信号与系统 DTFT与DFT举例
DFT(离散傅里叶变换).
e
j
2 N
k
N
Im 2/N
X(e j)
Re 1
2
10
x(n)可以由X(k)表示，而x(n)的z变换X(z)和频谱 X(ej)都是由x(n)确定的，显然，X(z)和X(ej)也能用这N 个频谱抽样值X(k)来表示，这就是X(z)和 X(ej)的 内插 表达式。
① X(z )的内插表达式
N 1
X (z) x(n)zn n0
N 1
X (k) DFTx(n) x(n)W nk
n0
x(n) IDFT
X (k )
1
N 1
X (k )W nk
N k0
3
写成矩阵形式：
X (0) W 0 W 0
W0
W 0 x(0)
X (1)
W 0
W 11
W 12
W 1( N 1)
x(1)
X
(
N
----- k的奇函数
16
N 1
N 1
X (k) x(n)W nk [ x(n)W nk ]*
n0
n0
N 1
[ x(n)W n( N k ) ]*
n0
= X*(N k)
X(k) =X*(N k) =X(N k)
arg[X(k)] = arg[X*(N k)] = arg[X(N k)]
X(k)
X(k)
0 123 456 k N=6
0 123 45 N=5
k
17
在0 ~N 范围内，对于N/2点X(k)呈半周期偶对称
分布。 arg[X(k)]呈半周期奇对称分布。
但对于长度为N的X(k)有值的区间是0 ~N 1，因此对
转载：一幅图弄清DFT与DTFT,DFS的关系
转载：⼀幅图弄清DFT与DTFT,DFS的关系 很多同学学习了数字信号处理之后，被⾥⾯的⼏个名词搞的晕头转向，⽐如DFT，DTFT，DFS，FFT，FT,FS等，FT和FS属于信号与系统课程的内容，是对连续时间信号的处理，这⾥就不过多讨论，只解释⼀下前四者的关系。
对于初学数字信号（Digital Signal Processing，DSP）的⼈来说，这⼏种变换是最为头疼的，它们是数字信号处理的理论基础，贯穿整个信号的处理。
FS：时域上任意连续的周期信号可以分解为⽆限多个正弦信号之和，在频域上就表⽰为离散⾮周期的信号，即时域连续周期对应频域离散⾮周期的特点，这就是傅⽴叶级数展开（），它⽤于分析连续周期信号。
FT：是傅⽴叶变换（），它主要⽤于分析连续⾮周期信号，由于信号是⾮周期的，它必包含了各种频率的信号，所以具有时域连续⾮周期对应频域连续⾮周期的特点。
FS和FT 都是⽤于连续信号频谱的分析⼯具，它们都以傅⽴叶级数理论问基础推导出的。
时域上连续的信号在频域上都有⾮周期的特点，但对于周期信号和⾮周期信号⼜有在频域离散和连续之分。
在⾃然界中除了存在温度，压⼒等在时间上连续的信号，还存在⼀些离散信号，离散信号可经过连续信号采样获得，也有本⾝就是离散的。
例如，某地区的年降⽔量或平均增长率等信号，这类信号的时间变量为年，不在整数时间点的信号是没有意义的。
⽤于离散信号频谱分析的⼯具包括DFS，DTFT和DFT。
DTFT：是离散时间傅⽴叶变换（），它⽤于离散⾮周期序列分析，根据连续傅⽴叶变换要求连续信号在时间上必须可积这⼀充分必要条件，那么对于离散时间傅⽴叶变换，⽤于它之上的离散序列也必须满⾜在时间轴上级数求和收敛的条件；由于信号是⾮周期序列，它必包含了各种频率的信号，所以DTFT对离散⾮周期信号变换后的频谱为连续的，即有时域离散⾮周期对应频域连续周期的特点。
当离散的信号为周期序列时，严格的讲，傅⽴叶变换是不存在的，因为它不满⾜信号序列绝对级数之和收敛（绝对可和）这⼀傅⽴叶变换的充要条件，但是采⽤离散傅⽴叶级数（Discrete Fourier Series ，DFS）这⼀分析⼯具仍然可以对其进⾏傅⽴叶分析。
离散时间信号的傅里叶变换和离散傅里叶变换
离散时间信号的傅里叶变换和离散傅里叶变换摘要本文主要介绍了离散时间信号的离散时间傅里叶变换及离散傅里叶变换，说明其在频域的具体表示和分析，并通过定义的方法和矩阵形式的表示来给出其具体的计算方法。
同时还介绍了与离散时间傅里叶变换（DTFT ）和离散傅里叶变换（DFT ）相关的线性卷积与圆周卷积，并讲述它们之间的联系，从而给出了用圆周卷积计算线性卷积的方法，即用离散傅里叶变换实现线性卷积。
1. 离散时间傅里叶变换1.1离散时间傅里叶变换及其逆变换离散时间傅里叶变换为离散时间序列x[n]的傅里叶变换，是以复指数序列｛｝的序列来表示的（可对应于三角函数序列），相当于傅里叶级数的展n j e ω-开，为离散时间信号和线性时不变系统提供了一种频域表示，其中是实频率ω变量。
