于①，根据相关系数r 与变量的相关性的关系即可可判断；对于①，根据残差图的特点即可判断；对于①，根据模型的2R 与效果的关系即可判断. 【详解】对于①，根据回归系数的含义，可得回归直线方程ˆ20.5y x =-中，当解释变量x 增加1个单位时，预报变量ˆy平均减少0.5个单位，故①正确；对于①，回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线，不正确.回归直线也可能不过任何一个点；故①不正确；对于①，当相关性系数0r >时，两个变量正相关，故①正确；对于①，如果两个变量的相关性越强，则相关性系数r 的绝对值就越接近于1；故①不正确；对于①，残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越低，故①不正确；对于①，甲､乙两个模型的2R 分别约为0.88和0.80则模型甲的拟合效果更好，故①不正确，则正确的个数为2. 故选：B. 8.D 【解析】【分析】设出切点坐标()20000,ln 3x x x x -，根据导数的几何意义写出切线方程，将点()0,2代入求出0x 的值，进而得切线方程. 【详解】函数2ln 3y x x x =-的定义域为()0,∞+，设切点坐标为()20000,ln 3x x x x -，因为ln 61y x x '=-+，则切线斜率为00ln 61x x -+，所以切线方程为()()2000000ln 3ln 61y x x x x x x x -+=-+-，将点()0,2代入切线方程并整理得200320x x --=，解得01x =，或023x =-（舍去），所以这条切线的方程为()351y x +=--，即520x y +-=. 故选：D. 9.C 【解析】【分析】根据柯西分布的对称性进行求解即可. 【详解】因为21()()π(1)f x f x x -==+，所以该函数是偶函数，图象关于纵轴对称，由P （|X |=23，可得1(03P X <<=，因为P （1X <≤=112，所以111(01)3124P X <<=-=，因此1(10)4P X -<<=，所以111(1)244P X ≤-=-=，故选：C 10.C 【解析】【分析】由微积分基本定理求解m ，将5221x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭看作5个因式22(1)x x +-相乘，要得到21x ，分析每个因式所取项的情况. 【详解】1ee122ln |2(ln e ln1)2m dx x x=-=-=--=-⎰，则5221x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭表示5个因式22(1)x x +-相乘，所以其展开式中含21x 的项为1个因式中取22x ，4个因式取1-，或者2个因式中取x ，2个因式取22x ，1个因式取1-所得到的项，则5221x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中含21x 的项的系数为()()412225532C 12C C 1110-+-=-. 故选：C. 11.C 【解析】【分析】先用余弦定理得到边长之间的关系，进而可求出最小正三角形的边长，然后利用面积公式即得. 【详解】设最大正三角形的边长为1a ，则127a =，其内部迭代出的正三角形的边长分别为237,,,a a a ⋅⋅⋅，由余弦定理得2222111112222cos 333333a a a a a a π⎛⎫⎛⎫=+-⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，同理得22226237,,33a a a a =⋅⋅⋅=，①62271113a a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，①最小的正三角形的面积77711sin 1232S a a π=⨯⨯⨯=⨯=.故选：C. 12.B 【解析】【分析】根据题意，两边取对数整理得()()()ln 1ln 3ln 211a b b a b b +++=>++，进而构造函数()()()ln 10x f x x x+=>，利用单调性来比较自变量a 与1b +的大小. 【详解】解：因为()()113b aa b ++=+，0a >，0b >，所以()()()ln 1ln 3ln 211a b b a b b +++=>++. 设()()()ln 10x f x x x +=>，则()()2ln 11xx x f x x -++'=.设()()()ln 101x g x x x x =-+>+，则()()()22110111x g x x x x -'=-=<+++，所以()g x 在()0,∞+上单调递减.当0x →时，()0g x →，所以()0g x <，即()0f x '<，故()f x 在()0,∞+上单调递减. 因为()()1f a f b >+，所以1a b <+. 故选：B. 13.40x y --= 【解析】【分析】通过类比可得类似结论：过椭圆2222:1x y E a b+=上一点00(,)P x y 的椭圆的切线方程为00221x x y y a b +=，然后可得.【详解】通过类比可得类似结论：过椭圆2222:1x y E a b+=上一点00(,)P x y 的椭圆的切线方程为00221x x y y a b +=.所以，，过椭圆22:1124x y E +=上的点()3,1P -的切线方程为31124x y -+=，即40x y --=. 将4y x =-代入221124x y+=得：2690x x -+=，解得3x = 所以直线40x y --=和椭圆22:1124x y E +=有唯一交点()3,1P -，即直线与椭圆相切. 故答案为：40x y --= 14.420按照A B C D E →→→→的顺序进行涂色，其中B 与D 的颜色可以相同也可以不相同，所以不同的涂色方法共有()5431322607420⨯⨯⨯⨯+⨯=⨯=种.故答案为：42015.()0,1【解析】【分析】将原问题转化为函数()g x 的图象与直线y a =有4个交点，分0x >和0x <两类情况讨论，利用导数判断函数()g x 的单调性求得最值，由此作出函数()y g x =的图象，利用数形结合即可求出实数a 的取值范围.【详解】方程()f x ax =有四个不等的实数根，等价于()222ln 1,024,0x x x y g x x x x +⎧>⎪⎪==⎨⎪--<⎪⎩的图象与直线y a =有4个交点.当0x >时，()22ln 1x g x x+=，则()34ln x g x x -'=，令()0g x '<，可得1x >，则函数()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，故函数()g x 在()0,∞+上的最大值为()11g =.当0x <时，()224g x x x =--，则()()3222122x g x x x x +'=+=，令()0g x '<，可得1x <-，则函数()g x 在(),1-∞-上单调递减，在()1,0-上单调递增，故函数()g x 在(),0∞-上的最小值为()11g -=-.作出函数()g x 的图象，如图所示，要使函数()g x 图象与直线y a =有4个交点，则01a <<，故实数a 的取值范围是()0,1.故答案为：()0,1. 16.10113【解析】【分析】根据全概率公式结合条件概率公式计算即可【详解】记事件A ：“李好第一枪击中目标”，事件B ：“李好第二枪击中目标”，事件C ：“李好第三枪击中目标”，事件D ：“目标被击中”，则()()()()()P D P A B C P A P B P C =++=++0.80.20.40.20.60.20.904=+⨯+⨯⨯=，()0.20.40.08P B =⨯=，()()()()()0.08100.904113P BD P B P B D P D P D ====. 故答案为：1011317.（1）83a =（2）24a <<【解析】【分析】（1）根据题意123846i 2525z a a z -+=+，再根据纯虚数性质求解；（2）根据题意得122i z z -<-，即.（1）由12i z a =+，234z i =-，得()()122i 34i 2i3846i 34i 252525a z a a a z +++-+===+-，因为12z z 为纯虚数，所以38025a -=，且46025a +≠，所以83a =（2）()()()122i 34i 32i z z a a -=+-+=--，因为2023122i z z -<+，所以122i z z -<-<即()2345a -+<，解得24a <<.18.（1）4352T x =和74254T x =（2）51T x =，4352T x =，35516T x =【解析】【分析】（1）无论选①还是选①，根据题设条件可求5n =，从而可求二项式系数最大的项.（2）利用二项展开式的通项公式可求展开式中所有的有理项.（1）二项展开式的通项公式为：211C C,0,1,2,,2rr r r r n n n r r n T x x r n --+⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎝⎭.若选①，则由题得012C C C 16n n n ++=，①()11162n n n -++=，即2300n n +-=，解得5n =或6n =-（舍去），①5n =.若选①，则由题得()221111C 22141C 22n n n n n n nn n n----⎛⎫- ⎪⎝⎭==-=⎛⎫ ⎪⎝⎭，①5n =，展开式共有6项，其中二项式系数最大的项为22443515C 22T x x ⎛⎫== ⎪⎝⎭，，7732345215C 24T x x ⎛⎫== ⎪⎝⎭.（2）由（1）可得二项展开式的通项公式为：5521551C C ,0,1,2,,52r r r r r r r T x x r --+⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎝⎭. 当52r Z -∈即0,2,4r =时得展开式中的有理项，所以展开式中所有的有理项为：51T x =，5423522215C 22T x x -⎛⎫= ⎪⎝⎭=，5342545415C 216T x x -⎛⎫= ⎪=⎝⎭. 19.（1）1a =，极小值点（2）1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）先求定义域，再求导，根据极值点列出方程，求出1a =，从而求出单调区间，判断出1x =是()f x 的极小值点；（2）问题转化为2max2a x x ⎛⎫≥ ⎪+⎝⎭，求出2211,63x x ⎡⎤∈⎢⎥+⎣⎦，从而求出实数a 的取值范围. （1）①()f x 定义域为(1,)-+∞，()421f x ax x'=-+；若()f x 在1x =处有极值，则()1220f a '=-=，①1a =，此时()()24ln 1f x x x =-+，()()()2214 211x x f x x x x+-'=-=++. ①1x >-，①20x +>，10x +>，当11x -<<时，()0f x '<，()f x 为减函数.当1x >时，()0f x '>，()f x 为增函数.①1x =是()f x 的极小值点.（2）由条件知()0f x '≥在[]2,3x ∈上恒成立，即4201ax x -≥+， ①22a x x ≥+在[]2,3x ∈上恒成立，只需2max2a x x ⎛⎫≥ ⎪+⎝⎭， ①2211[6,12]24x x x ⎛⎫+=+-∈ ⎪⎝⎭，①2211,63x x ⎡⎤∈⎢⎥+⎣⎦，即13a ≥，即a 的取值范围为1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.20.（1）11a，2a3a （2）n a .【解析】【分析】（1）赋值法进行求解；（2）猜想n a（1）令1n =得：111112a a a =+-，因为0n a >，n ∈+N ，解得：11a ，令2n =得：2122112a a a a +=+-，即2221112a a a +=+-解得：2a ，令3n =得：31233112a a a a a ++=+-，3331112a a a =+-，解得：3a（2）猜想{}n a的通项公式为n a当1n =时，11a ，成立，假设n k =时，k a =则12315321211k k S a a a k k =+++=-+-++--=则当1n k =+时，111112k k k a S a +++=+-，即111112k k k k a S a a ++++=+-1111112k k k a a a++++=+-，解得：1k a +综上：n a n *∈N 都成立.21.（1）相关系数0.98；ˆ0.640.16yx =+ （2）6月预计售价为4元/只；方案一分布列见解析；期望为14645；方案二分布列见解析；期望为446135；应选择方案一【解析】【分析】（1）依据题中所给数据，计算出x y 、的值，带入参考公式计算即可. （2）根据（1）中线性回归方程，求得X 可取的值，依次计算概率，列出分布列，求解数学期望，利用数学期望比较两种方案.（1）相关系数()()56.40.986.5i ix x y y r --==≈≈∑，由于0.98接近1，说明y 与x 之间有较强的线性相关关系.()()()51521 6.4ˆ0.6410i ii i i x x y y b x x ==--===-∑∑，ˆ 2.08 1.920.16a =-=，所以ˆ0.640.16yx =+. （2）由（1）可知，ˆ0.640.16yx =+，当6x =时，ˆ4y =，即6月预计售价为4元/只. X 可取的值为2.8，3.2，3.6.若选优惠方案一，1331( 2.8)39C P X ===； 1111321332( 3.2)33C C C C P X ===； 3332( 3.6)A P X ===；此时122438146() 2.8 3.2 3.693913545E X =⨯+⨯+⨯==. 若选优惠方案二，客户每次和机器人比赛时，胜出的概率为132133C =，则不胜的概率为23.33311( 2.8)327P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；211221331212242( 3.2)3333993P X C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 30328( 3.6)327P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；此时128446() 2.8 3.2 3.627327135E X =⨯+⨯+⨯=.438446135135<，说明为使花费的期望值最小，应选择方案一.22.【解析】（1）令()()sin cos sin g x f x x x x x =-=⋅-，()g x 的定义域为(0)π，，()cos sin cos sin g x x x x x x x =--=-⋅'⋅，当0()x π∈，时，()0g x '<恒成立，①()g x 在(0)π，上单调递减， ①当0()x π∈，时，()(0)0g x g <=恒成立，故当0()x π∈，时，()sin f x x <；（2）设()2()12cos 1h x f x x x =-=⋅-，()h x 的定义域为(0)2π，，()2(cos sin )h x x x x =-⋅'，设()cos sin x x x x ω=-⋅，()x ω的定义域为(0)2π，，()2sin cos x x x x ω=--⋅'，当(0)2x π∈，时，()0x ω'<恒成立，①()x ω在(0)2π，上单调递减，又(0)10ω=>，()022ππω=-<，①存在唯一的0(0)2x π∈，使据0()0x ω=，当00x x <<时()0x ω>，则()2()0h x x ω'=>，①()h x 在0(0)x ，上单调递增，当02x x π<<时()0x ω<，则()2()0h x x ω'=<，①()h x 在0()2x π，上单调递减，①()h x 在0x x =处取得极大值也是最大值，又(0)10h =-<，()104h π>，()102h π=-<，①()h x 在(0)4π，与()42ππ，上各有一个零点，即当(0)2x π∈，时，方程2()10f x -=有且仅有2个实数根.。

