(人教版)高中数学选修2-1课件：第2章 圆锥曲线与方程2.2.2 第1课时
(0，a) ； A1________ (0，－a)，A2______ (b,0) (－b,0) ，B2______ B1________ 2a 短轴___ 2b 长轴___
c e＝a∈______ (0,1)
轴长 离心 率
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第二章 圆锥曲线与方程
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第二章 圆锥曲线与方程
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2.2 椭 圆
2.2.2 椭圆的简单几何性质
第一课时 椭圆的简单几何性质
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第二章 圆锥曲线与方程
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提圆的离心率 椭圆的离心率的大小决定了椭圆的形状，反映了椭圆的 扁平程度． b 由a＝ a2－c2 2 2 ＝ 1－e (0<e<1)可知，当 e 越趋近于 1 a
b b 时，a越趋近于 0，椭圆越扁；当 e 越趋近于 0 时，a越趋近 于 1，椭圆越接近于圆．当且仅当 a＝b 时，c＝0，两焦点重 合，图形变为圆，方程为 x2＋y2＝a2.
x2 y2 解析： 由16＋ 8 ＝1 可得 a2＝16，b2＝8，∴c2＝a2－ b2＝8，
2 c 1 2 2 ∴e ＝a2＝2，∴e＝ 2 .
答案： D
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第二章 圆锥曲线与方程
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x2 y2 2．已知椭圆 ＋ ＝1，长轴在 y 轴上．若焦距 10－m m－2 为 4，则 m 等于( A．8 C．5 ) B．7 D．4
第二章 圆锥曲线与方程
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1．通过对椭圆标准方程的研究，掌握椭圆的简单几何性
质．
2．了解椭圆的离心率对椭圆扁平程度的影响．
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第二章 圆锥曲线与方程
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北京国家大剧院拥有许多世界之最，不但有世界上最大的 椭圆穹顶外观，它的内装，还运用了世界上最先进的自动舞台 和声学设计，不需要任何电子扩音设备，在音乐厅的每一个角 落，都能听到最完美的自然音．那么，是什么让它如此神奇
椭圆的离心率对椭圆扁平程度的影响
椭圆的离心率e越大(0<e<1)，则椭圆越_______ 扁平 ；椭圆的离 圆 ，当 e 接近于 0 时，则椭圆接 心率 e 越小，则椭圆越接近于 ____ 圆． 近于____
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第二章 圆锥曲线与方程
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第二章 圆锥曲线与方程
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x2 y2 1．椭圆16＋ 8 ＝1 的离心率为( 1 A.3 3 C. 3 1 B.2 2 D. 2
)
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第二章 圆锥曲线与方程
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解析： 由已知 a＝4，b＝2，椭圆的焦点在 x 轴上， x2 y2 所以椭圆方程是16＋ 4 ＝1.
答案： x 2 y2 16＋ 4 ＝1
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第二章 圆锥曲线与方程
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y2 x2 a2＋b2＝1(a>b>0) |F1F2|＝___ 2c
2c |F1F2|＝___ (－a,0)，A2______ A1______ (a,0) ； (0，－b) ，B2______ (0，b) B1________ 2a 短轴___ 长轴___ 2b
c (0,1) e＝a∈______
图形
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第二章 圆锥曲线与方程
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标准 方程 范围 对称 性 焦点
x2 y2 a2＋b2＝1(a>b>0)
y2 x2 a2＋b2＝1(a>b>0)
－a≤x≤a，－b≤y≤b ____________________
－b≤x≤b，－a≤y≤a ____________________
解析： 由题意得m－2＞10－m且10－m＞0，
于是6＜m＜10，再由(m－2)－(10－m)＝22，得m＝8.