时间序列x[n]的离散时间傅里叶变换定义如下：)(ωj e X （1.1）∑∞-∞=-=nnj j e n x e X ωω][)(通常是实变量的复数函数同时也是周期为的周期函数，并且)(ωj e X ωπ2的幅度函数和实部是的偶函数，而其相位函数和虚部是的奇函数。
)(ωj e X ωω这是由于：（1.2）)()()(tan )()()()(sin )()()(cos )()(222ωωωωωωωωωωθωθωθj re j im j im j re j j j im j j re e X e X e X e X e X e X e X e X e X =+===由于式（1.1）中的傅里叶系数x[n]可以用下面给出的傅里叶积分从中算出：)(ωj e X 1（1.3）ωπωππωd e eX n x n j j )(21][⎰-=故可以称该式为离散时间傅里叶逆变换（IDTFT ），则式（1.1）和（1.3）构成了序列x[n]的离散时间傅里叶变换对。
上述定义给出了计算DTFT 的方法，对于大多数时间序列其DTFT 可以用收敛的几何级数形式表示，例如序列x[n]=,此时其傅里叶变换可以写成简单n α的封闭形式。
实验1234 离散信号的DTFT和DFT
实验1 离散系统的差分方程、冲激响应和卷积分析实验目的：加深对离散系统的差分方程、冲激响应和卷积分析方法的理解。
实验原理：离散系统如下图所示。
其输入、输出关系可用以下差分方程描述：[][]∑∑==-=-Nk Mk kkk n x p k n y d 0输入信号分解为冲激信号，[][][]∑+∞-∞=-=m m n m x n x δ记系统单位冲激响应：[][]n h n →δ则系统响应为如下的卷积计算式：[][][][][]∑+∞-∞=-==m m n h m x n h n x n y *当N k d k ,,2,1,0 ==时，[]n h 是有限长度的()]),0[:M n ，称系统为FIR 系统；反之，称系统为IIR 系统。
在Matlab 中，可以用函数),,(x d p Filter y =求解差分方程，也可以用函数),(h x conv y =计算卷积。
（1） 卷积计算n=1:50; %定义序列的长度是50hb=zeros(1,50); %注意：Matlab 中数组下标从1开始 hb(1)=1; hb(2)=2.5; hb(3)=2.5; hb(4)=1; subplot(3,1,1); stem(hb); title('系统hb[n]'); m=1:50; %定义序列的长度是50 A=444.128; %设置信号有关的参数 a=50*sqrt(2.0)*pi; T=0.001; %采样率 w0=50*sqrt(2.0)*pi;x=A*exp(-a*m*T).*sin(w0*m*T);subplot(3,1,2); stem(x); title('输入信号x[n]');y=conv(x,hb); subplot(3,1,3); stem(y); title('输出信号y[n]');（2） 卷积定律验证 figure(2); k=-25:25;X=x*(exp(-j*pi/12.5)).^(n'*k);magX=abs(X); %绘制x(n)的幅度谱subplot(3,2,1); stem(magX); title('输入信号的幅度谱');angX=angle(X); %绘制x(n)的相位谱subplot(3,2,2); stem(angX); title('输入信号的相位谱');Hb=hb*(exp(-j*pi/12.5)).^(n'*k);magHb=abs(Hb); %绘制hb(n)的幅度谱subplot(3,2,3); stem(magHb); title('系统响应的幅度谱');angHb=angle(Hb); %绘制hb(n)的相位谱subplot(3,2,4); stem(angHb); title('系统响应的相位谱');n=1:99; k=1:99; Y=y*(exp(-j*pi/12.5)).^(n'*k);magY=abs(Y); %绘制y(n)的幅度谱subplot(3,2,5); stem(magY); title('输出信号的幅度谱');angY=angle(Y); %绘制y(n)的相位谱subplot(3,2,6); stem(angY); title('输出信号的相位谱');%以下将验证的结果显示figure(3);XHb=X.*Hb;subplot(2,1,1); stem(abs(XHb)); title('x(n)的幅度谱与hb(n)幅度谱相乘');subplot(2,1,2); stem(abs(Y)); title('y(n)的幅度谱'); axis([0,60,0,8000]);实验内容：编制程序求解下列两个系统的单位冲激响应和阶跃响应，并绘出其图形。