新课标高二下学期期末考试数学试题(理科)必修三

新课标高二下学期期末考试数学试题（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共60分）一．选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每个小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．复数13)31(2-+i i 的值是（）A ．2B ．21C ．21-D ．2- 2．)('0x f 是可导函数)(x f 在点0x x =处取极值的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．如果复数Z ai Z =+-<322满足条件||,那么实数a 的取值范围是（）A ．)22,22(-B ．(,)-22C ．(,)-11D ．(,)-334．已知(pxx -22)的展开式中，不含x 的项是2720,那么正数p 的值是（）A ． 1B ．2C ．3D ．45．如果654321,,,,,a a a a a a 的方差为3，那么2)3(1-a ．2)3(2-a ． 2)3(3-a ．2)3(4-a ．2)3(5-a ．2)3(6-a 的方差是（）A ．0B ．3C ．6D ．12 6．今天为星期四，则今天后的第20062天是（）A ．星期一B ．星期二C ．星期四D ．星期日 7．下列图象中，有一个是函数)0,(1)1(31)(23≠∈+-++=a R a x a ax x x f 的导函数)('x f 的图象，则=-)1(f（）A ．31B ．31-C ．37D ．31-或35 8．有一排7只发光二级管，每只二级管点亮时可发出红光或绿光，若每次恰有3只二级管点亮，但相邻的两只二级管不能同时点亮，根据这三只点亮的二级管的不同位置或不同颜色来表示不同的信息，则这排二级管能表示的信息种数共有（） A ．10 B ．48 C ．60 D ．80 9．设随机变量~(0,1)N ξ，记)()(x P x <=Φξ，则(11)P ξ-<<等于（）A ．2(1)1Φ-B ．2(1)1Φ--C ．(1)(1)2Φ+Φ-D ．(1)(1)Φ+Φ-10．把语文、数学、物理、历史、外语这五门课程安排在一天的五节课里，如果数学必须比历史先上，则不同的排法有（） A ．48 B ．24 C ．60 D ．12011．口袋里放有大小相同的2个红球和1个白球，有放回的每次模取一个球，定义数列{}n a ：⎩⎨⎧-=次摸取白球第次摸取红球第n n a n 11 如果n S 为数列{}n a 的前n 项之和，那么37=S 的概率为（）A ．729224 B ．72928C ．238735D ．7528 12．有A ．B ．C ．D ．E ．F6个集装箱，准备用甲．乙．丙三辆卡车运送，每台卡车一次运两个.若卡车甲不能运A 箱，卡车乙不能运B 箱，此外无其它任何限制；要把这6个集装箱分配给这3台卡车运送，则不同的分配方案的种数为（） A ．168 B ．84 C ．56 D ．42第Ⅱ卷（非选择题满分90）二、填空题：（本题共4小题，每小题4分，共16分）11．在二项展开式中，______.12．曲线1,0,2===y x x y ，所围成的图形的面积可用定积分表示为__________．13．从1=1，1-4=-(1+2),1-4+9=1+2+3,1-4+9-16=-(1+2+3+4),…,推广到第n 个等式为_________.14．已知函数)0(1)1(3)(223>+-+-=k k x k kx x f ，若)(x f 的单调减区间是（0，4），则在曲线)(x f y =的切线中，斜率最小的切线方程是_________________. 三、解答题17．（12分）求证：（1）223)a b ab a b ++≥+；（2）6+7>22+5.18．（12分）已知(41x ＋3x 2)n展开式中的倒数第三项的系数为45，求：（1）含x 3的项；（2）系数最大的项． 19．（12分）甲．乙两人参加一项智力测试.已知在备选的10道题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题.规定每位参赛者都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题才算通过. （1）求甲答对试题数的概率分布及数学期望；（2）求甲、乙两人至少有一人通过测试的概率.20．（12分）已知函数c bx ax x x f +++=3)(，曲线)(x f y =在点x=1处的切线l 不过第四象限且斜率为3，又坐标原点到切线l 的距离为1010，若32=x 时，)(x f y =有极值．（1）求a 、b 、c 的值；（2）求)(x f y =在[-3,1]上的最大值和最小值．21．（12分）函数数列{})(x f n 满足：)0(1)(21>+=x xx x f ，)]([)(11x f f x f n n =+（1）求)(),(32x f x f ；（2）猜想)(x f n 的表达式，并证明你的结论.22．（14分）设函数)0,,,,()(23>∈+++=a R d c b a d cx bx ax x f , 其中3)0(=f ,)('x f 是)(x f 的导函数.（1）若0)5(',36)3(')1('=-==-f f f ,求函数)(x f 的解析式; （2）若函数)(x f 的两个极值点为21,x x 满足21121<<<<-x x .设, 试求实数的取值范围.参考答案一、选择题 ABDCD ABDAC BD 二、填空题13．512 14．32 15．)321()1()1(16941121n n n n ++++-=⋅-++-+-++ 16．1280x y +-= 三、解答题17．证明：（1） ∵222a b ab +≥,23a +≥,23b +≥ ;将此三式相加得222(3)2a b ab ++≥++,∴223)a b ab a b ++≥+. （2）要证原不等式成立，只需证（6+7）2>（22+5）2，即证402422>. ∵上式显然成立, ∴原不等式成立.18．解：（1）由题设知2245,45,10.n n n C C n -==∴=即21113010363341211010710433101130()(),3,6,12210.r r rrr r r T C x x C xr x T C xC x x ---+-=⋅======令得含的项为（2）系数最大的项为中间项，即55302551212610252.T C x x -==19．解：（I ）甲答对试题数的可能取值为0、1、2、3..甲答对试题数的概率分布如下：故甲答对试题数的数学期望为.（II ）设甲、乙两人通过测试的事件分别为A ．B ，则，.、B 相互独立，甲、乙两人都未通过测试的概率为.∴甲、乙两人至少有一个通过测试的概率为.20．解：（I ）由c bx ax x x f +++=3)(，得．当x=1时，切线l 的斜率为3，可得2a+b=0． ① 当32=x 时，)(x f y =有极值，则0)32('=f ，可得4a+3b+4=0．② 由①、②解得 a=2,b=-4．设切线l 的方程为．由原点到切线l 的距离为1010，则101013||2=+m ．解得m=±1． ∵切线l 不过第四象限， ∴m=1．由于l 切点的横坐标为x=1，∴4)1(=f ． ∴1+a+b+c=4． ∴c=5．(II)由(I)可得542)(23+-+=x x x x f ，∴令0)('=x f ，得x=－2, 2=x ．∴f(x)在x=－2处取得极大值f(-2)=13．在32=x 处取得极小值2795)32(=f ．又f(-3)=8，f(1)=4．∴f(x)在[-3,1]上的最大值为13，最小值为2795． 21．解：（1）221111221)(1)())(()(xx x f x f x f f x f +=+==222221331)(1)())(()(xxxfxfxffxf+=+==（2）猜想：)(1)(2*∈+=Nnnxxxfn下面用数学归纳法证明：①当n=1时，211)(xxxf+=，已知，显然成立②假设当)(*∈=NKKn时，猜想成立，即21)(kxxxfk+=则当1+=Kn时，2222211)1(1)1(11)(1)())(()(xkxkxxkxxxfxfxffxfkkkk++=+++=+==+即对1+=Kn时，猜想也成立.由①②可得)(1)(2*∈+=Nnnxxxfn成立22．解: 33)0(=∴=df（I）据题意,cbxaxxf++=23)('2由36)3(')1('-==-ff知,1=x是二次函数)('xf图象的对称轴又0)3(')5('=-=ff, 故5,321=-=xx是方程0)('=xf的两根.设)5)(3()('-+=xxmxf,将36)1('-=-f代入得4563)5)(3(3)('2--=-+=xxxxxf比较系数得:故3453)(3+--=xxxxf为所求.（II）据题意, 36)(23+-+=xbxaxxf,则623)(2-+=bxaxxf又21,xx是方程0)('=xf的两根,且则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>><>-00)2('0)1('0)1('a f f f 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>-+<-+>--0032606230623a b a b a b a 则点(a,b)的可行区域如图的几何意义为点P(a,b)与点A(3,-1)的距离的平方. 观察图形知点，A 到直线的距离的平方为的最小值13123)61233(2222=+-⨯-⨯=d故的取值范围是),131(+∞。

河北省张家口市2022高二数学下学期期末考试试题理(含解析)

解得或（舍去）.
.
（Ⅱ），
，
， .
【点睛】本题主要考查复数的求法和复数的运算，考查复数模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
18.某地为了调查市民对“一带一路”倡议的了解程度，随机选取了名年龄在岁至岁的市民进行问卷调查，并通过问卷的分数把市民划分为了解“一带一路”倡议与不了解“一带一路”倡议两类.得到下表：
【详解】解：（Ⅰ）根据已知数据得到如下列联表
年龄低于岁人数
年龄不低于岁的人数
合计
了解
不了解
合计
故有的把握认为以岁为分界点“一带一路”倡议的了解有差异.
（Ⅱ）由题意，得市民了解“一带一路”倡议的概率为， .
，，，
，，
则的分布列为
， .
【点睛】本题要注意选取4人是在总体中选，而不是在100人的样本中选，如果看成是在样本中100人选4人，很容易误用超几何分布模型求解.
（2）对方程根的个数转化为函数零点个数，通过对参数进行分类讨论，利用函数的单调性、最值、零点存在定理等，判断函数图象与轴的交点个数.
【详解】（Ⅰ）的导数为 .
在区间，，是增函数；在区间上，，是减函数.
为奇函数，，
令，其图象如图所示，则，
设曲边梯形ABCD的面积为，则，
，
原式的值为 .
【点睛】在求积分时，如果原函数不易求时，可考虑用积分的几何意义，把求积分值转化为求面积问题.
12.函数，若有8个不相等的实数根，则的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
方程有8个不相等的实数根指存在8个不同的值；根据函数的图象，可知方程必存在2个大于1的不等实根.

2020-2021学年高二数学下学期期末测试卷01(人教B版2019选择性必修第三册)(全解全析)

