总体均值的置信区间
正态分布总体 总体均值已知 方差的置信区间
正态分布总体总体均值已知方差的置信区间【文章开头】一、引言在统计学中，正态分布总体是相当常见的一种总体类型。
当我们需要对一个正态分布总体的总体均值进行推断时，有时候我们会面临到总体均值已知，但方差未知的情况。
对于这样的情况，我们可以使用置信区间来进行推断。
二、什么是置信区间？置信区间是指在统计推断中，对总体参数的估计范围。
通常，我们会给出一个置信水平，比如95%的置信水平，表示对总体参数的估计有95%的把握是正确的。
置信区间由一个下限和一个上限组成，表示总体参数可能落在这个范围内的概率。
三、正态分布总体的总体均值已知的情况下，方差的置信区间如何计算？当正态分布总体的总体均值已知时，我们可以使用样本标准差来作为总体方差的估计。
我们可以利用样本大小、置信水平和样本标准差来计算方差的置信区间。
四、计算步骤1. 收集样本数据：从正态分布总体中随机抽取样本，并记录样本数据。
2. 计算样本标准差：利用样本数据计算样本标准差。
样本标准差是总体方差的一个无偏估计。
3. 确定置信水平：根据需要的置信水平，确定置信水平对应的临界值。
临界值可以从统计表中查找。
4. 计算置信区间：利用样本大小、样本标准差和置信水平的临界值，计算方差的置信区间。
五、示例假设我们想研究某种药物对血压的影响。
我们从正态分布的总体中随机抽取了100个样本，并记录了每个样本的血压数据。
我们已知总体均值为120，方差未知。
现在，我们想要计算方差的95%置信区间。
1. 收集样本数据：从正态分布总体中随机抽取100个样本，并记录血压数据。
2. 计算样本标准差：利用样本数据计算样本标准差。
假设计算得到样本标准差为10。
3. 确定置信水平：我们希望得到95%的置信区间，因此置信水平为0.95。
4. 计算置信区间：根据样本大小100，样本标准差10，和置信水平0.95的临界值，我们可以计算得到方差的置信区间。
【文章主体】六、方差的置信区间是如何帮助我们进行推断的？方差的置信区间为我们提供了一个总体参数可能的取值范围。
平均值的置信区间
平均值的置信区间什么是置信区间？统计学家经常必须从样本数据推断总体数据的特征。
在这个过程中，一个单独的样本本身代表的是总体的一部分，因此不能仅仅依靠简单地描述样本来了解总体。
这就是置信区间的意义所在。
置信区间是总体平均值的一个估计值，因此是样本平均值的范围。
平均值的置信区间是一种用来估计某个总体参数范围的工具。
换句话说，它是一个实数区间，可能包含某个待估计参数的真实值。
例如，如果我们根据样本数据计算出来的平均值是12，那么我们可能会使用置信区间来推断总体平均值的真实值（假设总体符合正态分布）。
这个置信区间告诉我们，在一定置信度下，总体平均值可能位于某个范围内，例如11至13之间。
在置信区间的范围内，我们可以以某一个概率推测待估计参数的真实值。
但是，由于我们只能够进行样本数据的抽样，因此我们无法知道总体的真实情况，也无法肯定某个置信区间是否覆盖了总体真实值。
因此，置信区间只是一个通过样本数据估计总体数据的工具，不能对总体答案的正确性做出绝对保证。
置信区间的理论基础置信区间的关键是$t$分布。
$t$分布是概率论和统计学中的一个重要分布。
在统计推断中，为计算总体平均值的置信区间而被广泛使用。
$t$分布是由William S. Gossett发明的，是在样本量较小、总体标准差未知的情況下针对总体平均值的推断所采用的一种概率分布。
当样本容量较少时，总体标准差通常被视为不知道。
此时，如果使用普通的$z$分布进行推断，则推断的误差非常大。
而当样本容量较大时，通常可以将总体标准差视为已知。
这时，我们可以使用$z$分布进行推断。
但是，如果我们无法确认总体标准差，却需要进行总体平均值的推断，那么我们就可以使用$t$分布。
$t$分布与正态分布不同，它没有一个固定的标准差。
相反，它的标准差是根据样本数据中的方差估计得出的。
与正态分布相比，$t$分布的曲线更高、更平，它的尾部比正态分布更粗、更长。
在样本容量较小（小于30）时，$t$分布对总体平均值的估计要比正态分布更准确。
65两个正态总体均值及方差比的置信区间
1 n1
1 n2
(43.71 - 39.63 2.1448 6.71 16 / 63) ,
即 （4.08±7.25）＝（－3.17，11.33）.