答案： A
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第二章 圆锥曲线与方程
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3．椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，两顶点分 别是(4,0)，(0,2)，则此椭圆的方程是____________．
关于椭圆的顶点应注意的问题
(1)椭圆有四个顶点、两个焦点共六个特殊点，研究椭圆时 一定要注意这六个特殊点的位置． (2)明确a，b的几何意义，由a2－b2＝c2，可以得到“ 已知 椭圆的四个顶点，求焦点”的几何作法，只要以短轴的一个端 点为圆心，以 a 为半径作弧，交长轴于两点，这两点就是焦 点．
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呢？这其中，它的椭圆设计就是一个特别之处，音乐在椭圆的
一个焦点处传出，便可以通过独特的设计传递到每个角落．
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第二章 圆锥曲线与方程
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椭圆的简单几何性质
标准 方程 x2 y2 a2＋b2＝1(a>b>0) y2 x2 a2＋b2＝1(a>b>0)
第二章 圆锥曲线与方程
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(3)短轴端点、中心、焦点构成一直角三角形，且三边长为
a，b，c.
(4)解题时，一定要注意题目给的是长轴长2a，还是长半轴 长a，很多同学由于审题不认真，一字之差导致错误．
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第二章 圆锥曲线与方程
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对称轴：坐标轴；对称中心：(0,0)
(c,0) －c,0) ，F2______ F1( ______
F1_________ (0，－c) ，F2______ (0，c)
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第二章 圆锥曲线与方程
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标准 方程 焦距 顶点
x2 y2 a2＋b2＝1(a>b>0)
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高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2双曲线的几何性质
对称轴:x 轴,y 轴 对称中心:原点
对称轴:x 轴,y 轴 对称中心:原点
顶点坐标
顶点坐标
A1(-a,0),A2(a,0)
A1(0,-a),A2(0,a)
y=±������������ x
y=±������ x
������
e=������,e∈(1,+∞),其中 c= ������2 + ������2
求双曲线的方程.
分析:应先根据渐近线方程设出双曲线的方程,再代入点的坐标 求解.
解渐近线方程为 y=± 3x 的双曲线方程可设为
(y+ 3x)·(y- 3x)=m(m≠0),即 y2-3x2=m(m≠0). 将点 M 的坐标(1, 15)代入上式,得 m=12, 所以双曲线的方程为 y2-3x2=12,即1������22 − ���4���2=1.
渐近线方程为 y=±������������x=±23x.
作出草图如下:
题型一
题型二
题型三
题型四
反思求双曲线的几何性质必须把方程化为标准形式.作几何图形 时,应画出两条渐近线和两个顶点.
题型一
题型二
题型三
题型四
已知双曲线的几何性质求双曲线的方程
【例 2】 已知双曲线的渐近线方程为 y=± 3x,且过点 M(1, 15),
解将
9y2-4x2=-36
变形为������2
9
−
���4���2=1,即3������22
−
���2���22=1,
所以 a=3,b=2,所以 c= 13.
因此顶点坐标分别为(-3,0),(3,0),
焦点坐标分别为(- 13,0),( 13,0), 实轴长是 2a=6,虚轴长是 2b=4,
2016-2017学年高中数学选修2-1课件：第二章 圆锥曲线与方程 2.2 2.2.1
第十八页，编辑于星期五：十七点 十九分。
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第十九页，编辑于星期五：十七点 十九分。
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人教版数学选修2-1：曲线方程课件求曲线方程的四种常用方法(共19张PPT)
二、参数法求曲线方程
例5 过点 P( 2 ,4) 作两条相互垂直的直线 l1, l2 ，若 l1 交 x 轴于点A，l2
交y 轴于点B，求线段AB的中点M的轨迹方程。
解析：设点M (x, y) 。
① 当直线 l1 的斜率垂直且不为0时，可设其方程为：y 4 k(x 2)
因为
l1 l2
建立适当的坐标系，求这条曲线的方程。
解析：如图：取直线 l 为轴，过点F且垂直于 直线 l 的直线为y轴，建立坐标系 xOy. 设点 M (x, y) 是曲线上任意一点，作MB x 轴
垂足为B，则M属于集合
P M || MF | | MB| 2 x2 (y 2)2 y 2 x2 (y 2)2 (y 2)2
③（四川卷）已知两定点 A(2,0), B(1,0) ,若动点P满足|PA|=2|PB|， 则点P的轨迹所围成的图形的面积等于（ ）
A B 4 C 8 D 9
二、直接法求曲线方程
例3 已知一条直线 l 和它上方的一个点F，点F到的距离是2.一条曲线 也 l 在的上方，它上面的每一点到F的距离减去到 l 的距离的差都是2，
二、相关点法求曲线方程
例4 在圆 x2 y2 4 上任取一点P，过点P作 x 轴的垂线段PD，D为垂
足。当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹方程。
解析：设 M (x, y), P(x0, y0 ),则x
x0 , y
y0 2
.