2020–2021学年高二下学期期末测试卷01数学·全解全析1．B 【解析】求出函数的导数，然后可得答案.2sin cos =x x xy x --'所以曲线cos x y x =在点(2π，0)处的切线的斜率为2222πππ-=-⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：B 2．B 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知条件可得出关于1a 、d 的方程组，解出两个量的值，利用等差数列的求和公式可求得7S 的值.因为4516127053a a a d a a d +=+=⎧⎨=+=⎩，所以172a d =-⎧⎨=⎩，因此，()7176767772722S a d ⨯⨯=+=-⨯+⨯=-. 故选：B. 3．C 【解析】利用等比数列的性质可得424685a a a a a =，从而可得答案由等比数列的性质有42468516a a a a a ==，可得52a =±.故选：C 4．A 【解析】根据导数大于0时函数单调递增，导数小于0时原函数单调递减，确定函数()f x 的单调性解：由题意可知，求函数的单调减区间，根据图象，()0f x '≤解集为1,1[2,3)3⎡⎤-⋃⎢⎥⎣⎦，故选：A ． 5．D 【解析】由等差数列求和公式整理可得1n n a a +<，确定{}n a 为递增数列；根据871a a <-可判断数列前7项为负，由此得到结果.由()11n n n S nS ++<得：()()()()1111122n n n n a a n n a a +++++<，整理可得：1nn aa +<，∴等差数列{}n a 为递增数列，又871a a <-，80a ∴>，70a <，∴当7n ≤且n *∈N 时，0n a <；当8n ≥且n *∈N 时，0n a >；n S ∴有最小值，最小值为7S .故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列前n 项和的最值问题，解题关键是能够确定等差数列中由负变正或由正变负的项. 6．D 【解析】令()()2g x x f x =，利用导数说明其单调性，即可得到不等式()0f x <的解集；解：令()()2g x x f x =，则()()()()()()222g x xf x f x f x f x x x x '+=''=+，因为()()20f x xf x +'<，所以当0x >时()0g x '<，当0x <时()0g x '>，所以()g x 在(),0-∞上单调递增，在()0,∞+上单调递减，所以()g x 在0x =处取得极大值也就是最大值，()()max 00g x g ==，所以()20x f x ≤恒成立，又当0x =时()()20f x xf x +'<，所以()00f <，所以()0f x <恒成立，即()0f x <的解集是(),-∞+∞故选：D 7．C 【解析】A. 根据()()()f x f y f xy +=，用赋值法判断.B. 利用单调性定义判断.C. 根据B 知()y f x =在()0,∞+为增函数，再由()()()*121n n f a f a n N+=+∈，得到121n n aa +=+，求通项n a 判断.D. 与C 的判断方法一致.A. 由()()()f x f y f xy +=，令1x y == 得()10f = 故A 不正确. B. 任取()12,0,x x ∈+∞且12x x <，则()()2211x f x f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为当1x >时，()0f x >，所以()()22110x f x f x f x ⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，所以()y f x =在()0,∞+为增函数，故B 错误.C. 由B 知()y f x =在()0,∞+为增函数且()()()*121n n f a f a n N +=+∈，所以121n n a a +=+，即112(1)n n a a ++=+，又()110a f ==，所以111a +=，所以{}1n a +是以1为首项，以2为公比的等比数列，所以121n n a -=-所以2018201921a =-，故C 正确.D. 由C 知D 不正确. 故选：C 【点睛】本题主要考查了抽象函数的求值，单调性及其应用以及数列问题，还考查了推理辨析论证的能力，属于中档题. 8．A 【解析】原不等式恒成立可转化为()ln(2)0l x ax b x =+-≤恒成立，求导分析求出()l x 的最大值，求出22ln 2b a a a ≤-，构造函数22()22ln 2,t a a a a =-利用导数求最大值即可求解.令()ln(2)l x ax b x =+-，则()f x x ≤恒成立即为()0l x ≤恒成立，因为0a >，所以()l x 的定义域为(,)2ba-+∞第 4 页共 19 页22()22()1,,222a ba x ab a l x x ax b ax b a ---'=-=>-++ 当222b b x a a α--<<时()0,l x '>当22a b x a ->时，()0l x '< 在2(,)22b a b a a --上单调递增，在2(,)2a b a-+∞上单调递减，所以max 2()()2a bl x l a-=，由22()ln 2022a b a bl a a a--=-≤ 所以22ln 2b a a a ≤-，则2222ln 2.ab a a a ≤- 令22()22ln 2,t a a a a =- 则()24ln 2t a a a a '=-，令()0,t a '=则1212a e =，当12102a e <<时，()0t a '>，当1212a e >时，()0t a '<，所以()t a 在121(0,)2e 上递增，在121(,)2e +∞上递减，故12max1()()24et a t e ==，所以ab 的最大值为4e. 故选：A 【点睛】关键点点睛：根据不等式恒成立转化为求函数的最大值得出22ln 2b a a a ≤-，构造函数22()22ln 2,t a a a a =-转化为求函数的最大值是解题的关键，属于难题.9．ABC 【解析】计算可得2q，故选项A 正确；8510S =，122n n S ++=，所以数列{}2n S +是等比数列，故选项,B C 正确；lg lg2n a n =⋅，所以数列{}lg n a 是公差为lg 2的等差数列，故选项D 错误.{}n a 为递增的等比数列，由142332,12,a a a a =⎧⎨+=⎩得23142332,12,a a a a a a ==⎧⎨+=⎩解得234,8a a =⎧⎨=⎩或238,4a a =⎧⎨=⎩，∵{}n a 为递增数列，∴234,8a a =⎧⎨=⎩∴322a q a ==，212a a q ==，故选项A 正确； ∴2n n a =，()12122212nn nS +⨯-==--，∴9822510S =-=，122n n S ++=，∴数列{}2n S +是等比数列，故选项B 正确；所以122n n S +=-,则9822510S =-=，故选项C 正确.又lg2lg2lg nn n a ==⋅，∴数列{}lg n a 是公差为lg 2的等差数列，故选项D 错误. 故选：ABC. 【点睛】方法点睛：证明数列为等差（等比）数列常用的方法有：（1）定义法；（2）通项公式法（3）等差（等比）中项法（4）等差（等比）的前n 项和的公式法.要根据已知灵活选择方法证明. 10．AD 【解析】求出函数的导数，根据导数的符号判断函数的单调性，从而可判断AB 的正误，根据零点存在定理和最值的符号可判断CD 的正误.()1x xf x e-'=，令()0f x '=可得1x =，当1x <时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<，故1x =为()f x 的极大值点，故A 正确.又()f x 在(),1-∞上为增函数，()f x 在()1,+∞上为减函数，故当1x =时，函数()f x 取得最大值，故B 错误. 当10e a <<时，()()max 110f x f a e==->，又()00f a =-<，而1e a >，故2211e a >>且2212ln 221ln1l 1112ln 2l n n af a a a a a a e a a a ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()2ln ,g t t t t e =->，则()2210t g t t t-'=-=<，故()2ln g t t t =-在(),e +∞上为减函数，故112ln 20e a a-<-<，由零点存在定理及()f x 的单调性可得()f x 有两个不同的零点，故D 正确. 而当0a ≤时，当1≥x 时，()0f x >恒成立，故()f x 在R 最多有一个零点，故C 错误. 故选：AD 【点睛】方法点睛：导数背景下的函数零点个数问题，应该根据单调性和零点存在定理来说明，注意需选择特殊点的函数值，使得其函数值的符号符合预期的性质，选择特殊点的依据有2个方面：（1）与极值点有明确的大小关系；（2）特殊点的函数值较易.与零点有关的不等式问题，可依据零点的性质及函数的单调性构建新函数来证明. 11．BC 【解析】先求得第一年年底剩余资金1a ，第二年底剩余资金2a ，即可判断A 的正误；分析总结，可得1n a +与n a 的关系，即可判断B 的正误；根据题意，求得n a 的表达式，利用作差法即可比较1n a +与n a 的大小，即可判断C 的正误，代入400t =，即可求得3a ，即可判断D 的正误，即可得答案.第一年年底剩余资金12000(140%)2800a t t =⨯+-=-，第二年底剩余资金211712(140%)392055a a t a t t =⨯+-=-=-，故A 错误；第三年底剩余资金3227109(140%)5488525ta a t a t =⨯+-=-=-，⋅⋅⋅所以第n +1年年底剩余资金为17(140%)5n n n a a t a t +=⨯+-=-，故B 正确；因为212277777()()55555n n n n a a t a t t a t t ---=-=--=--12217777()[1()()]5555n n a t --=-+++⋅⋅⋅+117[1()]75()(2800)7515n n t t ---=---=11757()(2800)[()1]525n n t t -----=1775()(2800)522n t t --+，所以111722775277[()(2800)]()(2800)555522552n n n n n n n t t ta a a t a a t t --+-=--=-=-+-=-，因为800t <，所以7280002t->，所以11277()(2800)0552n n n ta a -+-=->，即1n n a a +>，故C 正确；当400t =时，310910940054885488374438002525t a ⨯=-=-=<，故D 错误；故选：BC 【点睛】解题的关键是根据123,,a a a ，总结出n a ，并利用求和公式，求得n a 的表达式，综合性较强，考查计算化简的能力，属中档题. 12．ACD 【解析】利用导数研究函数的单调性和极值，且将题意转化为()y f x =与y k =有两个不同的交点，即可判断A 选项；易知1x =不是该方程的根，当1x ≠时，将条件等价于y k =和ln xy x=只有一个交点，利用导数研究函数的单调性和极值，从而可推出结果，即可判断B 选项；当120x x >>时，将条件等价于1122()()()()mg x f x mg x f x ->-恒成立，即函数()()y mg x f x =-在(0,)+∞上为增函数，通过构造新函数以及利用导数求出单调区间，即可求出m 的范围，即可判断C 选项；2()ln (0)F x x x ax x =->有两个不同极值点，根据导数的符号列出不等式并求解，即可判断D 选项.解：对于A ，()f x 的定义域(0,)+∞，()ln 1f x x '=+，令()0f x '>，有ln 1x >-，即1x e>，可知()f x 在1(0,)e 单调递减，在1+e ∞（，）单调递增，所以极小值等于最小值， min11()()f x f e e∴==-，且当0x →时()0f x →，又(1)0f =，从而要使得方程()f x k =有两个不同的实根，即()y f x =与y k =有两个不同的交点，所以1(,0)k e∈-，故A 正确；对于B ，易知1x =不是该方程的根，当1x ≠时，()0f x ≠，方程2()kf x x =有且只有一个实数根，等价于y k =和ln xy x=只有一个交点， 2ln 1(ln )-'=x y x ，又0x >且1x ≠，令0y '>，即ln 1x >，有x e >，知ln xy x=在0,1（）和1e （，）单减，在+e ∞（，）上单增， 1x =是一条渐近线，极小值为e ,由ln xy x=大致图像可知0k <或=k e ，故B 错误；对于C ，当120x x >>时，[]1212()()()()m g x g x f x f x ->-恒成立，等价于1122()()()()mg x f x mg x f x ->-恒成立，即函数()()y mg x f x =-在(0,)+∞上为增函数，即()()ln 10y mg x f x mx x =-''--'=≥恒成立，即ln 1+≥x m x在(0,)+∞上恒成立，令ln 1()x r x x +=，则2ln ()xr x x-'=，令()0r x '>得ln 0x <，有01x <<，从而()r x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，则max ()(1)1r x r ==，于是m 1≥，故C 正确；对于D ，2()ln (0)F x x x ax x =->有两个不同极值点，等价于()ln120F x x ax+-'==有两个不同的正根，即方程ln12xax+=有两个不同的正根，由C可知，021a<<，即12a<<，则D正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性和极值，以及利用导数解决函数的零点问题和恒成立问题从而求参数范围，解题的关键在于将零点问题转化成两个函数的交点问题，解题时注意利用数形结合，考查转化思想和运算能力．13．1013【解析】由1n na S+=，推得11(2)2nnana-=≥，得到数列{}na表示首项为12，公比为12的等比数列，求得na和nS，进而得到21nnnSa=-，再结合等比数列求和公式，即可求解.由数列{}na的前n项和nS，且满足1n na S+=，当2n≥时，111n na S--+=，两式相减，可得()11120n n n n n na a S S a a----+-=-=，即11(2)2nnana-=≥，令1n=，可得11121a S a+==，解得112a=，所以数列{}n a表示首项为12，公比为12的等比数列，所以12nna⎛⎫= ⎪⎝⎭，则11122111212nn nS ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==- ⎪⎝⎭-，所以1122112nn n n n S a ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()2939121239222(111)S S S S a a a a ++++=+++-+++()9102129211101312-=-=-=-.故答案为：1013. 【点睛】关键点睛：由1n n a S +=，利用1,1=,2n n n n S n a S S n -=⎧⎨-≥⎩，推得11(2)2n n a n a -=≥从而证得数列{}n a 为等比数列是解答本题的关键. 14．133,4⎫⎪⎭【解析】()2321f x x ax '=-+，设0x 是函数()f x 的极小值点，由0∆>和()00f x >可得032x >>用001132a x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭可求得答案.()2321f x x ax '=-+，由题可得，函数()f x 有极值，故24120a ∆=->，解得：3a >设0x 是函数()f x 的极小值点，故()2000032103f x x ax ax ⎧'=-+=⎪⎨>⎪⎩，解得：00011332a x x x ⎛⎛⎫=+> ⎪ ⎝⎭⎝⎭又因为函数()f x 的极小值大于零，所以()()()323200000000011332230222x f x x ax x x x x x =-++=-++=-+++>，解得：02x <所以：0001133223a x x x ⎛⎫⎛⎫=+>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由双勾函数的知识可得001132a x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在323⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，所以133,4a ⎫∈⎪⎭ 故答案为：133,4⎫⎪⎭15．