数字信号处理FT与DFT的对比
燕山大学课程设计说明书课程名称数字信号原理及应用题目FT与DFT的对比学院（系）电气工程学院年级专业2011级检测技术与仪器一班学号110103020055学生姓名陈国龙指导教师王娜教师职称讲师电气工程学院《课程设计》任务书课程名称：数字信号处理课程设计说明：1、此表一式四份，系、指导教师、学生各一份，报送院教务科一份。
2、学生那份任务书要求装订到课程设计报告前面。
电气工程学院教务科目录第1章摘要 (4)第2章 FT与DFT (5)2.1 FT的定义 (5)2.2 FT的性质 (7)2.3 DFT的定义 (8)2.4 DFT的性质 (9)第3章仿真程序及仿真图 (11)3.1 长为8的矩形序序列 (11)3.2 序列的FT变换 (12)3.3 序列的DFT变换 (14)第4章仿真分析总结 (15)心得体会 (20)参考文献 (21)燕山大学评审意见表 (22)摘要随着科技的发展，当今社会已经进入信息时代，人们每天都要接触各种各样载有信息的信号形式，如接受广播、电视信号、使用电话传送声音信号等，其目的是为了把不同形式的消息借助一定形式的信号进行表达或传递。
随着科技的发展，数字信号处理理论及其分析方法已应用于许多领域和学科中，通过功能强大的MATLAB软件与数字信号处理理论知识相互融合在一起，使我们对数字信号处理理论知识能够有更深厚理解，也提高了动手能力，时间并初步掌握了MATLAB的使用。
根据本次课题要求，通过使用MATLAB，直观形象的表达出FT于DFT的区别联系，使学习更加深刻。
二、FT 与DFT 1、FT 的定义连续时间信号与系统的频域分析方法，其基本思想是正弦函数或复指数函数作为基本信号单元，将任意信号表示成不同频率的正弦信号或复指数信号之和，因此将时间变量变化为频率变量，称为信号的频谱分析。
由于傅里叶变换是实现信号频谱分析的基本手段，故频域分析方法以傅里叶变换作为基础。
傅里叶变换有两种形式，一种是三角函数形式的傅里叶级数；另一种是指数形式的傅里叶级数。
傅里叶变换概念
傅里叶变换概念傅里叶变换（Fourier Transform）是一种数学技术，用于将一个函数从时域（时间域）表示转换为频域表示。
傅里叶变换广泛应用于信号处理、图像处理、通信系统等领域，具有重要的理论和实际意义。
傅里叶变换的概念可以通过将一个信号分解成多个正弦波和余弦波的叠加来解释。
任何复杂的周期信号都可以被视为多个不同频率的正弦波的叠加。
傅里叶变换就是将这个信号从时域分解成它不同频率的正弦波和余弦波分量的过程。
傅里叶变换的数学表示如下：F（ω）= ∫ f(t) * e^(-jωt) dt其中，F（ω）表示频域函数，f(t)表示时域函数，e^(-jωt)是欧拉公式中的复指数函数，ω是变量频率。
根据傅里叶变换的定义，我们可以将一个复杂的时域信号分解成多个频率分量，并且这些分量对应于频域函数F（ω）的不同频率部分。
傅里叶变换提供了一种量化信号在频域上的能力，揭示了信号的频谱特征，可以从中提取出信号中的频率、幅度、相位等信息。
傅里叶变换的应用非常广泛。
在信号处理领域，傅里叶变换常用于滤波、降噪、频谱分析等任务。
例如，在音频处理中，可以使用傅里叶变换将声音信号从时域转换到频域，通过分析频谱可以得知声音中包含的不同音调的频率和强度。
在图像处理领域，傅里叶变换可以提供图像的频域信息，用于图像增强、去噪、压缩等任务。
通过傅里叶变换，我们可以将一个图像分解成不同空间频率上的分量，从而更好地理解图像的特征和结构。
在通信系统中，傅里叶变换常用于信号调制、解调、信道估计等任务，以提高通信信号的传输质量和效率。
此外，傅里叶变换还有着重要的数学和物理意义。
傅里叶变换将一个函数从时域转换到频域，可视化了函数在不同频率上的分布情况。
通过傅里叶变换，我们可以将一个函数中的周期性模式展示出来，并且可以通过重建时域函数来还原原始信号。