例2 测得两个民族中各5位成年人的身高 （以cm计）如下
A民族 162.6 170.2 172.7 165.1 157.5 B民族 175.3 177.8 167.6 180.3 182.9
讨论两个正态总体均值差和方差比的估计问题.
1. 两个总体均值差1 2 的置信区间
(1)
2 1
和
2 2
均为已知
1 2的一个置信度为1 的置信区间
X
Y
z / 2
2 1
n1
2 2
n2
.
推导过程如下:
因为 X , Y 分别是 1, 2 的无偏估计, 所以 X Y 是 1 2 的无偏估计,
由X,
2 1
2 2
的置信区间
总体均值 1, 2 为未知
S12 S22
F
/
2 (n1
1 1, n2
1)
,
S12 S22
1 F1 / 2 (n1 1, n2
1).
F / 2(n1 1, n2 1) F0.05(17, 12) 2.59,
F1
/ 2(17,
12)
F0.95 (17,
12)
1 F0.05 (12,
17)
1, 2.38
于是得
2 1
2 2
的一个置信度为
0.90
的置信区间
0.34 0.29
1 2.59
,
0.34 0.29
2.38
0.45,
信区间.
解 由题意, 两总体样本独立且方差相等(但未知),
总体均值的置信区间
总体均值的置信区间总体均值的置信区间是统计学中一个重要的概念，它是一种估计总体均值的方法，对研究变量有重大的意义。
本文致力于对总体均值的置信区间做全面的介绍，包括它的定义、意义、假设和计算方法等。
首先，本文将讨论总体均值的置信区间的定义。
总体均值的置信区间是统计学中一种重要的概念，是一种计算总体均值的方法，它是通过样本统计量来估计总体参数。
具体来说，总体均值的置信区间是一种估计技术，它估计出某个总体均值的范围，该范围是一个以置信度为参数的区间。
接下来，本文将讨论总体均值的置信区间的意义。
总体均值的置信区间是一种估计总体均值的可靠方法，因此它具有重要的研究意义，对于研究变量来说，它可以帮助我们更准确地了解其行为规律。
例如，如果我们想探究一个社会问题，总体均值的置信区间可以提供重要的支持，帮助我们更准确地表述总体上的规律。
接着，本文将讨论总体均值的置信区间的假设。
由于置信区间是一种估计总体均值的方法，因此它的使用必须遵循特定的先决条件。
通常情况下，使用总体均值置信区间的前提条件是：1）样本是随机抽样；2）样本大小有限；3）样本变量是正态分布的；4）样本的标准差可以估计出来。
最后，本文讨论总体均值的置信区间的计算方法。
对于总体均值的置信区间，我们可以使用一种称为置信区间分析的方法来计算它。
具体来讲，我们可以将所有观察到的数据放入一个表格中，然后计算出样本均值、标准误差和置信度，接着利用这些数据来计算出总体均值的置信区间。
总体而言，总体均值的置信区间是统计学中一个重要的概念，它是一种计算总体均值的可靠方法，具有重要的研究意义。
本文通过详细讨论总体均值的置信区间的定义、意义、假设和计算方法等，使人们对总体均值的置信区间有了全面而深入的了解，并且能够更好地利用它来探究研究变量行为规律。
总体均数95%可信区间的计算公式
总体均数95%可信区间的计算公式
总体均数的95%可信区间是指，在一定置信水平下，总体均数真实值有95%的概率落在该区间内。
其计算公式为：
总体均数的95%可信区间 = 样本均数± tα/2(自由度为n-1
的t分布值) ×样本标准差/√n
其中，tα/2是t分布的上分位数，自由度为n-1表示样本量为n时，样本的自由度是n-1，样本标准差是对样本数据进行方差计算后开方得出的结果，而√n表示样本量的平方根。
具体步骤如下：
1. 根据数据收集设计，确定样本量n和置信水平α。
通常采用95%置信水平，即α=0.05。
2. 从总体中随机抽取n个样本，计算样本均数和样本标准差。