17 【解析】利用n S 求出n a ，则可得9a .因为2n S n =，当2n ≥时，21(1)n S n -=-，所以221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，又1n =时，111a S ==也适合上式，所以21n a n =-，所以929117a =⨯-=. 故答案为：17 【点睛】关键点点睛：利用n S 求出n a 是解题关键. 16．12ln 2a ≥- 【解析】先判断()g x 的单调性，求出()max g x ，再转化已知条件得到min 1(ln )2a x x x ≥-，最后构建新函数1()ln 2h x x x x =-，并求最小值min ()h x 即可解题解：因为()322332g x x x x =-+-，所以()2231g x x x '=-+-，令()0g x '=，即22310x x -+-=，解得12x =或1x =，则()g x 在11(,)32上单调递减，在1(,1)2上单调递增，在(1,2)上单调递减，所以()max 231(1)1326g x g ==-+-=- 对任意的1,23m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都存在1,23n ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()g m f n ≤成立，则存在1,23n ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()max ()f n g x ≥成立，则存在1,23x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得21ln 36a x x +-≥-成立，则存在1,23x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得1ln 2a x x x ≥-成立，则min 1(ln )2a x x x ≥-，1,23x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦令1()ln 2h x x x x =-，则()1ln 2h x x -'=-令()0h x '=，1ln 02x --=解得：12x e -= 所以1()ln 2h x x x x =-在121(,)3e -上单调递增，在12(,2)e -上单调递减，所以min 1()(2)22ln 212ln 22h x h ==⨯-=-，所以12ln 2a ≥-故答案为：12ln 2a ≥- 【点睛】本题考查利用导数求函数的最值、利用导函数解决不等式的恒成立与能成立问题，是偏难题. 17．（1）12n n a ；（2）2n T n =.【解析】（1）利用等比数列的求和公式进行基本量运算，可得数列{}n a 的通项公式；（2）利用等差数列的求和公式可得数列{}n b 的前n 项和n T ．（1）由题意可知()()()416311115111911a q q a qa q q q ⎧-⎪=-⎪⎨--⎪=⎪--⎩解得112a q =⎧⎨=⎩所以数列{}n a 的通项公式为12n n a .（2）2log 21n an b a n ==- 数列{}n b 的前n 项和()21212n n n T n +-==.18．（Ⅰ）11,2a b ==；（Ⅱ）()f x 的最大值为12-，最小值为212e-.【解析】（Ⅰ）由导数的几何意义以及切点在切线上也在曲线上联立方程可解. （Ⅱ）利用导数求出单调区间，再根据单调性可求最值.解：（Ⅰ）()2ln f x a x bx =-，()2af x bx x'∴=-，由题意，有()()120112f a b f b ⎧=-=⎪⎨=-=-'⎪⎩，解得112a b =⎧⎪⎨=⎪⎩. （Ⅱ）由（Ⅰ）知()2ln 2x f x x =-，()211x f x x x x -'=-=，1x e e≤≤， ∴令()0f x '>，得11x e<<；令()0f x '<，得1x e <<.()f x ∴在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在()1,e 上单调递减.()()221111,1,1222e f f f e e e⎛⎫=-=--=- ⎪⎝⎭，()()()()2maxmin 11,122e f x f f x f e ∴==-==-.19．（1）a ≤5（2）最小值是f (3)＝－9，最大值是f (5)＝15. 【解析】（1）转化为()0f x '≥在[3)+∞，恒成立，即31()2a x x≤+在[1)+∞，恒成立，利用单调性求出1x x +在[3)+∞，上的最小值即可得解；（2）根据3x =是()f x 的极值点求出5a =，分析单调性即可求出最值.（1）因为()f x 在[3,)+∞上是增函数，令f ′(x )＝3x 2－2ax ＋3≥0在[3,)+∞上恒成立， ∴312a x x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭min 1y x x=+在[1,)+∞上为增函数， ∴当3x =时，min 313105223x x ⎛⎫+=⨯= ⎪⎝⎭，∴a ≤5.（2）f ′(3)＝0，即27－6a ＋3＝0，∴a ＝5，f (x )＝x 3－5x 2＋3x ，f ′(x )＝3x 2－10x ＋3. 令f ′(x )＝0，得x 1＝3，x 2＝13(舍去). 当1＜x ＜3时，f ′(x )＜0，当3＜x ＜5时，f ′(x )＞0，即当x ＝3时，f (x )的极小值f (3)＝－9. 又f (1)＝－1，f (5)＝15，∴f (x )在[1,5]上的最小值是f (3)＝－9，最大值是f (5)＝15. 【点睛】关键点点睛：第（1）问转化为()0f x '≥在[3)+∞，恒成立是解题关键，第（2）问根据3x =是()f x 的极值点求出5a =是解题关键. 20．（1）证明见解析；（2）()1112nn -+⋅．【解析】（1）由已知得2212k k b --=，根据等差中项的性质有3232k k b -=⋅，由等比数列的定义即可证{}2k b 是等比数列；（2）由（1）得32212n n n b b ---=，写出{}n c 通项，根据裂项相消法求n S .（1）证明：由数列{}n a ，{}n b ，满足22n n a -=，()*21k k b a k N-=∈，∴2212k k b --=，由21k b -，2k b ，21k b +成等差数列，则有3232k k b -=⋅，整理得2222kk b b -=（常数）， ∴数列{}2k b ：以34为首项，公比为2的等比数列．（2）由（1）知：()323*2213222n n n n n b b n N -----=⋅-=∈， ∴()()()()()()()12212122111811212212n n n n n n n n n n n c n n n b b n n n n n n --+-++====-≥+-+⋅+⋅⋅+⋅， ∴()()0112111111111222223221212n n n nS n n n -=-+=++-=-⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅．21．（1）12a =；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【解析】（1）当1n =时，1121a a =-，即可求得12a =；（2）因为1221n n a a a a =+++-…，化简得到11112n n n a a a ++=-，得到212211114n n n a a a ++-=-，进而得到()2222312112211111(1)(1)(1)4444n n n a a a n T a a a +++-=-+-++-=--，即可求解；（3）由（2）得到1121n n S a ++=+，由（2）得到122n n a +≤再由121n a a +≤=，12312n n n a ++≤≤即可作出证明.（1）由题意，正项数列{}n a 满足：()1221n n a n N a a a *=∈++⋅⋅⋅⋅⋅+-，当1n =时，1121a a =-，结合10a >得12a =. （2）因为1221n n a a a a =+++-…，所以12112n n a a a a +++-=…，所以11112n n n a a a ++-=，可得11112n n n a a a ++=-，所以212211114n n n a a a ++=+-，所以212211114n n n a a a ++-=-，所以22222222112132111111111()()()n n na a a a a a a a ++-=-+-++-()2222312111(1)(1)(1)4444n n a a a n T a ++=-+-++-=--即121445n n T n a ++=+-. （3）由（2）知11112n n n a a a ++-=，所以31221321111111()()()222n n na a a a a a a a a +++++=-+-++-， ()11111112n n S a a a ++-=-，即1121n n S a ++=+. 一方面，由（2）知22112214455n n T n a a a ++=+-≥+=，所以122n n a +≤另一方面，由10n a +>，所以111n n a a +<，于是1n n a a +< 121n a a +≤=，所以22211214n n T a a a n ++=++≤++…，所以12114245431n n n T n n n a a +++=+-≤+⇒≥+12312n n n a ++≤≤131121n n S n +++≤≤，所以当2n ≥321211n n S n +≤-≤-. 【点睛】数列与函数、不等式综合问题的求解策略：1、已知数列的条件，解决函数问题，解决此类问题一把要利用数列的通项公式，前n 项和公式，求和方法等对于式子化简变形，注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊性；2、解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题中，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等，若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决. 22．（1）()1f x x =+；（2）极大值为()01g =，无极小值；（3）()1,323,2e e ⎛⎫-∞--+∞⎪⎝⎭【解析】（1）先根据题意得()1,0P m -，进而得切线斜率1k =，故()1f x x m =-+，再根据()12f =求得m ，进而得解析式；（2）由（1）()1xx g x e +=，求导得()'x xg x e -=，进而根据导数与极值的关系即可得答案；（3）将不等式整理变形得：存在实数[]21,11,x e x ∈使()1212h x h x ⎛⎫< ⎪⎝⎭成立，进而转化为()()min max 2h x h x <，再研究函数()h x 的单调性得()0,a x e ∈时，函数()h x 为减函数，(),+a x e ∈∞时，函数()h x 为增函数，再分0a ≤，01a <<，1a ≥三种情况讨论求解即可得答案.解：（1）令()ln 0y x m =+=解得1x m =-，故点()1,0P m -，对函数()ln y x m =+求导得1'y x m=+，所以曲线()ln y x m =+在点P 处的切线斜率为111k m m==-+，所以曲线()ln y x m =+在点P 处的切线方程为：1y x m =-+，即：()1y f x x m ==-+，又因为()12f =，故2m =，所以()y f x =的解析式()1f x x =+. （2）由（1）知()()1xx f x x g x e e+==，函数定义域为R ，所以()'xxg x e -=，故当()0,x ∈+∞时，()'0g x <，()g x 单调递减，当(),0x ∈-∞时，()'0g x >，()g x 单调递增，所以函数()g x 在0x =处取得极大值，极大值为()01g =，无极小值.（3）因为()()222222222222ln 1ln 1ln 1ln x x a x x x x x a x x x +-++-+=()()2222222211ln 1ln 1ln 1ln 111a x a x x x x x ⎛⎫+-+ ⎪+-+⎝⎭==，故不等式()()21222222ln 1ln h x x x a x x x <+-+等价于()1212h x h x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，因为[]211,e x ∈ ，故存在实数[]21,11,x e x ∈使()1212h x h x ⎛⎫< ⎪⎝⎭成立，所以只需()()min max 2h x h x <成立即可.所以()()()()222ln 1ln ln 1ln 'x a x a x a x h x x x-++---==，因为[]1,x e ∈时，[]ln 0,1x ∈，故[]ln 11,0x -∈-所以当()0,ax e∈时，()'0h x <，函数()h x 为减函数，(),+a x e ∈∞时，()'0h x >，函数()h x 为增函数所以（i ）当0a ≤时，()'0h x >在[]1,e 恒成立，故函数()h x 在[]1,e 单调递增，故()()()()min max 311,a h x h h x h e e -====，所以32ae-<，解得32a e <-；（ii ）当01a <<时，()1,a x e ∈时，()'0h x <，函数()h x 为减函数，(),a x e e ∈时，()'0h x >，函数()h x 为增函数，故()()min 1a a a h x h e e+==，()()(){}max3,033max 1,max 1,1,31aa e a h x h h e ee e a -⎧<<--⎪⎧⎫===⎨⎬⎨⎩⎭⎪-≤<⎩，所以，当03a e <<-时，132a a a e e+-<，即()()1213a a a e -+<-，令()()()1213a m a a a e-=+--，()11'22a a m a e ae --=-+，()()111''10a a a m a e ae a e ---=-+=-<，故()'m a 在()0,1单调递减，()()()''3'10m a m e m a >->=>，故()m a 在()0,1单调递增，所以()m a 在()0,3e -上也单调递增，()()3020m a m e>=->，与()()()12130a m a a a e -=+--<矛盾，无解当31e a -≤<时，121aa e+<，即()21a a e +<，所以()210aa e +-<，令()()21ak a a e =+-，()'2ak a e =-，令()'20ak a e =-=得ln 2a =，故当0ln 2a <<时，()'0k a >，函数()k a 单调递增，当ln 21a <<时，()'0k a <，函数()k a 单调递减，由于()()()()01,140k a k k a k e >=>=->，故函数()k a 在()0,1的函数值恒大于0，故当31e a -≤<时，()0k a >，与()210aa e +-<矛盾，无解；（iii ）当1a ≥时，[]1,x e ∈时，()'0h x <，函数()h x 为减函数，故()()()()max min 311,a h x h h x h e e -====，所以()231a e-<，解得132a e >-；综上，实数a 的取值范围是()1,323,2e e ⎛⎫-∞--+∞⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查导数的几何意义，极值，不等式能成立问题，考查运算求解能力，分类讨论思想，综合分析问题与解决问题的能力，是难题.本题第三问解题的关键在于对已知不等式变形转化为存在实数[]21,11,x e x ∈使()1212h x h x ⎛⎫< ⎪⎝⎭成立，进而只需()()min max 2h x h x <成立即可，再分类讨论求函数的最值即可.。