为了实现傅里叶变换，通常使用快速傅里叶变换（FFT）算法。
FFT算法通过利用对称性质和迭代计算来大大加快傅里叶变换的计算速度，使得实时处理和大规模数据分析成为可能。
信号与系统重要知识总结
基本概念一维信号：信号是一个独立变量的函数时，称为一维信号。
多维信号：如果信号是n 个独立变量的函数，就称为n 维信号。
归一化能量或功率：信号（电压或电流）在单位电阻上的能量或功率。
能量信号：若信号的能量有界，则称其为能量有限信号，简称为能量信号。
功率信号：若信号的功率有界，则称其为功率有限信号，简称为功率信号。
门函数：()g t τ常称为门函数，其宽度为τ，幅度为1因果性：响应（零状态响应）不出现于激励之前的系统称为因果系统。
因果信号：把t=0时接入的信号（即在t<0时，f(t)=0的信号）称为因果信号，或有始信号。
卷积公式：1212()()*()()()f t f t f t f f t d τττ∞-∞==-⎰梳妆函数：相关函数：又称为相关积分。
意义：衡量某信号与另一延时信号之间的相似程度。
延时为0时相似程度是最好的。
1212()()()R f t f t dt ττ∞-∞==-⎰前向差分： ()(1)()f k f k f k ∆=+-后向差分：()()(1)f k f k f k ∇=--单位序列：()k δ单位阶跃序列：()k ε基本信号：时间域：连续时间系统以冲激函数为基本信号，离散时间系统以单位序列为基本信号。
任意输入信号可分解为一系列冲积函数（连续）或单位序列（离散）的加权和。
频率域：连续时间系统以正弦函数或虚指数函数jwt e 为基本信号，将任意连续时间信号表示为一系列不同频率的正弦信号或虚指数信号之和（对于周期信号）或积分（对于非周期信号）。
DTFT ：离散时间信号，以虚指数函数2j kn N e π或j k e θ为基本信号，将任意离散时间信号表示为N 个不同频率的虚指数之和（对于周期信号）或积分（对于非周期信号）。
系统响应：()j t j t Ye H j Fe ωωω=正交函数集：n 个函数构成一函数集，如在区间 内满足正交特性。
复变函数的正交性均方误差：误差的均方值2ε帕斯瓦尔方程：j j j t t K C dt t f ∑⎰∞==12221)( 含义：)(t f 在区间),(21t t 信号所含能量恒等于此信号在完备正交函数集中各正交分量能量的总和。
各种信号傅里叶分析
1 f (t ) 2
ˆ ( ) f ˆ ( ) ei ( ) f
ˆ ( )e jt d f
为f(t)的幅频特性，ei ( ) 为f(t)的相频特性
Fourier变换的性质
(1)
(2)
(3)
(4)
ˆ ˆ ( ) 2 f ( ) f
ˆ ( ) f ˆ ( ) f
n 0,1,
, N 1
k 0,1,
, N 1
例:
x(n)=R4(n) ，求x(n)的8点和16点DFT
2 kn 8
解： 设变换区间N=8， 则
X (k ) x (n )W8kn e
n 0 N 0
7
3
j
e
3 j k 8
sin( k ) 2 , k 0,1, ,7 sin( k ) 8
例：假设有一个信号，它含有2V的直流分量，频率为50Hz、 相位为-30度、幅度为3V的交流信号，以及一个频率为 75Hz、相位为90度、幅度为1.5V的交流信号。
用数学表达式就是如下：
式中cos参数为弧度，所以-30度和90度要分别换算成弧度。 以256Hz的采样率对这个信号进行采样，总共采样256点。 按照上面的分析，Fn=(n-1)*Fs/N，可以知道，每两 个点之间的间距就是1Hz，第n个点的频率就是n-1。
30 90 s 2 3cos(2 50 t ) 1.5cos(2 75 t ) 180 180
我们的信号有3个频率：0Hz、50Hz、75Hz， 应该分别在第1个点、第51个点、第76个点上 出现峰值，其它各点应该接近0。
我们来看看FFT的结果的模值如图所示
频域分辨率(Fn所能分辨到频率): Fs/N 如果采样频率Fs为1024Hz，采样点数为1024 点，则可以分辨到1Hz。1024Hz的采样率，采样 1024点，刚好是1秒，也就是说，采样1秒时间的 信号并做FFT，则结果可以分析到1Hz，如果采样 2秒时间的信号并做FFT，则结果可以分析到0.5Hz。 如果要提高频率分辨力，则必须增加采样点数， 也即采样时间。频率分辨率和采样时间是倒数关系。