因为点P在圆上，所以 x02 y02 4 。
把 x0 x, y0 2x 带入上式得：x2 4 y2 4.
所以点M的轨迹方程是 x2 4y2 4. 。
相关点法—知识总结与练习
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2椭圆的简单几何性质课件新人教A版选修2_1
A.
3 3 2 2 B. C. D. 2 4 2 3
2
解析:化为标准形式 x + 则 �����2
1 4
= 1, =
3 . 2
1 2 , ������ 4
=
3 ������ , 故e= 4 ������
【做一做3】 已知椭圆的方程为2x2+3y2=m(m>0),则此椭圆的离 心率为( )
3.弦长公式 剖析:设直线方程为 y=kx+m(k∈R,且
������2 ������
2
= 1(������ > ������ >
������2 0)或 2 ������
+
������2 ������
2
������2 k≠0),椭圆方程为 2 ������
+
= 1(������ > ������ > 0),
=
1 + ������ 2 · (������1 + ������2 )2 -4������1 ������2 ,
或者|AB|= = =
(������1 -������2 )2 + (������1 -������2 )2
2
������1 -������ ������2 -������ ������ ������
直线与椭圆的两个交点为A(x1,y1),B(x2,y2), 则|AB|= = (������1 -������2 )2 + (������1 -������2 )2
(������1 -������2 )2 + (������������1 + ������-������������2 -������)2 = (������1 -������2 )2 · (1 + ������ 2 ) = 1 + ������ 2 · |x1-x2|
(人教版)高中数学选修2-1课件：第2章 圆锥曲线与方程2.3.2 第1课时
第二章 圆锥曲线与方程
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1．求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴 长、虚轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图．
解析： 将 9y2－4x2＝－36 变形为x92－y42＝1， 即3x22－2y22＝1，
∴a＝3，b＝2，c＝ 13.
c e＝__a__
__y_＝__±_ba_x_
_y_＝__±_ab_x__
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第二章 圆锥曲线与方程
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等轴双曲线
___实__轴__和___虚__轴___等长的双曲线叫做等轴双曲线．
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第二章 圆锥曲线与方程
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第二章 圆锥曲线与方程
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方法二：渐近线方程为 y＝±32x，变形得3y±2x＝0， 由渐近线方程的推导过程可设双曲线的方程为x42－y92＝ λ(λ≠0)，
当 λ>0 时，由 2 4λ＝6，解得 λ＝94. 此时，所求双曲线的标准方程为x92－8y12 ＝1；
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第二章 圆锥曲线与方程
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令 y＝0，解得 x＝±3，因此顶点坐标为 A1(－3,0)，A2(3,0)， 焦点坐标为 F1(－ 13，0)，F2( 13，0)． 实轴长是 2a＝6，虚轴长是 2b＝4， 离心率 e＝ac＝ 313， 渐近线方程 y＝±bax＝±23x. 作出草图(如图所示)．
(人教版)高中数学选修2-1课件：第2章 圆锥曲线与方程2.2.1
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第二章 圆锥曲线与方程
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椭圆的标准方程
(－c,0)，(c,0)
(0，－c)，(0，c)
c2＝a2－b2
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第二章 圆锥曲线与方程
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椭圆标准方程中注意的几个问题 (1)a2＝c2＋b2，a>b>0，a最大，其中a，b，c构成如图 的直角三角形，我们把它称为“特征三角形”．
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由题意知点M在线段CQ上，
从而有|CQ|＝|MQ|＋|MC|.
