湘教版九年级数学上册(初三)3.4.2：相似三角形的性质 课件

即 DN 4 . 68
2. 如图， △ABC ∽△ABC ，AD，BE 分别是 △ABC 的高和中线， AD ，BE 分别是△ABC 的高和中线 ，且 AD = 4，AD = 3，BE= 6， 求 BE的长．
解 ∵ △ABC ∽△ ABC， ∴ B'E' AD' ， BE AD 即 B'E' 3 . 64 ∴ B'E' =4.5.
动脑筋
如图，已知 △ABC ∽△ABC，相似比为k，则 S△ABC∶S△ ABC 的值是多少呢？
分别作BC，BC 边上的高AD，AD，
则 AADD= k.
因此， SVABC SVA'B'C'
=
1 2
BCAD
12 BC AD'
=
BC BC
AD AD
=
k k =k2 .
结论
由此得到， 相似三角形的面积比等于相似比的平方.
=
30cm.
66
3. 有一个直角三角形的边长分别为3，4，5，另一个 与它相似的直角三角形的最小边长为7，则另一个 直角三角形的周长和面积分别是多少？
解 由已知可得
这两个直角三角形的相似比为 3 . 7
∴ 另一个直角三角形的两条边分别为
4 3
28 3
和
5 3
=
35 3
.
7
7
∴ 另一个直角三角形的周长为
解 在Rt△ABC与Rt△ACD中， ∵ ∠A=∠A， ∠ACB=∠ADC=90°， ∴ △ABC∽△ACD.
又 CD，DE分别为它们的斜边上的高，
∴ CD AB . DE AC
又 CD=2，AB= 8 3 ，AC=4， 3
∴ DE= 3.
例10 如图，已知△ABC∽△ ABC， AT、AT 分别为
B，4C
=
1 3
解得BC=12 cm.
即
SV = 49 S ABC
VA'B'C'.
又 SVABC + SVA'B'C' = 91，
∴
4SV +SV =91.
9 A'B'C'
A'B'C'
∴
SV =63. A'B'C'
练习
1. 证明：相似三角形的周长比等于相似比.
证明：设△ ABC ∽△ABC，相似比为k.
因为
AABB
BC BC
CCAAk，
∴ AE 1 . AB 3
即
SVAEF
SV S AEF
四边形BCFE
=
19.
例12
已知△ABC 与△ ABC
的相似比为
2 3
，
且 SVABC + SVA'B'C' = 91，求△ A'B'C' 的面积.
解
∵
△ABC
和
△ABC
的相似比为
2 3
，
∴
SVABC =(2)2 = 4， S 3 9 VA'B'C'
对应角∠BAC，∠BAC的角平分线.
求证： AT AB . AT AB
解 ∵ △ABC ∽△ ABT',
∴ ∠B=∠B， ∠BAC=∠BAC.
又AT、A'T' 分别为对应角∠BAC，∠ BAC' 的角平分线，
∴
∠BAT=
1 2
∠BAC
=
1 2
∠
BAC=
∠ BAT',
∴ △ABT ∽△ ABT'.
例11 如图，在△ABC中， EF∥BC， AE 1 ， EB 2
S 四边形BCFE= 8， 求S△ABC．
解 ∵ EF∥BC，
又 AE 1 , EB 2
∴
SVAEF SVABC
=
(1)2 3
19.
∵ S = 8. 四边形BCFE
∴ SVAEF =1. ∴ SVABC =9.
∴ △AEF∽△ABC.
相似三角形对应边上 的中线的比等于相似比.
练习
1. 已知△ABC∽△DEF， AM，DN 分别△ABC， △DEF 的一条中线，且AM= 6cm， AB= 8cm， DE= 4cm，求DN的长.
解 ∵ △ABC∽△DEF，
又 AM，DN分别为它们的斜边上的高，
∴ DN DE， AM AB
∴ DN=3(cm).
解 ∵ △ABC ∽ △ABC,
∴ 它们的相似比为 60 5 , 72 6
即
AB AB
=
BC BC'
=
AC AC'
=
5 6
.
∴
BC
=
5 6
B'C'
=
56×24 = 20cm
A'B'=Fra bibliotekAB 5=
15 5
=18cm.
66
∴ 在△ABC中，AC=60-15-20=25(cm).
∴
A'C'
=
AC 5
=
20 5
∴ AT AB . AT AB
类似地，我们可以得到另外两组对应角平分线 的比也等于相似比.
结论
由此得到， 相似三角形对应的角平分线的比等于相似比.
议一议
已知△ABC∽△ ABC ， 若AD、AD 分别为
△ABC ，△ ABC的中线，那么 AD AB 成立吗？ AD AB
由此你能得出什么结论？
∴ ∠B =∠ B. 又 ∠AHB =∠ AH'B= 90°， ∴ △ABH∽△ ABH'. ∴ AH AB .
AH AB
类似地，我们可以得到其余两组对应边上的高的 比也等于相似比.
结论
由此得到： 相似三角形对应高的比等于相似比.
例9
如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，DE⊥AC ， 垂足为点E. 已知CD=2，AB= 8 33 ，AC=4，求DE的长.
所以 ABkAB , BCkBC , CAkCA .
从而
△ABC的周长 △ABC 的周长
AB BC C A ABBC CA
k(AABBBBCCCCAA)
k . .
2. 已知 △ABC ∽ △ABC，它们的周长分别为 60cm和72cm，且AB=15cm，BC=24cm，求
BC，AC， AB，AC 的长.
本课节内容 3.4
相似三角形的判定与性质
——3.4.2 相似三角形的性质
两个三角形相似，除了它们的对应角相等，对应 边成比例等性质外，相似三角形还有哪些性质呢？
动脑筋
如图，已知△ABC∽△ ABC ， AH、 AH 分
别为对应边BC， BC 上的高，那么
AH A H
AB AB 吗？
解 ∵ △ABC∽ △ ABC，
35 3
238 + 7
=
28.
另一个直角三角形的面积为
12×238×7= 938.
中考 试题
例
如图，在△ABC中，若DE∥BC，
AD DB
=
1 2
，DE=4cm，
则BC的长为（ B ）.
A.8 cm
B.12 cm
C.11 cm
D.10 cm
解 由DE∥BC，可知△ADE∽△ABC，
所以
DE BC
=，AADB即