2019-2020学年南宁三中重点班高二下学期期末数学试卷(理科)(含答案解析)

2019-2020学年南宁三中重点班高二下学期期末数学试卷(理科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知复数z1，z2在复平面内对应的点关于直线y=x对称，z1=1+2i，则z1z2=()A. 35−45i B. 35+45i C. 45−35i D. 45+35i2.定义：.若复数满足，则等于A. B. C. D.3.用数学归纳法证明不等式1+123+133+⋯+1n3<2−1n(n≥2,n∈N+)时，第一步应验证不等式()A. 1+123<2−12B. 1+123+133<2−13C. 1+123<2−13D. 1+123+133<2−144.设函数f(x)是定义在(−∞,0)上的可导函数，其导函数为f′(x)，且有2f(x)+xf′(x)>x2，则不等式(x+2019)2f(x+2019)−4f(−2)>0的解集为()A. (−2021,0)B. (−∞,−2021)C. (−2017,0)D. (−∞,−2017)5.先后抛掷两次一枚质地均匀的骰子(骰子的六个面上分别有1，2，3，4，5，6 个点)，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x，y，设事件A为“x·y为偶数”，事件B为，y均为偶数”，则概率P(B |A)=()A. 12B. 14C. 310D. 136.已知ξ～B(3,13)，则P(ξ=2)=()A. 16143B. 4772C. 379D. 297.4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，将这4张卡片放入编号为1，2，3的三个盒子，每个盒子均不空的放法共()种A. 36B. 64C. 72D. 818.质地均匀的正四面体表面分别印有0，1，2，3四个数字，某同学随机的抛掷次正四面体2次，若正四面体与地面重合的表面数字分别记为m，n，且两次结果相互独立，互不影响．记m2+n2≤4为事件A，则事件A发生的概率为()A. 38B. 316C. π8D. π169.箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球;若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为( )A.B. ()3×C.×D.×()3×10. 函数的的单调递增区间是( ) A.B.C.D.和11. 求二项式(1−2x)7展开式中第三项的系数是( )A. −672B. −280C. 84D. 4212. 已知a ，b ∈R ，函数f(x)=tanx 在x =−π4处与直线y =ax +b +π2相切，则g(x)=−bxlnx +a在定义域内( )A. 有极大值1e B. 有极小值1e C. 有极大值2−1eD. 有极小值2−1e二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 某学校需要把6名同学安排到A ，B ，C 三个兴趣小组学习，每个兴趣小组安排2名同学，已知甲不能安排到A 组，乙和丙不能安排到同一小组，则安排方案的种数有______． 14. 函数f(x)={x 2(0≤x ≤1)2−x(1<x ≤2)的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为______ ．15. 若二项展开式(x 3−4)(2x +3)7=a 0+a 1(x +2)+a 2(x +2)2+⋯…+a 10(x +2)10，则a 1+a 2+a 3+⋯+a 10=______．16. 设函数f(x)={1+log 2(2−x),x <12x ,x ≥1，则f(−6)−f(log 23)=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 威远中学举行中学生“珍爱地球⋅保护家园”的环保知识比赛，比赛分为初赛和复赛两部分，初赛采用选手从备选题中选一题答一题的方式进行；每位选手最多有5次答题机会，选手累计答对3题或答错3题即终止比赛，答对3题者直接进入复赛，答错3题者则被淘汰．已知选手甲答对每个题的概率均为34，且相互间没有影响． (Ⅰ)求选手甲进入复赛的概率；(Ⅱ)设选手甲在初赛中答题的个数为X ，试求X 的分布列和数学期望．18.如图，四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是边长为2的等边三角形，底面ABCD是直角梯形，∠BAD=∠CDA=π2，AB=2CD=2√2，E是CD的中点．(1)求证：AE⊥PB；(2)设F是棱PB上的点，EF//平面PAD，求EF与平面PAB所成角的正弦值．19.有两枚均匀的硬币和一枚不均匀的硬币，其中不均匀的硬币抛掷后出现正面的概率为23.小华先抛掷这三枚硬币，然后小红再抛掷这三枚硬币．(1)求小华抛得一个正面两个反面且小红抛得两个正面一个反面的概率；(2)若用ξ表示小华抛得正面的个数，求ξ的分布列和数学期望；(3)求小华和小红抛得正面个数相同(包括0个)的概率．20.如图，椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长为4，点A，B，C为椭圆上的三个点，A为椭圆的右端点，BC过中心O，且|BC|=2|AB|，S△ABC=3．(Ⅰ)求椭圆的标准方程；(Ⅱ)设P，Q是椭圆上位于直线AC同侧的两个动点(异于A，C)，且满足∠PBC=∠QBA，试讨论直线BP与直线BQ斜率之间的关系，并求证直线PQ的斜率为定值．e x，g(x)=2lnx−ax(a∈R)21.已知函数f(x)=x−2x+2(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明：当b∈[0,1)时．函数ℎ(x)=e x−bx−b(x>0)有最小值，记ℎ(x)的最小值为φ(b)，求φ(b)的x2值域；)与0的大小．(3)若g(x)存在两个不同的零点x1，x2(x1<x2)，求a的取值范围，并比较g′(x1+2x2322.在平面直角坐标点xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρsinθ=6．(1)A为曲线C1上的动点，点M在线段OA上，且满足|OM|⋅|OA|=36，求点M的轨迹C2的直角坐标方程；)，点F在曲线C2上，求△OEF面积的最大值(2)点E的极坐标为(4,π423.设函数f(x)=|2x−1|−|x+2|．(Ⅰ)解不等式f(x)>3；(Ⅱ)若∃x0∈R，使得f(x0)+2m2<4m，求实数m的取值范围．【答案与解析】1.答案：D解析：本题考查了复数的运算法则以及复数的几何意义，考查了计算能力，属于基础题．由复数z1，z2在复平面内对应的点关于直线y=x对称，z1=1+2i，可得z2=2+i，再利用复数的运算法则即可得出答案．解：∵复数z1，z2在复平面内对应的点关于直线y=x对称，z1=1+2i，∴z2=2+i，则z1z2=1+2i2+i=(1+2i)(2−i)(2+i)(2−i)=45+35i.故选：D．2.答案：A解析：试题分析：即：zi+i=−1+2i，所以z=，故选A。

成都市蓉城联盟2022-2023学年高二下学期期末联考数学(理科)含答案

2022～2023学年度下学期期末联考高二理科数学考试时间120分钟，满分150分注意事项：1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”。

2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。

3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合2{|0}3x A x x +=<-，3{|log }B x y x ==，则A B =A ．0,3)(B ．2,3)(-C ．2,0)(-D ．2,)(-+∞2．成都大运会某志愿者服务小队由四川大学25名学生和电子科技大学15名学生组成，现用分层抽样的方法从上述所有学生中抽取16名学生进行应急知识检测，则从四川大学学生中抽取的人数为 A ．10B ．6C ．5D ．33．设x y ∈R ，，则“x y =-”是“220x y x y ---=”的 A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．已知等边三角形ABC 的边长为a ，则AB AC AC BC ⋅+⋅的值为A ．2a -B ．2aC ．0D 25．已知函数2()e 1)x f x x =(+在点0,0))A f ((处的切线方程为1y ax =+，则a 的值为 A ．1-B ．e -C ．1D ．e6．已知正实数m n ，，满足1m n +=，则下列不等式中错误的是 A ．14mn …B ．22212n m +…C ．1)1m n (+<D 17．若x y ，满足约束条件202503100x y x y x y -⎧⎪+-⎨⎪+-⎩，，，………则22+z x y =的最大值是A ．5B ．10C．D ．208．已知函数(2)0()20x f x x f x x +⎧⎪=⎨>⎪⎩，，，，…则2))f f ((-=A ．4B ．8C ．16D ．329．已知函数()y f x =的大致图象如图所示，则()f x 的解析式可能为A ．2e e ()x xf x x -+=B ．2e e ()x xf x x --=C ．221()f x x x =+D ．31()f x x x =+10．已知方程1=有两个不等的实根，则实数m 的取值范围是 A ．4,)3(-∞-B ．34,],)23(-∞-(-+∞C ．34,]23(--D ．34(,)23--11．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，2AB AC AP ==，，BC CA ⊥，若三棱锥P ABC -外接球的表面积为5π，则BC =A ．1 BCD12．如图，已知椭圆22122:10)x y C a b a b +=(>>和双曲线22222:100)x y C m n m n-=(>>，有公共的焦点1,0)F c (-，2,0)F c (，12C C ，的离心率分别为12e e ，，且在第一象限相交于点P ，则下列说法中错误的是 ① 若22234a m c +=，则b =；② 若12||||2PF PF ⋅=，则22a m -的值为1； ③ 12F PF △的面积S nb =；④ 若1260F PF ∠=︒，则当21e 时，2212e e +取得最小值2．A ．①②B．②③ C ．③④ D ．②④二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020-2021学年高二数学下学期期末测试卷03(人教B版2019选择性必修第三册)(全解全析)