又点M在AQ的垂直平分线上，
则|MA|＝|MQ|，∴|MA|＋|MC|＝|CQ|＝5.
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(人教版)高中数学选修2-1课件：第2章 圆锥曲线与方程2.4.2 第1课时
答案： D
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2．顶点在原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4的
抛物线方程是( )
A．x2＝16y
B．x2＝8y
C．x2＝±8y
D．x2＝±16y
解析： 顶点在原点，对称轴为y轴的抛物线方程有两
个：x2＝－2py，x2＝2py(p>0)．由顶点到准线的距离为4知p＝
p2＝1.
如图，延长 PA 交准线 l 于 A′，焦点 F(1,0)， 2分
|PA|＋|PB|＝|PA′|－1＋|PB|
＝|PF|＋|PB|－1.
6分
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第二章 圆锥曲线与方程
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当 F，P，B 共线时，|PA|＋|PB|最小，即转化为 F 到 x
对称 轴
性 顶点 质 离心
率
_x_轴___
_原__点__(0_,_0_)__ e＝1
__y_轴___
开口 方向
_向__右___
向__左____
向__上____
_向__下___
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第二章 圆锥曲线与方程
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抛物线的性质特点 (1)抛物线只有一个焦点，一个顶点，一条对称轴，一条准 线，无对称中心，因此，抛物线又称为无心圆锥曲线． (2)抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它可以无限延伸， 但它没有渐近线． (3)抛物线的离心率定义为抛物线上的点到焦点的距离和该 点到准线的距离的比，所以抛物线的离心率是确定的，为1.
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2．顶点在原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4的
抛物线方程是( )
A．x2＝16y
B．x2＝8y
C．x2＝±8y
D．x2＝±16y
解析： 顶点在原点，对称轴为y轴的抛物线方程有两
个：x2＝－2py，x2＝2py(p>0)．由顶点到准线的距离为4知p＝
p2＝1.
如图，延长 PA 交准线 l 于 A′，焦点 F(1,0)， 2分
|PA|＋|PB|＝|PA′|－1＋|PB|
＝|PF|＋|PB|－1.
6分
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当 F，P，B 共线时，|PA|＋|PB|最小，即转化为 F 到 x
对称 轴
性 顶点 质 离心
率
_x_轴___
_原__点__(0_,_0_)__ e＝1
__y_轴___
开口 方向
_向__右___
向__左____
向__上____
_向__下___
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抛物线的性质特点 (1)抛物线只有一个焦点，一个顶点，一条对称轴，一条准 线，无对称中心，因此，抛物线又称为无心圆锥曲线． (2)抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它可以无限延伸， 但它没有渐近线． (3)抛物线的离心率定义为抛物线上的点到焦点的距离和该 点到准线的距离的比，所以抛物线的离心率是确定的，为1.
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7
曲线与方程的概念
思考 4 曲线 C 上的点的坐标都是方程 f(x，y)＝0 的解，能否 说 f(x，y)＝0 是曲线 C 的方程？
思考 5 判断下列命题是否正确． (1)以坐标原点为圆心，半径为 r 的圆的方程是 y＝ r2－x2； (2)过点 A(2,0)平行于 y 轴的直线 l 的方程为|x|＝2.
