7-1 离散时间信号与系统的Z域分析

|z|>0
ROC扩大
线性加权后序列z变换的ROC可能比原序列z变换的ROC1大3
例：求以下周期序列的单边z变换。
(1)
f [k]
1, 0,
k 2n, k 2n 1,
n 0, n 0,
1, 1,
2, 2,
k
(2) y[k ] (1)i f [k i]
i0
分析：周期为N的单边周期序列fN[k]u[k]可以表示为第一个
9
五、单边z变换的主要性质
2. 位移特性
➢ 因果序列的位移 f [k n] u[k n] znF(z) |z|> Rf
➢ 非因果序列的位移
n1
Zf [k n]u[k] z n[F (z) f [k]z k ] |z|> Rf k 0 1
Zf [k n]u[k] z n[F (z) f [k]z k ] |z|> Rf k n 10
单边z变换
F(z)
f [k]z k
k 0
收敛域(ROC)
使上式级数收敛的所有z的范围称为F(z)的收敛域
右边序列的收敛域为z
Im z
平面中的一圆外区域
ROC
R
f
Re z
z Rf
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例：求以下序列的Z变换及收敛域。
(1) f [k] a k u[k]
(2)
f
[k]
1 0
0 k N 1 其它
解：
周期序列f1[k]及其位移f1[klN]的线性组合，即
f N [k]u[k] f1[k lN ] l0
若计算出f1[k]的z变换F1(z)，利用因果序列的位移 特性和线性特性，则可求得其单边周期序列的z变换为
Zf N [k]u[k]
l0
F1 (z)z Nl
F1(z) 1 zN
z 114Fra bibliotek例：求以下周期序列的单边z变换。
(1)
f [k]
1, 0,
k 2n, k 2n 1,
n 0, n 0,
1, 1,
2, 2,
k
(2) y[k ] (1)i f [k i]
i0
解：(1) f [k]可表示为 f [k] [k] [k 2] [k 4]
利用[k]的Z变换及因果序列的位移特性，可得
F(z) 1 z2 z4 1 1 z 2
sin 0 z 1 2z 1 cos 0
z 2
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五、单边z变换的主要性质
f [k]zF(z), z Rf
f1[k]zF1(z), z R f 1
f2[k]z F2 (z), z R f 2
1.线性特性
af1[k] bf2[k] aF1(z) bF2 (z)
z max(Rf 1, Rf 2 )
C为F(z) 的收敛域(ROC )中的一闭合曲线
由 Z 变换的定义式两边乘以 zm1 ，然后用围线求积分
F(z)zm1dz
f [k]z(m1k)dz
C
C k
交换积分与求和顺序，得
F(z)zm1dz f [k] z(m1k)dz (*)
C
k
C
4
二、z变换定义及符号表示
根据复变函数中的 Cauchy 积分定理
C
z m 1dz
2πj
0
m0 m0
从而(*)中只有 k m 这一项不等于零
F(z)zm1dz 2πjf [m]
C
物理意义： 将离散信号分解为不同频率复指数esTk的线性组合
符号表示
正变换：F(z)=Z{f[k]} 反变换： f[k] =Z1{F(z)}
或
f [k]z F (z)
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三、单边z变换及其收敛域
z2F(z) z1 f [1] f [2]
依此类推 可证上式成立
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例：求RN[k]=u[k]u[kN]的z变换及收敛域
解：
u[k]Z 1 , z 1 1 z 1
利用因果序列的位移特性和线性特性，可得
F(z)
1 1 z 1
1
zN z 1
1 zN 1 z 1
由于RN[k]为有限长序列，故其收敛域为
z 1
k
(2) 将y[k]改写为 y[k] (1)i f [k i] (1)k u[k] * f [k]
i0
由(1)题的结果及卷积特性，可得 Y (z)
五、单边z变换的主要性质
2. 位移特性 1
证明 Zf [k n]u[k] z n[F (z) f [k]z k ]
k n
f [k]
z F(z)
f [k 1]
f [k 2]
0
k
0
k
0
k
Z{ f [k 1]u[k]} Z{ f [k 1]u[k 1] f [1][k]}
z1F(z) f [1]
11
五、单边z变换的主要性质
2. 位移特性 1
证明 Zf [k n]u[k] z n[F (z) f [k]z k ] k n Z{ f [k 1]u[k]} z1F (z) f [1]
Z{ f [k 2]u[k]} Z{ f [k 2]u[k 2] f [1][k 1] f [2][k]}
离散时间信号与系统的Z域分析
离散时间信号的Z域分析 离散时间系统的Z域分析 离散时间系统函数与系统特性 离散时间系统的模拟
1
离散时间信号的z域分析
理想取样信号的拉普拉斯变换 z变换定义 单边z变换及其收敛域 常用单边序列的z变换 单边z变换的性质 单边z反变换
2
一、理想取样信号的拉普拉斯变换
f s (t) f (t) (t k T) f (k T) (t k T)
za
Z{u[k]}
1 1 z1
z 1
z
,
z 1
3) Z{e j0k u[k]}
1
1 cos 0 z 1 jsin 0 z 1
1 e j0 z 1
1 2z 1 cos 0 z 2
cos( 0k)u[k]
1
1 cos 0 z 2z 1 cos 0
1
z
2
sin( 0k)u[k] 1
(1)
F(z)
k 0
ak zk
1 1 az1
ROC : z a
Im z
|a|
Re z
(2)
N 1
F(z)
k 0
z k
1 1
zN z 1
ROC : z 0
有限长序列z变换的收敛域为|z|>0 7
四、常用单边序列的Z变换
1) Z{[k]} 1, z 0
2)
Z{
k
u[k
]}
1
1
z
1
令 a 1,即得
k
k
Fs (s) L[ f s (t)] f (kT)eksT k
令e sT z, 有
L{ f s (t)}
f
[k]z k
F(z)
k
s域到z域的映射关系：
z esT
3
二、z变换定义及符号表示
双边z变换 z反变换
F(z)
f [k]z k
k
f
[k]
1 2πj
c
F (z)z k1dz