3. 根据t分布表，查找自由度为n-1，置信水平为α/2（即0.025）的t值，记为tα/2。
4. 根据公式计算总体均数的可信区间。
举例说明：
假设某城市有1000名学生，我们想研究他们的身高。
从这1000名学生中，我们随机选取了100名学生，并对他们的身高进行了测量，得到样本均数为168cm，样本标准差为5cm。
我们希望以95%的置信水平求出该城市学生的平均身高的可信区间。
根据上述公式，我们可以计算出自由度为99，置信水平为0.025时的t值为1.984，于是总体均数的95%可信区间为：
168 ± 1.984 × 5/√100 = (165.1, 170.9)
可见，我们有95%的置信度相信，该城市学生的平均身高在165.1cm到170.9cm之间。
两正态总体均值差的置信区间
两正态总体均值差的区间估计基于Wolfram Mathematica ,给出了两正态分布Ν[μ1,σ1]、Ν[μ2,σ2]总体均值差μ1-μ2在两总体方差已知、未知但相等、未知但样本量相等、未知但已知方差比、未知近似、未知精确的置信区间估计方法。
最后对理论结果进行程序模拟。
设X i ~Ν(μ1,σ1),i =1,2,...,n ，为正态总体X ~Ν(μ1,σ1)的一i.i.d.，样本均值X -=1n i =1n X i ，样本方差S X 2=1n -1 i =1n X i -X - 2。
设Y i ~Ν(μ2,σ2),i =1,2,...,m ，为正态总体Y ~Ν(μ2,σ2)的一i.i.d.，样本均值Y -=1m i =1m Y i ，样本方差S Y 2=1m -1 i =1m Y i -Y - 2。
一、两总体方差σ12=σ102、σ22=σ202已知定理1：X -Ν μ1,σ1n ,Y -Ν μ2,σ2m .CharacteristicFunction NormalDistribution [μ,σ],t n n;特征函数CharacteristicFunction 正态分布NormalDistribution μ,σn ,t ;%⩵%%//完全简化FullSimplify [#,n >0&&属于Element [n,整数域Integers ]]&True定理2：X --Y -Νμ1-μ2,⇔X --Y --(μ1-μ2)Ν[0,1].转换分布TransformedDistribution X -Y,X 正态分布NormalDistribution μ1,σ1n ,Y 正态分布NormalDistribution μ2,σ2m转换分布TransformedDistribution(X -Y )-(μ1-μ2), X 正态分布NormalDistribution μ1,σ1n ,Y 正态分布NormalDistribution μ2,σ2m //完全简化FullSimplifyNormalDistribution μ1-μ2,NormalDistribution [0,1]下面简要给出求μ1-μ2置信区间的方法：由α2≤Φ≤1-α2,得μ1-μ2的置信水平为1-α的置信区间为X --Y --Z1≤μ1-μ2≤X --Y --Zα2即X --Y --Z1-α2≤μ1-μ2≤X --Y -+Z1其长度：L =2Z 1-α2以下是程序模拟：需要Needs ["HypothesisTesting`"]μ10=10;μ20=1;σ10=3;σ20=4;X =伪随机变数RandomVariate [正态分布NormalDistribution [μ10,σ10],2000];Y =伪随机变数RandomVariate [正态分布NormalDistribution [μ20,σ20],1000];α=0.05;"(一)两方差已知""1.