2020–2021学年高二下学期期末测试卷03数学·全解全析1．C 【解析】根据等比数列的性质得5123453a a a a a a ⋅⋅⋅⋅=，由对数运算化简即可．解：因为等比数列{}n a 的各项均为正数，且39a =所以3132333435log log log log log a a a a a ++++()()()()55103123453333log log log 9log 310a a a a a a =⋅⋅⋅⋅====.故选：C ．【点睛】对数运算的一般思路：（1）拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并；（2）合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算． 2．D 【解析】首先对函数()f x 求导，令2x =，得到关于()2f '的方程，即可求出()2f '，再利用二次函数的图象和性质，即可确定m 的取值范围．依题可得，()()222f x x f ''=+，令2x =，得()()2422f f ''=+，解得()24f '=-，所以()22()81244f x x x x =-+=--，因为()012f =，()44f =-，而由二次函数的对称性可知，()812f =，故48m ≤≤．故选：D ．【点睛】本题主要考查导数的四则运算法则和基本初等函数导数公式的应用，以及二次函数的图象与性质的应用，属于中档题．3．D 【解析】由等差数列求和公式整理可得1n n a a +<，确定{}n a 为递增数列；根据871a a <-可判断数列前7项为负，由此得到结果.由()11n n n S nS ++<得：()()()()1111122n n n n a a n n a a +++++<，整理可得：1nn aa +<，∴等差数列{}n a 为递增数列，又871a a <-，80a ∴>，70a <， ∴当7n ≤且n *∈N 时，0n a <；当8n ≥且n *∈N 时，0n a >；n S ∴有最小值，最小值为7S .故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列前n 项和的最值问题，解题关键是能够确定等差数列中由负变正或由正变负的项. 4．A 【解析】令()()cos f x F x x=，根据题设条件，求得()F'0x <，得到函数()()cos f x F x x =在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内的单调递减函数，再把不等式化为()3cos cos 3f f x x ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭<，结合单调性和定义域，即可求解.由题意，函数()f x 满足()()'cos sin 0f x x f x x +<，令()()cos f x F x x=，则()()()2'cos sin '0cos f x x f x xF x x+=< 函数()()cos f x F x x=是定义域,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内的单调递减函数，由于cos 0x >，关于x 的不等式()2cos 3f x f x π⎛⎫< ⎪⎝⎭可化为()3cos cos 3f f x x ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭<，即()3F x F π⎛⎫<⎪⎝⎭，所以22x ππ-<<且3x π<，解得23x ππ>>，不等式()2cos 3f x f x π⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故选：A. 【点睛】构造法求解()f x 与()f x '共存问题的求解策略：对于不给出具体函数的解析式，只给出函数()f x 和()f x '满足的条件，需要根据题设条件构造抽象函数，再根据条件得出构造函数的单调性，应用单调性解决问题，常见类型：（1）()()()()f x g x f x g x ''±型；（2）()()xf x nf x '+型；（3）()()(f x f x λλ±为常数)型. 5．D 【解析】分析得出0a <，利用导数分析函数()f x 的单调性，可得知1x 为函数()f x 的极大值点，2x 为函数()f x 的极小值点，再由()()1f x f n =、()()2f x f m =结合因式分解可得出结论.当0a ≥时，()230f x x a '=+≥，此时，函数()f x 在R 上为增函数，当1x 、()2,x m n ∈时，()()1f x f n <，()()2f x f m >，不合乎题意，所以，0a <. 由()0f x '=可得3ax =±-当3a x或3ax 时，()0f x '>；当33a ax时，()0f x '<. 所以，函数()f x 的单调递增区间为,3a ⎛-∞-- ⎝，,3a ⎫-+∞⎪⎪⎭，单调递减区间为,33a a ⎛--- ⎝. 对任意的[],x m n ∈恒有()()()f m f x f n ≤≤，()()min f x f m =，()()max f x f n =，又当1x 、()2,x m n ∈且满足()()1f x f n =，()()2f x f m =，所以，1x 为函数()f x 的极大值点，2x 为函数()f x 的极小值点，则13a x =--，23a x =-，由()()1f x f n =可得3311x ax b n an b ++=++，可得()()33110x n a x n -+-=，即()()221110x n x nx n a -+++=，因为1x n ≠，则22110x nx n a +++=，13a x =--213a x =-，所以，221120n nx x +-=，即()()1120n x n x -+=，所以，120n x +=，同理可得220m x +=，故选：D. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于以下两点：（1）利用已知条件分析出1x 、2x 为函数()f x 的极值点；（2）利用等式()()1f x f n =，()()2f x f m =结合因式化简得出结果. 6．A 【解析】先利用单调性依次写出前几项，再根据规律求和即可.数列{}n a 的通项公式为2276n a n n =-+，故从2a 起单调递增，且1231,0,3a a a ===，所以11112101b A B a a =-=-=-=，22213b A B a a =-=-，33334b A B a a =-=-，44445b A B a a =-=-，…，1010101011b A B a a =-=-，又2112117116171a =⨯-⨯+=，所以数列{}n b 的前10项和为()()()()12101334451011...1...b b b a a a a a a a a +++=+-+-+-++-111111171169a a =+-=+-=-.故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于发现数列从2a 起单调递增，才能依次确定{}n b 的项，找到规律，突破难点. 7．B 【解析】分析：由题意首先求得{}n a 的通项公式，然后结合等差数列的性质得到关于k 的不等式组，求解不等式组即可求得最终结果. 详解：由题意,11222n nn a a a A n-+++=12n +=，则1112222n n n a a a n -++++=⋅，很明显14a =n ⩾2时,()21212212n n n a a a n --+++=-，两式作差可得：()()11221212n n n n n a n n n -+=--=+，则a n =2(n +1),对a 1也成立，故a n =2(n +1)，则a n −kn =(2−k )n +2，则数列{a n −kn }为等差数列，故S n ⩽S 6对任意的*n N ∈恒成立可化为： a 6−6k ⩾0,a 7−7k ⩽0；即()()62207220k k ⎧-+≥⎪⎨-+≤⎪⎩，解得：16773k ≤≤.实数k 的取值范围为16773⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.本题选择B 选项.点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 8．B 【解析】先求得函数()f x 的零点,表示出()g x 的零点,根据“n 距零点函数”的定义,求得()g x 的零点取值范围.通过分离参数,用()g x 的零点表示出a .构造函数,利用导函数研究函数的单调性和最值,即可求得a 的取值范围.因为()f x 与()g x 互为“1距零点函数”. 且当()()2020log 10f x x =-=时,2x =设()20xg x x ae =-=的解为0x 由定义n αβ-<可知, 021x -<解得013x <<而当()20xg x x ae =-=时, 020x x a e =令()()020001,3,x x h x x e =∈则()()020000,2'1,3x x x h x x e-=∈ 令()0'0h x =,解得02x =或00x =（舍）所以当012x <<时,()0'0h x >, ()0200x x h x e =单调递增且()11h e =当023x <<时, ()0'0h x <,()0200x x h x e =单调递减,且()393h e =所以()()02max 42h x h e ==即()0214,hx e e ⎛⎤∈⎥⎝⎦则214,a e e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故选:B 【点睛】本题考查了函数新定义的应用,利用导数分析函数的单调性与最值,利用分离参数和构造函数法求参数的取值范围,属于难题. 9．BCD 【解析】根据周期函数的定义判定选项A ；根据奇偶性的定义判断选项B ；根据导函数取得正负的区间判断C ；根据导函数取得零点的值判断D 选项.对于A 选项：()()()+2+2+2sin +2sin x x f x e x ex f x ππππ==≠，所以函数()f x 不是周期为2π的函数，故选项A 错误；对于B 选项：()f x 的定义域为R ，()()()sin sin xxf x e x e x f x --=-=-=-，所以函数()f x 是奇函数，故B 正确；对于C 选项：当,04x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()sin x f x e x -=，()()'cos sin >0x f x e x x -=-，所以函数()f x 在,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，当30,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin xf x e x =，()()'sin +cos >0x f x e x x =，所以函数()f x 在30,4π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，所以函数()f x 在3,44ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上为增函数，故C 正确；对于D 选项：当[)0,10x π∈时，()sin xf x e x =，()()'sin +cos x fx e x x =，令()()'sin +cos 0x f x e x x ==，得()+1,2,3,4,5,6,7,8,9,104x k k ππ=-=，当()100x π∈-，时，()sin xf x e x -=，()()'cos sin x f x e x x -=-，令()()'cos sin 0x f x e x x -=-=，得()+1,2,3,4,5,6,7,8,9,104x k k ππ==----------，所以在()10,10ππ-，使导函数'0f x的点有20个，且这20个点是变号零点，所以函数()f x 在()10,10ππ-内有20个极值点，故D 正确. 故选：BCD. 【点睛】本题考查了奇函数、周期函数定义，三角函数的几何性质，函数的极值，利用导数研究单调性，考查综合分析求解与论证能力，属于较难题. 10．ACD 【解析】由题意可得数列{}n a 满足递推关系12211,1,(3)n n n a a a a a n --===+≥，依次判断四个选项，即可得正确答案.对于A ，写出数列的前6项为1,1,2,3,5,8，故A 正确；对于B ，911235813+21+3488S =++++++=，故B 错误；对于C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，……，201920202018a a a =-，可得：13520192426486202020182020a a a a a a a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+=+-+-+-++-=，故C 正确.对于D ，斐波那契数列总有21n n n a a a ++=+，则2121a a a =，()222312321a a a a a a a a =-=-，()233423423a a a a a a a a =-=-，……，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-，220192019202020192018aa a a a =-，可得22212201920202019201920202019a a a a a a a a+++==，故D 正确；故选：ACD. 【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，考查方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意递推关系的灵活转换，属于中档题. 11．ACD 【解析】化简函数()f x ，对A 选项，利用轴对称的意义验证并判断；对B ，C 选项，换元借助导数求解并判断；对D 选项，利用对称性、周期性计算并判断.依题意有222[2)]2()(sin cos )44()sin cos 22)2sin()244x x x x f x x x x x ππππ+++===+++++ 对于A 选项：22222()2()2cos 2cos 22()()44cos 2cos 2sin()2sin()222x x x x f x f x x x x x ππππππ+-+==-==++++-即()()44f x f x ππ+=-，()f x 的图像关于直线4x π=对称，A 正确；对于B 选项：,0,sin()24x t x ππ⎛⎫∈-=+ ⎪⎝⎭在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，22t <<，22()2t g t t =+， 2222)()(2)t g t t '=+202t -<<时()0g t '<，202t <<时()0g t '>，即()g t 在22(22-不单调，由复合函数单调性知，()f x 在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上不单调，即B 错误；对于C 选项：令sin(),4t x x R π=+∈，则22()[1,1]2t g t t t =∈-+，2222)()(2)t g t t '=+， ()g t 在[-1，0]上递减，在[0，1]上递增，min ()(0)0g t g ==，2(1)2221g -==+-2(1)2221g ==+ max ()(1)22g t g =-=()g t 的值域是[0,22]，()f x 的值域是[0,22]，C 正确；对于D 选项：由已知得2222()843sin ()42)2)0344sin()24x x x x ππππ+=⇔+-+-=+，解得22sin()43x π+=-或sin()224x π+=舍去)，由()424x k x k k Z πππππ+=+⇒=+∈得函数sin()4y x π=+图象在区间450,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦且确保22sin()4x π+=成立的，对称轴为(,10)4x k k N k ππ*=+∈≤，22sin()43x π+=-在450,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有11个根1211,,,x x x ，数列1{}(,10)i i x x i N i *++∈≤构成以1255242x x ππ+=⋅=为首项，2π为公差的等差数列， 1231101101151(222)10910221125i i i x x x x x x x πππ+=++++=+=⋅+⋅⋅=⋅+∑，D 正确. 故选：ACD 【点睛】关键点睛：涉及关于正(余)弦的三角方程的根的和，合理利用对应函数的对称性是解决问题的关键. 12．BD 【解析】根据取整函数的性质可得数列{}n a 为递增数列，根据整数的性质可得131n n a a +=-，从而可求数列{}n a 的通项，从而可判断AB 的正误，利用二项式定理可判断C 的正误，从而可判断D 的正误.211515222a +-+===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，31104142554a +-⎡==+=⎢⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦. 由题可得n a 为正整数，故211552222n nn n n n n a a a a a a a ++-⎡⎤⎡⎤=≥=+>⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦，所以数列{}n a 为递增数列，故当2n ≥时，22n a a ≥=．又当2n ≥时，()2221924022n n n a a a ---=-<即2122n n a a -<-，故22115222310n n n n n a a a a a +-----=<即215231n n na a a +--<2155232n n n n na a a a a +-+<=，结合31n a -、3n a 均为正整数可得2115231n n n na a a a ++-==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，其中2n ≥，而2131a a =-，故131n n a a +=-，其中1n ≥. 故111322n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，又111022a -=≠，故102n a -≠，故112312n n a a +-=-，故数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以12为首项，3为公比的等比数列，因此111322n n a --=⨯，()11312n n a -=+，因此A 错误，B 正确．又()10092019201820203101131331222a⋅-++⋅+===()01009110081007210081009100910091009310101010112C C C C ⋅-+-+-+=()010091100810072100910091009310101010093022C C C ⋅-+-+⨯-=()010091100810072100910091009310101010003013042C C C ⋅-+-+⨯=++，因为()01009110081007210091009100931010101000302C C C ⋅-+-+⨯为10的倍数，故2020a 的个位数为4，因此C 错误．设2020104a k =+，则()202131041301130101a k k k =+-=+=++，故2021a 的个位数为1，因此D 正确. 故选：BD ．【点睛】思路点睛：以取整函数为背景的数列的递推关系，需结合递推关系的形式和整数的性质挖掘新的隐含的递推关系，从而把问题转化为常见的递推关系，与个位数或余数有关的问题，多从二项式定理去考虑. 13．60【解析】根据数列的规律，先将数列分组，第一组1个数，第二组3个数，⋅⋅⋅，第n 组21n -个数，分别计算出各组数的和，计算出n 组数的项数和，令这个项数和为120列方程，解方程求出组数为6，然后求前6组数的和即可.将此数列分组，第一组：112，共121-项；第二组：2222123321++==22222-，共221-项的和；第三组：333333333123456728721=2222222222-++++++==，共321-项的和;⋅⋅⋅第n 组：()2121234562121=2222222222n n n n n n n n n n n n -⨯--++++++⋅⋅⋅+=⨯，共21n -项的和；由()()()()()12321+21+21++21221120n nn ---⋅⋅⋅-=⨯--=，解得n=6,因此前120项之和正好等于前6组之和，()66212161+++22621212122260226222⨯-⋅⋅⋅-----++⋯+===，故答案为：60. 【点睛】本题考查数列求和问题，考查观察能力，考查化归与转化的思想，属于中档题. 14．9 【解析】由题设得2n n a =，可得n S ，进而写出12nn n S S +的通项，应用裂项相消法求212231222...n n n S S S S S S ++++，最后由不等式成立，找到使不等式成立的边界值n ，即可确定其最小正整数值.由题设知：2log (1)2nn n a F =-=∴12(12)2212n n n S +⨯-==--，而1212122111()(22)(22)22222n n n n n n n n S S +++++==-----， ∴2233412122312221111111...(...)2222222222222n n n n n S S S S S S ++++++=-+-++-------22111()22222n +=---，即221112()222221200n n +-<--， ∴112121300n n +-<-，当n =8时，左边510511=，右边256300=，显然不等式不成立；当n =9时，左边10221023=，右边512300=，显然不等式成立，故最小正整n 数的值9. 