规律方法 (1)判断方程是否是曲线的方程，要从两个方 面着手，一是检验点的坐标是否适合方程，二是检验以方 程的解为坐标的点是否在曲线上．从而建立方程的解与曲 线上点的坐标的一一对应关系． (2)定义中的两个条件是判定一个方程是否为指定曲线的方 程，一条曲线是否为所给定方程的曲线的准则，缺一不 可．因此，在证明f(x，y)＝0为曲线C的方程时，必须证明 两个条件同时成立．
思考 2 到两坐标轴距离相等的点都在直线 y＝x 上，对吗？
思考 3 到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是什么？为什么？
答 y＝±x. 理由：在直角坐标系中，到两坐标轴距离相等的点 M 的坐标(x0，y0) 满足 y0＝x0 或 y0＝－x0，即(x0，y0)是方程 y＝±x 的解； 反之，如果(x0，y0)是方程 y＝x 或 y＝－x 的解，那么以(x0，y0)为坐 标的点到两坐标轴距离相等．
解析 ∵题设命题只说明“曲线C上的点的坐标都是方程 f(x，y)＝0的解”，并未指出“以方程f(x，y)＝0的解为坐标 的点都是曲线C上的点”， ∴A，B，C都是假命题，如曲线C：平面直角坐标系一、 三象限角平分线上的点，与方程f(x，y)＝x2－y2＝0，满足 题设条件，但却不满足选项A，B，C的结论，根据逆否命 题是原命题的等价命题知，D是正确的． 答案 D
11
利用定义理解曲线的方程与方程的曲线
(人教版)高中数学选修2-1课件：第2章 圆锥曲线与方程ppt课件
故所求的抛物线的标准方程是 x2＝－y 或 y2＝－8x. 当抛物线方程是 x2＝－y 时， 焦点坐标是 F0，－14，准线方程是 y＝14. 当抛物线方程是 y2＝－8x 时，焦点坐标是 F(－2,0)，准 线方程是 x＝2.
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[问题1] [提示1] [问题2] [提示2] [问题3] [提示3]
画出的曲线是什么形状？ 抛物线． |DA|是点D到直线EF的距离吗？为什么？ 是，AB是Rt△的一条直角边． 点D在移动过程中，满足什么条件？ |DA|＝|DC|.
的点的轨迹是过A且与直线l垂直的直线．
答案： A
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3．已知抛物线顶点为坐标原点，焦点在y轴上，抛物线上 的点M(m，－2)到焦点的距离为4，则m＝________.
解析： 由已知，可设抛物线方程为 x2＝－2py.由抛物
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2.4 抛物线
2.4.1 抛物线及其标准方程
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[问题1] [提示1] [问题2] [提示2] [问题3] [提示3]
画出的曲线是什么形状？ 抛物线． |DA|是点D到直线EF的距离吗？为什么？ 是，AB是Rt△的一条直角边． 点D在移动过程中，满足什么条件？ |DA|＝|DC|.
的点的轨迹是过A且与直线l垂直的直线．
答案： A
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第二章 圆锥曲线与方程
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3．已知抛物线顶点为坐标原点，焦点在y轴上，抛物线上 的点M(m，－2)到焦点的距离为4，则m＝________.
解析： 由已知，可设抛物线方程为 x2＝－2py.由抛物
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2.4 抛物线
2.4.1 抛物线及其标准方程
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第二章 圆锥曲线与方程
(人教版)高中数学选修2-1课件：第2章 圆锥曲线与方程2.2.2 第2课时
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1．已知点(2,3)在椭圆mx22＋ny22＝1 上，则下列说法正确的 是( )
A．点(－2,3)在椭圆外 B．点(3,2)在椭圆上 C．点(－2，－3)在椭圆内 D．点(2，－3)在椭圆上
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∴yx11－ －yx22＝－4yx11＋＋yx22＝－12， 即 kAB＝－12. ∴所求直线方程为 y－1＝－12(x－2)， 即 x＋2y－4＝0.
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∵直线与椭圆总有公共点， ∴Δ≥0 对任意 k∈R 都成立． ∵m＞0，∴5k2≥1－m 恒成立， ∴1－m≤0，即 m≥1. 又椭圆的焦点在 x 轴上， ∴0＜m＜5， ∴1≤m＜5.
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2.2 椭 圆
2.2.2 椭圆的简单几何性质
第二课时 直线与椭圆的位置关系
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