计算法"n =长度Length [X ];m =长度Length [Y ];M =平均值Mean [X ]-平均值Mean [Y ];σ=Q =分位数Quantile 正态分布NormalDistribution [0,1],1-α2;{M -Q σ,M +Q σ}"2.MeanDifferenceCI"MeanDifferenceCI X,Y,KnownVariance → σ102,σ202 ,置信级别ConfidenceLevel →1-α"3.NormalCI"NormalCI [M,σ,置信级别ConfidenceLevel →1-α]"区间长度："L =2Q σ"相对区间长度："r =L M "(二)两方差未知"清除Clear [μ,σ]{μ1,σ1}={μ,σ}/.求分布参数FindDistributionParameters [X,正态分布NormalDistribution [μ,σ]];2 正态分布\\正态分布统计分析\\两正态总体均值差的置信区间.nb求分布参数正态分布{μ2,σ2}={μ,σ}/.求分布参数FindDistributionParameters [Y,正态分布NormalDistribution [μ,σ]];"1.计算法"n =长度Length [X ];m =长度Length [Y ];M =平均值Mean [X ]-平均值Mean [Y ];σ=Q =分位数Quantile 正态分布NormalDistribution [0,1],1-α2;{M -Q σ,M +Q σ}"2.MeanDifferenceCI"MeanDifferenceCI X,Y,KnownVariance → σ12,σ22 ,置信级别ConfidenceLevel →1-α"3.NormalCI"NormalCI [M,σ,置信级别ConfidenceLevel →1-α]"区间长度："L =2Q σ"相对区间长度："r =L M(一)两方差已知1.计算法{8.75322,9.31447}2.MeanDifferenceCI {8.75322,9.31447}3.NormalCI{8.75322,9.31447}区间长度：0.561248相对区间长度：0.0621273(二)两方差未知1.计算法{8.75899,9.30871}2.MeanDifferenceCI {8.75899,9.30871}3.NormalCI{8.75899,9.30871}区间长度：正态分布\\正态分布统计分析\\两正态总体均值差的置信区间.nb30.549724相对区间长度：0.0608516二、两总体方差σ12=σ22未知σ12=σ22未知,由定理2,知X--Y- Ν μ1-μ2,σ,X--Y- -(μ1-μ2)σΝ[0,1]。
7.5正态总体均值与方差的区间估计
1)
1,
即
P
X
S n t / 2 (n 1)
X
S n
t
/
2
(n
1)
1
,
于是得 的置信度为 1 的置信区间
X
S n
t
/
2
(n
1)
.
例1 有一大批糖果, 现从中随机地取16袋, 称得
重量(克)如下:
506 508 499 503 504 510 497 512
514 505 493 496 506 502 509 496
2
2
/
2
(n
1)
1,
即
(n 1)S 2
P
2
/
2
(
n
1)
2
(n 1)S 2
2 1
/
2
(n
1)
1 ,
于是得方差 2 的置信度为1 的置信区间
(n
2 /
1)S 2(n
2
1)
,
(n
2 1
/2
1)S 2 (n 1)
.
进一步可得:
标准差 的一个置信度为1 的置信区间
n 1S ,
只要n1和n2都很大(实用上 50即可), 则有
1 2的一个置信度为1 的近似置信区间
X
Y
z / 2
S12 n1
S22 n2
.
(3)
2 1
22
2,
但 2 为未知,
1 2的一个置信度为1 的置信区间
X Y t / 2(n1 n2 2)Sw
1 n1
1 n2
.