故答案为：9. 【点睛】关键点点睛：应用裂项相消法求不等式左边的和，利用特殊值找到使不等式成立的边界值，即可求最小正整数n 的值. 15．①②③⑤ 【解析】利用导数的单调性和极值，逐个讨论每个命题即可22ln '(),0xf x x x-=>，令'()0f x =，有2x e =， 20x e <<时，'()0f x >，2x e >时，'()0f x <，()220f e e -=>，又x e >时，()0f x >，而()0f e =，故()f x 有且只有一个零点，①正确；导数为0的点附近的导数值符号不同，故2e 为极值点，从而②正确；令21()()2h x f x e -=-，由上面分析知，()h x 在()2,e e 上必有一个零点，()33402e h e e -=>， ()244602e h e ρ-=<，故必有一个零点，所以，12,(0,)x x ∃∈+∞，()()120h x h x ==，即()()21212f x f x e -==，所以，③正确；取21x e =，为极大值也为最大值，不存在2x 使得()()12f x f x <，④错误；令2ln 1ln 1()11x x g x x x x-+=--=-， 2ln '()0,01xg x x x=<<<，所以，()(1)0g x g >=，所以，⑤正确；故答案为：①②③⑤【点睛】本题考查导数单调性和极值问题，主要考查学生的数形结合能力，属于难题16．122,236⎡+⎢⎣⎦【解析】通过换元，3()()(33)1f x g m m t m ==+-+，用导数探究得{}()max (1),(1)M t g t g =--，进而可得不等式的解集.因为323()3333(1)(33)(1)1f x x x tx t x t x =-+-+=-+--+，令[]11,1m x =-∈-，则3()()(33)1f x g m m t m ==+-+，()22()3(33)31g m m t m t '=+-=+-，因为(0,1)t ∈，令()0g m '=得1m t =--，或1m t =- 列表m1-(1,1)t --- 1t -- (1,1)t t ---1t - (1,1)t -1()g m '+-+()g m 33t -极大值极小值31t -因为函数()g m 的图象关于点(0,1)对称，且(1)330g t -=->，所以(1)0g t -->，结合表格和简图可知，{}()max (1),(1)M t g t g =--，所以()(()()3201012221221112111232211311t t M t g t t t g t ⎧⎧⎪⎪<<<<⎪⎪⎪⎪≤+⇔-≤⇔-+≤+⇔≤≤+⎨⎨⎪⎪⎪⎪≤+-≤+⎪⎪⎩⎩，故2()12M t ≤+122,236⎡+⎢⎣⎦. 故答案为：122,23⎡+⎢⎣⎦.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是：用导数探究得{}()max (1),(1)M t g t g =--. 17．（1）y x =；（2）存在；1a y e x -=或1y x a -=-．【解析】（1）当1a =时，()1x f x e-=，()1x f x e-'=，故()11k f ='=，再根据点斜式方程求解即可；（2）设直线与曲线()y f x =相切于点()11,A x y ，与曲线()y g x =相切于点()22,B x y ，则根据切点在切线上，也在曲线上得()11122211ln x a x a x a e x x b e e x x ---⎧=---⎪⎨⎪--=----⎩①②，整理得()()12110x x --=，再分当11x =时和21x =时两种情况求解即可.（1）当1a =时，()1x f x e-'=，()11f =，()11f '=曲线()y f x =在点()1,1处的切线方程为：()()()111y f f x -='-，代入整理得：y x =.（2）设直线与曲线()y f x =相切于点()11,A x y ，与曲线()y g x =相切于点()22,B x y ，()x af x e-'=，()1g x x'=曲线()y f x =在点A 处的切线为：()111x ax a y e e x x ---=-与曲线()y g x =相切于点B ，则()11122211ln x a x a x a e x x b e e x x ---⎧=---⎪⎨⎪--=----⎩①②由①得：1221lnln x a x x -==-，则21ln x a x =- 将121x aex -=、21ln x a x =-代入②得：()1212211a x b x x x x ---=-，当11x =时，()111aa y ee x ---=-，即1a y e x -=当21x =时，12ln 0a x x -==，1x a =，因此1y x a -=-，即1y x a -=- 存在这样的直线，直线为1a y e x -=或1y x a -=- 【点睛】本题考查导数的几何意义，解题的关键在于把握切点即在曲线上又在切线上且切点处的导数值为切线的斜率这三个方面列方程求解，考查运算求解能力，是中档题. 18．（1）证明见解析；（2）最大自然数6n =. 【解析】（1）根据题中条件，可得1112n a +--的表达式，根据等比数列的定义，即可得证；（2）由（1）可得1122n n a -=-，则可得2n n b =，根据错位相减求和法，可求得n S 的表达式，根据n S 的单调性，代入数值，分析即可得答案.解：（1）∵()1621*44n n n n a a n N a a +-=-=∈--， ∴()()1116323346312311122162262822224n n n nn n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a +++----⎛⎫----+--======- ⎪-----+----⎝⎭--即11122112n n a a +--=--， ∴112n a ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是首项为113132212a a --==--，公比为2的等比数列. （2）由（1）知，1122n n a -=-，即321112222n n n n n n n a a b a a a ---==-==---，()123123252212n n S n =⋅+⋅+⋅++-⋅，① ()23412123252212n n S n +=⋅+⋅+⋅++-⋅，②①减②得()()()112311421222222122221212n nn n n S n n +++--=⋅++++--⋅=+⋅--⋅-()13226n n +=-⋅-.∴()12326n n S n +=-⋅+.∴()()()21112122322210++++-=-⋅--⋅=+>n n n n n S S n n n ，∴n S .单调递增.∵7692611582021S =⨯+=<，87112628222021S =⨯+=>.故使2021n S <成立的最大自然数6n =. 【点睛】解题的关键是根据所给形式，进行配凑和整理，根据等比数列定义，即可得证，求和常用的方法有：①公式法，②倒序相加法，③裂项相消法，④错位相减法等，需熟练掌握. 19．（1）314a =，11b =；（2）12n n b -=；（3）见详解. 【解析】（1）根据题中条件，得到312232653a a a b a a +=⎧⎨=-⎩，求出3a ，2a ，进而可得1b ；（2）根据题中条件，得到()211323n n n n a a a a +++=--，推出数列{}n b 是以2为公比的等比数列，进而可求出通项公式；（3）由（2）先得()()222121nn n n c +=--，利用裂项相消的方法求出n S ，进而可得结论成立.（1）因为2165n n n a a a +++=，()*13n n n b a a n +=-∈N ，所以312232653a a a b a a +=⎧⎨=-⎩，又11a =，22b =，所以32326532a a a a +=⎧⎨-=⎩，解得23414a a =⎧⎨=⎩，所以12131b a a =-=；（2）由2165n n n a a a +++=可得211263n n n n a a a a +++=--，即()211323n n n n a a a a +++=--，又()*13n n n b a a n +=-∈N ，所以12n n bb +=，则数列{}n b 是以2为公比的等比数列，又11b =，所以12n nb -=；（3）由（2）可得()()()()()()()()21221321212111321212121n nn n n n n n n n n b c b b ++++++---===⨯------211132121n n +⎛⎫=⨯- ⎪--⎝⎭，因此{}n c 的前n 项和为32435211111111132121321213212111321211n n n S +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯=-+-+-+⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪----- ⎪--⎝--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭23234511111111132121121321212121n n +⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭121212211111111144113213239121212121321n n n n n n +++++++-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=--=- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝-⎝⎭⎭因为*n ∈N ，所以121102121n n +++>--，则12112124493911n n n S ++⎛⎫=-< ⎪⎝⎭+--，又121121211493n n n S ++⎛⎫=-+- ⎝-⎪⎭显然单调递增，所以127n S S ≥=，综上2479n S ≤<. 【点睛】结论点睛：裂项相消法求数列和的常见类型：（1）等差型111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列；（2n k nn n k+-=++（3）指数型()11nn n a a a a +-=-；（4）对数型11log log log n aa n a n na a a a ++=-. 20．（1）()1f x x =+；（2）极大值为()01g =，无极小值；（3）()1,323,2e e ⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭【解析】（1）先根据题意得()1,0P m -，进而得切线斜率1k =，故()1f x x m =-+，再根据()12f =求得m ，进而得解析式；（2）由（1）()1xx g x e +=，求导得()'x xg x e -=，进而根据导数与极值的关系即可得答案；（3）将不等式整理变形得：存在实数[]21,11,x e x ∈使()1212h x h x ⎛⎫< ⎪⎝⎭成立，进而转化为()()min max 2h x h x <，再研究函数()h x 的单调性得()0,a x e ∈时，函数()h x 为减函数，(),+a x e ∈∞时，函数()h x 为增函数，再分0a ≤，01a <<，1a ≥三种情况讨论求解即可得答案.解：（1）令()ln 0y x m =+=解得1x m =-，故点()1,0P m -，对函数()ln y x m =+求导得1'y x m=+，所以曲线()ln y x m =+在点P 处的切线斜率为111k m m==-+，所以曲线()ln y x m =+在点P 处的切线方程为：1y x m =-+，即：()1y f x x m ==-+，又因为()12f =，故2m =，所以()y f x =的解析式()1f x x =+. （2）由（1）知()()1x x f x x g x e e+==，函数定义域为R ，所以()'xxg x e -=，故当()0,x ∈+∞时，()'0g x <，()g x 单调递减，当(),0x ∈-∞时，()'0g x >，()g x 单调递增，所以函数()g x 在0x =处取得极大值，极大值为()01g =，无极小值.（3）因为()()222222222222ln 1ln 1ln 1ln x x a x x x x x a x x x +-++-+=()()2222222211ln 1ln 1ln 1ln 111a x a x x x x x ⎛⎫+-+ ⎪+-+⎝⎭==，故不等式()()21222222ln 1ln h x x x a x x x <+-+等价于()1212h x h x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，因为[]211,e x ∈ ，故存在实数[]21,11,x e x ∈使()1212h x h x ⎛⎫< ⎪⎝⎭成立，所以只需()()min max 2h x h x <成立即可.所以()()()()222ln 1ln ln 1ln 'x a x a x a x h x x x -++---==，因为[]1,x e ∈时，[]ln 0,1x ∈，故[]ln 11,0x -∈-所以当()0,ax e∈时，()'0h x <，函数()h x 为减函数，(),+a x e ∈∞时，()'0h x >，函数()h x 为增函数所以（i ）当0a ≤时，()'0h x >在[]1,e 恒成立，故函数()h x 在[]1,e 单调递增，故()()()()min max 311,a h x h h x h e e -====，所以32ae-<，解得32a e <-；（ii ）当01a <<时，()1,a x e ∈时，()'0h x <，函数()h x 为减函数，(),a x e e ∈时，()'0h x >，函数()h x 为增函数，故()()min 1a a a h x h e e+==，()()(){}max3,033max 1,max 1,1,31aa e a h x h h e ee e a -⎧<<--⎪⎧⎫===⎨⎬⎨⎩⎭⎪-≤<⎩，所以，当03a e <<-时，132a a a e e+-<，即()()1213a a a e -+<-，令()()()1213a m a a a e-=+--，()11'22a a m a e ae --=-+，()()111''10a a a m a e ae a e ---=-+=-<，故()'m a 在()0,1单调递减，()()()''3'10m a m e m a >->=>，故()m a 在()0,1单调递增，所以()m a 在()0,3e -上也单调递增，()()3020m a m e>=->，与()()()12130a m a a a e -=+--<矛盾，无解当31e a -≤<时，121a a e+<，即()21a a e +<，所以()210a a e +-<，令()()21ak a a e =+-，()'2ak a e =-，令()'20ak a e =-=得ln 2a =，故当0ln 2a <<时，()'0k a >，函数()k a 单调递增，当ln 21a <<时，()'0k a <，函数()k a 单调递减，由于()()()()01,140k a k k a k e >=>=->，故函数()k a 在()0,1的函数值恒大于0，故当31e a -≤<时，()0k a >，与()210aa e +-<矛盾，无解；（iii ）当1a ≥时，[]1,x e ∈时，()'0h x <，函数()h x 为减函数，故()()()()max min 311,a h x h h x h e e -====，所以()231a e-<，解得132a e >-；综上，实数a 的取值范围是()1,323,2e e ⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查导数的几何意义，极值，不等式能成立问题，考查运算求解能力，分类讨论思想，综合分析问题与解决问题的能力，是难题.本题第三问解题的关键在于对已知不等式变形转化为存在实数[]21,11,x e x ∈使()1212h x h x ⎛⎫< ⎪⎝⎭成立，进而只需()()min max 2h x h x <成立即可，再分类讨论求函数的最值即可.21．（1）3a =；（2）15,33a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（1）由解析式得到导函数()f x '，结合3x =是函数()f x 的一个极值点，()30f '=即可求a 的值；（2）由题设分析知，在[]0,2x ∈内有()()max min 23f x f x -≤，结合已知2a <，讨论0a ≤、01a <<、1a =、12a <<分别求a 的范围，然后求并集即可.解：（1）由函数解析式知：()()21f x x a x a =-++'，由题意，得()()39310f a a '=-++=，故3a =. 经检验，3a =满足题意.（2）由已知，当2a <时，只需[]0,2x ∈，()()max min 23f x f x -≤. ()()()()211f x x a x a x x a =-++=--'.①当0a ≤时，()f x 在[]0,1单减，在[]1,2单增. 所以()()min 5162a f x f ==+，而()01f =，()523f =，故()max 53f x =. 所以()()maxmin 5523623a f x f x -=--≤，解得13a ≥（舍去）.②当01a <<时，()f x 在[]0,a 单增，在[],1a 单减，在[]1,2单增. 由于()()2203f f -=，所以只需()()()()210fa f ff ⎧≤⎪⎨≥⎪⎩，即()()2144013a a a a ⎧+-+≥⎪⎨≥⎪⎩，所以113a ≤<. ③当1a =时，()()2'10f x x =-≥，()f x 在[]0,2单增，所以()()()()max min 2203f x f x f f -=-=，满足题意. ④当12a <<时，()f x 在[]0,1单增，在[]1,a 单减，在[],2a 单增. 由于()()2203f f -=，所以只需()()()()120f f f a f ⎧≤⎪⎨≥⎪⎩，即533a a ⎧≤⎪⎨⎪≤⎩，所以513a <≤. 综上，知：15,33a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.思路点睛：已知函数极值点求参数时，一般应用极值点处的导数为0列方程；函数在闭区间内任意两个函数值的差小于定值转化为最值间的距离小于该定值，（1）当0x x =有极值则0()0f x '=，即可得有关参数的方程；（2）[]12,,x x a b ∀∈，()()12f x f x λ-≤恒成立转化为[],x a b ∈，()()max min f x f x λ-≤； 22．（1）2m >；（2）不存在，理由见解析；（3）答案见解析. 【解析】（1）根据题意得到()111m +->，()211m m -+>，再解不等式组即可；（2）首先假设存在等差数列{}n a 符合要求，从而得到()1n d n -<成立，再分类讨论1n =和1n >的情况，即可得到答案.（3）首先设数列{}n a 的公比为q ，则11n n a a q -=，根据题意得到()1110n n n n n a a a q a a q +-=-=->>，从而得到211122a a -为最小项，同理得到211122a a -为最小项，再利用“K 数列”的定义得到11a =，3q =或12a =，2q，再分类讨论即可得到答案.（1）由题意得()111m +->，()211m m -+>，解得2m >，所以实数m 的取值范围是2m >.（2）假设存在等差数列{}n a 符合要求，设公差为d ，则1d >，由11a =-，得()12n n n S n d -=-+，由题意，得()21122--+<-n n n d n n 对*N n ∈均成立，即()1n d n -<. ①当1n =时，d R ∈； ②当1n >时，1n d n <-，因为11111n n n =+>--，所以1d ≤，与1d >矛盾，所以这样的等差数列不存在. （3）设数列{}n a 的公比为q ，则11n n a a q-=，因为{}n a 的每一项均为正整数，且()1110n n n n n a a a q a a q +-=-=->>，所以在{}1n n a a --中，21a a -为最小项. 同理，11122n n a a -⎧⎫-⎨⎬⎩⎭中，211122a a -为最小项. 由{}n a 为“K 数列”，只需211a a ->，即()111a q ->，又因为12n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是“K 数列”，且211122a a -为最小项，所以2111122a a -≤，即()112a q -≤，由数列{}n a 的每一项均为正整数，可得()112a q -=，所以11a =，3q =或12a =，2q.①当11a =，3q =时，13-=n n a ，则31nn b n =+，令()*1N n n n c b b n +=-∈，则()()1332132112n n n n n c n n n n ++=-=⋅++++，又()()()()()()21232134863302312213n n nn n n n n n n n n n n +++++⋅-⋅=⋅>+++++++，所以{}n c 为递增数列，即121n n n c c c c -->>>>，所以21333122b b -=-=>，所以对于任意的*N n ∈，都有11n n b b +->，即数列{}n b 为“K 数列”. ②当12a =，2q时，2nn a =，则121n n b n +=+.因为21213b b -=≤，所以数列{}n b 不是“K 数列”.综上：当11a =，3q =时，13-=n n a ，数列{}n b 为“K 数列”，当12a=，2q时，2nna=，数列{}n b不是“K数列”.【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式，同时考查了分类讨论的思想，属于难题.。