其中
Sw2
2. 两个总体方差比 12 的置信区间 22
均值的置信区间
均值的置信区间1. 嗨，你知道吗？我最近在研究均值的置信区间，这玩意儿听起来就像是数学老师在课堂上讲的那些让人昏昏欲睡的公式，但实际上，它还挺有意思的。
2. 事情是这样的，我有个朋友，他在一家小公司做数据分析。
有一天，他跑来跟我说，他们公司最近在做一个市场调查，想要知道他们的产品在消费者中的受欢迎程度。
但是，他们只有一小部分的调查数据，所以需要我来帮忙看看，这些数据能不能说明问题。
3. 我一听，这事儿我得帮忙啊。
于是我就跟他说，咱们可以用均值的置信区间来解决这个问题。
他一脸懵逼地看着我，说：“啥？均值的置信区间？那是啥玩意儿？”4. 我笑了笑，跟他说，别急，我来给你慢慢解释。
首先，均值的置信区间，简单来说，就是根据样本数据来估计总体均值的一个范围。
这个范围有一定的概率包含总体的真实均值。
5. 我看他还是一脸疑惑，就继续解释说，比如你们公司调查了100个人，其中有80个人喜欢你们的产品。
那我们可以用这个样本均值（80%）来估计总体的均值，但是这个估计不可能100%准确，所以我们需要一个区间，来表示我们对这个估计的信心程度。
6. 我看他开始有点明白了，就继续说，这个置信区间的宽度，取决于样本的大小和数据的变异程度。
样本越大，数据越稳定，置信区间就越窄，我们对估计的准确性就越有信心。
7. 他听了之后，眼睛一亮，说：“哦，我明白了！那我们怎么计算这个置信区间呢？”我笑了笑，说：“别急，我这就教你。
”8. 我拿出纸和笔，开始给他画图解释。
我说，首先，我们需要计算样本均值，然后根据样本的标准差和样本大小，计算标准误差。
接着，我们查查t分布表，找到对应置信水平的t值。
9. 他听得津津有味，我继续说，然后，我们用样本均值加上或减去t值乘以标准误差，就可以得到置信区间的上下限了。
这样，我们就可以说，有95%的概率，总体的真实均值在这个区间内。
10. 他听完之后，兴奋地说：“哇，这太酷了！那我们赶紧来计算一下我们的调查数据吧！”于是，我们就开始动手计算。
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式中：M为样本数目 比较及结论： 1. 样本均值的均值（数学期望）等于总体均值 2. 样本均值的方差等于总体方差的1/n
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1.抽样平均数的平均误差
(1)重复抽样
(x ) 2
n
n
(2)不重复抽样
(x )
N n n ( ) (1 ) n N 1 n N
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2 ˆ ( )
M (样本个数)
11
样本均值的抽样分布
【例】设一个总体，含有4个元素（个体），即总体单位数
N=4。4 个个体分别为X1=1、X2=2、X3=3 、X4均值和方差
总体分布
.3 2 .1 0
X
i 1
N
i
第六章 抽样推断
教学目的：①掌握抽样调查的概念特点、应用 范围；②理解、掌握抽样平均误差和抽样极限 误差的计算及误差范围和置信区间；③熟练掌 握简单随机抽样组织方式下如何利用样本指标 估计总体的平均指标和成数指标。④掌握假设 检验的一般问题 教学重点：抽样调查的特点、抽样平均误差和 抽样极限误差的计算及误差范围和置信区间 教学难点：抽样调查的特点、抽样平均误差和 抽样极限误差的计算及误差范围和置信区间 教学学时：8学时
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（二）抽误误差的影响因素
1.样本容量:即样本单位数 2.总体差异程度 3.抽样方法 4.抽样组织形式
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10
二、抽样平均误差
（一）抽样平均误差的概念
所有可能样本的估计值与相应总体参数 的标准差，反映样本估计值与其中心的平均 离散程度。
（二）抽样平均误差的计算公式
ˆ) (
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第二节 抽样误差
一、抽样误差的概念 （一）抽样误差的性质
1.抽样误差 由于随机抽样的偶然因素使各单位的结构不足 以代表总体的结构而引起抽样指标与总体指标间 的绝对离差。 2.抽样调查中误差的来源 (1)登记性误差:可避免 (2)代表性误差 系统误差:非随机、可避免 随机性误差：可计算、控制 抽样估计中所指的误差主要指随机误差。
2 2
16
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2.抽样成数的平均误差
(1)重复抽样
P(1 P) ( p) n
(2)不重复抽样
P(1 P) N n P(1 P) n ( p) ( ) (1 ) n N 1 n N 例：从40000件产品中随机抽取200件进 行检查，结果有10件不合格。求合格率的抽 样平均误差？
3.重复抽样和不重复抽样
（1）重复抽样（回置抽样） （2）不重复抽样（不回置抽样）
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6
4.概率抽样与非概率抽样
（1）概率抽样 基本的组织方式有：整群抽样、分层抽样、 等距抽样、简单随机抽样。 （2）非概率抽样 根据调查者的经验或判断，从总体中有意 识的抽取若干单位构成样本。如典型调查、重 点调查、方便（偶遇）抽样等。
2018/8/8 3
2.特点 （1）根据部分实际资料对全部总体的数量特征 作出估计； （2）按随机原则从全部总体中抽取样本单位； （3）抽样误差可以事先计算并加以控制；
二、抽样调查的作用
1.对不可能进行全面调查现象进行抽样估计； 2.抽样调查可以节省人力物力，提高调查的经 济效益，又能够节省时间，提高调查的实效性。
4 1,4 2,4 3,4 4,4
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13
计算出各样本的均值，如下表。并给出样本均 值的抽样分布
16个样本的均值（x）
第一个 观察值
第二个观察值 3
P(x)
1 2 3
1 1.0 1.5 2.0
2 1.5 2.0 2.5
3 2.0 2.5 3.0
4 2.5 3.0 3.5
2 1 0
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0
2018/8/8 4
三、抽样调查的几个基本概念
1.总体和样本
（1）总体 总体单位的总数称为总体容量（用N表示）。 （2）样本 从总体中抽取来代表总体的部分总体单位所 构成的整体。 样本单位的总数称为样本容量（用n表示）。 种类：大样本 小样本
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2.总体参数和样本指标
（1）总体参数（总体指标） 如 （或记为 X ）、P、 等。 （2）样本指标（估计量或样本统计量） 如 x 、p、s 等。
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统计推断的过程
总 体
样 本
样本统计量
例如：样本 均值、比例 、方差
2
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第一节 抽样调查
一、抽样调查的概念及特点 1.概念
（1）抽样调查：从所研究的总体中抽出 一部分单位，作为样本进行观察研究，以认 识总体的数量特征一种统计方法。 （2）抽样估计：根据样本分布的原理、 利用样本资料提供的信息对总体的某些数量 特征进行科学的估计或推断。
N
N i 1
2.5
2
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2 ( X ) i
1
2
3
4
N
1.25
12
现从总体中抽取n＝2的简单随机样本，在重复 抽样条件下，共有42=16个样本。所有样本的结果 如下表
所有可能的n = 2 的样本（共16个） 第一个 第二个观察值 1 2 3 观察值 1 1,1 1,2 1,3 2 2,1 2,2 2,3 3 3,1 3,2 3,3 4 4,1 4,2 4,3
2018/8/8 17
4
2.5
3.0
3.5
4.0
样本均值的抽样分布
x
2018/8/8
14
x
所有样本均值的均值和方差 x 1.0 1.5 4.0
n i 1 i
M
16
2.5
2 x
(x
i 1
n
i
x )2
M (1.0 2.5) 2 (4.0 2.5) 2 2 0.625 16 n
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7
5.抽样筐
（1）定义：包括全体抽样单位的名单框架。 （2）形式： ◆名单抽样筐——列出全部总体单位的名录一览 表。如企业名单、居民名单、学生名单； ◆区域抽样筐——按地理位置将总体范围划分为 若干小区域，以小区域为抽样单位； ◆时间表抽样筐——将总体全部单位按照时间顺 序排列，把总体的时间过程分为若干小的时间单 位，以时间单位为抽样单位。如检测流水线上的 产品质量时以1分钟为一个抽样单位。