江苏省淮安市2016-2017学年高二下学期期末考试数学(理)试卷 Word版含答案

数学试卷（理科）一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1. 已知复数1iz i+=（i 为虚数单位），则复数z 的实部为 . 3.若346n n A C =，则n 的值为 . 4.已知向量()()1,1,0,1,0,2a b ==-，若ka b +与b 相互垂直，则k 的值是 .5．已知二项式61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则它的展开式中的常数项为 .6.在3名男教师和3名女教师中选取3人参加义务献血，要求男、女教师都有，则有种不同的选取方法（用数字作答）.7.已知曲线()22:1C x y y -+=在矩阵2201A -⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换下得到曲线C '，则曲线C '的方程为 .8.甲、乙、丙三人各自独立的破译一个密码，假定它们译出密码的概率都是15，且相互独立，则至少两人译出密码的概率为 .11.现有10件产品，其中6件一等品，4件二等品，从中随机选出3件产品，其中一等品的件数记为随机变量X,则X 的数学期望()E X = .12.从3名男生和3名女生中选出4人分别分别担任辩论赛中的一、二、三、四辩手，其中男生甲不能担任一辩手，那么不同的编队形式有种.（用数字作答）13.已知1232727272727S C C C C =++++，则S 除以9所得的余数是 .14.利用等式()111,,k k n n kC nC k n k n N -*-=≤≤∈可以化简12111222n n n n n C C n C -⋅+⋅+⋅ ()101122111111222123.n n n n n n n n nC n C n C n C n n -------=+⋅+⋅++⋅=+=⋅等式11k k n n kC nC --=有几种变式，如：1111k k n n C C k n--=又如将1n +赋给n ，可得到()111,k k n n kC n C -+=+，类比上述方法化简等式：23101211111115253515n n n n n n C C C C n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅+⋅+⋅++⋅= ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭.二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分14分）在某次问卷调查中，有a,b 两题为选做题，规定每位被调查者必须且只需在其中选做一题，其中包括甲乙在内的4名调查者选做a 题的概率均为23，选做b 题的概率均为1.3（1）求甲、乙两位被调查者选做同一道题的概率；（2）设这4名受访者中选做b 题的人数为ξ，求ξ的概率分布和数学期望.18.（本题满分16分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为等腰直角三角形，1,2,3,AB AC AB AC AA M ⊥===是侧棱1CC 上一点.（1）若1BM A C ⊥，求1C MMC的值；（2）若2MC =，求直线1BA 与平面ABM 所成角的正弦值.19.（本题满分16分）已知()()()()()201211112,.nn x n a a x a x a x n n N *+=+-+-+++≥∈.（1）当3n =时，求31223222a a a ++的值；（2）设232,.2nn n n n a b T b b b -==+++①求n b 的表达式；②使用数学归纳法证明：当2n ≥时，()()11.6n n n n T +-=20.（本题满分16分）设函数()()(),10,0.xf x y my m y =+>>（1）当2m =时，求()7,f y 的展开式中二项式系数最大的项；（2）已知()2,f n y 的展开式中各项的二项式系数和比(),f n y 的展开式中各项的二项式系数和大992，若()01,nn f n y a a y a y =+++，且240a =，求1ni ai =∑；（3）已知正整数n 与正实数t ，满足()1,1,,n f n m f n t ⎛⎫= ⎪⎝⎭求证：162017,.f f t ⎛⎛⎫>- ⎪ ⎝⎭⎝.数学试卷（理科）参考答案与评分标准一、填空题:1．1 2．()2,0 3. 7 4. 5． 5. -20 6.18 7．2214x y += 8.13125 9. 10．,骣÷ç÷ç÷ç桫121255 11．95 12．300 13．7． 14．116()115n n +⎡⎤-⎢⎥+⎣⎦二、解答题:17．（1）设事件A 表示“甲选做第a 题”，事件B 表示“乙选做第a 题”，则甲、乙2名受访者选做同一道题的事件为“AB AB +”，且事件A 、B 相互独立.所以()()()()()P AB AB P A P B P A P B +=+=2211533339⨯+⨯= ………………5分答：甲、乙两位被调查者选做同一道题的概率59……………………………………6分（2）随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4，且ξ～1(4,)3B . (8)分所以44441112()()(1)()()(0,1,2,3,4)3333k k k k k kP k C C k ξ--==-==， …………10分所以变量ξ的分布表为：……12分所以1632248140123481818181813E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（或14433E np ξ==⨯=）…14分18.（1）以A 为坐标原点，以射线AB 、AC 、1AA分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，…………………………………………1分如图所示，则()2,0,0B()0,0,3，设MC h =，则 (0,2,M ()10,2,3AC =- 由1BM AC ⊥得1BM AC ⋅，即22⨯解得43h =故154C M MC =； (2) 因为2MC =，所以M ，()()(2,0,0,0,2,2,2,0,3AB AM BA ===-第18题图x设平面ABM 的一个法向量为(),,n x y z =，由0{0n AB n AM ⋅=⋅=得0{0x y z =+=，所以()0,1,1n =-，………………………………………………………………………10分 112,n BA n BA n BA ⋅==⋅-14分设直线1BA 与平面ABM 所成的角为θ,所以13sin cos ,n BA θ==，所以直线1BA 与平面ABM . ……………………………16分. 19.（1）记3()(1)f x x =+，令01,8x a ==得， …………………………………………2分令31223312522228a a a x =+++=0得 a ，……………………………………………………4分故3122312561822288a a a ++=-=； ………………………………………………………5分（2）设y x =-1，则原展开式变为：()n n ny a y a y a a y ++++=+...22210，则2222-=n n C a ， ………………………………………………………………………7分所以222(1)22n n n a n n b C --===，………………………………………………………9分证明：①当2=n 时，221,1T b ==，结论成立；……………………………………10分②假设k n =时成立，即(1)(1)6k k k k T +-=，那么1+=k n 时，11(1)(1)(1)62k k k k k k k k T T b +++-+=+=+[][](1)(1)1(1)1(1)(2)66k k k k k k ++++-++==所以当1n k =+时结论也成立．…………………………………………………………14分综上①②当2n ≥时，(1)(1)6n n n n T +-=． …………………………………………16分20．（1）因为f (7，y )＝()712y +，故展开式中二项式系数最大的项分别是第4项和第5项，即T 4＝()3372C y =3280y ，()444572560T C y y ==； ……………………………5分（2）由题意知，22n －2n ＝992，即(2n －32)(2n ＋31)＝0，所以2n ＝32，解得n ＝5， ………………………………………………………………7分则由()5(5,)1f y my =+=5015a a y a y +++，又222540a C m ==，且0m >，所以2m =，则51i i a ==∑()5512131+-=-=242； …………………………………………10分(3)证明：由1(,1)(,)nf n m f n t=，得(1＋m )n ＝m n(1＋m t )n ＝(m ＋m 2t )n ，则1＋m ＝m ＋m2t ，所以m ＝t ， ………………………………………………………12分又f ＝(1＋m 1 000t )2 017＝(1＋11 000)2 017>1＋12017C 11 000＋22017C (11 000)2＋32017C (11 000)3>1＋2＋2＋1＝6，而1(2017,)f t-=20171m t -⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝(1＋1t )－2 017<1，所以f >16(2017,)f t -．………………………………………………16分。

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高二下学期期末复习理科数学三答案
1-5 ADCAD 6-10 AAACD
11.15 12.
4
25
13.
10,2⎛⎫
⎪⎝⎭
14. (1.5, 4) ；15.(－2,2) 16解：2
135(62222823) 4.06690458550
k ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯．
因为4.066 3.844>，所以有95%的把握，认为数学成绩与物理成绩有关，判断出错的概率只有5%．
17. 解：由题意知42
:14:3n n C C =，
(1)(2)(3)(1)14
4!2!3
n n n n n n ----÷=∴
，
化简，得25500n n --=．
解得5n =-（舍），或10n =．设该展开式中第1r +项中不含x ，则1010522
2
110
10
(3)
3r r r
r
r r
r T C x x C x
----+==··，
依题意，有
10502
r
--，2r =．所以，展开式中第三项为不含x 的项，且22
31035T C -==．
18. 解：（1）ξ的所有可能取值为0，1，2．
依题意，得3436C 1(0)C 5P ξ===， 214236C C 3(1)C 5P ξ===， 12
42
3
6
C C 1(2)C 5P ξ===． ∴ξ的分布列为
∴ 0121555
E ξ=⨯
+⨯+⨯=。

（2）设“男生甲被选中”为事件A ，“女生乙被选中”为事件B ，
则()2
536C 1C 2P A ==，()14
36C 1C 5P AB ==， ∴()()()25
P AB P B A P A ==．
故在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为2
5
． 19.(1)∵()f x 在2x =时有极值，∴有(2)0f '=
又22()a f x a x x '=+
- ∴410a a +-=， ∴45
a =
∴有2224422
()(252)555f x x x x x x
'=+-=-+ 由()0f x '=得11
2
x =，22x =
又0x >∴由()0f x '>得1
02
x <<或2x >
由()0f x '<得1
22x <<
∴()f x 在区间1(0,)2和(2,)+∞上递增，在区间1
(,2)2
上递减
∴()f x 的极大值为1
6()2ln 225
f =-
（2）若()f x 在定义域上是增函数，则()0f x '≥在0x >时恒成立
()222
22'a ax x a
f x a x x x -+=+-=，
∴需0x >时2
20ax
x a -+≥恒成立，
化220ax x a -+≥为221
x
a x ≥
+恒成立， 2
22
111x x x x
=≤++， ∴1a ≥为所求。

20. 解（1）当0a =时，2()x f x x e -=．2()2(2)x x x f x xe x e xe x ---'=-=-．
所以(2)0f '=．
（2）22()(2)e e ()e [(2)]x x x f x x a x ax a x a x ---'=+-++=-+-
e [(2)]x x x a -=-⋅--．
令()0f x '=，得0x =或2x a =-．当20a -=，即2a =时， 2()e 0x f x x -'=-≤恒成立，
此时()f x 在区间(,)-∞+∞上单调递减，没有极小值；当20a ->，即2a <时，
若0x <，则()0f x '<．若02x a <<-，则()0f x '>．所以0x =是函数()f x 的极小值点．当20a -<，即2a >时，若0x >，则()0f x '<．若20a x -<<，则()0f x '>．此时0x =是函数()f x 的极大值点．
综上所述，使函数()f x 在0x =时取得极小值的a 的取值范围是2a <．（3）由（Ⅱ）知当2a <，且2x a >-时，()0f x '<，
因此2x a =-是()f x 的极大值点，极大值为2(2)(4)e a f a a --=-．
所以2()(4)e (2)x g x x x -=-<． 222()e e (4)(3)e x x x g x x x ---'=-+-=-．令2()(3)e (2)x h x x x -=-<．
则2()(2)e 0x h x x -'=->恒成立，即()h x 在区间(,2)-∞上是增函数．所以当2x <时，22()(2)(32)e 1h x h -<=-=，即恒有()1g x '<．
又直线320x y m -+=的斜率为
32
，所以曲线()y g x =不能与直线320x y m -+=相切．
21.解：（1）定义域为)0(∞+，，且1ln )(+='x x f ，当[]
12--∈e e x ，时，0)(<'x f ，当[]
21e e x ，-∈时，0)(>'x f ∴)(x f 在[]
12--∈e e x ，为为减函数；在[]
21e e x ，-∈上为增函数，
∴，
11min 1)()(---==e e f x f
{}
2
222max 21)()(),(max )(e e f e f e f x f +===-
（3）证明：由（2）知当()+∞∈,1x 时，x x x >+1ln x
x 1
1ln ->⇔ 令n n x 1+=
，则111ln +->+n n n n ，化简得1
1
ln )1ln(+>-+n n n
∴1
1
ln )1ln(312ln 3ln ,211ln 2ln +>-+>->-n n n ，，
1ln 1ln 2ln )1ln(ln ln )1ln()1ln(+-++--+-+=+∴）（）（）（ n n n n n
2
1111++++=
n n 即11
413121)1ln(+++++>+n n。